PENDEKATAN DISTRIBUSI GAMMA TERHADAP GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION (GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA

ABSTRAK

PENDEKATAN DISTRIBUSI GAMMA

TERHADAPGENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION_{(GLD) BERDASARKAN} EMPAT MOMEN PERTAMANYA

Oleh

JIHAN TRIMITA SARI T

GLD merupakan distribusi dengan empat parameter yang merupakan reparameterisasi dari distribusi Lambda Tukey dengan satu parameter. Pendekatan GLD untuk menentukan parameter dari berbagai macam distribusi lain didasarkan pada empat momen pertamanya. Pada penelitian ini metode momen digunakan dalam melakukan pendekatan distribusi gamma terhadap GLD. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui pada nilai dan berapakah distribusi gamma mampu mendekati GLD sebaik mungkin. Kedekatan dari kedua distribusi tersebut dapat dilihat dari kurva yang dibentuk. Dari hasil penelitian diperoleh kesimpulan bahwa kurva distribusi Gamma (α,β) dan GLD( , , , ) menjadi lebih dekat pada nilai α sama dengan 29 dan nilai β sama dengan 3. Kedekatan antara kurva distribusi Gamma (α,β) dan GLD ( , , , ) pada increase 0.01 memberikan hasil yang lebih baik dariincrease0.002 maupun 0.001.

Kata kunci: Generalized Lambda Distribution (GLD), Distribusi Gamma, Metode Momen,

PENDEKATAN DISTRIBUSI GAMMA

TERHADAPGENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTIONS_{(GLD) BERDASARKAN} EMPAT MOMEN PERTAMANYA

(Skripsi)

Oleh

Jihan Trimita Sari T

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG 2012

PENDEKATAN DISTRIBUSI GAMMA

TERHADAPGENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTIONS_(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA

Oleh

Jihan Trimita Sari T Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar SARJANA SAINS

pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung, pada tanggal 23 Juli 1990, sebagai anak bungsu dari tiga bersaudara pasangan Bapak Tamimi, S.IP dan Ibu Armi, S.Pd.

Pendidikan Taman kanak-kanak (TK) diselesaikan di TK Beringin Raya tahun 1996, Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SDN 1 Langkapura pada tahun 2002, Sekolah Menengah Pertama Negeri di SMPN 1 Bandar Lampung pada tahun 2005, Sekolah Menengah Atas di SMAN 3 Bandar Lampung pada tahun 2008, dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswi di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN).

Selama menjadi mahasiswi penulis aktif di Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA). Penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) Tematik di Desa Mekar Sari Kecamatan Lambu Kibang Kabupaten Tulang Bawang Barat. Penulis menyelasaikan pendidikan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung pada tahun 2012.

MOTTO

Allah, Dialah yang menciptakan kamu dari keadaan lemah, kemudian Dia menjadikan (kamu) sesudah keadaan lemah itu menjadi kuat, kemudian Dia menjadikan (kamu) sesudah kuat itu lemah (kembali) dan beruban. Dia menciptakan apa yang

dikehendaki-Nya dan Dialah Yang Maha Mengetahui lagi Maha Kuasa. (Q.S. Ar Ruum : 54)

Maka sesungguhnya setelah kesulitan itu ada kemudahan (Q.S. Al Insyirah : 5)

Sebuah kegagalan tidak selalu merupakan kesalahan, karena itu mungkin hal terbaik yang bisa dilakukan seseorang dalam suatu keadaan. Kesalahan yang sebenarnya adalah

berhenti berusaha. (Jihan Trimita Sari T)

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Warsono, Ph.D. ………

Sekretaris : Widiarti, M.Si. ………

Penguji

Bukan Pembimbing : Dian Kurniasari, M.Sc. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.

NIP. 19690530 199512 1 001

Tanggal Lulus Ujian Skripsi : 8 November 2012

Judul Skripsi : PENDEKATAN DISTRIBUSI GAMMA TERHADAPGENERALIZED LAMBDA

DISTRIBUTION(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA

Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031029

Jurusan : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing

Warsono, Ph.D. Widiarti, M.Si.

