SOAL SOAL KALKULUS LANJUTAN
TUGAS KALKULUS LANJUT
SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
Oleh:
KAMELIANI
1211041016
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
(2)
Universitas Negeri Makassar Page 2
SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
A.
SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
Integral lipat dua dan integral lipat tiga mewarisi hampir semua sifat-sifat integral tunggal. Berikut adalah sifat-sifat integral lipat dua (yang juga dimiliki integral sifat tiga).
(1) Integral lipat dua bersifat linear, yaitu
∬[ , + , ] � = ∬ , � + ∬ , �
∬ , � = ∬ , �, ℎ
(2) . � , , , ,
∬ , � ∬ , �
. , , , ⊂
∬ , � ∬ , �,
. Integral lipat dua bersifat aditif (dapat dijumlahkan) pada daerah yang saling
berimpit pada hanya sebuah sisi atau ruas garis.
(3)
Universitas Negeri Makassar Page 3
Sifat-sifat integral tersebut membawa beberapa akibat yang perlu dikemukakan di sini. Misalkan , � untuk semua , di maka
(luas R)
=
,
�
= �
(luas R)Satu sifat lainnya yang perlu dikemukakan adalah akibat dari sifat
−| , | , | , |
Berdasarkan sifat integral nomor 2, maka berlaku
− ∬ | , | ∬ , ∬ | , |
Atau
∬ , ∬ | , |
Untuk fungsi yang kontinu, ternyata urutan pengintegralan tidak menjadi masalah. Hal ini dituliskan dalam teorema berikut.
Teorema urutan integral (Teorema Fubini)
∬ , = ∫ [∫ , ] = ∫ [∫ , ]
(4)
Universitas Negeri Makassar Page 4
B.
PENERAPAN SIFAF-SIFAT INTEGRAL DALAM
MENYELESAIKAN MASALAH
.Soal dan Pembahasan
1. Hitunglah integral berikut berdasarkan daerah D yang diberikan!
∬ �
�
, � = { , | , }
Penyelesaian:
Dengan menerapkan sifat (1) dan (2), maka
∬ � � = ∫ ∫ = ∫ | = ∫ ( − ) = ∫ ( ) − ∫ = [ − ] = ( − ) − ( − ) = −
2. Hitunglah integral berikut berdasarkan daerah D yang diberikan!
∬ − �
�
,
D adalah segitiga dengan titik puncak (0,3) , (1,1), dan (5,3)
Penyelesaian:
Pertama-tama harus dibuat persamaan garis yang melalui titik-titik puncak tersebut, agar bisa diketahui batas-batas daerahnya.
Kita dapat membuat persamaan garis berdasarkan dua titik puncak yang diketahui. Persamaan garis yang melalui titik (0,3) dan (1,1)
−
− ` =
−
(5)
Universitas Negeri Makassar Page 5 − − = − − − = − = − +
Persamaan garis yang melalui titik (0,3) dan (5,3)
− − ` = − − ` − − = − − = =
Persamaan garis yang melalui titik (1,1) dan (5,3)
− − ` = − − ` − − = − − − = − = +
(6)
Universitas Negeri Makassar Page 6
Ada dua cara untuk mendeskripsikan daerah yang diarsir.
Cara I
Jika kita menggunakan fungsi x, maka daerah D akan dibagi menjadi dua daerah karena fungsi yang berada di bawah berbeda bergantung pada nilai x. Pada kasus ini, daerah D diberikan sebagai � = � � , dimana
� = { , | , − + }
� = { , | , + }
Dengan menggunakan sifat (6), maka
∬ − �
�
= ∬ − �
�
+ ∬ − �
�
= ∫ ∫ −
− + +∫ ∫ + −
= ∫ − |− + + ∫ − | +
= ∫ [ − + − + ] + ∫ [− + − + ( + ) ]
= [ − − − + ] + [− + − + ( + ) ]
= −
Perhatikan bahwa menyelesaikan integral pada fungsi berbentuk kuadrat tidak perlu dikalikan satu persatu. Lebih mudah diintegralkan dengan integral subsitusi yang telah dipelajari di Calculus I.
(7)
Universitas Negeri Makassar Page 7
Cara II
Jika kita menggunakan fungsi y, maka daerah D tidak perlu dibagi menjadi dua bagian.
