Diktat Kuliah TK 301 Matematika (1)
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
BAB 4
TURUNAN
4.1 Gradien Garis Singgung
Tinjau sebuah kurva y = f(x) seperti diperlihatkan pada Gambar 4.1. Garis yang melalui
titik P(x1, f(x1)) dan Q(x1 + x, f(x1 + x)) disebut tali busur. Gradien tali busur tersebut
adalah
f (x
y
x
mPQ
x)
x
f ( x)
.
Jika titik Q digerakkan menuju P, x mendekati 0. Pada keadaan ini, y juga mendekati
0. Akan tetapi, y/ x menuju nilai tertentu dan kenyataan ini mengantarkan pada
penggunaan konsep limit.
y
tali busur
Q
(x+h, f(x+h))
y
garis singgung
(x, f(x))
P
x=h
x
Gambar 4.1
Gradien garis singgung didifinisikan sebagai limit
y/ x ketika
x mendekati 0,
yakni
m lim
h
CONTOH 1
0
y
x
lim
h
0
f ( x h)
h
f ( x)
Tentukan gradien garis singgung pada kurva y
(1, 2). Tuliskan persamaan garis singgungnya.
f ( x)
x 2 1 pada titik
Penyelesaian
Gradien garis singgung pada titik (1,2) sebagai berikut.
m lim
h
0
f (1 h)
h
f (1)
{(1 h) 2 1} 2
0
h
lim
h
Aip Saripudin
Turunan - 57
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
{(1 2h h 2 ) 1} 2
0
h
lim
h
lim
h
0
2h h 2
h
lim(2 h)
h
0
2
Persamaan garis singgung dengan gradien m = 2 dan melalui titik (1, 2) sebagai berikut.
y
m( x x1 )
y1
2( x 1) 2
2x
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva y
y 2x .
x 2 1 pada titik (1, 2) adalah
f ( x)
4.2 Definisi dan Lambang Turunan
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ yang memiliki nilai pada suatu bilangan x
didefinisikan sebagai
f ' ( x)
lim
h
0
f ( x h)
h
yang menjamin bahwa limit itu ada dan bukan
atau
f ( x)
.
Jika limit itu ada, dikatakan bahwa fungsi tersebut terdiferensialkan pada x.
Pencarian turunan disebut pendiferensialan.
Lambang turunan dapat dituliskan dalam beberapa bentuk. Lambang-lambang yang
digunakan untuk fungsi yang diturunkan terhadap x sebagai berikut.
f’(x)
Dx [f(x)]
d
[ f ( x)]
dx
dy
dx
Ketiganya memiliki makna yang sama atau, dengan kata lain,
f ' ( x)
Aip Saripudin
D x [ f ( x)]
d
[ f ( x)]
dx
dy
.
dx
Turunan - 58
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
CONTOH 1
Cari turunan dari f(x) = 2x + 5.
Penyelesaian
f ' ( x) lim
0
h
lim
f (x
h)
h
[2( x h)
0
h
f ( x)
5] [2 x 5]
h
2h
h
lim 2
lim
h
0
h
0
2
Jadi, turunan dari f(x) = 2x + 5 adalah f’(x) = 2.
CONTOH 2
Cari turunan dari f(x) = x2.
Penyelesaian
h ) f ( x)
h 0
h
2
( x h)
x2
lim
h 0
h
2
x 2 xh h 2 x 2
lim
h 0
h
lim ( 2 x h )
f ' ( x)
lim
h
f (x
0
2x
Jadi, turunan dari f(x) = x2 adalah f’(x) = 2x.
CONTOH 3
dy
jika y
dx
Cari
x.
Penyelesaian
Ambil f ( x)
x maka
dy
dx
lim
h
lim
x h
h
x
lim
x h
h
x
h
h
0
0
lim
h
Aip Saripudin
0
f ( x h)
h
0
f ( x)
x h
x
x h
x
h
h( x h
x)
Turunan - 59
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
1
lim
0
h
x)
x h
1
2 x
Jadi, y
x maka
dy
dx
1
2 x
.
4.3 Aturan Pencarian Turunan
Pencarian turunan menggunakan limit merupakan pekerjaan yang sulit dan menjemukan.
Akan tetapi, dari dua contoh di atas, kita mendapatkan metode yang lebih singkat.
Teorema-teorema yang berkaitan dengan aturan pencarian turunan sebagai berikut.
Untuk k konstanta, n real, u = u(x), dan v = v(x):
(1) f(x) = k maka f’(x) = 0.
(2) f(x) = xn maka f’(x) = nxn-1.
(3) g(x) = k f(x) maka g’(x) = k f’(x)
v maka f’(x) = u’
(4) f(x) = u
v’
(5) f(x) = uv maka f’(x) = u’v + uv’
(6) f ( x)
CONTOH 1
u
maka f ' ( x)
v
Cari turunan dari f ( x)
u ' v v' u
v2
2 x3
x2
5.
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan (1), (2), (3), dan (4) diperoleh
f ' ( x)
CONTOH 2
3 2 x3 1
2 x2 1
Cari turunan dari f ( x)
0
( x2
6x2
2x
2 x 6) 2 .
Penyelesaian
Fungsi di atas dapat dianggap sebagai hasil kali dua buah fungsi sebagai berikut.
f ( x) uv
dengan
u
v
x2
2x 6
Gunakan aturan (6), f ' ( x) u' v uv' , diperoleh
Aip Saripudin
Turunan - 60
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
f ' ( x) (2 x 2)( x 2
2(2 x 2)( x
4 x3
2 x 6) ( x 2
2
12 x 2
2 x 6)(2 x 2)
2 x 6)
32 x 24
Untuk menguji kebenarannya, gunakan cara lain
( x2
f ( x)
2 x 6) 2
x4
4 x3 16 x 2
24 x 36
maka sesuai aturan (1), (2), (3), (4), dan (5) diperoleh
4 x3 12 x 2
f ' ( x)
CONTOH 3
32 x 24
Cari turunan dari f ( x)
x
x
2
1
.
Penyelesaian
x
Misal u = x dan v = x2 + 1 maka f ( x)
x
2
1
u
v
sehingga dengan aturan hasil bagi,
1 ( x 2 1) 2 x x
( x 2 1) 2
u ' v v' u
v2
f ' ( x)
1 x2
.