NIP. 19630216 198703 1 003 NIP. 19800502 200501 2 003

2. Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika

Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. NIP. 19620704 198803 1 002

Dengan penuh rasa syukur dan bangga kupersembahkan karya kecilku ini Sebagai tanda bakti dan cinta Kepada :

Ayahanda dan ibunda tercinta yang senantiasa mencurahkan kasih sayang dan selalu mendoakan keberhasilanku disetiap sujudnya

Kakak-kakakku tercinta Rianida Taisa, Andestia Taisa, dan Patriot Sugiarto

Sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada meski tak selalu bersama yang tak pernah berhenti untuk memberikan nasihat, keceriaan, serta motivasi dalam setiap kehidupan

penulis

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT, yang telah senantiasa melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pendekatan Distribusi Gamma Terhadap Generalized Lambda Distribution (GLD) Berdasarkan Empat Momen Pertamanya” dengan baik.

Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Warsono, Ph.D., selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing dan memotivasi penulis selama melaksanakan penelitian dan penyelesaian skripsi.

2. Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak membantu dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc., selaku dosen penguji dan dosen pembimbing akademik untuk semua bimbingan, nasehat, motivasi, saran dan kritik yang membangun guna penyempurnaan skripsi ini.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.

6. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

7. Ayah dan Ibu yang telah memberikan dukungan moril dan materil serta senantiasa berkorban dan mengusahakan yang terbaik bagi penulis tanpa mengenal lelah.

8. Kakak, Uni, dan Kakak Iyot terima kasih atas segala dukungan moril dan materiil serta nasihatnya.

9. Eflin dan Lita, teman seperjuangan dalam penelitian, terimakasih atas kerjasama dan semangatnya yang tanpa henti, Uki, Tiyas, Recan, Keplin, Syaza, terimakasih atas waktu 4 tahun kebersamaannya yang penuh suka cita, Ike, Oki, Mila, teman-teman yang selalu ceria dan setia menemani serta sidu, nuy dan teman–teman Exoters lainnya, terimakasih atas saran, dukungan dan semangat kebersamaannya.

10. Teman–teman Jurusan Matematika yang telah sama–sama tersesat di jalan yang benar. 11. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Bandar Lampung, November 2012 Penulis

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Pemodelan statistika telah banyak digunakan diberbagai bidang ilmu, seperti ilmu kedokteran, teknik, manajemen, dan hampir semua bidang yang mencakup pengetahuan manusia. Model yang paling dasar dan banyak digunakan adalah distribusi peluang, yang berhubungan dengan nilai dari variabel pokok dalam menentukan peluang suatu kejadian. Pemilihan model peluang yang terbaik dalam analisis data statistik bukanlah merupakan hal yang mudah. Di sini biasanya dilakukan pemilihan keluarga distribusi yang tepat terlebih dahulu, selanjutnya menentukan nilai bagi parameter distribusi yang cocok dengan data pengamatan.

Generalized Lambda Distribution (GLD) awalnya diusulkan oleh Ramberg dan Schmeiser (1974), yang memiliki empat parameter dari pengembangan distribusi Lambda Tukey yang telah terbukti berguna dalam berbagai hal seperti konstruksi industri, data atmosfer, kualitas kontrol, data medis dan lain sebagainya (Karian & Dudewicz, 2000). Sejak awal 1970-an GLD telah diaplikasikan dalam penyesuaian kejadian di berbagai bidang dengan fungsi

2

densitas yang kontinu. Yang paling menarik dari GLD adalah pendekatan untuk menentukan parameternya yang didasarkan pada penyesuaian terhadap empat momen pertama dari berbagai macam bentuk distribusi.

