Teorema: Sifat-sifat Logaritma Asli

  FUNGSI LOGARITMA ASLI … . .

  … . . … . .

  1 … . .

  … . . … . .

  Definisi

  Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln

  1 ,

  (Daerah asalnya adalah .

  ™ Turunan Logaritma Asli ln

  1

  1 ,

  Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan, maka:

  1 ln . , Contoh: Hitunglah 1.

  √ 2. | |

  1 | |

  , ™

  Integral Logaritma Asli Dari contoh 2, mengimplikasikan bahwa:

  1 | |

  , atau lebih umumnya jika 0,

  1 | | ,

  Contoh: 1.

  2.

  3. Teorema : Sifat-sifat Logaritma Asli Jika a dan b bilangan positif dan r bil. rasional, maka (i). ln 1 = 0

  (ii). ln ab = ln a + ln b (iii). ln = ln a – ln b

  r

  (iv). ln a = r ln a Contoh: 1.

  Tentukan turunan dari , 1.

  ™ Pendifferensialan Logaritma

  Menghitung turunan yang melibatkan hasil kali, hasil bagi, pemangkatan suatu fungsi dapat dibantu dgn menerpakan fs. Logaritma asli & sifat2nya. Metode ini disebut dgn Pendifferensialan Logaritma.

  Contoh: Tentukan utk

  /

  ™ Grafik Logaritma Asli

7.2. Fungsi Balikan dan Turunannya

  A B A B

• -1

   f f

• x ^{1 • y 1 • x 1 • y}
1<
• x ^{2 • y 2 • x 2 • y}
2<
• x ^{3 • y 3 • x 3 • y}
3<
• -1

  Misal f fungsi dari himpunan ke himpunan B, adalah f fungsi balikan dari f.

  Contoh 1.

• -1

  Diketahui f(x) = 2x, fungsi balikan dari f yaitu f (x) =

  1 x .

2 Contoh 2.

  2 Diketahui f(x) = x , fungsi balikan dari f yaitu ...

  Kriteria bahwa suatu fungsi memiliki balikan adalah fungsi tersebut harus monoton murni, atau fungsi tersebut pada daerah asalnya berupa fungsi naik atau fungsi turun. Suatu fungsi f dikatakan monoton murni jika f ‘(x) &gt; 0. Pada contoh 1, f(x) = 2x adalah fungsi monoton murni sehingga fungsi f memiliki fungsi

• -1

  balikan. Jika f mempunyai fungsi balikan yaitu f , maka

• -1 f juga memiliki balikan yaitu f.
• -1

  f (f (y)) = y

• -1

  f (f(x)) = x

  Gambar

  1 Gambar

  2

• -1

  Langkah – langkah untuk mencari rumus untuk f (x) yaitu

  1. Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam y

• -1

  2. Gunakan f (y) untuk menamai ekspresi yang dihasilkan dalam y

• -1

  3. Gantikan yang x untuk mendapatkan rumus untuk f (x)

• -1

  1 Contoh 3. Carilah f (x) jika f(x) = − . x −

  3

  1

  y = − ⇔ y(x – 3) = – 1 ⇔ xy – 3y = – 1 ⇔ xy = 3y –

  x −

  3

• -1

  3 y −

  1 3 x

  1 −

  1 ⇔ x = . Diperoleh f (x) = .

  y x

7.3. Fungsi Eksponen Asli

  Definisi Balikan dari fungsi ln disebut fungsi fungsi eksponen asli (exp). x = exp y ⇔ y = ln x

  Gambar Dari definisi di atas diperoleh 1. exp (ln x) = exp (y) = x; x &gt; 0 2. ln (exp y) = ln (x) = y; untuk semua y

  Definisi Huruf e adalah bilangan real positif yang bersifat ln e = 1

  ≈ e 2 , 7182818284 59045 dengan .

  ln e = 1 ln 1 = 0 Dapat diperlihatkan jika r bilangan rasional, exp r identik

  r dengan e . r r

  e = exp (ln e ) = exp (r ln e) = exp r

  x

  Dan jika x bilangan real, maka e = exp x Sifat – Sifat Fungsi Eksponen Asli

  a b a+b

  (i). e . e = e _a

  e _{a b −}

  (ii). = e _b

  e x x Turunan dari fungsi eksponen asli adalah D e = e . x x x

  Bukti: y = e ⇔ ln y = ln e = x ln e ⇔ x = ln y, sehingga D x = D (ln y) ⇔

  x x

x x x

1 dy dy = y 1 = ⇔ = e . Terbukti D e = e . x y dx dx Hal ini dapat dikombinasikan dengan aturan rantai. u u