( x 2 1) 2
4.4 Turunan Fungsi Komposisi: Aturan Rantai
Jika f(u) terdiferensialkan pada u = g(x) dan g (x) terdiferensialkan pada x, fungsi
komposisi y ( f g )( x) f ( g ( x)) f (u) terdiferensialkan pada x. Turunan fungsi
komposisi ini dapat dicari menggunakan rumus berikut.
dy
dx
dy du
du dx
Rumus di atas disebut aturan rantai.
CONTOH 1
Cari
dy
jika y
dx
( x 2) 2 .
Penyelesaian
Dengan metoda biasa, y
dy
dx
( x 2) 2
2x 4
Dengan aturan rantai: misal u
Aip Saripudin
x2
4 x 4 maka
2( x 2) .
x 2 maka y
( x 2) 2
u 2 . Dengan demikian,
Turunan - 61
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
dy
dx
CONTOH 2
dy du
du dx
2u 1 2( x 2)
2x 4 .
( x 2 1) 3 .
Cari turunan dari y
Penyelesaian
Misal u
x2
1 maka y ( x 2
dy
dx
CONTOH 3
Cari
1) 3
dy du
du dx
u 3 . Dengan demikian,
3u 2 2 x 3( x 2
1
dy
jika y
dx
(2 x 5) 3
1) 2 2 x 6 x( x 2
1) 2 .
.
Penyelesaian
Misal u
2x 5 maka y
dy
dx
1
(2 x 5)
dy du
du dx
3u
3
4
1
u3
u 3 . Dengan demikian,
2
6(2 x 5)
6
4
(2 x 5) 4
.
Ketika menerapkan aturan rantai, akan cukup membantu jika kita menggunakan
tahapan berikut: turunkan fungsi” luar” f dan fungsi “dalam” masing-masing, lalu
kalikan satu sama lain. Perhatikan contoh berikut.
CONTOH 4
Cari
dy
jika y
dx
2 x x2 .
Penyelesaian
Ubah bentuk fungsi di atas menjadi
1
y (2 x x 2 ) 2
maka
dy
dx
1
d
(2x
x2 ) 2
dx da la m
1
1
x2 ) 2 (2 2 x)
2 (2 x
tur una n "lua r"
tur una n "da la m"
lua r
1 x
2 x x2
Aip Saripudin
.
Turunan - 62
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
4.5 Turunan Fungsi Trigonometri
Untuk menurunkan fungsi sinus dan cosinus, kita dapat menggunakan konsep limit dan
identitas penjumlahan sudut:
sin( x h) sin x cos h cos x sin h
cos( x h)
cos x cos h sin x sin h
Turunan fungsi sinus, f ( x) sin x , sebagai berikut.
d
sin(x h) sin x
sin x lim
h 0
h
dx
lim
h
h
0
lim
h
sin x cos h cos x sin h sin x
sin x(cos h 1) cos x sin h
h
0
lim sin x
h
0
sin x lim
h
0
(cos h 1)
lim cos x
h
h
cos h 1
h
sin h
h
0
cos x lim
h
sin h
h
0
sin x 0 cosx 1
cos x
Turunan fungsi cosinus, f ( x) cos x , sebagai berikut.
cos(x h) cos x
d
cos x lim
0
h
h
dx
lim
h
h
0
lim
h
cos x cos h sin x sin h cos x
cos x(cos h 1) sin x sin h
h
0
lim cos x
h
0
cos x lim
h
0
(cos h 1)
h
cos h 1
h
lim sin x
h
sin h
0
sin x lim
h
0
h
sin h
h
cosx 0 sin x 1
sin x
Aip Saripudin
Turunan - 63
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Dari penurunan di atas diperoleh teorema sebagai berikut.
d
sin x cos x
dx
dan
d
cos x
dx
sin x
Turunan fungsi trigonometri dasar lainnya dapat diperoleh dengan bantuan teorema di
atas.
CONTOH 1
Cari turunan dari y = tan x.
Penyelesaian
y
tan x
sin x
cos x
u
v
maka, sesuai aturan hasil bagi,
dy
dx
u ' v v' u
v2
cos x cos x ( sin x) sin x
cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
cos 2 x
1
cos 2 x
sec 2 x
Jadi,
d
tan x sec2 x
dx
CONTOH 2
Tentukan
d
secx .
dx
Penyelesaian
Dengan mengingat bahwa secx
d
secx
dx
d 1
dx cos x
1
u ' v v' u
dan turunan hasil bagi: y'
, diperoleh
cos x
v2
0 cos x ( sin x) 1
cos2 x
1 sin x
cos x cos x
secx tan x
Jadi,
d
secx secx tan x
dx
Aip Saripudin
Turunan - 64
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Cari turunan dari y = 2 sin 2x.
CONTOH 3
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan rantai,
dy
dx
(2 cos2 x) 2 4 cos2 x .
Cari turunan dari y cos 2 x
CONTOH 4
Dengan menggunakan aturan rantai,
dy
dx
(2 cos x) ( sin x)
2 sin x cos x sin 2 x
Cari turunan dari y = sin3 (2x).
CONTOH 5
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan rantai,
dy
dx
(3(sin 2 x) 2 ) (cos2 x) (2) 6 sin2 2 x cos2 x .
4.6 Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen Asli
Turunan fungsi logaritma dan eksponen natural sebagai berikut:
1
,x 0
x
d
ln x
dx
Cari
CONTOH 1
dy
jika y ln( x 2
dx
dan
d x
e
dx
ex
2 x) .
Penyelesaian
Misal u
maka
x2
du
dx
2x
y ln u
2 x 2 dan
dy
du
1
u
1
x
2
2x
sehingga sesuai aturan rantai diperoleh
CONTOH 2
Aip Saripudin
2x 2
.
x2 2x
dy
dx
dy du
du dx
Cari
dy
jika y e x
dx
2
4x
.
Turunan - 65
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Penyelesaian
Misal u
maka
x2
du
dx
4x
y
2 x 4 dan
eu
dy
du
eu
ex
2
4x
sehingga diperoleh
CONTOH 3
dy
dx
dy du
du dx
Cari
dy
jika y
dx
ex
2
4x
(2 x 4) .
xe x .
