Modelling The Risk Probability with Compound Generalized Poisson Distribution

i

PEMODELAN PELUANG RISIKO DENGAN MENGGUNAKAN
SEBARAN COMPOUND GENERALIZED POISSON

MASAYU NUR DZIKRIYANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

ii

ABSTRACT
MASAYU NUR DZIKRIYANA. Modelling The Risk Probability with Compound
Generalized Poisson Distribution. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and I WAYAN
MANGKU.
Insurace is a form of risk management that is used for protection against loss. In insurance
companies, the pricing of insurance premium should be based on fair principles, i.e. in accordance

with the value of class of risk. The higher the risk, the higher amount of insurance premium will
be. The class of risk can be estimated by insurance claim. Modelling the claim frequency is one of
the most important areas in risk theory.
Generally, insurance claims can be modelled with Poisson or negative binomial distribution.
Gossiaux and Lemaire (1981) and Willmot (1987) have considered generalized Poisson
distribution as an alternative to Poisson or negative binomial disribution. Generalized Poisson
distribution will be applied if there is overdispersion in data.
Generalized Poisson distribution can be viewed as a compound Poisson (�) and sum of Borel
(�) distribution. If a random variable N (the number of claims) has a generalized Poisson
distribution, then the total number of claims has a compound generalized Poisson distribution. A
recursive algorithm is needed to model the risk probability of this distribution. First step of this
algorithm is to compute the coefficients of the moment generating function, which sum to the
probability function of the compound Borel (�) distribution. The next step of this algorithm is to
compute the probabilities by using Panjer’s recursion formula for the Poisson (�) distribution.
Keywords: Poisson distribution, generalized Poisson distribution, moment generating function

iii

ABSTRAK
MASAYU NUR DZIKRIYANA. Pemodelan Peluang Risiko dengan Menggunakan Sebaran

Compound Generalized Poisson. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan I WAYAN
MANGKU.
Asuransi merupakan bentuk manajemen risiko yang digunakan untuk proteksi terhadap
kerugian. Penentuan premi dalam perusahaan asuransi harus berdasarkan prinsip adil. Prinsip ini
merupakan prinsip penentuan tingkat premi sesuai dengan klasifikasi risiko. Semakin tinggi
klasifikasi risiko, maka tarif premi semakin tinggi. Klasifikasi risiko dapat diduga dari klaim
asuransi. Pemodelan frekuensi data suatu klaim merupakan salah satu bagian terpenting dari teori
kerugian.
Secara umum, klaim asuransi dapat dimodelkan dengan menggunakan sebaran Poisson dan
binomial negatif. Gossiaux dan Lemaire (1981), dan Willmot (1987) telah menentukan sebaran
alternatif yang dapat digunakan untuk memodelkan klaim yaitu sebaran generalized Poisson.
Sebaran generalized Poisson hanya akan berlaku jika terjadi overdispersed pada suatu data.
Sebaran generalized Poisson juga dapat dipandang sebagai perpaduan antara sebaran
compound Poisson (�) dan sebaran Borel (�). Jika suatu peubah acak N (banyaknya klaim)
memiliki sebaran generalized Poisson, maka total banyaknya klaim tersebut memiliki sebaran
compound generalized Poisson. Diperlukan algoritme rekursif untuk memodelkan peluang risiko
dari sebaran ini. Algoritme rekursif yang digunakan yaitu dengan menentukan terlebih dahulu
koefisien dari fungsi pembangkit momen, yang jika dijumlahkan akan membentuk fungsi peluang
dari sebaran Borel (�). Langkah terakhir, yaitu gunakan formula rekursif Panjer pada kasus
Poisson (�).

Kata kunci : sebaran Poisson, sebaran generalized Poisson, fungsi pembangkit momen.

iv

PEMODELAN PELUANG RISIKO DENGAN MENGGUNAKAN
SEBARAN COMPOUND GENERALIZED POISSON

MASAYU NUR DZIKRIYANA

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

v

Judul Skripsi : Pemodelan Peluang Risiko dengan Menggunakan Sebaran
Compound Generalized Poisson
Nama
: Masayu Nur Dzikriyana
NIM
: G54070063

Disetujui

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
NIP. 19651218 199002 1 001

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.
NIP. 19620305 198703 1 001

Diketahui
Ketua Departemen

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus : ………………………………

vi

KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.
Alhamdulillah, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang senantiasa
melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga, karya ilmiah ini dapat terselesaikan. Shalawat
dan salam selalu tercurah kehadirat nabi “akhir zaman” Muhammad SAW beserta keluarga dan
sahabat. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bpk. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA
(selaku dosen pembimbing I), Bpk Dr. Ir. I Wayan Mangku, M. Sc (selaku dosen pembimbing II),
dan Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S (selaku dosen penguji) untuk semua ilmu, arahan, dan bimbingan
yang telah diberikan selama penyusunan karya ilmiah ini. Penulis juga menghanturkan terima
kasih kepada ayah dan mama tercinta, adikku tersayang dan seluruh keluarga besar ayah dan

mama atas semua doa, nasihat, kasih sayang, motivasi, dan dukungan yang telah diberikan. Baik
selama penyusunan , hingga terselesaikannya karya ilmiah ini.
Ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada seluruh staf departemen Matematika IPB
atas segala pelayanan dan bantuan yang diberikan, sertasegenap dosen Matematika atas semua
ilmu yang telah dibeerikan kepada penulis selama kegiatan perkuliahan. Seluruh teman-teman
Matematika angkatan 44 serta semua civitas (adik serta kakak) Matematika terima kasih untuk
semua doa, dukungan, dan kebersamaannya. Teman-teman kosan (ukhuwah dan srikandi) terima
kasih atas semua kasih sayang, perhatian, doa, semangat, dan kebersamaannya. Pengurus bimbel
“Katalis” terima kasih untuk semua doa dan semangat. Semua teman-teman SD Kenari 01 Pagi,
SLTP Negeri 8 Jakarta, SMA Negeri 4 Jakarta terima kasih untuk semua doa, semangat, dan
motivasi.
Demikianlah penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi
ilmu pengetahuan, khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Bogor, Oktober 2011

Masayu Nur Dzikriyana

vii

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 2 Maret 1990 dari bapak Masagus Arumsjah dan ibu
Hj. R. Leli M. Penulis merupakan putri pertama dari dua bersaudara.
Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima
sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih
mayor Matematika minor Statistika Terapan, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi staf pengajar Bimbingan Belajar Gumatika
mata kuliah Kalkulus TPB (S1), Pengantar Matematika TPB (S1) pada tahun akademik 20082010, staf pengajar Bimbingan Belajar MSC mata kuliah Kalkulus pada semester genap tahun
akademik 2009-2010, dan staf pengajar Bimbingan Belajar Katalis mata kuliah Kalkulus pada
semester genap tahun akademik 2010-2011. Penulis mendapatkan beasiswa dari Persatuan Orang
Tua Mahasiswa (POM) IPB pada semester genap tahun akademik 2007-2008, YAAB Orbit pada
semester ganjil tahun akademik 2008-2009, dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM) IPB pada
semester ganjil tahun akademik 2009-2010 sampai semester genap tahun akademik 2010-2011.
Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah menjadi staf Departemen
Keilmuan (EXIST) Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor pada periode 2008-2009. Selain itu, penulis pernah
terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Gumatika antara lain

Bendahara Math Expo tahun 2008, Panitia Welcome Ceremony Mathematics (WCM) tahun 2009,
Sie. Kesekretariatan Matematika Ria 2009, Panitia Try Out mata kuliah Pengatar Matematika dan
Kalkulus TPB tahun 2008-2009, dan Kadiv. Kesekretariatan Matematika Ria tahun 2010.

viii

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................................

viii

PENDAHULUAN
Latar Belakang ...........................................................................................................
Tujuan ........................................................................................................................