Dalam mengkaji hubungan suatu distribusi terhadap distribusi lainnya sebagai kasus pencocokan distribusi peluang dapat dilakukan dengan melihat perilaku dari fungsi distribusinya atau dengan metode pencocokan momen. Penggunaan metode pencocokan momen merupakan cara yang lebih efisien dalam mengkaji hubungan suatu distribusi terhadap distribusi lainnya. Berdasarkan penelitian Shukri dan Yahaya pada tahun 2008 mengenai kandungan karbon monoksida pada atmosfer di beberapa wilayah Malaysia, dapat diketahui bahwa distribusi gamma ( , ) mampu merepresentasikan kandungan karbon monoksida terbaik di antara distribusi lain yaitu Weibull, Log-Normal, Reyleigh, Log-Logistik, Pareto, Laplace, dann Invers Gaussian. Sama halnya dengan GLD yang juga mampu mempresentasikannya dengan sangat baik. Oleh karena itu dalam penelitian ini, akan dikaji mengenai pencocokan (fitting) GLD terhadap distribusi gamma dengan menggunakan metode pencocokan momen untuk mengetahui pada nilai dan berapakah distribusi gamma mampu mendekati GLD.

3

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Memberikan empat momen pertama Generalized Lambda Distribution (GLD).

2. Menentukan nilai dan dari distribusi Gamma yang mampu mendekati GLD dengan sebaik mungkin.

1.3 Manfaat Penelitian

Memahami tentang Generalized Lamda Distribution (GLD) serta memperoleh nilai dan dari distribusi Gamma yang mampu mendekati GLD dengan sebaik mungkin.

4

II. LANDASAN TEORI

Generalized Lambda Distribution (GLD) awalnya diusulkan oleh Ramberg dan Schmeiser (1974), yang memiliki empat parameter dari pengembangan distribusi Lambda Tukey. Keluarga distribusi Lambda Tukey didefinisikan oleh fungsi persentil ( ) yang berasal dari distribusi lambda satu parameter yang diusulkan oleh John Tukey (1960).

( ) =

(1 )

, 0

log( )

1 , = 0, 1

1 0.

Distribusi lambda Tukey digeneralisasi dengan tujuan untuk membangkitkan varietas acak dalam pembelajaran simulasi Monte Carlo ke dalam empat parameter GLD .

GLD telah diaplikasikan dalam mencocokkan dan memodelkan kejadian di banyak bidang dengan fungsi densitas yang kontinu. Yang paling menarik dari GLD adalah pendekatan untuk menentukan parameternya yang didasarkan pada penyesuaian terhadap empat momen pertama dari berbagai macam bentuk distribusi. Untuk mengkaji hubungan generalized lambda distribution terhadap distribusi gamma dengan menggunakan metode pencocokan momen, diperlukan

5

konsep-konsep dan teori-teori yang mendukung dari ilmu statistika matematika modern.

Generalized Lambda Distribution (GLD) dengan parameter , , , , GLD ( , , , ), dengan fungsi persentilnya (invers dari fungsi distribusinya F(x)),

( ) = ( ) = ( ; , , , ) = + (1 )

dengan0 1.

Parameter dan menunjukkan lokasi dan skala parameter (scale parameter), dan menunjukkan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari GLD( , , , ) dan fkp untuk GLD akan diberikan pada Teorema 1. Pada penelitian ini, akan dikaji mengenai hubungan antara GLD dan distribusi gamma dengan menggunakn metode pencocokan momen. Definisi berikut adalah definisi tentang fungsi gamma.

Definisi 2.1 Fungsi Gamma

Fungsi gamma didefinisikan sebagai berikut :

( ) = ; > 0

(Myers, dkk, 2007) Sedangkan untuk fungsi distribusi kumulatif dari distribusi gamma berbentuk :

( ; ) = _{( )}

6

Definisi berikut adalah tentang fungsi densitas distribusi gamma. Definisi 2.2 Fungsi Densitas Distribusi Gamma

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Gamma, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk :

( ) = _{( )}1 ; 0

Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi Gamma adalah ( ; , ), artinya peubah acak X berdistribusi Gamma dengan parameter dan , dimana menunjukkan scale ( skala dan lokasi) dan menunjukkan shape (skewnessdankurtosis).

Mean, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma dirumuskan sebagai berikut :

1. = 2. =

3. ( ) = (1 ) ; t < (Herrhyanto & Gantini, 2009)

Dalam mengkaji hubungan suatu distribusi satu terhadap distribusi lainnnya dapat dilakukan dengan melihat fungsi distribusinya atau dengan menggunakan metode pencocokan momen. Dari kedua cara tersebut, penggunaan metode pencocokan momen merupakan cara yang lebih efisien dalam mengkaji hubungan suatu distribusi terhadap distribusi lain karena memiliki bentuk yang lebih sederhana pada umumnya jika dibandingkan dengan fungsi distribusinya. Definisi berikut adalah tentang metode momen.

