Matematika Keuangan Kuliah 1

MATEMATIKA KEUANGAN

SILABUS MATEMATIKA KEUANGAN


Prasyarat: MATEMATIKA DASAR 2



Tujuan Umum:
Mahasiswa mampu menjelaskan konsep dasar serta 
karakteristik matematika yang banyak digunakan dalam 
bidang keuangan.

 


Isi Kuliah:
Membahas teori matematika dari simple interest, compound 
interest, present value, accumulated value, Effective Rate of 
interest and discount, Force of Interest and discount, varying 

interest, Annuity Immediate, Annuity due, Perpetuities, 
Anuitas yang lebih umum: dibayar lebih jarang, sering d.p. 
interest conv. Period, continous Ann., Yield rate, Amortisasi, 
Sinking fund

SILABUS MATEMATIKA KEUANGAN


Pustaka:
 S.G. Kellison, The Theory of Interest, 3rd ed., 2008, 

McGraw­Hill/Irwin, Boston.
 J.W. Daniel and L.J.F.Vaaler, Mathematical Interest 
Theory, 2nd ed, 2009, The Mathematical Association 
of America 
 Robert Brown and Petr Zima, 
Schaum's Outline of Mathematics of Finance, Second 
Edition (Schaum's Outline Series)
, 2nd edition, 2011, McGraw­Hill
 M.M. Parmenter, Theory of Interest and Life 

Contingencies, with Pension Applications, 1999, Actex 
Pubns Inc.

KOMPONEN PENILAIAN
UTS
: 35%
 UAS
: 35%
 Quiz
: 15%
 Tugas
: 10%
 Absensi + Keaktifan


: 5%

PENDAHULUAN
Jika ada 2 pilihan untuk kita, yaitu:
a. Menerima Rp 1.000.000 hari ini

b. Menerima Rp 1.000.000 enam bulan lagi
Mana yang akan kita pilih? Mengapa?
Jika pilihannya berubah menjadi:
a. Menerima Rp 1.000.000 hari ini
b. Menerima Rp 1.100.000 enam bulan lagi
Mana yang akan kita pilih?

TIME VALUE OF MONEY
Timbulnya faktor bunga akibat perbedaan 
waktu.
Uang yang kita miliki hari ini akan memberikan 
nilai yang berbeda pada waktu mendatang. 
Besarnya perubahan jumlah itu tergantung 
besarnya tingkat bunga dan waktu.

PENGUKURAN BUNGA
Bunga (interest):
kompensasi pembayaran dari peminjam suatu 
modal kepada yang meminjamkan modal 
tersebut.

 Secara teori, modal dan bunga tidak harus 
dinyatakan dalam komoditas yang sama. Akan 
tetapi dalam banyak aplikasi, baik modal 
maupun bunga dinyatakan dalam uang


FUNGSI AKUMULASI DAN FUNGSI 
JUMLAH
Nilai pokok (principal) :
sejumlah uang yang diinvestasikan pada saat awal
 Nilai akumulasi (accumulated value):
jumlah total uang yang diterima setelah suatu periode 
waktu 
 Besarnya bunga (amount of interest) dalam suatu periode:
selisih antara nilai akumulasi dan nilai pokok selama 
periode tersebut.
 Waktu bisa diukur dalam unit yang berbeda­beda, seperti 
hari, bulan, tahun, dll. Unit di mana waktu diukur 
disebut periode pengukuran atau periode. Periode yang 
paling umum adalah tahunan.



FUNGSI AKUMULASI
Notasi : a(t)
 Definisi: 
a(t) adalah nilai akumulasi pada waktu t ≥ 0 dari 
investasi sebesar 1
 Sifat­sifat:


 a(0) = 1
 umumnya a(t) adalah fungsi naik
 jika bunga bertambah secara kontinu, fungsi 

akumulasi akan kontinu.

