Rancangan Optimal Sistem Suplai Air Minum Dengan Adanya Ketidakpastian

RANCANGAN OPTIMAL SISTEM SUPLAI AIR MINUM
DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN

TESIS

Oleh

MAKMUR TARIGAN
087021017/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

RANCANGAN OPTIMAL SISTEM SUPLAI AIR MINUM
DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh

MAKMUR TARIGAN
087021017/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: RANCANGAN OPTIMAL SISTEM SUPLAI AIR
MINUM DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
Nama Mahasiswa : Makmur Tarigan
Nomor Pokok
: 087021017
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Tulus. M.Si.)
Ketua

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc.)
Anggota

Ketua Program Studi,

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 17 Pebruari 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 17 Pebruari 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua

:

Prof. Dr. Tulus. M.Si

Anggota

:

1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Dr Saib Suwilo, M.Sc
3. Drs. Open Darnius, M.Sc

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Permasalahan yang terjadi di dunia nyata, ada beberapa diantaranya mengandung
ketidakpastian, membutuhkan pengamatan yang lebih kritis untuk memahaminya
seperti persoalan perancangan suplai air minum. Adakalanya dalam perancangan
suplai air minum dalam skala yang besar atau kompleks, pada kenyataannya secara
umum memiliki korelasi dengan nilai ketidakpastian yang muncul dalam tahapan desain pengembangan perancangan sistem airminum yang akan dicari solusinya. Dalam
tesis ini dibahas persediaan dan permintaan suplai air minum serta infrastruktur dan
perluasan yang dimaksud dan kemudian ditentukan solusi optimalnya dengan menggunakan optimisasi. Teknik pendekatan yang dilakukana adalah dengan optimisasi
Robust. Optimisasi Robust digunakan untuk menyelesaikan perancangan sistem suplai air minum.
Kata kunci : Sistem suplai air , sumber dan persedian air, optimisasi Robust

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Given the natural variability and uncertainties in long term predictions, reability is a
critical factor for water supply systems. However, the large scale of the problem and
the correlated nature of the involved uncertainties result in models that are often in
water supply. In this paper, we consider a municipal water supply system over with
initial infrastructure and possibility of construction and expansion during the periode
of planning or the planning horizon. Correlated uncertainties in water demand and
supply are applied on the form of the robust optimization approach to design a reliable
water supply system. Robust optimization aims to find a solution that remain feasible
under data uncertainly.
Keywords : water supply system , water demand and supply, robust optimization

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Dengan rendah hati penulis ucapkan segala puji dan syukur kehadirat Tuhan
Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
studi Program Magister Matematika pada FMIPA USU. Tesis ini merupakan salah
satu syarat penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA
USU. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya
kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K)
selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis
untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, dan sebagai pembanding tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si sebagai Pembimbing I yang telah banyak memberi
masukan-masukan yang bermanfaat dalam penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc sebagai Pembimbing II yang penuh
kesabaran membimbing dan mengarahkan penulis sehingga tesis ini dapat selesai.

Bapak Drs. Open Darnius, M.Sc sebagai Pembanding yang juga banyak memberikan masukan dan arahan sehingga sempurnanya tesis ini.
Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah
membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.
Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
iii
Universitas Sumatera Utara

FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti pendidikan.
Tak lupa rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika SPs USU tahun
2008. Khususnya rekan-rekan dari Politeknik Negeri Medan dan Jurusan Matematika
FMIPA USU antara lain Bapak Ardianta, Bapak Benar Surbakti, Bapak Satriawan Taruna, Bapak Baihotma Sitompul, Bapak Gim Tarigan, Bapak
Djakaria Sebayang, Ibu Rusmini Dewi, dan Ibu Sinek Malem Br. Pinem,
semoga persahabatan kita tak lekang oleh waktu.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada Istri tercinta
dan tersayang Elisabet Br Simanjorang dan keluarga besar teristimewa untuk
anak-anakku tercinta dan tersayang Ema Sepvina Tarigan / Rony J Saragih
(menantu), Agripa Apriady Tarigan, Wenny Lydia Tarigan, dan cucu tersayang Yosefa Saragih. Kiranya Allah Bapa di Surga selalu memberkati kita semua.
Akhir kata penulis ucapkan, kiranya kekurangan yang ada pada penulisan tesis
ini dapat disempurnakan bagi pihak yang memerlukan karena penulis sebagai manusia
yang tidak sempurna memiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis ini seperti kata

pepatah tak ada gading yang tak retak.
Medan, 17 Pebruari 2011
Penulis,

Makmur Tarigan

iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kabanjahe pada tangga 7 Maret 1958, sebagai anak ke-2
(dua) dari 2 (dua) bersaudara dari orang tua J. Tarigan dan M. br Ginting. Penulis
menamatkan Sekolah Dasar (SD), SD Sinaman lulus tahun 1970. Sekolah Menengah Pertama (SMP), SMP Masehi Kabanjahe lulus tahun 1973. Sekolah Menengah
Atas (SMA), SMA Negeri Kabanjahe lulus tahun1976.Pada tahun 1977 penulis melanjutkan pendidikan Sarjana di Universitas Sumatera Utara pada Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika dan lulus pada tahun 1985. Dari
tahun 1986 hingga sekarang penulis dipercaya sebagai salah satu staf Pengajar pada
Politeknik Negeri Medan. Tahun 2008 penulis berkesempatan untuk melanjutkan Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara Medan.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

4

1.4 Kontribusi Penelitian

4

1.5 Metodologi Penelitian

4

BAB 2 PEMROGRAMAN STOKASTIK

5

2.1 Program Stokastik Sebagai Suatu Ketidakpastian

5

2.2 Model Stokastik Dua Tahap Dan Penyelesaianya

7

2.3 Formulasi Deterministik Ekivalen

8

2.4 Proses Formulasi

8

BAB 3 MODEL SUPLAI AIR MINUM

10

3.1 Perancangan Model

10

3.2 Model Optimisasi

11

3.3 Optimisasi Robust

12

BAB 4 RANCANGAN SUPLAI AIR MINUM

17

4.1 Sistem Suplai Air Minum

17
vi
Universitas Sumatera Utara

4.2 Fungsi Objektif Robust

17

4.3 Batasan Keputusan

22

BAB 5 NILAI KETIDAKPASTIAN SUPLAY AIR MINUM
5.1 Korelasi Model dengan Data Ketidakpastian

24
24

BAB 6 KESIMPULAN

28

DAFTAR PUSTAKA

29

vii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Permasalahan yang terjadi di dunia nyata, ada beberapa diantaranya mengandung
ketidakpastian, membutuhkan pengamatan yang lebih kritis untuk memahaminya
seperti persoalan perancangan suplai air minum. Adakalanya dalam perancangan
suplai air minum dalam skala yang besar atau kompleks, pada kenyataannya secara
umum memiliki korelasi dengan nilai ketidakpastian yang muncul dalam tahapan desain pengembangan perancangan sistem airminum yang akan dicari solusinya. Dalam
tesis ini dibahas persediaan dan permintaan suplai air minum serta infrastruktur dan
perluasan yang dimaksud dan kemudian ditentukan solusi optimalnya dengan menggunakan optimisasi. Teknik pendekatan yang dilakukana adalah dengan optimisasi
Robust. Optimisasi Robust digunakan untuk menyelesaikan perancangan sistem suplai air minum.
Kata kunci : Sistem suplai air , sumber dan persedian air, optimisasi Robust

