RENTE ( RENTETAN MODAL )

11.5. RENTE ( RENTETAN MODAL )

1. Rente Terbatas adalah rente dengan banyaknya angsuran atau Penambahan uang oleh pihak bank untuk tabungan maupun produk bank yang lain menggunakan sistem bunga majemuk yaitu setiap akhir

periode bunganya langsung menjadi modal yang dibungakan lagi atau dikenal dengan bunga berbunga. Didalam sistem bunga majemuk dikenal istilah rente yaitu rentetan

modal yang dibayarkan setiap periode yang tetap. Pembayaran yang menggunakan rente antara lain:

1. Pembayaran barang secara kredit

2. Pembayaran asuransi

3. Tabungan berjangka atau deposito Berdasarkan banyaknya angsuran rente dibedakan menjadi 2, yaitu :

periode terbatas, misal 12 kali angsuran, 24 kali angsuran, atau dengan k kali angsuran dengan k : bilangan asli dan berhingga.

Bab 11: Matematika Keuangan 535

2. Rente Kekal (abadi) adalah rente dengan banyaknya angsuran yang tidak terbatas, misal k kali angsuran dengan k tak hingga. Berdasarkan waktu pembayarannya rente dibedakan menjadi 2, yaitu :

1. Rente Pranumerando adalah suatu rente dengan waktu pembayarannya dilakukan setiap awal periode, misal tanggal 1 setiap bulan, tanggal 1 Januari setiap tahun.

2. Rente Postnumerando adalah suatu rente dengan waktu pembayarannya dilakukan setiap akhir periode, misal tanggal 30

setiap bulan, tanggal 30 Desember setiap tahun.

? Rente Pranumerando

1. Penghitungan Nilai Akhir

Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun, dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai akhir dari angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Angsuran dibayar pada awal periode yaitu tanggal 1 Januari dan nilai akhir dihitung pada akhir tahun ke-n yait u pada tanggal 31 Desember tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut.

Tahun Pertama 1 Januari M(1 + i) 1

Tahun Kedua 1 Januari M(1 + i) 2 Tahun Ketiga 1 Januari M(1 + i) 3

: Tahun ke (n-1) 1 Januari M(1 + i) n-1

Tahun ke n 1 Januari M(1 + i) n +

31 Desember k ∑

M(1 + i)

Jadi Nilai Akhir dari Rente Pranumerando adalah

536 Bab 11: Matematika Keuangan

N a = M 1 i ∑ () +

N a = M () 1 + i

Atau jika dihitung menggunakan deret, didapat Na = M (1 + i) + M (1 + i) +…+ M (1 + i) n merupakan deret

Geometri dengan

a = M (1 + i) dan r = (1 + i)

(1 n + i) + 1 N = M (1 + i)

(1 + i) - 1 (1 n + i) + 1

N = M (1 + i) i

Contoh 11.5.1:

Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp.1.000.000,-. Jika besar bunga 4 % pertahun, maka tentukan nilai akhir rente pada tahun ke 3.

Penyelesaian:

M = Rp.1.000.000,- n=3 i=4%

Bab 11: Matematika Keuangan 537

= k Rp 1 . 000 . 000 , − × ∑

= Rp 1 . 000 . 000 , − × ( 1 . 04 + 1 . 0816 + 1 . 124864 ) = Rp 1 . 000 . 000 , − × ( 3 . 246464 )

= Rp 3 . 246 . 464 , −

2. Penghitungan Nilai Tunai

Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun, dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai tunai dari

angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Angsuran dibayar pada awal periode yaitu tanggal 1 Januari dan nilai tunai dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 1 Januari tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut :

Tahun Pertama 1 Januari M Tahun Kedua 1 Januari M/ (1 + i) Tahun Ketiga 1 Januari M/ (1 + i) 2

: Tahun ke (n-1) 1 Januari M/ (1 + i) n-2

Tahun ke n 1 Januari M/ (1 + i) n-1 + k = n - 1 1

k k = 1 (1 + i) Jadi Nilai Tunai dari Rente Pranumerando adalah

k = 1 () 1 + i

M(1 + ∑

k = 1 () 1 + i

538 Bab 11: Matematika Keuangan

Atau jika dihitung menggunakan deret, didapat suatu deret geometri dengan a = M, dan r = 1 / (1+i), maka :

N t = M () 1 + i 

Contoh 11.5.2:

Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp. 1.000.000,-. Jika besar bunga 4 % pertahun, maka tentukan nilai tunai rente pada tahun ke 3.

