PARAMETER ESTIMATION OF GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION (GLD) USING THE MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD IN SOFTWARE R

PENDUGAAN PARAMETER GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION (GLD) DENGAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

MENGGUNAKAN SOFTWARE R

Oleh

Rini Wong Dani

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2014

ABSTRACT

PARAMETER ESTIMATION OF GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION (GLD) USING THE MAXIMUM LIKELIHOOD

METHOD IN SOFTWARE R

By

RINI WONG DANI

Parameter estimation is one of inferential statistics. Parameter estimation to be used to estimate of unknown population. In this study discuss about parameters estimation of Generalized Lambda Distribution (GLD). Generalized Lambda Distribution is a distribution with four parameters which is developed from a single parameter of Lambda Tukey distribution. To estimate parameters of GLD, we use Maximum Likelihood Method shows that the estimation of GLD cannot be solved analytically. To solve this problem this study itteratively utilizes Newton Rapshon Method using software R. The estimate values of parameters value of GLD’s obtained from simulation. Their biased is calculated as well of data. From the calculation proves that the large size of data then biased values tend to be smaller.

Keywords : Generalized Lambda Distribution (GLD), Maximum Likelihood Method, Newton Raphson Method.

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR TABEL

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang ... 1

1.2Batasan Masalah ... 3

1.3Tujuan Penelitian ... 3

1.4Manfaat Penelitian ... 3

II. LANDASAN TEORI 2.1Generalized Lambda Distribution (GLD) ... 4

2.2Fungsi Kepekatan Peluang GLD ... 5

2.3Pendugaan Parameter ... 8

2.4Metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation) ... 10

2.5Metode Newton Raphson ... 11

2.6Program R ... 13

III.METODOLOGI PENELITIAN 3.1Waktu dan Tempat Penelitian ... 14

3.2Metode Penelitian ... 14

IV.HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1Pendugaan Parameter GLD dengan Menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum ... 16

4.1.1 Pendugaan Parameter ... 17

4.1.2 Pendugaan Parameter ... 17

4.1.3 Pendugaan Parameter ... 18

4.1.4 Pendugaan Parameter ... 19

4.2Metode Newton Raphson untuk Pendugaan Parameter dan ... 21

4.2.1 Turunan Kedua Parameter dari Logaritma Natural Fungsi Kemungkinan GLD Terhadap Parameter dan ... 23

4.2.2 Turunan Kedua Parameter dari Logaritma Natural Fungsi Kemungkinan GLD Terhadap Parameter dan ... 23

4.2.3 Turunan Kedua Parameter dari Logaritma Natural Fungsi Kemungkinan GLD Terhadap Parameter

dan ... 23 4.2.4 Turunan Kedua Parameter dari Logaritma Natural Fungsi

Kemungkinan GLD Terhadap Parameter

dan ... 25 4.3Menghitung Bias ... 27 V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Statistika merupakan salah satu cabang pengetahuan yang banyak dipelajari oleh ilmuan dari hampir semua bidang ilmu pengetahuan seperti ilmu kedokteran, teknik, manajemen, sosial, dan semua bidang yang mencakup pengetahuan manusia. Statistika adalah metode atau ilmu yang mempelajari suatu proses dalam merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, dan mempresentasikan data. Statistika dikelompokan menjadi dua macam, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia. Statistika deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna, sedangkan statistika inferensia mencakup semua metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan gugus data populasinya.

Statistika inferensia salah satunya meliputi pendugaan parameter. Untuk mengetahui ukuran populasi atau disebut dengan parameter biasanya mengukurnya tidak secara langsung melainkan dengan cara mengambil sebagian kecil dari populasi (sampel) kemudian mengukurnya. Selanjutnya hasil pengukuran sampel tersebut digunakan untuk menduga ukuran sebenarnya

2 (ukuran populasinya atau parameternya). Dalam melakukan pendugaan parameter dari suatu distribusi dapat dilakukan dengan beberapa metode, salah satu diantaranya adalah Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Penggunaan Metode Kemungkinan Maksimum merupakan metode yang paling efisien dan sering memberikan pendugaan yang baik, karena prinsip dari metode kemungkinan maksimum adalah memilih penduga yang nilai-nilai dari parameternya memaksimumkan fungsi kemungkinan atau memaksimumkan informasi. Dalam menduga parameter dari suatu distribusi ada penduga parameter yang tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga perlu diselesaikan dengan cara numerik. Salah satu cara yang digunakan adalah dengan teknik iteratif yaitu Metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson sering digunakan karena metode ini lebih sederhana dan mempunyai konvergensi yang cepat.

Generalized Lambda Distribution (GLD) awalnya diusulkan oleh Ramberg dan Schmeiser (1974), yang memiliki empat parameter dari hasil generalisasi distribusi Lambda Tukey satu parameter yang telah terbukti berguna dalam berbagai hal seperti konstuksi industri, data atmosfer, finansial, dan kesehatan. Sejak awal 1970-an GLD telah diaplikasikan untuk mencocokkan kejadian di banyak bidang (Karian dan Dudewicz, 2000). Dalam penelitian ini akan dilakukan pendugaan parameter Generalized Lambda Distribution (GLD) dengan Metode Kemungkinan Maksimum menggunakan software R.

3 1.2Batasan Masalah

Pada penelitian ini permasalahan dibatasi untuk membandingkan bias pada pendugaan parameter GLD dari masing-masing ukuran data dengan software R.

1.3Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Menduga parameter GLD dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum

2. Membandingkan bias untuk data berukuran 20, 30, 50, dan 100 dengan masing-masing data dilakukan pengulangan sebanyak 100

1.4Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah memperdalam pemahaman mengenai statistika inferensia khususnya pendugaan parameter GLD.

II. LANDASAN TEORI

Dalam proses penelitian pendugaan parameter dari suatu distribusi diperlukan beberapa konsep dan teori yang mendukung dari ilmu statistika. Berikut akan dijelaskan beberapa konsep dan teori yang berkaitan dengan pendugaan parameter GLD dengan Metode Kemungkinan Maksimum menggunakan software R.

2.1 Generalized Lambda Distribution (GLD)

Keluarga distribusi Lambda Tukey didefinisikan oleh fungsi persentil yang berasal dari distribusi lambda satu parameter yang diusulkan oleh John Tukey (1960).

{

Distribusi Lambda Tukey digeneralisasi dengan tujuan untuk membangkitkan peubah acak dalam pembelajaran simulasi Monte Carlo ke dalam empat parameter GLD oleh Ramberg dan Schmeiser (1972-1974), dan Mykytka (1979). (Aljazar, 2005).

5 Generalized Lambda Distribution (GLD) dengan parameter dan , GLD ( , dengan fungsi persentilnya (invers dari fungsi distribusinya F(x)),

dengan

Parameter dan menunjukkan parameter lokasi dan parameter skala (scale parameter), serta dan menunjukkan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari GLD ( . (Karian dan Dudewicz, 2000).

Dalam menduga parameter GLD diperlukan fungsi kepekatan peluang GLD. Fungsi kepekatan peluang GLD akan dijelaskan pada Subbab 2.2.

2.2. Fungsi Kepekatan Peluang GLD

Untuk GLD ( , fungsi kepekatan peluangnya adalah

Bukti :

Jika , maka kita memiliki . Diturunkan terhadap , maka diperoleh

Atau

( ) ( )

6 Karena bentuk dari pada fungsi peluang dari GLD sudah diketahui, maka :

Sehingga,

_{( )}

Jadi terbukti bahwa :

(Karian dan Dudewicz, 2000).

