Perencanaan Jaringan dengan Permintaan Acak Menggunakan Chance Constrained Programming

  BAB 2 DASAR TEORI

  2.1 Jaringan Komunikasi Jaringan komunikasi dapat dipandang sebagai sebuah keterhubungan dari entitas- entitas komunikasi. Entitas komunikasi dapat diartikan sebagai sebuah entitas yang berdiri sendiri dan terlibat dalam sebuah proses komunikasi. Komputer, laptop, dan telepon merupakan contoh dari entitas komunikasi. Sebuah jaringan komunikasi mungkin mengandung komputer, tetapi ini bukan berarti bahwa jaringan komunikasi adalah sama dengan jaringan komputer.

  Pada hakekatnya, sebuah jaringan komputer hanya salah satu bentuk dari ja- ringan komunikasi, sebuah jaringan komputer pada dasarnya berarti sebuah keter- hubungan dari beberapa komputer. Sedangkan, istilah jaringan komunikasi digu- nakan dalam arti yang lebih luas. Sekarang ini, dunia bergerak kepada jaringan yang terintegrasi. Telepon, smartTV dan komputer bisa terhubung dengan jaringan yang sama. Oleh karena itu, adalah lebih baik menyatakan jaringan saat ini sebagai sebuah jaringan komunikasi, lebih dari sebuah jaringan komputer.

  2.1.1 Topologi Jaringan. Topologi dari sebuah jaringan diartikan sebagai keterhubungan fisik dari elemen- elemen jaringan tersebut. Dengan kata lain, topologi dari sebuah jaringan menunjuk kepada cara elemen-elemen jaringan terhubung. Topologi-topologi yang paling umum adalah bus, ring, mesh, dan star (Wibi Hardani, 2004).

  Bus Topologi bus memiliki bentuk yang serupa dengan arsitektur bus di dalam komputer, yang menghubungkan CPU ke memori utama, ke disk drive, dan berbagai kompo- nen lainnya. Bus merupakan sebuah jalur data sederhana yang terhubung ke semua perangkat di dalam jaringan, sehingga hanya satu perangkat saja yang dapat meng- gunakannya pada satu saat tertentu.

  Ring Secara logika, topologi Ring adalah konfigurasi di mana tiap-tiap terminal hanya dapat mengirimkan data ke terminal tetangga yang berada di posisi sesudahnya, dan menerima data dari terminal tetangga yang berada di posisi sebelumnya. Dengan kata lain, apabila hendak menerima sebuah frame dari terminal tetangga di posisi setelah anda, frame tersebut harus ”berjalan” mengelilingi seluruh cincin, melewati semua terminal yang ada sampai akhirnya sampai kepada anda.

  Mesh Pada sebuah topology Mesh, Masing-masing node terhubung dengan dua atau lebih node. Ada dua jenis topology Mesh yakni partially connected mesh dan full connect- ed mesh

  . Pada partially connected mesh, sebuah node mempunyai dua atau lebih tetangga. Untuk full connected mesh, terdapat sebuah link terhubung antara setiap dua node dalam jaringan. Star Dengan konfigurasi star, sebuah perangkat berperan sebagai pusat jaringan dan ter- hubung ke semua perangkat lainnya, untuk melayani komunikasi di antara perangkat- perangkat tersebut. Konfigurasi star atau Bintang seringkali disebut juga sebagai konfigurasi hub and spoke karena bentuknya mirip roda pedalti.

  2.1.2 Jenis Jaringan Berdasarkan Luas Daerah yang Diliputi. Topology jaringan berhubungan erat dengan konsep luas jaringan dan pengklasi- fikasian berdasarkan pada topoloy ini menghasilkan tipe berbeda dari area jaringan (area networks). Alasan untuk hal ini adalah bahwa jaringan menjadi berbeda bentuk dan ukuran. lebih lanjut lagi, luas dari sebuah jaringan mempunyai pengaruh yang signifikan dalam banyak aspek dalam sebuah jaringan. Seperti, faktor bandwidth maksimum dan kecepatan (error rates ).

  Dua kelas/jenis penting dari area jaringan adalah Local Area Network (LAN) dan Wide Area Network(WAN). sebuah LAN adalah sebuah jaringan yang terbatas pada suatu wilayah kecil. Sebaliknya, WAN mencakup daerah yang sangat luas.

