MATEMATIKA KEUANGAN MATEMATIKA KEUANGAN MATEMATIKA KEUANGAN

MATEMATIKA KEUANGAN
Sub Bab 3.12-3.22

DOSEN PENGAMPUH MATA KULIAH :
I Putu Pasek Suryawan, S.Pd., M.Pd.

DISUSUN OLEH :
KELOMPOK 3 KELAS IIIA
NI PUTU RINA MARJAWATI

NIM. 1213011079

KOMANG SRI AYU OKTAPANI

NIM. 1413011001

WIDYA KURNIA SARI

NIM. 1413011044

PUTU KRISNAWA DEWI

NIM. 1413011052

LUH GEDE ARIS SINTIYA DEWI

NIM. 1413011054

NI WAYAN ANDHIKA PRASTYANI

NIM. 1413011104

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA
SINGARAJA
2015

DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ......................................................................................................i
DAFTAR ISI ..................................................................................................................ii

3.12 JUMLAH SUKU BUNGA YANG BERUBAH ....................................................3
3.13 NILAI AWAL PADA BUNGA MAJEMUK ..........................................................6
3.14 PERPANJANGAN TABEL ...................................................................................10
3.15 MENCARI TINGKAT SUKU BUNGA ................................................................13
3.16 ANALISIS EKONOMI ..........................................................................................14
3.17 MENENTUKAN WAKTU ....................................................................................15
3.18 PERSAMAAN NILAI ...........................................................................................17
3.19 TINGKAT SUKU BUNGA NEGATIF ..................................................................20
3.20 PENGGUNAAN LOGARITMA ...........................................................................22
3.21 INFLASI ................................................................................................................25
3.22 BUNGA MAJEMUK KONTINU ..........................................................................28

3.12 JUMLAH SUKU BUNGA YANG BERUBAH
2

Jika tingkat suku bunga pada tabungan berubah, kita dapat menentukan jumlah uang total
dengan menghitung jumlahnya setiap waktu itulah suku bunga yang berubah dan
mempengaruhi nilai seterusnya pada suku bunga yang baru sampai yang lainnya berubah.

Akibatnya, kita berakhir dengan serangkaian masalah bunga majemuk. Jumlah akhir dari

tahap pertama menjadi pokok pada awal dari tahap berikutnya.
Dalam konteks ini ketika masalah memiliki dua atau lebih tahap, Kita buat jawaban menengah ke sen
terdekat. Seperti yang dijelaskan dalam contoh.

Contoh
Jika uang ditabungkan sebesar $900 mendapatkan suku bunga 6% dikonversikan 4 kali dalam
setahun selama 4 tahun, dan bunga 7% dikonversikan per semester selama 2 tahun
berikutnya. Tentukan jumlah uang tersebut.
Solusi
Pertama kita cari jumlah pada 4 tahun terakhir (16 periode) menggunakan faktor yang
dibulatkan ke 5 tempat desimal.
Sekarang kita cari jumlah selama 2 tahun dengan bunga 7% yang dikonversi per semester.
Karena ada 6 digit pada pokok baru, kita gunakan faktor yang dibulatkan ke 6 tempat
desimal.
Jika masalah ini kita kerjakan dengan mengalikan kedua faktor secara bersamaan, maka kita
dapatkan :
Latihan 3c
1. Pada 30 juni 1987, Charles Moser meminjam uang sebesar $3000 dengan bunga 8%
per semester. Berapa banyak yang harus dia bayar pada 28 september 1994? Gunakan
Aturan Bank untuk komputasi suku bunga tunggal.

Solusi :
Diket :
P = 3000
i = 8/2=4%=0.04
n= 7 tahun 3 bulan=14 3 bulan
S = 3000(1.04)14= $5196
Untuk 3 bulannya ,
5196 x 3/12 x 0,08 = $103,92
Jadi totalnya untuk 7 tahun 3 bulannya :
5196 03.92=$5299.92
3

3. Jika $ 6000 adalah pinjaman untuk 5 tahun dan 4 bulan dengan suku bunga 9% per
semester, berapa jumlah yang harus dibayar?
Solusi :
Diketahui :
P = 6000
N=5 tahun 4 bulan , untuk 5 tahun n = 10
I=9% karena per semester maka menjadi = 0.045
Jawab :

S= P(1+i)n
Untuk 5 tahun,
S=6000(1,045)10=$5312
Untuk 4 bulannya :
9312 x 0,333 x 0,09= $ 279.36
Jadi, totalnya untuk 5 tahun 4 bulan yaitu:
9312 79,36 = $ 9591,36
4. Berapa jumlah dari uang $40,000 selama 6 tahun 3 bulan dengan bunga 10 % per
semester?
Solusi :
Diketahui :
P = 40,000
T= 6 tahun 3 bulan, karena dihitungan per semester jadi untuk 6 tahun n = 12
I= 10% untuk per semester = 0.05
Jawab:
Untuk 6 tahun
S=40,000(1.05)12= $ 71,834
Untuk 3 bulan
71,834 x 0,25 x 0,1= 1795.85
Didapat total :

71,834 + 1,795.85=$ 73,629.85
5. Untuk menghitung uang sebesar $2000 yang diakumulasikan dengan 3 tahun dan 5
bulan dengan tingkat suku bunga 6% per semester?
Solusi :
Diketahui :
P= 2000
I= 6% karena per semester maka I = 0,03
N= 3 tahun 5 bulan, karena per semester maka 3 tahun n = 6
Jawab :
Untuk 3 tahun maka,
S = 2000(1.03)6= $ 2388
Untuk 5 bulan maka,
2388 x

x 0.06 = $59.7

Jadi, total nya menjadi :
2388 + 59.7 = $ 2447.70
6. Pada 1 juni 1990, hutang sebesar $ 4000 dihitung dengan tingkat suku bunga 12%.
Berapa jumlah wajib tetap untuk pinjaman pada 15 september 1994?

Solusi :
Diketahui:
P = 4000
I= 12 % kita hitung per triwulan, maka untuk nilai I = 0.03
4

N= 4 tahun 3 bulan 2 minggu, maka untuk n 4 tahun 3 bulan = 17
Jawab :
Untuk 4 tahun 3 bulan
S = 4000(1.03)17 =
Untuk 2 minggu :
x 6418.8 x 0.012 =
Jadi, totalnya :
6611.9 + 53.056 = $6664.956
7. Sebuah koperasi simpan pinjam mengiklankan “bunga instan”. Uang yang diterima
pada tanggal 10 mendapatkan bunga dari yang pertama. Bunga dibayar dengan tingkat
suku bunga 8% dikonversi 4 kali. Jadwal pembayaran bunga yaitu 31 Maret, 30 Juni,
30 September, dan 31 Desember. Bunga dibayarkan hingga waktu penarikan. Seorang
wanita mendepositokan uangnya sebesar $2000 pada 7 januari 1987. Jika dia menutup
rekeningnya pada 30 januari 1989, berapa banyak yang dia dapatkan?