Teorema 2.1 Peubah Acak GLD

Jika peubah acak adalah GLD , maka peubah acak merupakan GLD ,

Bukti :

Jika adalah GLD ( , maka dari Persamaan (2.1) dapat diperoleh

7 Sehingga,

Oleh karena itu yang mengakibatkan

Menghasilkan

Ini membuktikan bahwa peubah acak merupakan GLD ( . (Karian dan Dudewicz, 2000).

Teorema 2.2 Peubah Acak GLD

Jika adalah suatu peubah acak dari GLD ( , maka merupakan GLD (

Bukti :

Jika adalah GLD ( , maka

dan

8

Selain itu dimana

Ini membuktikan bahwa merupakan GLD ( . (Karian dan Dudewicz, 2000).

Statistika inferensia terdiri dari pengujian hipotesis dan pendugaan. Pada penelitian ini akan dilakukan pendugaan parameter. Pendugaan parameter dilakukan untuk menduga ukuran dari suatu populasi yang belum diketahui. Definisi pendugaan parameter akan dijelaskan pada Subbab 2.3.

2.3 Pendugaan Parameter

Dalam statistika inferensia dibutuhkan pemahaman mengenai kaidah-kaidah pengambilan kesimpulan tentang suatu parameter populasi berdasarkan karakteristik sampel. Hal ini membangun apa yang disebut dengan pendugaan titik dari suatu fungsi kepekatan peluang parameter yang tidak diketahui.

Definisi 2.1

Misal suatu peubah acak memiliki fungsi kepekatan peluang yang bergantung pada suatu parameter tak diketahui dengan sebarang nilai dalam suatu himpunan ruang parameter , maka dinotasikan dengan

9 Definisi 2.2

Misal berdistribusi bebas stokastik identik dengan fungsi kepekatan peluang . Suatu statistik yang digunakan untuk menduga disebut sebagai penduga bagi .

Berkaitan dengan pendugaan parameter akan dijelaskan beberapa sifat penduga yang baik sebagai berikut:

1. Tak Bias

Penduga dikatakan sebagai penduga tak bias bagi jika ( )

2. Varians Minimum

Misal menyatakan suatu penduga tak bias maka disebut penduga varians minimum jika

[ ] 3. Konsisten

Penduga dikatakan sebagai penduga konsisten bagi jika → untuk → yaitu bila

| | (Hoog & Craig, 1995)

Untuk menduga parameter dari suatu distribusi dapat dilakukan dengan beberapa metode. Dalam penelitian ini pendugaan parameter GLD akan dilakukan dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Definisi Metode Kemungkinan Maksimum akan dijelaskan pada Subbab 2.4.

10 2.4 Metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood

Estimation Method)

Definisi 2.3

Misalkan adalah sampel acak berukuran n yang saling bebas stokastik identik dari suatu distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan peluang . Fungsi kepekatan peluang bersama dari adalah yang merupakan fungsi kemungkinan (Likelihood Function). Untuk tetap, fungsi kemungkinan merupakan fungsi dari

dan dilambangkan dengan dan dinotasikan sebagai berikut:

̃

∏

Definisi 2.4

merupakan fungsi kepekatan peluang dari . Untuk hasil pengamatan , nilai ̂ berada dalam ( ̂ ) dimana maksimum yang disebut sebagai Maximum Likelihood Estimation (MLE) dari . Jadi, ̂ merupakan penduga bagi .

Jika ( ̂)

Maka untuk memaksimumkan dapat diperoleh dengan mencari turunan dari terhadap parameternya. Biasanya mencari turunan dari terhadap parameternya relatif sulit, sehingga dalam penyelesaiannya dapat diatasi dengan menggunakan logaritma atau fungsi ln dari yaitu:

11 ∑

Karena fungsi ln merupakan fungsi monoton naik, maka memaksimumkan setara dengan memaksimumkan . Untuk memaksimumkan adalah dengan mencari turunan dari terhadap parameternya, dimana hasil turunannya disamadengankan nol.

(Hoog & Craig, 1995)

Dalam menduga parameter dari suatu distribusi ada penduga parameter yang tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga perlu diselesaikan dengan cara numerik. Salah satu cara yang digunakan adalah dengan teknik iteratif yaitu Metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson sering digunakan karena metode ini lebih sederhana dan mempunyai konvergensi yang cepat. Subbab 2.5 akan menjelaskan tentang definisi Metode Newton Raphson.

2.5 Metode Newton Raphson

Apabila dalam proses pendugaan parameter di dapat persamaan akhir yang non linear maka tidak mudah memperoleh pendugaan parameter tersebut, sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk memecahkan persamaan non linear tersebut. Salah satu metode yang digunakan untuk memecahkan sistem persamaan non linear adalah Metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson adalah metode untuk menyelesaikan persamaan non linear secara iteratif .

Jika merupakan nilai awal (inisialisasi) dari atau merupakan nilai ke-1 dari , maka dapat dimisalkan dan dengan i awal = 0.

12 Metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan lebih dari satu parameter. Misal maka iterasinya sebagai berikut:

Dimana ̂ [ ̂ ̂ ]

dan ̂ [ ̂ ̂ ]

Vektor gradien atau vektor turunan pertama terhadap parameternya dan dilambangkan dengan yaitu :

[ ]

Matriks Hessian atau matriks turunan kedua terhadap parameternya, dilambangkan dengan yaitu :

[ ]

(Seber and Wild, 2003).

Pada penelitian ini untuk memudahkan melakukan proses iterasi dengan Metode Newton Raphson peneliti menggunakan software R. Penjelasan mengenai software R akan dijelaskan pada Subbab 2.6.

13 2.6 Program R

R adalah perangkat lunak bebas untuk komputasi statistik dan grafik. Merupakan proyek GNU General Public License Free Software Foundation yang mirip dengan bahasa S yang dikembangkan di Bell Laboratories oleh Jhon Chambers dan rekan. R menyediakan berbagai statistik seperti linear dan nonlinear modeling, pengujian analisis klasik, analisis time-series, klasifikasi dan lainnya. Sebuah rangkaian perangkat lunak yang digunakan untuk manipulasi data, perhitungan, dan tampilan grafik yang mencakup antara lain sebagai berikut :

a. Penanganan data yang efektif dan penyimpanan data.

b. Rangkaian operator untuk perhitungan array dalam matriks tertentu.

c. Fasilitas grafik untuk analisis data dan menampilkan baik pada layar maupun hardcopy.

d. Bahasa pemprograman yang sederhana, berkembang dengan baik dan efektif. (r-project.org)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2012/2013 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

Metode penelitian bertujuan untuk menjelaskan langkah-langkah yang dilakukan saat penelitian. Berikut ini akan dijelaskan metode penelitian dan langkah-langkah yang dilakukan dalam menduga parameter GLD.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan untuk menduga parameter GLD yaitu dan dengan Metode Kemungkinan Maksimum menggunakan software R.

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Menduga parameter GLD dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Membentuk fungsi kemungkinan yang berasal dari fungsi kepekatan peluang GLD.

15 b. Memaksimumkan fungsi yang diperoleh untuk mendapatkan dugaan

parameter.

c. Dugaan parameter dari Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh dengan mencari turunan pertama dari logaritma natural fungsi kepekatan peluang terhadap parameter-parameter yang akan diduga dan menyamakannya dengan nol.

2. Menyelesaikan dugaan parameter yang tidak dapat diselesaikan secara analitik menggunakan Metode iterasi Newton Raphson.

3. Menggunakan software R untuk mendapatkan nilai dugaan parameter GLD.

4. Membandingkan bias untuk data berukuran 20, 30, 50, dan 100 dengan masing-masing data dilakukan pengulangan sebanyak 100.