  2.1.2.1 Local Area Network (LAN). Sebuah jaringan LAN merupakan sebuah jaringan yang terbatas pada suatu daer- ah kecil. LANs pada umumnya digunakan pada perusahaan untuk menghubungkan computer, server jaringan, printer dan entitas lainnya dalam jaringan. LAN dicirikan oleh beberapa sifat di bawah ini:

• Mempunyai sebuah diameter (jangkauan) dalam beberapa kilometer.
• Biasanya milik pribadi dari sebuah perusahaan.
• Bandwidthnya dianggap gratis dan oleh karena itu biaya bandwidth bukanlah sebuah pertimbangan penting. (perhatikan bahwa biaya hanya penting saat jaringan tersebut dibangun. Setelah itu, terlepas dari penggunaan bandwidth, tertentu dan variabel biaya kurang lebihnya akan sama. Oleh karena itu, band- width dikatakan menjadi gratis).
• LANs dengan kecepatan rendah menyediakan bandwidth 416 Mbs. LANs yang lebih cepat dapat menyediakan bandwidth sampai 100-1000 Mbps.

  2.1.2.2 Wide Area Network (WAN). Tidak seperti LAN, sebuah Wide Area Network (WAN) mencakup sebuah daerah yang luas. WANs digunakan terutama untuk menghubungkan lokasi-lokasi yang san- gat tersebar. WANs dicirikan oleh beberapa sifat di bawah ini: • Mempunyai diameter (jangkauan) hingga ribuan kilometer.

• jarang dimiliki oleh sebuah perusahaan.
• Bandwidthnya sangat mahal. Oleh karena itu, biaya bandwidth memainkan peranan penting dalam proses pembuatan keputusan.

• Bandwidthnya berkisar 1-45 Mbps.

  Untuk melihat perbedaan antara LANs dan WANs perhatikan gambar 2.1 berikut ini

Gambar 2.1 : Wide Area Network dan Local Area Network 2.1.3 Routing.

  Routing merupakan proses penyampaian paket data dari sumber ke tujuan masing- masing menggunakan elemen dalam jaringan yang disebut Router. Router merupakan perlengkapan yang digunakan memeriksa setiap paket yang datang kepadanya dan meneruskannya sesuai tujuan paket data tersebut.

  2.1.3.1 Parameter Jalur. Terdapat beberapa parameter yang dapat menunjukkan bahwa suatu jalur adalah optimal antara lain (Sumit, et.al. 2005.) :

• Jumlah Hop: Salah satu cara sederhana untuk mencari lintasan optimal adalah dengan mencari jumlah router yang diperlukan untuk mencapai tujuan. Lintasan dengan jumlah router terkecil akan dipilih sebagai lintasan optimal. Walaupun sederhana, jumlah hop bukanlah ukuran yang akurat untuk mencari lintasan optimal. Sebuah lintasan dengan 3 router mungkin akan mentransfer data lebih lama daripada lintasan dengan 4 router karena mempunyai kapasitas link yang lebih baik.
• Bandwidth: Beberapa protokol routing menggunakan bandwidth dari link untuk mencari lintasan terbaik. Contohnya, pada Open Shortest Path First (OSPF).
• Delay: Delay menunjuk kepada waktu yang diperlukan untuk menyampaikan paket data dari sumber sampai ke tujuan nya.
• Reliability: Ini menunjuk kepada tingkat kehilangan paket data dalam sebuah lintasan yang diberikan.
• Load: Load dalam hal ini menunjuk kepada tingkat pemakaian link. Suatu link yang terisi mungkin akan menyebabkan delay yang lebih besar, bahkan dalam kasus yang ekstrim, menyebabkan kehilangan paket data.

  2.2 Distribusi Normal Boediono dan Wayan Koster. (2004). Distribusi normal merupakan distribusi kon- tinu yang sangat penting dalam statistik dan banyak dipakai memecahkan persoalan.

