BAB II TEORI PENUNJANG
2.1 Konsep Penunjang Dalam Kalkulus
2.1.1 Limit
Pengertian L
x f
c x
=
→
lim berarti bahwa bila
x dekat tetapi berlainan dari c, maka
x f
dekat dengan L .
Definisi 2.1.1 Limit Purcell and Varberg, 1987
L x
f
c x
=
→
lim berarti bahwa untuk setiap
ε terdapat
δ sedemikian
sehingga ε
− L
x f
, asalkan δ
− c
x , yakni
ε δ
− ⇒
− L
x f
c x
2.1.1
2.1.2 Turunan
Definisi 2.1.2 Purcell and Varberg, 1987
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f ’ yang nilainya pada sebarang x adalah
x x
f x
x f
x f
x
∆ −
∆ +
=
→ ∆
lim 2.1.2
asalkan limit ini ada.
Jika limit ini ada, maka f terdifferensialkan di x. Jika x
f y
= , dimana
x ∆
merupakan pertambahan dari x dan y
∆ merupakan pertambahan dari y dan
x f
x x
f y
− ∆
+ =
∆ , maka menurut persamaan 2.1.2:
x x
f x
x f
x f
x
∆ −
∆ +
=
→ ∆
lim
x y
x
∆ ∆
=
→ ∆
lim 2.1.3
Pada persamaan 2.1.3, saat →
∆ x
, x
y
x
∆ ∆
→ ∆
lim dapat dituliskan dengan simbol
dx dy
yang disebut notasi Leibniz. Contoh 2.1.1: Purcell and Varberg, 1987
Andaikan 6
13 −
= x
x f
. Cari 4
f .
Penyelesaian:
x x
f x
x f
x f
x
∆ −
∆ +
=
→ ∆
lim
x x
f
x
∆ −
− −
∆ +
=
→ ∆
] 6
4 13
[ ]
6 4
13 [
lim 4
13 13
lim 13
lim =
= ∆
∆ =
→ ∆
→ ∆
x x
x x
.
2.1.3 Aturan Rantai Purcell and Varberg, 1987
Andaikan u
f y
= dan
x g
u =
dua fungsi yang differensiabel, maka y dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi dari f dan g :
] [
x g
f u
f y
= =
Jika g terdifferensialkan di x dan f terdifferensialkan di
x g
u =
, maka
] [
x g
f y
=
terdifferensialkan di x dan
] [
x g
f x
g y
=
Atau dengan notasi Leibniz
dx du
du dy
dx dy
= 2.1.4
2.1.4 Fungsi Naik dan Fungsi Turun Thomas and Finney, 1986
Definisi 2.1.2
Sebuah fungsi x
f y
= adalah sebuah fungsi naik pada sebuah selang I
jika
2 1
2 1
x f
x f
x x
⇒ Untuk semua
1
x dan
2
x dalam I. Sebuah fungsi
x f
y =
adalah sebuah fungsi turun pada sebuah selang I
jika
1 2
2 1
x f
x f
x x
⇒ Untuk semua
1
x dan
2
x dalam I.
Uji Turunan Pertama untuk Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Andaikan bahwa x
f y
= memiliki sebuah turunan di setiap titik
x dari sebuah selang
I , maka: 1.
f naik pada I jika
x f
untuk semua x dalam
I , dan 2.
f turun pada I jika
x f
untuk semua x dalam
I .
2.1.5 Kecekungan