1

LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang ......................................................................

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ..............................................................................
Peubah Acak Binomial Negatif, Poisson, Multinomial .............................................
Nilai Harapan, Ragam, dan Momen ..........................................................................
Proses Stokastik .........................................................................................................

2
2
3
3

PEMBAHASAN
Proses Compound Poisson .........................................................................................
Sifat Compound Poisson ............................................................................................
Proses Compound Generalized Poisson ....................................................................
Algoritme Rekursif untuk Fungsi Peluang Sebaran Compound GP ..........................

5
7
9

SIMPULAN .....................................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................
LAMPIRAN ....................................................................................................................

1

4

11
14
15
16

ix

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
2
3

4
5
6
7
8
9

Pembuktian Teorema 3 ......................................................................
Pembuktian persamaan (26) ..............................................................
Pembuktian persamaan (27) ..............................................................
Pembuktian persamaan (30) ..............................................................
Pembuktian persamaan (34) dan (36) ................................................
Pembuktian persamaan (39) ..............................................................
Pembuktian persamaan (40) ..............................................................
Pembuktian persamaan (41) ..............................................................
Pembuktian persamaan (42) ..............................................................

17
18
20
21
23
25
27
29
30

1

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Ilmu asuransi berkembang sejalan dengan
perkembangan ilmu ekonomi dan matematika.
Asuransi merupakan bentuk manajemen risiko
yang digunakan untuk proteksi terhadap
kerugian. Asuransi juga dapat didefinisikan
sebagai transfer sepadan dari risiko potensi
kerugian dengan suatu premi. Premi asuransi
adalah suatu kewajiban yang harus dipenuhi
oleh pemegang polis yaitu dengan membayar
sejumlah uang kepada perusahaan asuransi
pada tiap periode tertentu atau dibayar lunas.
Penentuan premi dalam perusahaan asuransi
harus berdasarkan prinsip adil. Prinsip ini
merupakan prinsip penentuan tingkat premi
sesuai dengan klasifikasi risiko.
Klasifikasi
risiko merupakan proses
dimana perusahaan asuransi memutuskan
bagaimana tarif premi harus berbeda dengan
karakteristik risiko individu atau barang yang
diasuransikan. Semakin tinggi klasifikasi
risiko, maka tarif premi semakin tinggi.
Klasifikasi risiko dapat diduga dari klaim
asuransi. Klaim asuransi merupakan jaminan
yang diberikan oleh perusahaan terhadap
risiko yang terjadi sesuai kesepakatan yang
berupa sejumlah uang. Model frekuensi data
suatu klaim merupakan salah satu bagian
terpenting dari teori kerugian.
Secara umum, klaim asuransi dapat
dimodelkan dengan menggunakan sebaran
yang memiliki sifat yang sama. Sebaran yang
biasanya digunakan adalah sebaran Poisson,
dimana nilai rata-rata (harapan) dari klaim

sama dengan ragam, dan sebaran binomial
negatif dimana ragam dari klaim lebih besar
dari nilai rata-rata (harapan). Beberapa
pengarang termasuk Gossiaux dan Lemaire
(1981), dan Willmot (1987) telah menentukan
sebaran alternatif yang dapat digunakan untuk
memodelkan klaim yaitu sebaran generalized
Poisson. Consul (1990) telah membandingkan sebaran generalized Poisson dengan
beberapa sebaran diskret lainnya, dan memutuskan bahwa sebaran generalized Poisson
adalah sebaran yang cocok untuk memodelkan frekuensi data suatu klaim.
Menurut Panjer (1981), para aktuaris
menyadari bahwa algoritme rekursif merupakan cara yang cukup efisien untuk memodelkan peluang risiko. Skema rekursif ini
digunakan untuk mengevaluasi sebaran dari
total klaim dengan asumsi bahwa karakteristik
dari klaim memiliki sebaran yang sama dan
saling bebas. Sehinggga, Goovaerts dan Kaas
(1991) merasa perlu untuk menganalisis
peluang risiko dari sebaran compound
generalized Poisson secara rekursif.
Tujuan
Adapun tujuan dari karya ilmiah ini adalah
untuk mempelajari pemodelan peluang risiko
secara rekursif dengan menggunakan sebaran
compound generalized Poisson.

2

LANDASAN TEORI
Untuk memahami dan menyelesaikan
permasalahan yang terdapat dalam karya
ilmiah ini, diperlukan beberapa konsep dasar
berikut.

2. Jika 1 , 2 , … ∈ ℱ, adalah himpunan yang
saling lepas, yaitu
∩ = ∅ untuk
setiap pasangan ≠ , maka
P(

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan Acak adalah percobaan yang
dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang
sama. Semua kemungkinan hasil yang akan
muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada
percobaan berikutnya tidak dapat ditebak
dengan tepat.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Ruang Contoh adalah himpunan semua hasil
dari suatu percobaan acak, dinotasikan  .
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang
contoh (  ).
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Kejadian Saling Bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
� ∩
=�
� .
Secara umum, himpunan kejadian { ; ∈ },
dikatakan saling bebas jika
�

=
∈

∈

�( )

untuk setiap himpunan bagian berhingga J
dari I.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 4 (Medan-�)
Medan-� adalah suatu himpunan ℱ yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat
berikut:
1.   
2. Jika ∈ ℱ, maka � ∈ ℱ

3. Jika

1,

2, …

∈ ℱ, maka



 Ai   .
i 1

(Grimmett & Stirzaker 1992)

Definisi 5 (Ukuran Peluang)
Suatu ukuran peluang P pada (Ω, ℱ) adalah
suatu fungsi � ∶ ℱ → 0,1 yang memenuhi
syarat-syarat berikut:
1. P     0, P     1





i 1

i 1

 Ai ) =  P ( Ai ) .