Penyelesaian:

M = Rp.1.000.000,- n=3 i=4%

N t = Rp.1.000.0 00,- ( 1 + 0,04 ) 

  1 - 0,88899635 8 

 = Rp.1.040.000 (2,775091033)

= Rp . 1 . 000 . 000 , − × ( 1 , 04 ) ×

= Rp.2.886.094,67

? Rente Postnumerando

1. Penghitungan Nilai Akhir

Tahun Pertama 31 Desember M(1+i) n-1 Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun,

dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai akhir N a dari angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut :

Bab 11: Matematika Keuangan 539

Angsuran dibayar pada akhir periode yaitu tanggal 31 Desember dan nilai akhir dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 31 Desember tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut :

Tahun Kedua 31 Desember M(1+i) n-2 Tahun Ketiga 31 Desember M(1+i) n-3

: Tahun ke (n-1) 31 Desember M(1+i)

Tahun ke n 31 Desember M +

M(1 + i)

Jadi Nilai Akhir dari Rente Pranumerando adalah

N a = M  1 + ∑ () 1 + i

Atau jika dihitung menggunakan deret geometri, didapat M

a = [ () 1 + i + 1 ]

Contoh 11.5.3:

Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp. 4.000.000,- ke bank. Bunga bank 5% pertahun. Pada tahun ke-3, tentukan nilai akhir rente.

Penyelesaian:

M = Rp.4.000.000,- n=3

i = 5%

540 Bab 11: Matematika Keuangan

N a = Rp.4.000.0 00,-  1 + ∑ ( 1 + 0,05 ) 

= Rp.4.000.000,- ( 2,157625) = Rp.8.630.500,-

2. Penghitungan Nilai Tunai

Misalkan dengan modal (M) setiap tahun dalam periode (n) tahun, dengan suku bunga majemuk (i) per tahun. Maka nilai tunai N t dari angsuran itu dapat dicari dengan cara sebagai berikut :

Angsuran dibayar pada awal periode yaitu tanggal 1 Januari dan nilai tunai dihitung pada akhir tahun ke-n yaitu pada tanggal 1 Januari tahun ke-n seperti pada penjelasan berikut:

Tahun Pertama 1 Januari

Tahun Kedua 1 Januari

Tahun Ketiga 1 Januari

Tahun ke (n-1) 1 Januari

n - 1 ()

Tahun ke n 1 Januari

k = 1 () 1 + i

Jadi Nilai Tunai dari Rente Postnumerando adalah

Bab 11: Matematika Keuangan 541

k = 1 () 1 + i

Atau jika dihitung menggunakan deret, didapat :

t = [ () 1 + i ]

Contoh 11.5.4:

Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp. 4.000.000,- ke bank. Bunga bank 5% pertahun. Pada tahun ke 3, tentukan harga tunai rente ?

Penyelesaian:

M = Rp.4.000.000,- n=3

i = 5%

k = 1 () 1 + i

 1 1 1  N 3 = Rp.4.000.0 00,- 

= Rp.4.000.000,- ( 0,952380952++0,907029478+0,863837598)

= Rp.4.000.000,-(2,723248029)=Rp.10.982.991,11

? Rente Kekal Rente kekal atau rente abadi adalah rente dengan banyaknya angsuran tidak terbatas (n = ~). Maka dari hanya nilai tunainya saja yang dapat dihitung, sedangkan nilai akhirnya tidak dapat dihitung jumlahnya.

1. Rente Kekal Pranumerando

542 Bab 11: Matematika Keuangan

Rente kekal pranumerando jika dijabarkan nilai tunai untuk tiap priode merupakan deret geometri tak hingga dengan a = M, dan r =

, maka nilai tunai rente pranumerando kekal adalah :

N t = () 1 + i = + M

Contoh 11.5.5:

Setiap awal tahun disetorkan sejumlah uang ke bank sebanyak Rp.1.000.000,-. Jika besar bunga 5 % pertahun, maka tentukan harga tunai rente kekal pada tahun ke 3.

Penyelesaian:

M = Rp.1.000.000,- n=3 i=5%

N 3 = () 1 + i

Rp.1.000.0 = 00,-

0,05 = Rp.21.000.000,-

2. Rente Kekal Postnumerando

Sama dengan rente kekal pranumerando, rente kekal postnumerando nilai tunainya jika dijabarkan akan berbentuk deret geometri tak hingga dengan :

1 M a=

, sehingga N t = ()

dan r =

() 1 + i

Bab 11: Matematika Keuangan 543

Contoh 11.5.6:

Pada tiap akhir tahun dimasukkan uang sebesar Rp. 1.000.000,- ke bank. Bunga bank 5% pertahun. Pada tahun ke 4, tentukan harga tunai rente kekal.

Penyelesaian:

M = Rp.1.000.000,- n=4

i = 5% Rp.1.000.0 00,-

N 4 = = Rp.20.000. 000,-

0,05 Jadi harga tunai rente kekal adalah Rp. 20.000.000,-.