Batas-batas untuk x adalah
= − + → = − +
= + → = −
� = { , | − + − , }
Sehingga
∬ − �
�
= ∫ ∫ − −
− +
= ∫ − |− −+
= ∫ − + − − (− + ) dy
= [ y − y + y − + (− y + ) ]
= −
3. Hitunglah nilai integral berikut dengan membalikkan urutan dari integralnya. !
∫ ∫9
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa kita tidak bisa melakukan integral terhdap karena kita membutuhkan di depan eksponensial untuk melakukan integral terhadap . Akan tetapi, jika urutan integral dibalik, maka kita bisa menghitung nilai integral di atas.
(8)
Universitas Negeri Makassar Page 8
Membalik urutan integral artinya kita akan melakukan integral terhadap terlebih dahulu kemudian terhadap . Ketika membalik urutan integral, maka batas-batsanya juga akan berubah.
Agar memudahkan mencari batas-batasnya, maka pertama-tama kita gambarkan daerah yang diberikan berdasarkan batas-batas yang telah diketahui. Berdasarkan integral di atas, batas-batas daerahnya adalah
Berdasarkan pertidaksamaan di atas, batas bawah pada sumbu y adalah = ^ dan batas atas pada sumbu y adalah = dengan batas pada sumbu yaitu antara
= dan = .
Berikut ini adalah gambar daerah yang dimaksud
Karena kita ingin mengintegralkan terhadap terlebih dahulu,maka kita perlu menentukan batas-batas untuk terlebih dahulu, kemudian batas-batas untuk . Batas pada sumbu adalah √
Batas pada sumbu adalah
Sehingga bentuk integralnya sekarang adalah sebagai berikut
(9)
Universitas Negeri Makassar Page 9
Berikut adalah penyelesaian untuk bentuk integral yang baru
√ 9
= 9 √
= ∫9 ∫√
= ∫9 [ ]√
= ∫9 [ ]√
= ∫9
= |
= 9−
C.
Menerapkan Sifat-Sifat Integral untuk Menyelesaikan Soal Integral pada Daerah Persegi Panjang dan Bukan Persegi PanjangContoh Soal!
Daerah Persegi Panjang
1. Tentukan Volume benda pejal di bawah bidang = + + pada =
{ , : ,
Penyelesaian:
∫ ∫ + + = ∫ [ + + ]
= ∫ ( + + )
= [ + + ]
= ( + + ) − ( + + ) =
(karena di integralkan terhadap , maka dianggap konstanta, sehingga berlaku sifat linear integral
(10)
Universitas Negeri Makassar Page 10
daerah = + + pada = { , : ,
2. Carilah Volume benda pejal yang berada di atas fungsi g(x,y) dan berada di bawah fungsi f(x,y) dengan batas-batas x dan y sebagai berikut.
, = − , = − −
− , , − , ,
Penyelesaian:
Volume = ∫ ∫ [ −, − − − ]
− , ,
− ,
= ∫ [, − − ]
− ,
, − ,
= ∫ {[, − , ] − [− + , ]}
− ,
= ∫ [, − ]
− ,
= [ − ] ,− ,
= +
(11)
Universitas Negeri Makassar Page 11
Daerah bukan Persegi Panjang
1. Carilah volume benda yang dibatasi oleh persamaan bola + + = dan Paraboloida = +
Penyelesaian:
Bentuk daerahnya adalah sebagai berikut
Gambar di atas adalah daerah yang dimaksud yakni irisan antara bola dan paraboloida.
Subsitusi = + ke persamaan + + =
(12)
Universitas Negeri Makassar Page 12
+ + + =
+ + + − =
+ − + + =
Untuk + − = maka = ±√ −
untuk + + = tidak ada solusi
Batas-batas untuk y adalah −√ − √ − sedangkan untuk x adalah −√ √
Sehingga dengan menggunakan maple, volume benda yang diperoleh adalah diperoleh
∫ ∫√ − √ − −
−√ − − +
√
−√ = √ � − � = ,
Perhitungan dengan Maple
(13)
Universitas Negeri Makassar Page 13
D.
