KARAKTERISTIK BILANGAN TOTIENT SEMPURNA
KARAKTERISTIK BILANGAN TOTIENT SEMPURNA
Oleh
SINTA OKTARIANI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG 2014
(2)
ABSTRAK
KARAKTERISTIK BILANGAN TOTIENT SEMPURNA
Oleh
SINTA OKTARIANI
Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat dengan mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika Teori bilangan pertama kali diperkenalkan oleh Phytagoras dan murid-muridnya mereka percaya bahwa penjelasan pada bilangan terdapat tentang alam semesta.
Jika dan dan dan dan dan semuanya bilangan prima maka adalah bilangan Totient sempurna. Bentuk p dengan dan untuk k antara 2 dan 3 jika bukan bilangan Totient sempurna.
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode literatur, dengan cara mengkaji karakterististik bilangan totient sempurna yaitu menentukan faktor prima dari n menemukan fungsi euler serta membuktikan apakah n bilangan Totient sempurna.
(3)
(4)
(5)
(6)
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang ... 1
1.2Batasan Masalah ... 2
1.3Tujuan Penelitian ... 2
1.4Manfaat Penelitian ... 3
II. LANDASAN TEORI 2.1Keterbagian Bilangan Bulat ... 4
2.2Faktor Persekutuan Terbesar ... 7
2.3Bilangan Sempurna ... 8
2.4Bilangan Prima ... 9
2.5Fungsi Euler ϕ ... 11
2.6Kekongruenan ... 17
III. METODE PENELITIAN 3.1Waktu dan Tempat Penelitian ... 18
3.2Metode Penelitian ... 18
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1Fungsi Euler ... 19
4.2Syarat Cukup Bilangan Totient Sempurna... 22
4.3 PTN (Bilangan Totient Sempurna) Bentuk ... 24
V. KESIMPULAN
(7)
I. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Dalam beberapa dekade terakhir, matematika mengalami perkembangan yang luar biasa. Telah banyak temuan-temuan penting dalam matematika yang menarik untuk dipelajari, salah satunya yaitu di bidang teori bilangan.
Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat dengan mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika. Teori bilangan pertama kali diperkenalkan oleh Phytagoras dan murid-muridnya mereka percaya bahwa penjelasan pada bilangan terdapat tentang alam semesta. Tesis mereka adalah “ segalanya adalah bilangan “ dan matematika adalah suatu cara menuju akhir yaitu Filsafat (Burton, 1980).
Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, Algoritma Euklidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan bilangan totient sempurna dipelajari di sini.
(8)
Dalam teori bilangan, bilangan sempurna adalah bilangan bulat positif yang sama dengan jumlah positif yang tepat pembagi, yaitu jumlah pembagi positif termasuk jumlah itu sendiri. bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari angka 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29. Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.
Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler. Sifat dari fungsi multiplikatif seperti fungsi Mobius dan fungsi phi Euler juga dipelajari. Demikian pula barisan bilangan bulat seperti faktorial dan bilangan Fibonacci. Dari fungsi Euler didefinisikan bilangan Totient selanjutnya pada penelitian ini akan di selidiki karakteristik bilangant Totient Sempurna.
1.2Batasan Masalah
Pada penelitian ini pembahasan masalah dibatasi hanya menemukan karakteristik dari pembuktian bilangan Totient sempurna, dalam hal ini pembuktian bilangan Totient sempurna.
1.3Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan karakteristik bilangan Totient sempurna.
(9)
3
1.4Manfaat Penelitian
Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengembangkan wawasan tentang teori bilangan terutama tentang karakteristik dari bilangan Totient sempurna.
2. Memberikan sumbangan pemikiran dalam rangka memperluas dan memperdalam ilmu matematika di bidang teori bilangan terutama tentang karakteristik dari bilangan Totient sempurna.
3. Sebagai referensi untuk penilaian lanjutan tentang konsep bilangan Totient sempurna.
(10)
II. LANDASAN TEORI
Pada bilangan ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan sempurna, bilangan bulat, bilangan prima,faktor bilangan bulat dan kekongruenan.
2.1 Keterbagian Bilangan Bulat
Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan q dan r sedemikian hingga :
α = qb + r , 0 ≤ r < b
dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r sisa pada pembagian “α dibagi dengan b “. Jika r = 0 maka dikatakan α habis dibagi b dan ditulis b ׀α. Untuk α tidak habis dibagi b ditulis b ł α. (Burton, 1980)
Sifat keterbagian pada bilangan bulat
Secara umum apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan q dan r sedemikian sehingga :
α = qb + r, 0 ≤ r < b
dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r adalah sisa pada pembagian “ α dibagi dengan b”. jika r = 0 maka dikatakan α habis dibagi dengan b , dan ditulis b│α. Untuk α tidak habis dibagi ditulis b ⍭α.
(11)
5
Konsep di atas dapat dinyatakan dalam definisi berikut : Definisi 2.1.1
Bilangan bulat α membagi habis bilangan bulat b (ditulis α│b) jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat k sehingga b = α ∙ k.