Memperbolehkan bunga tunggal untuk 1 bulan.
Solusi :
Diketahui :
P = 2000
I= 8 % untuk triwulan maka i=0.02
N = 2 tahun 23 hari (asumsikan 1 bulan), n untuk 2 th per triwulan maka, n = 8
Jawab :
Untuk 2 tahun
S = 2000(1.02)8 = $ 2343.318
Untuk 1 bulan akumulasi,
x 0.08 x 2343.318 = $ 15.622
Jadi, didapat totalnya yaitu :
2343.318 + 15.622 = $ 2358.94
8. Penabung lain menyimpan uang sebesar $5000 pada 8 april 1993, pada koperasi
simpan pinjam nomor 7, dan dia menutup rekeningnya pada 30 november 1996.
Berapakah saldo pada waktu itu? Memperbolehkan bunga tunggal untuk 2 bulan.
Solusi :
Diketahui :
P = $5000
I= 8 % untuk triwulan maka i=0.02

N = 3 tahun 5 hari , n untuk 3 th per triwulan maka, n = 14
Jawab :
Untuk 3 tahun dan 3 bulan pertama :
S = 5000(1.02)14 = $6597.3938
Untuk 2 bulan selanjutnya :
x 0.08 x 6597.3938 = $87.965
Jumlah totalnya :
6597.3938 + 87.965 = $ 6685.359
9. Sebuah investasi sebesar $4000 untuk 12 tahun. Selama 5 tahun pertama tingkat suku
bunga yaitu 9% dikonversi per semester. Kemudian tingkat suku bunganya menurun
menjadi 8%. Tentukan jumlah akhir?
5

Solusi :
Diketahui :
P = 4000
N1 = 5 tahun, karena dihitung per semester jadi n = 10
N2 = 7 tahun , jadi n =14
I1 = 9% dihitung per semester menjadi 0.045
I2 = 8% dihitung per semester menjadi 0.04

Jawab :
Untuk 5 tahun pertama :
S = 4000(1.045)10 = $6211.88
Selanjutnya untuk 7 tahun berikutnya :
S = 6211.88(1.04)14 = $10,756.96
10. Pokok uang sebesar $6500 mendapatkan 5% bunga efektif untuk 3 tahun dan
kemudian bunga sebesar 6% per semester untuk 4 tahun selanjutnya. Berapa jumlah
keseluruhan uang setelah 7 tahun?
Solusi :
Diketahui :
P = 6500
I1 = 5 %
I2= 6 % untuk per semester menjadi 0.03
N1= 3 tahun
N2= 4 tahun per semester menjadi 8 tahun
Jawab :
3 tahun pertama :
Kita terlebih dahulu mencari tingkat suku bunga efektifnya dengan memisalkan
menghitung per semester,
R = (1+i)m

= (1.025)6 =
= 1.161%
S = 6500( 1+0.1596)6 =
Lalu 4 tahun selanjutnya
S = 15754,92(1.03)4 =

3.13 NILAI AWAL PADA BUNGA MAJEMUK
Dalam transaksi bisnis terdapat beberapa keadaan dimana perlu ditentukan nilai awal dari
jumlah uang tertentu di masa depan. Nilai awal ditentukan sebagai uang pokok yang
dijumlahkan dengan jumlah yang diberikan pada waktu di masa depan. Perbedaan antara
jumlah masa depan dan nilai awal saat ini adalah jumlah diskon. Untuk menentukan nilai
awal saat ini dari jumlah masa depan digunakan rumus:

dengan
P = uang pokok atau nilai tunai saat ini
S = jumlah di masa depan
i = tingkat suku bunga per periode
n = periode
dengan nilai
6

Atau

disebut faktor diskon atau nilai sekarang dari 1.

Contoh 1
Tentukan nilai awal dari $5000 dalam waktu 4 tahun dengan bunga 8% yang ditukarkan per
semester.
Solusi
Substitusikan S = 5000, i = 0.04, dan n = 8 dalam rumus sehingga
5000
P
5000 0.730690 $3653.45
1.04 8
Pernyataan ini bermaksud jika
ditabung selama 4 tahun dengan bunga 8% per
semester, jumlahnya akan mencapai $5000.
Contoh 2
Tentu=kan nilai tunai dari $7500 selama 4 tahun dengan bunga 14% per bulan.
Solusi
Pada kasus ini kita harus menggunakan Tabel 3. Kita tahu
S = 7500, i = 14/12 %, dan n = 48
Metode alternatif adalah untuk menghitung (1/1.745006919)=0.5730636305
P 7500 0.5730636305 $4297.98

Menggunakan kalkulator dengan
penggunaan tingkat suku bunga.

kemampuan

eksponensial

memungkinkan

untuk

Contoh 3
Berapa uang yang harus diinvestasikan jika bunga 8.4% per bulan agar memperoleh $15,000
dalam waktu 5 tahun?
Solusi
Tingkat suku bunga i = 8.4%/12 = 0.7% = 0.007, S = 15,000, dan n = 60

Contoh 4
$1000 dalam waktu 3 tahun 8 bulan. Berapakah nilai tunai saat ini dengan bunga 6% per
semester?
Solusi
Nilai dalam investasi selama 3 tahun

Lalu gunakan bunga majemuk untuk nilai tunai

7

Contoh 5
Pada 5 Agustus 1985, Tn. Kane meminjam uang kepada Ny. Hill sebesar $2000 dengan
bunga 12% yang dikenakan per semester. Ny Hill memberikan Tn. Kane surat perjanjian
hutang bahwa Tn. Kane harus membayar kembali hutangnya dalam waktu 6 tahun. Pada
tanggal 5 Februari 1989 Tn kene menjual surat perjanjian hutang kepada si Mawar dikenakan
suku bunga 16% per semester sebagai potongan. Berapa banyak uang yang Tn. Kane
dapatkan dari penjualan surat perjanjian hutang tersebut?
Solusi
Pertama, kita harus tentukan nilai batas dari hutang

Nilai S diatas akan menjadi total pembayaran oleh Tn. Kane kepada Ny. Hill selama 6
tahun. Tetapi, Tn. Kane menjual surat perjanjian hutangnya saat dia baru meminjam selama
3,5 tahun pinjaman. Jadi uang yang di dapat dari Ny. Hill dari penjualan surat perjanjiann
hutang kepada mawar dengan perubahan suku bunga yang telah Tn kene tersebut . Maka S
yang dihasilkan tadi akan digunakan untuk mencari nilai awal P selama 2,5 tahun sisa
pinjamannya.
Dari 5 Februari 1989 sampai 5 agustus 1991, dengan selang waktu 2,5 tahun, atau 5
periode per 6 bulan. Maka nilai uang dari surat perjanjian tersebut dengan bunga 16%
digabungkan setengah tahun sebelumnya.

Diagram waktu berikut akan menunjukan kesalahan yang biasa terjadi dalam perjanjian
dengan masalah seperti ini

8

Latihan 3d
1. Berapa pokok yang dibutuhkan agar mendapatkan akumulasi bunga sebesar $3000
pada 8 tahun dengan tingkat suku bunga 6% per semester?
Solusi :
Diketahui :
S = 3000
I= 6% ,per semester = 0.03
N = 16
Jawab :
P=

= $1869.50

2. Berapakan uang awal pada tingkat suku bunga 7 % bunga per semester dari uang yang
didapat sebesar $3460 selama 18 bulan?
Solusi :
Diketahui :
S = 3460
I= 7%, per semester = 0.035
N= 3
Jawab :
P = 3460 (1.035)-3= $3120.72
3. Carilah uang awal dari $5000 selama 5 tahun jika keuntungan persentasenya 8% per
semester?
Solusi :
Diketahui :
S = 5000
I=8%, per semester 0.04
N=10
9

Jawab :
P=5000 (1.04)10 = $3377.82
4. Tentukan uang awal dari akumulasi bunga sebesar $450.80 selama 2,5 tahun jika uang
mendapat bunga sebesar 6% per semester?
Solusi :
Diketahui :
S = 450.80
I=6%, per semester 0.03
N= 5
Jawab :
P = 450.80(1.03)-5 = $388.86
5. Berapakah nilai awal pada bunga sebesar 9% per triwulan dari akumulasi uang
sebersar $ 12,000 pada 18 bulan?
Solusi :
Diketahui :
S = 12,000
I=9%, per triwulan 0.0225
N=6
Jawab :
P = 12,000(1.0225)-6 = $10,500.29