V. KESIMPULAN

Dari hasil penelitian ini dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut: 1. Pendugaan parameter GLD dengan Metode Kemungkinan Maksimum

menghasilkan pendugaan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga perlu diselesaikan dengan cara numerik menggunakan Metode Newton Raphson

2. Bias untuk data berukuran 20 yang diulang sebanyak 100 adalah ̂ , ̂ , ̂ , dan ̂

3. Bias untuk data berukuran 30 yang diulang sebanyak 100 adalah ̂ , ̂ , ̂ , dan ̂

4. Bias untuk data berukuran 50 yang diulang sebanyak 100 adalah ̂ , ̂ , ̂ , dan ̂

5. Bias untuk data berukuran 100 yang diulang sebanyak 100 adalah ̂ , ̂ , ̂ , dan ̂

6. Semakin besar ukuran data maka biasnya cenderung semakin kecil atau selisih antara nilai dugaan dengan nilai parameter sebenarnya mendekati nol

DAFTAR PUSTAKA

Aljazar, A.L. 2005. Generalized Lambda Distribution and Estimation Parameters. Tesis, The Islamic University of Gaza, Gaza.

Dudewicz, E.J. dan Mishra, S. N. 1988. Modern Mathematical Statistics. John Wiley & Sons, Canada.

Hogg, R.V. dan Craig, A.T. 1995. Introduction To Mathematical Statistics. Prentice-Hall, New Jersey.

Karian, Z. A. dan Dudewicz, E. J. 2000. Fitting Statistical Distribution The Generalized Lambda Distributions and Generalized Bootstrap Methods. CRC Press, Florida.

Mykytka, E. dan J. Ramberg. 1979. Fitting a distribution to data using an

alternative to moments IEEE Proceedings of the 1979 Winter. Simulation Conference, 361-374.

Seber, G.A.F dan Wild, C.J. 2003. Non linear Regression. Departement of Statistics University Auckland, New Zealand.

Ramberg J. S., Schmeiser B. W. 1974. An Approximate Method For Generating Asymmetric Random Variables. Communication of the ACM, 17, 78- 82. Tukey , J.W. 1960. The Practical Relation Between the Common Transformation

of Percentages of Counts and of Amounts, Technical Report 36, Statistical Techniques Research Group, Princeton University 3,4.

Lampiran 1. Tabel Nilai Dugaan Parameter GLD dengan Ukuran Data 20 yang Diulang Sebanyak 100

No Lambda 1 Lambda 2 Lambda 3 Lambda 4

1 0 2 -0.5169518 1.2751722

2 0 1 -0.5190205 1.3734561

3 0 1 -0.5009142 1.3935299

4 0 1 -0.4683905 1.01241

5 0 1 -0.4037354 1.5161832

6 0 2 -0.4068308 1.5223117

7 0 1 -0.4491573 1.5027312

8 0 2 -0.4530763 1.5323652

9 0 2 -0.4503222 1.6002798

10 0 2 -0.4555726 1.4185661

11 0 1 -0.4661305 1.4873989

12 0 1 -0.4628245 1.4796405

13 0 1 -0.4500842 1.5068585

14 0 2 -0.5500852 1.2559076

15 0 1 -0.4506173 1.4963494

16 0 1 -0.4458439 1.5281649

17 0 1 -0.4323421 1.5726581

18 0 2 -0.459571 1.25692

19 0 2 -0.4630554 1.3891212

20 0 1 -0.4550327 1.4832551

21 0 1 -0.4435449 1.5028652

22 0 1 -0.4498221 1.4752183

23 0 1 -0.4722185 1.4376524

24 0 2 -0.4233613 1.5250385

25 0 1 -0.4490557 1.4863965

26 0 1 -0.420182 1.589492

27 0 2 -0.5663911 1.6078379

28 0 1 -0.5474134 1.580208

29 0 2 -0.5681633 1.6222018

30 0 2 -0.5637537 1.6148662

31 0 1 -0.5555696 1.6655455

32 0 1 -0.4009569 1.5842466

33 0 2 -0.5491966 1.745542

34 0 1 -0.4389706 1.6142329

35 0 1 -0.4499599 1.5937779

37 0 1 -0.4275637 1.6222038

38 0 1 -0.432167 1.670115

39 0 1 -0.468903 1.486774

40 0 1 -0.439504 1.632825

41 0 1 -0.4286872 1.645996

42 0 2 -0.5480508 1.8006854

43 0 1 -0.5588871 1.7353809

44 0 2 -0.5558814 1.6955939

45 0 2 -0.5698927 1.6546432

46 0 2 -0.5081057 1.6099308

47 0 2 -0.5538257 1.7716054

48 0 2 -0.5646154 1.487171

49 0 1 -0.5561874 1.7157709

50 0 1 -0.3479581 1.6930278

51 0 1 -0.4305775 1.6128378

52 0 2 -0.4272335 1.6242657

53 0 1 -0.4192286 1.7081321

54 0 1 -0.388343 1.61314

55 0 1 -0.3963354 1.7005072

56 0 1 -0.429485 1.601702

57 0 1 -0.3928907 1.659188

58 0 1 -0.3966687 1.7201061

59 0 1 -0.3970787 1.7992828

60 0 2 -0.409599 1.656175

61 0 1 -0.3066656 1.7088711

62 0 1 -0.3937376 1.6963757

63 0 2 -0.3862797 1.5893514

64 0 2 -0.3757704 1.7326737

65 0 1 -0.4093192 1.6961917

66 0 1 -0.344679 1.712961

67 0 1 -0.3493144 1.7795741

68 0 1 -0.3444986 1.850033

69 0 2 -0.3250996 1.9045796

70 0 1 -0.3695265 1.7549542

71 0 1 -0.3492921 1.7510499

72 0 2 -0.3567116 1.8396109

73 0 1 -0.3813739 1.8186126

74 0 2 -0.3495134 1.8948395

75 0 2 -0.3495905 1.8787674

77 0 2 -0.3563645 1.791002

78 0 2 -0.3495879 1.8618134

79 0 2 -0.3324947 1.8067093

80 0 1 -0.3031106 2.0571349

81 0 2 -0.3556888 1.9468968

82 0 2 -0.3607442 1.8196278

83 0 2 -0.3487118 1.6222664

84 0 1 -0.3488771 1.8335326

85 0 1 -0.3353123 1.9674967

86 0 1 -0.3553365 1.8477378

87 0 1 -0.3574629 1.805325

88 0 2 -0.3606715 1.8728748

89 0 1 -0.3394306 1.9751168

90 0 2 -0.3279881 2.027708

91 0 2 -0.3375979 1.8894268

92 0 2 -0.3624731 1.9451311

93 0 2 -0.353141 1.806371

94 0 1 -0.3532503 2.0651987

95 0 1 -0.3605927 1.9071936

96 0 1 -0.361442 2.010295

97 0 1 -0.3620971 1.954238

98 0 1 -0.3496545 2.0019522

99 0 2 -0.3473201 1.7626264

Lampiran 2. Tabel Nilai Dugaan Parameter GLD dengan Ukuran Data 30 yang Diulang Sebanyak 100

