pembahasan soal ujian kalkulus

PEMBAHASAN SOAL UJIAN KALKULUS
TIPE SOAL : 2
1. Dengan menggunakan definisi, buktikan lim x  1
x1

Jawab:
Ambil sebarang   0,   0 , yakni    sedemikian sehingga
Jika o | x  1|  , maka | x  1|   
Terbukti bahwa lim x  1
x1

2. Diberikan g ( x)  2 x , dengan menggunakan definisi turunan tentukan apakah g ' 1

1
ada atau
2

tidak ada.
Jawab:

1

Dalam kasus ini, domain dari g ( x) akan dibatasi di sekitar x  1 , sehingga fungsi g ( x)  2 x
2
1
di sekitar x  1 dapat dinyatakan sebagai
2
1

3, untuk 1 2  x  2
g ( x)  2 x  
2, untuk 1  x  1 1

2

 1
g ( x)  g 1 
g ( x)  g (c)
 1
 2
Dari definisi turunan diperoleh g '(c)  lim
, sehingga g ' 1   lim

1
xc
1
xc
 2  x12
x 1
2
 1
g ( x)  g 1 
 2  ada.
Akan diselidiki apakah lim
1
1
x1
x 1
2
2
 1
g ( x)  g 1 
 2   lim 3  3  lim 0  0

lim
1
1 x11
1
1
1
x1
x1
1
x

2 x 1
2
2 x 1
2
2
2
 1
g ( x)  g 1 
 2   lim 2  3  lim 1  

lim
1
1 x11 
1
1
1
x1
x1
x 1
2
2 x 1
2 x 1
2
2
2
 1
 1
 1
g ( x)  g 1 
g ( x)  g 1 

g ( x)  g 1 
 2  tidak ada.
 2   lim
 2  , maka lim
Karena lim

1
1
1
1
1
1
x1
x1
x1
x 1
x 1
x 1
2
2

2
2
2
2
 1
Sehingga disimpulkan bahwa g ' 1  tidak ada.
 2
Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

3. Hitunglah lim
t 0

Jawab:

tan 3t 

lim
t 0

tan 3t

sin t

sin 3t sin t cos 2t  cos t sin 2t sin t cos 2t  2cos 2 t sin t
, sehingga


cos3t
cos3t
cos3t

tan 3t
1 sin t cos 2t  2cos 2 t sin t
cos 2t  2cos 2 t 1  2
 lim
 lim

3
t 0 cos t
t 0
sin t

sin t
cos t
1

4. Misalkan h(x) = {

| |

Carilah a dan b , sehingga h kontinu dimana-mana.
Jawab:
Asumsikan bahwa h( x) kontinu dimana-mana.

Oleh karena h( x) kontinu dimana-mana, maka lim h( x)  f (0) dan lim h( x)  h(1) .
x0

x1

lim h( x) ada, berarti lim h( x)  lim h( x) , sehingga lim h( x)  lim h( x)
x0

x0

x0

x0

x0

lim h( x) ada, berarti lim h( x)  lim h( x) , sehingga lim h( x)  lim h( x)
x1

lim h( x)  h(0)

x1

x1

x1

lim h( x)  h(1)

x1

x1

 lim h( x)  h(1)

x 0

 lim h( x)  h(0)

x1

x 0

 a b 

x
1
x

karena b  0, maka a  1

 0  a .0 b
b  0

Jadi nilai a dan b agar h kontinu dimana-mana adalah a  1 dan b  0 .
5. Carilah Dx2 ( f ( g ( x))  g 2 ( x)) untuk x  1 , jika diketahui
f (1)  2, f '(1)  4, f ''(1)  1, g (1)  1, g '(1)  3 dan g ''(1)  5

Jawab:
Dx ( f ( g ( x))  g 2 ( x))  f '( g ( x)) g '( x)  2 g ( x) g '( x)

Dx2 ( f ( g ( x))  g 2 ( x))  Dx ( f '( g ( x)) g '( x)  2 g ( x) g '( x))
Dx2 ( f ( g (1))  g 2 (1))

 f ''( g ( x)) g '( x) g '( x)  f '( g ( x)) g ''( x)  2 g '( x) g '( x)  2 g ( x) g ''( x)

 f ''( g (1)) g '(1) g '(1)  f '( g (1)) g ''(1)  2 g '(1) g '(1)  2 g (1) g ''(1)
 f ''(1).3.3  f '(1).5  2.3.3  2.1.5