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Given the natural variability and uncertainties in long term predictions, reability is a
critical factor for water supply systems. However, the large scale of the problem and
the correlated nature of the involved uncertainties result in models that are often in
water supply. In this paper, we consider a municipal water supply system over with
initial infrastructure and possibility of construction and expansion during the periode
of planning or the planning horizon. Correlated uncertainties in water demand and
supply are applied on the form of the robust optimization approach to design a reliable
water supply system. Robust optimization aims to find a solution that remain feasible
under data uncertainly.
Keywords : water supply system , water demand and supply, robust optimization

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Sistem suplai air minum melibatkan beberapa sistem yang terkait seperti sumber
air serta tujuan kemana suplai air minum tersebut akan dialirkan. Model rancangan
suplai air minum dapat berlaku pada sistem pertanian, industri serta perdagangan.
Komponen dari sistem suplai air minum adalah bagiamana mengoptimalkan sistem
saluran air minum yang dimaksud dengan kualitas yang baik serta teknik mendistribusikan sistem suplai air dengan berbagai m ditentukan oleh sejauh mana kebutuhan dari rancangan suplai air minum yang dimaksud serta bagaimana kebutuhan
dari rancangan yang dibuat. Perancangan sistem suplai air minum tentunya membutuhkan keputusan yang tepat dalam hal:
a. Ukuran pipa sehubungan dengan debit air
b. Kebutuhan air oleh pelanggan
c. Jarak sumber air ke lokasi pelanggan
d. Aliran air yang dituju
e. Efesiensi penggunaan pipa dazn besarnya debit air
Beberapa penelitian tentang sistem suplai air minum (Cai, 2008; Chung, 2008;
Makropolous, 2008 dan Mitchell, 2008) menyatakan bahwa sistem suplai air minum
merupakan sebuah sistem infrastruktur yang mengumpulkan sumber-sumber air dari
tempat tertentu untuk digunakan sebagai suatu kebutuhan. Desain suplai air minum
memuat kapasitas serta alternatif komponen yang digunakan untuk menyuplai air
minum sesuai dengan populasi kebutuhan air minum yang diinginkan oleh pengguna.
Perancangan sistem suplai air minum dapat merupakan sebuah model deterministik yang berdasarkan pada kondisi pemakai serta tingkat kepuasan pangguna tanpa
memperhitungkan aspek tingginya biaya perancangan sistem suplai air minum serta
1
Universitas Sumatera Utara

2
kendala-kendala yang ditemukan dalam perancangan sistem suplai air minum yang
dimaksud (Watkins dan McKinney, 1997).
Proses mengoptimalkan sistem suplai air minum melalui jaringan bisa bermula
pada lebih dari satu simpul dan berakhir lebih dari satu simpul meskipun masalah aliran maksimum memperbolehkan hanya satu sumber dan satu sasaran. Sebagai contoh
rancangan optimal sistem air minum biasanya dimulai dari satu sumber dan berakhir
pada banyak jaringan pipa. Perumusan aliran air minum diupayakan mengoptimalkan
masalah aliran agar efisien dan tepat sasaran. Perumusan ulang melibatkan pengembangan jaringan yang asli dengan memasukkan sumber dummy, sasaran dummy dan
beberapa busur baru. Sumber dummy digunakan sebagai sumber semua aliran, yang
pada kenyataannya berasal dari simpul lain dimana kapasitas busur sama dengan
aliran maksimum.
Proses stokastik banyak digunakan untuk memodelkan evolusi suatu sistem
yang memuat suatu ketidakpastian atau sesuatu yang sulit diduga. Proses stokastik
merupakan suatu barisan kejadian yang memenuhi hukum - hukum peluang. Beberapa model optimalisasi suplai air minum merupakan penerapan bidang optimalisasi
yang berhubungan dengan ketidakpastian. Pergerakan yang tidak diduga tersebut
dapat dinyatakan sebagai sebuah proses stokastik. Secara formal proses stokastik
X = x(t); tεT didefinisikan sebagai sebuah barisan peubah acak, yaitu untuk setiap
t dari T mempunyai peubah acak X(t) , dimana t disebut indeks atau parameter
”waktu”. Semua kemungkinan harga yang terdapat pada variabel acak disebut ruang
status ( state space ). Ruang status disebut diskrit jika terbatas disebut kontiniu jika
memuat interval sepanjang garis bilangan riil. Dalam menentukan model stokastik
suplai air minum maka pergerakan variabelnya mengikuti proses stokastik yang kontiniu berdasarkan waktu atau periode tertentu.
Misalkan T adalah periode waktu dari stokastik dan T = {0, t1 , t2, . . . , tn = T } ,

dimana tn adalah n∆t merupakan pertambahan nilai proses periode dalam stokastik,
kejadian pada setiap interval waktu (tn , tn+1 ) ditunjukkan variabel acak tn+1 yaitu

pertambahan peluang kemungkinan adanya nilai ketidakpastian. Kumpulan kejadian
εt1, εt2, εt3, . . . , εtn adalah kejadian yang tak terduga dengan asumsi bahwan εtn+1
mempunyai rata-rata nol. Suatu proses stokastik X = (Xt )tεT menyatakan biaya
perancangan suplai air minum, sumber air atau variabel lainnya, dan didefenisiskan

Universitas Sumatera Utara

3
xo sebagai nilai awal. Perubahan X dapat ditulis dengan:
Xtn + 1 = µtn ∆t + σtnσtn εtn+1
dimana µ = (µt )tεT : σ

= (σn tεT danEtn [Xtn+1 ]
= µtn ∆t; Vartn [Xtn+1 ]
2
= σn+1
Var(εtn+1 )

Proses stokastik dapat juga ditulis sebagai z = (zt)tεT dengan memisalkan
z0 = 0 dan ztn = εt1 + εt2 + εt3 + . . . + εtn diperoleh εtn−1 = ztn−1 − ztn = εztn+1
sehingga dapat disederhanakan menjadi :

∆xtn+1 = µtn ∆t + µtn ∆ztn+1
Perubahan X dalam proses stokastik dengan waktu kontinu dapat ditulis :
dxt = µtdt + σtdzt
Pendekatan model ketidakpastian untuk suplai air minum dapat dilakukan dengan proses Stokastik, jika sebuah variabel x(t) dimana t adalah paramerter dari
T, maka x(t) adalah sebuah proses stokastik yang dapat ditulis {x(t), tεT }. Sebuah
proses Stokastik {x(t), tεT } dapat dikembangkan dengan memasukkan sebuah ruang

sampel Ω sehingga model proses Stokastik menjadi {x(t, w), :

tεT, wεω}

Dimana t dan w adalah variabel random yang dapat menentukan jenis fungsi
berdasarkan rentang waktu tertentu. Pendekatan Stokastik untuk rangangan optimal sistem suplai air minum dapat dilakukan dalam rentang waktu t1 , t2, . . . , tn yang
terdiri dari n elemen dengan proses Stokastik.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah Rancangan optimal sistem suplai air minum dengan adanya ketidakpastian adalah bagaimana mengoptimalkan sistem aliran air minum yang berasal dari
satu sumber yang akan dialirkan ke tujuan tertentu. Dengan adanya ketidakpastian
aliran air minum membutuhkan keputusan yang tepat tentang penggunaan : ukuran,
sumber air, lokasi, kapasitas pipa, biaya perancangan yang keseluruhannya memuat
ketidakpastian.