  Distribusi normal disebut juga distribusi Gauss. Distribusi ini sering digunakan untuk menerangkan fenomena alam, industri, perdagangan, tingkat pendapatan masyarakat,

  2

  dll. Fungsi densitas peluang variabel acak X dengan mean µ dan varian σ yang berdistribusi normal diberikan sebagai berikut: _{1 2}

  1 _{− (x−µ) 2σ2} n(x; µ, σ) = e (2.1) √

  σ 2π dimana µ =mean, σ =standar deviasi, π = 3, 14159..., dan e = 2, 71828 Grafik distribusi normal digambarkan sebagai berikut

Gambar 2.2 : Grafik distribusi normal f (x) Distribusi normal f (x) didefinisikan pada interval terbuka −∞ < x < +∞.

  2 Distribusi normal dengan parameter µ dan σ biasanya ditulis N (0, 1). Dengan

  memperhatikan persamaan umum dan grafik distribusi normal f (x), tampak bahwa bentuk kurva normal ditentukan oleh dua parameter, yaitu rata-rata dan simpangan baku. Bila nilai simpangan baku mengecil, maka bentuk kurva akan lebih rapat dan semakin runcing dan sebagian besar nilai x akan berkumpul atau mendekati nilai rata-rata. Sebaliknya semakin besar nilai simpangan baku, maka bentuk kurva akan lebih renggang dan tumpul, dimana sebagian besar nilai-nilai x akan menjauhi nilai rata-rata. Perhatikan gambar berikut

Gambar 2.3 : Sifat grafik distribusi normal 2.2.1 Sifat-sifat Distribusi Normal.

  Ada beberapa sifat penting dari distribusi normal, yaitu sebagai berikut: 1. Grafik simetri terhadap garis tegak x = µ.

  2. Nilai mean, Median dan modus adalah sama/berhimpit.

  3. Grafik selalu di atas sumbu X atau f (x) &lt; 0.

  4. Mempunyai satu nilai modus.

  6. Grafiknya mendekati sumbu X, tetapi tidak akan pernah memotong sumbu X, sumbu X merupakan garis batas (asimtot).

  7. Luas daerah di bawah kurva f (x) dan di atas sumbu X sama dengan 1.

  2.2.2 Distribusi Normal Standar. Sebuah distribusi normal dengan parameter µ x = 0 dan σ x = 1 disebut distribusi normal standar dan dinotasikan N (0, 1). Dengan mentranformasikan Z =

  x−µ ^x _{σ x}

  maka diperoleh fungsi densitas dari sebuah variabel Z normal standar sebagai berikut f z (Z) =

  1 √

  2π e ^{− z2 2} (2.2) Fungsi distribusi dan variabel Z normal standar sering disimbolkan dengan φ(z). Grafik untuk fungsi densitas normal standar diberikan dalam gambar berikut

Gambar 2.4 : Distribusi normal standar

  −1

  φ(z

  1 ) = p dan z 1 = φ (p)

  Dimana p adalah peluang kumulatif. Fungsi distribusi N (0, 1). Tabel normal standar terlampir. Karena fungsi densitas dari fungsi densitas normal standar adalah simetri di sekitar nilai rata-rata (z = 0), oleh karena itu (Rao. 1977.):

  (2.3) f (−z) = f(z) (2.4)

  φ(−z) = 1 − φ(z) Dengan cara yang sama, nilai dari z yang bersesuaian dengan p &lt; 0.5 dapat diperoleh sebagai _{−1 −1} z = φ

  (2.5) (p) = −φ (1 − p)

  2.2.3 Probabilitas. Rinaldi Munir. Probabilitas distribusi normal f (x) pada interval x &lt; X &lt; x diten-

  1

  2

  tukan dengan memakai luas daerah di bawah kurva f (x) sebagaimana ditunjukkan pada gambar berikut ini.

Gambar 2.5 : Probabilitas x < X < x

  1

  2 Pada gambar , probabilitas P (x &lt; x &lt; x ) ditunjukkan oleh luas daerah yang

  1

  2 diarsir, yang dibatasi oleh kurva f (x), sumbu X, garis tegak X = x , dan X = x .

  1

  2 Oleh karena f (x) merupakan fungsi kontinu, maka probabilitas P (x &lt; X &lt; x )

  1

  2

  dengan memakai integral dari fungsi f (x) yang dibatasi oleh x = x

_{R x R x}

_{2 2 1 x−µ} 1 danx = x 2 yaitu: _√ 1 − _{2 σ} P (x &lt; X &lt; x ) = f (x)dx = e dx

  1

  2

_{x x}

_{1 1 σ 2π}

  akan tetapi, secara matematis bentuk integral dari fungsi f (x) tersebut sulit dipec- ahkan secara langsung dengan teknik integral. Oleh karena itu, penyelesainnya di- lakukan dengan memakai transformasi nilai-nilai X menjadi nilai-nilai baku Z. Se- hingga diperoleh fungsi distribusi normal Z, probabilitas nilai-nilai Z pada interval z &lt; Z &lt; Z dapat dihitung dengan rumus berikut.

