BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA - 18. Notasi sigma, barisan, deret dan induksi matematika

BAB XVIII. NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA Notasi Sigma :

• = −
• 1

  V U

  1

  2

  ) ( =

  ∑ = ^{n i i}

  U

  2

  1

  V U ∑

  =

  1

  = ^{n i i}

  V

  1

  ∑ =

  U 9. a.

  − − =

  U = ∑

  U = ∑

  ∑ = ^{n m i i}

  ; dimana 1< m < n 8.

  1

  U

  1

  U

  ∑ = ^{m i i}

  =

  1

  U

  ∑ = ^{n i i}

  1 ⁿ _i ⁱ U 7.

  2 b.

  − ⁿ _{i i i}

  ∑ =

  , U

  Bentuk umum barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b Bentuk umum deret aritmetika: a + (a+b) + (a+2b) +… + {a+(n-1)b} dimana: a = suku pertama b = beda n = banyak suku

  1 − ⁿ

  = U _n - U

  2

  3

  = U

  1

  2

  , U _n disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selish tersebut dinamakan beda (b). b = U

  1 − n

  ,…, U

  3

  , U

  2

  1

  V U

  2

  1

  2

  ) ( =

  ∑ = ^{n i i}

  U

  1

  V U ∑

  Suatu barisan U

  =

  1

  = ^{n i i}

  V

  1

  2 Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung):

  2

  ∑

  1

  2

  adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola.

  ∑

  merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah. Bentuk umum notasi sigma:

  ∑ = ^{n i i}

  1 ⁿ _i ⁱ U =

  U

  1

  = U

  1

  = U

  U

  3

  U

  ∑ = ^{n i i}

  i Sifat-sifat notasi sigma: 1.

  2 _i

  1

  50

  ∑ =

  dibaca penjumlahan suku U _i untuk i=1 sampai dengan i=n i = indeks penjumlahan i =1 disebut batas bawah penjumlahan i = n disebut batas atas penjumlahan {1,2,3,…,n} adalah wilayah penjumlahan Contoh: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 100 dapat ditulis dengan notasi sigma yaitu

  ∑

  ∑ = ^{n i i}

  KU

  ∑ = ^{n i i}

  ∑ − =

  =

  1

  U

  ∑ = ^{n i i}

  1 6.

  V

  ∑ = ^{n i i}

  ±

  1

  U

  ) ( =

  1

  1

  V U

  ± ⁿ _{i i i}

  ∑ =

  1 5.

  U

  ∑ = ^{n i i}

  = K

• ∑
• = ^{n m i i}
• = − ^{p n} _{p m i} ^{p i}
• ^{p n} _{p m i} ^{p i}
• ⁿ _{i i i}
• 2 _i ⁿ _{i i}
• U
• U
• . . . + U _n

• ∑
• 2 _i ⁿ _{i i}

• ∑
• U
• U

  1

• U
• U
• . . . + U _n 2.

  ∑ = ^{n i i}

  U

  = nK ; dimana K adalah konstanta 4.

  1

  K

  www.belajar-matematika.com - 1

  ∑ = ^{n i}

  1 3.

  ∑ = ^{n k k}

  1

  =

  U

  ∑ = ^{n i i}

  3

  2

  1

  1

  25

  25

18. SOAL-SOAL NOTASI SIGMA,

  2 . 21 = pk Æ pk = 42 ∑ ∑ _{k k}

  = 5 =

  5 BARISAN, DERET DAN INDUKSI

  jawabannya adalah D

  MATEMATIKA

  Catatan : UN2004

  21 25 n ….

1.Nilai (

• 2 =

  2

  2 2 ... 2 = 2 . 21 = 42

  ∑ _n ∑

  5 − = 6 )

  1 4 2 4 4 3

  4

  =

  2 _k = 5 _{n kali}

  A. 882 B. 1030 C. 1040 D. 1957 E. 2060 n = 25 – (5-1) = 21 kali Jawab:

  EBTANAS2000

  21

  3. Suku keempat dan suku ketujuh barisan aritmetika ( 5 n − 6 ) = (5.2 – 6) + (5.3 – 6) + (5.4 – 6)+…+ (5.21 – 6) berturut-turut adalah 17 dan 29. Suku ke 25 barisan tersebut ∑ _n