Universitas Sumatera Utara

4
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan suatu model optimisasi aliran air minum dengan meminimumkan biaya, memperpendek lintasan pipa
ke tujuan aliran yang diinginkan.
1.4 Kontribusi Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat pada masalah yang berhubungan dengan optimalisasi aliran maksimum terutama sistem suplai air minum
yang memiliki nilai ketidakpastian aliran. Penelitian ini akan meningkatkan efisiensi
serta optimalisasi tujuan aliran dengan satu sumber menuju sasaran tertentu.
1.5 Metodologi Penelitian
Penelitian ini bersifat studi literatur dan dilakukan dengan mengumpulkan informasi dari beberapa studi jurnal. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah
sebagai beirkut :
1. Menjabarkan masalah yang berhubungan dengan optimalisasi.
2. Menjelaskan beberapa model tentang penerapan suplai aliran air minum.
3. Menjelaskan definisi tentang ketidakpastian yang berhubungan dengan suplai
air minum.
4. Menentukan model rancangan sistem suplai air minum dengan adanya ketidakpastian.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
PEMROGRAMAN STOKASTIK

2.1 Program Stokastik Sebagai Suatu Ketidakpastian
Program stokastik adalah program matematika dimana semua data yang tergabung kedalam tujuan atau batasan berbentuk ketidakpastian [Holmes,.1990]. Ketidakpastian ini biasanya dicarikan dengan distribusi probability pada parameter. Walaupun ketidakpastian terdefenisi secara tepat, namun dalam praktek harus disusun
secara terperinci dengan beberapa skenario sebagai akibat yang mungkin dari data,
dalam spesifikasi dan ketepatan distribusi gabungan peluang.
Ketidakpastian dapat ditandai dengan distribusi peluang untuk kejadian acak.
Pada umumnya, perkiraan batasan diskrit distribusi peluang diberlakukan untuk
masalah tractable. Tiap-tiap kejadian acak atau kombinasi beberapa kejadian acak
yang tercakup dalam pembuatan model suatu skenario, dinotasikan w.

Dimana

masing-masing skenario yang mempunyai suatu kemungkinan tertentu untuk terjadi,
dinotaasikan pw. karena hanya salah satu dari skenario yang terjadi, maka peluang
skenario harus menuju. Untuk mengambil tiap-tiap skenario ke dalam pertimbangan
maka masalah linier stokastik perlu dirumuskan.
Pada program stokastik, ide recourse dapat tercakup pada sasaran dengan meminimumkan biaya untuk keputusan yang pertama dan konsekwensi biaya ekspektasi untuk keputusan dengan skenario berbeda. Dengan vektor x untuk pembuatan
keputusan pertama dan y pembuat perlakuan untuk skenario tertentu,maka masalah
[Holmes, 2005] untuk hal demekian dinyatakan dengan :
Min cx + ew h(x, w)
Kendala Ax = b, x ≥ 0
Dimana (x,w) = min g w y
KendalaT W y = Dw + f W

(2.1)

5
Universitas Sumatera Utara

6
Dari masalah stokasitik yang dinyatakan di atas dapat diperinci sebagai berikut.
Program linier meminimumkan biaya keputusan pertama, cx, dan biaya ekspetasi
untuk konsekwensi, biaya recourse h(x, w). biaya recourse tergantung pada keputusan
x dan bervariasi untuk masing-masing skenario. Kemudian program linier determinitk
biaya recourse dengan temuan suatu tindakan optimal y untuk bereaksi terhadap hasil
kejadian acak tertentu. Untuk seperti itu,ada suatu tindakan yang berbeda untuk
bereaksi terhadap hasil kejadian acak tertentu. Untuk seperti itu,ada suatu tindakan
yang berbeda y untuk masing-masing skenario.
Perumusan untuk masalah yang mempunyai keputusan x menjadi tidak terikat
pada hasil kejadian acak. Ini menunjukkan arti bahwa keputusan tidaklah didasarkan
pada keadaan yang akan datang, dengan implementasi keputusan yang riil. Ini disebut property nonanticipativas. Jika skenario suatu masalah berkembang ke dalam
skenario berbeda didalam periode waktu berurutan, maka batasan yang lebih rumit
mungkin diperlukan untuk model yang bercabang. Namun untuk hal ini percabangan tidaklah dimanfaatkan dalam memecahkan permasalahan, dan nonanticipativas
dijamin tanpa batasan tambahan.
Masalah skokastik dapat dimodelkan dalam suatu bentuk format deterministik
lebih tradisional. Nilai yang diharapkan dapat dihitung dari peluang pw dan suatu
variable berbeda yw dapat diperkenalkan dengan tegas untuk masing-masing skenario.
Perumusanya [Holmes, 2005] dinyatakan dengan:
Min cx + Σpw g w y w
Kendala Ax = b
T W Y W = DW
X, Y W ≤ 0

(2.2)

Beberapa aplikasi program stokastik antara lain perencanaan produksi, skedulling, pembuatan rute, pengalokasian, ekspansi kapasitas, investasi energi, control dan
manajemen lingkungan, management air, pertamina, financial dan lain -lain [Sahanidis, 2004].

Universitas Sumatera Utara

7
2.2 Model Stokastik Dua Tahap Dan Penyelesaianya
Model stokastik yang diuraikan pada bagian ini adalah model recourse, yaitu
penggabungan antara model antisifatif dan model adaptif [Mawengkang,H.et.al,2006].
Persoalan stokastik dua tahap dengan rekursif dapat ditulis sebagai
Min f(x) + E[Q(X, W )]
Kendala Ax = b
X ∈ RM 0

(2.3)

X adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah
acak teramati dan Q(x,w) merupakan nilai optimalnya, untuk sembarang Ω,dari program tak linier :
Min ε(y, w)
Kendala W (w)y = h(w) − T (w)x
X ∈ RM 1

(2.4)

Dengan y keputusan adafitif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vector acak
tahap pertama ε(y, w)n merupakan fungsi biaya tahap kedua dan {T (w), W (w), h(w) | wεΩ}

adalah parameter model dengan dimensi tertentu. Parameter - parameter ini merupakan fungsi dari vektor acak w dank arena itu merupakan parameter acak. T adalah

materiks teknologi yang mengandung koefisien teknologi yang mengubah keputusan
tahap pertama x menjadi sumber daya untuk persoalan tahap kedua. W adalah matriks recourse dan h vektor sumber daya tahap kedua. Secara umum model recourse
dua tahap dapat diformulasikan sebagai.
Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang ekivalen
sehingga mudah diselesaikan.

Universitas Sumatera Utara

8
2.3 Formulasi Deterministik Ekivalen
Pandang model program stokastik linier berikut
Min g0 (x, ξ)
Kendala gi (x, ξ) ≤ 0, i = 1, . . . , m,
xǫXcRn

(2.5)

dengan ξ˜ vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ ⊂ Rk . Lebih tepat lagi,

diandaikan bahwa keluarga (family) F dari ”kejadian”, yaitu himpunan bagian dari

Ξ , dan sebaran peluang P pada F diketahui. Jadi untuk setiap himpunan bagian
A ⊂ Ξ yang merupakan kejadian-kejadian, yaitu A ∈ F , peluang P (A) diketahui.
Selanjutnya, diandaikan bahwa fungsi gi (xi ) : Ξ → R ∀x, i merupakan peubah acak

dan sebaran peluang P adalah bebas.