Jika α tidak membagi habis b maka b ⍭α ( Sukirman. 1997). Contoh:
1. , sebab 18 = 3k dengan k = 6
2. 3 ⍭10, sebab tidak ada bilangan bulat k sehingga 10 = 3k. sifat-sifat penting keterbagian dinyatakan dalam teorema berikut :
Teorema 2.1.1
Untuk bilangan-bilangan bulat α,b,c dan d berikut :
1. α 0 , 1 0, α α
2. α|1, jika dan hanya jika α = 1 atau α = -1 3. jika α│b dan b│c maka α׀c
4. jika α│b dan b│c maka α׀(b+c). 5. jika αb│c, maka α│c dan b│c. 6. Jika d│b maka d│ - b.
7. Jikaα b dan c d mka αc bd.
8. Jika α b maka α cb, untuk bilangan bulat c sebarangan.
9. Jika α b dan α c maka α( bm + cn ), untuk sebarang bilangan bulat m dan n. (Burton,1980).
(12)
Bukti:
1) Untuk α 0, ada suatu bilangan bulat m sehingga αm = 0
karena α ≠ 0, maka haruslah m = 0 sehingga α 0. Untuk 1 α, 1 ∙ m =α , haruslah m = α sehingga 1 α. Untuk α α, αm = α., haruslah m = 1 sehingga
α׀α.
2) Misalkan α ≠1 , atau α ≠ -1 maka αm = 1, karena α dan m bilangan bulat , haruslah α dan m sama dengan ± 1.
3) Jika α b maka ada suatu bilangan m sehingga αm = b , dan jika b c maka ada suatu
bilangan bulat n sehingga bn = c. jika α b dan b c maka berlaku :
αm ∙ bn = bc
αb ∙ mn = bc (mn = k, untuk setiap k bilangan bulat)
αk = c
Dengan demikian , benar bahwa α c. 4) Dengan mengikuti sifat (3), maka
5) Jika αb c, ada suatu bilangan bulat m sehingga dapat ditulis dengan
αb ∙ m = c
α ∙ bm =c (bm = k, untuk setiap k bilangan bulat )
α ∙ k = c,dapat ditulis dengan α c
b ∙ αm = c (αm = l, untuk setiap l bilangan bulat )
b ∙ l = c
Dengan demikian , benar bahwa b c 6) Dengan mengikuti sifat (2), jelas jika d b.
(13)
7
Maka terdapat bilangan bulat n sehingga cn = d Jika α b dan c d maka :
αm ∙ cn = bd
αc ∙ mn = bd (mn = k, untuk setiap k bilangan bulat)
αc ∙ k = bd
dengan demikian, jika α b dan c d maka αc bd
8) Jika α b, maka terdapat bilangan bulat m sehingga αm = b
αm = b
αm ∙ c = b ∙ c (untuk c bilangan bulat)
α ∙ cm = c ∙ b (cm = k, untuk setiap k bilangan bulat )
α ∙ k = c ∙ b
dengan demikian jika α b maka α cb untuk setiap c bilangan bulat sebarang.
9) Jika α b, maka terdapat bilangan bulat k sehingga αk = b, dan jika α c maka terdapat bilangan bulat l sehingga αl = c. maka berlaku :
bm + cn = αkm + αln = α (km + ln ) α(km + ln) = bm + cn
Dengan demikian jika α ׀ b dan α ׀ c maka α׀( bm = cn ).
2.2 Faktor Persekutuan Terbesar
Dalam matematika Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.
(14)
Definisi 2.2.1
Cara mencari FPB dari beberapa bilangan yaitu dengan mengalikan faktor-faktor prima yang sama dan berpangkat terkecil
Contoh 2.2.1:
1. Mencari FPB dari 12 dan 20: Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12 Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20
FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.
2. Mencari FPB dari 15 dan 25: Faktor dari 15 = 1, 3, 5', dan 15 Faktor dari 25 = 1, 5, dan 25
FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 5.
2.3Bilangan Sempurna
Definisi 2.3.1
Bilangan sempurna adalah bilangan bulat positif yang merupakan penjumlahan dari pembagi positif sejati. Yaitu penjumlahan dari pembagi positif tidak termasuk bilangan itu sendiri. Arti lainnya, bilangan sempurna adalah bilangan yang merupakan setengah penjumlahan dari semua pembagi positif (termasuk bilangan itu sendiri), atau dikatakan .
Contoh :
1. 6 bilangan sempurna Sebab 6 = 1 + 2 + 3
(15)
9
Faktor Bilangan Bulat
Definisi 2.3.1
Jika α, b, dan c bilangan bulat, dan α ∙ b = c disebut faktor c, atau pembagi c, sedangkan c disebut kelipatan α atau b .
Jadi ± 1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15 dan ± 30 adalah faktor dari 30. Bilangan bulat dengan bilangan dua sebagai salah satu faktornya dinamai dengan bilangan bilangan bulat genap. Bilangan bulat genap dapat dinyatakan dengan 2k, dimana k adalah bilangan bulat.