  2 =

  adalah…. = 4 + 9 + 14+ . . .+ 99

  A. 97 B. 101 C. 105 D.109 E. 113 a = 4 b = 9 – 4 = 14 – 9 = 5 n = n(akhir) – (n(awal)-1) = 21 – (2-1) = 20

  Jawab:

  n n

  U = 17 = a + (n-1) b = a + 3b …(1) S = (a + U ) = (2a +(n-1) b) _{n n}

  4

  2

2 U = 29 = a + (n-1)b = a + 6b …(2)

  7

  20 = (2. 4 +(20-1) 5) = 10 (8 + 95)

  Dari (1) dan (2)

  2 = 10 . 103 = 1030 a + 3b = 17 a + 6b = 29 -

  Jawabannya adalah B

• 3b = -12 b = 4

  EBTANAS2000

  25

  25

  2. Diketahui − pk = pk = a + 3b = 17 ( 2 ) 0, maka nilai ...

  ∑ ∑ _{k k} = 5 =

  5

  a = 17 – 3b = 17 – 3.4

A. 20 B. 28 C. 30 D. 42 E. 112

  = 17 – 12 = 5 Jawab: a + (25 – 1)b

  U =

  25

  25

  = 5 + 24 . 4 = 5 + 96 = 101 ( 2 − pk ) = ∑ _{k =}

  5

  jawabannya adalah B

  25

  25

  25

  ( 2 − ) = 2 = - pk pk

  ∑ ∑ ∑ _k

  EBTANAS1990

  5 k 5 k

  5 = = =

  4. Suatu deret aritmetika, diketahui jumlah 5 suku yang pertama = 35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24, suku

  25

  25 yang ke 15 = ….

  2 = pk ∑ ∑ _{k =}

  5 k =

  5

25 A. 11 B. 25 C. 31 D. 33 E. 59

  2 (n(akhir) – (n(awal)-1) ) = pk ∑ _{k =}

  5

  25

  2 (25 – (5-1) ) = pk

  ∑ _{k =}

  5

  5 = 2

  = U

  = 1 U _n = S _n - S

  1

  = S

  1

  1 U

  2

  1 − ⁿ

  U

  U _n - U

  1 2 (6 – 1 ) = 5 Beda =

  2

  =

  2

  1 1 (3 – 1 ) = 1 S

  2

  1 − ⁿ

  2

  1

  Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah ........ A . 48,5 tahun C . 49,5 tahun E . 50,5 tahun B . 49,0 tahun D . 50,0 tahun Jawab: U

  2

  5 a + 2 b = 7 a = 7 – 2b = 7 – 2 .

  2

  = a +(n-1) b = a + 4 b = 12 …(2) Dari (1) dan (2) a + 2b = 7 a + 4 b = 12 -

  5

  = a +(n-1) b = a + 2b = 7 …(1) U

  3

  Jawabannya adalah C UAN2003 7.

  = S

  = 4 – 1 = 3

  1

  2

  U

  = 5 – 1 = 4 Beda =

  1

  2

  =

  1 n (3n – 1 ) S

  = a + (15 – 1)b = 3 + 14 . 2 = 3 + 28 = 31 Jawabannya adalah C UAN2007

  = a +(n-1) b = a + 2b = 36 …(1) U

  S

  4

  =

  2

  4 (2a + 3b) = 4a + 6b = 24 ….(2) dari (1) dan (2)

  5a+10b = 35 | x 4 | ⇒ 20a + 40b = 140 4a + 6b = 24 | x 5 | ⇒ 20a + 30b = 120 - 10b = 20 b = 2 5a + 10b = 35 5a = 35 – 10b 5a = 35 – 20 a = 15/5 = 3 U

  15

  2

  5. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah…

  A. 840 B. 660 C. 640 D. 630 E. 315 jawab: U

  3

  (2a +(n-1) b) =

  2

  n

  2

  =

  5

  Jawab: S

  EBTANAS1993

  6. Jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmetika adalah S _n =

  2

  1 n (3n – 1 ). Beda dari barisan aritmetika itu adalah….