Pasangan (Ω, ℱ, �) disebut ruang peluang.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 6 (Peubah Acak)
Misalkan  adalah ruang contoh dari
percobaan acak dan  adalah suatu medan-�
dari  . Peubah acak X adalah suatu fungsi
∶ Ω → ℛ, dengan sifat
� ∈ Ω: (�)
∈ℱ
untuk setiap ∈ ℛ .
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 7 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya
hanya pada himpunan bagian yang tercacah
dari ℛ.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Catatan:
Suatu himpunan bilangan C disebut tercacah
jika C terdiri atas bilangan berhingga atau
anggota C dapat dikorespondensikan 1-1
dengan bilangan bulat positif.
Definisi 8 (Fungsi Sebaran)
Misalkan adalah peubah acak dengan ruang
�. Misalkan kejadian
= (−∞, ] ⊂ �,
maka peluang dari kejadian adalah
= �(
).
Fungsi
disebut fungsi sebaran dari
peubah acak .
(Hogg et al. 2005)
Definisi 9 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi
sebarannya dapat dinyatakan sebagai
x

FX ( x) 



f (u ) du



untuk suatu fungsi � ∶ ℝ → [0, ∞) yang dapat
diintegralkan. Fungsi � = � disebut fungsi
kepekatan peluang (probability density
function) bagi .
(Hogg et al. 2005)

3

Definisi 10 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang suatu peubah acak
diskret
adalah fungsi
: ℝ → [0,1] yang
diberikan oleh
pX  x  P  X  x.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 11 (Fungsi Kepekatan Peluang
Bersyarat)
Misalkan
dan
adalah dua peubah acak
kontinu, maka fungsi kepekatan peluang
bersyarat dari dengan syarat
= , ditulis
�|
diberikan oleh
�( , )
�|
=
�( )
untuk sembarang asalkan � ( ) > 0 .
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Peubah Acak Binomial Negatif, Poisson
dan Multinomial
Definisi 12 (Peubah Acak Binomial Negatif)
Peubah acak dikatakan menyebar binomial
negatif dengan parameter , , > 0, =
1 − , dan 0 < < 1 jika memiliki fungsi
massa peluang

 x  r  1  r
x

 p (1  p ) , x  0,1,...
p X ( x )   r  1 
 0
, lainnya .

(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 13 (Peubah Acak Poisson)
Peubah acak X dikatakan menyebar Poisson
dengan parameter �, jika memiliki fungsi
massa peluang


p X ( x,  ) 

(e  )
x

; x  0,1, 2,...

x!

dengan � > 0.

(Hogg et al. 2005)

 n ! p p ... p

 x1 ! x2 !...xk !
 0

x2

Definisi 15 (Nilai Harapan)
(i) Jika adalah peubah acak diskret dengan
fungsi massa peluang
, maka nilai
harapan dari , dinotasikan dengan ( ),
adalah
E( X ) 
x PX ( x)


x

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah
di atas divergen, maka nilai harapan X
tidak ada.
(ii) Jika
adalah
peubah acak kontinu
,
dengan fungsi kepekatan peluang �
maka nilai harapan dari , dinotasikan
dengan ( ), adalah


E( X ) 

xf

X

( x)dx



jika integral di atas konvergen. Jika
integral di atas divergen, maka nilai
harapan X tidak ada.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 16 (Ragam)
Ragam dari peubah acak
adalah nilai
harapan dari kuadrat selisih antara peubah
acak
dengan nilai harapannya. Dapat
dituliskan
Var ( X )  E[ X  E ( X )]
2
2
 E ( X )  [ E ( X )]
jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah di
atas divergen, maka ragam dari X tidak ada.
(Hogg et al. 2005)
2

Definisi 17 (Momen)
(i) Misalkan
adalah peubah acak diskret
dengan fungsi massa peluang
, maka
momen ke-k dari X, dinotasikan dengan
( ), adalah
k
k
E ( X )   x PX ( x)
x

Definisi 14 (Sebaran Multinomial)
Peubah acak diskret 1 , 2 , … ,
disebut
menyebar multinomial dengan parameter n
dan 1 , 2 , … , , n adalah bilangan bulat
positif, 0 < < 1 untuk semua = 1,2, … ,
dan 1 + 2 + ⋯ + = 1, jika fungsi massa
peluangnya
pX1 , X 2 ,..., X k ( x1 , x2 ,..., xk ) 
x1

Nilai Harapan, Ragam dan Momen

xk

,x

i

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah
di atas divergen, maka momen dari X
tidak ada.
(ii) Misalkan
adalah peubah acak kontinu
dengan fungsi kepekatan peluang �
,
maka momen ke-k dari X, dinotasikan
dengan ( ), adalah

k

E( X ) 

x

k

f X ( x)dx



 1, 2,..., k

, lainnya .
(Hogg et al. 2005)

jika integral di atas konvergen. Jika
integral di atas divergen, maka momen
dari X tidak ada.
(Grimmett & Stirzaker 1992)

4

Definisi 18 (Fungsi Pembangkit Momen)
Fungsi
pembangkit
momen
(moment
generating function) dari suatu peubah acak
X didefinisikan sebagai

terjadi pada sebarang dua interval waktu yang
tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah
bebas.
(Ross 1996)

tX

M X (t )  E (e )

untuk
ada.

∈ ℝ sehingga nilai harapan di atas
(Grimmett & Stirzaker 1992)

Proses Stokastik
Definisi 19 (Proses Stokastik)
Proses stokastik X=
, ∈
adalah suatu
himpunan dari peubah acak yang memetakan
suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state
(state space) .
(Ross 1996)
Definisi 20 (Proses Pencacahan)
Proses stokastik
,
0 disebut proses
pencacahan (counting process) jika
menyatakan banyaknya kejadian (events) yang
telah terjadi sampai waktu .
(Ross 1996)
Catatan:
Proses pencacahan
harus memenuhi:
1. ( ) 0,
2. Nilai
adalah integer,
3. Jika < , maka
,
4. Untuk < , maka
−
sama
dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada interval ( , ].
Definisi 21 (Inkremen Bebas)
Suatu proses pencacahan dikatakan memiliki
inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang

Definisi 22 (Proses Poisson)
Suatu
proses
pencacahan
,
0
disebut proses Poisson dengan intensitas �,
� > 0 jika:
1.
0 = 0,
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas,
3. Banyaknya kejadian pada sebarang
interval waktu dengan panjang , memiliki
sebaran Poisson dengan nilai harapan
(mean) � . Jadi, untuk semua > 0 dan
> 0, maka
P ( N (t  s )  N ( s )  n )  e

untuk

 t

(t )

n

n!