 (1).9  4.5  18  10
 9  20  28

 17
6. Sebuah tangga sepanjang 8 meter bersandar pada dinding suatu bangunan. Jika bagian bawah
tangga tergelincir menjauhi dinding dengan kecepatan 50 centimeter per detik. Seberapa cepat
bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter dari dinding?
Jawab:

Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

dinding

8 meter

lantai

8 2  x2  y 2
0  2x

dx
dy
 2y
dt
dt
dy
x dx

dt
y dt

Karena x = 2, maka y  82  22  60  2 15 , sehingga

2
15
dy
(tanda negatif berarti bergerak turun)
.0,5  

30
dt
2 15
Jadi seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter
adalah

15
meter per detik.
30

7. Gunakan diferensial untuk menentukan nilai pendekatan dari

3

26,1

Jawab:
Dari rumus diferensial diperoleh f ( x  x)  f ( x)  dy  f ( x)  f '( x)x
Misalkan f ( x)  3 x , maka f '( x) 
3

1
3 3 x2

.

26,1  f (26,1)  f (27  0,9)  f (27)  f '(27)(0,9)  3 27 

Jadi nilai pendekatan dari

3

1
3

3 27

2

(0,9)  3 

26,1 adalah 2,967

8. Buat sketsa grafik fungsi f yang memenuhi semua kondisi berikut:
1. Domani fungsi f =[-3, 5]
2. Fungsi f kontinu pada interval [-2, -1), [-1, 1], (1, 2] dan interval (2, 3)
3. f (2)  f (1)  f (2)  f (4)  2
4. lim f ( x)  lim f ( x)  0
x1

5. lim f ( x)  1

x4

x0

6. f '( x)  0 pada x  (1, 2), f '( x)  0 pada x  (3, 2) , dan f '(3) tidak ada.

Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

0,9
 2,967
27

PEMBAHASAN SOAL UJIAN KALKULUS
TIPE SOAL : 1
1. Dengan menggunakan definisi, buktikan lim x  3
x3

Jawab:
Ambil sebarang   0,   0 , yakni    sedemikian sehingga
Jika o | x  3 |  , maka | x  3 |   

Terbukti bahwa lim x  3
x3

2. Diberikan g ( x)  2 x , dengan menggunakan definisi turunan tentukan apakah g '
tidak ada.
Jawab:

Dalam kasus ini, domain dari g ( x) akan dibatasi di sekitar x 
di sekitar x 

1
ada atau
2

1
, sehingga fungsi g ( x)  2 x
2

1
dapat dinyatakan sebagai
2

1

1, untuk 2  x  1
g ( x)  2 x  
0, untuk 0  x  1

2

1
g ( x)  g  
g ( x)  g (c)
1
2
Dari definisi turunan diperoleh g '(c)  lim
, sehingga g '    lim
1
xc
1
xc
 2  x 2
x
2
1
g ( x)  g  
 2  ada.
Akan diselidiki apakah lim
1
1
x
x
2
2
1
g ( x)  g  
 2   lim 1  1  lim 0  0
lim
1
1 x 1
1
1
1
x
x
x

2 x
2
2 x
2
2
2
1
g ( x)  g  
 2   lim 0  1  lim 1  
lim
1
1 x 1 
1
1
1
x
x
x
2
2 x
2 x
2
2
2
1
1
1
g ( x)  g  
g ( x)  g  
g ( x)  g  
 2   lim
 2  , maka lim
 2  tidak ada.
Karena lim

1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
1
Sehingga disimpulkan bahwa g '   tidak ada.
2
Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

3. Hitunglah lim
t 0

tan t
sin 4t

Jawab:

sin t
, dan sin 4t  2sin 2t cos 2t  4sin t cos t (1  2sin 2 t )  4sin t cos t  8sin 3 t cos t
cos t
tan t
1
sin t
1
1
1
lim
 lim
 lim

2
2
t 0 sin 4t
t 0 cos t sin t (4cos t  8sin t cos t )
t 0 cos t (4cos t  8sin t cos t )
4
tan t 

4. Misalkan h(x) = {

| |

Carilah a dan b , sehingga h kontinu dimana-mana.
Jawab:
Asumsikan bahwa h( x) kontinu dimana-mana.