  A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 E. 4 jawab: jumlah n suku pertama: S _n =

  5 (2a + 4b) = 5a+10b = 35….(1)

• U
• S

• U

• U

  5

  7

  = a + 4 b + a + 6b = 144 = 2a + 10b = 144 = a + 5b = 72 ….(2) Dari (1) dan (2) a + 2b = 36 a + 5b = 72 -

• 3b = -36 b = 12 a + 2b = 36 a = 36 – 2b = 36 – 24 = 12 S
• 2 b = -5 Æ b =

  10

  =

  2

  10 (2. 12 +(10-1) 12) = 5 (24 + 108)

  = 5 . 132 = 660 Jawabannya adalah B

  8 552

  99 = 49

  = 69 jawabannya adalah C SPMB2003

  10. Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah… A. 168 B. 567 C. 651 D. 667 E. 735 jawab: 1. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7

  15

  4

  7, 14, 21, …, 98 a = 7 ; b = 7 U _n = a + (n-1) b 98 = 7 + (n-1). 7 98 = 7 + 7n – 7 98 = 7n n = 98/7 = 14 S _n =

  =

  k b

  = 1 +

  '

  Jawab: dari barisan 3, 18, 33,… diketahui a = 3 b = 15 k = 4 beda barisan yang baru: b

  8. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33,… disisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang berbentuk adalah…

  Jawabannya adalah C UMPTN1998

  1 tahun

  2

  2

  Jawab: bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8 456, 464, 472, …, 1000 ditanya banyak bilangan (n) = ? U _n = a + (n-1) b U _n = 1000 a = 456 b = 464 – 456 = 472 – 464 = 8 sehingga : 1000 = 456 + (n-1 ) . 8 = 456 + 8.n – 8 = 448 + 8n 8n = 1000 – 448 = 552 n =

  2

  jumlah n suku pertama: S _n =

  2

  n

  (2a +(n-1) b) maka jumlah usia enam anak tersebut adalah: S

  6

  =

  6 (2.2 +(6-1).

  33 ) =

  2

  5 )

  = 3. ( 4 +

  2

  25 ) = 3 (

  2

A. 78 B. 81 C. 84 D. 87 E. 91

• = 3

  ' n

  = {

  = 7 (105) = 735

  14 (2 . 7 + 13. 7)

  2

  =

  14

  (2a +(n-1) b) S

  n

  2

  1

  '

• 1) b

  2

  (2a + (n

  9. Banyak bilangan antara 450 dan 1001 yang habis dibagi 8 adalah… A. 67 B. 68 C. 69 D. 182 E. 183

  Jawabannya adalah C UAN2002

  7 (6+18) = 84

  2

  7 {2.3+(7-1).3} =

  2

  =

  7

  } S

  '

  '

  Jumlah 7 suku pertama barisan yang terbentuk : S _n

  2. bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 dan juga habis dibagi 4 : 28, 56, 84 karena jumlah n sedikit kita langsung jumlah saja = S

  =

  1023 . 3069

  ⇒ a =

  1 1023 . a = 3069

  = 3069 ⇒

  − − a

  10

  1 2 (

  2 )

  1

  10

  4

  karena r > 1 S

  r r a ⁿ

  − −

  1 ) 1 (

  A. 3069 B. 2304 C. 4236 D. 4476 E. 5675 jawab : Diketahui : r = 2 S _n =

  12. Dari suatu deret geometri yang rasionya 2 diketahui jumlah 10 buah suku pertama sama dengan 3069. Hasil kali suku ke 4 dan ke 6 dari deret tersebut=….

  Jawabannya adalah A UN2006

  4 . 243 = 108

  9

  =

  = 3 U

  = ar

  3

  6

  3

  3 Nilai jual setelah 3 tahun = suku ke 3 = U

  4

  C. Rp. 33.750.000,- Jawab: Diketahui harga awal = a = 80.000.000 r =

  B. Rp. 25.312.000,- E. Rp. 45.000.000,-

  A. Rp. 20.000.000,- D. Rp. 35.000.000,-

  3 dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah 3 tahun ?

  4

  13. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000,- Setiap tahun nilai jualnya menjadi

  = 24 . 96 = 2304 jawabannya adalah B UAN2007

  . U

  3

  4

  = 3 .32 = 96 U

  5

  = 3 . 2

  5

  = ar

  6

  = 3 . 8 = 24 U

  3

  = 3 . 2

  5

  4 . 3

  9

  3 ( 112) = 168 ( hasilnya sama)

  3

  = a r =

  2

  U

  1 − ⁿ

  A. 108 B.120 C.128 D. 240 E. 256 Jawab: U _n = ar

  4 dan suku ke 5 adalah 36. Suku ke 6 barisan tersebut adalah….