  Jika u = f(x) dan jika f terdeferensialkan, maka D e = e

  x D u. ₊ x _{x 2 2} e

  Contoh 1. Carilah D ( )

  x

2 Misalkan u = x + 2, maka D u = 2x.

  ₂

• ₊

  x

_{2 + x}

_{2 x}

u u ₂ e e

  Diperoleh D ( ) = D (e ) = e D u = 2x .

  x x x

  Dari setiap rumus turunan selalu terdapat rumus _{e x}

  D e dx = e dx

  pengintegralan yang berpadanan. Diperoleh _{x x x}

  ∫ ∫ _{u u}

e c = e dx , atau dengan u menggantikan x e c = e du .

  ⇔

  ∫ ∫

7.4. Fungsi Eksponen Umum

  p

  Misal r bilangan rasional maka r = , q ≠ 0.

  q r r r ln a

  a = exp (ln a ) = exp ( r ln a) = e

  x x

  (i). Untuk x bilangan real, a = exp (ln a ) = exp (x ln a) =

  x ln a

  e

  x x ln a

  (ii). ln (a ) = ln (e ) = x ln a ln e = x ln a

  Sifat – Sifat Fungsi Eksponen Umum Misal: a &gt; 0, b &gt; 0, x, y, bilangan real

  x y x+y

  (i). a . a = a _x

  a _{x y −} = a (ii). _y a x y xy

  (iii). (a ) = a

  x x y

  (iv). (ab) = a b _x

  a x a ( )

  (v). = _x

  b b a a a–1

  Turunan fungsi pangkat f(x) = x adalah D x = ax ,

  x x x x

  dan turunan fungsi g(x) = a yaitu D a = a ln a

  x x x ln a x ln a x ln a

  Bukti: D (a ) = D (e ) = e D (x ln a) = e ln a

  x x x x

  = a ln a.

  x

  Dan pengintegralan untuk f(x) = a yaitu

• 1

  ⇔ , diperoleh

  D a dx = a ln a dx a c = ln a a dx _x ^{x x x x}

  ∫ ∫ ∫

• 1 _u

  atau dengan u menggantikan x maka

  a dx = a c , a ≠ ^{x x}

  ∫

  ln a _u a

• a dx = c , a

  ≠

  1 . ln a

  ∫

7.5. Fungsi Logaritma Umum

  Definisi

  

a y

  Jika a &gt; 0, a ≠ 1, y = log x ⇔ x = a

  e

  log x = ln x a

  D ( log x) = …

  x a y y

  y = log x ⇔ x = a ⇔ ln x = ln a ⇔ ln x = y ln a ⇔ y =

  ln x

  , sehingga

  ln a a dy

  1

  1

  1

  1 = = . Jadi D ( log x) = + c. x dx ln a x x ln a x ln a

  5

1 Contoh 1. D ( log 25) = + c.

  x 25 ln

5

x x ln x x ln x x ln x

  Contoh 2. D (x ) = D (e ) = e D (x ln x) = e (

  x x x x + ln x). x

7.6. Fungsi Balikan Trigonometri

  Kriteria suatu fungsi y = f(x) mempunyai invers adalah a. merupakan fungsi satu – satu; jika x maka f(x )

  1

  2

  1

  ≠ x ≠ f(x )

  2

  b. tiap garis datar memotong grafik tersebut pada paling banyak 1 titik c. f monoton murni, yaitu fungsi naik pada interval I atau turun pada I d. f ‘(x) &gt; 0 atau f ‘(x) &lt; 0

  Agar suatu fungsi yang tak memiliki balikan dalam daerah asal alaminya, mempunyai suatu balikan (invers), maka daerah asal fungsi (D ) dapat dibatasi (sehingga

  

f

  fungsi tersebut naik atau turun saja), dan range fungsi (R ) dapat dipertahankan seluas mungkin.

  f

• –1 –1
• –1

  Contoh: f(x) = y = sin x ⇔ x = sin y atau f (x) = sin y = arc sin y

• –1

  Jika peran x diganti dengan y, maka grafik dari f (x) indentik dengan grafik f(x), yaitu pencerminan dari grafik f(x) terhadap garis y = x.

