Perencanaan Jaringan dengan Permintaan Acak Menggunakan Chance Constrained Programming

PERENCANAAN JARINGAN DENGAN PERMINTAAN ACAK MENGGUNAKAN CHANCE CONSTRAINED PROGRAMMING SKRIPSI
SARDES MALAU 080803028
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

PERENCANAAN JARINGAN DENGAN PERMINTAAN ACAK MENGGUNAKAN CHANCE CONSTRAINED PROGRAMMING SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
SARDES MALAU 080803028
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

PERSETUJUAN

Judul
Kategori Nama Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas

: PERENCANAN JARINGAN DENGAN PERMINTAAN ACAK MENGGUNAKAN CHANCE CONSTRAINED PROGRAMMING
: SKRIPSI : SARDES MALAU : 080803028 : SARJANA (S1) MATEMATIKA : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juli 2012

Komisi Pembimbing : Pembimbing 1

Pembimbing 1

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. NIP 196209011988031002

Drs. Liling Peranginangin, M.Si. NIP 194707141984031001

Diketahui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. NIP 196209011988031002

Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

ii

PERENCANAAN JARINGAN DENGAN PERMINTAAN ACAK MENGGUNAKAN CHANCE CONSTRAINED PROGRAMMING

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2012

SARDES MALAU 080803028

Universitas Sumatera Utara

PENGHARGAAN

iii

Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus karena Kasih dan penyertaan-Nya, sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi ini dengan baik dan sesuai waktu yang ditetapkan.
Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih saya sampaikan kepada :
1. Bapak Prof. Dr. Tulus. selaku pembimbing I dan Bapak Drs. Liling Peranginangin, M.Si. selaku pembimbing II saya yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada saya sehingga skripsi ini dapat saya selesaikan.
2. Bapak Drs. Sawaluddin,M.IT. dan Bapak Drs. Open Darnius, M.Sc. selaku dosen penguji saya.
3. Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math, M.Si, Ph.D. dan Ibu Dra.Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika.

4. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
5. Semua Dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU.
6. Seluruh teman di jurusan Matematika khususnya stambuk 2008, serta kelompok PA saya dalam Kristus : Raja David Pasaribu, Anri Aruan, Lukas Panjaitan, Indra Sibuea, Charles Simamora, dan Binsar Nababan, serta kakak kelompok saya K’Tiur atas doa dan dukungannya yang telah memberi saya semangat.
7. Ayahanda Arlen Malau, Ibunda Korsinta br Sitio serta kakak-kakak dan abang saya saya Riana Malau, Rediana Malau, Simon Petrus Malau, dan Marissa Malau serta adik saya satu-satunya Janferi Malau yang selama ini selalu memberikan semangat, dorongan, inspirasi dan bantuan yang sangat berarti bagi penulis.
Dengan segala kerendahan hati penulis menyadari banyak kekurangan dan ketidak sempurnaan pada skiripsi ini. Oleh karena itu Penulis sangat mengharapkan dan berterimakasih untuk semua bentuk saran dan kritikan yang membangun demi menambah wawasan dan pengetahuan Penulis.
Akhirnya Penulis mempersambahkan skiripsi ini kepada kedua orang tua saya tercinta Ayahanda Arlen Malau dan Ibunda Korsinta br Sitio, dengan ucapan terima kasih yang sedalam-dalamnya atas semua doa, dukungan, dan materi.
Medan, Juli 2012 Penulis
Sardes Malau

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

iv

Chance Constrained Programming(CCP) merupakan salah satu bagian dari stochastik programming yang dikembangkan oleh Charnes dan Cooper. Chance Constrained Programming adalah salah satu teknik yang dapat dipakai untuk menyelesaikan permasalahan yang mengandung kendala peluang. Dalam penelitian ini penulis mencoba memakai Chance Constrained Programming sebagai model dalam perencananaan suatu jaringan yang mana permintaan (pemakaian bandwidth) seperti download dan upload dalam jaringan ini bersifat tidak pasti atau dapat dikatakan acak, dalam hal inilah Chance Constrained Programming penulis gunakan yakni dalam menemukan suatu model pencarian lintasan-lintasan terbaik serta pengalokasian bandwidth secara optimal dalam suatu jaringan, sehingga akan dicapai suatu jaringan yang baik serta biaya minimal dalam pengalokasian bandwidth dalam jaringan tersebut . Chance Constrained Programming cocok digunakan dalam hal ini karena model ini dapat menggabungkan antara ketidakpastian permintaan pada jaringan dan tingkat jaminan (level of guarantee) yang mau manajemen jaringan berikan kepada pengguna jaringan tersebut.
kata kunci: Chance Constrained Programming, Permintaan Acak, Perencanaan Jaringan

Universitas Sumatera Utara

v PERENCANAAN JARINGAN DENGAN PERMINTAAN ACAK
MENGGUNAKAN CHANCE CONSTRAINED PROGRAMMING
ABSTRACT
Chance constrained programming (CCP) is one part of stochastik programming which developed by Charnes and Cooper. Chance constrained programming technique is one which can be used to solve problems involving chance constraints, in this paper the writer try to use chance constrained programming as a model in network design under demand uncertainty (the using of bandwidth. e.g. random dowload and upload). in this case the writer use chance constrained programming to find a searching routes model and optimal bandwidth allocation in a network, so will be find a network with optimal bandwidth allocation in that network. Chance constrained programming is proper to use in this problem cause this model can united the uncertainty demand in the network and level of guarantee that network management want give to the users of the network. key words : Chance Constrained Programming, Random Demand, Network Planning
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

vi

PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR TABEL
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang 1.2. Perumusan Masalah 1.3. Batasan Masalah 1.4. Tujuan Penelitian 1.5. Tinjauan Pustaka 1.6. Kontribusi Penelitian 1.7. Metodologi Penelitian

Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
viii
ix
1
1 2 3 3 3 5 5

2. DASAR TEORI
2.1. Jaringan Komunikasi 2.2. Distribusi Normal 2.3. Chance Constrained Programming

6
6 10 15

3. PEMBAHASAN

3.1. Model Umum CCP untuk Jaringan 3.2. Model Matematika Perencanaan Jaringan dengan CCP

27
27 28

4. KESIMPULAN
4.1. Kesimpulan 4.2. Saran
DAFTAR PUSTAKA

45
45 45
46

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Wide Area Network dan Local Area Network 2.2 Grafik distribusi normal f (x) 2.3 Sifat grafik distribusi normal 2.4 Distribusi normal standar 2.5 Probabilitas x1 < X < x2 3.1 Topologi Jaringan Dengan 6 Node dan 9 link

viii
Halaman 9 11 12 13 14 32

Universitas Sumatera Utara

ix DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Waktu operasi mesin dan parameter-parameter distribusi normal nya 21 3.1 Perhitungan pengalokasian bandwidth untuk sebuah link sepasang node 30
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

iv

Chance Constrained Programming(CCP) merupakan salah satu bagian dari stochastik programming yang dikembangkan oleh Charnes dan Cooper. Chance Constrained Programming adalah salah satu teknik yang dapat dipakai untuk menyelesaikan permasalahan yang mengandung kendala peluang. Dalam penelitian ini penulis mencoba memakai Chance Constrained Programming sebagai model dalam perencananaan suatu jaringan yang mana permintaan (pemakaian bandwidth) seperti download dan upload dalam jaringan ini bersifat tidak pasti atau dapat dikatakan acak, dalam hal inilah Chance Constrained Programming penulis gunakan yakni dalam menemukan suatu model pencarian lintasan-lintasan terbaik serta pengalokasian bandwidth secara optimal dalam suatu jaringan, sehingga akan dicapai suatu jaringan yang baik serta biaya minimal dalam pengalokasian bandwidth dalam jaringan tersebut . Chance Constrained Programming cocok digunakan dalam hal ini karena model ini dapat menggabungkan antara ketidakpastian permintaan pada jaringan dan tingkat jaminan (level of guarantee) yang mau manajemen jaringan berikan kepada pengguna jaringan tersebut.
kata kunci: Chance Constrained Programming, Permintaan Acak, Perencanaan Jaringan