Penyelesaian
Misal u
x dan v e x
y uv sehingga
dy
dv
du
u
v
dx
dx
dx
xe x
e x 1 e x ( x 1) .
4.7 Turunan Orde Tinggi
Turunan dari f adalah f’. Jika f’ didiferensialkan lagi, diperoleh f’’. f’ disebut turunan
pertama dan f’’ turunan kedua. Jika didiferensialkan lagi dan lagi, diperoleh turunan
ketiga (f’’’), keempat (f(4)), kelima (f(5)), dan seterusnya. Lambang turunan dari y = f(x)
untuk orde tinggi diberikan pada Tabel 4-1.
Tabel 4-1
Lambang turunan orde tinggi
Turunan
Lambang f’
Lambang y’
Lambang D
Lambang
Leibniz
Pertama
f’(x)
y’
Dx y
dy
dx
Kedua
f’’(x)
y’’
D x2 y
d2y
dx 2
Ketiga
f’’’(x)
y’’’
D x3 y
d3y
dx 3
Keempat
f(4) (x)
y(4)
D x4 y
d4y
dx 4
Aip Saripudin
Turunan - 66
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Kelima
f(5) (x)
y(5)
D x5 y
d5y
dx 5
Keenam
f(6) (x)
y(6)
D x6 y
d6y
dx 6
f(n) (x)
y(n)
D xn y
dny
dx n
Ke-n
CONTOH 1
Cari turunan kelima dari f ( x)
x4
2 x3
5x 2
6x 8 .
Penyelesaian
f ' ( x)
4 x3
6x2
f ' ' ( x) 12 x 2
f ( 4 ) ( x)
10 x 6
f (5)
12 x 10
24
0
f ' ' ' ( x) 24 x 12
CONTOH 2
Cari f’’’(x) jika f ( x)
x 2 ln x , x
0.
Penyelesaian
Gunakan aturan turunan hasil kali maka
f ' ( x)
1
x
x2
2 x ln x x 2 x ln x
f ' ' ( x) 1
2x
1
x
f ' ' ' ( x) 0
2
x
2
x
2 ln x
3 2 ln x
4.8 Pendiferensialan Implisit
Dalam beberapa kasus, y sebagai fungsi x tidak dapat dinyatakan secara eksplisit dalam
bentuk y = f(x), misalnya y = x2. Sebagai contoh, persamaan
y2
3y
x2
tidak dapat ditulis menjadi y = f(x) secara eksplisit Fungsi seperti ini disebut fungsi
implisit, dengan kata lain y merupakan fungsi implisit dari x. Akan tetapi, turunan dari y
terhadap x dapat dicari. Metode pencarian turunan fungsi implisit disebut
pendiferensialan implisit.
Berikut beberapa contoh pendiferensialan implisit.
Aip Saripudin
Turunan - 67
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
CONTOH 1
dy
dari persamaan berikut: y 2
dx
Cari
3y
x2 .
Penyelesaian
Diferensialkan setiap suku di semua ruas terhadap x.
d 2
[y ]
dx
2y
d
[3 y]
dx
dy
dy
3
dx
dx
d 2
[x ]
dx
2x
dy
[2 y 3] 2 x
dx
sehingga diperoleh
CONTOH 2
dy
dx
2x
2y 3
Cari
dy
dari persamaan berikut: y3
dx
2 xy x2
8.
Penyelesaian
Diferensialkan setiap suku di setiap ruas terhadap x,
d 3
d
d 2
[y ]
[2 xy]
[x ]
dx
dx
dx
3y2
dy
dx
3y2
dy
dx
3 y2
2x
2y
d
[8]
dx
d
d
[ x] 2 x
[ y]
dx
dx
2 y 2x
dy
2[ x
dx
2x 0
dy
2x 0
dx
y]
sehingga diperoleh
dy
dx
CONTOH 3
2[ x
3y2
y]
2x
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y3
(0, 2).
2 xy x2
8 di titik
Penyelesaian
Pada CONTOH 2 telah diperoleh bahwa
Aip Saripudin
dy
dari y3
dx
2 xy x2
8 adalah
Turunan - 68
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
2[ x
3y2
dy
dx
y]
2x
Gradien garis singgung pada kurva tersebut di titik (0, 2) adalah
m
dy
dx
x 0, y 2
2(0 2)
3 22 2 0
4
12
1
.
3
Persamaan garis singgungnya di titik (0, 2) adalah
y
m( x x1 )
y1
1
( x 0) 2
3
1
x 2
3
Jadi, garis singgung pada kurva y3
2 xy x2
8 di titik (0, 2) adalah y
1
x 2 atau
3
dapat ditulis sebagai x 3 y 6 0 .
4.9 Laju yang Berkaitan
Jika variabel y bergantung pada waktu t, turunannya, dy/dt, disebut laju perubahan
terhadap waktu. Secara umum, setiap variabel yang bergantung waktu, turunannya
disebut laju.
CONTOH 1
Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-x dan posisinya sebagai
fungsi waktu berubah menurut persamaan: x = t2 + 5t – 10, dengan x
dalam meter dan t dalam sekon. Cari laju perubahan posisi terhadap
waktu (atau dikenal sebagai kecepatan) pada saat t = 2 sekon.
Penyelesaian
Turunan dari posisi terhadap waktu,
v(t )
dx
2t
dt
5
Pada t = 2 sekon,
v(2)
CONTOH 2
2 2 5 9 m/s.
Setiap sisi kubus bertambah dengan laju 3 cm per sekon. Tentukan laju
perubahan volume kubus saat panjang sisinya 12 cm.
Penyelesaian
Misalnya sisi kubus dinyatakan oleh s maka volume kubus V = s3. Laju pertambahan sisi
ds
kubus 3 cm/s, ini berarti
3 cm/s. Laju perubahan volume terhadap waktu,
dt
Aip Saripudin
Turunan - 69
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
dV
dt
d 3
ds
.
[ s ] 3s 2
dt
dt
Dengan demikian, pada s = 12 cm,
dV
dt
CONTOH 3
3 (12) 2 3 1296 cm3/s.