= 0,1, …

(Ross 1996)

Definisi 23 (Proses Compound Poisson)
Suatu proses
,
0 disebut proses
compound Poisson jika proses tersebut dapat
dinyatakan sebagai
Y t  

N t 

 Xi

,t  0

i 0

dengan
,
0 adalah suatu proses
Poisson dengan laju � dan 1 , 2 , … adalah
suatu barisan peubah acak independent and
identically distribution (i.i.d) dengan suatu
fungsi sebaran F , yang juga bebas
terhadap {
}.
(Ross 2000)

5

PEMBAHASAN
Menurut sejarah, ada dua model dari suatu
risiko, yaitu model risiko individu dan model
risiko kolektif. Model risiko individu dapat
diperoleh dari banyaknya barang yang
diasuransikan dan kerugian dari barang
tersebut. Banyaknya klaim secara keseluruhan
dapat diperoleh dengan menjumlahkan semua
polis yang terdapat pada portofolio.
Sedangkan untuk memodelkan sebuah risiko
kolektif, dapat diasumsikan bahwa klaim yang
diajukan merupakan suatu peristiwa yang
terjadi secara acak. Dalam portofolio, model
risiko kolektif lebih mudah dipahami daripada
model risiko individu. Berikut ini adalah
bentuk dari model risiko kolektif seperti yang
terdapat dalam Bowers et al. (1997).
Misalkan:
N = banyaknya klaim yang dihasilkan dari
portofolio polis pada waktu tertentu.
X i = besarnya klaim ke- i, i  1, 2,.., N
Sehingga, model risiko kolektif dapat dituliskan seperti berikut
(1)
S  X1  X 2  ...  X N .
Secara umum, model (1) merepresentasikan klaim secara keseluruhan dari portofolio
pada suatu periode waktu. Model ini sering
disebut dengan jumlah acak dari klaim ke- i .
Peubah acak menyatakan banyaknya klaim
dan memiliki keterkaitan dengan frekuensi
klaim. Peubah acak 1 , 2 , . . ,
menyatakan
besarnya klaim
ke- i . Agar model lebih
mudah untuk diselesaikan, diperlukan dua
asumsi pokok, yaitu:
1. Peubah acak
memiliki
1, 2, . . ,
sebaran yang sama.
2. Peubah acak
dan
, = 1,2, . . ,
saling bebas.

2

E[ X ]  p1 , E[ X ]  p2 .
Jika peubah acak N (banyaknya klaim)
memiliki sebaran Poisson, maka peubah acak
S pada persamaan (1) memiliki sebaran
compound Poisson. Sehingga, nilai harapan
dan ragam dari sebaran ini adalah
(3)
E[ S ]   p1
dan
(4)
Var[ S ]   p2 .
Bukti (3)
Diketahui:
= 1 + 2 + ⋯ + , dengan
1 , 2 , … menyebar i.i.d dan N menyebar
Poisson.
Akan dibuktikan:
= � 1.
N

E[ S ]  E[ E ( S | N )]  E[ E (





n!

n 0


i 1
n

 E[ X i | N  n]P( N  n)
 E[ X i ]P( N  n)
n 0


n

i 1

 [ E ( X i )]P( N  n)
n  0 i 1


 [np1 ]P( N  n)

 p1



 nP( N  n)  p1E[ N ].
n 0

E[ S ]   p1 .

Bukti (4)
Diketahui:
= 1 + 2 + ⋯ + , dengan
1 , 2 , … menyebar i.i.d dan N menyebar
Poisson.
Akan dibuktikan: �
= � 2.
2

N

2




(2)

dengan   0.
Nilai harapan dan ragam dari sebaran Poisson
berturut-turut adalah
E[ N ]  Var[ N ]   .
Dimisalkan bahwa 1 dan 2 adalah nilai
harapan dan momen ke- 2 dari
, dapat
dinyatakan



 





n

i 1

 X i ) 2 | N )]
i 1

N

E[(

n 0

n 

, n  0,1, 2,...

N

n 0

Salah satu sebaran dari peubah acak N
(banyaknya klaim) adalah sebaran Poisson
dengan fungsi massa peluang

 e

i 1



E[ S ]  E[ E ( S | N )]  E[ E ((

Proses Compound Poisson

P ( N  n) 

 X i | N )]

2

X i ) | N  n ]P ( N  n )
n

n

 [ E ( X i )  E ( X i ) E ( X j )]P( N  n)
2

n  0 i 1


i 1 i  j

 [nE ( X i

n 0

2

 E[ X ]





n 0

2

2

2

)  ( n  n)( p1 ) ]P ( N  n)

nP ( N  n )  ( p1 )

2



 (n 2  n)P( N  n) .
n0

E[ S ]  E ( X )  ( p1 ) {E[ N ]  }.
2

2

2

2

6

2

Var[ S ]  E[ S ]  ( E[ S ])

Nilai harapan dan ragam dari sebaran
binomial negatif berturut-turut adalah
rq
rq
E[ N ]  , Var[ N ]  2 
p
p
Dimisalkan bahwa 1 dan 2 adalah nilai
harapan dan momen ke- 2 dari , dapat
dinyatakan

2

 E ( X )  ( p1 ) {E[ N ]  }
2

2

( E[ N ] p1 )

2

2

 E ( X )  ( p1 ) {E[ N ]  }
2

2

2

2

2

( p1 ( E[ N ]) )
 E ( X )  ( p1 )
2

{E[ N ]    ( E[ N ]) }
2

2

 E ( X )  ( p1 )
2

2

{E[ N ]  ( E[ N ])  }
2

2

 E ( X )  ( p1 ) {Var[ N ]  }
2

2

 E ( X )  ( p1 ) Var[ N ]  ( p1 ) 
2

2

2

  ( E[ X ]  ( p1 ) )   ( p1 )
2

2

2

  ( p2  ( p1 ) )   ( p1 ) .
2

2

Var[ S ]   p2 .
Fungsi pembangkit momen dari sebaran
Poisson adalah:
 ( et 1)

.
M N (t )  e
Fungsi pembangkit momen untuk sebaran
compound Poisson dapat diperoleh dengan
mensubstitusikan fungsi pembangkit momen
Poisson pada persamaan berikut
tS

E[ X ]  p1 , E[ X ]  p2 .
Jika peubah acak N (banyaknya klaim)
memiliki sebaran binomial negatif, maka
peubah acak S pada persamaan (1) memiliki
sebaran
compound
binomial
negatif.
Sehingga, nilai harapan dan ragam dari
sebaran ini adalah
rq
E[ S ] 
p1
(8)
p
dan
2

2

tS

M S (t )  E[e ]  E[ E[e | N ]]
 E [ M X (t ) ]
N

X
 E[ e
].
(5)
M S (t )  M N [log M X (t )].
Sehingga, fungsi pembangkit momen untuk
sebaran compound Poisson, dapat dituliskan
sebagai berikut:
M S (t )  M N (log M X (t ))

Var[ S ] 

p

p

2

2

2

p1 .