Universitas Sumatera Utara

v PERENCANAAN JARINGAN DENGAN PERMINTAAN ACAK
MENGGUNAKAN CHANCE CONSTRAINED PROGRAMMING
ABSTRACT
Chance constrained programming (CCP) is one part of stochastik programming which developed by Charnes and Cooper. Chance constrained programming technique is one which can be used to solve problems involving chance constraints, in this paper the writer try to use chance constrained programming as a model in network design under demand uncertainty (the using of bandwidth. e.g. random dowload and upload). in this case the writer use chance constrained programming to find a searching routes model and optimal bandwidth allocation in a network, so will be find a network with optimal bandwidth allocation in that network. Chance constrained programming is proper to use in this problem cause this model can united the uncertainty demand in the network and level of guarantee that network management want give to the users of the network. key words : Chance Constrained Programming, Random Demand, Network Planning
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Jaringan telekomunikasi dapat dipandang sebagai keterhubungan beberapa entitas komunikasi yang saling berhubungan. Sebuah entitas komunikasi dapat diartikan sebagai sebuah entitas yang dapat berdiri sendiri dan terlibat dalam suatu proses komunikasi. Komputer, laptop dan telepon semuanya merupakan contoh dari entitas komunikasi. Salah satu jaringan komunikasi saat ini yang sangat banyak dipakai adalah jaringan nirkabel atau jaringan tanpa kabel (wireless) Contohnya adalah internet. Jaringan inilah yang akan dibahas dalam penelitian ini.
Karena pertumbuhan internet yang sangat cepat, berbagai masalah sering ditemui seperti loading yang lambat bahkan tidak dapat terhubung (lost connected). Semua ini berhubungan dengan Routing dalam jaringan telekomunikasi yaitu proses dari penentuan sebuah lintasan yang dipakai untuk mengirim data ke tujuan tertentu. dengan pengalokasian bandwidth atau dalam bahasa sehari-hari suatu penghitungan konsumsi data yang tersedia pada suatu telekomunikasi. Dihitung dalam satuan bits per seconds (bps), karena itu diperlukan suatu perencanaan Routing dan alokasi bandwidth pada arsitektur jaringan di masa yang akan datang dirancang sesuai dengan permintaan yang bergerak secara dinamis, ini berarti aturan Routing dapat dibuat dalam jangka pendek (short-term). Maka dari itu, jumlah dari bandwidth yang dibutuhkan untuk melayani permintaan dapat berubah secara dinamis, dan sifat inilah yang dalam penelitian ini penulis sebutkan dengan ketidakpastian permintaan (permintaan acak).
Disebabkan oleh lingkungan yang dinamis, dibutuhkan perencanaan jaringan jangka pendek untuk mengatasi ketidakpastian permintaan. Permasalan ini berbeda dengan perencanaan jangka panjang yang berfokus pada peramalan permintaan dan bagaimana merencanakan sebuah jaringan menghadapi permintaan pada
Universitas Sumatera Utara

2 masa yang akan datang dan meminimalkan penalti sebagai sebuah hasil dari kesalahan peramalan. Sebaliknya pokok permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana meminimalkan biaya dari routing dan alokasi bandwidth dengan kendala-kendala jaringan pada permintaan acak.
Kilpi dan Norros (2002), menjelaskan bahwa distribusi dari kumpulan trafik permintaan (aggregation traffic demand) dapat dianggap berdistribusi Normal mempunyai rata-rata µ dan varian σ2. Pendekatan Chance Constrained Programming (Rao, 1977) dapat menjadi alternatif terhadap pendekatan syarat pemesanan bandwidth berdasarkan rata-rata dan berdasarkan nilai maksimum. Perencanaan berdasarkan permintaan rata-rata digunakan untuk menangani permintaan dengan variasi yang rendah pada sekitar rata-rata. Sebaliknya, pendekatan berdasarkan permintaan maksimun bertujuan untuk mengatasi variasi permintaan yang jauh dari rata-rata dengan menyediakan bandwidth sesuai dengan permintaan maksimum. Dalam penelitian ini, variasi permintaan diatas rata-rata dapat ditangani secara statistik didasarkan pada tingkat jaminan (level of guaranteee) tertentu. Dalam penelitian ini penulis mencoba menerapkan Chance Constrained Programming (CCP) dalam perencanaan routing dan alokasi bandwidth pada jaringan telekomunikasi dengan kendala permintaan acak, keterbatasan bandwidth serta menggabungkannya dengan tingkat jaminan pelayanan.
1.2 Perumusan Masalah Dalam penelitian ini yang menjadi permasalahan adalah bagaimana menentukan lintasan optimal trafik permintaan dan pengalokasian lebar saluran (bandwidth) pada setiap link.
Universitas Sumatera Utara

3
1.3 Batasan Masalah Untuk memudahkan pembahasan dan memberi hasil yang baik, maka penulis memberi beberapa pembatasan permasalah, yaitu:
1. Kumpulan trafik permintaan antara node dianggap berdistribusi normal 2. Variabel utama dalam penentuan lintasan trafik optimal adalah kapasitas band-
width 3. Permasalahan dalam penelitian ini terbatas pada penentuan lintasan optimal
dan alokasi bandwidth pada setiap link dalam suatu jaringan.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun yang menjadi tujuan penelitian ini adalah menentukan lintasan optimal dari setiap trafik permintaan serta pengalokasian bandwidth optimal dengan demikian dicapai biaya minimum dari pengalokasian bandwidth pada jaringan.

1.5 Tinjauan Pustaka

Rao. (1977). Memberikan bentuk umum dari Chance Constrained Programming

(CCP)

n
min f (x) = cjxj
j=1

(1.1)

Dengan kendala:

n
P [ aijxj ≤ bi] ≥ pi, i = 1, 2, ..., m
j=1

(1.2)

xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n

(1.3)

dimana cj, aij, dan bi adalah variabel acak dan pi merupakan peluang tertentu.

Hassan dan Olivier. (2010). menggunakan pendekatan Chance Constrained Programming (CCP) untuk mengontrol peluang jaringan macet (network congestion), dengan routing lintasan tunggal.