Seorang anak menyedot minuman dari sebuah cangkir berbentuk kerucut
dengan laju 3 cm3/s. Sumbu cangkir vertikal dan tinggi cangkir 10 cm
dengan diameter bagian terbuka 6 cm. Tentukan laju penurunan tinggi
cairan dalam cangkir ketika kedalamannya 5 cm.
Penyelesaian
Kedalaman cairan h dan jari-jari cangkir r
maka volume cangkir (kerucut),
V
3 cm
1 2
r h.
3
r
Dari gambar diperoleh hubungan
r
h
3
10
V
1
3
h
3h
10
r
10 cm
maka
3h
10
2
h
3
h3
100
Laju perubahan volume terhadap waktu,
dV
dt
d 3
h3
dt 100
3
dh
3h 2
100
dt
sehingga laju perubahan kedalaman terhadap waktu,
dh
dt
100 dV
9 h 2 dt
Karena cairan berkurang (disedot) dengan laju 3 cm3/s, ini berarti
dV
dt
3 cm3/s. [tanda negatif menunjukkan berkurang]
Dengan demikian pada h = 5 cm diperoleh
dh
dt
100 dV
9 h 2 dt
100
9 52
Jadi, laju penurunan kedalaman cairan adalah
Aip Saripudin
3
4
cm/s.
3
4
cm tiap sekon.
3
Turunan - 70
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Sepeda motor A bergerak lurus dengan kelajuan konstan 60 km/jam
menuju ke Timur dan melintasi perempatan jalan tepat pada pukul 10.00.
Sepeda motor B bergerak lurus ke Utara dengan kelajuan konstan 80
km/jam dan melintasi perempatan jalan yang sama pada pukul 10.15.
Tentukan laju perubahan jarak kedua motor pada pukul 11.00.
CONTOH 4
Penyelesaian
Misalnya titik O adalah titik yang tepat di perempatan jalan. Pada suatu saat tertentu,
jarak motor A ke O sebut saja x, jarak motor B ke O adalah y, dan jarak A dan B adalah r .
Keadaan ini diilustrasikan pada gambar. Sesuai dengan dalil Phytagoras diperoeh
hubungan
r2
x2
y2 .
Utara
Laju perubahan jarak A dan B (dr/dt) diperoleh
melalui
pendiferensialan
implisit
pada
persamaan di atas sebagai berikut.
d 2
r
dt
2r
dr
dt
d 2
(x
dt
2x
B
r
y
y2 )
O
dr
dt
2y
A
Timur
x
dy
dt
sehingga diperoleh
dr
dt
x dr
r dt
y dy
r dt
atau
dr
dt
x
dr
dy
y
dt
dt
2
x y2
(*)
dx
dy
= 60 km/jam dan
= 80 km/jam. Jarak yang ditempuh motor A selama 1
dt
dt
jam (dari pukul 10.00 s.d. 11.00) adalah
dengan
x
dx
dt
t
60 1 60 km,
sedangkan jarak yang ditempuh motor B selama 45 menit atau ¾ jam (dari pukul 10.15
s.d. 11.00) adalah
y
dy
dt
t
80
3
4
60 km.
Masukkan nilai-nilai di atas pada (*) diperoleh
dr
dt
Aip Saripudin
x
dr
dy
y
dt
dt
2
x y2
Turunan - 71
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
dr
dt
60 60 60 80
60
2
60
60(60 80)
2
70 2 km/jam.
60 2
Jadi, laju perubahan jarak kedua motor pada pukul 11.00 adalah 70 2 km/jam.
4.10 Diferensial dan Hampiran
Misalnya y = f(x) terdiferensialkan pada setiap x. Dalam notasi Leibniz, turunan fungsi
tersebut dituliskan sebagai
dy
dx
f ' ( x)
Sejauh ini, kita belum memberikan makna apa pun pada notasi dy/dx, selain sebagai
lambang turunan yang tak terpisahkan. Pada bagian ini, kita akan memberikan makna
pada dy dan dx.
Dari definisi turunan, untuk fungsi y = f(x) yang terdiferensialkan berlaku
lim
x
0
y
x
f (x
lim
x
x)
x
0
f ( x)
f ' ( x) .
Jika x kecil,
y
x
f (x
x)
x
f ( x)
f ' ( x)
atau
y
f (x
x)
f ( x)
f ' ( x) x .
Karena x = dx, persamaan di atas dapat ditulis
y
f (x
x)
f ( x)
f ' ( x)dx .
Ruas kanan pada persamaan ini didefinisikan sebagai diferensial dari y, dilambangkan
oleh dy, yakni
dy
f ' ( x)dx .
Besaran dx disebut diferensial variabel bebas x dan dy disebut diferensial variabel terikat
y.
Secara grafis, tafsiran diferensial diperlihatkan pada Gambar 4.2. Besaran dy
menyatakan perubahan dalam garis singgung pada P ketika x berubah sebesar x = dx.
Jika x sangat kecil, dy menjadi hampiran yang cukup baik pada y dan mudah untuk
dicari.
Gamba 4.2
Aip Saripudin
Turunan - 72
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
CONTOH 1
Cari dy jika (a) y 2 x , (b) y
x2
3x , (c) y sin x .
Penyelesaian
Untuk mendapatkan diferensialnya, terlebih dahulu cari turunannya lalu kalikan dengan
dx.
(a) dy 2dx
(b) dy (2 x 3)dx
(c) dy cos xdx
CONTOH 2
Gunakan diferensial untuk menghampiri nilai
1,01 .
Penyelesaian
1,01 . Karena itu, ambil fungsi y
Nilai yang akan kita cari adalah
akan mencari/menghampiri nilai f (1,01) . Turunan dari f ( x)
f ( x)
x dan kita
x adalah
1
f ' ( x)
2 x
maka perubahannya dalam y adalah
y
f ' ( x)dx
f (x
x)
atau
f ( x)
f ' ( x) x .
Sekarang, ambil x = 1 dan x = 0,01 maka
f (x
x
1,01
x)
x
f ( x)
1
x
1
f ' ( x) x
2 x
1
2 1
x
0,01
1,01 1 0,005
Jadi,
1,01 1,005 .