Namun, problema diatas tidak ”well defined” karena pengertian ”min” dan juga
kendala tidak jelas, jika yang diperhitungkan adalah nilai keputusan x sebelum menge˜ Karena itu revisi terhadap proses pemodelan perlu dilakukan,
tahui realisasi dari ξ.
yang akan menghasilkan model deterministik ekivalen untuk model diatas
2.4 Proses Formulasi
Pembentukan model analogi terhadap program stokastik linier dengan recourse,
untuk problema (2.5) dilakukan dengan cara berikut. Ambil

gi+ (x, ξ) =


0

g (x, ξ)
i

jika qi(x, ξ) ≤ 0,

(2.6)

selainnya,

kendala ke i dari (2.5) dilanggar jika dan hanya jika gi+ (x, ξ) > 0 untuk suatu
keputusan x dan realisasi ξ dari ξ˜ . Di sini dapat diberikan untuk setiap kendala
suatu recourse atau aktivitas tahap-kedua yi (ξ) ,setelah mengamati realisasi ξ , dipilih
sehingga mengantisipasi pelanggaran kendala - jika ada - dengan memenuhi gi (x, ξ) −

yi (ξ) ≤ o . Usaha tambahan ini diandaikan mengakibatkan penambahan biaya atau

Universitas Sumatera Utara

9
penalti qi per unit, jadi biaya tambahan ini (disebut fungsi recourse) berjumlah
( m
)
X
Q(x, ξ) =min
qi yi(ξ) | yi(ξ) ≥ gi+ (x, ξ), = 1, . . . , m
(2.7)
x
i=1

Yang menghasilkan biaya total - tahap pertama dan biaya recourse

f0 (x, ξ) = g0 (x, ξ) + Q(x, ξ)

(2.8)

selain (2.7), dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum dengan
suatu recourse vektor y(ξ) ∈ Y ⊂ Ψn , (Y himpunan polyhedral, seperti {y | y ≥ 0}),
suatu sembarang fixed m × n
¯ matriks W ( matriks recourse ) dan vektor unit biaya
q ∈ Ψn , menghasilkan untuk (2.6) fungsi recourse.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
MODEL SUPLAI AIR MINUM

3.1 Perancangan Model
Kompleksitas dari persoalan sistem suplai air minum dan hubungannya dengan
ketidakpastian membuat perusahaan korporat kembali memperhitungkan penggunaan
biaya yang akan digunakan terhadap perancangan sebuah sistem air minum. Metode
pendekatan dengan optimisasi stokastik sangat tepat digunakan dalam perancangan
optimal sistem suplai air minum terutama menyangkut persoalan desain dan pengoperasiannya.
Kebanyakan persoalan perancangan air minum diselesaikan dengan menggunakan tahap ganda atau multi state linier atau non linier stokastik programming
yang berasal dari sumber air tertentu. Tujuan utama dari persoalan ini adalah untuk meminimalisasi ekspektasi dari total biaya yang digunakan dalam sistem suplai
air minum, dengan merancang sebaik mungkin sistem suplai air minum yang pendek
tetapi akurat serta memperhitungkan kapasitas air (Jenkins dan Lund, 2000)
Masalah suplai air minum dapat dirumuskan dengan pemrograman linear yang
menggunakan metode simpleks. Beberapa metode yang sudah dicoba dalam merumuskan masalah supali air minum secara optimal adalah dengan menggunakan algoritma augmenting path. Algoritma augmenting path didasarkan pada konsep intuisif
yaitu jaringan residual dan augmenting path.
Augmenting path adalah lintasan terarah dari sumber kesasaran pada jaringan
residual dimana setiap busur pada lintasan ini mempunyai kapasitas residual yang
sangat positif. Jumlah minimum kapasitas residual ini disebut residual augmenting
path karena kapasitas tersebut menunjukkan jumlah aliran yang dapat ditambah secara layak keseluruh jaringan. Algoritma augmenting path memberikan kesempatan
untuk menambah aliran pada jaringan yang asli.
Algoritma augmenting path secara berulang-ulang memilih beberapa augmenting path dan menambah aliran sebesar kapasitas residualnya pada jalur yang berada
dijaringan asli. Proses ini berlanjut sampai tidak ada lagi augmenting path sehingga
10
Universitas Sumatera Utara

11
aliran dari sumber kesasaran tidak dapat ditingkatkan lebih lanjut. Kunci untuk
mamastikan bahwa solusi akhir adalah solusi optimal yaitu terdapat pakta bahwa
augmenting path bisa membatalkan aliran pada jaringan asli yang telah ditugaskan
sebelumnya sehingga pemilihan jalur secara sembarangan untuk penugasan suplai
aliran tidak berpengaruh terhadap kombinasi penugasan aliran yang optimal.
Istilah solusi yang berarti jawaban akhir dari suatu permasalahan , tanpa menghiraukan apakah solusi tersebut merupakan pilihan yang diinginkan maupun yang dibolehkan. Tipe solusi yang berbeda akan diidentifikasi dengan menggunakan sifat
yang tepat. Solusi layak dapat diartikan sebagai sebuah solusi dimana semua kendala
yang ada terpenuhi. Solusi tak layak adalah solusi dimana sedikitnya satu kendala
tidak terpenuhi atau dengan kata lain dilanggar. Daerah layak adalah kumpulan semua solusi layak, sehingga solusi optimal dapat didefensikan sebagai solusi layak yang
memiliki fungsi tujuan terbaik.
3.2 Model Optimisasi
Masalah aliran biaya minimum memegang peranan penting dalam persoalan
optimalisasi jaringan. Hal tersebut berkaitan dengan kemampuan masalah ini untuk
merangkul kelas aplikasi yang besar dan juga karena masalah ini bias diselesaikan
dengan sangat efisien. Seperti halnya masalah aliran maksimum, masalah ini berhubungan dengan aliran yang melalui jaringan dengan kapasitas busur yang terbatas.
Seperti masalah lintasan terpendek, masalah ini memperhatikan biaya atau jarak
melalui busur. Masalah aliran air minum dengan adanya ketidakpastian tentu berhubungan dengan sumber yang mungkin lebih dari satu simpul dan tujuan yang lebih
dari satu simpul pada satu aliran, yang sekali lagi berkaitan dengan biaya. Pada
kenyataannya, permasalahan yang berhubungan dengan biaya air minum tentunya
berhubungan dengan optimalisasi yang meminimumkan biaya. Alasan masalah biaya air minum dapat diselesaikan dengan sangat efisien adalah kemampuannya untuk
dirumuskan sebagai masalah pemrograman linier sehingga dapat diselesaikan dengan
metode simpleks efisien yang disebut dengan metode simpleks jaringan.
Aliran air minum bisa lebih dari satu simpul dan berakhir lebih dari satu simpul lainnya meskipun masalah aliran maksimum memperbolehkan hanya satu sumber
dan satu sasaran. Seperti permasalahan suplai air mium merupakan permasalahan