Universitas Sumatera Utara

4

Misalkan G = (V, A) graph terhubung dari sebuah jaringan, n =| N | dan m =| A |. Misalkan ca kapasitas dari link a ∈ A. Biaya routing dari satu unit trafik permintaan pada link a ∈ A. Misalkan I menunjukkan himpunan trafik permintaan, masing-masing i ∈ I mempunyai asal si, dan sebuah tujuan di dan sebuah bandwidth bi merupakan variabel acak. Misalkan n =| I | merupakan jumlah dari trafik permintaan. Variabel keputusan xia bernilai 1 jika lintasan untuk permintaan i menggunakan link a, dan 0 untuk yang lain.

Untuk beberapa node v ∈ V , A+(v) menunjukkan himpunan link yang mening-

galkan node v, sementara A−(v) merupakan link yang menuju node v. Misalkan X

himpunan routing:

X=



   

1

if v = si









x ∈ {0, 1}Nm | ∀(i, a) ∈ I × A,

xia −

xia = −1 if v = di

a∈A+(v)

a∈A−(v)

  





  

0

otherwise

Fungsi objektif dari penelitian ini yaitu meminimalkan peluang bahwa aliran trafik melebihi kapasitas link yang ada. Hal ini menyebabkan masksimum jaringan macet (Maximum Link Congestion Optimization Problem) (MLOP):

maxx∈X mina∈AP( bixia ≤ ca)
i∈I

(1.4)

Diasumsikan bahwa semua permintaan i ∈ I berdistribusi Normal:

bi ∼ N (µi, σi2), dengan µi > 0 dan σi > 0.

maka didapat:

P(

i∈I

bixia

≤

ca)

=

φ( √ca−Pi∈I µixia ),

P
i∈I

σi2

xi2a

dimana

φ

adalah

distribusi

kumulatif

dari

Nor-

mal Standar N (0, 1). Karena φ meningkat, maka diperoleh untuk beberapa Routing

x

:

min φ( √ )a∈A

ca−Pi∈I µixia

P
i∈I

σi2

xi2a

=

min ( √ ).ca−Pi∈I µixia

a∈A

P
i∈I

σi2 x2ia

Ini berarti bahwa solusi optimal

untuk MLCOP dapat diperoleh dengan menyelesaikan formulasi dibawah ini:

maxx∈X {mina∈A ca −

i∈I µixia i∈I σi2xi2a

}.

(1.5)

Chance Constrained Programming mempunyai kelebihan jika dipakai dalam permasalahan perencanaan routing didasarkan pada statistik permintaan dan

Universitas Sumatera Utara

5 keterbatasan sumber sepanjang lintasan karena dapat menggabungkannya dengan masalah tingkat jaminan layanan(level of guarantee). 1.6 Kontribusi Penelitian Melalui penelitian ini diharapkan akan memberikan kontribusi, yakni:
1. Menambah referensi bagi penelitian yang berhubungan dengan masalah perencanaan jaringan dengan permintaan tidak pasti.
2. Sebagai bahan masukan bagi para pengambil keputusan jaringan dalam mengatasi permasalahan routing.
1.7 Metodologi Penelitian Karena penelitian ini bersifat studi literatur jadi penulis mencoba mencari sebanyak mungkin bahan-bahan dari buku ataupun penelitian-penelitian sebelumnya yang berhubungan dengan permasalahan dalam penelitian ini. Pada penulisan penelitian ini, penulis mengembangkan metode dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menentukan variabel-variabel pokok permasalahan. 2. Mencari suatu model optimisasi dengan Chance Constrained Programming. 3. Menyelesaikan model yang diperoleh sehingga pada akhirnya diperoleh lintasan
optimal dan alokasi Bandwidth pada setiap link.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 DASAR TEORI
2.1 Jaringan Komunikasi Jaringan komunikasi dapat dipandang sebagai sebuah keterhubungan dari entitasentitas komunikasi. Entitas komunikasi dapat diartikan sebagai sebuah entitas yang berdiri sendiri dan terlibat dalam sebuah proses komunikasi. Komputer, laptop, dan telepon merupakan contoh dari entitas komunikasi. Sebuah jaringan komunikasi mungkin mengandung komputer, tetapi ini bukan berarti bahwa jaringan komunikasi adalah sama dengan jaringan komputer.
Pada hakekatnya, sebuah jaringan komputer hanya salah satu bentuk dari jaringan komunikasi, sebuah jaringan komputer pada dasarnya berarti sebuah keterhubungan dari beberapa komputer. Sedangkan, istilah jaringan komunikasi digunakan dalam arti yang lebih luas. Sekarang ini, dunia bergerak kepada jaringan yang terintegrasi. Telepon, smartTV dan komputer bisa terhubung dengan jaringan yang sama. Oleh karena itu, adalah lebih baik menyatakan jaringan saat ini sebagai sebuah jaringan komunikasi, lebih dari sebuah jaringan komputer.
2.1.1 Topologi Jaringan. Topologi dari sebuah jaringan diartikan sebagai keterhubungan fisik dari elemenelemen jaringan tersebut. Dengan kata lain, topologi dari sebuah jaringan menunjuk kepada cara elemen-elemen jaringan terhubung. Topologi-topologi yang paling umum adalah bus, ring, mesh, dan star (Wibi Hardani, 2004). Bus Topologi bus memiliki bentuk yang serupa dengan arsitektur bus di dalam komputer, yang menghubungkan CPU ke memori utama, ke disk drive, dan berbagai komponen lainnya. Bus merupakan sebuah jalur data sederhana yang terhubung ke semua
Universitas Sumatera Utara

7
perangkat di dalam jaringan, sehingga hanya satu perangkat saja yang dapat menggunakannya pada satu saat tertentu. Ring Secara logika, topologi Ring adalah konfigurasi di mana tiap-tiap terminal hanya dapat mengirimkan data ke terminal tetangga yang berada di posisi sesudahnya, dan menerima data dari terminal tetangga yang berada di posisi sebelumnya. Dengan kata lain, apabila hendak menerima sebuah frame dari terminal tetangga di posisi setelah anda, frame tersebut harus ”berjalan” mengelilingi seluruh cincin, melewati semua terminal yang ada sampai akhirnya sampai kepada anda. Mesh Pada sebuah topology Mesh, Masing-masing node terhubung dengan dua atau lebih node. Ada dua jenis topology Mesh yakni partially connected mesh dan full connected mesh. Pada partially connected mesh, sebuah node mempunyai dua atau lebih tetangga. Untuk full connected mesh, terdapat sebuah link terhubung antara setiap dua node dalam jaringan. Star Dengan konfigurasi star, sebuah perangkat berperan sebagai pusat jaringan dan terhubung ke semua perangkat lainnya, untuk melayani komunikasi di antara perangkatperangkat tersebut. Konfigurasi star atau Bintang seringkali disebut juga sebagai konfigurasi hub and spoke karena bentuknya mirip roda pedalti.
2.1.2 Jenis Jaringan Berdasarkan Luas Daerah yang Diliputi. Topology jaringan berhubungan erat dengan konsep luas jaringan dan pengklasifikasian berdasarkan pada topoloy ini menghasilkan tipe berbeda dari area jaringan (area networks). Alasan untuk hal ini adalah bahwa jaringan menjadi berbeda bentuk dan ukuran. lebih lanjut lagi, luas dari sebuah jaringan mempunyai pengaruh yang signifikan dalam banyak aspek dalam sebuah jaringan. Seperti, faktor bandwidth maksimum dan kecepatan (error rates ).
Dua kelas/jenis penting dari area jaringan adalah Local Area Network (LAN)
Universitas Sumatera Utara