  Definisi Untuk memperoleh balikan dari sinus, daerah asal fungsi

• –1

  π π

  dapat dibatasi pada selang [ − , ], sehingga x = sin y

  2

  2 π π − .

  ⇔ y = sin x dan ≤ x ≤

  2

  2 Hal ini juga berlaku pada fungsi – fungsi trigonometri lainnya, fungsi cosinus, tan, sec, cosec, dan cot, dengan selang terbatas yang pastinya juga berbeda, yaitu

• –1

  π (a). x = cos y ⇔ y = cos x dan 0 ≤ x ≤ .

• –1

  π π (b). x = tan y − .

  ⇔ y = tan x dan ≤ x ≤

  2

  2

• –1

  π (c). x = sec y π , x .

  ⇔ y = sec x dan 0 ≤ x ≤ ≠

  2 Contoh:

• –1
• –1

  2 3 π

  1. cos = 4. sin (sin ) =

  2

  2

• –1 –1

  3

  2. arcsin( − ) = 5. cos (cos 0,6) =

  2

• –1
• –1

  3. tan ( −

  

3 ) = 6. sec (2) =

  Empat kesamaan yang berguna

• –1
₂ (i). sin(cos x) = 1 x &m
• –1
₂ (ii). cos(sin x) = 1 x −
• –1

  (iii). sec(tan x) = ²

• 1 x
• –1
₂ (iv). tan(sec x) =

  1 x −

7.7. Fungsi Trigonometri : Turunan

  sin cos x x

  Ingat kembali, tan x = cot x =

  cos x sin x

  1

  1

  sec x = cosec x = ,

  cos sin x x

  turunan dari masing-masing fungsi tersebut dapat dicari, yaitu:

  cos x sin x ( − sin x ) − cos x cos x

  1 Contoh 1. D cot x = D = = − x x _{2 2} sin x sin x sin x 2 = – csc x.

  Dapat diperoleh turunan dari masing – masing fungsi tersebut: D sin x = cos x D cos x = – sin

  x x

  x

  2

  2 D tan x = sec x D cot x = – csc x x

  x

  D sec x = sec x tan x D cosec x =

  x x

  csc x cot x Jika u = f(x), maka D sin u = cos u D (Aturan Rantai).

  x x

  Hal ini berlaku pula pada fungsi – fungsi yang lainnya (cos, tan, dan lain – lain).

  2 Contoh 1. D sin (3x + 4) = … x

  2 Ambil u = 3x + 4, diperoleh D u = 6x x

  2

  2 Jadi D sin (3x + 4) = D

• sin u = cos u D u = cos (3x

  x x x 4) 6x.

  Contoh 2. Carilah turunan fungsi y = cot x sec x

  2 x

  Contoh 3. y = , maka D y = …

  

x

1 − tan x

  Turunan Fungsi Balikan Trigonometri

• –1

  (i). y = arc sin x = sin x ⇔ x = sin y

  dx =

  x = sin y Æ …

  1 dy x y) dx dy ₂ = … Æ = dy dx

  1 x −

• –1 –1

  y = sin x Æ D (sin x) =

  x

  ……………….., –1 &lt; x &lt; 1

• –1

  (ii). y = cos x ⇔ x = cos y

  dx =

  x = cos y Æ …

  dy

  1 y)

• –1

  dy =

  y = cos x Æ …

  dx x

• –1 –1

  y = cos x Æ D (cos x) =

  x

  …………….., –1 &lt; x &lt; 1

• –1 –1 (iii). y = tan x Æ D (tan x) = ……………..

  x

• –1 –1

  (iv). y = sec x Æ D (sec x) = …………….., |x| &gt; 1

  x

  2 Contoh 1. Carilah D arc cos (x ) x

  2

2 Ambil u = x , maka D ( x ) = 2x.

  x

  2 − 1 − 2 x D arc cos (x ) = D arc cos u = D u = . x x x _{2 2}

  1 − x 1 − x

• –1
• x

  x

1 Contoh 2. D tan = …

  Dari sebelumnya, diperoleh:

• –1

  1 dx

  (i). = sin x + c ∫ ²

  1 − x 1 –1 dx

  (ii). = cos x + c ∫

• 1 x
2<
• –1

  1 dx

  (iii). = sec |x| + c ∫ ²

  x x −

  1