7

Definisi 2.3 Metode Momen

Andaikan , , peubah acak bebas dan berdistribusi identik, masing-masing dengan fungsi densitas ( | ) untuk suatu tertentu dengan . Bila momen tersebut ada, maka metode momen dari , , adalah sebagai berikut

= ( = 1, , ).

Pada definisi di atas = adalah momen pusat ke , sedangkan momen sampel takpusat ke . Jadi metode momen merupakan metode yang menyamakan momen populasi yang pertama dengan momen sampel yang pertama dan mengambil jawaban yang menghasilkan dalam , , (bila jawaban ada) sebagai penduga , , (Dudewicz dan Misra, 1995).

Definisi 2.4 Momen

Jika X adalah peubah acak diskrit danp(x)adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka momen pusat ke-k (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai :

= ( ) . ( )

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f(x) adalah nilai fungsi densitas dari X di x, maka momen pusat ke-k (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai:

= ( ) ( )

(Herrhyanto & Gantini, 2009)

Berikut diberikan definisi dari momen pertama, kedua, ketiga dan momen ke empat.

8

Definisi 2.5 Momen Pertama

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitas dar X dixadalah f(x), maka momen pertama terhadap rataan dari peubah acak X disebut dengan meandan didefinisikan sebagai :

= ( ) = . ( )

Definisi 2.6 Momen Kedua

Misal X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Momen kedua terhadap rataan dari peubah acak X disebut dengan varians dan didefinisikan sebagai :

( ) = [ ( )]

Atau ;

( ) = ( )

(Herrhyanto &Gantini, 2009)

Definisi 2.7 Momen Ketiga

Momen ketiga terhadap rataan disebut dengan skewness (kemencongan) dari peubah acak X dan didefinisikan sebagai ;

= = [ ( )]

Definisi 2.8 Momen Keempat

Momen keempat terhadap rataan disebut dengan kurtosis dari peubah acak X dan didefinisikan sebagai ;

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2011/2012. Bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini ditujukan untuk mengkaji hubungan generalized lambda distribution ( ) terhadap distribusi Gamma (α, β) dengan menggunakan metode pencocokan momen. Langkah pertama yang dilakukan yaitu membuktikan empat momen pertama pada GLD. Untuk menunjukkan empat momen pertama GLD, kita harus mendefinsikan terlebih dahulu fungsi densitas dari GLD itu sendiri, serta teorema-teorema yang mendukung untuk menyelesaikan pembuktian empat momen pertama pada GLD. Untuk lebih memahami, Karian dan Dudewicz (2000) telah menjelaskannya dalam teorema berikut.

10

Teorema 1.

Untuk GLD( ✁ ✁ ✁ )✁fungsi densitasnya adalah

( )=

( ) ; = ( )

Bukti :

Jika = ( ), maka kita memiliki = ( ). Diturunkan terhadap , maka diperoleh

= ( ) Atau

( ) =

( ( ))= ( ( ))

Karena bentuk dari ( )pada fungsi peluang dari GLD sudah diketahui, maka :

( )

= + ( )

= ( )

Sehingga, ( ) = _{( )}

= _{( )}

= _{( )}

11

Teorema 2.

Jika variabel acak adalah GLD(0, , , ), maka variabel acak + merupakan GLD( , , , ).

Bukti :

Jika adalah GLD(0, , , ), maka dari definisi GLD dapat diperoleh

( ) = (1 )

Sekarang

( ) = [ + ] = [ ] = ( ),

Oleh karena itu ( ) = yang mengakibatkan ( ) = , Menghasilkan

= ( )

= + ( )

= + (1 ) ,

Ini membuktikan bahwa variabel acak + merupakan GLD( , , , )

Teorema 3.