8 dan Wide Area Network(WAN). sebuah LAN adalah sebuah jaringan yang terbatas pada suatu wilayah kecil. Sebaliknya, WAN mencakup daerah yang sangat luas.
2.1.2.1 Local Area Network (LAN). Sebuah jaringan LAN merupakan sebuah jaringan yang terbatas pada suatu daerah kecil. LANs pada umumnya digunakan pada perusahaan untuk menghubungkan computer, server jaringan, printer dan entitas lainnya dalam jaringan. LAN dicirikan oleh beberapa sifat di bawah ini:
• Mempunyai sebuah diameter (jangkauan) dalam beberapa kilometer. • Biasanya milik pribadi dari sebuah perusahaan. • Bandwidthnya dianggap gratis dan oleh karena itu biaya bandwidth bukanlah
sebuah pertimbangan penting. (perhatikan bahwa biaya hanya penting saat jaringan tersebut dibangun. Setelah itu, terlepas dari penggunaan bandwidth, tertentu dan variabel biaya kurang lebihnya akan sama. Oleh karena itu, bandwidth dikatakan menjadi gratis). • LANs dengan kecepatan rendah menyediakan bandwidth 416 Mbs. LANs yang lebih cepat dapat menyediakan bandwidth sampai 100-1000 Mbps.
2.1.2.2 Wide Area Network (WAN). Tidak seperti LAN, sebuah Wide Area Network (WAN) mencakup sebuah daerah yang luas. WANs digunakan terutama untuk menghubungkan lokasi-lokasi yang sangat tersebar. WANs dicirikan oleh beberapa sifat di bawah ini:
• Mempunyai diameter (jangkauan) hingga ribuan kilometer. • jarang dimiliki oleh sebuah perusahaan. • Bandwidthnya sangat mahal. Oleh karena itu, biaya bandwidth memainkan
peranan penting dalam proses pembuatan keputusan.
Universitas Sumatera Utara

• Bandwidthnya berkisar 1-45 Mbps.

9

Untuk melihat perbedaan antara LANs dan WANs perhatikan gambar 2.1 berikut ini

Gambar 2.1 : Wide Area Network dan Local Area Network
2.1.3 Routing. Routing merupakan proses penyampaian paket data dari sumber ke tujuan masingmasing menggunakan elemen dalam jaringan yang disebut Router. Router merupakan perlengkapan yang digunakan memeriksa setiap paket yang datang kepadanya dan meneruskannya sesuai tujuan paket data tersebut.

Universitas Sumatera Utara

10
2.1.3.1 Parameter Jalur. Terdapat beberapa parameter yang dapat menunjukkan bahwa suatu jalur adalah optimal antara lain (Sumit, et.al. 2005.) :
• Jumlah Hop: Salah satu cara sederhana untuk mencari lintasan optimal adalah dengan mencari jumlah router yang diperlukan untuk mencapai tujuan. Lintasan dengan jumlah router terkecil akan dipilih sebagai lintasan optimal. Walaupun sederhana, jumlah hop bukanlah ukuran yang akurat untuk mencari lintasan optimal. Sebuah lintasan dengan 3 router mungkin akan mentransfer data lebih lama daripada lintasan dengan 4 router karena mempunyai kapasitas link yang lebih baik.
• Bandwidth: Beberapa protokol routing menggunakan bandwidth dari link untuk mencari lintasan terbaik. Contohnya, pada Open Shortest Path First (OSPF).
• Delay: Delay menunjuk kepada waktu yang diperlukan untuk menyampaikan paket data dari sumber sampai ke tujuan nya.
• Reliability: Ini menunjuk kepada tingkat kehilangan paket data dalam sebuah lintasan yang diberikan.
• Load: Load dalam hal ini menunjuk kepada tingkat pemakaian link. Suatu link yang terisi mungkin akan menyebabkan delay yang lebih besar, bahkan dalam kasus yang ekstrim, menyebabkan kehilangan paket data.
2.2 Distribusi Normal Boediono dan Wayan Koster. (2004). Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang sangat penting dalam statistik dan banyak dipakai memecahkan persoalan. Distribusi normal disebut juga distribusi Gauss. Distribusi ini sering digunakan untuk menerangkan fenomena alam, industri, perdagangan, tingkat pendapatan masyarakat, dll. Fungsi densitas peluang variabel acak X dengan mean µ dan varian σ2 yang
Universitas Sumatera Utara

berdistribusi normal diberikan sebagai berikut:

n(x; µ, σ) =

√1

e−

1 2σ2

(x−µ)2

σ 2π

dimana µ =mean, σ =standar deviasi, π = 3, 14159..., dan e = 2, 71828

Grafik distribusi normal digambarkan sebagai berikut

11 (2.1)

Gambar 2.2 : Grafik distribusi normal f (x)
Distribusi normal f (x) didefinisikan pada interval terbuka −∞ < x < +∞. Distribusi normal dengan parameter µ dan σ2 biasanya ditulis N (0, 1). Dengan memperhatikan persamaan umum dan grafik distribusi normal f (x), tampak bahwa bentuk kurva normal ditentukan oleh dua parameter, yaitu rata-rata dan simpangan baku. Bila nilai simpangan baku mengecil, maka bentuk kurva akan lebih rapat dan semakin runcing dan sebagian besar nilai x akan berkumpul atau mendekati nilai rata-rata. Sebaliknya semakin besar nilai simpangan baku, maka bentuk kurva akan lebih renggang dan tumpul, dimana sebagian besar nilai-nilai x akan menjauhi nilai rata-rata. Perhatikan gambar berikut

Universitas Sumatera Utara

12

Gambar 2.3 : Sifat grafik distribusi normal
2.2.1 Sifat-sifat Distribusi Normal. Ada beberapa sifat penting dari distribusi normal, yaitu sebagai berikut:
1. Grafik simetri terhadap garis tegak x = µ. 2. Nilai mean, Median dan modus adalah sama/berhimpit. 3. Grafik selalu di atas sumbu X atau f (x) < 0. 4. Mempunyai satu nilai modus. 5. Kurva mempunyai titik belok pada x = µ ± σ, cekung dari bawah bila µ − σ <
X < µ + σ dan cekung dari atas untuk x lainnya. 6. Grafiknya mendekati sumbu X, tetapi tidak akan pernah memotong sumbu X,
sumbu X merupakan garis batas (asimtot). 7. Luas daerah di bawah kurva f (x) dan di atas sumbu X sama dengan 1.

2.2.2 Distribusi Normal Standar.

Sebuah distribusi normal dengan parameter µx = 0 dan σx = 1 disebut distribusi

normal

standar

dan

dinotasikan

N (0, 1).