(9)

N

E[ S ]  E[ E ( S | N )]  E[ E (




 ( elog M X ( t ) 1)

(6)
Sebaran Poisson hanya dapat digunakan
apabila nilai rata-rata (harapan) dari klaim
sama dengan nilai ragam. Namun, jika nilai
ragam dari klaim lebih besar dari nilai
harapan, maka sebaran yang digunakan untuk
peubah acak N (banyaknya klaim) adalah
sebaran binomial negatif dengan fungsi massa
peluang
 n  r  1 r n
P ( N  n)  
 p q , n  0,1, 2,... (7)
 r 1 
dengan
r  0, 0  p  1, q  1  p.

p2 

rq

Bukti (8)
Diketahui:
= 1 + 2 + ⋯ + , dengan
,
,
…
menyebar
i.i.d dan N menyebar
1 2
binomial negatif.
rq
p1 .
Akan dibuktikan: E[ S ] 
p

N log M ( t )

e
 ( M ( t ) 1)
M S (t )  e X
.

rq





N

n 0


i 1
n

i 1

 E[ X i | N  n]P( N  n)
 E[ X i ]P( N  n)
n 0


n

i 1

 [ E ( X )]P( N  n)
n  0 i 1


i

 [np1 ]P( N  n)
n 0

 p1
E[ S ] 

 X i | N )]

rq
p



 nP( N  n)  p1E[ N ].
n 0

p1 .

Bukti (9)
Diketahui:
= 1 + 2 + ⋯ + , dengan
1 , 2 , … menyebar i.i.d dan N menyebar
binomial negatif.
Akan dibuktikan: Var[ S ] 

rq
p

p2 

rq
p

2

2

2

p1 .

7

N

E[ S ]  E[ E ( S | N )]  E[ E ((  X i ) | N )]
2

2

2



N

n 0

i 1

i 1

  E[(  X i ) | N  n ]P ( N  n )
2

n

2
E( X i ) 

 
i 1
P ( N  n )
  n n

n 0 
E( X i )E( X j )
 

i 1 i  j


   nE ( X i )  ( n  n )( p1 )
2

n 0

2



 E[ X ] nP ( N  n )  ( p1 )
2

n 0

2

2

E[ S ]  E ( X )

rq
p

2

2

2

2

sebaran compound binomial negatif, dapat
dituliskan:
p
r
)
M S (t )  M N (log M X (t ))  (
elog M X ( t )
1 q
M S (t )  (

p
1  qM X (t )

r

) .

(10)

Sifat Compound Poisson

P ( N  n)


Sebaran compound Poisson memiliki tiga
sifat, yaitu:

 (n 2  n)P( N  n)1.
n 0

2

 ( p1 ) {E[ N ] 

rq

}.

p

Var[ S ]  E[ S ]  ( E[ S ])
rq
2 rq
2
2
 E ( X )  ( p1 ) {E[ N ]  }
p
p
2
( E[ N ] p1 )
rq
2 rq
2
2
 E ( X )  ( p1 ) {E[ N ]  }
p
p
2
2
( p1 ( E[ N ]) )
 E[ N ]2  rq 

2 rq
2 
p
 E ( X )  ( p1 ) 
p
( E[ N ]) 2 


2

Jika setiap peubah acak menyebar
compound Poisson, maka jumlah dari
setiap peubah acak tersebut juga menyebar
compound Poisson.
2. Jika peubah acak S dinyatakan
S  X1 N1  X 2 N 2  ...  X m N m ,

maka peubah acak S memiliki sebaran
compound Poisson.
3. Jika total klaim berupa bilangan bulat
positif, maka untuk mengevaluasi sebaran
dari total klaim tersebut digunakan metode
rekursif.
Berikut ini akan dijelaskan secara detail
sifat-sifat dari sebaran compound Poisson.

1. Jika setiap peubah acak menyebar
compound Poisson, maka jumlah dari
setiap peubah acak tersebut juga menyebar
compound Poisson.
rq
2 rq
2
2
2
m
m
 E ( X )  ( p1 ) {E[ N ]  ( E[ N ])  }
p
p
M S (t )   M Si (t )  exp{ i [ M i (t )  1]}
rq
i 1
i 1
2 rq
2
 E ( X )  ( p1 ) {Var[ N ]  }
p
p
 m 

2 rq
2
2 rq
 E[ X ]  ( p1 ) Var[ N ]  ( p1 )
M S (t )  exp  [  i M i (t )  1]  .
(11)
p
p
 i 1 

rq
rq
2
2
2
Agar sifat pertama terpenuhi, maka
( E[ X ]  ( p1 ) )  2 ( p1 )

diperlukan Teorema berikut:
p
p
rq
rq
2
2
( p2  ( p1 ) )  2 ( p1 ) .

Teorema 1
p
p
2
Jika peubah acak 1 , 2 , … ,
saling bebas,
rq
rq 2
dan menyebar compound Poisson dengan
Var[ S ] 
p2  2 p1 .
p
p
parameter � dan fungsi kepekatan peluang
dari klaim �
, = 1,2, . . . , maka 1 +
2 +⋯+
Fungsi pembangkit momen dari sebaran
, menyebar compound Poisson
binomial negatif adalah:
dengan
m
p
r
M N (t )  (

i

t ) .

e
(12)
1 q
i 1
Fungsi pembangkit momen untuk sebaran
compound binomial negatif dapat diperoleh
dengan mensubstitusikan fungsi pembangkit
momen binomial negatif pada persamaan (5).
Sehingga, fungsi pembangkit momen untuk

P( x) 

m



 i Pi ( x) .
i 1

(13)

8

Bukti Teorema 1
Diketahui:
 Si ~ CP(i )

N i : peubah acak tak bebas yang menyatakan
banyaknya klaim
Peubah acak S dinyatakan sebagai

 Berdasarkan persamaan (6), maka
M Si (t )  exp  i ( M i (t )  1)  .



(16)
S  X1 N1  X 2 N 2  ...  X m N m .
Maka menurut Teorema 2 berikut, peubah
acak S menyebar compound Poisson dan
saling bebas. Namun, untuk dapat menggunakan Teorema 2 diperlukan pemahaman
dasar mengenai sebaran multinomial.

E (e )
t ( S  S ... S m )
E (e 1 2
)
tS
tS tS
E (e 1 e ...e )
tS
tS
tS
E (e 1 ) E (e 2 )...E ( e m )
M S1 (t ) M S2 (t )...M Sm (t )

Teorema 2
Jika peubah acak S seperti pada persamaan
(16) menyebar compound Poisson dengan
parameter  dan fungsi peluang klaim diskret
seperti pada persamaan (15), maka
a. N1 , N 2 ,..., N m saling bebas.

M

b. N i menyebar Poisson dengan parameter

Akan dibuktikan:
S  S1  S2  ...  Sm ~ CP( ) , maka




M S (t )  exp  [
M S (t ) 





 i ( M i (t )  1)]  .
m

i 1

tS

m

2

m



i 1
m



Si

(t )

i   i , i  1, 2,..., m .

 exp[ ( M (t )  1)]


 
i

i 1

 exp

i

m



  ( M (t )  1)
i

i 1

M S (t )  exp 

m

i

i

.