Aip Saripudin
Turunan - 73
BAB 4
TURUNAN
4.1 Gradien Garis Singgung
Tinjau sebuah kurva y = f(x) seperti diperlihatkan pada Gambar 4.1. Garis yang melalui
titik P(x1, f(x1)) dan Q(x1 + x, f(x1 + x)) disebut tali busur. Gradien tali busur tersebut
adalah
f (x
y
x
mPQ
x)
x
f ( x)
.
Jika titik Q digerakkan menuju P, x mendekati 0. Pada keadaan ini, y juga mendekati
0. Akan tetapi, y/ x menuju nilai tertentu dan kenyataan ini mengantarkan pada
penggunaan konsep limit.
y
tali busur
Q
(x+h, f(x+h))
y
garis singgung
(x, f(x))
P
x=h
x
Gambar 4.1
Gradien garis singgung didifinisikan sebagai limit
y/ x ketika
x mendekati 0,
yakni
m lim
h
CONTOH 1
0
y
x
lim
h
0
f ( x h)
h
f ( x)
Tentukan gradien garis singgung pada kurva y
(1, 2). Tuliskan persamaan garis singgungnya.
f ( x)
x 2 1 pada titik
Penyelesaian
Gradien garis singgung pada titik (1,2) sebagai berikut.
m lim
h
0
f (1 h)
h
f (1)
{(1 h) 2 1} 2
0
h
lim
h
Aip Saripudin
Turunan - 57
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
{(1 2h h 2 ) 1} 2
0
h
lim
h
lim
h
0
2h h 2
h
lim(2 h)
h
0
2
Persamaan garis singgung dengan gradien m = 2 dan melalui titik (1, 2) sebagai berikut.
y
m( x x1 )
y1
2( x 1) 2
2x
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva y
y 2x .
x 2 1 pada titik (1, 2) adalah
f ( x)
4.2 Definisi dan Lambang Turunan
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ yang memiliki nilai pada suatu bilangan x
didefinisikan sebagai
f ' ( x)
lim
h
0
f ( x h)
h
yang menjamin bahwa limit itu ada dan bukan
atau
f ( x)
.
Jika limit itu ada, dikatakan bahwa fungsi tersebut terdiferensialkan pada x.
Pencarian turunan disebut pendiferensialan.
Lambang turunan dapat dituliskan dalam beberapa bentuk. Lambang-lambang yang
digunakan untuk fungsi yang diturunkan terhadap x sebagai berikut.
f’(x)
Dx [f(x)]
d
[ f ( x)]
dx
dy
dx
Ketiganya memiliki makna yang sama atau, dengan kata lain,
f ' ( x)
Aip Saripudin
D x [ f ( x)]
d
[ f ( x)]
dx
dy
.
dx
Turunan - 58
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
CONTOH 1
Cari turunan dari f(x) = 2x + 5.
Penyelesaian
f ' ( x) lim
0
h
lim
f (x
h)
h
[2( x h)
0
h
f ( x)
5] [2 x 5]
h
2h
h
lim 2
lim
h
0
h
0
2
Jadi, turunan dari f(x) = 2x + 5 adalah f’(x) = 2.
CONTOH 2
Cari turunan dari f(x) = x2.
Penyelesaian
h ) f ( x)
h 0
h
2
( x h)
x2
lim
h 0
h
2
x 2 xh h 2 x 2
lim
h 0
h
lim ( 2 x h )
f ' ( x)
lim
h
f (x
0
2x
Jadi, turunan dari f(x) = x2 adalah f’(x) = 2x.
CONTOH 3
dy
jika y
dx
Cari
x.
Penyelesaian
Ambil f ( x)
x maka
dy
dx
lim
h
lim
x h
h
x
lim
x h
h
x
h
h
0
0
lim
h
Aip Saripudin
0
f ( x h)
h
0
f ( x)
x h
x
x h
x
h
h( x h
x)
Turunan - 59
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
1
lim
0
h
x)
x h
1
2 x
Jadi, y
x maka
dy
dx
1
2 x
.
4.3 Aturan Pencarian Turunan
Pencarian turunan menggunakan limit merupakan pekerjaan yang sulit dan menjemukan.
Akan tetapi, dari dua contoh di atas, kita mendapatkan metode yang lebih singkat.
Teorema-teorema yang berkaitan dengan aturan pencarian turunan sebagai berikut.
Untuk k konstanta, n real, u = u(x), dan v = v(x):
(1) f(x) = k maka f’(x) = 0.
(2) f(x) = xn maka f’(x) = nxn-1.
(3) g(x) = k f(x) maka g’(x) = k f’(x)
v maka f’(x) = u’
(4) f(x) = u
v’
(5) f(x) = uv maka f’(x) = u’v + uv’
(6) f ( x)
CONTOH 1
u
maka f ' ( x)
v
Cari turunan dari f ( x)
u ' v v' u
v2
2 x3
x2
5.
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan (1), (2), (3), dan (4) diperoleh
f ' ( x)
CONTOH 2
3 2 x3 1
2 x2 1
Cari turunan dari f ( x)
0
( x2
6x2
2x
2 x 6) 2 .
Penyelesaian
Fungsi di atas dapat dianggap sebagai hasil kali dua buah fungsi sebagai berikut.
f ( x) uv
dengan
u
v
x2
2x 6
Gunakan aturan (6), f ' ( x) u' v uv' , diperoleh
Aip Saripudin
Turunan - 60
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
f ' ( x) (2 x 2)( x 2
2(2 x 2)( x
4 x3
2 x 6) ( x 2
2
12 x 2
2 x 6)(2 x 2)
2 x 6)
32 x 24
Untuk menguji kebenarannya, gunakan cara lain
( x2
f ( x)
2 x 6) 2
x4
4 x3 16 x 2
24 x 36
maka sesuai aturan (1), (2), (3), (4), dan (5) diperoleh
4 x3 12 x 2
f ' ( x)
CONTOH 3
32 x 24
Cari turunan dari f ( x)
x
x
2
1
.
Penyelesaian
x
Misal u = x dan v = x2 + 1 maka f ( x)
x
2
1
u
v
sehingga dengan aturan hasil bagi,
1 ( x 2 1) 2 x x
( x 2 1) 2
u ' v v' u
v2
f ' ( x)
1 x2
.