Dengan

mentranformasikan

Z

=

x−µx σx

maka

diperoleh fungsi densitas dari sebuah variabel Z normal standar sebagai berikut

fz (Z )

=

√1

e−

z2 2

2π

(2.2)

Universitas Sumatera Utara

13
Fungsi distribusi dan variabel Z normal standar sering disimbolkan dengan φ(z). Grafik untuk fungsi densitas normal standar diberikan dalam gambar berikut

Gambar 2.4 : Distribusi normal standar

φ(z1) = p dan z1 = φ−1(p)

Dimana p adalah peluang kumulatif. Fungsi distribusi N (0, 1). Tabel normal standar terlampir. Karena fungsi densitas dari fungsi densitas normal standar adalah simetri di sekitar nilai rata-rata (z = 0), oleh karena itu (Rao. 1977.):

f (−z) = f (z)

(2.3)

φ(−z) = 1 − φ(z)

(2.4)

Dengan cara yang sama, nilai dari z yang bersesuaian dengan p < 0.5 dapat diperoleh

sebagai

z = φ−1(p) = −φ−1(1 − p)

(2.5)

Universitas Sumatera Utara

14
2.2.3 Probabilitas. Rinaldi Munir. Probabilitas distribusi normal f (x) pada interval x1 < X < x2 ditentukan dengan memakai luas daerah di bawah kurva f (x) sebagaimana ditunjukkan pada gambar berikut ini.

Gambar 2.5 : Probabilitas x1 < X < x2

Pada gambar , probabilitas P (x1 < x < x2) ditunjukkan oleh luas daerah yang diarsir, yang dibatasi oleh kurva f (x), sumbu X, garis tegak X = x1, dan X = x2. Oleh karena f (x) merupakan fungsi kontinu, maka probabilitas P (x1 < X < x2) dengan memakai integral dari fungsi f (x) yang dibatasi oleh x = x1 danx = x2 yaitu:

P (x1 < X < x2) =

x2 x1

f

(x)dx

=

x2 x1

e dx√1
σ 2π

−

1 2

x−µ σ

akan tetapi, secara matematis bentuk integral dari fungsi f (x) tersebut sulit dipecahkan secara langsung dengan teknik integral. Oleh karena itu, penyelesainnya dilakukan dengan memakai transformasi nilai-nilai X menjadi nilai-nilai baku Z. Sehingga diperoleh fungsi distribusi normal Z, probabilitas nilai-nilai Z pada interval z1 < Z < Z2 dapat dihitung dengan rumus berikut.

P (z1 < Z < z2) =

z2 z1

f (z)dz

=

z2 z1

√1 2π

e−

1 2

z2

dz

Berdasarkan integral dari fungsi distribusi normal standar tersebut, probabilitas P (z1 < Z < z2) dihitung dengan memakai tabel distribusi normal standar.
Contoh 2.1 Variabel X berdistribusi normal dengan mean 50 dan standar deviasi 10. Carilah

Universitas Sumatera Utara

probabilitas untuk menemukan nilai X bernilai antara 45 dan 62?
Dari soal µ = 50 dan σ = 10, x1 = 45 dan x2 = 62 dengan mereduksi nilai x ke z, diperoleh

sehingga

z1

=

(x1 − µ) σ

=

45 − 50 10

=

−0.5

z2

=

(x2 − µ) σ

=

62 − 50 10

=

1.2

P (45 < x < 62) = P (−0.5 < z < 1.2) P (−0.5 < z < 1.2) = P (z < 1.2) − P (z < −0.5)
= 0.8849 − 0.3085 = 0.5764

15

2.3 Chance Constrained Programming

Merupakan teknik kedua dari program stokastik yang dikembangkan oleh Charnes dan Cooper, seperti yang dinyatakan dari namanya program chance constrained adalah satu teknik yang bisa dipakai untuk menyelesaikan persoalan yang mengandung kendala peluang, kendala tersebut mempunyai peluang terbatas tertentu untuk dilanggar. Program chance constrained ini memperbolehkan kendala untuk dilanggar oleh sebuah peluang tertentu (peluang kecil) dimana teknik lain tidak ada.

Rao. (1977). Bentuk umum progam chance constrained Programming dari persoalan program linier stokastik dapat dirumuskan sebagai berikut:

Minimize

n
f (x) = cjxj
j=1

(2.6)

Universitas Sumatera Utara

16

dengan kendala

n
P aijxj ≤ bi ≥ pi, i = 1, 2, ..., m
j=i
xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n

(2.7) (2.8)

dimana cj, aij, dan bi adalah variabel acak dan pi adalah peluang tertentu. Perhatikan bahwa persamaan 2.7 menunjukkan bahwa kendala ke-i

n
aijxj ≤ bi
j=i

(2.9)

harus dipenuhi dengan sebuah peluang dari setidaknya pi dimana 0 ≤ pi ≤ 1. Untuk penyederhanaan asumsikan bahwa variabel keputusan xj adalah deterministik. Akan dimisalkan kasus dimana hanya cj atau aij atau bi adalah variabel acak. Diasumsikan bahwa semua variabel acak adalah berdistribusi normal dengan mean dan standar

deviasi diketahui.

2.3.1 Untuk Hanya aij yang Variabel Acak.

Misalkan

a¯ij

dan

Var

(aij )

=

σ2
aij

merupakan

rata-rata

dan

varians

dari

distribusi

normal variabel acak aij. Asumsikan bahwa distribusi multivariat dari aij, i =

1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, juga diketahui dengan covarian, Cov(aij, akl) antara vari-

abel acak aij dan akl. Definisikan jumlah di sebagai

n
di = aijxj, i = 1, 2, ..., m
j=i

(2.10)

Karena ai1, ai2,...ain berdistribusi normal, dan x1, x2, ..., xn merupakan konstan, di juga akan berdistribusi normal dengan nilai rata-rata

n
d¯i = a¯ijxj, i = 1, 2, ..., m
j=1

(2.11)

dan sebuah varian dari

V ar(di) = σd2i = XT ViX

(2.12)

Universitas Sumatera Utara

Dimana Vi adalah matriks covarian ke-i didefinisikan sebagai



 V ar(aij) Cov(ai1, a12) · · · Cov(ai1, ain) 





 

Cov(ai2, ai1)

Vi

=

 





...

V ar(ai2) ...

···

Cov(ai2, ain)

 



...

...