Jika adalah suatu variabel acak dari GLD( , , , ), maka = merupakan GLD (0, , , )

Bukti :

Jika adalah GLD( , , , ), maka

( ) = + ( ) , dan

12

Jika kita menentukan ( + ) = , maka kita memperoleh

+ = ( ) = + (1 ) , = ( ),

Selain itu kita juga memiliki ( ) = dimana

( ) = = (1 ) ,

Ini membuktikan bahwa merupakan GLD (0, , , )

Teorema 4.

Jika adalah GLD (0, , , ), maka ( ), nilai harapan dari , diberikan oleh

( ) = ( 1) ( ( ) + 1, + 1)

Dimana ( , )adalah fungsi beta yang didefinisikan sebagai berikut :

( , ) = (1 )

Bukti :

( ) = ( )

Dari Teorema 1 diketahui = ( )dengan = ( ) diperoleh

= ( )maka = ( ) . Dengan0 1maka,

( ) = ( )

13

Dari teorema binomial,

(1 ) = ( (1 ) )

Sehingga diperoleh

( ) = ( 1) ( )_{(1 )}

= ( 1) ( ( ) + 1, + 1)

Jadi terbukti bahwa :

( ) = ( 1) ( ( ) + 1, + 1)

Teorema 5.

Jika adalah GLD ( , , , ) dengan > dan > maka empat momen pertamanya adalah , , , (mean, variance, skewness, kurtosis). Sehingga didapatkan :

= = ( ) = +

= = [( ) ] =

= [( ( )) ]=

= [( ( )) ]=

Dimana =

= + 2 (1 + , 1 + )

14

= 1

1 + 4 + 1

1 + 4 4 (1 + 3 , 1 + ) + 6 (1 + 2 , 1 + 2 ) 4 (1 + , 1 + 3 )

Langkah selanjutnya yaitu memberikan empat momen pertama pada distribusi gamma( , , , ). Maka keempat momen pertamanya adalah sebagai berikut :

Momen pertama :

= = ( )=

Momen kedua :

= = ( ) ( ) =

Momen ke-tiga :

= ( ) ( )) =

Momen ke-empat :

= ( ) ( )) =3 +

Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai dari parameter GLD yaitu , , , berdasarkan empat momen pertama dari distribusi gamma dengan nilai dan yang telah disesuaikan dan melakukan fitting kurva untuk memperoleh bentuk kurva dari distribusi gamma yang paling mendekati bentuk dari GLD untuk memperoleh nilai dan dari distribusi gamma yang mampu mendekati GLD dengan sebaik mungkin.

15

Berikut langkah-langkah penelitian jika digambarkan dalam bentuk diagram alir : Mulai

Mendefinisikan fungsi densitas GLD

Membuktikan teorema empat momen pertama pada GLD

Memberikan empat momen pertama distribusi gamma

Menentukan nilai dari parameter GLD

Fittingdata

Selesai

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari hasil penelitian ini dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut: 1. Kurva distribusi Gamma (α,β) dan GLD( , , , ) menjadi lebih dekat pada nilai α sama dengan 29 dan nilai β sama dengan 3 dengan nilaima ( ) − ( ) < 10 .

2. Kedekatan antara kurva distribusi Gamma (α,β) dan GLD( , , , ) pada increase 0.01 memberikan hasil yang lebih baik dari increase 0.002 maupun 0.001 dengan nilaimax ( ) − ( ) yang lebih kecil dari max ( ) − ( ) untuk setiap nilai α dan β.

3. Semakin besar nilai α, kurva yang dibentuk akan semakin simetris, tetapi semakin besar nilai β, bentuk kurva semakin melebar dan cenderung tidak simetris.

5.2 Saran

Harapan untuk penelitian selanjutnya adalah untuk dapat menduga nilai parameter GLD ( , , , ) menggunakan metode momen untuk distribusi kontinu lainnya serta menggunakan metode lain untuk beberapa distribusi seperti beta,weibull, inverse gaussian, dan lain sebagainya.

Teorema 2.

Jika variabel acak adalah GLD(0, , , ), maka variabel acak + merupakan GLD( , , , ).

Bukti :

Jika adalah GLD(0, , , ), maka dari definisi GLD dapat diperoleh

( ) = (1 )

Sekarang

( ) = [ + ] = [ ] = ( ),

Oleh karena itu ( ) = yang mengakibatkan ( ) = , Menghasilkan

= ( )

= + ( )

= + (1 ) ,

Ini membuktikan bahwa variabel acak + merupakan GLD( , , , )

Teorema 3.