Contoh :
Misalnya 6 = 2 ∙ 3 ; -14 = 2 ∙ (-7) dan 120 = 2 ∙ 60 Dengan demikian, bilangan bulat ganjil dapat dinyatakan 2k + 1, misalnya 11 = 2 ∙ 5 + 1 dan 17 = 2 ∙ 8 + 1
2.4Bilangan Prima
Definisi 2.4.1
Sebuah bilangan p > 1 disebut bilangan prima, atau prima sederhana jika faktor-faktornya hanya bilangan positif 1 dan p. bilangan bulat lebih besar dari 1 yang tidak prima dinamakan bilangan komposit. (Burton, 1980)
Contoh :
23 adalah bilangan prima Karena bilangan tersebut hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri atau yaitu 23.
10 adalah bilangan komposit karena bilangan tersebut habis dibagi sama dengan 2 dan 5,selain 1 dan bilangan itu sendiri yaitu 10.
(16)
Teorema 2.4.1
Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dan 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima.
Bukti :
Diambil sebarang bilangan bulat positif . Jika n suatu bilangan prima, maka n׀ n . apabila n suatu bilangan komposit maka n mempunyai faktor selain 1 dan n sendiri, misalnya yaitu , maka ada bilangan bulat positif sedemikian hingga dengan jika suatu bilangan prima, maka membagi .
Tetapi jika suatu bilangan komposit, maka mempunyai faktor selain 1 dan , misalnya yaitu sehingga ada bilangan bulat positif sedemikian sehingga misalnya dengan Jika suatu bilangan prima, maka Karena dan , maka , jadi n terbagi oleh suatu bilangan prima
Definisi 2.4.2
Dua bilangan bulat α dan b dikatakan relatif prima jika . Jika α dan b relatif prima, maka terdapat bilangan m dan n sedemikian sehingga
mα + nb =1 (Flath,1989)
Definisi 2.4.3
Misalkan bilangan bulat tidak nol. Bilangan tersebut adalah pasangan relatif prima jika faktor persekutuan terbesarnya adalah 1 (Stark, 1970).
(17)
11
Contoh :
Bilangan bulat 4, 15, dan 77 pasangan relatif prima karena faktor persekutuan Terbesar (FPB) dari, 4, 15 = FPB dari 4,77 = 1.
Teorema 2.4.2
Jika p bilangan prima, dan maka atau (sukirman 1997). Bukti :
Karena p bilangan prima, maka p hanya mempunyai faktor-faktor 1 dan p. sehingga , maka . untuk bilangan bulat sembarang jika
, karena maka jika maka . Jadi atau .
2.5Fungsi Euler
Fungsi Euler dituliskan dengan untuk yang menyatakan jumlah bilangan bulat positif yang relatif prima dengan n
Contoh : tentukan , Bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 20 adalah 1 sampai 19.di antara bilangan-bilangan tersebut, terdapat buah yang relatif prima dengan 20, yaitu 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.
2.6Kekongruenan
Teori kekongruenan merupakan pendekatan lain untuk menjawab pertanyaan tentang konsep keterbagian. Konsep dan sifat-sifat keterbagian itu dapat dipelajari lebih mendalam lagi dengan menggunakan konsep kekongruenan. Kekongruenan merupakan cara lain untuk menelaah keterbagian dalam himpunan bilangan bulat.
(18)
Definisi 2.6.1
Misalkan α dan b bilangan bulat dan n adalah bilangan bulat positif. Jika , dikatakan bahwa α kongruen dengan b modulo n dan ditulis : . (Stark, 1970)
Teorema 2.6.1
Misalkan n bilangan bulat positif. Untuk semua bilangan-bilangan bulat α. Berlaku :
1. .
2. Jika maka
3. Jika , maka maka (stark, 1970)
Bukti :
1)Untuk setiap bilangan bulat α, terdapat – , sehingga
2)Sekarang jika , maka – untuk setiap bilangan bulat . sehingga, – ) dan adalah bilangan bulat,
maka :
3)Misalkan ,maka , maka terdapat bilangan bulat dan Yang memenuhi dan . Maka berlaku :
– – yang dapat
dinyatakan dengan
(19)
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi pustaka seperti buku-buku dan jurnal-jurnal yang berhubungan dengan teori bilangan terutama tentang bilangan totient sempurna. Adapun tahap-tahap yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Diberikan bilangan bulat positif n 2. Menentukan faktor prima dari n 3. Menentukan fungsi Euler
(20)
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1Fungsi Euler
Definisi 4.1
Bilangan Totient sempurna (Perpect Totient Number atau PTN) adalah suatu bilangan bulat yang sama dengan jumlah dari iterasi Totientnya.
yaitu jika :
∑
dengan
∫ adalah fungsi iterasi Totient dan c bilangan bulat sedemikian hingga
maka n adalah bilangan Totient sempurna.
Definisi 4.2
Contoh fungsi aritmatika :
= Banyaknya pembagi positif dari n
= Jumlah semua pembagi positif dari n
(21)
15
= Banyaknya bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan n dan relatif prima terhadap n.
Definisi 4.3
Suatu fungsi aritmatika f di katakan multiplikatif jika f(mn)=f(m) f(n) bila m dan n koprima, artinya FPB (m,n) = 1.