  





 Cov(ain, ai1) Cov(ain, ai2) · · · V ar(ain)

maka kendala dapat diperlihatkan sebagai

P [di ≤ bi] ≥ pi

17 (2.13) (2.14)

P

di − d¯i ≤ V ar(di)

bi − d¯i V ar(di)

≥ pi, i = 1, 2, ..., m

(2.15)

dimana {di − d¯i/ V ar(di)}dapat dipandang sebagai sebuah variabel normal standar

dengan sebuah rata-rata nol dan sebuah varian satu. Oleh karena itu peluang di lebih

kecil atau samadengan bi dapat dituliskan sebagai

P [di ≤ bi] = φ

bi − d¯i V ar(di)

(2.16)

Dimana φ(x) menunjukkan fungsi kumulatif distribusi dari distribusi normal standar

terhadap x. Jika ei menunjukkan nilai dari variabel normal standar dimana

φ(ei) = pi

(2.17)

maka kendala pada persamaan 2.15 dapat dinyatakan sebagai

φ

bi − d¯i V ar(di)

≥ φ(ei), i = 1, 2, ..., m

pertidaksamaan tersebut akan terpenuhi hanya jika

bi − d¯i V ar(di)

≥ ei

atau,

d¯i + ei V ar(di) − bi ≤ 0, i = 1, 2, ..., m

Dengan mensubsitusikan persamaan 2.11 dan 2.12 , diperoleh
n
a¯ijxj + ei XT ViX − bi ≤ 0, i = 1, 2, ..., m
j=1

(2.18) (2.19) (2.20) (2.21)

Universitas Sumatera Utara

18

Oleh karena itu solusi dari persoalan program stokastik yang ditunjukkan pada persamaan 2.6 dan 2.7 dapat diperoleh dengan menyelesaikan persoalan program deterministik berikut

Minimize dengan kendala

n
f (X) = cjxj
j=1
n
a¯ijxj + ei XT ViX − bi ≤ 0, i = 1, 2, ..., m
j=i
xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n

(2.22)
(2.23) (2.24)

Jika distribusi normal variabel acak aij adalah adalah saling bebas, maka covarian akan menjadi nol dan persamaan 2.13 bereduksi menjadi sebuah matriks diagonal



 V ar(aij) 0 · · ·

0 









Vi

=

 





0 ...

V ar(ai2) · · · ... . . .

0

 



...

  





 0

 0 · · · V ar(ain)

Dalam kasus ini, kendala dari persamaan 2.21 diturunkan menjadi

n
a¯ijxj + e
j=i

n
[V ar(aij)x2j ] − bi ≤ 0, i = 1, 2, ..., m
j=i

(2.25)

2.3.2 Untuk Hanya bi yang Variabel Acak. Misalkan ¯bi dan V ar(bi) menunjukkan rata-rata dan varian dari distribusi normal variabel acak bi. Kendala dari persamaan 2.7 dapat dinyatakan kembali den-

Universitas Sumatera Utara

gan

n
P aijxj ≤ bi
j=i

=P

n j=1

aij

xj

− bi

≤

bi − ¯bi

V ar(bi)

V ar(bi)

=P

bi − ¯bi ≥ V ar(bi)

n j=1

aij xj

−

¯bi

V ar(bi)

≥ pi

i = 1, 2, ..., m

19

(2.26)

Dimana [bi − ¯bi/ V ar(bi)] adalah sebuah variabel normal standar dengan rata-rata

nol dan varian satu. Pertidaksamaan 2.26 dapat dinyatakan sebagai

1−P

bi − ¯bi ≤ V ar(bi)

n j=1

aij xj

− ¯bi

V ar(bi)

≥ Pi, i = 1, 2, ..., m

(2.27)

atau,

P

bi − ¯bi ≤ V ar(bi)

n j=1

aij xj

−

¯bi

V ar(bi)

≤ 1 − pi, i = 1, 2, ..., m

Jika ei menunjukkan nilai dari variabel normal standar dimana

(2.28)

φ(ei) = 1 − pi

kendala pada persamaan 2.28 dapat diperlihatkan sebagai

φ

n j=1

aij xj

−

¯bi

V ar(bi)

≤ φ(ei), i = 1, 2, ..., m

(2.29)

pertidaksamaan tersebut akan terpenuhi hanya jika

n j=1

aij xj

− ¯bi

V ar(bi)

≤

ei, i

=

1, 2, ..., m

(2.30)

atau,

n
aijxj − ¯bi − ei V ar(bi) ≤ 0, i = 1, 2, ...m
j=1

(2.31)

Oleh karena itu program stokastik linier pada persamaan 2.6 sampai 2.8 adalah sama

dengan persoalan linier program deterministik di bawah ini:

Minimize

n
f (X) = cjxj
j=1

(2.32)

Universitas Sumatera Utara

20

dengan kendala dan

n
aijxj − ¯bi − ei V ar(bi) ≤ 0, i = 1, 2, ...m
j=1
xj ≤ 0, j = 1, 2, ..., n

(2.33) (2.34)

Contoh 2.2 Sebuah perusahaan memproduksi dua bagian mesin menggunakan mesin Lathes, mesin milling dan dan mesin grinding. Waktu operasi mesin yang diperbolehkan per minggu pada mesin yang berbeda dan keuntungan dari masing-masing bagian mesin diberikan dibawah ini. Jika waktu operasi yang diperbolehkan pada tiap-tiap mesin adalah berdistribusi normal dengan parameter yang diberikan pada tabel 2.1. Tentukan jumlah dari bagian mesin I dan II yang akan diproduksi perminggu untuk memaksimalkan keuntungan. fungsi kendala harus dipenuhi dengan seubah peluang setidaknya 0.99 .

Universitas Sumatera Utara

21 Tabel 2.1 : Waktu operasi mesin dan parameter-parameter distribusi normal nya

Tipe Mesin

Waktu proses yang diperlukan untuk satu bagian(menit)

Lathes Milling Grinding Profit per unit (Rs)

Part I a11 = 10 a21 = 4 a31 = 1 c1 = 50

Part II a12 = 5 a22 = 10 a32 = 1.5 c2 = 100

Waktu operasi maksimum per minggu (menit)

Mean
¯b1 = 2500 ¯b2 = 2000 ¯b3 = 450

Standar Deviasi σb1 = 500 σb2 = 400 σb3 = 50

Misalkan jumlah dari bagian mesin I dan II diproduksi per minggu sebagai x1 dan x2, nilai variabel normal standar (ei) pada (ei) = 1 − pi = 1/100 tidak dapat didapat langsung dari tabel lampiran A secara langsung. tetapi, perhatikan bahwa ei < 0.0 karena 1 − pi < 0.5 dan oleh karena itu
φ(−ei) = 1 − φ(ei) = 0.99.
sesuai dengan pi = 0.99, dari tabel diperoleh bahwa ei = −2.33. Oleh karena itu pertidaksamaan yang memenuhi dapat ditunjukkan dari persamaan 2.31 sebagai:

10x1 + 5x2 − 2500 − (−2.33)(500) ≤ 0 4x1 + 10x2 − 2000 − (−2.33)(400) ≤ 0
x1 + 1.5x2 − 450 − (−2.33)(50) ≤ 0
Persoalan persamaan deterministik program linier sekarang dapat ditetapkan, menggunakan persamaan 2.31 sampai 2.33 sebagai: Maksimum

dengan kendala

f = 50x1 + 100x2

10x1 + 5x2 − 1335 ≤ 0

Universitas Sumatera Utara

4x1 + 10x2 − 1068 ≤ 0 x1 + 1.5x2 − 333.5 ≤ 0
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

22

Solusi dari program linier di atas dapat diperoleh dengan menggunakan metode grafik atau metode simpleks

2.3.3 Untuk Hanya cj yang Variabel Acak.

Karena cj merupakan variabel acak berdistribusi normal, maka fungsi objektif f (X)

juga akan menjadi variabel acak berdistribusi normal. Rata-rata dan varian dari f

diberikan sebagai berikut dan

n
f¯ = c¯jxj
j=1

(2.35)

V ar(f ) = XT V X

(2.36)

Dimana c¯j adalah nilai rata-rata dan matriks V adalah matriks covarian dari cj didefinisikan sebagai



 V ar(c1) Cov(c1, c2) · · · Cov(c1, cn) 





 

Cov(c2, c1)

V =

  

...