3.14 PERPANJANGAN TABEL
Satu keuntungan dari menggunakan kalkulator dengan kemampuan eksponen adalah tidak
adanya batasan praktis dalam sukuan atau angka dari waktu. Tetapi, untuk beberapa orang
yang menggunakan tabel, jika angka dari waktu dalam masalah melebihi angka yang
disediakan, tabel akan dapat memanjang menggunakan hukum eksponen,
Menggunakan hukum ini dalam membalik urutan menjadi berjumlah 1 faktor, kita dapatkan
Dicatat

bahwa

sedangkan

eksponen

individu

menambahkan hingga total eksponen, kita memperoleh faktor yang dibutuhkan dengan
mengalikan faktor individu.
Contoh 1
Seorang alumni perguruan tinggi ditunjuk oleh sebuah perusahaan terpercaya untuk
mengurus perkebunan. Perusahaan tersebut diperintahkan untuk menyisihkan jumlah dalam
rekening terpisah agar cukup untuk membayar almamaternya sebanyak $250,000 di akhir 50
tahun. Berapa jumlah deposit perusahaan di rekening jika mendapatkan tingkat suku bunga
8% yang dikonversi 4 kali dalam setahun?
Solusi
Substitusi S $250,000 i 0.02 dan

dalam rumus (11), kita memiliki

P 250,000(1  0.02)  200

Sekarang 1 faktor dipecah ke dalam faktor dengan pangkat tidak lebih dari 60. Satu solusi
yang mungkin
=
10

Ketika kita bertransaksi dengan jumlah uang banyak untuk waktu yang lama, faktor
sempurna disubstitusikan dan penghitungan terbentuk dalam kalkulator

Solusi alternatif
Membagi 200 ke dalam 4 bagian yang sama, kita dapatkan

Contoh 2
Perkirakan bunga pada contoh 1 dengan perhitungan per bulan. Tentukan deposito yang
diperlukan.
Solusi :

Latihan 3e
1. Tentukanlah bunga majemuk jika uang sebesar $250 diinvestasikan dengan bunga 5%
per semester selama 40 tahun?
Solusi :
Pada bagian penyelesain soal ini dibutuhkan alat bantu berupa kalkulator yang
menyediakan perhitungan eksponen
Diketahui :
P = 250
j = 5%, karena per semester maka i = 0.025
n = 80
Jawab :
S = 250(1.025)80 = $1802.39
2. Berapa bunga majemuk dari uang sebesar $4500 jika diinvestasikan dengan tingkat
suku bunga 8% per bulan untuk 50 tahun?
Solusi :
Diketahui :
P = 4,500
j = 8%, karena per bulan maka i = 0.067
n = 600
Jawab :
S = 4500(1.067)600 = $247,316.83
3. Jika uang sebesar $35,000 diinvestasikan dengan bunga 9% per semester, berapakah
jumlah pada 50 tahun?
Solusi :
Diketahui :
P = 35,000
11

j = 9%, karena per semester maka i = 0.045
n = 100
Jawab :
S = 35,000(1.045)100 = $2,855,598.13
4. Jika uang sebesar $355.60 diinvestasikan pada bunga 5% per triwulan, berapa jumlah
yang akan didapat setelah 20 tahun?
Solusi :
Diketahui :
P = 355.60
j = 5%, karena per triwulan maka i= 0.025
n = 80
Jawab :
S= 355.60(1.025)80 = $
5. Tentukan jumlah dari uang sebesar $4000 yang diinvestasikan selama 25 tahun
dengan bunga 6% per triwulan?
Solusi :
Diketahui :
P = 4000
j = 6%, karena per triwulan maka i = 0.015
n = 100
Jawab ;
S = 4000(1.015)100 = $ 17,728.182
6. Tentukan jumlah dari uang sebesar $14,000 yang diinvestasikan pada bunga 7% per
triwulan dan berakhir pada 22 tahun dan 3 bulan?
Solusi ;
Diketahui :
P = 14,000
j = 7%, karena per triwulan maka i = 0.0175
n = 89
Jawab :
S = 14,000(1.0175)89 = $ 65,567.93
7. Berapa banyak yang harus diinvestasikan sekarang dengan bunga 6% per semester
agar jumlahnya menjadi $1,000,000 selama 50 tahun?
Solusi :
Diketahui :
S = 1,000,000
j = 6%, karena per semester maka i = 0.03
n = 100
Jawab ;
P = 1,000,000 (1.03)-100 = $52,032.54
8. Berapa banyak yang harus diinvestasikan sekrang dengan bunga 6% per triwulan agar
jumlahnya menjadi $500,000 pada 25 tahun?
Solusi :
Diketahui :
S = 500,000
j = 6%, karena per triwulan maka i = 0.015
n = 100
Jawab :
P = 500,000 (1.015)-100 = $122,815.88
12

9. Berapa banyak yang perlu didepositokan sekarang dengan bunga investasi sebesar 8%
per triwulan agar jumlahnya menjadi $100,000 pada 25 tahun?
Solusi :
Diketahui ;
S = 100,000
j = 8%, karena per triwulan maka i = 0.02
n = 100
Jawab :
P = 100,000(1.02)-100 = $13,804.527
10. Berapa banyak yang harus didepositokan sekarang sengan investasi pembayaran
sebesar 10% per bulan agar jumlahnya menjadi $100,000 pada 50 tahun?
Solusi :
Diketahui :
S = 100,000
j = 10%, karena per bulan maka i = 0.0083
n = 600
Jawab :
P = 100,000(1.0083)-600 = $701.69

3.15 MENENTUKAN TINGKAT SUKU BUNGA
Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari rumus dasar bunga majemuk, yaitu
. Pada bab ini kita akan menghitung tingkat suku bunga jika diketahui waktu,
modal dan jumlah.
Contoh 1
Jika diketahui modal sebesar $500 menjadi $700 dalam 5 tahun dengan bunga majemuk tiga
bulan, bagaimana tingkat suku bunganya?
Penyelesaian
Diketahui :
S (jumlah) = $700
P (modal) = $500
n (waktu) =
Ditanyakan :
i (tingkat suku bunga) = ...?
Penyelesaian :

Sekarang kita harus menemukan nilai i untuk setiap (1 + i) 20 = 1.4000. Kita menuju
sepanjang garis 20 pada Tabel 2 sampai kita menemukan sejumlah 1 dari 1.4000 atau seperti
yang biasanya terjadi, cari nilai-nilai pada setiap sisi. Kita tempatkan hasil dalam bentuk tabel
dan dengan d merupakan selisih yang diinginkan.
13

250%

d

(1 + i)20

i dalam %
1.750
1.4148
i
1.4000
1.500
1.3469

0.0531 0.0679

=
d = 0.250 x

= 0.196

Karena periode per tingkat suku bunga/persentase yang diinginkan adalah 1.500 + 0.196 =
1.696%. Tingkat suku bunga/persentase nominal, ditambah tiga bulan, adalah 4i, atau 4 x
1.696 = 6.78%.
Hal ini tidak perlu untuk menulis perbedaan antara 1.4148 dan 1.3469 sebagai 0.0679. Kita
bisa menulis 679 yang disebut daftar perbedaan.
Jika hanya tingkat suku bunga/persentase nominal yang diperlukan, lebih baik menggunakan
indeks yang kecil dan bekerja dalam hal tingkat suku bunga/persentase nominal. Metode ini
mengurangi perkalian tingkat suku bunga/persentase per periode dengan jumlah konversi
dalam setahun. Simbol j(m) berdiri dari tingkat suku bunga/persentase nominal j ditambah m
waktu per tahun. Dengan penyederhanaan ini, masalahnya menjadi
j(4) dalam %
(1 + i)20
7 1.4148
1 d
j 1.4000
531 679
6 1.3469
=
d = 0.78
Oleh karena itu tingkat suku bunga/persentase tahunan nominal majemuk tiga bulanan adalah
6 + 0.78 = 6.78%.
Solusi alternatif
Kita juga dapat menggunakan kalkulator untuk mencari tingkat suku bunga dalam masalah di
atas. Dari penjelasan di atas, kita memiliki
(1 + i)20 = 1.4000
Ambil akar ke-20 dari kedua ruas,
1+i=
i = 1.01697 – 1 = .01679
i = 0.01697 x 4 = 0.0679 = 6.79%
Perhatikan bahwa hasil sedikit berbeda, karena menggunakan teknik pendekatan maka dari
itu hasilnya tidak akan persis dengan jawaban yang benar.