Terorema 4.1
Jika f (n) multiplikatif, maka begitu juga dengan f (n) = ∑
Definisi 4.4
Fungsi mobius didefinisikan sebagai :
∮
Teorema 4.2
Jikaf(n) = ∑
untuk setiap bilangan bulat positif n, maka ∑ untuk setiap bilangan bulat positif n.
Teorema 4.3
( ) ( ) ( )
Bukti :
Karena ∑
:
(22)
∑
Selanjutnya juga fungsi multiplikatif. Jadi adalah suatu fungsi multiplikatif. Sehingga untuk suatu bilangan prima p diperoleh :
∑ ( ) ∑ ( )
( ) ( )
Jadi
Contoh 1 :
3 adalah bilangan Totient sempurna dengan bilangan bulat . Penyelesaian :
( )
∑
∑
( )
(23)
17
( )
Terbukti untuk 3 adalah bilangan Totient sempurna
Contoh 2 :
9 adalah bilangan Totient sempurna dengan bilangan bulat
Penyelesaian :
( ) ( )
(
) ( )
( ) ( )
∑
∑ ( )
( )
Terbukti untuk 9 adalah bilangan Totient sempurna.
(24)
Contoh 3
81 adalah bilangan Totient sempurna dengan bilangan bulat Penyelesaian : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ( )
(25)
19
Contoh 4
111 adalah bilangan Totient sempurna dengan bilangan bulat Penyelesaian :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
∑
∑
(26)
( )
Terbukti untuk 111 adalah bilangan Totient sempurna.
Contoh 5
243 adalah bilangan Totient sempurna dengan bilangan bulat Penyelesaian :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(27)
21 ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ( )
Terbukti untuk 243 adalah bilangan Totient sempurna. Contoh 6
327 adalah bilangan Totient sempurna dengan bilangan bulat Penyelesaian : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(28)
(
) ( )
( )
( )
( )
( )
∑
∑
( )
Terbukti untuk 243 adalah bilangan Totient sempurna.
4.2Syarat Cukup Bilangan Totient Sempurna
Mohan dan Suryanarayana menemukan syarat cukup pada prima tunggal untuk dan menjadi bilangan totient sempurna. Secara khusus misalkan menjadi bilangan bulat tidak negatif. jika dan keduanya bilangan prima maka adalah bilangan totient sempurna. Jika
(29)
23
dan dan keduanya bilangan prima maka adalah sebuah bilangan Totient sempurna.
Teorema 4.4
jika dan dan dan dan dan semuanya bilangan prima maka adalah bilangan Totient sempurna.
Bukti : Misalkan
Bukti dari teorema (4.4) dengan diperoleh seperti di atas untuk nilai
(30)
bilangan prima maka dikatakan sebuah bilangan otient sempurna Terbukti memenuhi syarat cukup bilangan Totinet sempurna.
4.3 PTN (Bilangan Totient Sempurna ) Bentuk p
Untuk menentukan PTN (Bilangan Totient Sempurna) bentuk p, k ≥ 2, di pilih bilangan p dan q sedemikian hingga dan ,
dan . Dengan subtitusi langsung diperoleh
Di lain pihak diperoleh :
(31)
25
Diasumsikan p PTN, maka :
Jelas dan atau untuk k genap atau ganjil
Jika k = 2, maka ruas kanan persamaan (4.1) menjadi :
Karena (mod 3), maka a harus ganjil.
maka,
(32)
jika,
maka,
Sehingga diperoleh selanjutnya dan jadi tidak mungkin , maka solusi persamaan (4.1) hanya dan
Untuk k = 3 maka persamaan (4.1) menjadi maka diperoleh :
Karena , maka jelas bahwa . Karena
, maka keduanya genap. selanjutnya dapat dituliskan :
sehingga persamaaan (4.3) menjadi
( )
^ - ^ δ =7 (4.4) Karena 7 bilangan prima, maka dri persamaan (4.4) diperoleh :
(33)
27
(4.5) Eliminasi dan subtitusi terhadap persamaan (4.5) adalah
Sehingga dihasilkan : Selanjutnya akan ditunjukkan tidak ada solusi untuk persamaan (4.1) jika .
Misalkan k genap , Maka pilih sehingga menjadi :
dengan diperoleh mod 27) , x 0 (mod 18) karena maka dari persamaan (4.6) dihasilkan :
sehingga
Dari persamaan (4.1) juga diperoleh (mod 8), sehingga y ganjil. hal ini kontradiksi karena k genap, y ganjil dan
.
Misalkan k ganjil , k ≥5 maka , pilih dan sehingga persamaan (4.1) menjadi :
(34)
Dengan
Ada dua kasus yang diperhatikan :
a). Jika , maka yang berakibat y ganjil, juga diperoleh karena
(mod 7), maka
, sehingga
ini tidak mungkin karena genap k ganjil.
b). Jika maka sehingga y genap, Jika
maka
ini berakibat x ganjil
ini berakibat x ganjil.
Tetapi dari persamaan (4.1), , sehingga x genap terjadi kontradiksi.