No Lambda 1 Lambda 2 Lambda 3 Lambda 4

1 0 1 -0.6561654 1.0958383

2 0 1 -0.6492006 1.1553651

3 0 2 -0.05371114 1.366366

4 0 1 -0.1238834 1.3268629

5 0 1 -0.4532107 1.2956895

6 0 1 -0.4429188 1.3108741

7 0 1 -0.4496385 1.1706338

8 0 2 -0.4970318 1.2408876

9 0 2 -0.4483926 1.2900652

10 0 2 -0.4468506 1.2200034

11 0 1 -0.4548101 1.2944336

12 0 2 -0.455606 1.310489

13 0 2 -0.4649617 1.1998575

14 0 2 -0.4634754 1.2083635

15 0 1 -0.4657445 1.202082

16 0 2 -0.4367955 1.2887173

17 0 1 -0.4394984 1.3204018

18 0 2 -0.4203007 1.2248087

19 0 1 -0.4474442 1.3167243

20 0 1 -0.4782927 1.2772471

21 0 1 -0.4468921 1.3005075

22 0 2 -0.4565618 1.2419676

23 0 1 -0.5326165 1.2588129

24 0 1 -0.5021396 1.3024216

25 0 1 -0.5096186 1.2665893

26 0 1 -0.5223923 1.276095

27 0 1 -0.4639617 1.3390647

28 0 2 -0.4991967 1.2842221

29 0 1 -0.5663911 1.2792711

30 0 1 -0.5491966 1.3091095

31 0 1 -0.5474134 1.3124162

32 0 1 -0.5681633 1.2313789

33 0 1 -0.5637537 1.2857526

34 0 1 -0.5555696 1.2747259

35 0 1 -0.2983913 1.401712

37 0 1 -0.4066301 1.3693562

38 0 2 -0.4623194 1.2910242

39 0 2 -0.4466286 1.3991075

40 0 1 -0.4483473 1.3993453

41 0 2 -0.5350584 1.2847032

42 0 1 -0.4453293 1.4039418

43 0 1 -0.4501527 1.4458407

44 0 2 -0.5032032 1.2988029

45 0 2 -0.433009 1.44723

46 0 2 -0.4683905 1.204188

47 0 2 -0.4362993 1.3800094

48 0 1 -0.5064523 1.3827176

49 0 2 -0.3687188 1.4128784

50 0 2 -0.3325932 1.4424542

51 0 2 -0.2789105 1.5508882

52 0 1 -0.2922314 1.3199894

53 0 1 -0.3526001 1.4595958

54 0 1 -0.3488735 1.3294405

55 0 1 -0.4040651 1.5251554

56 0 2 -0.394582 1.508674

57 0 2 -0.3940053 1.4528164

58 0 1 -0.400884 1.525715

59 0 1 -0.4434068 1.4854207

60 0 1 -0.4422814 1.4734295

61 0 2 -0.4600057 1.3958518

62 0 1 -0.4683997 1.4665322

63 0 1 -0.4526313 1.4567935

64 0 1 -0.4474515 1.5111744

65 0 1 -0.4476583 1.5040363

66 0 1 -0.4577801 1.4875224

67 0 1 -0.4423727 1.494016

68 0 1 -0.485359 1.443587

69 0 1 -0.4389448 1.4915913

70 0 1 -0.4680253 1.3856625

71 0 1 -0.4509921 1.464688

72 0 1 -0.4536893 1.4852737

73 0 1 -0.4515852 1.493893

74 0 1 -0.4549736 1.4971691

75 0 2 -0.1181656 1.7195455

77 0 2 -0.2848009 1.3681955

78 0 2 -0.2963662 1.5708269

79 0 1 -0.3209483 1.5615577

80 0 2 -0.2942216 1.5168759

81 0 2 -0.3180849 1.5525841

82 0 1 -0.3014073 1.6102211

83 0 1 -0.294502 1.598105

84 0 2 -0.2899533 1.5355656

85 0 2 -0.3314744 1.6534347

86 0 1 -0.3539062 1.574014

87 0 1 -0.4084187 1.5815062

88 0 1 -0.40075 1.61936

89 0 2 -0.3722687 1.6657051

90 0 1 -0.406629 1.565608

91 0 1 -0.3981601 1.5246008

92 0 2 -0.411055 1.510121

93 0 1 -0.3999819 1.6334015

94 0 1 -0.3926255 1.566646

95 0 2 -0.3868069 1.5321272

96 0 1 -0.4022397 1.5995464

97 0 1 -0.4020139 1.6180442

98 0 2 -0.3604385 1.7341637

99 0 2 -0.4257455 1.5472364

Lampiran 3. Tabel Nilai Dugaan Parameter GLD dengan Ukuran Data 50 yang Diulang Sebanyak 100

No Lambda 1 Lambda 2 Lambda 3 Lambda 4

1 0 1 -0.6036085 1.0984791

2 0 1 -0.6055932 1.0938385

3 0 2 -0.7013573 1.044564

4 0 2 -0.4961716 1.184083

5 0 1 -0.4995906 1.203295

6 0 1 -0.5538257 1.1898376

7 0 1 -0.5646154 1.1791599

8 0 1 -0.5561874 1.176901

9 0 1 -0.5480508 1.196238

10 0 1 -0.5478768 1.1891917

11 0 1 -0.5588871 1.1552394

12 0 2 -0.5558814 1.1796627

13 0 1 -0.5698927 1.1631032

14 0 1 -0.5491713 1.1989818

15 0 2 -0.5776736 1.0963922

16 0 1 -0.549454 1.181267

17 0 1 -0.5523624 1.1836959

18 0 1 -0.5663767 1.1652508

19 0 2 -0.03052031 1.01315744

20 0 1 -0.2459654 1.299975

21 0 2 -0.2297309 1.2808481

22 0 1 -0.3579216 1.2953346

23 0 2 -0.4501048 1.2802836

24 0 1 -0.5040951 1.2698284

25 0 1 -0.5107568 1.2889976

26 0 2 -0.5120022 1.255745

27 0 1 -0.5104738 1.294332

28 0 1 -0.5052662 1.2941958

29 0 1 -0.5165595 1.2752829

30 0 2 -0.5386288 1.251745

31 0 2 -0.5058199 1.2570829

32 0 1 -0.5023555 1.2818511

33 0 1 -0.5088867 1.2621955

34 0 1 -0.5059533 1.2956017

35 0 1 -0.4997182 1.2794154

37 0 1 -0.4964296 1.3100976

38 0 1 -0.5099256 1.2815905

39 0 1 -0.5085119 1.2580795

40 0 1 -0.5192329 1.2807391

41 0 1 -0.5041084 1.2390388

42 0 1 -0.5056274 1.2755745

43 0 1 -0.5143993 1.1964444

44 0 1 -0.5086375 1.3094785

45 0 1 -0.4952612 1.2990748

46 0 1 -0.5080226 1.2034923

47 0 1 -0.5017576 1.2898416

48 0 1 -0.4977004 1.3151461

49 0 1 -0.5089946 1.2562625

50 0 1 -0.4980097 1.2998211

51 0 1 -0.5184331 1.2758718

52 0 2 -0.5040659 1.2675182

53 0 2 -0.07488498 1.4431871

54 0 1 -0.153395 1.398406

55 0 2 -0.08781829 0.71830374

56 0 1 -0.2021129 1.3782456

57 0 2 -0.2168788 1.34147

58 0 2 -0.1666132 1.3481548

59 0 1 -0.248147 1.381053

60 0 2 -0.2264712 1.3298692

61 0 1 -0.3578623 1.3904032

62 0 1 -0.3325721 1.4226823

63 0 1 -0.3648152 1.3850638

64 0 2 -0.3386024 1.2864061

65 0 1 -0.450249 1.391859

66 0 2 -0.4583782 1.3981158

67 0 1 -0.4474838 1.3934564

68 0 2 -0.4566859 1.3870154

69 0 1 -0.4537664 1.3443819

70 0 2 -0.4620724 1.3411096

71 0 1 -0.4985982 1.4130952

72 0 1 -0.5060109 1.3939582

73 0 1 -0.5004453 1.4013027

74 0 2 -0.1235488 1.5580249

75 0 2 -0.1804996 1.3128553

77 0 2 -0.201715 1.39435

78 0 2 -0.187883 1.384025

79 0 2 -0.2004637 1.4139197

80 0 1 -0.3003636 1.4911391

81 0 1 -0.2955793 1.5058133

82 0 2 -0.3013387 1.4962862

83 0 1 -0.3079276 1.4969254

84 0 2 -0.2911909 1.4145475

85 0 2 -0.2993648 1.4729085

86 0 1 -0.3470067 1.4822976

87 0 2 -0.332927 1.457715

88 0 1 -0.3495134 1.4883374

89 0 1 -0.3495905 1.4987558

90 0 1 -0.3449831 1.4945686

91 0 2 -0.3563645 1.4519269

92 0 1 -0.3495879 1.4880069

93 0 2 -0.3398543 1.5290534

94 0 1 -0.3531639 1.5186513

95 0 1 -0.3462423 1.4992493

96 0 1 -0.3473734 1.4462889

97 0 1 -0.3510108 1.4595901

98 0 1 -0.3458 1.419842

99 0 1 -0.3438741 1.4657914

Lampiran 4. Tabel Nilai Dugaan Parameter GLD dengan Ukuran Data 100 yang Diulang Sebanyak 100