  1

  _{2 2 1 2 √} 1 z _{− 2} P (z &lt; Z &lt; z ) = f (z)dz = e dz

  1

  2 _{z z 1 1 2π}

  Berdasarkan integral dari fungsi distribusi normal standar tersebut, probabilitas P (z &lt;

  1 Z &lt; z ) dihitung dengan memakai tabel distribusi normal standar.

  Variabel X berdistribusi normal dengan mean 50 dan standar deviasi 10. Carilah probabilitas untuk menemukan nilai X bernilai antara 45 dan 62? Dari soal µ = 50 dan σ = 10, x = 45 dan x = 62

  1

  2

  dengan mereduksi nilai x ke z, diperoleh (x

  1

  − µ) z =

  1

  σ 45 − 50 =

  = −0.5

  10 (x

  2

  − µ) z

  2 =

  σ 62 − 50 = = 1.2

  10 sehingga P (45 &lt; x &lt; 62) = P (−0.5 &lt; z &lt; 1.2)

  P (−0.5 &lt; z &lt; 1.2) = P (z &lt; 1.2) − P (z &lt; −0.5) = 0.8849 − 0.3085 = 0.5764

  2.3 Chance Constrained Programming Merupakan teknik kedua dari program stokastik yang dikembangkan oleh Charnes dan Cooper, seperti yang dinyatakan dari namanya program chance constrained adalah satu teknik yang bisa dipakai untuk menyelesaikan persoalan yang mengandung ken- dala peluang, kendala tersebut mempunyai peluang terbatas tertentu untuk dilang- gar. Program chance constrained ini memperbolehkan kendala untuk dilanggar oleh sebuah peluang tertentu (peluang kecil) dimana teknik lain tidak ada.

  Rao. (1977). Bentuk umum progam chance constrained Programming dari persoalan program linier stokastik dapat dirumuskan sebagai berikut: Minimize _{X n} f (x) = c j x j (2.6) _{j =1}

  dengan kendala _{X n} P a ij x j i i , i = 1, 2, ..., m (2.7) _j ≤ b ≥ p

  =i

  x j (2.8) ≥ 0, j = 1, 2, ..., n dimana c , a , dan b adalah variabel acak dan p adalah peluang tertentu. Perhatikan _{j ij i i} bahwa persamaan 2.7 menunjukkan bahwa kendala ke-i _{X n} a ij x j i (2.9) _j ≤ b

  =i

  harus dipenuhi dengan sebuah peluang dari setidaknya p i i dimana 0 ≤ p ≤ 1. Untuk penyederhanaan asumsikan bahwa variabel keputusan x j adalah deterministik. Akan dimisalkan kasus dimana hanya c j atau a ij atau b i adalah variabel acak. Diasumsikan bahwa semua variabel acak adalah berdistribusi normal dengan mean dan standar deviasi diketahui.

  2.3.1 Untuk Hanya a ij yang Variabel Acak.

  2 Misalkan ¯ a ij dan Var (a ij ) = σ merupakan rata-rata dan varians dari distribusi _{a ij} normal variabel acak a ij . Asumsikan bahwa distribusi multivariat dari a ij , i =

  1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, juga diketahui dengan covarian, Cov(a ij , a kl ) antara vari- abel acak a ij dan a kl . Definisikan jumlah d i sebagai _{X n} d i = a ij x j , i = 1, 2, ..., m (2.10) _{j =i} Karena a , a ,...a berdistribusi normal, dan x , x , ..., x merupakan konstan, d _i

  1 i 2 in

  1 2 n i

  juga akan berdistribusi normal dengan nilai rata-rata _{X n} ¯ d = a ¯ x , i = 1, 2, ..., m (2.11) _{i ij j j =1} dan sebuah varian dari

  2 T

  V ar(d i ) = σ = X _{d i} V i X (2.12)