  3

  11. Dari suatu barisan geometri diketahui suku ke 2 adalah

  Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah : hasil (1) – hasil (2) = 735 – 168 = 567 jawabannya adalah B EBTANAS1999

  2

  = ar

  =

  3 (2.28 + 2 . 28)

  2

  =

  3

  (2a +(n-1) b) S

  n

  2

  = 28 + 56 + 84 = 168 Kalau dengan rumus seperti berikut: a = 28 ; b = 28 ; n = ? U _n = a + (n-1) b 84 = 28 + (n – 1).28 84 = 28 + 28n – 28 84 = 28n n = 84/28 = 3 S _n =

4 U

  5

  4

  =

  3

  5

  = ar

  6

  9

  4 =

  3 3 /

  4 ⇒ a =

  3

  a. r =

  27 = 3

  3 = 27 r =

  = 36

  4

  3 = 36 .

  36 r

  4

  = 3 /

  4

  ar ar

  =

  5 U U

  2

4 U

  1

  −

  Jawabannya adalah B SPMB2002 15. Agar deret bilangan ,...

  8 = 24

  1

  3

  =

  8 −

  1

  2

  3

  1 =

  r a

  1 − x

  =

  ∞

  S

  Mempunyai limit (konvergen) jika |r| < 1 atau -1 <r < 1

  1

  1 − x

  < 1 (1 )

  1

  1 − x

  > -1 1 > -x +1 x -1 + 1 > 0 x > 0 (2)

  ) 1 (

  1 ,

  1 ,

  1 −

  −

  x x x x x

  jumlahnya mempunyai limit, nilai x harus memenuhi…

• ⁿ
• 4 . Rasio dari deret tersebut adalah… A. 8 B. 4 C. 2 D.

  B. x < 1 D. x >2 Jawab: Deret bilangan ,...

  ) 1 (

• 4 S
• 4 = 4 S

  =

  x

  1 − x

  1 .

  x

  =

  1 −

  1

  x x x

  A. x > 0 C. 0<x< 1 atau x >1 E. 0<x< 1 atau x >2

  x x x x x

  −

  1 −

  1 ,

  1 ,

  Mempunyai r =

• U
• 4 4 + U
• 4 U
• 1 <
• 9

  < 1 1 < x - 1 x – 1 > 1 x > 2 gabungan dari (1) dan (2) didapat nilai x > 2 jawabannya adalah D catatan: x > 2 memenuhi x > 0 x > 0 tidak memenuhi x > 2

  1 − x

  Jawabannya adalah E EBTANAS1997

  3

  = 2

  1

  2 + ⁿ

  1 Jawab: Jumlah n suku pertama = S _n = 2

  4

  1 E.

  2

  2

  14. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri ditentukan oleh rumus S _n = 2

  9 = 45.000.000

  = U

  16

  = 80.000.000

  2

  3 )

  4

  = 80.000.000 . (

  1 − ⁿ

  = ar

  3

  U

  1

  1

  32 + . . .

  2

  16

  3

  15. Jumlah deret geometri tak hingga dari 8 +

  Jawabannya adalah C UAN2005

  8 = 2

  4

  =

  2

  a U

  = a. r r =

  = 16 – 4 – 4 = 8 U

  = a = 4 S

  2

  4

  = 2

  2

  2 2 +

  = 2

  2

  1

  = U

  2

  1

A. 48 B .24 C. 19.2 D. 18 E. 16.9

  1 mempunyai nilai (konvergen)

  −

  r a

  =

  2 Æ |r| < 1 , maka S

  3

  16 = UAN2005

  3

  8

  Jawab: r =

  ∞

16. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25m

  4 dan memantul kembali dengan ketinggian kali tinggi 5 sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga boleh berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah..

A. 100m B. 125m C. 200m D. 225m E. 250m

  Jawab: Menjawab soal ini dengan membayangkan pergerakan bola pingpong tersebut yang digambarkan dengan sketsa gambarnya sbb: 25 m 20 20 16 16 terlihat pada gambar 20m dan 16m dan selanjutnya nya

  4 terdiri dari dua kejadian: pantulan dari tinggi sebelumnya 5 naik ke atas dan dengan jarak yang sama turunnya.