Universitas Sumatera Utara

12
yang memiliki satu sumber dan banyak pelanggan sehingga diupayakan distribusi
jaringan yang minimum sehingga mempermurah biaya operasional. Masalah suplai
air minum melibatkan pengembangan jaringan yang asli dengan memasukkan sumber
dummy dan sasaran dummy dan beebrapa busur baru. Sumber d Ummy diperlukan
sebagai asal semua lairan, yang apad kenyataannya berasal dari simpul lain. Untuk
setiap simpul lainya tersebut, sebuah busur baru dimasukkan yang mengarah dari
sumber dummy kesimpul akhir, dimana kapasitas busur sama dengan aliran maksimum yang pada kenyataannya dapat berasal dari simpul dummy tersebut. Sasaran
dummy diperlakukan sebagai simpul yang menyerap semua aliran, yang pada kenyataannya berakhir pada simpul ini. Oleh karena itu semua simpul pada jaringan asli
pada akhirnya akan berubah menjadi sebuah simpul pengiriman. Jaringan suplai air
minum yang dikembangkan mempeunyai satu sumber tunggal yang diperlukan dan
sasaran tunggal sehingga sesuai dengan masalah aliran maksimum.
3.3 Optimisasi Robust
Model deterministik matematika yang berhubungan dengan input data yang
memiliki nilai ketidakpastian dan berhubungan dengan perancangan masa depan
dapat diukur dengan menggunakan model Robust sebagai parameter yang dipakai.
Model Robust yang dimaksud tentunya memiliki data ketidakpastian yang terukur
dan merupakan konveks set yaitu :
Maksimum cx

Kendala

n
X
j=1

˜
A.jxj
≤ b, ∀A.j ∈ Kj, j = 1 . . . , n,

x ≥ 0, ∈ j,

(3.1)

keterangan :
A˜j

= kolom ke - j dari matriks kendala

A

= matriks kendala

Kj = kolom ke - j dari matriks ketidakpastian K
n

= jumlah kolom keseluruhan

Xj = desain kapasitas aliran pada kolom ke - j.

Universitas Sumatera Utara

13
Kemudian nilai ketidakpastian dari persoalan yang muncul dapat diukur dengan
menggunakan model acak dengan model:

¯ ij + η˜ij ε¯
aij + η˜ij a
ˆij
a
˜ij = a

(3.2)

keterangan:
˜aij

= nilai rata-rata ketidakpastian

η˜ij

= kendala ketidakpastian

˜aij

= nilai nominal ketidakpastian

Dengan menembahkan variabel y dan z (Ben-Tai dan Nemirovski, 2000)diperoleh model selanjutnya:
maksimumkan cx
kendala

P

¯aij xj +

j

P

a
ˆij yij + Qi

j=Ji

rP

j∈Ji

a
ˆ2ij Zij2 ≤ bi , ∀i,

−yij ≤ xj − zij ≤ yij , ∀i, j ∈ Ji

(3.3)

1≤x≤u
y≤0
keterangan:
˜aij

= nilai nominal ketidakpastian

xj

= desain kapasitas aliran pada kolom ke - j

Qi

= penyaluran rata-rata aliran air pada baris ke - i

Zij = kendala dalam penyaluran aliran air
bi

= kendala keseluruhan

Universitas Sumatera Utara

14
Model stokastik optimisasinya yaitu dengan memaksimumkan nilai cx:
maksimumkan cx

kendala

n
X
j=1

a
˜ij xj + ≤ bi, ∀i, j ∈ Ji

(3.4)

sehingga diperoleh model robust adalah:
maksimumkan cx
kendala

P

¯aij xj +

j

(

X

j∈Si

max

{Si U {ti}|Si ⊆Ji ,|Si |−[Ti ],t∈Ji\Si }

a
ˆij yi (Γi − [Γi ]ˆ
ait)

)

≤ bi , ∀i

(3.5)

−yi ≤ xj ≤ yi, ∀j ∈ Ji
1≤x≤u
y≤0
keterangan :
˜aij

= nilai nominal ketidakpastian

xj

= desain kapasitas aliran pada kolom ke j

bi

= kendala keseluruhan

Beberapa faktor ketidaksamaan dapat ditentukan dengan mensubsitusikannya
kedalam model robust yang diperoleh menjadi:

a
˜ij = a
¯ ij +

X

k∈Ki

η˜ij g¯kj ∀j ∈ J,

(3.6)

Universitas Sumatera Utara

15
keterangan :
˜aij

= nilai rata-rata ketidakpastian

η˜ij

= kendala ketidakpastian pada baris ke-i kolom ke-j

g¯ij

= debet aliran air pada baris ke-k kolom ke-j

Model Robust yang memuat nilai ketidakpastian dengan beberapa variabel lainnya, dapat disempurnakan dengan mensubstitusi seluruh koefisien menjadi : maksimumkan cx
kendala

P

¯aij xj +

j

(

max
{Si U {ti}|Si ⊆Ki ,|Si |=⌊Γi ⌋,ti ∈Ki\Si }

)
X
X X
|
gkj xj | +(Γi − ⌊Γi ⌋) |
gtj xj | ≤ bi , ∀i

k∈Si

j=J

(3.7)

j=Ji

1≤x≤u
eterangan :
˜aij

= nilai rata-rata ketidakpastian

xj

= desain kapasitas aliran pada kolom ke-j

bi

= kendala keseluruhan

B

= total nilai peluang ketidakpastian

Ti

= korespondensi peluang ketidakpastian pada baris ke-i.

Nilai peluang dari robust ditentukan dengan model:

Pr

X
j

a
˜ij x∗j > bi

!

≤ B(n, Γi ),

(3.8)

dengan
B(n, Γi ) ≤ (1 − µ)C(n, ⌊v⌋) +

P

C(n, I)

t=⌊v⌋+1

Universitas Sumatera Utara

16
dimanan = |Ki |, v =
C(n, I) =

(Γi+n)
,µ
2






 √1g

i

q

= v− | v | dan
1
if
2n
n
(n−1)

1 = 0 or l = n

n
exp(n log( 2(n−1))
+ Ilog( n−1
))
I

Untuk menghitung nilai Γi, tingkat probabilitas yang diinginkan dalam persamaan (3.8) dan B(n, Γi) dispesifikasikan untuk masing-masing dari i batasan ketidakpastian. Masing-masing batasan ketidakpastian dianggap saling bebas untuk menentukan Γi-nya masing-masing.

Dengan himpunan Γi, penyelesaian optimal untuk

tingkat probabilitas yang diinginkan ditentukan dengan menyelesaikan masalah dalam
persamaan (3.5) atau persamaan (3.7).

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
RANCANGAN SUPLAI AIR MINUM

4.1 Sistem Suplai Air Minum
Model Optimisasi Robust menggunakan aplikasi yang realistis untuk perancangan jaringan suplai air minum dengan menggunakan sistem yang dipakai secara
umum dengan metode menggunakan skema aliran berupa pipa yang melibatkan permukaan dari sistem suplai air minum, sumber air minum serta penggunaan sistem
jaringan air minum yang akan dipakai atau luas lahan yang dapat digunakan sebagai
aliran air minum.
Pada beberapa daerah aliran yang normal sebenarnya dapat dirancang dengan
mudah tetapi adakalanya dalam pengembangan sistem aliran menggandung unsur
ketidakpastian seperti sumber air dan arah tujuan kemana aliran air akan ditentukan, tingkat efisiensi aliran pipa yang digunakan, simpul-simpul bantuan yang akan
digunakan dan batas - batas aliran yang dapat dilalui.
4.2 Fungsi Objektif Robust
Perancangan model aliran air minum dapat ditentukan dengan model robust dengan cara meminimumkan aliran - aliran serta prasarana yang dimiliki agar rancangan
menjadi optimal :
minimumkan z = f1(kijt ) + f2 (dtij + f3 (Xijt , Hijt ) + f4(Wit )
+f5 (qij0 , Wi0) + f6 (qij0 )