3.16 ANALISIS EKONOMI
Analisis Ekonomi merupakan aplikasi dari penerapan Bunga Majemuk yang telah dijelaskan
pada materi sebelumnya, untuk lebih memahami perhatikan contoh 1 dibawah!
14

Contoh 1
Pendapatan per kapita pribadi di Amerika Serikat pada tahun 1980 adalah $8421 dan
mengalami peningkatan pada tahun 1987 menjadi $13,157. Berapakah tingkat suku bunga
majemuk pada tahun pengembalian?
Penyelesaian
Diketahui :
S = $13,157
P = $8421
n=7
Ditanyakan :
i = ...?
Penyelesaian :
S
= P(1+i)n
13,157 = 8421 (1 + i)7
13,157
= (1 + i)7
8421

1.562 = (1 + i)7
Penyisipan

1

i dalam %
(1 + i)7
6 1.504
d
j 1.562
531
7 1.606
=

679

d = .57

i = 6.0 + 0.6 = 6.6%
Solusi Alternatif
ambil akar ke 7 dari kedua ruas,
(1 + i)7 = 1.5624
1+i=

= 1.0658

i = 0.0658
Maka didapat tingkat suku bunganya 6.6%

3.17 MENENTUKAN WAKTU
Dalam subbab ini, kita menentukan waktu ketika modal, jumlah, dan tingkat suku bunga
diketahui.
Contoh 1
Berapa lama waktu yang dibutuhkan dari $200 menjadi $350 dengan tingkat suku bunga 7%
setiap semester?
Penyelesaian
15

Diketahui :
S = $350
P = $200
i=

= 0.035

Ditanyakan :
n = ....?
Penyelesaian :
Dengan menggunakan rumus bunga majemuk, maka didapat:
S = P(1+i)n
350 200(1.035) n
350
(1.035) n
200
1.75 (1.035) n

Jika n adalah 16 maka didapat hasilnya 1.73399, dan jika n adalah 17 maka hasilnya 1.79468.
Ini berarti 16 semester atau 8 tahun menghasilkan jumlah yang paling dekat tetapi kurang dari
$350. Jika kita membiarkan waktu semester bertambah menjadi 17 semester (8,5 tahun) maka
menghasilkan jumlah yang lebih dari $350. Masalah dengan tipe seperti ini akan terjawab
dengan cara dibawah :
1. Tentukan jumlah periode yang paling dekat dengan faktor akumulasi. Dalam contoh
ini solusinya adalah 16 periode atau 8 tahun, 1.73399 lebih dekat ke 1.75. Maka
jumlah dalam masalah ini akan menjadi 200 1.73399 $346.80 .
2. Tentukan banyaknya periode dalam pengumpulan jumlah uang tersebut. Dalam
masalah ini, seperti asumsi yang dibuat bahwa bunga ditambahkan hanya pada
tanggal konversi dan investor ingin memastikan untuk mengumpulkan jumlah
tersebut. Jika masalah ini dinyatakan dalam cara ini, solusinya adalah jumlah periode
yang sesuai dengan faktor akumulasi pertama lebih dari itu dihitung untuk masalah
tersebut. Jika investor dalam contoh 1 dapat menerima bunga hanya pada tanggal
konversi dan ingin mengumpulkan setidaknya $350, jawabannya adalah 17 periode
atau 8

1
tahun, karena 1.79468 adalah faktor pertama yang lebih dari 1.75. Maka
2

didapat nilainya menjadi
200 1.79468 $358.94 .

3. Dalam banyak permasalahan, tingkat suku bunga/persentase bunga dapat diperoleh
pada sebagian periode dan penanam modal dapat mengumpulkan pada setiap saat.
Dalam contoh ini jawabannya terletak di antara 8 tahun dan 8

1
tahun. Untuk
2

menemukan jumlah yang sebenarnya, kita gunakan bunga tunggal pada bagian dari
periode. Setelah 8 tahun jumlah S = 200 1.73399 $346.80. Pertanyaannya
adalah, berapa lama waktu yang dibutuhkan $346.80 untuk menjadi $350 pada 7%
bunga tunggal?
350 346.80(1  0.07 t )
350
1  0.07t 
1.00923
346.8

0.07t 1.00923  1 0.00923

16

t

0.00923
0.132 tahun, atau 48 hari berdasarkan 360 hari dalam satu
0.07

tahun. Jadi dapat kita simpulkan bahwa diperlukan waktu 8 tahun dan 48 hari.

3.18 PERSAMAAN NILAI
Persamaan nilai merupakan cara yang paling efektif untuk memecahkan banyak masalah
investasi atau penanaman modal, untuk itu secara menyeluruh kita harus paham mengenai
persamaan nilai tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.
Contoh 1
Seseorang berutang sebesar $ 20,000 dalam jangka waktu 1 tahun dan $30,000 dalam jangka
waktu 2 tahun. Pemberi pinjaman sepakat untuk melakukan pembayaran secara tunai.
Sebelum jangka waktu berakhir, kedua belah pihak telah menyepakati tingkat suku
bunganya. Dalam hal ini kita mengasumsikan bahwa pemberi pinjaman menetapkan suku
bunga sebesar 10% yang dibayarkan per semester. Tentukan jumlah pembayaran/nilai
awalnya?
Penyelesaian
Diketahui :
Rumus Nilai Awal :
= $20,000
= $30,000
i=5
n1 = 2
n2 = 4
Ditanya :
x (jumlah pembayaran awal) = …..?
Penyelesaian :
dengan rumus nilai awal maka di dapat

Dengan demikian nilai awalnya adalah S = $42,821.66.
Contoh 2

17

Seseorang mempunyai hutang $50,000. Telah disetujui pembayarannya sebanyak 2 kali
dalam 1 dan 2 tahun dengan pembayaran yang sama. Tentukan pokok pembayarannya jika
besarnya tingkat suku bunga 9%.
Penyelesaian
Diketahui :
i=
P = $50.000
n1 = 1
n2 = 2
Ditanyakan :
x (nilai awal/pokok yang harus dibayar) = ...?
Penyelesaian :

x (1.09)  x 50,000(1.09) 2
2.09 x 50,000 1.1881 $59,405

x

59,405
$28,423.44
2.09

Dengan demikian pembayaran awalnya didapat $28,423.44 dalam 1 dan 2 tahun akan
melunasi hutang sebesar $ 50,000
Contoh 3
Sebuah properti terjual dengan harga $50,000 dan pembeli membayar secara tunai $20,000
serta membuat perjanjian untuk membayar $10,000 dalam tahun pertama dan perjanjian ke
dua membayar $10,000 dalam tahun kedua. Jika penjual memberikan tingkat suku bunga
10% dalam setahun, berapa yang harus dibayar pada tahun ketiga?
Penyelesaian

18

Maka yang harus dibayar pada tahun ketiga sebanyak $16,830.
Contoh 4
Jika setiap hutang harus menanggung bunga, pertama kita harus menghitung nilai jatuh
tempo. Seseorang berhutang $20,000 dibayar selama 3 tahun dengan tingkat suku bunga
sebesar 10% yang dibayar 4 kali dalam setahun, dan berhutang $10,000 dibayar selama 5
tahun dengan tingkat suku bunga sebesar 8% yang dibayar 1 kali dalam setahun. Dengan
bunga 9%, berapa pembayaran tunggal selama 6 tahun yang sama dengan hutang awalnya?
Penyelesaian
Pertama kita mencari nilai-nilai dari hutangnya:
20,000(1.025)12 20,000 1.3448888 $26,897.78
10,000(1.08) 5 10,000 1.4693281 $14,693.28