Berdasarkan uraian di atas dapat dinyatakan teorema berikut :
Tidak ada PTN berbentuk dengan adalah prima dan dan
(35)
V.KESIMPULAN
A.Kesimpulan
Dari hasil dan pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa jika dan dan dan dan dan semuanya bilangan prima maka adalah bilangan Totient sempurna. Bentuk p dengan dan untuk k antara 2 dan 3 jika bukan bilangan Totient sempurna.
B.Saran
Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk Bilangan Totient Sempurna yang memiliki faktor prima.
(36)
DAFTAR PUSTAKA
Burton, D.M. 1980. Elementary Number Theory. University of New Hampshire, United States of Afrika.
Flath, D. E. 1989. Introduction to Number Theory. Jhon Willez and Soms, Inc, Canada.
Munir, R. 2004. Bahan Kuliah IF5054 Kriptografi. Departemen Teknik Informatika ITB, Bandung.
Stark, H. M. 1770. Introduction to Number Theory. Markam Publishing Company, Chicago.
(37)
KARAKTERISTIK BILANGAN TOTIENT SEMPURNA
Oleh
SINTA OKTARIANI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG 2014
(38)
ABSTRAK
KARAKTERISTIK BILANGAN TOTIENT SEMPURNA
Oleh
SINTA OKTARIANI
Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat dengan mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika Teori bilangan pertama kali diperkenalkan oleh Phytagoras dan murid-muridnya mereka percaya bahwa penjelasan pada bilangan terdapat tentang alam semesta.
Jika dan dan dan dan dan semuanya bilangan prima maka adalah bilangan Totient sempurna. Bentuk p dengan dan untuk k antara 2 dan 3 jika bukan bilangan Totient sempurna.
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode literatur, dengan cara mengkaji karakterististik bilangan totient sempurna yaitu menentukan faktor prima dari n menemukan fungsi euler serta membuktikan apakah n bilangan Totient sempurna.
(39)
(40)
(41)
(42)
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang ... 1
1.2Batasan Masalah ... 2
1.3Tujuan Penelitian ... 2
1.4Manfaat Penelitian ... 3
II. LANDASAN TEORI 2.1Keterbagian Bilangan Bulat ... 4
2.2Faktor Persekutuan Terbesar ... 7
2.3Bilangan Sempurna ... 8
2.4Bilangan Prima ... 9
2.5Fungsi Euler ϕ ... 11
2.6Kekongruenan ... 17
III. METODE PENELITIAN 3.1Waktu dan Tempat Penelitian ... 18
3.2Metode Penelitian ... 18
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1Fungsi Euler ... 19
4.2Syarat Cukup Bilangan Totient Sempurna... 22
4.3 PTN (Bilangan Totient Sempurna) Bentuk ... 24
V. KESIMPULAN
(43)
I. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Dalam beberapa dekade terakhir, matematika mengalami perkembangan yang luar biasa. Telah banyak temuan-temuan penting dalam matematika yang menarik untuk dipelajari, salah satunya yaitu di bidang teori bilangan.
Teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat dengan mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika. Teori bilangan pertama kali diperkenalkan oleh Phytagoras dan murid-muridnya mereka percaya bahwa penjelasan pada bilangan terdapat tentang alam semesta. Tesis mereka adalah “ segalanya adalah bilangan “ dan matematika adalah suatu cara menuju akhir yaitu Filsafat (Burton, 1980).
Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, Algoritma Euklidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan bilangan totient sempurna dipelajari di sini.
(44)
Dalam teori bilangan, bilangan sempurna adalah bilangan bulat positif yang sama dengan jumlah positif yang tepat pembagi, yaitu jumlah pembagi positif termasuk jumlah itu sendiri. bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari angka 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29. Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.
Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler. Sifat dari fungsi multiplikatif seperti fungsi Mobius dan fungsi phi Euler juga dipelajari. Demikian pula barisan bilangan bulat seperti faktorial dan bilangan Fibonacci. Dari fungsi Euler didefinisikan bilangan Totient selanjutnya pada penelitian ini akan di selidiki karakteristik bilangant Totient Sempurna.
1.2Batasan Masalah
Pada penelitian ini pembahasan masalah dibatasi hanya menemukan karakteristik dari pembuktian bilangan Totient sempurna, dalam hal ini pembuktian bilangan Totient sempurna.
1.3Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan karakteristik bilangan Totient sempurna.
(45)
3
1.4Manfaat Penelitian
Manfaat yang didapat dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengembangkan wawasan tentang teori bilangan terutama tentang karakteristik dari bilangan Totient sempurna.
2. Memberikan sumbangan pemikiran dalam rangka memperluas dan memperdalam ilmu matematika di bidang teori bilangan terutama tentang karakteristik dari bilangan Totient sempurna.
3. Sebagai referensi untuk penilaian lanjutan tentang konsep bilangan Totient sempurna.
(46)
II. LANDASAN TEORI
Pada bilangan ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan sempurna, bilangan bulat, bilangan prima,faktor bilangan bulat dan kekongruenan.