Menerapkan Sifat-Sifat Integral untuk Menyelesaikan Soal Integral dalam Koordinat PolarSoal Dan Pembahasan
1. Hitunglah nilai integral berikut dengan mengubahnya ke dalam koordinat polar terlebih dahulu.
∬ �
�
D adalah daerah di antara lingkaran dnegan jari-jari 2 dan jari-jari 5 . lingkaran-lingkaran tersebut berpusat pada titik asal. Daerahnya berada pada kuadran I.
Penyelesaian:
Pertama-tama kita harus mengubah daerah D dalam koordinat polar. Lingkaran dengan jari-jari 2 berarti = , dan lingkaran dengan jari-jari 5 berarti = . Karena daerah yang dimaksud berada di antara jari-jari tersebut, maka dapat dituliskan
Sedangkan daerah yang dimaksud berada pada kuadran I, sehingga dapat dituliskan � �
Diketahui bahwa dalam koordinat polar, = cos � dan = sin �,
� = �
Sehingga,
∬ �
� = ∫ ∫
�
cos � sin � �
= ∫ ∫ sin �
�
�
= ∫ [ sin � ]
�
�
= �[ sin � ] � (menggunakan sifat kelinearan integral)
(14)
Universitas Negeri Makassar Page 14
= − ( ) cos � |�
=
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh = + sin � dan = Penyelesaian:
Daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Untuk mengetahui luas daerah di atas, maka terlebih dahulu perlu diketahui batas-batas untuk nilai � dimana kurva saling berpotongan.
Untuk mengetahui nilai � bisa dilakukan dengan cara sebagai berikut. Diketahui = + sin � dan =
Dapat dituliskan + sin � =
(15)
Universitas Negeri Makassar Page 15
Berikut ini adalah gambar daerah �
Kita tahu bahwa −� adalah bentuk lain dari �
Jika kita gunakan � � � maka kita akan menghitung daerah yang tidak di arsir. Oleh karena itu batas yang digunakan adalah −� � �
Untuk menentukan nilai , fungsi yang terdekat dengan titik asal merupakan batas bawah, dan fungsi yang terjauh merupakan batas atas.
Sehingga luas daerah D adalah
� = ∬ �
�
= ∫ ∫ + sin � �
�
−�
= ∫ | + sin �
�
−� �
= ∫ ( + � + sin � ) �
�
−�
= ∫ ( + � − cos � ) �
�
(16)
Universitas Negeri Makassar Page 16
= � − cos � − sin �|
−� �
= √ + �
= ,
3. Tentukan volume benda yang berada di bawah bola + + = , di atas bidang = , dan berada pada silinder + =
Penyelesaian:
Kita tahu bahwa rumus untuk menentukan volume adalah
� = ∬ , �
�
Ubah fungsi + + = ke bentuk = √ − + . Kita mengambil nilai yang positif karena kita akan menghitung di atas bidang =
Kini kita mempunyai dua fungsi yaitu = dan = √ − +
Kita ingin menghitung daerah yang berada di bawah bola tetapi berada pada silinder + = .
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Jadi, daerah yang akan dicari volumenya adalah sebuah cilinder yang penutupnya merupakan sebuah bola.
(17)
Universitas Negeri Makassar Page 17
Sebelumnya kita ubah terlebih dahulu batas-batasnya dalam koordinat polar.
� �
√ (jari-jari silinder)
Sehingga volume daerah yang dimaksud adalah
� = ∬ √ − −
� �
= ∫ ∫ √ − �� √ = +
= ∫ −� − |√ �
= − ∫ � − |√ �
= ∫ � �
= �
4. Hitunglah volume benda yang berada di antara fungsi = + dan bidang
= .
Penyelesaian:
(18)
Universitas Negeri Makassar Page 18
Volume yang dicari adalah daerah selisih antara kedua kurva tersebut, yakni
� = ∬
� � − ∬� + � = ∬� − + �
Agar memudahkan dalam mencari nilai volume, fungsi di atas di ubah dalam koordinat polar. Demikian pula batas-batas daerahnya.