  Sehingga terjadi 2 kejadian deret yaitu naik dan turun a = 20 (bukan 25, deret terjadi awalnya pada 20) 4 r = 5 deret adalah tak terhingga karena sukunya tidak terbatas.

  a

  20

20 S = = = = 100

  ∞

  4

  1 1 − r

  1 −

  5

5 S naik + S turun

  Jumlah seluruh lintasan = 25m +

  

∞ ∞

  = 25m + 100m + 100m = 225m Jawabannya adalah D

  1. Antara bilangan 60 dan 110 disisipkan 10 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk .

  3

  '

  k suku k suku k suku banyaknya suku baru: n

  4

  ,…, U

  3

  ,…, U

  2

  , …,U

  1

  c. . jika banyaknya suku =4 U

  = 3 +2 k = 3 +(3-1)k

  '

  k suku k suku banyaknya suku baru: n

  ,…, U

  '

  2

  , …,U

  1

  b. jika banyaknya suku =3 U

  = 2 + k = 2 +(2-1)k

  '

  k suku banyaknya suku baru: n

  2

  , …,U

  1

  a. jika banyaknya suku =2 U

  U

  = _n

  = 4 +3 k = 3 +(4-1)k Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku baru adalah: n

  = n + (n-1) k

  ,… U _n k suku k suku k suku k suku dari barisan baru dapat dilihat bahwa _n

  '

  ) contoh soal sisipan :

  U

  (a + _n

  ' n

  2

  =

  '

  maka, S _n

  U

  = _n

  U '

  } _n

  '

  (2a + (n

  3. Jumlah n suku setelah sisipan (S _n

  ' n

  2

  = {

  '

  ) atau S _n

  U '

  (a + _n

  ' n

  2

  =

  '

  ) S _n

  '

  U '

  4

• U
• U
• . . . + U _n

  barisan lama U

  (a + U _n ) =

  2

  n

  (2a +(n-1) b) hubungan U _n dan S _n adalah: U _n = S _n - S

  1 − n

  3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U _t ) ditulis sbb: U _t =

  ,…, U

  barisan lama dengan b

  2

  1

  2

  },… k buah bilangan sisipan U

  '

  ),{a+(k+1) b

  '

  ),…,(a+k b

  '

  ), (a+2 b

  '

  Sisipan: Suatu barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan aritmetika yang baru adalah sbb: a , (a+ b

  n

  =

  2

  , U

  3

  ,…, U

  2

  , …,U

  1

  , U _n Barisan baru: U

  1 − ⁿ

  ,…, U

  3

  2

  3

  , U

  1

  ) Barisan lama : U

  '

  2. Menentukan banyaknya suku baru (n

  1. Suku ke n barisan aritmetika (U _n ) ditulis sbb: U _n = a + (n-1) b

  2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S _n ) ditulis sbb: S _n = U

  1

  2

  1 (a + U _n )

• 1) b

  = beda baru setelah ada k bilangan sisipan

  1. Beda barisan baru (b

  '

  ) hubungan barisan baru dan lama : a +b = a+(k+1) b

  '

  b = (k+1) b

  '

  b

  '

  = 1 + k

  b

  b = beda deret lama b

  '

  = beda deret baru k = banyaknya bilangan yang disisipkan

  www.belajar-matematika.com - 2 Rumus-rumus :

  '

  , U _n disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku tersebut disebut pembanding atau rasio (r).

  a, ar, ar

  3

  2

  , ar ⁿ Bentuk umum deret geometri: a + ar + ar

  1 − ⁿ

  , . . . , ar

  3

  , ar

  2

  Bentuk umum barisan geometri:

  Rumus-rumus:

  1 − ^{n n} U U

  = . . .=

  3 U U

  2

  =

  2 U U

  1

  Jadi r =

  1 − ⁿ

• ar
• . . . + ar
• ar ⁿ a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio

  1 − ⁿ

  1. Suku ke n barisan geometri (U _n ) ditulis sbb: U _n = ar

  U _n = S _n - S

  1 − ⁿ

  , . . . , ar

  3

  , ar

  2

  a, ar, ar

  3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan geometri (U _t ) adalah : U _t = _n U a . Sisipan: Suatu barisan geometri:

  1 − ⁿ

   dan S _n

  Hubungan U _n

  1 ) 1 ( untuk r <1

  − −

  r r a ⁿ

  untuk r >1 S _n =

  r r a ⁿ

  − −

  1 ) 1 (

  2. Jumlah n suku pertama deret geometri (S _n ) ditulis sbb: S _n =

• = 2

• 1) b

  ,…, U

  1 − n

  U

  k b

  = 1 +

  '

  2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25,… disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan yang terbentuk Jawab: dari barisan 5, 15, 25,… diketahui a = 5 b = 10 k = 4 beda barisan yang baru: b

  = 1020

  12 (60+110)

  2

  ) =

  (a + _n

  1

  ' n

  2

  =

  '

  = n+(n-1)k = 2+(2-1)10 = 12 Jumlah deret yang terbentuk : S _n

  '

  jawab: banyaknya suku awal = 2 Æn deret setelah sisipan 60+ … + 110 10 bilangan Banyaknya suku baru: n

  www.belajar-matematika.com - 3

  =

  4

  3

  =

  , U

  2

  , U

  1

  Suatu barisan U

  Barisan dan Deret Geometri (Deret Hitung):

  10 {2.5+(10-1)2} = 5(10+18) = 140

  2

  10

  10

  } S

  '

  '

  (2a + (n

  ' n

  2

  = {

  '

  Jumlah 10 suku pertama barisan yang terbentuk : S _n

  , ar ⁿ

  Jawab: Barisan baru : 48, sisipan1, sisipan2, sisipan3, 768 3 sisipan Banyaknya suku barisan lama n = 2 banyaknya suku barisan baru : n

  3

  1

• =

  =

  1 + ^k r

  =

  '

  = 16 Rasio barisan baru, r

  48 768

  = n + (n-1) k = 2 +(2-1)3= 5 rasio barisan lama , r =

  '

  < 1 Contoh soal sisipan: Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah barisan setelah sisipan.

  4

  '

  ; r

  − −

  r r a ⁿ

  1 ] ) ( 1 [ ^'

  ' ' '

  =

  '

  > 1 atau S _n

  '

  ; r

  16

  4

• ar
• . . . + ar
• ar ⁿ
• ar

  r a

  1 + . . .

  1

  1

  2

  1. Diketahui deret geometri :

  ; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai) Contoh deret tah hingga:

  = ∞

  ∞

  2. Bila |r| > 1 S

  1 ; dinamakan konvergen (mempunyai nilai)

  −

  =

  2 = 2

  ∞

  1. Bila |r| < 1 atau -1 < r < 1 S

  disebut deret tak hingga (n nya tak hingga) Jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga :

  3 + . . .

  2

  disebut deret terhingga dengan n suku. Deret : a + ar + ar

  1 − ⁿ

  3

  2

  Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak terbatas /tak hingga dinamakan deret geometri tak hingga. Deret : a + ar + ar

  Barisan geometri tak hingga:

  r r a ⁿ

  − −

  ' ' ' ^'

  3

  2

  barisan lama U

  1

  ,… k buah bilangan sisipan U

  1 + ^k

  )

  '

  ) ^k , a(r

  '

  ,…, a(r

  )

  '

  '

  , a(r

  2

  )

  '

  , a(r

  '

  a, ar

  apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan geometri yang baru adalah sbb:

  www.belajar-matematika.com - 4

  barisan lama r

  = rasio baru setelah ada k bilangan sisipan

  [( 1 )

  r

  1 ]

  =

  '

  ): Jumlah n suku pertama setelah sisipan : S _n

  '

  3. Jumlah n suku setelah sisipan (S _n

  r = rasio lama ; k = banyaknya suku baru yang disisipkan

  1 + ^k r

  =

  '

  1 + ^k

  1. Banyaknya suku baru: n

  )

  '

  r = (r

  1 + ^k

  )

  '

  ) : hubungan rasio lama dan baru ar = a(r

  '

  2. Rasio baru (r

  = n + (n-1) k

  '

• 8
• 32

  Berapakan jumlah deret tsb? jawab:

  Induksi Matematika:

  1

  1

  1

8 Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu

  Diketahui : a = ; r = =

  1

  2

  4 pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap

  2 bilangan asli.