Sekarang kita selesaikan dengan persamaan nilai.
x 26,897.78(1.09) 3  14,693.28(1.09)
( 26,897.78 1.295029)  (14,693.28 1.09)
34,833.41  16,015.68
$50,849.09

Maka yang harus dibayar selama 6 tahun adalah S = $50,849.09.
Contoh 5
Pada tanggal 1 Juni 1991, seseorang memperoleh pinjaman sebesar $5000 dengan pembayaran
sebesar $1000 pada pokok ditambah bunga 6% atas saldo yang belum dibayar akan dilakukan setiap 6
bulan. Jadwal pembayaran untuk pinjaman ini diberikan pada grafik berikut :

Jumlah
Pembayaran Tanggal

Total
Pembayaran

Pembayaran
Bunga

Pembayaran
Pokok

Saldo
Pinjaman
$5000
1
1 Desember 1991 $1300
$300
$1000
4000
2
1 Juni 1992
1240
240
1000
3000
3
1 Desember 1992
1180
180
1000
2000
4
1 Juni 1993
1120
120
1000
1000
5
1 Desember 1993
1060
60
1000
0
Pada tanggal 1 Juni 1992, pemberi pinjaman menjual kontrak ini untuk pembeli yang ingin
hasil 16% yang dikonversikan per semester. Tentukan harga jual
Solusi
Penjual mendapat pembayaran jatuh tempo pada 1 Juni 1992, pembeli akan mendapatkan tiga
pembayaran yang tersisa. Sebuah diagram waktu (Gambar 3-15) menunjukkan bahwa 1 Juni
1992, adalah tempat yang baik untuk tanggal focus karena ini adalah titik waktu ketika harga
pembelian akan ditentukan. Diskon semua pembayaran dengan tanggal focus, kita miliki
x 11801.08  11201.08  10601.08
1180 0.925926  1120 0.857339  1060 0.793832
1

2

3

1092.59  960.22  841.46
$2894.27

19

Contoh 6
Kepala RT memiliki warisan $30,000 dan memiliki 3 anak yang masing-masing berumur 19
tahun, 16 tahun, dan 14 tahun. Dan masing-masing anak akan memperoleh warisan setelah 21
tahun dengan tingkat bunga 8% yang di dapat 2 kali setahun. Berapa banyak warisan awal
yang diterima sang anak?
Penyalesaian

3.19 TINGKAT SUKU BUNGA NEGATIF
Hukum bunga majemuk juga berlaku untuk jumlah yang menurun dengan tingkat suku bunga
konstan. Tingkat suku bunga negatif kadang-kadang disebut koefisien peluruhan. Sebuah
contoh dari ranah alamiah adalah peluruhan zat radioaktif. Nilai pemesanan suatu aset,
disusutkan berdasarkan metode penurunan saldo ganda (bagian 8.7), mengikuti hukum bunga
majemuk dengan tingkat suku bunga negatif. Penjualan produk yang tidak diiklankan bisa
menurun kurang lebih dengan tingkat suku bunga yang konstan. Ketika hanya sejumlah kecil
periode yang terlibat, perhitungan tersebut mudah ditangani dengan kalkulator.
Contoh 1
Harga sebuah mobil baru $ 12,000 dan jatuh harga sebesar 25% per tahun. Tentukan nilai
pemesanan pada akhir setiap tahun selama 5 tahun dan penyusutan tahunan dalam dolar.
Penyelesaian
Dengan mensubstitusikan P = 12,000 dan i = -0.25 dalam rumus (9), kita menemukan bahwa
20

S = 12,000 (1.00-0.25)n = 12,000(0.75)n
Dimana n adalah jumlah tahun. Karena nilai-nilai yang diinginkan untuk setiap tahun dari 1 sampai
5, kita cukup mengalikan berturut-turut dengan 0.75 seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut.

Tahun

Nilai pemesanan

0

Penyusutan Cadangan
$12,000.00

1

12,000.00 x 0.75 =

9,000.00

$3000.00

2

9,000.00 x 0.75 =

6,750.00

2,250.00

3

6,750.00 x 0.75 =

5,062.50

1,687.50

4

5,062.50 x 0.75 =

3,796.88

1,265.62

5

3,796.88 x 0.75 =

2,847.66

949.22

Jika Anda hanya menginginkan nilai pemesanan setelah 5 tahun dan anda memiliki kalkulator
dengan kemampuan eksponensial, penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
12,000(0.75)5 = $2847.66
Dengan suku bunga negatif, jumlah penyusutan cadangan tahunan cukup besar pada awalnya
dan kemudian menjadi semakin kecil. Kecenderungan ini sesuai dengan pengalaman praktis
dengan banyak aset. Masalah tingkat suku bunga negatif dapat diselesaikan dengan
menggunakan logaritma seperti yang ditunjukkan dalam lampiran dan pada contoh dalam
bagian 3.21.
Dengan pemajemukan terpisah, maju di tingkat suku bunga negatif tidak sama dengan
kembali dengan tingkat positif yang memiliki nilai numerik yang sama. Sebagai contoh, jika
aset $1000 menurun 8% per tahun, nilai pemesanan pada akhir 1 tahun akan menjadi
1000(1.00-0.08) = $ 920.00. Faktor nilai uang saat ini diterapkan untuk nilai di masa depan
1000 hasil dalam nilai sekarang dari 1000 x 0.925926 = $ 925.93.
Hal ini dimungkinkan untuk menggunakan tabel bunga majemuk untuk menangani tingkat
suku bunga negatif jika Tabel 2 memiliki tingkat dengan sekarang-nilai-dari-1 faktor sama
dengan faktor penyusutan nilai negatif. Jika tingkat penurunan adalah r, kita mencari tingkat i
pada Tabel 2 sehingga (1 - r) = (1 + i)-1.
Contoh 2
Suatu aset dengan nilai awal sebesar $1000 mengalami penurunan nilainya 7.4% per tahun.
Gunakan Tabel 2 untuk menemukan nilai pada akhir tahun ke 5.
Penyelesaian
(1 – r ) = (1 - 0.074) = 0.926
Lihat dalam baris 1 dari kolom "nilai uang saat ini", kita menemukan 0.925925 untuk tingkat
8% per tahun. Kita sekarang dapat menggunakan faktor nilai uang saat ini 8% untuk
mendapatkan nilai penyusutan aset yang mengalami penurunan 7.4% per tahun. Pada akhir 5
tahun aset tersebut akan bernilai sekitar
1000(1.08)-5 = 1000 x 0.680583 = $681

21

Metode ini harus digunakan dengan Tabel Majemuk bunga yang lengkap dari Perusahaan
Penerbit Finansial untuk mendapatkan nilai pendekatan ter dekat yang diperlukan.
Solusi Alternatif
Menggunakan kalkulator secara langsung, penyelesaiannya adalah
1000(1 - 0.074 )5 = 1000(0.926)5 = $680.86

3.20 PENGGUNAAN LOGARITMA
Logaritma dapat digunakan untuk memecahkan masalah ketika tabel bunga majemuk tidak
tersedia atau ketika waktu atau tingkat suku bunga tidak ada dalam tabel.
Ketika total waktu diperoleh dengan menggunakan logaritma, asumsi adalah bahwa bunga
majemuk yang diperoleh untuk fraksi periode serta untuk jumlah periode keseluruhan. Maka
hasil akan sedikit berbeda dengan yang diperoleh dengan menggunakan faktor-faktor dari
Tabel 2 dan interpolasi linier. Jika waktu ditentukan oleh logaritma dan bunga tunggal akan
digunakan untuk fraksi yang tersisa dari sebuah periode. Maka rumus bunga tunggal dapat
digunakan untuk mencari waktu tambahan yang diperlukan untuk jumlah ini untuk sama
dengan jumlah akhir.
Ketika logaritma digunakan untuk mendapatkan tingkat, akibatnya secara teoritis benar dan
bukan sebuah pendekatan, seperti yang terjadi dengan menggunakan faktor-faktor dari Tabel
2 dan interpolasi linier. Dalam kondisi bisnis biasa ketika tingkat suku bunga yang
dibutuhkan hanya untuk tujuan perbandingan, Tabel 2 mengarah ke hasil yang cukup akurat.
Contoh berikut menunjukkan bagaimana logaritma dapat digunakan untuk memecahkan
empat jenis masalah bunga majemuk. Tabel yang ke enam telah digunakan untuk masalah ini.
Meskipun metode tetap sama, tabel yang lebih luas diperlukan untuk mendapatkan hasil yang
akurat dengan uang dalam jumlah besar. Tombol Logaritma pada kalkulator ilmiah juga akan
memberikan hasil yang cukup akurat untuk masalah yang paling praktis. Dengan kalkulator
seperti ini tidak perlu untuk bekerja dengan tabel.