2.1 Keterbagian Bilangan Bulat
Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan q dan r sedemikian hingga :
α = qb + r , 0 ≤ r < b
dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r sisa pada pembagian “α dibagi dengan b “. Jika r = 0 maka dikatakan α habis dibagi b dan ditulis b ׀α. Untuk α tidak habis dibagi b ditulis b ł α. (Burton, 1980)
Sifat keterbagian pada bilangan bulat
Secara umum apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan q dan r sedemikian sehingga :
α = qb + r, 0 ≤ r < b
dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r adalah sisa pada pembagian “ α dibagi dengan b”. jika r = 0 maka dikatakan α habis dibagi dengan b , dan ditulis b│α. Untuk α tidak habis dibagi ditulis b ⍭α.
(47)
5
Konsep di atas dapat dinyatakan dalam definisi berikut : Definisi 2.1.1
Bilangan bulat α membagi habis bilangan bulat b (ditulis α│b) jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat k sehingga b = α ∙ k.
Jika α tidak membagi habis b maka b ⍭α ( Sukirman. 1997). Contoh:
1. , sebab 18 = 3k dengan k = 6
2. 3 ⍭10, sebab tidak ada bilangan bulat k sehingga 10 = 3k. sifat-sifat penting keterbagian dinyatakan dalam teorema berikut :
Teorema 2.1.1
Untuk bilangan-bilangan bulat α,b,c dan d berikut : 1. α 0 , 1 0, α α
2. α|1, jika dan hanya jika α = 1 atau α = -1 3. jika α│b dan b│c maka α׀c
4. jika α│b dan b│c maka α׀(b+c). 5. jika αb│c, maka α│c dan b│c. 6. Jika d│b maka d│ - b.
7. Jikaα b dan c d mka αc bd.
8. Jika α b maka α cb, untuk bilangan bulat c sebarangan.
9. Jika α b dan α c maka α( bm + cn ), untuk sebarang bilangan bulat m dan n. (Burton,1980).
(48)
Bukti:
1) Untuk α 0, ada suatu bilangan bulat m sehingga αm = 0
karena α ≠ 0, maka haruslah m = 0 sehingga α 0. Untuk 1 α, 1 ∙ m =α , haruslah m = α sehingga 1 α. Untuk α α, αm = α., haruslah m = 1 sehingga
α׀α.
2) Misalkan α ≠1 , atau α ≠ -1 maka αm = 1, karena α dan m bilangan bulat , haruslah α dan m sama dengan ± 1.
3) Jika α b maka ada suatu bilangan m sehingga αm = b , dan jika b c maka ada suatu
bilangan bulat n sehingga bn = c. jika α b dan b c maka berlaku :
αm ∙ bn = bc
αb ∙ mn = bc (mn = k, untuk setiap k bilangan bulat)
αk = c
Dengan demikian , benar bahwa α c. 4) Dengan mengikuti sifat (3), maka
5) Jika αb c, ada suatu bilangan bulat m sehingga dapat ditulis dengan
αb ∙ m = c
α ∙ bm =c (bm = k, untuk setiap k bilangan bulat )
α ∙ k = c,dapat ditulis dengan α c
b ∙ αm = c (αm = l, untuk setiap l bilangan bulat )
b ∙ l = c
Dengan demikian , benar bahwa b c 6) Dengan mengikuti sifat (2), jelas jika d b.
(49)
7
Maka terdapat bilangan bulat n sehingga cn = d Jika α b dan c d maka :
αm ∙ cn = bd
αc ∙ mn = bd (mn = k, untuk setiap k bilangan bulat)
αc ∙ k = bd
dengan demikian, jika α b dan c d maka αc bd
8) Jika α b, maka terdapat bilangan bulat m sehingga αm = b
αm = b
αm ∙ c = b ∙ c (untuk c bilangan bulat)
α ∙ cm = c ∙ b (cm = k, untuk setiap k bilangan bulat )
α ∙ k = c ∙ b
dengan demikian jika α b maka α cb untuk setiap c bilangan bulat sebarang.
9) Jika α b, maka terdapat bilangan bulat k sehingga αk = b, dan jika α c maka terdapat bilangan bulat l sehingga αl = c. maka berlaku :
bm + cn = αkm + αln = α (km + ln ) α(km + ln) = bm + cn
Dengan demikian jika α ׀ b dan α ׀ c maka α׀( bm = cn ).
2.2 Faktor Persekutuan Terbesar
Dalam matematika Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu.
(50)
Definisi 2.2.1
Cara mencari FPB dari beberapa bilangan yaitu dengan mengalikan faktor-faktor prima yang sama dan berpangkat terkecil
Contoh 2.2.1:
1. Mencari FPB dari 12 dan 20: Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12 Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20
FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.
2. Mencari FPB dari 15 dan 25: Faktor dari 15 = 1, 3, 5', dan 15 Faktor dari 25 = 1, 5, dan 25
FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 5.
2.3Bilangan Sempurna
Definisi 2.3.1
Bilangan sempurna adalah bilangan bulat positif yang merupakan penjumlahan dari pembagi positif sejati. Yaitu penjumlahan dari pembagi positif tidak termasuk bilangan itu sendiri. Arti lainnya, bilangan sempurna adalah bilangan yang merupakan setengah penjumlahan dari semua pembagi positif (termasuk bilangan itu sendiri), atau dikatakan .