Oleh karena h( x) kontinu dimana-mana, maka lim h( x)  h(0) dan lim h( x)  h(1) .
x0

x1

lim h( x) ada, berarti lim h( x)  lim h( x) , sehingga lim h( x)  lim h( x)
x0

x0

x0

x0

x0

lim h( x) ada, berarti lim h( x)  lim h( x) , sehingga lim h( x)  lim h( x)
x1

lim h( x)  h(0)

x1

x 0

 lim h( x)  h(0)

x1

x1

lim h( x)  h(1)

x1

x1

 lim h( x)  h(1)

x 0

x
 a b 1

 a .0 b
x
karena b  1, maka a  2
 1  b
Jadi nilai a dan b agar h kontinu dimana-mana adalah a  2 dan b  1 .
5. Carilah Dx2 ( f ( g ( x))  g 2 ( x)) untuk x  1 , jika diketahui
x1

f (1)  2, f '(1)  5, f ''(1)  1, g (1)  1, g '(1)  4 dan g ''(1)  2

Jawab:
Dx ( f ( g ( x))  g 2 ( x))  f '( g ( x)) g '( x)  2 g ( x) g '( x)

Dx2 ( f ( g ( x))  g 2 ( x))  Dx ( f '( g ( x)) g '( x)  2 g ( x) g '( x))
Dx2 ( f ( g (1))  g 2 (1))

 f ''( g ( x)) g '( x) g '( x)  f '( g ( x)) g ''( x)  2 g '( x) g '( x)  2 g ( x) g ''( x)

 f ''( g (1)) g '(1) g '(1)  f '( g (1)) g ''(1)  2 g '(1) g '(1)  2 g (1) g ''(1)
 f ''(1).4.4  f '(1).2  2.4.4  2.1.2

 (1).16  5.2  32  4
 16  10  36

 42
6. Sebuah tangga sepanjang 9 meter bersandar pada dinding suatu bangunan. Jika bagian bawah
tangga tergelincir menjauhi dinding dengan kecepatan 0,5 meter per detik. Seberapa cepat bagian
atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 3 meter dari dinding?
Jawab:

Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

dinding

9 meter

lantai

9 2  x2  y 2
0  2x

dx
dy
 2y
dt
dt
dy
x dx

dt
y dt

Karena x = 3, maka y  92  32  72  6 2 , sehingga

dy
3
1
1


.0,5  
2 (tanda negatif berarti bergerak turun)
dt
8
6 2
4 2
Jadi seberapa cepat bagian atas tangga bergerak turun ketika bagian bawah mencapai 2 meter
1
adalah
2 meter per detik.
8

7. Gunakan diferensial untuk menentukan nilai pendekatan dari

3

26,8

Jawab:
Dari rumus diferensial diperoleh f ( x  x)  f ( x)  dy  f ( x)  f '( x)x
Misalkan f ( x)  3 x , maka f '( x) 
3

1
3

3 x2

.

26,8  f (26,8)  f (27  0, 2)  f (27)  f '(27)(0, 2)  3 27 

Jadi nilai pendekatan dari

3

1
3

3 27

2

( 0, 2)  3 

26,8 adalah 2,993

8. Buat sketsa grafik fungsi f yang memenuhi semua kondisi berikut:
1. Domani fungsi f =[-3, 5]
2. Fungsi f kontinu pada interval [-2, -1), [-1, 1], (1, 2] dan interval (2, 3)
3. f (2)  f (1)  f (2)  f (4)  4
4. lim f ( x)  lim f ( x)  2
x1

5. lim f ( x)  3

x4

x0

6. f '( x)  0 pada x  (1, 2), f '( x)  0 pada x  (3, 2) , dan f '(3) tidak ada.

Pembahasan Soal Ujian Kalkulus

0, 2
 2,993
27