No Lambda 1 Lambda 2 Lambda 3 Lambda 4

1 0 1 -0.2992625 1.2086531

2 0 2 -0.3468913 1.2072085

3 0 1 -0.4060059 1.1947118

4 0 1 -0.4000819 1.1731308

5 0 1 -0.4496887 1.1890553

6 0 1 -0.4483606 1.1946189

7 0 2 -0.4552024 1.1931918

8 0 2 -0.4550492 1.1841075

9 0 1 -0.4556102 1.1917265

10 0 2 -0.4482598 1.1798099

11 0 2 -0.4390518 1.1264183

12 0 2 -0.4597746 1.1627466

13 0 1 -0.5089891 1.194025

14 0 1 -0.4985219 1.2033881

15 0 1 -0.5067302 1.0989308

16 0 2 -0.5044757 1.1591553

17 0 1 -0.5052098 1.1849412

18 0 1 -0.5081057 1.1835527

19 0 1 -0.5016977 1.1783964

20 0 1 -0.1468173 1.3033289

21 0 2 -0.3554533 1.2804963

22 0 1 -0.3479155 1.276284

23 0 1 -0.3538171 1.2875464

24 0 2 -0.363887 1.279554

25 0 1 -0.3555106 1.2908684

26 0 1 -0.3440093 1.2167227

27 0 2 -0.3565624 1.2853106

28 0 1 -0.3513344 1.270719

29 0 1 -0.3583554 1.2633518

30 0 2 -0.3428797 1.2953219

31 0 1 -0.3475323 1.2826902

32 0 2 -0.3556904 1.2111023

33 0 2 -0.3372457 1.2674426

34 0 1 -0.3525302 1.2975188

35 0 1 -0.3553823 1.2855208

37 0 2 -0.387503 1.285938

38 0 1 -0.3973224 1.2486207

39 0 1 -0.4002684 1.2827732

40 0 1 -0.4020839 1.2674019

41 0 1 -0.3958459 1.3041701

42 0 2 -0.3945025 1.2794681

43 0 1 -0.3984913 1.2352045

44 0 1 -0.400762 1.30334

45 0 2 -0.3955801 1.2994411

46 0 1 -0.4012955 1.2855537

47 0 2 -0.3984557 1.2819913

48 0 1 -0.4004861 1.2651685

49 0 2 -0.3848121 1.3201839

50 0 1 -0.4021253 1.2750744

51 0 1 -0.3977507 1.2972246

52 0 1 -0.4012814 1.2964036

53 0 1 -0.3985369 1.3048964

54 0 1 -0.3953 1.238655

55 0 1 -0.3978365 1.2978127

56 0 1 -0.4006469 1.251645

57 0 1 -0.4044031 1.2977164

58 0 2 -0.4010017 1.294684

59 0 1 -0.3984101 1.2972469

60 0 1 -0.3948642 1.2972655

61 0 1 -0.4128007 1.2908647

62 0 1 -0.3984426 1.2914705

63 0 1 -0.400555 1.293378

64 0 1 -0.4126121 1.296109

65 0 1 -0.3956689 1.2803129

66 0 1 -0.3951889 1.3000445

67 0 1 -0.3966306 1.3023119

68 0 1 -0.404493 1.291493

69 0 2 -0.4153205 1.2848438

70 0 1 -0.3999809 1.2724737

71 0 2 -0.4040658 1.2373674

72 0 1 -0.394503 1.267776

73 0 1 -0.4021593 1.2937274

74 0 2 -0.4017926 1.2734915

75 0 1 -0.3968352 1.2450606

77 0 1 -0.4024474 1.2966519

78 0 1 -0.3989721 1.2397411

79 0 2 -0.3954644 1.2659896

80 0 1 -0.3996056 1.2951884

81 0 1 -0.3998716 1.297575

82 0 1 -0.4104087 1.2938531

83 0 1 -0.3959673 1.3010363

84 0 1 -0.3987204 1.2922046

85 0 1 -0.4002383 1.3017904

86 0 1 -0.4491573 1.2516942

87 0 1 -0.4530763 1.2791473

88 0 1 -0.4503222 1.299544

89 0 1 -0.4555726 1.2839006

90 0 2 -0.4473352 1.27527

91 0 2 -0.4482005 1.2820759

92 0 1 -0.4500307 1.2942729

93 0 1 -0.4481883 1.2858013

94 0 1 -0.4515911 1.2978058

95 0 1 -0.4424243 1.2918291

96 0 1 -0.4484331 1.2837034

97 0 1 -0.447633 1.264206

98 0 1 -0.4563443 1.2956256

99 0 1 -0.454123 1.294496

Program simulasi dengan software R 3.0.1

1. Membangkitkan data berukuran 20 dengan pengulangan sebanyak 100 library(gld)

#random data gld = rgl(n, lambda1=0, lambda2 = NULL, lambda3 = NULL, lambda4 = NULL, param = "rs")

ulangan<-100 n<-20

x<-matrix(0,n,ulangan) x_sort<-matrix(0,n,ulangan) for (k in 1:ulangan)

{

x[,k]<- rgl (n, 0, 1, 0.00001, 1.25, param="rs") x_sort[,k]<-sort(x[,k])

} x x_sort

write.table(x_sort,file="D:/Bahan_Skripsi/Simulasi/Program_GLD/20data.txt")

Proses iterasi pada data berukuran 20 DATA_Y <- read.table

(file= "D:/Bahan_Skripsi/simulasi/Program_GLD/20data.txt",header=TRUE) n<-nrow (DATA_Y)

ulangan<-ncol (DATA_Y) iterasi<-500

Y_ <- DATA_Y

Y <- array(0,c(n,ulangan)) for (k in 1:ulangan)

{

Y[,k]<-Y_[,k] }

lamda_nol<-matrix(c(0,1,-0.5,1.4),4,1) lamda_satu<-matrix(0,4,iterasi-1)

lamda_duga<-matrix(c(lamda_nol,lamda_satu),4,iterasi) G2<-matrix(0,1,iterasi)

G3<-matrix(0,n,iterasi) G4<-matrix(0,n,iterasi) A1<-matrix(0,n,iterasi) A2<-matrix(0,n,1) A3<-matrix(0,n,iterasi)