( x 2 1) 2
4.4 Turunan Fungsi Komposisi: Aturan Rantai
Jika f(u) terdiferensialkan pada u = g(x) dan g (x) terdiferensialkan pada x, fungsi
komposisi y ( f g )( x) f ( g ( x)) f (u) terdiferensialkan pada x. Turunan fungsi
komposisi ini dapat dicari menggunakan rumus berikut.
dy
dx
dy du
du dx
Rumus di atas disebut aturan rantai.
CONTOH 1
Cari
dy
jika y
dx
( x 2) 2 .
Penyelesaian
Dengan metoda biasa, y
dy
dx
( x 2) 2
2x 4
Dengan aturan rantai: misal u
Aip Saripudin
x2
4 x 4 maka
2( x 2) .
x 2 maka y
( x 2) 2
u 2 . Dengan demikian,
Turunan - 61
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
dy
dx
CONTOH 2
dy du
du dx
2u 1 2( x 2)
2x 4 .
( x 2 1) 3 .
Cari turunan dari y
Penyelesaian
Misal u
x2
1 maka y ( x 2
dy
dx
CONTOH 3
Cari
1) 3
dy du
du dx
u 3 . Dengan demikian,
3u 2 2 x 3( x 2
1
dy
jika y
dx
(2 x 5) 3
1) 2 2 x 6 x( x 2
1) 2 .
.
Penyelesaian
Misal u
2x 5 maka y
dy
dx
1
(2 x 5)
dy du
du dx
3u
3
4
1
u3
u 3 . Dengan demikian,
2
6(2 x 5)
6
4
(2 x 5) 4
.
Ketika menerapkan aturan rantai, akan cukup membantu jika kita menggunakan
tahapan berikut: turunkan fungsi” luar” f dan fungsi “dalam” masing-masing, lalu
kalikan satu sama lain. Perhatikan contoh berikut.
CONTOH 4
Cari
dy
jika y
dx
2 x x2 .
Penyelesaian
Ubah bentuk fungsi di atas menjadi
1
y (2 x x 2 ) 2
maka
dy
dx
1
d
(2x
x2 ) 2
dx da la m
1
1
x2 ) 2 (2 2 x)
2 (2 x
tur una n "lua r"
tur una n "da la m"
lua r
1 x
2 x x2
Aip Saripudin
.
Turunan - 62
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
4.5 Turunan Fungsi Trigonometri
Untuk menurunkan fungsi sinus dan cosinus, kita dapat menggunakan konsep limit dan
identitas penjumlahan sudut:
sin( x h) sin x cos h cos x sin h
cos( x h)
cos x cos h sin x sin h
Turunan fungsi sinus, f ( x) sin x , sebagai berikut.
d
sin(x h) sin x
sin x lim
h 0
h
dx
lim
h
h
0
lim
h
sin x cos h cos x sin h sin x
sin x(cos h 1) cos x sin h
h
0
lim sin x
h
0
sin x lim
h
0
(cos h 1)
lim cos x
h
h
cos h 1
h
sin h
h
0
cos x lim
h
sin h
h
0
sin x 0 cosx 1
cos x
Turunan fungsi cosinus, f ( x) cos x , sebagai berikut.
cos(x h) cos x
d
cos x lim
0
h
h
dx
lim
h
h
0
lim
h
cos x cos h sin x sin h cos x
cos x(cos h 1) sin x sin h
h
0
lim cos x
h
0
cos x lim
h
0
(cos h 1)
h
cos h 1
h
lim sin x
h
sin h
0
sin x lim
h
0
h
sin h
h
cosx 0 sin x 1
sin x
Aip Saripudin
Turunan - 63
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Dari penurunan di atas diperoleh teorema sebagai berikut.
d
sin x cos x
dx
dan
d
cos x
dx
sin x
Turunan fungsi trigonometri dasar lainnya dapat diperoleh dengan bantuan teorema di
atas.
CONTOH 1
Cari turunan dari y = tan x.
Penyelesaian
y
tan x
sin x
cos x
u
v
maka, sesuai aturan hasil bagi,
dy
dx
u ' v v' u
v2
cos x cos x ( sin x) sin x
cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
cos 2 x
1
cos 2 x
sec 2 x
Jadi,
d
tan x sec2 x
dx
CONTOH 2
Tentukan
d
secx .
dx
Penyelesaian
Dengan mengingat bahwa secx
d
secx
dx
d 1
dx cos x
1
u ' v v' u
dan turunan hasil bagi: y'
, diperoleh
cos x
v2
0 cos x ( sin x) 1
cos2 x
1 sin x
cos x cos x
secx tan x
Jadi,
d
secx secx tan x
dx
Aip Saripudin
Turunan - 64
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Cari turunan dari y = 2 sin 2x.
CONTOH 3
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan rantai,
dy
dx
(2 cos2 x) 2 4 cos2 x .
Cari turunan dari y cos 2 x
CONTOH 4
Dengan menggunakan aturan rantai,
dy
dx
(2 cos x) ( sin x)
2 sin x cos x sin 2 x
Cari turunan dari y = sin3 (2x).
CONTOH 5
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan rantai,
dy
dx
(3(sin 2 x) 2 ) (cos2 x) (2) 6 sin2 2 x cos2 x .
4.6 Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen Asli
Turunan fungsi logaritma dan eksponen natural sebagai berikut:
1
,x 0
x
d
ln x
dx
Cari
CONTOH 1
dy
jika y ln( x 2
dx
dan
d x
e
dx
ex
2 x) .
Penyelesaian
Misal u
maka
x2
du
dx
2x
y ln u
2 x 2 dan
dy
du
1
u
1
x
2
2x
sehingga sesuai aturan rantai diperoleh
CONTOH 2
Aip Saripudin
2x 2
.
x2 2x
dy
dx
dy du
du dx
Cari
dy
jika y e x
dx
2
4x
.
Turunan - 65
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Penyelesaian
Misal u
maka
x2
du
dx
4x
y
2 x 4 dan
eu
dy
du
eu
ex
2
4x
sehingga diperoleh
CONTOH 3
dy
dx
dy du
du dx
Cari
dy
jika y
dx
ex
2
4x
(2 x 4) .
xe x .