(4.1)

keterangan :
f1

= total penggunaan pipa untuk aliran air

kijt

= kebutuhan pipa untuk aliran pada periode t

f2

= total penggunaan kanal

dtij = kebutuhan kanal untuk aliran air pada periode t
f3

= total kebutuhan pompa pada sumber air
17
Universitas Sumatera Utara

18
Xijt = desain kebutuhan aliran air pada periodet
Hijt = jumlah tujuan aliran air pada periode t
f4

= besar debit aliran kapasitas pipa

Wit = jumlah aliran air pada periode t
f5

= total rata-rata aliran air

qij0 = jumlah keseluruhan debit aliran air

Tahap awal dengan memasukan faktor biaya yang berhubungan dengan diameter
pipa yang dihubungkan dengan aliran air pada periode t menurut Clarker et al (2002)
diperoleh model:
f1 (Kijt ) =

P

t∈T

1
(1+I)t−1

P

1.54a

xtij (57.198 + 0.35Kijt

(ij)∈Ap

1.9

1.83

+0.0018Kijt + 0.0062Kijt

0.93

+0.23Kijt

0.71

+ 0.0022Kijt

0.73

− 0.062Kijt

)Lij

1.8

+ 0.02Kijt



(4.2)

total penggunaan kanal aliran air pada periode t dipengaruhi oleh diameter pipa(d)
dengan panjang pipa yang dibutuhkan untuk aliran air keseluruhan, sehingga diperoleh fungsi aliran (US. Army of Engineers, 1980):
P P
cij dtij
 c

t∈T (ij)∈A


t
X
X
1
ENR CITY 

1.45 55.30Lij dtij
=
t−1
(1 + I)
2887

f2 (dtij =

(4.3)

(i,j)∈Ac

keterangan :
ENR

: parameter biaya aliran air yang dibutuhkan 1 tahun

ENTt CITY =parameter biaya aliran air pada periode t

diperoleh ENR t adalah:
ENRt = 7.7 × 109 + 15.7t − 12.0 × 103 t2 + 4.1t3 − 0.5 × 10−3 t4
Universitas Sumatera Utara

19
nilai rata-rata pompa aliran (Hijt ) berdasrkan tujuan aliran dengan tingkat perubahan
desain(Xijt )mempengaruhi perhitungan biaya, dengan total fungsi biaya:

f3 (Xijt , Hijt =

X
t∈T




1
(1 + I)t−1

X

(i,j)∈Ac ∪AU

0.7

0.4



µtij (500xtij Hijt )

(4.4)

fasilitas kebutuhan aliran air juga diperoleh kapasitas debit aliran pipa (lebar pipa)Wit
dalam periode tertentu t yaitu:
f4 (Wit) =

P

1
(1+I)t−1

t∈T

+

X
t∈T




P

(2897.13wit + 35.987)

(i)∈Nwr

1
(1 + I)t−1

X

(i)∈Nwwr

!


(10, 811.92wit + 5, 454, 228)

(4.5)

keseluruhan biaya yang dihitung dalam 1 tahun memiliki nilai perubahan ketidakpastian yang dapat terjadi dalam 1 tahun perancangan suplai air minum.
Tingkat perubahan nilai ketidakpastian aliran dapat dihitung dengan rumus:
f5 (qij0 , Wij0 ) =

10
P

0=1

1
(1+I)0−1

P

= xtij (27.7 + 0.3qij0 )Lij

(i,j)∈Ap

P 
0.572
0.0254Lij qij0
+
(i,j)∈Ac



+ 0.078 + 0.0135qij0 Lij
+

X

(ij)∈Ap ∪AU
0.935

+320qij0
+

P

i∈Nwwr



ENR 0
1850


0.58

79.47δij qij0 + 4560qij0

ENR0 CITY
2877

(108.12wi0



+

P

(4.6)

(28.97wi0 + 360)

i∈Nwr

+ 54, 542)



∆o0

perancangan aliran air tersebut dipengaruhi oleh pipa, kanal, pompa, sumber air, dan
tujuan aliran air. Total aliran air memiliki biaya CiW dengan tahapan ∆00 sebagai

Universitas Sumatera Utara

20
periode aliran yang dihitung biayanya, diperoleh:

f5 (qij0 ) =

10
X
0=1

X
1
0
qIW
C
IW
j
(1 + I)0−1
j=N

!

∆o0

(4.7)

¯ j0 ) bertujuan untuk
Kebutuhan air dalam sistem perancangan pada periode o(D
kepuasan pelanggan, sehingga diperoleh model sumber penyaluran air adalah:
X

i∈Ns

˜ O , ∀j ∈ N∪ , ∀O ∈ O
qij0 ≥ D
j

(4.8)

Total debit aliran air dalam hubungannya dengan kapasitas debit aliran air pada
pipa dan lebar pipa dengan satua Wji diperoleh :
X
i⊂N

qij0 ≤ Wjt, ∀j ⊂ NW T ∪ NW W T , t ≤ 0, ∀0 ⊂ o, ∀t ⊂ T

(4.9)

g o ) dan
Jumlah aliran air yang masuk dibatasi oleh sumber air yang tersedia (IW

dihitung berdasarkan banyaknya aliran air yang keluar dari sumber air pada simpulsimpul (NiW ) yaitu :

X

0

j∈NU ⊂Ns

0
g
qIW
j ≤ IW , ∀o ∈ O

(4.10)

Secara alami aliran air P¯ o yang berada pada kawasan Ab didistribusikan dengan aliran NRU dan besarnya perubahan aliran NSS . Volume aliran air yang didistribusikan adalah :

qij0 = 0.3P¯ 0 Ab ,

i = aliran air,∀j ∈ NRU , ∀o ∈ O

(4.11)

Dengan adanya tingkat perubahan aliran yang masuk dan aliran yang keluar
dari pipa (NN S ) yang tentunya jumlah aliran yang masuk dan keluar harus sama,
maka kendala aliran pada periode O adalah :

Universitas Sumatera Utara

21

qij0 = 0.1P¯ 0 Ab ,

i = aliran air,∀j ∈ NSS , ∀o ∈ O

(4.12)

Adanya perubahan besar aliran dan lokasi tujuan aliran air maka harus ditentukan fungsi minimum rancangan aliran air denan pipa agar memiliki nilai efisiensi,
yaitu:
X

j∈N

qij0 −

X

j∈N

qij0 = 0, i ∈ NN S \(NRU ∪ NRD ), ∀o ∈ O

(4.13)

Jumlah air yang dialirkan tentunya harus sesuai dengan kebutuhan pelanggan
dan tidak boleh lebih besar dari persediaan air yang dibutuhkan :
X

j∈N

−qij0

X
j∈N

qij0 ≥ RQi , i ∈ NRU ∪ NRD ), ∀o ∈ O

(4.14)

Jika nilai debit aliran air N Sio dihitung pada tahapan maka diperoleh:

W Sio ≥ RSi , i ∈ NSS , ∀o ∈ O

(4.15)

Aliran air yang berdasarkan pada hubungan hidraulik dimana setiap komponen yang digunakan untuk aliran air memiliki kendala. Kapasitas kanal dihitung
dengan persamaan yang memuat seluruh komponen aliran air yaitu jenis bahan (S),
banyaknya kanal (2), panjang pipa (s), dan kedalaman aliran dtij dengan kapasitas:

W Sio = W Sio−1 +

X
j∈N

qij0 −

X
j∈N

qij0

!