( M i (t )  1) .
(14)

i 1 
Persamaan di atas, memiliki dua peranan
penting dalam memodelkan suatu klaim
asuransi. Pertama, jika m portofolio dikombinasikan dan klaim majemuk untuk
setiap portofolio menyebar compound
Poisson dan saling bebas, maka klaim
majemuk dari portofolio yang dikombinasikan
juga menyebar compound Poisson. Kedua,
misal sebuah portofolio tunggal dengan
jangka waktu m tahun. Diasumsikan klaim
agregat tahunan untuk jangka waktu m tahun
dan klaim majemuk tiap tahun saling bebas
dan menyebar compound Poisson. Sebaran
tahunan untuk klaim majemuk tidak harus
selalu sama. Maka menurut Teorema 1, total
klaim untuk jangka waktu m tahun menyebar
compound Poisson.

m



1

 .
i

i 1



exp( x ) 



n

 n! .
x

n 0

 Fungsi peluang dan fungsi pembangkit
momen untuk sebaran multinomial adalah



n !  1 1  2 2 ... mm

P ( N1  n1 , N 2  n2 ,..., N m  nm ) 




n

n

n

n1 ! n2 !...nm !

 m t N    et   et  ...   et
  1
 i i 
m
2
 i 1

E exp 

1

Akan dibuktikan:



2

.
n

m



E  exp  tNi   exp  i e i  1  .
t

   m
 m


 i 1


   i 1

  m


  E  exp   ti N i  N  n  P ( N  n)

n 0
  i 1






E  exp   ti N i    E  E  exp   ti N i  N  

2. Jika peubah acak S dinyatakan
S  X1 N1  X 2 N 2  ...  X m N m ,
maka peubah acak S memiliki sebaran
compound Poisson.
Misalkan pada kasus berikut,
X1 , X 2 ,..., X m : menyatakan peubah acak
diskret dari sejumlah klaim
 i  p( xi ) , p ( xi ) : menyatakan peluang
untuk setiap xi , i  1, 2,..., m

Bukti Teorema 2
Diketahui:
 S  X1 N1  X 2 N 2  ...  X m N m .

(15)





 1e

t1

n 0

 exp(  )

  2 e  ...   m e
t2



 1e
n 0

t1

tm



n

n 

 e

n!

  2 e  ...   m e m
t2

t



n



n

n!





9

memiliki fungsi kepekatan peluang u ( )
dengan � > 0 dan sebaran bersyarat N

menyebar Poisson dengan parameter � dimana
 exp(  )
n
!
   . Asumsi ini hanya dapat diterapkan
n 0
m
t
pada
situasi tertentu. Misalnya, penentuan
 exp(  ) exp(  i e )
tingkat premi yang disesuaikan dengan
i 1
klasifikasi risiko. Semakin tinggi klasifikasi
m
m
t
risiko, maka tarif premi semakin tinggi. Untuk
 exp(    i ) exp(   i e i ) .
i 1
i 1
pendugaan klasifikasi risiko dapat diduga dari
  m
 m
banyaknya klaim yang menyebar Poisson
t
exp   i e  1  . 17 
E  exp  ti N i   
dengan nilai � yang berbeda-beda. Frekuensi
  i 1
  i 1
relatif dari nilai � ini dapat dinotasikan
sebagai (�), dengan menggunakan hukum
Fungsi pembangkit momen seperti yang
total peluang, diperoleh fungsi peluang seperti
terdapat pada persamaan (17) menunjukkan
berikut:
adanya kebebasan untuk setiap . Sehingga,

jika dimisalkan bahwa
= maka fungsi
P ( N  n)   P ( N  n |    )u ( ) d 
pembangkit momen pada persamaan (17) akan
0
menjadi

n

e 
t
(20)
(18)
E  exp  tN i   exp  i e  1  .
P ( N  n)  
u ( ) d  .
n!
0
Sehingga, nilai harapan dan ragam dari
3. Jika total klaim berupa bilangan bulat
sebaran ini adalah
positif, maka untuk mengevaluasi sebaran
(21)
E[ N ]  E[ E[ N | ]]  E[]
dari total klaim tersebut digunakan metode
dan
rekursif berdasarkan Teorema berikut.
Var[ N ]  E[Var[ N | ]]  Var ( E[ N | ])
 E[]  Var[ ].
Teorema 3
Untuk setiap total klaim dimana sebaran dari
Maka fungsi pembangkit momen
fungsi peluang N (menyatakan banyaknya
tN
tN
 ( e 1)
M N (t )  E[e ]  E[ E[e | ]]  E[e
]
klaim), harus memenuhi persamaan berikut
t
(22)
M N (t )  M  (e  1).
P ( N  n)
b
 a    , n  1, 2,...
Keterangan:
P ( N  n  1)
n

 m
t 
    ie 
 i 1


n

i







i







i

i





t

f s ( x) 


i 1 
x

 a 

bi 
 p (i ) f s ( x  i )
x

(19)

x  1, 2,...
nilai awal untuk sebaran di atas
f s (0)  P( N  0).
Untuk membuktikan Teorema ini,
diperlukan lemma berikut.
Lemma
Untuk peubah acak tak negatif 1 , 2 , … ,
yang menyebar i.i.d, maka berlaku Persamaan
berikut
x

p*n ( x)   p(i ) p*( n 1) ( x  i )
i 1

p*n ( x ) 

x

 ip(i) p*( n1) ( x  i) .
x

n

i 1

Bukti (lihat Lampiran 1).
Famili sebaran untuk banyaknya klaim
dapat diperumum dengan asumsi bahwa
peubah acak Poisson dengan parameter 

 ( e 1)
t

.
[ E[e | ]]  e
Berdasarakan asumsi bahwa N menyebar
Poisson dengan parameter  , maka dapat
terlihat bahwa Var[ N ]  E[ N ] .
tN

Maka, fungsi sebaran

Proses Compound Generalized Poisson
Kejadian acak dapat dihampiri dengan
sebaran Poisson, apabila nilai harapan dan
ragam dari kejadian acak ini sama. Namun,
jika ragam dari kejadian acak lebih besar dari
nilai harapannya (data dari kejadian acak ini
overdispersed), maka kejadian acak ini tidak
dapat dihampiri oleh sebaran Poisson. Seperti
kita ketahui bahwa banyak data-data real yang
overdispersed dan hanya dapat dihampiri oleh
sebaran generalized Poisson. Sebaran
generalized Poisson merupakan perluasan dari
sebaran Poisson yang mampu menjelaskan
suatu keadaan dimana fungsi intensitas dari �
tidak konstan (seperti yang terdapat pada
proses Poisson), tetapi dipengaruhi oleh
peristiwa sebelumnya. Peubah acak N dikatakan menyebar generalized Poisson dengan

10

parameter � dan �,
massa peluang

P ( N  n)  pn ( ,  ) 

jika memiliki fungsi

 (  n )

n 1

e

 n 

n!