Contoh 1
Uang palsu yang disita oleh Dinas Rahasia meningkat dari $9.0 juta pada tahun 1966 menjadi
$15.1 juta pada tahun 1969. Tingkat kemajemukan tahunan meningkat sebesar 19%.
Berapakah nilai pada tahun 1975 dengan tingkat kenaikan yang sama?
Penyelesaian
Dengan mensubstitusikan P = 15.1, i = 0.19, dan n = 6 dalam rumus (9), kita memiliki
S = 15.1(1.19)6
Karena 19% tidak ada dalam tabel 2, kita mengambil logaritma dari kedua sisinya.

22

Log S = log 15.1 + 6 log 1.19
log 15.1 =

1.178977

6 log 1.19 = 6 x .075547 =
log S (adding) =

.453282
1.632259

Tinjau antilog dari 1.632259, kita menemukan bahwa S = $ 42.9 juta. Jawabannya
dibulatkan, karena prediksi ini didasarkan pada data perkiraan. Namun, hasilnya cukup akurat
untuk menunjukkan bahwa pemalsuan uang adalah ancaman yang meningkat dalam integritas
dolar.
Contoh 2
Tentukan nilai terkini dari $600 karena dalam 8 tahun jika uang itu bernilai 5,2% secara
majemuk setengah tahunan.
Penyelesaian
Dengan mensubstitusikan S = 600, i = 0.026, dan n = 16 dalam rumus (11), kita memiliki
P = 600(1.026)-16
Memakai logaritma di kedua sisinya, kita memperoleh
Log P = log 600 – 16 log (1.026)
log 600 = 2.778151
16 log (1.026) = 16 x .011147 =
log P (subtracting) =

.178352
2.599799

Tinjau antilog dari 2.599799, kita memiliki P = $397.92.
Contoh 3
Berapa tahun waktu yang dibutuhkan $175 berjumlah $30 pada 4.4%?
Penyelesaian
Dengan mensubstitusikan S = 230, P = 175, dan i = 0.044 dalam rumus (9), kita memiliki
230 = 175 (1.044)n
Dimana
(1.044)n =

230
175

Memakai logaritma dari kedua sisinya, kita memiliki
n log (1.044) = log 230 – log 175
n

log 230  log 175 2.361728  2.243038

6.347tahun
log 1.044
0.018700

Hasil ini artinya jika bunga majemuk yang dibayar sebagian dari periode, waktu akan
menjadi 6,347 tahun. Karena praktek ini jarang terjadi, waktu biasanya akan digunakan untuk
salah satu cara berikut. Jika bunga itu dibayar hanya pada tanggal perubahan, kita katakan
23

bahwa waktu terdekat adalah 6 tahun, yang akan menghasilkan dalam jumlah yang sedikit
kurang dari $230. Jadi jika kita ingin setidaknya $230, uang itu harus dibiarkan di deposito
selama 7 tahun. Jika bunga tunggal dibayar pada sebagian periode, kita akan menemukan
jumlah pada akhir 6 tahun dan menggunakan rumus bunga tunggal untuk mendapatkan waktu
tambahan yang diperlukan untuk jumlah ini terakumulasi menjadi $230.
Contoh 4
Jika sebuah investasi yang spekulatif meningkat nilai dari $30,000 sampai $ 80,000 dalam 5
tahun, berapa tingkat bunga majemuk pertumbuhan tahunan?
Penyelesaian
Dengan mensubstitusikan S = 80,000, P = 30,000, dan n = 5 dalam rumus (9), kita memiliki
80,000 = 30,000 (1 + i )5
(1 + i )5 =

80,000
30,000

Memakai logaritma dari kedua sisinya, kita memperoleh
5 log (1 + i ) = log 80,000 – log 30,000
log ( 1 + i ) =
=

log 80,000  log 30,000
5
4.903090  4.477121 .425969

.085194
5
5

Tinjau antilog dari 0.085194, kita menemukan bahwa
1 + i = 1.2167
Dimana kita mendapatkan
i = 0.2167 = 21.67%
Penyelesaian alternatif
Bagi pembaca yang menggunakan kalkulator ilmiah, hanya Contoh 3 memerlukan
penggunaan logaritma. Yang lain dapat diselesaikan dengan menggunakan kemampuan
eksponensial (xy atau yx). Misalnya, Contoh 4 juga dapat diselesaikan sebagai berikut:
80,000 = 30,000 (1 + i )5
(1 + i )5 =
1+i=

80,000
30,000
 80,000 


 30,000 

1

5

1.2167

i = 0.2167 = 21.7%

3.21 INFLASI
24

Inflasi adalah meningkatnya harga-harga secara umum dan terus-menerus atau kontinu yang
mengakibatkan menurunnya nilai mata uang secara kontinu.
Masalah yang umum terjadi dari masyarakat manapun adalah terlalu banyak bulan tersisa di
akhir uang mereka. Kenaikan harga yang cepat menyebabkan kesulitan bagi mereka yang
berpenghasilan uang tetap. Untuk membantu mengatasi kenaikan harga, pekerja menuntut
kenaikan upah untuk mengkompensasi kerugian baik masa lalu dan yang akan datang dari
daya beli masyarakat. Peningkatan biaya tenaga kerja, material, dan masukan lainnya
menyebabkan produsen menaikkan harga pada produk akhir.
Perubahan harga yang dilaporkan dalam bentuk resmi biaya hidup atau indeks harga.
Lembaga yang bertanggung jawab untuk menentukan indeks harga harus menentukan jenis
dan jumlah barang dimana indeks akan ditempatkan. Nilai dolar dari item dalam indeks
tersebut telah ditetapkan untuk tahun dasar atau periode. Dalam tahun berikutnya total biaya
item pada indeks dasar ini ditentukan. Nilai ini kemudian dinyatakan sebagai persentase dari
total biaya pada periode dasar.
Kemampuan daya beli domestik mata uang suatu negara dihitung dari timbal balik indeks
harga. Ketika harga meningkat, seperti yang terjadi sekarang di sebagian besar negara,
depresiasi uang diukur dengan tingkat penurunan mata uang daya beli. Di Amerika Serikat,
salah satu statistik yang paling sering yang direferensikan adalah Indeks Harga Konsumen
(IHK). Hal ini mencerminkan pengeluaran oleh semua konsumen perkotaan. Karena ini
ditulis IHK didasarkan pada harga rata-rata untuk tahun 1982-1984. Artinya, rata-rata untuk
tahun tersebut ditetapkan pada indeks 100 dan harga pada setiap saat ditunjukkan dari
pangkalan. Sebagai contoh, indeks 1987 dari 113.6 menunjukkan bahwa, rata-rata, harga pada
tahun 1987 adalah 13.6% lebih tinggi dibandingkan periode dasar 1982-1984.
Indeks 80 akan mengatakan bahwa harga yang 20% lebih rendah dibandingkan periode dasar.
Harga untuk indeks yang terkumpul dari berbagai instansi seperti toko makanan, tukang
cukur, kantor dokter, dan pusat perbelanjaan dan dari daerah perkotaan di seluruh bangsa.
Dalam membandingkan IHK untuk jangka waktu tahun, perlu dicatat bahwa sebelum 1978
IHK mengacu pada biaya untuk penerima upah di kota dan pekerja administrasi, sedangkan
untuk tahun 1978 dan nantinya ini mencerminkan harga untuk semua konsumen perkotaan.
Untuk mendapatkan nilai dolar dari IHK, kita ganti dalam ungkapan saja
Nilai dolar =