, i ∈ NSS , ∀o ∈ O

(4.16)

Untuk pembuatan aliran air lebih efisien dengan adanya kemungkinan perubahanperubahan pada aliran yang tidak stabil maka total operasional aliran air:

qijo ≤

 (8−3)
1.49 √ q
1\2
2
1 + zij2 − zij dtij Sij , ∀(i, j) ∈ AC
nij

(4.17)

t ≤ 0, ∀o ∈ O, ∀t ∈ T
Universitas Sumatera Utara

22
Sumber air diasumsikan tidak terbatas dan berasal dari permukaan yang bebas
namun memiliki tekanan terhadap pompa sebesar ∆0ij . Kendala pipa dalam mengalirkan air adalah (f) sehingga jumlah tujuan aliran (Hij0 ) dan desain kebutuhan
aliran Xijt dari pipa diperoleh :

qio ≥ 0.5χtij , ∀(i, j) ∈ AU , t ≤ 0, ∀o ∈ O, ∀t ∈ T

(4.18)

qio ≥ 1.5χtij , ∀(i, j) ∈ AU , t ≤ 0, ∀o ∈ O, ∀t ∈ T

(4.19)



2

4 t
H
3 ij

−

t q0
Hij
ij
2

3χtij



− −

8f Lij
5

t
gπ 2 kij

2
qij0

−

∆0ij



≥ Hmin,ij − 10, 000(1 − µtij ),
∀(i, j) ∈ Ap, t ≤ 0, ∀o ∈ O, ∀t ∈ T


2

4 t
H
3 ij

−

t q0
Hij
ij
2

3χtij

∆0ij −



(4.20)

≥ Hmin,ij − 10, 000(1 − µtij ),

∀(i, j) ∈ AU , t ≤ 0, ∀o ∈ O, ∀t ∈ T
4.3

(4.21)

Batasan Keputusan
Batas-batas variabel keputusan sederhana dan batasan-batasan panjang pipa

adalah:

t
≥ 0, ∀(i, j) ∈ A, i ∈ NW T ∪ NW W T , ∀t ∈ T, ∀o ∈ O
qijo , Hijt , dtij , wij

(4.22)

Kijt , χtij ≥ ε, ∀(i, j) ∈ Ap ∪ AU , ∀t ∈ εT

(4.23)

qijo ≤, Mijt xtij , ∀(i, j) ∈ Ap , t ≤ 0, ∀o ∈ O, ∀t ∈ T

(4.24)

Universitas Sumatera Utara

23

qijo ≤ Mijt µtij , ∀(i, j) ∈ Ap, t ≤ 0, ∀o ∈ O, ∀t ∈ T

(4.25)

Persamaan (4.22) mengharuskan bahwa, aliran arc, rancangan pompa air, kedalaman kanal, kapasitas rancangan pompa, kapasitas pabrik pengolahan air dan air limbah haruslah non-negatif. Batas bahwa untuk diameter pipa dan kapasitas pompa
Persamaan (4.23) diberi nilai kecil (10−5 ) dan bukan 0 untuk menghindari kesalahan numerik karena hubungan hidrolik yang diberikan dalam Persamaan (4.20) dan
(4.21) tidak bisa dibagi dengan 0. Variabel biner dimasukkan untuk menotasikan
pembangunan pipa baru (xtij ) atau stasion pompa (µtij ). Suku Mij0 dalam Persamaan
(4.24) dan (4.25) diberi nilai besar untuk mendefinisikan batas atas untuk aliran yang
bersesuaian. Jika variabel biner ditetapkan sama dengan 0, variabel laju aliran untuk arc yang bersesuaian juga haruslah sama dengan 0. Untuk lainnya, aliran bisa
dialokasikan pada arc tersebut.

Universitas Sumatera Utara

BAB 5
NILAI KETIDAKPASTIAN SUPLAY AIR MINUM

5.1 Korelasi Model dengan Data Ketidakpastian
Masalah Rancangan optimal sistem suplai air minum dengan adanya ketidakpastian adalah bagaimana mengoptimalkan sistem aliran air minum yang berasal dari
satu sumber yang akan dialirkan ketujuan tertentu dengan adanya ketidakpastian
aliran air minum yang membutuhkan keputusan yang tepat tentang penggunaan :
ukuran, sumber air, lokasi, kapasitas pipa, biaya perancangan yang keseluruhannya
memuat ketidakpastian.
Model asumsi ketidakpastian dengan variabel random dapat ditentukan dengan
model:

P˜ 0 = P¯ 0 + η˜10Pˆ 0 , ∀o ∈ O

(5.1)

Keterangan :
P¯0
Pˆ0

= nilai nominal aliran air pada periode 0

η˜i

= variasi acak untuk aliran air pada periode 0

= nilai rata-rata aliran air pada periode 0

Dengan menggunakan sumber air minum sebagai titik awal aliran, dengan batasan batasan tertentu diperoleh model suplai permintaan sebagai berikut:

˜0 = D
¯ 0 + η˜0 D
ˆ 0 − η˜0 ρi Pˆ 0 Ai, ∀i ∈ NU , ∀o ∈ O
D
i
i
i
i

(5.2)

Untuk batasan kawasan tertentu dapat disederhanakan menjadi:

˜0 = D
¯ 0 + η˜2 D
ˆ 0 − η˜0ρ1Pˆ 0 AD0 OU T
D
5
5
5
1

(daerah tertentu)

(5.3)
24

Universitas Sumatera Utara

25

¯ 0 + η˜3 D
ˆ 0 − η˜0 ρ2 Pˆ 0AAG
˜0 = D
D
6
6
6
1

(daerah pertanian)

(5.4)

Jika total rata-rata suplai aliran air untuk daerah tertentu dan daerah pertanian D
dan D merupakan sumber aliran air maka periode aliran air dapat diperoleh pada periode o. Faktor-faktor yang mempengaruhi suplai keseluruhan air minum berhubugan
g o ) yaitu:
dengan volume air dengan lebar pipa tertentu (IW
g0 = I W
¯ 0 + η˜4I W
ˆ 0 + η˜0 ρ3 Pˆ 0 A′ , ∀o ∈ O
IW
b
1

(5.5)

Nilai ketidakpastian sistem suplai air minum dengan model Robust secara keseluruhan dengan menghitung total kendala linier yang terjadi secara umum ditulis:
X
j

¯ i0 + η˜i D
ˆ i0 − η˜10ρi Pˆ 0 Ai, ∀i ∈ NU , ∀o ∈ O
qijo ≥ D

(5.6)

rancangan yang digunakan untuk lokasi aliran tertentu dan daerah kawasan
tertentu yang masih dalam tahapan daerah rancangan aliran dapat ditentukan dengan
model aplikasi sebagai berikut:



0
0
q45
+ q25
+ AD0 OU T P¯ 0 + η˜10Pˆ 0
¯ 0 + η˜2 D
ˆ 0 − η˜0 Pˆ 0 AD0 OU T
≥D
6
5
1

(5.7)

model Robust untuk daerah tertentu:


0
0
0
0
+ q26
+ q36
+ q76
+ AAG P¯ 0 + η˜10Pˆ 0
q16
¯ 0 + η˜3Pˆ 0 − η˜0 ρ2 Pˆ 0 AAG
≥D
6
6
1

(5.8)

model Robust untuk kawasan pertanian adalah:
0
0
¯ 0 − AAG−OU T P¯ 0 + η˜2D
ˆ 0 + η˜0
−q45
− q25
+D
5
5
1

Universitas Sumatera Utara

26



ADO OUT Pˆ 0 (1 + ρ1) ≤ 0.