V ar(c2) ...

···

Cov(c2, cn)

 



...

...

  





 Cov(cn, c1) Cov(cn, c2) · · · V ar(cn)

(2.37)

Dengan V ar(cj) dan Cov(ci, cj) menunjukkan varian dari cj dan covarian antara ci dan cj.

Fungsi objektif deterministik baru untuk minimasi dapat diformulasikan sebagai

F (X) = k1f¯ + k2 V ar(f )

(2.38)

Dimana k1 dan k2 adalah konstanta positif yang nilai nya menunjukkan relative importance dari f¯ dan standar deviasi dari f untuk meminimasi. Oleh karena itu k2 = 0 menunjukkan bahwa nilai harapan dari f diminimalkan tanpa memperhatikan standar

Universitas Sumatera Utara

23

deviasi dari f . Sebaliknya,jika k1 = 0, itu menunjukkan bahwa perlu meminimalkan variabilitas dari f disekitar nilai rata-rata nya tanpa memperhatikan apa yang terjadi dengan nilai rata-rata f . Demikian pula, jika k1 = k2 = 1, ini menunjukkan bahwa adanya kepentingan yang sama pada minimasi dari nilai rata-rata dan standar deviasi dari f .

Oleh karena itu solusi dari persoalan program linier stokastik yang dinyatakan pada persamaan 2.6 sampai 2.7 dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan program nonlinier deterministik :

Minimize dengan kendala

n√ f (x) = k1 c¯jxj + k2 XT V X
j=1
n
aijxj − bi ≤ 0, i = 1, 2, ..., m
j=1
xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n

(2.39)
(2.40) (2.41)

Jika semua varibel acak cj adalah saling bebas, maka fungsi objektif direduksi menjadi

n
f (x) = k1 c¯jxj + k2
j=1

n
V ar(cj)xj2
j=1

(2.42)

Setelah itu Liu mengembangkan CCP dalam permasalahan yang tidak hanya kendala stokastik tetapi juga fungsi tujuan stokastik . misalkan x sebuah vektor keputusan, ξ sebuah vektor stokastik, f (x, ξ) adalah fungsi hasil, dan gj(x, ξ) adalah fungsi kendala stokastik, j = 1, 2..., p. karena kendala stokastik gj(x, ξ) ≤ 0, j = 1, 2, ..., p tidak menetapkan sebuah himpunan penyelesaian deterministik yang feasible, maka perlu memberikan kendala stokastik sebuah tingkat jaminan α. Oleh karena itu diperoleh sebuah kendala peluang seperti berikut (Liu B. 2009),

P r{gj(x, ξ) ≤ 0, j = 1, , ..., p} ≥ α

(2.43)

ini disebut dengan sebuah kendala peluang gabungan

Definisi 2.1: Titik x disebut feasible jika dan hanya jika tingkat peluang dari kejadian {gj(x, ξ) ≤ 0, j = 1, 2, ..., p} setidaknya α.

Universitas Sumatera Utara

24

Dengan kata lain, kendala tersebut akan dilanggar paling banyak (1 − α) kali. terkadang, kendala peluang gabungan dipisah sebagai

P r{gj(x, ξ) ≤ 0} ≥ α, j = 1, , ..., p

(2.44)

2.3.4 Maximax Program Chance Constrained.

Dalam lingkungan stokastik, dalam tujuan untuk memaksimalkan hasil optimistik

dengan memberikan sebuah tingkat jaminan terhadap kendala peluang, Liu mem-

berikan CCP berikut ini:

max maxf¯

(2.45)

dengan kendala

Pr{f (x, ξ) ≥ f¯} ≥ β

(2.46)

Pr{gj(x, ξ) ≤ 0, j = 1, 2, ..., p} ≥ α

(2.47)

Dimana α dan β adalah tingkat jaminan, dan maxf¯ adalah β-optimistic return

2.3.5 Minimax Chance Constrained Programming.
Dalam lingkungan stokastik, untuk memaksimalkan pessimistic return dengan sebuah tingkat jaminan yang diberikan pada kendala peluang, Liu menyediakan model minimax CCP dibawah ini:

Universitas Sumatera Utara

25

max minf¯

(2.48)

dengan kendala:

Pr{f (x, ξ) ≤ f¯} ≥ β

(2.49)

Pr{gj(x, ξ) ≤ 0, j = 1, 2, ..., p} ≥ α

(2.50)

Dimana α dan β adalah tingkat jaminan, dan maxf¯ adalah β-optimistic return

Persamaan Deterministik Dalam mencari penyelesaian akhir dari CCP diperlukan mengubah kendala peluang ke dalam masing-masing persamaan deterministiknya. Seperti yang diketahui, proses ini biasanya sulit dan hanya berhasil untuk beberapa kasus saja. Misalkan dibawah ini formula dari kendala peluang,

P r{g(x, ξ) ≤ 0} ≥ α.

(2.51)

Theorema 1 Asumsikan bahwa vektor stokastik ξ degenerates menjadi sebuah variabel acak ξ dengan distribusi peluang φ, dan fungsi g(x, ξ) mempunyai formula g(x, ξ) = h(x) − ξ. Maka P r{g(x, ξ) ≤ 0} ≥ α jika dan hanya jika h(x) ≤ Kα, dimana Kα adalah bilangan terbesar sehingga P r{Kα ≤ ξ} ≥ α.
Bukti: Asumsi tersebut secara tidak langsung menyatakan bahwa P r{Kα ≤ ξ} ≥ α dapat dituliskan denggan formula di bawah ini,
P r{h(x) ≤ ξ} ≥ α
Untuk setiap tingkat jaminan α(0 < α < 1), Misal Kα merupakan bilangan terbesar sehingga
P r{Kα ≤ ξ} ≥ α
Perhatikan bahwa peluang P r{Kα ≤ ξ} akan meningkat jika Kα diganti dengan sebuah bilangan yang lebih kecil. Oleh karena itu P r{Kα ≤ ξ} ≥ α jika dan hanya jika h(x) ≤ Kα.

Universitas Sumatera Utara

26
Remark 1: Untuk varibel acak kontinu ξ, persamaan P r{Kα ≤ ξ} = 1−φ(Kα)selalu tetap, dan diperoleh,

Kα = φ−1(1 − α)

Dimana φ−1 adalah fungsi invers dari φ

Contoh 2.3 Asumsikan bahwa dibawah ini kendala peluang,



  

P r{3x1

+

4x2

≤

ξ1}

≥

0.8

  

P r{x21

+ x32

≤

ξ2}

≥

0.9

Dimana ξ1 adalah variabel acak berdistribusi eksponensial Exp(2) dengan distribusi peluang dinotasikan dengan φ1, dan ξ2 adalah variabel acak berdistribusi normal N (2, 1) dengan peluang distribusi dinotasikan φ2. Memakai formula pada teorema 1 bahwa kendala peluang di atas samadengan



  

P r{3x1

+

4x2

≤

φ1−1(1 − 0.8)

=

0.446

  

P r{x21

+

x32

≤

φ−2 1(1

−

0.9)

=

0.719

Universitas Sumatera Utara

BAB 3 PEMBAHASAN

Pada Bab ini penulis akan membahas model matematika chance constrained programming untuk perencanaan jaringan dengan permintaan acak. Untuk menguji model yang ada penulis akan mencoba memakai model tersebut dalam menyelesaikan contoh . Karena kesulitan dalam mengambil contoh kasus nyata, Maka dalam tulisan ini penulis menggunakan contoh pemisalan saja.