1
100
100 
IHK
IHK

Ketika IHK adalah 125, nilai dolar adalah

100
= $0.80, atau 80 sen.
125

Pergerakan indeks harga dan nilai dolar biasanya dinyatakan sebagai persentase perubahan
daripada perubahan poin indeks karena perubahan titik dipengaruhi oleh tingkat indeks relatif
terhadap periode dasar, sedangkan persentase perubahan tidak. Untuk mendapatkan
persentase perubahan dari satu periode ke periode lainnya, menggunakan rumus:
Presentase Perubahan =

 Nilai untuk periode sesudahnya - Nilai untuk periode sebelumnya  100%
 Nilai untuk periode sebelumnya 
Ketika perubahan IHK 100-125, ada perbedaan 25 titik indeks. Juga ada perubahan 25%,
seperti yang kita tampilkan:
25

Persentase perubahan =

125  100
100% 25%
100

Ketika perubahan IHK 125-150, ada perubahan 25 titik indeks. Namun, perubahan persentase
adalah
150  125
100% 20%
125

Perubahan IHK 125-150 berarti penurunan nilai dolar dari $0.80 ke $0.67 dan perubahan
persentase
0.67  0.80
100%  16.2%
0.80

Perhatikan bahwa persentase perubahan dalam nilai dolar tidak sama dengan persentase
perubahan yang sesuai dalam indeks harga. Hal ini sering disalahpahami dan dapat dijelaskan
dengan contoh sederhana. Jika perubahan IHK 100-200 ada peningkatan 100% pada harga.
Namun, penurunan yang sesuai dalam nilai dolar adalah 50%. Untuk negara-negara di tahap
pembangunan, stabilitas harga yang wajar penting bagi kemajuan ekonomi. Beberapa negara
mungkin lebih atau kurang berhasil dalam memperlambat inflasi dengan stabilitas resmi
kebijakan suku bunga yang tinggi, peningkatan pajak, dan mengurangi belanja publik.
Masalahnya adalah untuk menemukan kebijakan yang mengekang kenaikan harga tanpa
mengakibatkan tingkat pengangguran yang tidak dapat diterima. Seperti cara - cara yang
berusaha dicari untuk mencapai harga yang relatif stabil dan pekerjaan yang hampir penuh,
metode bunga majemuk akan digunakan untuk mengevaluasi hasil masa lalu dan
memprediksi tren masa depan.
Untuk menganalisis harga tren jangka panjang, nilai indeks harga adalah pengganti dalam
rumus bunga majemuk. Ketika rumus ini diselesaikan dalam kasus ini, kita memiliki tingkat
perubahan harga tahunan majemuk. Hasilnya kadang-kadang disebut tingkat inflasi, terutama
oleh pihak yang tidak bekerja di kantor. Ketika kita mengganti nilai uang dalam rumus bunga
majemuk, kita mendapatkan tingkat perubahan majemuk dalam daya beli uang.
Contoh
Pada tahun 1908 Indeks Harga Konsumen (IHK) sebesar 82.4 dan pada tahun 1987 sebesar
113.6. Kedua nilai tersebut relatif terhadap 1982 – 84 = 100. Tentukan nilai bunga majemuk
tahunan dari perubahan Indeks Harga Konsumen (IHK) dan nilai tersebut dalam dollar.
Penyelesaian
Substitusi nilai IHK kedalam rumus (9), kita mendapatkan
82.4 (1 + i) 7 = 113.6
(1 + i) 7 =

113 .6
82.4

Menggunakan logaritma pada kedua sisi persamaan, sehingga didapatkan

26

7 log 1  i  log 113 .6  log 82.4
log 113 .6  log 82.4
0.1992
7
1  i anti log 0.1992 1.047
log 1  i  

i 1.047  1 0.047 4.7%

Untuk menentukan perubahan persentase tahunan dalam nilai dolar, pertama kita mendapatkan nilai
dolar seperti yang dijelaskan di atas.

Tahun

Indeks Harga Konsumen

Nilai Dolar

1980

82.4

$1.21

1987

113.6

$0.88

Substitusi kedalam rumus (9) sehingga didapat
1.211  i  0.88
7 log 1  i  log 0.88  log 1.21
log 0.88  log 1.21
log 1  i  
7

0.944483  1  0.082785
log 1  i  
7
7

Ketika menggunakan logaritma, kita harus mengakhirinya dengan mantissa (bagian dari
logaritma yang mengikuti titik desimal) positif dan dalam bentuk persamaan yang tidak
terpisahkan. Untuk mencapai hal ini, kita dapat mengubah bentuk logaritma asalkan kita tidak
mengubah nilai numeriknya.
Jika kita menambahkan 6 kedalam suku pertama dalam logaritma pertama dan kurangi 6 dari
suku kedua dalam logaritma yang sama, kita dapat menyelesaikan masalah ini. (Nilai 6
dipilih untuk ditambahkan dan dikurangi sehingga, persamaan tersebut ketika dibagi oleh 7
akan menghasilkan hasil yang bulat).
log 1  i  

 6.944483  7    0.082785
7

6.861698  7
7
0.980242  1


1  i anti log  0.980242  1 0.956

i 0.956  1  0.044  4.4%

Perhatikan bahwa tingkat perubahan dalam nilai dolar tidak numerik sama dengan persentase
perubahan dalam CPI. Di sini perbedaannya tidak besar, seperti di contoh di halaman 180.

3.22 BUNGA MAJEMUK KONTINU
27

Anda mungkin telah memperhatikan bahwa jika tingkat nominal bunga tidak berubah, tetapi
kemajemukan sering terjadi, tingkat efektifitas akan lebih besar. Hal ini dapat membuktikan
bahwa ini selalu terjadi. Fakta ini membust kits bertanya apa yang terjadi ketika bunga
majemuk sangat sering terjadi (harian, jam, atau bahkan setiap menit atau setiap detik).
Karena tingkat efektifitas harus meningkat dengan frekuensi kemajemukan hanya dua hal
bisa terjadi, baik itu tingkat efektifitas menjadi besar tak berhingga atau semakin dekat dan
lebih dekat lagi ke suatu nilai.
Dalam tabel 3-4 kita dapat melihat tingkat efektifitas untuk tingkat nominal 10% dan
berbagai frekuensi kemajemukan. Kita bisa melihat bahwa ketika jumlah hasil kali bunga
majemuk menjadi sangat besar, tingkat efektifitas tidak banyak berubah. Hal ini dapat
ditunjukkan dengan menggunakan alat analisis matematis, bahwa ada titik di luar tingkat
efektifitas yang tidak akan berubah, tidak peduli seberapa sering bunga majemuk. Jika kita
bisa menentukan bagaimana menghitung jumlah terkecinya, itu akan mewakili tingkat
efektifitas terbesar yang mungkin pada tingkat nominal yang diberikan. Kemudian kita akan
menyebut nilai tersebut sebagai tingkat efektifitas bila bunga majemuk kontinu terjadi. Ini
akan sangat berguna bagi lembaga keuangan yang ingin membayar investor mereka dalam jumlah
kemungkinan terbesar ketertarikan, tetapi terhambat oleh hukum untuk mempertahankan suku
nominal pada nilai tertentu. Bagian ini akan menjelaskan bagaimana cara untuk menghitung bunga
ketika majemuk kontinu.