  Dimana V i adalah matriks covarian ke-i didefinisikan sebagai V i = ^{      } _{     }

  (2.16) Dimana φ(x) menunjukkan fungsi kumulatif distribusi dari distribusi normal standar terhadap x. Jika e i menunjukkan nilai dari variabel normal standar dimana

  P d i − ¯ d i pV ar(d i )

  ≤ b i − ¯ d i pV ar(d i )

  ≥ p ⁱ , i = 1, 2, ..., m (2.15) dimana {d ⁱ − ¯ d i / pV ar(d i

  )}dapat dipandang sebagai sebuah variabel normal standar dengan sebuah rata-rata nol dan sebuah varian satu. Oleh karena itu peluang d i lebih kecil atau samadengan b i dapat dituliskan sebagai

  P [d i ≤ b ^{i ] = φ} b i

  − ¯ d i pV ar(d i )

  φ(e i ) = p i (2.17) maka kendala pada persamaan 2.15 dapat dinyatakan sebagai φ b i

  (2.13) maka kendala dapat diperlihatkan sebagai P [d _i

  − ¯ d i pV ar(d i )

  ≥ φ(e ⁱ ), i = 1, 2, ..., m (2.18) pertidaksamaan tersebut akan terpenuhi hanya jika b _i

  − ¯ d _i pV ar(d ^{i )} ≥ e ⁱ

  (2.19) atau, ¯ d _i + e _i pV ar(d _i

  ) − b ⁱ ≤ 0, i = 1, 2, ..., m (2.20)

  Dengan mensubsitusikan persamaan 2.11 dan 2.12 , diperoleh _{n X j =1} ¯ a ij x j + e i ^p

  X ^T V i X − b ⁱ ≤ 0, i = 1, 2, ..., m

  ≤ b ⁱ ] ≥ p ⁱ (2.14)

  ) · · · V ar(a in ) ^{            }

  V ar(a ij ) Cov(a i

  , a i

  

1

  , a

  12

  ) · · · Cov(a ⁱ

  1

  , a in ) Cov(a i

  2

  1

  2

  ) V ar(a i

  2

  ) · · · Cov(a ⁱ

  2

  , a in ) ... ... . ..

  ... Cov(a in , a i

  1 ) Cov(a in , a i

  (2.21)

  Oleh karena itu solusi dari persoalan program stokastik yang ditunjukkan pada persamaan 2.6 dan 2.7 dapat diperoleh dengan menyelesaikan persoalan program deterministik berikut Minimize f (X) = ^{n X} _j

  ) · · · ... ...

  ≤ 0, i = 1, 2, ..., m (2.25) 2.3.2 Untuk Hanya b i yang Variabel Acak.

  2 _{j ] − b i}

  ¯ a ij x j + e ^{v u u t n X} _{j =i} [V ar(a ij )x

  j =i

  Dalam kasus ini, kendala dari persamaan 2.21 diturunkan menjadi _{n X}

  ... · · · V ar(a ^{in )             }

  . ..

  2

  =1

  · · · V ar(a i

  V i = ^{      } _{     } V ar(a ij )

  (2.24) Jika distribusi normal variabel acak a ij adalah adalah saling bebas, maka covar- ian akan menjadi nol dan persamaan 2.13 bereduksi menjadi sebuah matriks diagonal

  (2.23) x j ≥ 0, j = 1, 2, ..., n

  X ^T V i X − b ⁱ ≤ 0, i = 1, 2, ..., m

  ¯ a ij x j + e i ^p

  =i

  c j x j (2.22) dengan kendala _{n X j}

  Misalkan ¯b i dan V ar(b i ) menunjukkan rata-rata dan varian dari distribusi normal variabel acak b i . Kendala dari persamaan 2.7 dapat dinyatakan kembali den-

  gan _{X a ij x j i n P n j =1 − b i i} b − ¯b

  P a x = P _{ij j i} ≤ b ≤

  ) ) _{j =i} pV ar(b i pV ar(b i _{P n} a ij x j i b i i j =1 − ¯b

  − ¯b = P i

  ≥ ≥ p ) ) pV ar(b i pV ar(b i i = 1, 2, ..., m

  (2.26) Dimana [b / )] adalah sebuah variabel normal standar dengan rata-rata _{i i pV ar(b i}

