2 cos
2 cosh
3 3
2 j
j j
j
e q
R
tan 2
tanh tan
j j
j
,
2 1
2 1
tan
c c
q q
2 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
ln c
c q
q c
c q
q
,
2 2
1 2
2 2
1 2
1
1 2
tan c
c q
q c
c q
j j
j
. Profil amplitudo pada puncak inte-
raksi yang dinyatakan oleh selesaian dua soliton persamaan NLS telah diberikan [2],
dalam bentuk fungsi amplitudo dan fase riil berikut ini,
, t
x A
=
2 2
, ,
t x
N t
x R
, exp
t x
I
3.2 dimana,
, ,
t x
R
2 cos
2
1 2
2 1
2 1
2 2
2 1
R R
R R
, 2
2 1
tan arctan
2 1
,
1 2
2 1
2 1
2 1
2 1
R R
R R
t x
j j
j j
3 3
,
j j
j j
j
p q
c c
2 2
,
2 ,
1
j
.
Struktur amplitudo paket gelom- bang pada saat berjauhan dapat dijelaskan
sebagai berikut i. Untuk
2
, dan
1
konstan:
2 exp
sec 2
,
1 2
1 1
1 1
I q
h q
A
ii. Untuk
1
, dan
2
konstan,
2 exp
sec 2
,
2 2
2 2
2 2
i q
h q
A
iii. Untuk
2
, pada
1
konstan,
exp sec
2 ,
1 1
1 1
1
i
I q
h q
A
iv. Untuk
1
, pada
2
konstan,
exp sec
2 ,
2 2
2 2
2
i q
h q
A
Pada saat yang terpisah jauh sele- saian dua soliton dinyatakan sebagai super-
posisi dari satu individu soliton. Maka in- teraksi dua paket gelombang pada saat
terpisah jauh dipandang sebagai superposi- si dua individu paket gelombang. Struktur
amplitudo paket gelombang pada saat ter- pisah jauh dapat dituliskan sebagai berikut,
t e
p k
q A
e p
k q
A t
e p
k q
A e
p k
q A
t x
u
i tetap
i tetap
i tetap
i tetap
, ,0,
, 2
, ,
, ,
2 ,
, ,
,0, ,
,
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
2 2
2 2
1 1
1 1
Dari analisis di atas dapat dijelas- kan bahwa pada saat terpisah jauh dua pa-
ket gelombang dinyatakan sebagai super- posisi individu paket gelombang yang ma-
sing masing mempunyai parameter ampli- tudo
2 1
, q q
dan bilangan gelombang
2 1
, k k
. Dua parameter yang lain
2 1
, p p
mempu-nyai hubungan fisik sebagai selisih fase, yang akan menentukan proses
interaksi.
4. IDENTIFIKASI PARAMETER
Pada saat terpisah amplitudo paket gelombang merambat secara translasi.
Perhatikan bahwa osilasi modulasi se- kunder memiliki fase
i i
. Dengan demikian fase
i i
harus dinyata- kan dalam koordinat bergerak
i
, dengan
i i
c 2
. Persamaan fase ini dituliskan kem-
bali menjadi,
i i
=
i i
i i
p q
c c
2 2
t k
x k
t k
x k
i i
i i
i
k k
c
-
p k
k c
k k
k q
c
i i
i i
2 1
2 2
2
2
146
Untuk ini harus ditentukan koefisien dari
sama dengan nol. Sehingga diperoleh persamaan untuk
i
c
yang bergantung pada
i
k
dan
i
q
, dengan bilangan gelombang
k
dipilih sebagai
2 1
2 1
k k
k
. Maka per-samaan untuk
i
c
, memenuhi fungsi implisit berikut ini,
2 1
2 2
2 2
k
k i
c k
i k
k i
q i
c
4.1 Dengan demikian fase dari individu ge-
lombang amplitudo hanya tergantung pada koordinat berjalan
2 ,
1 ,
i
i
. Ini menun- jukkan bahwa amplitudo
,
i
A
berjalan secara translasi. Selanjutnya dengan pemilihan par-
ameter tersebut dianalisis profil interaksi yang berbentuk simetris disekitar puncak
interaksi. Pada puncak interaksi berlaku persamaan,
2 ,
1 ,
2 1
i q
i i
. Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini diper-
oleh titik pusat interaksi
, t
x
pada sis- tem koordinat fisis
, t
x
, dimana k
q q
q c
q c
q k
q k
x
2 1
2 1
1 2
2 2
1
2 2
dan
k q
q q
q t
2 1
2 2
1
4
. Untuk interaksi ampli- tudo pada puncak interaksi, terdapat hubu-
ngan antara
i
c
dan
i
k
yang dinyatakan oleh
.
i i
k k
c
Dengan melakukan transformasi koordinat,
x x
x
, maka komponen fase pada formula 2.5 men-jadi
p x
k
2
2 1
4.2
x i
q i
i q
2 2
4.3
tan h
arctantan 2
2 2
1 2
2 1
x q
x k
p
x q
tan
h arctantan
1 1
4.4
x q
q q
q 2
1 2
2 1
1
4.5
x q
q q
q 2
1 2
2 1
1
4.6 Dengan hasil analisis pada persamaan
4.2–4.6 ini, menyatakan bahwa kom- ponen fungsi pada formula 3.1 tersebut
adalah simetris terhadap
x
. Ini berarti bahwa interaksi amplitudo gelombang pa-
da puncak interaksi adalah simetris. Selisih fase
2 1
p p
, ini menentukan profil inte- raksi. Untuk
2 mod
2 1
p
p
, me- nyatakan profil interaksi in-phase dalam
fase, sedangkan
untuk
2 mod
2 1
p p
menyatakan profil interaksi out-of-phase luar fase.
Pada interaksi amplitudo terdapat dua fungsi yang menentukan osilasi mo-
dulasi sekunder yaitu
cos 2
cos
, 2
1
p x
k
t x
4.7 yang mempunyai panjang gelombang
k
2
dan
, 1
2 2
1
2 cos
t x
cos
1 2
p x
k
4.8 dengan panjang gelombang disekitar
k t
x
2 ,
. Kedua fungsi ini adalah sime-tris pada puncak interaksi terhadap
koordi-nat
x
. Profil interaksi amplitudo tersebut
akan lebih rumit untuk nilai parameter
k q
q
2 1
tan
yang lebih kecil. Hal ini dapat dilihat dengan memperhatikan
perbe-daan skala panjang pada proses yang ber-kaitan. Ada dua skala panjang yang
me-nentukan proses interaksi. Skala panjang yang menentukan lebar interval
interaksi, yang nilainya berbanding terbalik jumlah parameter masing masing
amplitudo,
int
»
2 1
1 q
q
Skala panjang yang menentukan gelom- bang modulasi, diberikan oleh
k
2 mod
. Parameter karakteristik dikenali mempu-
nyai nilai yang sebading dengan rasio anta- ra skala panjang modulasi dan skala pan-
jang interaksi
k q
q
2 1
»
int mod
5. SIMULASI NUMERIK