Contoh :
1. 6 bilangan sempurna Sebab 6 = 1 + 2 + 3
(51)
9
Faktor Bilangan Bulat
Definisi 2.3.1
Jika α, b, dan c bilangan bulat, dan α ∙ b = c disebut faktor c, atau pembagi c, sedangkan c disebut kelipatan α atau b .
Jadi ± 1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15 dan ± 30 adalah faktor dari 30. Bilangan bulat dengan bilangan dua sebagai salah satu faktornya dinamai dengan bilangan bilangan bulat genap. Bilangan bulat genap dapat dinyatakan dengan 2k, dimana k adalah bilangan bulat.
Contoh :
Misalnya 6 = 2 ∙ 3 ; -14 = 2 ∙ (-7) dan 120 = 2 ∙ 60 Dengan demikian, bilangan bulat ganjil dapat dinyatakan 2k + 1, misalnya 11 = 2 ∙ 5 + 1 dan 17 = 2 ∙ 8 + 1
2.4Bilangan Prima
Definisi 2.4.1
Sebuah bilangan p > 1 disebut bilangan prima, atau prima sederhana jika faktor-faktornya hanya bilangan positif 1 dan p. bilangan bulat lebih besar dari 1 yang tidak prima dinamakan bilangan komposit. (Burton, 1980)
Contoh :
23 adalah bilangan prima Karena bilangan tersebut hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri atau yaitu 23.
10 adalah bilangan komposit karena bilangan tersebut habis dibagi sama dengan 2 dan 5,selain 1 dan bilangan itu sendiri yaitu 10.
(52)
Teorema 2.4.1
Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dan 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima.
Bukti :
Diambil sebarang bilangan bulat positif . Jika n suatu bilangan prima, maka n׀ n . apabila n suatu bilangan komposit maka n mempunyai faktor selain 1 dan n sendiri, misalnya yaitu , maka ada bilangan bulat positif sedemikian hingga dengan jika suatu bilangan prima, maka membagi .
Tetapi jika suatu bilangan komposit, maka mempunyai faktor selain 1 dan , misalnya yaitu sehingga ada bilangan bulat positif sedemikian sehingga misalnya dengan Jika suatu bilangan prima, maka Karena dan , maka , jadi n terbagi oleh suatu bilangan prima
Definisi 2.4.2
Dua bilangan bulat α dan b dikatakan relatif prima jika . Jika α dan b relatif prima, maka terdapat bilangan m dan n sedemikian sehingga
mα + nb =1 (Flath,1989)
Definisi 2.4.3
Misalkan bilangan bulat tidak nol. Bilangan tersebut adalah pasangan relatif prima jika faktor persekutuan terbesarnya adalah 1 (Stark, 1970).
(53)
11
Contoh :
Bilangan bulat 4, 15, dan 77 pasangan relatif prima karena faktor persekutuan Terbesar (FPB) dari, 4, 15 = FPB dari 4,77 = 1.
Teorema 2.4.2
Jika p bilangan prima, dan maka atau (sukirman 1997). Bukti :
Karena p bilangan prima, maka p hanya mempunyai faktor-faktor 1 dan p. sehingga , maka . untuk bilangan bulat sembarang jika , karena maka jika maka . Jadi atau .
2.5Fungsi Euler
Fungsi Euler dituliskan dengan untuk yang menyatakan jumlah bilangan bulat positif yang relatif prima dengan n
Contoh : tentukan , Bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 20 adalah 1 sampai 19.di antara bilangan-bilangan tersebut, terdapat buah yang relatif prima dengan 20, yaitu 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.
2.6Kekongruenan
Teori kekongruenan merupakan pendekatan lain untuk menjawab pertanyaan tentang konsep keterbagian. Konsep dan sifat-sifat keterbagian itu dapat dipelajari lebih mendalam lagi dengan menggunakan konsep kekongruenan. Kekongruenan merupakan cara lain untuk menelaah keterbagian dalam himpunan bilangan bulat.
(54)
Definisi 2.6.1
Misalkan α dan b bilangan bulat dan n adalah bilangan bulat positif. Jika , dikatakan bahwa α kongruen dengan b modulo n dan ditulis : . (Stark, 1970)
Teorema 2.6.1
Misalkan n bilangan bulat positif. Untuk semua bilangan-bilangan bulat α. Berlaku :
1. .
2. Jika maka
3. Jika , maka maka (stark, 1970)
Bukti :
1)Untuk setiap bilangan bulat α, terdapat – , sehingga
2)Sekarang jika , maka – untuk setiap bilangan bulat . sehingga, – ) dan adalah bilangan bulat,
maka :
3)Misalkan ,maka , maka terdapat bilangan bulat dan Yang memenuhi dan . Maka berlaku :
– – yang dapat dinyatakan dengan
(55)
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi pustaka seperti buku-buku dan jurnal-jurnal yang berhubungan dengan teori bilangan terutama tentang bilangan totient sempurna. Adapun tahap-tahap yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Diberikan bilangan bulat positif n 2. Menentukan faktor prima dari n 3. Menentukan fungsi Euler
(56)
V.KESIMPULAN
A.Kesimpulan
Dari hasil dan pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa jika dan dan dan dan dan semuanya bilangan prima maka adalah bilangan Totient sempurna. Bentuk p dengan dan untuk k antara 2 dan 3 jika bukan bilangan Totient sempurna.
