Kelas XII SMAMA
148
Kegiatan 3.1.3 Penerapan Induksi Matematis
Prinsip induksi matematis banyak digunakan dalam pembuktian dalam matematika. Anda akan diberikan beberapa contoh penerapan prinsip induksi
matematis. Silahkan Anda amati dengan seksama.
Ayo Mengamati
Cont oh 3 .8
Buktikan bahwa “untuk semua bilangan asli n, jumlah n bilangan ganjil berurutan pertama sama dengan n
2
”.
Bukti.
Misalkan pernyataan Pn: jumlah n bilangan ganjil berurutan pertama sama dengan n
2
.
1. Langkah Dasar
Pernyataan Pn ini benar untuk n = 1 sebab “jumlah” 1 bilangan ganjil yang pertama adalah 1 itu sendiri, dan 1 sama dengan 1
2
. Jadi, terbukti bahwa pernyataan P1 di atas adalah benar.
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan Pk benar. Artinya bahwa “jumlah k bilangan ganjil berurutan pertama adalah k
2
” Akan ditunjukkan terbukti benar juga bahwa Pk + 1 jumlah k + 1 bilangan
ganjil berurutan pertama adalah k + 1
2
. Dari pemisalan, bahwa Pk jumlah k bilangan ganjil berurutan pertama adalah
k
2
adalah benar. Secara matematis, pernyataan Pk ini bisa dituliskan menjadi 1 + 3 + 5 + ... + 2k
− 1 = k
2
Di unduh dari : Bukupaket.com
Matematika Kurikulum 2013
149
Akan ditunjukkan bahwa Pk + 1 : jumlah k + 1 bilangan ganjil berurutan pertama adalah k + 1
2
. yang secara matematis dituliskan menjadi Pk + 1 : 1 + 3 + 5 + ... + 2k
− 1 + 2k + 1 − 1 = k + 1
2
Kita lihat ruas kiri dari persamaan terakhir ini, yaitu: 1 + 3 + 5 + ... + 2k
− 1 + 2k + 1 − 1 Bentuk ini kalau diolah akan menghasilkan seperti berikut.
1 + 3 + 5 + ... + 2k − 1 + 2k + 1 − 1 = k
2
+ 2k + 1 − 1
= k
2
+ 2k + 2 − 1 = k
2
+ 2k + 1 = k + 1
2
Jadi terbukti bahwa Pk + 1 : 1 + 3 + 5 + ... + 2k
− 1 + 2k + 1 − 1 = k + 1
2
bernilai benar.
3. Kesimpulan
Pn jumlah n bilangan ganjil berurutan pertama sama dengan n
2
benar untuk setiap bilangan asli n.
Cont oh 3 .9
Tunjukkan bahwa “3 membagi nn + 1n + 2 untuk setiap bilangan asli n”?
Bukti.
Misalkan Pn 3 membagi nn + 1n + 2 untuk setiap bilangan asli n.
1. Langkah Dasar
Untuk n = 1, nilai nn + 1n + 2 adalah 6. Karenanya 3 membagi nn + 1n + 2 untuk n = 1. Jadi terbukti bahwa pernyataan Pn tersebut
bernilai benar untuk n = 1.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas XII SMAMA
150
2. Langkah Induksi
Untuk setiap bilangan asli k, misalkan pernyataan Pk itu bernilai benar. Artinya, kita anggap bahwa 3 membagi kk + 1k + 2.
Akan ditunjukkan bahwa Pk + 1 bernilai benar, yaitu 3 membagi k + 1 k + 1 + 1k + 1 + 2 atau 3 membagi k + 1k + 2k + 3.
Dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, maka bentuk k + 1 k + 2k + 3 dapat diubah menjadi [k + 1k + 2k] + [k + 1k + 23]
yang merupakan penjumlahan dari kk + 1k + 2 dan 3k + 1k + 2. Dari pemisalan, sudah diketahui bahwa 3 membagi kk + 1k + 2.
Karena 3 juga membagi 3k + 1k + 2, maka 3 juga membagi kk + 1 k + 2 + 3k + 1k + 2.
Dengan demikian, Pk + 1 3 membagi k + 1k + 1 + 1k + 1 + 2 bernilai benar.
Jadi, jika 3 membagi kk + 1k + 2 maka 3 membagi k + 1k + 1 + 1 k + 1 + 2.
3. Kesimpulan