Penyelesaian
Misal u
x dan v e x
y uv sehingga
dy
dv
du
u
v
dx
dx
dx
xe x
e x 1 e x ( x 1) .
4.7 Turunan Orde Tinggi
Turunan dari f adalah f’. Jika f’ didiferensialkan lagi, diperoleh f’’. f’ disebut turunan
pertama dan f’’ turunan kedua. Jika didiferensialkan lagi dan lagi, diperoleh turunan
ketiga (f’’’), keempat (f(4)), kelima (f(5)), dan seterusnya. Lambang turunan dari y = f(x)
untuk orde tinggi diberikan pada Tabel 4-1.
Tabel 4-1
Lambang turunan orde tinggi
Turunan
Lambang f’
Lambang y’
Lambang D
Lambang
Leibniz
Pertama
f’(x)
y’
Dx y
dy
dx
Kedua
f’’(x)
y’’
D x2 y
d2y
dx 2
Ketiga
f’’’(x)
y’’’
D x3 y
d3y
dx 3
Keempat
f(4) (x)
y(4)
D x4 y
d4y
dx 4
Aip Saripudin
Turunan - 66
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Kelima
f(5) (x)
y(5)
D x5 y
d5y
dx 5
Keenam
f(6) (x)
y(6)
D x6 y
d6y
dx 6
f(n) (x)
y(n)
D xn y
dny
dx n
Ke-n
CONTOH 1
Cari turunan kelima dari f ( x)
x4
2 x3
5x 2
6x 8 .
Penyelesaian
f ' ( x)
4 x3
6x2
f ' ' ( x) 12 x 2
f ( 4 ) ( x)
10 x 6
f (5)
12 x 10
24
0
f ' ' ' ( x) 24 x 12
CONTOH 2
Cari f’’’(x) jika f ( x)
x 2 ln x , x
0.
Penyelesaian
Gunakan aturan turunan hasil kali maka
f ' ( x)
1
x
x2
2 x ln x x 2 x ln x
f ' ' ( x) 1
2x
1
x
f ' ' ' ( x) 0
2
x
2
x
2 ln x
3 2 ln x
4.8 Pendiferensialan Implisit
Dalam beberapa kasus, y sebagai fungsi x tidak dapat dinyatakan secara eksplisit dalam
bentuk y = f(x), misalnya y = x2. Sebagai contoh, persamaan
y2
3y
x2
tidak dapat ditulis menjadi y = f(x) secara eksplisit Fungsi seperti ini disebut fungsi
implisit, dengan kata lain y merupakan fungsi implisit dari x. Akan tetapi, turunan dari y
terhadap x dapat dicari. Metode pencarian turunan fungsi implisit disebut
pendiferensialan implisit.
Berikut beberapa contoh pendiferensialan implisit.
Aip Saripudin
Turunan - 67
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
CONTOH 1
dy
dari persamaan berikut: y 2
dx
Cari
3y
x2 .
Penyelesaian
Diferensialkan setiap suku di semua ruas terhadap x.
d 2
[y ]
dx
2y
d
[3 y]
dx
dy
dy
3
dx
dx
d 2
[x ]
dx
2x
dy
[2 y 3] 2 x
dx
sehingga diperoleh
CONTOH 2
dy
dx
2x
2y 3
Cari
dy
dari persamaan berikut: y3
dx
2 xy x2
8.
Penyelesaian
Diferensialkan setiap suku di setiap ruas terhadap x,
d 3
d
d 2
[y ]
[2 xy]
[x ]
dx
dx
dx
3y2
dy
dx
3y2
dy
dx
3 y2
2x
2y
d
[8]
dx
d
d
[ x] 2 x
[ y]
dx
dx
2 y 2x
dy
2[ x
dx
2x 0
dy
2x 0
dx
y]
sehingga diperoleh
dy
dx
CONTOH 3
2[ x
3y2
y]
2x
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y3
(0, 2).
2 xy x2
8 di titik
Penyelesaian
Pada CONTOH 2 telah diperoleh bahwa
Aip Saripudin
dy
dari y3
dx
2 xy x2
8 adalah
Turunan - 68
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
2[ x
3y2
dy
dx
y]
2x
Gradien garis singgung pada kurva tersebut di titik (0, 2) adalah
m
dy
dx
x 0, y 2
2(0 2)
3 22 2 0
4
12
1
.
3
Persamaan garis singgungnya di titik (0, 2) adalah
y
m( x x1 )
y1
1
( x 0) 2
3
1
x 2
3
Jadi, garis singgung pada kurva y3
2 xy x2
8 di titik (0, 2) adalah y
1
x 2 atau
3
dapat ditulis sebagai x 3 y 6 0 .
4.9 Laju yang Berkaitan
Jika variabel y bergantung pada waktu t, turunannya, dy/dt, disebut laju perubahan
terhadap waktu. Secara umum, setiap variabel yang bergantung waktu, turunannya
disebut laju.
CONTOH 1
Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-x dan posisinya sebagai
fungsi waktu berubah menurut persamaan: x = t2 + 5t – 10, dengan x
dalam meter dan t dalam sekon. Cari laju perubahan posisi terhadap
waktu (atau dikenal sebagai kecepatan) pada saat t = 2 sekon.
Penyelesaian
Turunan dari posisi terhadap waktu,
v(t )
dx
2t
dt
5
Pada t = 2 sekon,
v(2)
CONTOH 2
2 2 5 9 m/s.
Setiap sisi kubus bertambah dengan laju 3 cm per sekon. Tentukan laju
perubahan volume kubus saat panjang sisinya 12 cm.
Penyelesaian
Misalnya sisi kubus dinyatakan oleh s maka volume kubus V = s3. Laju pertambahan sisi
ds
kubus 3 cm/s, ini berarti
3 cm/s. Laju perubahan volume terhadap waktu,
dt
Aip Saripudin
Turunan - 69
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
dV
dt
d 3
ds
.
[ s ] 3s 2
dt
dt
Dengan demikian, pada s = 12 cm,
dV
dt
CONTOH 3
3 (12) 2 3 1296 cm3/s.