B<-matrix(0,n,iterasi) B1<-matrix(0,n,iterasi) B2<-matrix(0,n,iterasi) H1<-matrix(0,1,iterasi) H2<-matrix(0,n,iterasi) H3<-matrix(0,n,iterasi) H4<-matrix(0,n,iterasi) H5<-matrix(0,n,iterasi) I1<-matrix(1,n,1) Hg<-matrix(4,iterasi) library(MASS) for (j in 1:iterasi) {

for (i in 1:n) { A1[i,j]<-Y[i,j]^(lamda_duga[3,j]-1) A2[i,1]<-I1[i,1]- Y[i,j] A3[i,j]<-A2[i,1]^(lamda_duga[4,j]-1) B[i,j]<-(lamda_duga[3,j]*A1[i,j])+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]) B1[i,j]<-A1[i,j]+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j])) B2[i,j]<-A3[i,j]+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*log(A2[i,1])) H1[1,j]<- (-n/(lamda_duga[2,j]^2)) H2[i,j]<- ((2*A1[i,j]*log(Y[i,j])+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j]^2)*(B[i,j]))-(B1[i,j]^2))/(B[i,j]^2)) H3[i,j]<- (-(B1[i,j]*B2[i,j])/(B[i,j]^2)) H4[i,j]<- H3[i,j] H5[i,j]<- (((2*A3[i,j]*log(A2[i,1]))+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*(log(A2[i,1])^2)*(B[i,j]) )-(B2[i,j]^2))/(B[i,j]^2)) H_lamda<-matrix(c(0,0,0,0,0,H1[1,j],0,0,0,0,-sum(H2[,j]),-sum(H3[,j]),0,0,-sum(H4[,j]),-sum(H5[,j])),4,4) G2[1,j]<-n/lamda_duga[2,j] G3[i,j]<- B1[i,j]/B[i,j] G4[i,j]<-B2[i,j]/B[i,j] G_lamda <-array(c(0,G2[1,j],-sum(G3[,j]),-sum(G4[,j])),4,1) Hinv<-ginv(H_lamda,0.001) Hg <-Hinv%*%G_lamda

lamda_duga[,j+1]<-lamda_duga[,j] – Hg }

2. Membangkitkan data berukuran 30 dengan pengulangan sebanyak 100 library(gld)

#random data gld = rgl(n, lambda1=0, lambda2 = NULL, lambda3 = NULL, lambda4 = NULL, param = "rs")

ulangan<-100 n<-30

x<-matrix(0,n,ulangan) x_sort<-matrix(0,n,ulangan) for (k in 1:ulangan)

{

x[,k]<- rgl (n, 0, 1, 0.00001, 1.25, param="rs") x_sort[,k]<-sort(x[,k])

} x x_sort

write.table(x_sort,file="D:/Bahan_Skripsi/Simulasi/Program_GLD/30data.txt") Proses iterasi pada data berukuran 30

DATA_Y <- read.table

(file= "D:/Bahan_Skripsi/simulasi/Program_GLD/30data.txt",header=TRUE) n<-nrow(DATA_Y) ulangan<-ncol(DATA_Y) iterasi<-500 Y_<-DATA_Y Y<-array(0,c(n,ulangan)) for (k in 1:ulangan) { Y[,k]<-Y_[,k] } lamda_nol<-matrix(c(0,1,-0.45,1.1),4,1) lamda_satu<-matrix(0,4,iterasi-1) lamda_duga<-matrix(c(lamda_nol,lamda_satu),4,iterasi) G2<-matrix(0,1,iterasi) G3<-matrix(0,n,iterasi) G4<-matrix(0,n,iterasi) A1<-matrix(0,n,iterasi) A2<-matrix(0,n,1) A3<-matrix(0,n,iterasi) B<-matrix(0,n,iterasi) B1<-matrix(0,n,iterasi) B2<-matrix(0,n,iterasi)

H1<-matrix(0,1,iterasi) H2<-matrix(0,n,iterasi) H3<-matrix(0,n,iterasi) H4<-matrix(0,n,iterasi) H5<-matrix(0,n,iterasi) I1<-matrix(1,n,1) Hg<-matrix(4,iterasi) library(MASS) for (j in 1:iterasi) {

for (i in 1:n) {

A1[i,j]<-Y[i,j]^(lamda_duga[3,j]-1) A2[i,1]<-I1[i,1]- Y[i,j]

A3[i,j]<-A2[i,1]^(lamda_duga[4,j]-1)

B[i,j]<-(lamda_duga[3,j]*A1[i,j])+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]) B1[i,j]<-A1[i,j]+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j])) B2[i,j]<-A3[i,j]+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*log(A2[i,1])) H1[1,j]<- (-n/(lamda_duga[2,j]^2))

H2[i,j]<- ((2*A1[i,j]*log(Y[i,j])+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j]^2)*(B[i,j]))-(B1[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H3[i,j]<- (-(B1[i,j]*B2[i,j])/(B[i,j]^2)) H4[i,j]<- H3[i,j]

H5[i,j]<-

(((2*A3[i,j]*log(A2[i,1]))+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*(log(A2[i,1])^2)*(B[i,j]) )-(B2[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H_lamda<-matrix(c(0,0,0,0,0,H1[1,j],0,0,0,0,-sum(H2[,j]),-sum(H3[,j]),0,0,-sum(H4[,j]),-sum(H5[,j])),4,4)

G2[1,j]<-n/lamda_duga[2,j] G3[i,j]<- B1[i,j]/B[i,j] G4[i,j]<-B2[i,j]/B[i,j]

G_lamda <-array(c(0,G2[1,j],-sum(G3[,j]),-sum(G4[,j])),4,1) Hinv<-ginv(H_lamda,0.001)

Hg <-Hinv%*%G_lamda

lamda_duga[,j+1]<-lamda_duga[,j] - Hg }

3. Membangkitkan data berukuran 50 dengan pengulangan sebanyak 100 library(gld)

#random data gld = rgl(n, lambda1=0, lambda2 = NULL, lambda3 = NULL, lambda4 = NULL, param = "rs")

ulangan<-100 n<-50

x<-matrix(0,n,ulangan) x_sort<-matrix(0,n,ulangan) for (k in 1:ulangan)

{

x[,k]<- rgl (n, 0, 1, 0.00001, 1.25, param="rs") x_sort[,k]<-sort(x[,k])

} x x_sort

write.table(x_sort,file="D:/Bahan_Skripsi/Simulasi/Program_GLD/50data.txt") Proses iterasi pada data berukuran 50

DATA_Y <- read.table

(file= "D:/Bahan_Skripsi/simulasi/Program_GLD/50data.txt",header=TRUE) n<-nrow(DATA_Y) ulangan<-ncol(DATA_Y) iterasi<-500 Y_<-DATA_Y Y<-array(0,c(n,ulangan)) for (k in 1:ulangan) { Y[,k]<-Y_[,k] } lamda_nol<-matrix(c(0,1,-0.6,1.1),4,1) lamda_satu<-matrix(0,4,iterasi-1) lamda_duga<-matrix(c(lamda_nol,lamda_satu),4,iterasi) G2<-matrix(0,1,iterasi) G3<-matrix(0,n,iterasi) G4<-matrix(0,n,iterasi) A1<-matrix(0,n,iterasi) A2<-matrix(0,n,1) A3<-matrix(0,n,iterasi) B<-matrix(0,n,iterasi) B1<-matrix(0,n,iterasi) B2<-matrix(0,n,iterasi)

H1<-matrix(0,1,iterasi) H2<-matrix(0,n,iterasi) H3<-matrix(0,n,iterasi) H4<-matrix(0,n,iterasi) H5<-matrix(0,n,iterasi) I1<-matrix(1,n,1) Hg<-matrix(4,iterasi) library(MASS) for (j in 1:iterasi) {

for (i in 1:n) {

A1[i,j]<-Y[i,j]^(lamda_duga[3,j]-1) A2[i,1]<-I1[i,1]- Y[i,j]

A3[i,j]<-A2[i,1]^(lamda_duga[4,j]-1)