  − ¯b nol dan varian satu. Pertidaksamaan 2.26 dapat dinyatakan sebagai _{P n} a x _{ij j i} b i i j − ¯b

  =1

  − ¯b _{i , i = 1, 2, ..., m (2.27)} 1 − P ≤ ≥ P pV ar(b i ) pV ar(b i ) atau, _{P n} a ij x j i b i i j =1 − ¯b

  − ¯b P ^{i , i = 1, 2, ..., m (2.28)}

  ≤ ≤ 1 − p ) ) pV ar(b i pV ar(b i

  Jika e i menunjukkan nilai dari variabel normal standar dimana φ(e i i

  ) = 1 − p kendala pada persamaan 2.28 dapat diperlihatkan sebagai _{P n j − ¯b} a ij x j i

  =1

  φ i ), i = 1, 2, ..., m (2.29) ≤ φ(e pV ar(b i ) pertidaksamaan tersebut akan terpenuhi hanya jika _{P n j − ¯b} a ij x j i

  =1 _{i , i = 1, 2, ..., m (2.30)}

  ≤ e pV ar(b i ) atau, _{X n} pV ar(b a ij x j i i i (2.31) _{j =1} − ¯b − e ) ≤ 0, i = 1, 2, ...m

  Oleh karena itu program stokastik linier pada persamaan 2.6 sampai 2.8 adalah sama dengan persoalan linier program deterministik di bawah ini: Minimize _{X n} f (X) = c j x j (2.32) _{j =1}

  dengan kendala _{X n} pV ar(b a ij x j i i i (2.33) _j − ¯b − e ) ≤ 0, i = 1, 2, ...m

  =1

  dan x j (2.34)

  ≤ 0, j = 1, 2, ..., n Contoh 2.2 Sebuah perusahaan memproduksi dua bagian mesin menggunakan mesin Lathes, mesin milling dan dan mesin grinding. Waktu operasi mesin yang diperbolehkan per minggu pada mesin yang berbeda dan keuntungan dari masing-masing bagian mesin diberikan dibawah ini. Jika waktu operasi yang diperbolehkan pada tiap-tiap mesin adalah berdistribusi normal dengan parameter yang diberikan pada tabel 2.1. Tentukan jumlah dari bagian mesin I dan II yang akan diproduksi perminggu untuk memaksimalkan keuntungan. fungsi kendala harus dipenuhi dengan seubah peluang setidaknya 0.99 .

Tabel 2.1 : Waktu operasi mesin dan parameter-parameter distribusi normal nya

  Tipe Mesin Waktu proses yang Waktu operasi maksimum diperlukan untuk per minggu (menit) satu bagian(menit)

  Part I Part II Mean Standar Deviasi Lathes a = 10 a = 5 ¯b = 2500 σb = 500

  11

  12

  1

  1 Milling a = 4 a = 10 ¯b = 2000 σb = 400

  21

  22

  2

  2

  ¯b Grinding a

  31 = 1 a 32 = 1.5 3 = 450 σb 3 = 50

  Profit per unit (Rs) c = 50 c = 100

  1

  2 Misalkan jumlah dari bagian mesin I dan II diproduksi per minggu sebagai x

  1

  dan x

  2 , nilai variabel normal standar (e i ) pada (e i i = 1/100 tidak dapat

  ) = 1 − p didapat langsung dari tabel lampiran A secara langsung. tetapi, perhatikan bahwa e i i &lt; 0.5 dan oleh karena itu

  &lt; 0.0 karena 1 − p _{i i ) = 0.99.}

  φ(−e ) = 1 − φ(e sesuai dengan p i = 0.99, dari tabel diperoleh bahwa e i = −2.33. Oleh karena itu pertidaksamaan yang memenuhi dapat ditunjukkan dari persamaan 2.31 sebagai:

  10x + 5x

  1

  2

  − 2500 − (−2.33)(500) ≤ 0 4x + 10x

  1

  2

  − 2000 − (−2.33)(400) ≤ 0 x + 1.5x

  1

  2

  − 450 − (−2.33)(50) ≤ 0 Persoalan persamaan deterministik program linier sekarang dapat ditetapkan, meng- gunakan persamaan 2.31 sampai 2.33 sebagai: Maksimum f = 50x + 100x

  

1

  2

  dengan kendala 10x + 5x

  1

  

2

  − 1335 ≤ 0

• 10x
• 1.5x

  ) · · · V ar(c n ) ^{            }

  ) V ar(c

  2

  ) · · · Cov(c

  2

  , c _n ) ... ... . ..