FUNGSI JUMLAH
Secara umum, nilai pokok yang diinvestasikan 
bukan 1 tetapi sebesar k > 0, sehingga muncul 
fungsi jumlah

 Notasi: A(t)
 Definisi:
nilai akumulasi pada waktu t ≥ 0 dari investasi 
sebesar k
 Sifat­sifat:


 A(0) = k
 A(t) = k . a(t)
 umumnya A(t) adalah fungsi naik
 jika bunga bertambah secara kontinu, fungsi jumlah 

akan kontinu.

FUNGSI AKUMULASI DAN FUNGSI 
JUMLAH


Misalkan besarnya bunga yang diperoleh selama 
periode ke­n dinyatakan dengan In maka:

 In = A(n) – A(n – 1), n = 1, 2, 3, ...


1.

2.

Contoh:
Diketahui a(t) = bt2 + c. Jika $100 diinvestasikan 
pada t = 0 yang terakumulasi menjadi $172 pada t = 
3, tentukan nilai akumulasi pada t = 10 jika $100 
diinvestasikan pada t = 5
Diketahui fungsi jumlah A(t) = t 2 + 2t + 3
a. tentukan fungsi akumulasi yang bersesuaian
b. Buktikan bahwa a(t) memenuhi sifat­sifat dari 
fungsi akumulasi
c. Tentukan In 

TINGKAT BUNGA EFEKTIF
Notasi : i

 Definisi:
besarnya uang yang dihasilkan selama satu 
periode dari investasi sebesar 1 pada awal 
periode dimana bunga dibayarkan pada akhir 
periode.
 a(0) = 1, a(1) = 1 + i, maka i = a(1) – a(0)




A  0   a  1  a  0   A  1  A  0 
I
i1 = a(1) – a(0) = 

 1
A  0
A  0
A  0

TINGKAT BUNGA EFEKTIF



Beberapa hal penting mengenai definisi tingkat 
bunga efektif
 Kata efektif digunakan untuk tingkat bunga dimana 

bunga dibayarkan sekali per periode. Hal ini berbeda 
dengan tingkat bunga nominal dimana bunga 
dibayarkan lebih dari sekali per periode.
 Tingkat bunga efektif sering dinyatakan sebagai 
persentase.
 Besarnya nilai pokok tidak berubah selama periode 
tersebut
 Bunga dibayarkan pada akhir periode 

TINGKAT BUNGA EFEKTIF
Definisi lain:
rasio dari besarnya bunga yang diperoleh selama 
satu periode dengan besarnya nilai pokok di awal 
periode.

 Tingkat bunga efektif selama periode ke­n 
adalah
A  n   A  n  1
In
in 

, n  1, 2,3,...
A  n  1
A  n  1




Formula di atas memungkinkan nilai i berbeda­
beda untuk n yang berbeda.

BUNGA SEDERHANA
Definisi:
Bunga yang diperoleh dari investasi sebesar 1 
yang besarnya konstan setiap periode. 

 a(0) = 1
a(1) = 1 + i
a(2) = a(1) + i = 1 + 2i
...
a(n) = 1 + in
 Secara umum fungsi akumulasi dari bunga 
sederhana adalah 
a(t) = 1 + it, t = 1, 2, 3, ...


BUNGA SEDERHANA
Tingkat bunga sederhana yang konstan tidak 
mengakibatkan tingkat bunga efektif yang konstan
 Bukti:
Misalkan tingkat bunga sederhana yang konstan 
adalah i dan tingkat bunga efektif dari periode ke­
n adalah in


in 


a  n   a  n  1
a  n  1

1  i  n  1 �
 1  in  �
i
�
�

1  i  n  1
1  i  n  1

Tingkat bunga sederhana yang konstan 
mengakibatkan penurunan tingkat bunga efeketif 
untuk n yang semakin besar

BUNGA SEDERHANA

1.

2.

Contoh:
Pada tingkat bunga sederhana berapakah uang 
sebesar $500 akan berakumulasi menjadi $615 
dalam 3 tahun?
Pada suatu tingkat bunga sederhana tertentu, 
uang sebesar $1000 akan berakumulasi 
menjadi $1110 setelah beberapa periode 
tertentu. Tentukan nilai akumulasi dari uang 
senilai $500 pada 3/4 tingkat bunga sederhana 
semula untuk 2 kali periode waktu semula.