 23

n  0,1, 2,...

dengan 0    1 dan   0.
Dalam asuransi, aplikasi dari sebaran ini
dapat ditemukan pada model kerugian, seperti
yang terdapat dalam Gerber (1990). Consul
(1989) menjelaskan secara detail berbagai
macam peristiwa yang terjadi dan mekanisme
yang digunakan untuk menyelesaikan setiap
peristiwa. Salah satu mekanisme yang
digunakan adalah proses bercabang.
Proses bercabang merupakan salah satu
bentuk khusus dari rantai Markov dengan
waktu diskret
, = 0,1,2, … yang ruang
statenya adalah bilangan bulat tak negatif.
Pada proses ini,
disebut sebagai ukuran
populasi pada waktu n. Jika
, =
1,2, … , −1 menyatakan banyaknya keturunan yang dihasilkan oleh individu ke-i pada
generasi ke-(n-1), maka ukuran populasi pada
generasi ke- n dapat dituliskan sebagai berikut
X  n1

X n  Z1  Z 2  ...  Z X  n1 

Z.
i

i 1

Dalam karya ilmiah ini proses bercabang
yang digunakan adalah proses bercabang
Galton-Watson, yaitu proses yang sering
digunakan untuk
menerapkan beberapa
permasalahan dalam bidang asuransi. Pada
proses ini akan dimodelkan suatu proses
penyebaran dan peluang risiko terinfeksi
penyakit X. Dimisalkan terdapat M individu
yang terkena penyakit X. Setiap individu ini
akan menularkan penyakitnya kepada
, = 1,2, … , individu, dan setiap individu
ini
akan
menularkan
penyakitnya
kepada
, = 1,2, … , individu, dan begitu
seterusnya.
Jika peubah acak M memiliki sebaran
Poisson dengan parameter � , dan , , …
merupakan peubah acak yang saling bebas
dan memiliki sebaran Poisson dengan
parameter � , maka total banyaknya individu
yang terinfeksi penyakit ini menyebar
generalized Poisson dengan parameter � dan
�. Parameter � dan � adalah bilangan bulat tak
negatif. Asumsikan bahwa � < 1 untuk
memastikan bahwa peluang dari N tidak lebih
dari 1.
Misalkan peubah acak menyatakan total
banyaknya individu yang tertularkan oleh

orang ke-i, termasuk dirinya sendiri, dan
peubah acak
menyatakan total banyaknya
individu yang tertularkan oleh orang ke-j yang
tertularkan oleh orang ke-i, = 1,2, … , ,
termasuk dirinya sendiri. Sehingga, dengan
jelas dapat dinyatakan bahwa peubah acak
dan
memiliki sebaran yang sama.
Persamaan
dapat dituliskan sebagai
berikut:
Bi  1 

Li

B
j 1

ij

.

(24)

Jika peubah acak
dan
dapat
dinyatakan sebagai B, maka, nilai harapan,
ragam serta fungsi pembangkit momen dari
persamaan (24) adalah:
Nilai harapan
1

E[ B ] 
(25)
1 
Ragam

Var[ B ]   E[ B ]
1
2

E[ B ] 
1   3
2

(26)

Bukti (lihat Lampiran 2).
Fungsi pembangkit momen dari persamaan
(24)
GB  u   uGLi  GB  u    ue

 ( GB  u  1)

   t 1

t  t  u   GB  u  , maka u  te
. (27)
Bukti (lihat Lampiran 3).
Keterangan :
 Nilai harapan, ragam, dan fungsi
pembangkit momen dari persamaan (24)
dapat diperoleh dengan menggunakan
beberapa sifat dari sebaran compound
Poisson seperti yang terdapat pada
pembahasan sebelumnya.
 Peluang � = , pada persamaan (27)
merupakan koefisien dari deret kuasa yang
dinyatakan dalam
.



P B  i 

 i i 1 e i

, i  1, 2,...

i!

Bukti (25)
Diketahui:
dan
dapat dinyatakan sebagai B dan
, , … ~� �

Akan dibuktikan: E[ B ] 

1

1 



11

E  Bi   E  E  Bi Li 

 

 E  E  1   Bij Li  
  j 1


 Li

  E 1   Bij Li  li P  Li  li 
li  0 
j 1


 li

 1   E   Bij P  Li  li 
li  0  j 1

l

 i

 1     E  Bij  P  Li  li 
li  0  j 1

Li

 1



 li E  Bij P  L






(28)

i

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa
peubah acak N memiliki sebaran generalized
Poisson. Sehingga, nilai harapan dan ragam
dari persamaan ini adalah sebagai berikut
Nilai harapan:



(29)

1 
dan Ragam:

1   3



(30)

Bukti (lihat Lampiran 4).
Bukti (28)
Diketahui:
dan

dapat dinyatakan sebagai B,

M ~ P   , dan E[ B ] 

M

 E  Bi P  M  m 
i 1



M

m0

i 1

  E  Bi P  M  m 


  mE  Bi P  M  m 
m0

M



i 1



 E  B  E  M .

B .

Var  N  

m0




M  m P M  m



E[ B ] 1     1
1

E[ B ] 
1 
Total banyaknya individu
yang
terinfeksi penyakit ini dapat dituliskan sebagai
berikut:

EN 

M

 E  Bi   mP  M  m 

li P  Li  li 

Dimisalkan
dan
dapat dinyatakan
sebagai B, sehingga nilai harapannya
E[ B ]  1   E[ B]
E[ B ]   E[ B ]  1

i 1



 E  Bi

m0

i

N




m0

 
l 0
 1  E  Bij  E  Li  .
E  Bi   1   E  Bij  .
 1  E Bij



 li 

i

li  0

 M
  i 1

E  N   E  E  N M   E E   Bi M 

1

.

1 


Akan dibuktikan: E  N  
1 

EN 


1 



Algoritme Rekursif untuk Fungsi Peluang
dari Sebaran Compound Generalized
Poisson
Banyaknya total klaim dalam perusahaan
asuransi memiliki peranan yang lebih penting
dibandingkan dengan banyaknya klaim yang
ada. Jika peubah acak
, = 1,2, … ,
menyatakan besarnya klaim yang diberikan
oleh perusahaan asuransi sesuai dengan
peristiwa yang terjadi, maka peubah acak S
dapat dinyatakan sebagai peubah acak
compound generalized Poisson �, � dan
dapat dituliskan sebagai berikut
S

N

 Zi .

(31)

i 1

Keterangan:
 Peubah acak N dan
, = 1,2, … ,
saling bebas.
Bilangan bulat
 Z i , i  1, 2,..., N =
positif dan memiliki sebaran yang sama
dan saling bebas.
Para aktuaris lebih sering menggunakan
sebaran diskret untuk menentukan peluang
risiko dan menentukan premi risiko yang
sesuai dengan tingkat klasifikasi risiko.
Menurut Panjer (1981), para aktuaris
menyadari bahwa algoritme rekursif merupakan cara yang cukup efisien untuk menentukan peluang risiko � = dari peubah acak
S seperti pada persamaan (30), jika peubah
acak N memiliki sebaran binomial, binomial
negatif, dan Poisson. Namun, Sundt dan Jewel
(1981) menemukan persamaan rekursif untuk

12

nilai peubah acak N yang cukup besar dan
memiliki sebaran diskret. Sehingga, peluang
risikonya
dapat dinyatakan � = ,
= 0,1,2, … , − 1.
Peluang risiko yang diperoleh dari proses
rekursif pada karya ilmiah ini dapat
dinyatakan sebagai koefisien dari fungsi
pembangkit momen
. Berdasarkan fakta
yang ada, bahwa sebaran GP �, � dapat
dipandang sebagai perpaduan antara sebaran
compound Poisson � dan sebaran Borel � .
Sehingga, persamaan (31) dapat dituliskan
S

M

 Yi
i 1

dimana Yi 

Bi

 Z ij .