Jika adalah suatu variabel acak dari GLD( , , , ), maka = merupakan GLD (0, , , )

Bukti :

Jika adalah GLD( , , , ), maka ( ) = + ( ) , dan

Jika kita menentukan ( + ) = , maka kita memperoleh

+ = ( ) = + (1 ) , = ( ),

Selain itu kita juga memiliki ( ) = dimana

( ) = = (1 ) ,

Ini membuktikan bahwa merupakan GLD (0, , , )

Teorema 4.

Jika adalah GLD (0, , , ), maka ( ), nilai harapan dari , diberikan oleh

( ) = ( 1) ( ( ) + 1, + 1)

Dimana ( , )adalah fungsi beta yang didefinisikan sebagai berikut :

( , ) = (1 ) Bukti :

( ) = ( )

Dari Teorema 1 diketahui = ( )dengan = ( ) diperoleh = ( )maka = ( ) . Dengan0 1maka,

( ) = ( )

Dari teorema binomial,

(1 ) = ( (1 ) )

Sehingga diperoleh

( ) = ( 1) ( )_{(1 )}

= ( 1) ( ( ) + 1, + 1)

Jadi terbukti bahwa :

( ) = ( 1) ( ( ) + 1, + 1)

Teorema 5.

Jika adalah GLD ( , , , ) dengan > dan > maka empat momen pertamanya adalah , , , (mean, variance, skewness, kurtosis). Sehingga didapatkan :

= = ( ) = + = = [( ) ] = = [( ( )) ]=

= [( ( )) ]= Dimana

=

= + 2 (1 + , 1 + )

= 1 1 + 4 +

1

1 + 4 4 (1 + 3 , 1 + ) + 6 (1 + 2 , 1 + 2 ) 4 (1 + , 1 + 3 )

Langkah selanjutnya yaitu memberikan empat momen pertama pada distribusi gamma( , , , ). Maka keempat momen pertamanya adalah sebagai berikut :

Momen pertama :

= = ( )=

Momen kedua :

= = ( ) ( ) =

Momen ke-tiga :

= ( ) ( )) =

Momen ke-empat :

= ( ) ( )) =3 +

Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai dari parameter GLD yaitu , , , berdasarkan empat momen pertama dari distribusi gamma dengan nilai dan yang telah disesuaikan dan melakukan fitting kurva untuk memperoleh bentuk kurva dari distribusi gamma yang paling mendekati bentuk dari GLD untuk memperoleh nilai dan dari distribusi gamma yang mampu mendekati GLD dengan sebaik mungkin.

Berikut langkah-langkah penelitian jika digambarkan dalam bentuk diagram alir : Mulai

Mendefinisikan fungsi densitas GLD

Membuktikan teorema empat momen pertama pada GLD

Memberikan empat momen pertama distribusi gamma

Menentukan nilai dari parameter GLD

Fittingdata

Selesai

5.1 Kesimpulan

Dari hasil penelitian ini dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut: 1. Kurva distribusi Gamma (α,β) dan GLD( , , , ) menjadi lebih dekat pada nilai α sama dengan 29 dan nilai β sama dengan 3 dengan nilaima ( ) − ( ) < 10 .

2. Kedekatan antara kurva distribusi Gamma (α,β) dan GLD( , , , ) pada increase 0.01 memberikan hasil yang lebih baik dari increase 0.002 maupun 0.001 dengan nilaimax ( ) − ( ) yang lebih kecil dari max ( ) − ( ) untuk setiap nilai α dan β.

3. Semakin besar nilai α, kurva yang dibentuk akan semakin simetris, tetapi semakin besar nilai β, bentuk kurva semakin melebar dan cenderung tidak

simetris.

5.2 Saran

Harapan untuk penelitian selanjutnya adalah untuk dapat menduga nilai parameter GLD ( , , , ) menggunakan metode momen untuk distribusi kontinu lainnya serta menggunakan metode lain untuk beberapa distribusi seperti beta,weibull, inverse gaussian, dan lain sebagainya.