(5.9)

Untuk menentukan kendala Robust pada sistem suplai air minum untuk kawasan
tertentu, digunakan parameter Γ1 sebagai nilai peluang dengan batasan (0,2). Secara
sederhana model kendala Robust ditulis Γ1 ≥ 1:
0
0
¯ 0 − ADO OUT P¯ 0 + max{D
ˆ 0 + (Γ1 − 1 |
−q45
− q25
+D
5
5

ˆ 50 + | −ADO OUT Pˆ 0 (1+ρ1 ) |} ≤ 0
−ADO OUT Pˆ 0 (1+ρ1 ) |; (Γ1 −1)D

(5.10)

dan jika Γ1 < 1, maka model Robust (5.10) dapat didistribusikan menjadi:
0
0
¯ 50 − ADO OUT P¯ 0 + max{Γ1 D
ˆ 50 ; Γ1 |
−q45
− q25
+D
−ADO OUT Pˆ 0 (1 + ρ1 ) |} ≤ 0.

(5.11)

Nilai maksimum kendala Robuts dapat dihitung memuat sistem aliran suplai air
minum pada parameter Γ2 untuk kawasan pertanian dengan kendala tertentu. Jika
Γ2 ≥ 1 model Robust menjadi:
0
0
0
0
¯ 0 − AAG P¯ 0 + max{D
ˆ 0 + Γ2 − 1 |
−q16
− q26
− q36
− q76
+D
6
6
0
0
0
ˆ + | −AAG Pˆ (1 + ρ2 ) |} ≤ 0
−AAG Pˆ (1 + ρ2 ) |}; (Γ2 − 1)D
6

(5.12)

Nilai maksimum kendala Robust dihitung jika Γ2 < 1 dan nilai penambahan volume
aliran air secara keseluruhan menjadi:

0
0 0
¯ 0 + η˜4I W
ˆ 0 + η˜0 ρ3 Pˆ 0 A′ ,
q12
+ q14
q16 ≤ I W
b
1

(5.13)

untuk aplikasi sistem penyediaan air. Dengan memasukkan parameter tingkat ketidakpastian Γ3 ∈ [0, 2], batasan ini dikonversi menjadi bentuk kuat ekspilisit dengan cara

yang sama dengan batasan permintaan air bila Γ14 > 1.
Model Robust dengan kendala:

0
0
0
¯ 0 + max{| I W
ˆ0|
q12
+ q14
+ q16
≤ IW

Universitas Sumatera Utara

27

′
ˆ 0 | + | ρ3 Pˆ 0 A′ |} ≤ 0.
+(Γ3 − 1) | ρ3 Pˆ 0 Ab |; (Γ3 − 1) | I W
b

(5.14)

Kendala aliran minimum model Robust didistribusikan dengan variabel randum sehingga model aliran suplai air minimum dengan adanya nilai ketidakpastian:

0
0
0
0
0.3Ab (P¯ 0 + η˜10 Pˆ 0 ) + q78
− q34
− q36
− q32
≥ RQ8 ,

∀0 ∈ O

(5.15)

selanjutnya, model aliran air yang berdasarkan adanya ketidakpastian pada suplai
air minimum dengan batasan sumber air tertentu dapat dihitung dengan aliran yang
terdapat pada pipa, sehingga kendala minimum suplai air minimum dengan formula
Robust:
IGS +

0
P

k=1

k
k
k
k
k
k
(q12
+ q32
+ q52
+ q62
− q25
− q26
)

0 

X
P¯ k + η˜1k Pˆ k ≥ RS2,
+0.1Ab
k=1

∀0 ∈ O

(5.16)

jika IGS adalah sumber air minum yang tersedia, dengan korelasi 0,1 maka model
perancangan sistem suplai air minum model Robust menjadi:
−IGS − 0.1Ab +

0
P

k=1

P¯ k −

+RS2 + | −0.1Ab

0
P

k=1

0
X
k=1

k
k
k
k
k
k
(q12
+ q32
+ q52
+ q62
− q25
− q26
)

Γk+4 Pˆ k |≤ 0

(5.17)

di mana ΓK+4 ∈ [0, o], k ∈ {1, 2, . . . o}. Karena terdapat 10 periode operasional dalam

aplikasi, himpunan batasan ini menghasilkan 10 parameter,Γ5 , Γ6 , . . . Γ14 .

Universitas Sumatera Utara

BAB 6
KESIMPULAN

Perancangan suplai air minum dapat dikatakan sebagai sebuah proses optimalisasi jaringan yang dapat digunakan untuk mengevaluasi tingkat maksimum atau minimumnya aliran air melalui pipa dari sebuah sumber ke pelanggan menuju sasarn yang
diinginkan. Perhitungan sederhana yang bisa dilakukan adalah bentuk pendekatan
perhitungan secara manual terhadap jaringan pipa air minum yang digunakan sebagai
sebuah nilai strategi untuk menentukan seberapa besar nilai ketidakpastian yang berhubungan dengan suplai air minum terutama dalam hal penggunaan stokastik untuk
menyelesaikan optimalisasi yang berhubungan dengan meminimumkan biaya.
Kesimpulan yang dapat ditarik dari perancangan jaringan suplai air minum
adalah semua aliran melalui jaringan terhubung, dan terarah serta mulai dari satu
simpul dan berakhir pada simpul yang lain sebagai sasaran aliran sesuai dengan kebutuhan pelanggan dengan memperhitungkan faktor biaya, sumber air, pipa serta
tujuan aliran.

28
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA
Ben-Tal, A.,Nemirovski,A., 2000.Robust solution of linear programming problems contaminated with uncertain data. Mathematical Programming 88, 441-442.
Burt,C.M, A,J Clemens, T.S Strelkoff, K.H Solomon, R.D Bliesner, R.A Hardy, T.A
Howel and D.E Einshenher (1997): irrigation performance measures, J irrig Drain
Engg 123(6), 423 - 442
Cai, X.,2008.Implementation of holistic water resources-economic optimization models
for river basin management-reflective experiences.Environmental Modelling &
Software 23(1),2-18
Chung,G., Lansey K, Blowers,P., Ela W., Stewart, S., Wilson, P., (2008) A General
water supplay Planning Model ; evaluation of decentralized treatment. Enviromental Modelling & Software Hal : 2-18.
Dantzig, G. B. (1956), Recent Advances in Linear Programming, Management Sci. 2,
131-144
Efimov, V. M. (1970), Optimal Estimations under Uncertainty, Econ. Math. Methods,
6, No. 3.
Eisner, M. J., Kaplan, R. S., dan Soden, J. V. (1971), Admissible Rules for the E-Model
of Chance-Constrained Programming, Management Sci., No. 17.
Ermolyev, J. M. (1970), Stochastic Quasi-Gradient Methods And Applications, Ph.D.
in the Institute of Cybernetics Ukrainian S.S.R. Academy of Science, Kiec.
Holmes,D.(2005).What is Stochastic Programming.Northwestern,1.
Jamshidian, F, and Y. Zhu. (1997). Scenario Simulation: Theory and Methodology,
Finance and Stochastics, pp. 43-67.
Jenkins, M.W., Lund, J.R., (2000), ” To manage water supply capacity under water
shotage conditions, Environmental Modelling &Software.www.elsevier.com
Makropolous, C.K., Natsis, K., Liu, S., Mittas, K., Butler, D., (2008), ” A Municipal
water supply system is defined as the physical infrastructure to treat , deliver
water to and collect water from users. Environmental Modelling & Software,
www.elsevier.com
Mawengkang, H., Susilo, S., Sitompul, O.S.(2006), Metode Pencarian Langsung Berbasis Kendala untuk Menyelesaikan Problem Program Stokastik Cacah Campuran
Tahap Ganda.Universitas Sumat