1 Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika

  r = memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka

  4 adalah: konvergen.

  1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1

  1

  1

  2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k

  a

  4

  2

  2

2 S = = = = =

  3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1

  ∞

  1

  3 1 − r

  6

  3 1 −

  4

  4 contoh induksi matematika:

  2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai

  1. Buktikan jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa 2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n) rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ? langkah 1 : jawab: untuk n = 1 diketahui S = 10 ; a = 5

  ∞

  masukkan nilai n =1 karena S = 10 maka deret tak hingga ini adalah

  ∞

  2n = n (1+n) konvergen. 2.1 = 1 (1+1)

  a

  2 = 2 Æ terbukti S =

  ∞

  1 − r langkah 2 :

  5

  5 10 = ; 1 - r =

  1 − r

  10 untuk n = k misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi

  1

  1

  1 1 – r = ; r = 1 - =

  2

  2

  2 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) langkah 3 :

1 Jadi rasionya: r =

  2 untuk n = k+1 berdasarkan langkah 2 jumlah 5 suku pertamanya: 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) Karena r <1 maka _n jika n = k +1 didapat :

  a r a

  ( 1 − ) n n S = = ( 1 - r ) = S ( 1 - r ) _{n ∞}

  r r

  1 − 1 − 2 + 4 + 6 + …+2k+ 2(k+1) = k (1+k) + 2 (k+1)

  1

  1

5 S = 10 [1 – ( ) ] = 10 ( 1 - )

  5

  k(1+k)

  2

  32 31 310

  22 = 10 . = = 9

  Catatan:

  32

  32

32 Rumus kanan awal : n (1+n) , kita masukkan n = k+1

  Menjadi (k+1) (1 +(k+1)) = (k+1) (k+2) Æ ini yang akan dibuktikan

  www.belajar-matematika.com - 5 ruas kanan dijabarkan jika n = k +1 didapat :

  2

  1

  1

  1

  1

  1 k (1+k) + 2 (k+1) = k + k + 2k +2

• . . . + + +

  2

  6 12 k ( k + + 1 ) ( k + k 1 )( 2 )

  2

  = k + 3k +2

  k

  = (k+1)(k+2) Æ terbukti

• k

  1

  k

  1

  2. Buktikan

• = _n
• k 1 ( k + k

  1 )( 2 ) 1 n =

  ∑

• m m ( m 1 ) n

  1

  =

1 Catatan:

  n

  jawab: Rumus kanan awal : , kita masukkan n = k+1

• n

  1 Nilai m dimasukkan menjadi

• k 1 k

  1

  1

  1

  1 1 n Menjadi = Æ ini yang akan dibuktikan

• . . . + = + +

  k k

  1

  2

  6 12 n ( n 1 ) n

• 1
• 2

  1 langkah 1 : ruas kanan dijabarkan :

  Untuk n = 1

  k

  1

  1

  1 masukkan n=1 ruas kiri dan kanan

• =

  k k k k

  1 ( + k 1 )( + + 2 ) ( + k 1 )( 2 ) ( + k 1 )( + + 2 ) 1 n =

  1

  1 ) n + + n ( n

• k ( k 2 )

  1 = +

  1

  1 =

  1 )( k + + + ( k 2 ) ( k + k 1 )( 2 )

  1 (

  1

  1

  1 + + 1 )

• k ( k 2 )

  1 =

• ( k 1 )( k

  2 )

  1

  1 = Æ terbukti

  2

  2

  2 k

  1 = 1 )( k

  2 k + +

• ( k 2 )

  Langkah 2:

  k k

  ( + + 1 )( 1 ) Untuk n = k

  =

• k k (

  1 )( 2 ) Misalkan rumus berlaku untuk n=k rumus menjadi

• k

  1 = Æ terbukti

  1

  1 1 k

  k

• 1

  2

• . . . + + + =

  2

1 Langkah 3 :

  6 12 k ( k + + 1 ) k

  Untuk n = k+1 Berdasarkan langkah 2 :

  1

  1

  1 1 k

• . . . + = + +

  2

  1

  6 12 k ( k 1 ) k + +

  www.belajar-matematika.com - 6