  ... Cov(c n , c

  1

  ) Cov(c n , c

  2

  (2.37) Dengan V ar(c j ) dan Cov(c i , c j ) menunjukkan varian dari c j dan covarian antara c i dan c j .

  , c

  Fungsi objektif deterministik baru untuk minimasi dapat diformulasikan sebagai F (X) = k

  1

  ¯ f + k

  2

  pV ar(f) (2.38) Dimana k

  1

  dan k

  2

  adalah konstanta positif yang nilai nya menunjukkan relative im- portance dari ¯ f dan standar deviasi dari f untuk meminimasi. Oleh karena itu k

  2

  1

  2

  4x

  ≥ 0 Solusi dari program linier di atas dapat diperoleh dengan menggunakan metode grafik atau metode simpleks

  1

  

2

  − 1068 ≤ 0 x

  1

  2

  − 333.5 ≤ 0 x

  1

  ≥ 0, x

  2

  2.3.3 Untuk Hanya c _j yang Variabel Acak. Karena c _j merupakan variabel acak berdistribusi normal, maka fungsi objektif f (X) juga akan menjadi variabel acak berdistribusi normal. Rata-rata dan varian dari f diberikan sebagai berikut

  , c n ) Cov(c

  ¯ f = ^{n X} _{j =1} ¯ c _j x _j (2.35) dan V ar(f ) = X ^T

  V X (2.36) Dimana ¯ c j adalah nilai rata-rata dan matriks V adalah matriks covarian dari c j didefinisikan sebagai

  V = ^{      } _{     } V ar(c

  1

  ) Cov(c

  

1

  , c

  2

  ) · · · Cov(c

  1

  = 0 menunjukkan bahwa nilai harapan dari f diminimalkan tanpa memperhatikan standar

  deviasi dari f . Sebaliknya,jika k = 0, itu menunjukkan bahwa perlu meminimalkan

  1

  variabilitas dari f disekitar nilai rata-rata nya tanpa memperhatikan apa yang terjadi dengan nilai rata-rata f . Demikian pula, jika k = k = 1, ini menunjukkan bahwa

  1

  2

  adanya kepentingan yang sama pada minimasi dari nilai rata-rata dan standar deviasi dari f .

  Oleh karena itu solusi dari persoalan program linier stokastik yang dinyatakan pada persamaan 2.6 sampai 2.7 dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan program nonlinier deterministik : Minimize _{X n}

  √ _T f (x) = k

  

1 c ¯ j x j + k

_{j =1}

  V X (2.39) dengan kendala _{X n} a ij x j i (2.40) _j − b ≤ 0, i = 1, 2, ..., m

  2 X

  =1

  x j (2.41)

  ≥ 0, j = 1, 2, ..., n Jika semua varibel acak c adalah saling bebas, maka fungsi objektif direduksi menjadi _{j X n n u u v X t}

  2

  f (x) = k ¯ c x + k V ar(c )x (2.42)

  1 j j

_{j =1 j =1}

2 j _j

  Setelah itu Liu mengembangkan CCP dalam permasalahan yang tidak hanya kendala stokastik tetapi juga fungsi tujuan stokastik . misalkan x sebuah vektor kepu- tusan, ξ sebuah vektor stokastik, f (x, ξ) adalah fungsi hasil, dan g (x, ξ) adalah fungsi _j kendala stokastik, j = 1, 2..., p. karena kendala stokastik g _j

  (x, ξ) ≤ 0, j = 1, 2, ..., p tidak menetapkan sebuah himpunan penyelesaian deterministik yang feasible, ma- ka perlu memberikan kendala stokastik sebuah tingkat jaminan α. Oleh karena itu diperoleh sebuah kendala peluang seperti berikut (Liu B. 2009), _j

  (2.43) P r{g (x, ξ) ≤ 0, j = 1, , ..., p} ≥ α ini disebut dengan sebuah kendala peluang gabungan

  Definisi 2.1: Titik x disebut feasible jika dan hanya jika tingkat peluang dari kejadian _j {g (x, ξ) ≤ 0, j = 1, 2, ..., p} setidaknya α.