B[i,j]<-(lamda_duga[3,j]*A1[i,j])+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]) B1[i,j]<-A1[i,j]+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j])) B2[i,j]<-A3[i,j]+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*log(A2[i,1])) H1[1,j]<- (-n/(lamda_duga[2,j]^2))

H2[i,j]<- ((2*A1[i,j]*log(Y[i,j])+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j]^2)*(B[i,j]))-(B1[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H3[i,j]<- (-(B1[i,j]*B2[i,j])/(B[i,j]^2)) H4[i,j]<- H3[i,j]

H5[i,j]<-

(((2*A3[i,j]*log(A2[i,1]))+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*(log(A2[i,1])^2)*(B[i,j]) )-(B2[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H_lamda<-matrix(c(0,0,0,0,0,H1[1,j],0,0,0,0,-sum(H2[,j]),-sum(H3[,j]),0,0,-sum(H4[,j]),-sum(H5[,j])),4,4)

G2[1,j]<-n/lamda_duga[2,j] G3[i,j]<- B1[i,j]/B[i,j] G4[i,j]<-B2[i,j]/B[i,j]

G_lamda <-array(c(0,G2[1,j],-sum(G3[,j]),-sum(G4[,j])),4,1) Hinv<-ginv(H_lamda,0.001)

Hg <-Hinv%*%G_lamda

lamda_duga[,j+1]<-lamda_duga[,j] - Hg }

4. Membangkitkan data berukuran 100 dengan pengulangan sebanyak 100 library(gld)

#random data gld = rgl(n, lambda1=0, lambda2 = NULL, lambda3 = NULL, lambda4 = NULL, param = "rs")

ulangan<-100 n<-100

x<-matrix(0,n,ulangan) x_sort<-matrix(0,n,ulangan) for (k in 1:ulangan)

{

x[,k]<- rgl (n, 0, 1, 0.00001, 1.25, param="rs") x_sort[,k]<-sort(x[,k])

} x x_sort

write.table(x_sort,file="D:/Bahan_Skripsi/Simulasi/Program_GLD/100data.txt") Proses iterasi pada data berukuran 100

DATA_Y <- read.table

(file= "D:/Bahan_Skripsi/simulasi/Program_GLD/100data.txt",header=TRUE) n<-nrow(DATA_Y) ulangan<-ncol(DATA_Y) iterasi<-500 Y_<-DATA_Y Y<-array(0,c(n,ulangan)) for (k in 1:ulangan) { Y[,k]<-Y_[,k] } lamda_nol<-matrix(c(0,1,-0.3,1.2),4,1) lamda_satu<-matrix(0,4,iterasi-1) lamda_duga<-matrix(c(lamda_nol,lamda_satu),4,iterasi) G2<-matrix(0,1,iterasi) G3<-matrix(0,n,iterasi) G4<-matrix(0,n,iterasi) A1<-matrix(0,n,iterasi) A2<-matrix(0,n,1) A3<-matrix(0,n,iterasi) B<-matrix(0,n,iterasi) B1<-matrix(0,n,iterasi) B2<-matrix(0,n,iterasi)

H1<-matrix(0,1,iterasi) H2<-matrix(0,n,iterasi) H3<-matrix(0,n,iterasi) H4<-matrix(0,n,iterasi) H5<-matrix(0,n,iterasi) I1<-matrix(1,n,1) Hg<-matrix(4,iterasi) library(MASS) for (j in 1:iterasi) {

for (i in 1:n) {

A1[i,j]<-Y[i,j]^(lamda_duga[3,j]-1) A2[i,1]<-I1[i,1]- Y[i,j]

A3[i,j]<-A2[i,1]^(lamda_duga[4,j]-1)

B[i,j]<-(lamda_duga[3,j]*A1[i,j])+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]) B1[i,j]<-A1[i,j]+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j])) B2[i,j]<-A3[i,j]+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*log(A2[i,1])) H1[1,j]<- (-n/(lamda_duga[2,j]^2))

H2[i,j]<- ((2*A1[i,j]*log(Y[i,j])+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j]^2)*(B[i,j]))-(B1[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H3[i,j]<- (-(B1[i,j]*B2[i,j])/(B[i,j]^2)) H4[i,j]<- H3[i,j]

H5[i,j]<-

(((2*A3[i,j]*log(A2[i,1]))+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*(log(A2[i,1])^2)*(B[i,j]) )-(B2[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H_lamda<-matrix(c(0,0,0,0,0,H1[1,j],0,0,0,0,-sum(H2[,j]),-sum(H3[,j]),0,0,-sum(H4[,j]),-sum(H5[,j])),4,4)

G2[1,j]<-n/lamda_duga[2,j] G3[i,j]<- B1[i,j]/B[i,j] G4[i,j]<-B2[i,j]/B[i,j]

G_lamda <-array(c(0,G2[1,j],-sum(G3[,j]),-sum(G4[,j])),4,1) Hinv<-ginv(H_lamda,0.001)

Hg <-Hinv%*%G_lamda

lamda_duga[,j+1]<-lamda_duga[,j] - Hg }

2. Membangkitkan data berukuran 30 dengan pengulangan sebanyak 100 library(gld)

#random data gld = rgl(n, lambda1=0, lambda2 = NULL, lambda3 = NULL, lambda4 = NULL, param = "rs")

ulangan<-100 n<-30

x<-matrix(0,n,ulangan) x_sort<-matrix(0,n,ulangan) for (k in 1:ulangan)

{

x[,k]<- rgl (n, 0, 1, 0.00001, 1.25, param="rs") x_sort[,k]<-sort(x[,k])

} x x_sort

write.table(x_sort,file="D:/Bahan_Skripsi/Simulasi/Program_GLD/30data.txt") Proses iterasi pada data berukuran 30

DATA_Y <- read.table

(file= "D:/Bahan_Skripsi/simulasi/Program_GLD/30data.txt",header=TRUE) n<-nrow(DATA_Y)

ulangan<-ncol(DATA_Y) iterasi<-500

Y_<-DATA_Y

Y<-array(0,c(n,ulangan)) for (k in 1:ulangan) {

Y[,k]<-Y_[,k] }

lamda_nol<-matrix(c(0,1,-0.45,1.1),4,1) lamda_satu<-matrix(0,4,iterasi-1)

lamda_duga<-matrix(c(lamda_nol,lamda_satu),4,iterasi) G2<-matrix(0,1,iterasi)

G3<-matrix(0,n,iterasi) G4<-matrix(0,n,iterasi) A1<-matrix(0,n,iterasi) A2<-matrix(0,n,1) A3<-matrix(0,n,iterasi) B<-matrix(0,n,iterasi) B1<-matrix(0,n,iterasi) B2<-matrix(0,n,iterasi)

Hg<-matrix(4,iterasi) library(MASS) for (j in 1:iterasi) {

for (i in 1:n) {

A1[i,j]<-Y[i,j]^(lamda_duga[3,j]-1) A2[i,1]<-I1[i,1]- Y[i,j]

A3[i,j]<-A2[i,1]^(lamda_duga[4,j]-1)

B[i,j]<-(lamda_duga[3,j]*A1[i,j])+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]) B1[i,j]<-A1[i,j]+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j])) B2[i,j]<-A3[i,j]+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*log(A2[i,1])) H1[1,j]<- (-n/(lamda_duga[2,j]^2))

H2[i,j]<- ((2*A1[i,j]*log(Y[i,j])+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j]^2)*(B[i,j]))-(B1[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H3[i,j]<- (-(B1[i,j]*B2[i,j])/(B[i,j]^2)) H4[i,j]<- H3[i,j]