Kemajemukan

Periode per
tahun

Tingkat per
periode

Jumlah satuan
dalam 1 tahun

Tingkat
efektifitas

Setiap tahun

1

0.10

1.10

10.0000%

Setengah tahun

2

0.05

1.1025

10.2500%

Triwulan

4

0.025

1.103812891

10.3813%

Bulanan

12

0.0083333

1.104713057

10.4713%

Mingguan

52

0.0019231

1.105064793

10.5065%

Harian

365

0.0002740

1.105155781

10.5156%

Jam-an

8.760

0.0000114

1.105170290

10.5170%

Setiap menit

525.600

0.00000019

1.105170481

10.5170%

Terus-menerus

-

-

1.105170918

10.5171%

Batas yang terjadi pada kemajemukan terus menerus melibatkan suatu nilai khusus yang
disebut e. Konstanta penting dalam matematika, e adalah bilangan real yang
merepresentasikan bilangan desimal yang tidak ada akhirnya. Sebuah pendekatan yang baik
untuk tujuan kita adalah e 2.718281828459045 . Hal ini dapat didefinisikan sebagai batas
m

1

dari  1   , dimana m mendekati tak hingga. Artinya, jumlah ini semakin dekat dan lebih
m



dekat ke e dimana m semakin besar dan lebih besar.
Gambar 3-17 akan menunjukkan fakta tersebut. Kita dapat tuliskan
1

lim  1  
m 
m



m

e

28

Kemudian menjadi
j

lim  1  
m 
m


m

m
  j
j 

j  

 lim  1  
m 
m


1 

 lim  1 

m 
m' 

e j

m' j

Gambar 3-17 Grafik dari

Oleh karena itu tingkat efektifitas untuk tingkat nominal j majemuk kontinu akan disepakati
dengan e j  1 .
Untuk menghitung faktor untuk sejumlah uang pada tingkat j majemuk kontinu untuk waktu t
(diukur dalam tahun), dan e juga digunakan. Dalam hal ini, kita mendapatkan
j

lim 1  
m 
m



mt

j

 lim 1  
m 
m



mt

e jt

Oleh karena itu, jika $P diinvestasikan dalam tingkat nominal j yang majemuk kontinu
selama t tahun, maka jumlah yang disepakati adalah
S  Pe jt

Kita bisa menghitung jumlah investasi dalam hal kemajemukan terus menerus jika kita dapat
menentukan e jt untuk nilai-nilai yang sesuai dengan j dan t.
Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan Tabel 6 atau dengan kalkulator yang memiliki
tombol yang ditandai dengan atau . Jika Anda memiliki kalkulator seperti itu, Anda dapat
memperoleh e jt dengan mengalikan j dengan t dan kemudian menekan tombol . Kadangkadang tombol ditandai dengan "EXP" (untuk eksponensial).

29

Beberapa kalkulator mengevaluasi
dengan menggunakan logaritma natural. Fungsi
eksponensial, , merupakan kebalikan dari logaritma natural, ln x . Anda dapat menghitung
dengan mengambil kombinasi fungsi invers (INV) dan logaritma natural (
.). Periksa
secara manual untuk menentukan bagaimana cara untuk mencari pada kalkulator Anda.
Untuk menggunakan Tabel 6, Anda dapat menerapkan aturan dari persamaan eksponen, yaitu
e a e b e a b .

Contoh 1
Carilah nilai dari e 0.125
Penyelesaian
Eksponen ditulis ulang sebagai jumlah entri yang ditemukan dalam Tabel 6.
e 0.125 e 0.120.005 e 0.12 e 0.005

1.127 496 8516 1.005 012 5209 1.133 148 4531

Contoh 2
Carilah jumlah dari $10,000 yang diinvestasikan selama 3 bulan sebesar 12% ditambah terus
menerus.
Penyelesaian
S 10,000e 0.121 4
10,000e 0.03
10,000 1.030 454 5340
$10,304.55

Contoh 3
Carilah jumlah dari $1000 sebesar 5½% yang kontinu selama 5 tahun.
Penyelesaian
S 1000e 0.0555
1000e 0.275
1000e 0.27 e 0.005
1000 1.309 964 4507 1.005 012 5209
$1316.53

Tingkat nominal maksimum yang menyebabkan lembaga dan bank dapat membayar pada
rekening tabungan sering dibatasi oleh hukum. Lembaga-lembaga ini harus mendorong orang
untuk menggunakan rekening tersebut jika mereka memiliki modal untuk berinvestasi atau
dipinjamkan. Tingkat nominal maksimum yang menyebabkan lembaga dan bank dapat
membayar pada rekening tabungan sering dibatasi oleh hukum. Lembaga-lembaga ini harus
30

mendorong orang untuk menggunakan rekening tersebut jika mereka memiliki modal untuk
berinvestasi atau meminjamkan. Dalam rangka menarik pelanggan, sekarang banyak yang
membayar tarif nominal maksimum majemuk kontinu karena penabung potensial biasanya
menyadari bahwa tingkat efektifitas maksimum terjadi dalam kasus itu. Penggunaan
kemajemukan terus menerus oleh lembaga tersebut telah meningkat pesat dalam beberapa
tahun terakhir.
Untuk menemukan nilai yang ada saat ini dari jumlah saat bunga majemuk meningkat, kita
hanya perlu memecahkan nilai formula untuk P. Menggunakan eksponen negatif, kita
dapatkan P  Se  jt

Contoh 4
Berapa banyak yang harus diinvestasikan saat ini saat 8% majemuk kontinu untuk mencapai
$5000 dalam 2 ½ tahun?
Penyelesaian
P 5000e  0.082.5
5000e  0.20
5000 0.818 730 7531
$4093.65

Contoh 5
Carilah nilai saat ini dari $25,000 dalam 3 tahun pada 12½% ditambah terus menerus.
Penyelesaian
P 25,000e  0.1253
25,000e  0.375
25,000e  0.37 e  0.005
$17,182.23

Rumus penjumlahan juga dapat diselesaikan untuk tingkat dan waktu menggunakan
logaritma. Kita tidak akan membahas teknik tersebut pada saat ini.
Sebagaimana ditunjukkan sebelumnya, lembaga keuangan sering menerapkan bunga
majemuk terus untuk memaksimalkan tingkat efektifitas. Beberapa menggunakan metode lain
untuk lebih meningkatkannya lagi. Beberapa bahkan menggunakan Peraturan Perbankan
(bunga biasa dan waktu yang tepat) untuk menghitung t.
Jika bunga dibiarkan menumpuk selama 90 hari, nilai untuk t adalah
bunga terakumulasi selama 1 tahun, faktor untuk t adalah

90
. Namun, jika
360

365
, menghasilkan jumlah yang
360

sedikit lebih besar dari bunga untuk investor.

Contoh 6
31

Sepuluh ribu dolar diinvestasikan pada tanggal 1 April sebesar 15% ditambah terus
menggunakan metode yang dijelaskan di atas. Cari jumlah dan bunga pada tanggal 1
Desember di tahun yang sama.
Penyelesaian
Dengan menggunakan Tabel 1, waktu yang diketahui, yaitu dari 1 April sampai 1 Desember
adalah 335 – 91 = 244 days.
S 10,000e 0.15244 360 $11,070.14
I  S  P $1,070.14

Contoh 7
Carilah tingkat efektifitas dari 10% ditambah secara kontinu, menggunakan metode yang
telah digabarkan di atas untuk waktu komputasi.
Penyelesaian
r e jt  1 e 0.10365 360 0.1067 10.67%

32