B.Saran
Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk Bilangan Totient Sempurna yang memiliki faktor prima.
(57)
DAFTAR PUSTAKA
Burton, D.M. 1980. Elementary Number Theory. University of New Hampshire, United States of Afrika.
Flath, D. E. 1989. Introduction to Number Theory. Jhon Willez and Soms, Inc, Canada.
Munir, R. 2004. Bahan Kuliah IF5054 Kriptografi. Departemen Teknik Informatika ITB, Bandung.
Stark, H. M. 1770. Introduction to Number Theory. Markam Publishing Company, Chicago.
(1)
10
Teorema 2.4.1
Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dan 1 dapat dibagi oleh suatu bilangan prima.
Bukti :
Diambil sebarang bilangan bulat positif . Jika n suatu bilangan prima, maka n׀ n . apabila n suatu bilangan komposit maka n mempunyai faktor selain 1 dan n sendiri, misalnya yaitu , maka ada bilangan bulat positif sedemikian hingga dengan jika suatu bilangan prima, maka membagi .
Tetapi jika suatu bilangan komposit, maka mempunyai faktor selain 1 dan , misalnya yaitu sehingga ada bilangan bulat positif sedemikian sehingga misalnya dengan Jika suatu bilangan prima, maka Karena dan , maka , jadi n terbagi oleh suatu bilangan prima
Definisi 2.4.2
Dua bilangan bulat α dan b dikatakan relatif prima jika . Jika α dan b relatif prima, maka terdapat bilangan m dan n sedemikian sehingga
mα + nb =1 (Flath,1989)
Definisi 2.4.3
Misalkan bilangan bulat tidak nol. Bilangan tersebut adalah pasangan relatif prima jika faktor persekutuan terbesarnya adalah 1 (Stark, 1970).
(2)
11
Contoh :
Bilangan bulat 4, 15, dan 77 pasangan relatif prima karena faktor persekutuan Terbesar (FPB) dari, 4, 15 = FPB dari 4,77 = 1.
Teorema 2.4.2
Jika p bilangan prima, dan maka atau (sukirman 1997). Bukti :
Karena p bilangan prima, maka p hanya mempunyai faktor-faktor 1 dan p. sehingga , maka . untuk bilangan bulat sembarang jika , karena maka jika maka . Jadi atau .
2.5Fungsi Euler
Fungsi Euler dituliskan dengan untuk yang menyatakan jumlah bilangan bulat positif yang relatif prima dengan n
Contoh : tentukan , Bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 20 adalah 1 sampai 19.di antara bilangan-bilangan tersebut, terdapat buah yang relatif prima dengan 20, yaitu 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.
2.6Kekongruenan
Teori kekongruenan merupakan pendekatan lain untuk menjawab pertanyaan tentang konsep keterbagian. Konsep dan sifat-sifat keterbagian itu dapat dipelajari lebih mendalam lagi dengan menggunakan konsep kekongruenan. Kekongruenan merupakan cara lain untuk menelaah keterbagian dalam himpunan bilangan bulat.
(3)
12
Definisi 2.6.1
Misalkan α dan b bilangan bulat dan n adalah bilangan bulat positif. Jika , dikatakan bahwa α kongruen dengan b modulo n dan ditulis : . (Stark, 1970)
Teorema 2.6.1
Misalkan n bilangan bulat positif. Untuk semua bilangan-bilangan bulat α. Berlaku :
1. .
2. Jika maka
3. Jika , maka maka (stark, 1970)
Bukti :
1)Untuk setiap bilangan bulat α, terdapat – , sehingga
2)Sekarang jika , maka – untuk setiap bilangan bulat . sehingga, – ) dan adalah bilangan bulat,
maka :
3)Misalkan ,maka , maka terdapat bilangan bulat dan Yang memenuhi dan . Maka berlaku :
– – yang dapat dinyatakan dengan
(4)
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi pustaka seperti buku-buku dan jurnal-jurnal yang berhubungan dengan teori bilangan terutama tentang bilangan totient sempurna. Adapun tahap-tahap yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Diberikan bilangan bulat positif n 2. Menentukan faktor prima dari n 3. Menentukan fungsi Euler
(5)
V.KESIMPULAN
A.Kesimpulan
Dari hasil dan pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa jika dan dan dan dan
dan semuanya bilangan prima maka adalah bilangan Totient sempurna. Bentuk p dengan dan untuk k antara 2 dan 3 jika bukan bilangan Totient sempurna.
B.Saran
Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk Bilangan Totient Sempurna yang memiliki faktor prima.
(6)
DAFTAR PUSTAKA
Burton, D.M. 1980. Elementary Number Theory. University of New Hampshire, United States of Afrika.
Flath, D. E. 1989. Introduction to Number Theory. Jhon Willez and Soms, Inc, Canada.
Munir, R. 2004. Bahan Kuliah IF5054 Kriptografi. Departemen Teknik Informatika ITB, Bandung.
Stark, H. M. 1770. Introduction to Number Theory. Markam Publishing Company, Chicago.