Berikut ini adalah batas-batas daerahnya
� � = −
Sehingga,
� = ∬ − + �
�
= ∫ ∫ −
�
�
= ∫ ( − )|
�
� = ∫
�
�
(19)
Universitas Negeri Makassar Page 19 DAFTAR PUSTAKA
Purcell,dkk.2011.Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2. Jakarta: Erlangga
Budi Wono Setya.2001.Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunannya.Bandung:ITB.
http://www.math24.net/definition-and-properties-of-double-integrals.html (di akses 24 Desember 2014)
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIGeneralRegion.aspx (di akses 24 Desember 2014)
http://ltcconline.net/greenl/courses/202/multipleintegration/Volume.htm (di akses 29 Desember 2014)
http://www2.seminolestate.edu/lvosbury/CalculusIII_Folder/ExamplesForExam4.ht m (di akses 5 Januari 2015)
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIPolarCoords.aspx (di akses 5 Januari 2015)
(1)
Universitas Negeri Makassar Page 14 = − ( ) cos � |�
=
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh = + sin � dan = Penyelesaian:
Daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Untuk mengetahui luas daerah di atas, maka terlebih dahulu perlu diketahui batas-batas untuk nilai � dimana kurva saling berpotongan.
Untuk mengetahui nilai � bisa dilakukan dengan cara sebagai berikut. Diketahui = + sin � dan =
Dapat dituliskan + sin � = sin � = − � = �, �
(2)
Universitas Negeri Makassar Page 15 Berikut ini adalah gambar daerah �
Kita tahu bahwa −� adalah bentuk lain dari �
Jika kita gunakan � � � maka kita akan menghitung daerah yang tidak di arsir. Oleh karena itu batas yang digunakan adalah −� � �
Untuk menentukan nilai , fungsi yang terdekat dengan titik asal merupakan batas bawah, dan fungsi yang terjauh merupakan batas atas.
Sehingga luas daerah D adalah � = ∬ �
�
= ∫ ∫ + sin � �
� −�
= ∫ | + sin �
�
−� �
= ∫ ( + � + sin � ) �
� −�
= ∫ ( + � − cos � ) �
� −�
(3)
Universitas Negeri Makassar Page 16 = � − cos � − sin �|
−� �
= √ + �
= ,
3. Tentukan volume benda yang berada di bawah bola + + = , di atas bidang = , dan berada pada silinder + =
Penyelesaian:
Kita tahu bahwa rumus untuk menentukan volume adalah
� = ∬ , �
�
Ubah fungsi + + = ke bentuk = √ − + . Kita mengambil nilai yang positif karena kita akan menghitung di atas bidang =
Kini kita mempunyai dua fungsi yaitu = dan = √ − +
Kita ingin menghitung daerah yang berada di bawah bola tetapi berada pada silinder + = .
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.
Jadi, daerah yang akan dicari volumenya adalah sebuah cilinder yang penutupnya merupakan sebuah bola.
(4)
Universitas Negeri Makassar Page 17
� �
√ (jari-jari silinder)
Sehingga volume daerah yang dimaksud adalah
� = ∬ √ − −
� �
= ∫ ∫ √ − �� √ = +
= ∫ −� − |√ �
= − ∫ � − |√ �
= ∫ � �
= �
4. Hitunglah volume benda yang berada di antara fungsi = + dan bidang = .
Penyelesaian:
(5)
Universitas Negeri Makassar Page 18 Volume yang dicari adalah daerah selisih antara kedua kurva tersebut, yakni
� = ∬
� � − ∬� + � = ∬� − + �
Agar memudahkan dalam mencari nilai volume, fungsi di atas di ubah dalam koordinat polar. Demikian pula batas-batas daerahnya.
Berikut ini adalah batas-batas daerahnya
� � = −
Sehingga,
� = ∬ − + �
�
= ∫ ∫ −
�
� = ∫ ( − )|
�
� = ∫
�
� = �
(6)
Universitas Negeri Makassar Page 19 DAFTAR PUSTAKA
Purcell,dkk.2011.Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2. Jakarta: Erlangga
Budi Wono Setya.2001.Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunannya.Bandung:ITB. http://www.math24.net/definition-and-properties-of-double-integrals.html (di akses
24 Desember 2014)
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIGeneralRegion.aspx (di akses 24 Desember 2014)
http://ltcconline.net/greenl/courses/202/multipleintegration/Volume.htm (di akses 29 Desember 2014)
http://www2.seminolestate.edu/lvosbury/CalculusIII_Folder/ExamplesForExam4.ht m (di akses 5 Januari 2015)
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/DIPolarCoords.aspx (di akses 5 Januari 2015)