H5[i,j]<-

(((2*A3[i,j]*log(A2[i,1]))+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*(log(A2[i,1])^2)*(B[i,j]) )-(B2[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H_lamda<-matrix(c(0,0,0,0,0,H1[1,j],0,0,0,0,-sum(H2[,j]),-sum(H3[,j]),0,0,-sum(H4[,j]),-sum(H5[,j])),4,4)

G2[1,j]<-n/lamda_duga[2,j] G3[i,j]<- B1[i,j]/B[i,j] G4[i,j]<-B2[i,j]/B[i,j]

G_lamda <-array(c(0,G2[1,j],-sum(G3[,j]),-sum(G4[,j])),4,1) Hinv<-ginv(H_lamda,0.001)

Hg <-Hinv%*%G_lamda

lamda_duga[,j+1]<-lamda_duga[,j] - Hg }

3. Membangkitkan data berukuran 50 dengan pengulangan sebanyak 100 library(gld)

#random data gld = rgl(n, lambda1=0, lambda2 = NULL, lambda3 = NULL, lambda4 = NULL, param = "rs")

ulangan<-100 n<-50

x<-matrix(0,n,ulangan) x_sort<-matrix(0,n,ulangan) for (k in 1:ulangan)

{

x[,k]<- rgl (n, 0, 1, 0.00001, 1.25, param="rs") x_sort[,k]<-sort(x[,k])

} x x_sort

write.table(x_sort,file="D:/Bahan_Skripsi/Simulasi/Program_GLD/50data.txt") Proses iterasi pada data berukuran 50

DATA_Y <- read.table

(file= "D:/Bahan_Skripsi/simulasi/Program_GLD/50data.txt",header=TRUE) n<-nrow(DATA_Y)

ulangan<-ncol(DATA_Y) iterasi<-500

Y_<-DATA_Y

Y<-array(0,c(n,ulangan)) for (k in 1:ulangan) {

Y[,k]<-Y_[,k] }

lamda_nol<-matrix(c(0,1,-0.6,1.1),4,1) lamda_satu<-matrix(0,4,iterasi-1)

lamda_duga<-matrix(c(lamda_nol,lamda_satu),4,iterasi) G2<-matrix(0,1,iterasi)

G3<-matrix(0,n,iterasi) G4<-matrix(0,n,iterasi) A1<-matrix(0,n,iterasi) A2<-matrix(0,n,1) A3<-matrix(0,n,iterasi) B<-matrix(0,n,iterasi) B1<-matrix(0,n,iterasi) B2<-matrix(0,n,iterasi)

Hg<-matrix(4,iterasi) library(MASS) for (j in 1:iterasi) {

for (i in 1:n) {

A1[i,j]<-Y[i,j]^(lamda_duga[3,j]-1) A2[i,1]<-I1[i,1]- Y[i,j]

A3[i,j]<-A2[i,1]^(lamda_duga[4,j]-1)

B[i,j]<-(lamda_duga[3,j]*A1[i,j])+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]) B1[i,j]<-A1[i,j]+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j])) B2[i,j]<-A3[i,j]+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*log(A2[i,1])) H1[1,j]<- (-n/(lamda_duga[2,j]^2))

H2[i,j]<- ((2*A1[i,j]*log(Y[i,j])+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j]^2)*(B[i,j]))-(B1[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H3[i,j]<- (-(B1[i,j]*B2[i,j])/(B[i,j]^2)) H4[i,j]<- H3[i,j]

H5[i,j]<-

(((2*A3[i,j]*log(A2[i,1]))+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*(log(A2[i,1])^2)*(B[i,j]) )-(B2[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H_lamda<-matrix(c(0,0,0,0,0,H1[1,j],0,0,0,0,-sum(H2[,j]),-sum(H3[,j]),0,0,-sum(H4[,j]),-sum(H5[,j])),4,4)

G2[1,j]<-n/lamda_duga[2,j] G3[i,j]<- B1[i,j]/B[i,j] G4[i,j]<-B2[i,j]/B[i,j]

G_lamda <-array(c(0,G2[1,j],-sum(G3[,j]),-sum(G4[,j])),4,1) Hinv<-ginv(H_lamda,0.001)

Hg <-Hinv%*%G_lamda

lamda_duga[,j+1]<-lamda_duga[,j] - Hg }

4. Membangkitkan data berukuran 100 dengan pengulangan sebanyak 100 library(gld)

#random data gld = rgl(n, lambda1=0, lambda2 = NULL, lambda3 = NULL, lambda4 = NULL, param = "rs")

ulangan<-100 n<-100

x<-matrix(0,n,ulangan) x_sort<-matrix(0,n,ulangan) for (k in 1:ulangan)

{

x[,k]<- rgl (n, 0, 1, 0.00001, 1.25, param="rs") x_sort[,k]<-sort(x[,k])

} x x_sort

write.table(x_sort,file="D:/Bahan_Skripsi/Simulasi/Program_GLD/100data.txt") Proses iterasi pada data berukuran 100

DATA_Y <- read.table

(file= "D:/Bahan_Skripsi/simulasi/Program_GLD/100data.txt",header=TRUE) n<-nrow(DATA_Y)

ulangan<-ncol(DATA_Y) iterasi<-500

Y_<-DATA_Y

Y<-array(0,c(n,ulangan)) for (k in 1:ulangan) {

Y[,k]<-Y_[,k] }

lamda_nol<-matrix(c(0,1,-0.3,1.2),4,1) lamda_satu<-matrix(0,4,iterasi-1)

lamda_duga<-matrix(c(lamda_nol,lamda_satu),4,iterasi) G2<-matrix(0,1,iterasi)

G3<-matrix(0,n,iterasi) G4<-matrix(0,n,iterasi) A1<-matrix(0,n,iterasi) A2<-matrix(0,n,1) A3<-matrix(0,n,iterasi) B<-matrix(0,n,iterasi) B1<-matrix(0,n,iterasi) B2<-matrix(0,n,iterasi)

Hg<-matrix(4,iterasi) library(MASS) for (j in 1:iterasi) {

for (i in 1:n) {

A1[i,j]<-Y[i,j]^(lamda_duga[3,j]-1) A2[i,1]<-I1[i,1]- Y[i,j]

A3[i,j]<-A2[i,1]^(lamda_duga[4,j]-1)

B[i,j]<-(lamda_duga[3,j]*A1[i,j])+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]) B1[i,j]<-A1[i,j]+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j])) B2[i,j]<-A3[i,j]+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*log(A2[i,1])) H1[1,j]<- (-n/(lamda_duga[2,j]^2))

H2[i,j]<- ((2*A1[i,j]*log(Y[i,j])+(lamda_duga[3,j]*A1[i,j]*log(Y[i,j]^2)*(B[i,j]))-(B1[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H3[i,j]<- (-(B1[i,j]*B2[i,j])/(B[i,j]^2)) H4[i,j]<- H3[i,j]

H5[i,j]<-

(((2*A3[i,j]*log(A2[i,1]))+(lamda_duga[4,j]*A3[i,j]*(log(A2[i,1])^2)*(B[i,j]) )-(B2[i,j]^2))/(B[i,j]^2))

H_lamda<-matrix(c(0,0,0,0,0,H1[1,j],0,0,0,0,-sum(H2[,j]),-sum(H3[,j]),0,0,-sum(H4[,j]),-sum(H5[,j])),4,4)

G2[1,j]<-n/lamda_duga[2,j] G3[i,j]<- B1[i,j]/B[i,j] G4[i,j]<-B2[i,j]/B[i,j]

G_lamda <-array(c(0,G2[1,j],-sum(G3[,j]),-sum(G4[,j])),4,1) Hinv<-ginv(H_lamda,0.001)

Hg <-Hinv%*%G_lamda

lamda_duga[,j+1]<-lamda_duga[,j] - Hg }