  Dengan kata lain, kendala tersebut akan dilanggar paling banyak (1 − α) kali. terkadang, kendala peluang gabungan dipisah sebagai _j

  (2.44)

P r{g (x, ξ) ≤ 0} ≥ α, j = 1, , ..., p 2.3.4 Maximax Program Chance Constrained

  Dalam lingkungan stokastik, dalam tujuan untuk memaksimalkan hasil optimistik dengan memberikan sebuah tingkat jaminan terhadap kendala peluang, Liu mem- berikan CCP berikut ini: max max ¯ f (2.45) dengan kendala

  P r (2.46)

  {f(x, ξ) ≥ ¯ f } ≥ β P _{r j}

  (2.47) {g (x, ξ) ≤ 0, j = 1, 2, ..., p} ≥ α

  Dimana α dan β adalah tingkat jaminan, dan max ¯ f adalah β-optimistic return 2.3.5 Minimax Chance Constrained Programming.

  Dalam lingkungan stokastik, untuk memaksimalkan pessimistic return dengan sebuah tingkat jaminan yang diberikan pada kendala peluang, Liu menyediakan model min- imax CCP dibawah ini: max min ¯ f (2.48) dengan kendala: P r

  (2.49) {f(x, ξ) ≤ ¯ f } ≥ β

  P r j (2.50)

  {g (x, ξ) ≤ 0, j = 1, 2, ..., p} ≥ α Dimana α dan β adalah tingkat jaminan, dan max ¯ f adalah β-optimistic return Persamaan Deterministik Dalam mencari penyelesaian akhir dari CCP diperlukan mengubah kendala peluang ke dalam masing-masing persamaan deterministiknya. Seperti yang diketahui, proses ini biasanya sulit dan hanya berhasil untuk beberapa kasus saja. Misalkan dibawah ini formula dari kendala peluang,

  (2.51) P r{g(x, ξ) ≤ 0} ≥ α. Theorema 1 Asumsikan bahwa vektor stokastik ξ degenerates menjadi sebuah vari- abel acak

  ξ dengan distribusi peluang φ, dan fungsi g(x, ξ) mempunyai formula g(x, ξ) = _{α K α} , dimana h(x) − ξ. Maka P r{g(x, ξ) ≤ 0} ≥ α jika dan hanya jika h(x) ≤ K adalah bilangan terbesar sehingga _α P r{K ≤ ξ} ≥ α. _α Bukti: Asumsi tersebut secara tidak langsung menyatakan bahwa P r{K ≤ ξ} ≥ α dapat dituliskan denggan formula di bawah ini,

  P r{h(x) ≤ ξ} ≥ α Untuk setiap tingkat jaminan α(0 &lt; α &lt; 1), Misal K merupakan bilangan terbesar _α sehingga _α

  P r{K ≤ ξ} ≥ α _{α α} diganti dengan Perhatikan bahwa peluang P r{K ≤ ξ} akan meningkat jika K _α sebuah bilangan yang lebih kecil. Oleh karena itu P r{K ≤ ξ} ≥ α jika dan hanya _{α .} jika h(x) ≤ K

  α α )selalu

  Remark 1: Untuk varibel acak kontinu ξ, persamaan P r{K ≤ ξ} = 1−φ(K tetap, dan diperoleh, ₋₁ K α = φ ₋₁ (1 − α)

  Dimana φ adalah fungsi invers dari φ Contoh 2.3 Asumsikan bahwa dibawah ini kendala peluang, _{   }

  1 + 4x

  

2

  1 _{ } P r{3x ≤ ξ } ≥ 0.8 _

  2

  3

• x

  1 2 ≤ ξ } ≥ 0.9

  2 P r{x

  Dimana ξ adalah variabel acak berdistribusi eksponensial Exp(2) dengan distribusi

  1

  peluang dinotasikan dengan φ , dan ξ adalah variabel acak berdistribusi normal

  1

  2 N (2, 1) dengan peluang distribusi dinotasikan φ . Memakai formula pada teorema 1

  2

  bahwa kendala peluang di atas samadengan _{ + 4x    −1}

  1

  2 _{ }

  P r{3x ≤ φ

  1 (1 − 0.8) = 0.446 _

  2 3 −1

  1 2 ≤ φ 2 (1 − 0.9) = 0.719

• x P r{x