3.1 Model Umum CCP untuk Jaringan

Misalkan N himpunan variabel acak, dinotasikan dengan ξi. Misalkan xi merupakan

variabel keputusan yang dihubungkan dengan biaya ci. Dalam sebuah konteks jari-

ngan, xi dapat menunjukkan kapasitas atau bandwidth yang dialokasikan pada link i

dalam batas bi. Andaikan bahwa bandwidth tersebut dapat digunakan untuk mem-

bawa beberapa permintaan acak dengan beberapa nilai peluang tertentu, sebuah for-

mulasi sederhana dari CCP yang diberikan oleh Koonlachat

Meesublak. 2008. Adalah sebagai berikut:

Dengan kendala:

N
min cixi
i=1

(3.1)

P (xi ≥ ξi) ≥ αi, ∀i = 1, ..., N

(3.2)

xi ≤ bi, ∀i = 1, ..., N

(3.3)

xi ≥ 0, ∀i = 1, ..., N

(3.4)

dimana 0 ≤ αi ≤ 1. Kendala 3.2 merupakan kendala peluang digunakan untuk memastikan bahwa kapasitas atau bandwidth yang dialokasikan pada link i adalah lebih besar atau sama dengan sebuah parameter tak pasti ξi untuk peluang setidaknya αi. Dengan kata lain, model tersebut memperbolehkan kendala tersebut dapat dilanggar sampai dengan sebuah batas peluang kurang dari (1 − αi), hal ini dapat

Universitas Sumatera Utara

28

dimasukkan dalam model untuk memastikan permintaan acak dapat dibawa dengan sebuah tingkat jaminan sebesar α.
Kendala dari persamaan 3.2, yakni

P (x ≥ ξ) ≥ α

(3.5)

dapat diubah kedalam sebuah persamaan deterministik. Misalkan bahwa sebuah

variabel acak ξ mempunyai sebuah distribusi kumulatif φ(.) dan transformasi invers

nya φ−1(.). Misalkan φ−1(α) = K. Oleh karena itu, P (K ≥ ξ) = α. Adalah benar

bahwa P (x ≥ ξ) ≥ α jika dan hanya jika x ≥ K. Dalam tulisan ini, dimisalkan bahwa

trafik permintaan ξ adalah berdistribusi normal dengan rata-rata (µ) dan varian (σ2).

Dengan standarisasi pertidaksamaan 3.5 menggunakan unit normal variabel acak z,

diperoleh

P

(

x−µ σ

≥

z)

≥

α

jika

dan

hanya

jika

x−µ σ

≥

φ−1(α),

atau

dapat

dituliskan

sebagai

x ≥ µ + φ−1(α)σ

(3.6)

Ini merupakan persamaan deterministik dari kendala peluang dari 3.5, per-

samaan ini dapat diartikan sebagai berikut. Untuk menjamin bahwa link dapat

mendukung/menyangga permintaan acak setidaknya 100(α)%, perlu mengalokasikan

bandwidth setidaknya sebanyak φ−1(α)σ diatas rata-rata (µ) dari permintaan. Jadi

minimal bandwidth yang harus dialokasikan pada sebuah link dengan tingkat jaminan

α adalah

x = µ + φ−1(α)σ

(3.7)

3.2 Model Matematika Perencanaan Jaringan dengan CCP
Akan dicoba mengembangkan sebuah model matematika programming didasarkan pada CCP. Misalkan penulis ingin menentukan jumlah bandwidth yang harus dialokasikan pada link j, asumsikan bahwa link tersebut membawa trafik permintaan ξ1, ..., ξK, dengan masing-masing berdistribusi normal dengan rata-rata µk dan varian σk2, k = 1, ..., K, masing-masing permintaan mempunyai tingkat jaminan tertentu (αk). Dengan kata lain, tiap trafik permintaan akan dijamin sebesar αk sepanjang

Universitas Sumatera Utara

29

lintasan dari sumber sampai ke tujuan. Didasarkan pada persamaan 3.7 yang telah

diperoleh, maka total bendwidth untuk memenuhi semua trafik permintaan pada link

tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:

K
xj = µk + φ−1(αk)σk
k=1

(3.8)

Berikut contoh jumlah bandwidth yang harus dialokasikan untuk sebuah link sepasang node, dicari meliputi tiga tipe pendekatan, yakni: berdasarkan rata-rata, berdasarkan nilai maksimum, dan berdasarkan jaminan statistika yang dibahas dalam tulisan ini. Misalkan dari beberapa permintaan diperoleh rata-rata permintaan adalah 225 Mbps, dan nilai maksimum adalah 342 Mbps, sedangkan standar deviasinya adalah 25 Mbps. Misalkan tingkat jaminannya (α) = 0.95. Maka

α = 0.95, maka φ−1(0.95) = 1.645

Misal banyak trafik permintaan : ξ1, ξ2, ..., ξ10 dengan distribusi dan parameter yang sama

K

Xj =

µ + φ−1(αk)σk

k=1

= 10 ∗ 225 + φ−1(0.95)25 ∗ 10

= 2250 + 1.645 ∗ 25 ∗ 10

= 2250 + 411.25

= 2661.25

Jadi dapat dibuat tabel berikut perhitungan pengalokasian bandwidth untuk satu link sepasang node

Universitas Sumatera Utara

30 Tabel 3.1 : Perhitungan pengalokasian bandwidth untuk sebuah link sepasang node

NO Jenis Tingkat jaminan Bandwidth untuk

Pengalokasian

10

permintaan(Mbps)

1 Nilai Rata- tingkat rata-rata 2250.00 rata

2 Jaminan statistika

0.95 2661.25

3 Jaminan statistika

0.99 2831.50

4 Jaminan statistika

99.9 3022.50

5 Nilai Maksi- Nilai Maksimum 3420.00 mum

Bandwidth untuk 200
permintaan (Mbps 45000.00
53225.00
56630.00
60450.00
68400.00

Koonlachat Meesublak. (2008). Memberikan suatu formulasi CCP untuk perencanaan jaringan dengan permintaan acak. Misalkan sebuah jaringan didefinisikan sebagai sebuah graph (N , A), dimana N merupakan himpunan dari node, dan A merupakan himpunan dari link. Notasi yang digunakan adalah sebagai berikut:
• D menunjukkan kumpulan trafik permintaan dari titik-ke-titik. Dengan masingmasing rata-rata µ dan varian σk2.
• Pk menunjukkan himpunan calon lintasan dari permintaan k ∈ D.
• cj menunjukkan biaya per unit bandwidth pada link j ∈ A.
• αk menunjukkan tingkat jaminan untuk permintaan k ∈ D.
• Wj menunjukkan batas bandwidth yang diperbolehkan pada link j ∈ A.
• f k,p menunjukka