Seorang anak menyedot minuman dari sebuah cangkir berbentuk kerucut
dengan laju 3 cm3/s. Sumbu cangkir vertikal dan tinggi cangkir 10 cm
dengan diameter bagian terbuka 6 cm. Tentukan laju penurunan tinggi
cairan dalam cangkir ketika kedalamannya 5 cm.
Penyelesaian
Kedalaman cairan h dan jari-jari cangkir r
maka volume cangkir (kerucut),
V
3 cm
1 2
r h.
3
r
Dari gambar diperoleh hubungan
r
h
3
10
V
1
3
h
3h
10
r
10 cm
maka
3h
10
2
h
3
h3
100
Laju perubahan volume terhadap waktu,
dV
dt
d 3
h3
dt 100
3
dh
3h 2
100
dt
sehingga laju perubahan kedalaman terhadap waktu,
dh
dt
100 dV
9 h 2 dt
Karena cairan berkurang (disedot) dengan laju 3 cm3/s, ini berarti
dV
dt
3 cm3/s. [tanda negatif menunjukkan berkurang]
Dengan demikian pada h = 5 cm diperoleh
dh
dt
100 dV
9 h 2 dt
100
9 52
Jadi, laju penurunan kedalaman cairan adalah
Aip Saripudin
3
4
cm/s.
3
4
cm tiap sekon.
3
Turunan - 70
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Sepeda motor A bergerak lurus dengan kelajuan konstan 60 km/jam
menuju ke Timur dan melintasi perempatan jalan tepat pada pukul 10.00.
Sepeda motor B bergerak lurus ke Utara dengan kelajuan konstan 80
km/jam dan melintasi perempatan jalan yang sama pada pukul 10.15.
Tentukan laju perubahan jarak kedua motor pada pukul 11.00.
CONTOH 4
Penyelesaian
Misalnya titik O adalah titik yang tepat di perempatan jalan. Pada suatu saat tertentu,
jarak motor A ke O sebut saja x, jarak motor B ke O adalah y, dan jarak A dan B adalah r .
Keadaan ini diilustrasikan pada gambar. Sesuai dengan dalil Phytagoras diperoeh
hubungan
r2
x2
y2 .
Utara
Laju perubahan jarak A dan B (dr/dt) diperoleh
melalui
pendiferensialan
implisit
pada
persamaan di atas sebagai berikut.
d 2
r
dt
2r
dr
dt
d 2
(x
dt
2x
B
r
y
y2 )
O
dr
dt
2y
A
Timur
x
dy
dt
sehingga diperoleh
dr
dt
x dr
r dt
y dy
r dt
atau
dr
dt
x
dr
dy
y
dt
dt
2
x y2
(*)
dx
dy
= 60 km/jam dan
= 80 km/jam. Jarak yang ditempuh motor A selama 1
dt
dt
jam (dari pukul 10.00 s.d. 11.00) adalah
dengan
x
dx
dt
t
60 1 60 km,
sedangkan jarak yang ditempuh motor B selama 45 menit atau ¾ jam (dari pukul 10.15
s.d. 11.00) adalah
y
dy
dt
t
80
3
4
60 km.
Masukkan nilai-nilai di atas pada (*) diperoleh
dr
dt
Aip Saripudin
x
dr
dy
y
dt
dt
2
x y2
Turunan - 71
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
dr
dt
60 60 60 80
60
2
60
60(60 80)
2
70 2 km/jam.
60 2
Jadi, laju perubahan jarak kedua motor pada pukul 11.00 adalah 70 2 km/jam.
4.10 Diferensial dan Hampiran
Misalnya y = f(x) terdiferensialkan pada setiap x. Dalam notasi Leibniz, turunan fungsi
tersebut dituliskan sebagai
dy
dx
f ' ( x)
Sejauh ini, kita belum memberikan makna apa pun pada notasi dy/dx, selain sebagai
lambang turunan yang tak terpisahkan. Pada bagian ini, kita akan memberikan makna
pada dy dan dx.
Dari definisi turunan, untuk fungsi y = f(x) yang terdiferensialkan berlaku
lim
x
0
y
x
f (x
lim
x
x)
x
0
f ( x)
f ' ( x) .
Jika x kecil,
y
x
f (x
x)
x
f ( x)
f ' ( x)
atau
y
f (x
x)
f ( x)
f ' ( x) x .
Karena x = dx, persamaan di atas dapat ditulis
y
f (x
x)
f ( x)
f ' ( x)dx .
Ruas kanan pada persamaan ini didefinisikan sebagai diferensial dari y, dilambangkan
oleh dy, yakni
dy
f ' ( x)dx .
Besaran dx disebut diferensial variabel bebas x dan dy disebut diferensial variabel terikat
y.
Secara grafis, tafsiran diferensial diperlihatkan pada Gambar 4.2. Besaran dy
menyatakan perubahan dalam garis singgung pada P ketika x berubah sebesar x = dx.
Jika x sangat kecil, dy menjadi hampiran yang cukup baik pada y dan mudah untuk
dicari.
Gamba 4.2
Aip Saripudin
Turunan - 72
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
CONTOH 1
Cari dy jika (a) y 2 x , (b) y
x2
3x , (c) y sin x .
Penyelesaian
Untuk mendapatkan diferensialnya, terlebih dahulu cari turunannya lalu kalikan dengan
dx.
(a) dy 2dx
(b) dy (2 x 3)dx
(c) dy cos xdx
CONTOH 2
Gunakan diferensial untuk menghampiri nilai
1,01 .
Penyelesaian
1,01 . Karena itu, ambil fungsi y
Nilai yang akan kita cari adalah
akan mencari/menghampiri nilai f (1,01) . Turunan dari f ( x)
f ( x)
x dan kita
x adalah
1
f ' ( x)
2 x
maka perubahannya dalam y adalah
y
f ' ( x)dx
f (x
x)
atau
f ( x)
f ' ( x) x .
Sekarang, ambil x = 1 dan x = 0,01 maka
f (x
x
1,01
x)
x
f ( x)
1
x
1
f ' ( x) x
2 x
1
2 1
x
0,01
1,01 1 0,005
Jadi,
1,01 1,005 .
Aip Saripudin
Turunan - 73