(32)

j 1

Keterangan:
M = Peubah acak Poisson  
Bi = Peubah acak Borel   

Z ij = Besarnya klaim
Yi ~ compound Borel.
Dalam memodelkan peluang risiko
terinfeksi penyakit X, diketahui bahwa peubah
acak N memiliki sebaran GP �, � , dan
peubah acak S dapat dinyatakan seperti pada
persamaan (31). Maka, peubah acak S
memiliki sebaran compound generalized
Poisson. Sehingga, berdasarkan persamaan
(27) fungsi pembangkit momen dari sebaran
compound generalized Poisson ini dapat
dinyatakan dalam bentuk implisit seperti
berikut
  GB  GZ  u   1
  t 1
GS  u   e
e

dengan t sama seperti
   t 1
te
 GZ  u  .

(33)
Berdasarkan fungsi pembangkit momen
pada persamaan (33), maka sangat mungkin
untuk mengetahui model peluang risiko
terinfeksi penyakit X. Untuk memperoleh
peluang tersebut, diperlukan dua langkah
berikut, yaitu :
1. Langkah pertama dan merupakan langkah
terpenting, yaitu:
Tentukan terlebih dahulu koefisien dari
. Total dari koefisien dapat
digunakan untuk menentukan fungsi
peluang dari peubah
acak
yang
memiliki sebaran Borel. Koefisien dari
dapat diperoleh dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
 Diferensialkan
persamaan
(33)
terhadap u sehingga diperoleh

t u 

t u  

GZ   u 



1   t  u  GZ  u 
Bukti (lihat Lampiran 5)
Notasikan turunan di atas dengan
menggunakan deret kuasa

t u  

(34)



  nu n

;

n 1

t u 



1  t  u 
GZ  u 

 u   nu

n

;

n 0

1



n
rn u .

GZ  u  u n  0



(35)

Karena koefisien
pada kedua ruas
persamaan harus sama, maka diperoleh
persamaan
n

  n 1  n  1    j rn  j .

(36)

j 0

Bukti (lihat Lampiran 5).
 Koefisien
bergantung pada fungsi
peluang dari peubah acak Z. Fungsi
peluang tersebut dapat didefinisikan
sebagai berikut
pn  P  Z i  n  , i  1, 2,... asumsikan
bahwa 1 > 0. Sehingga

GZ  u  



 pn u n .

(37)

n 1

Berdasarkan persamaan (37) dan (35),
dan dengan membandingkan koefisien
GZ  u 
dengan
, maka diperoleh
GZ  u 
persamaan berikut


  n  1 p n1u n
n 0



u  p n 1u



1
u

n



 rnu n 
n 0

n 0

n

 n  1 p n1   r j pn1 j
j 0

n  0,1, 2,...
(38)
Maka
dapat dinyatakan sebagai
berikut
n 1
1 

rn 
n
p
1





 n 1  r j p n 1 j 
p1 
j 0

n  0,1, 2,...
(39)
Bukti (lihat Lampiran 6).
 Koefisien
menyatakan peluang dari
peubah acak . Koefisien
dapat dinyatakan sebagai 1 , 2 , … , +1 , yang

13

dapat diperoleh dengan menggunakan
teknik yang sama seperti pada
persamaan (38). Tulis kembali
persamaan (35), sehingga diperoleh
persamaan berikut :

Peluang
dapat
diperoleh,
jika
peluang 1 , 2 , … ,
dan 1 , 2 , … ,
diketahui dengan cara:
 Tentukan terlebih dahulu peluang dari
−1 dengan menggunakan persamaan
(40).
 Lalu tentukan
+1 dengan menggunakan persamaan (41). Jika
�
= 0 = 0, maka nilai dari
peluang dari 1



u

  k 1u k

k 0

1 



ku

u



 kuk 

k 0

k

k 1

1  P

n

 n    n  k  k   n 1
k 1

n  0,1, 2,...
(40)
Bukti (lihat Lampiran 7).
Berdasarkan persamaan (39), diperoleh
0 = 1, maka persamaan (36) dapat
dinyatakan :
n 1

  n 1  n  1   rn  j  j 

dengan 1 > 0 dan 1 > 0.
2. Langkah kedua, yaitu:
Setelah menghitung koefisien dari
1 , 2 , … yang merupakan peluang dari
peubah acak , gunakan formula rekursif
Panjer untuk menghitung peluang S untuk
kasus Poisson � . Jika diketahui bahwa

n

  nk  k   n1
k 1

Sehingga

1  n 1

n



n  j 0

k 1



  rn  j  j     n k  k  .  41

Bukti (lihat Lampiran 8).

i 1

 P  B  1 P  Z1  1  p1e

P  S  0  P  N  0  e
maka
 s
P  S  s    j j P  S  s  j 
s j 1
s  1, 2,...
(42)
Keterangan :
 i  peluang
dari
peubah
acak


j 0

  n 1 

 
B

 Zi

Yi , i  1, 2,...
Bukti (lihat Lampiran 9).



14

SIMPULAN
Peluang risiko dapat dimodelkan dengan
menggunakan sebaran compound generalized
Poisson yaitu dengan menggunakan algoritme
rekursif. Dengan kata lain, sebaran compound
generalized Poisson dapat digunakan sebagai
sebaran alternatif dari sebaran compound
Poisson dan sebaran compound binomial
negatif yang biasanya digunakan untuk
memodelkan suatu peluang risiko. Sebaran
compound generalized Poisson hanya akan
berlaku jika terjadi overdispersed pada suatu
sebaran data.

Pemodelan peluang risiko secara rekursif
dipengaruhi oleh koefisien dari fungsi
pembangkit momen. Algoritme rekursif yang
digunakan, yaitu dengan menentukan terlebih
dahulu koefisien dari fungsi pembangkit
momen, yang jika dijumlahkan akan menjadi
model peluang dari sebaran Borel � .
Langkah terakhir, gunakan formula rekursif
Panjer untuk mengevaluasi sebaran Poisson
� . Sehingga, diperoleh model peluang risiko
untuk sebaran compound generalized Poisson.

15

DAFTAR PUSTAKA
Bowers NL, et al. 1997. Actuarial
Mathematics. Ed Ke-2. The Society of
Actuaries.

Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability
and Random Process. Ed Ke-2. Oxford:
Clarendon Press.

Consul PC. 1989. Generalized Poisson
Distribution : Properties and Application.
New York: M Deker, Inc.

Hogg RV, Craig AT, Mckean JW. 2005.
Introduction to Mathematical Statistics.
Ed Ke-6. New Jersey: P