Penjadwalan Proyek Menggunakan Metode Aljabar Max-Plus: Studi Kasus pada Pemasangan Pengolah Air PDAM Kota Semarang.
PENJADWALAN PROYEK MENGGUNAKAN METODE
ALJABAR MAX-PLUS: STUDI KASUS PADA PEMASANGAN
PENGOLAH AIR PDAM KOTA SEMARANG
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penjadwalan Proyek
Menggunakan Metode Aljabar Max-Plus: Studi Kasus pada Pemasangan
Pengolah Air PDAM Kota Semarang adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2015
Arpi Median Lavandi Noor
NIM G54110061
ABSTRAK
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR. Penjadwalan Proyek Menggunakan Metode
Aljabar Max-Plus: Studi Kasus pada Pemasangan Pengolah Air PDAM Kota
Semarang. Dibimbing oleh MUHAMMAD ILYAS dan SISWANDI.
Penjadwalan proyek adalah bagian dari manajemen proyek yang bertujuan
merencanakan pelaksanaan kegiatan-kegiatan dalam suatu proyek secara
terstruktur dan memiliki batasan waktu yang jelas. Keterkaitan antar kegiatan
dalam suatu proyek dapat ditransformasikan ke dalam bentuk matriks yang
kemudian dapat dianalisis menggunakan metode aljabar Max-Plus. Matriks inilah
yang akan diterapkan dalam perhitungan untuk mendapat solusi yang dibutuhkan
dalam penjadwalan proyek, seperti waktu optimum, jalur kritis, dan waktu
toleransi.
Kata kunci: aljabar Max-Plus, penjadwalan proyek, waktu optimum, jalur kritis.
ABSTRACT
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR. Project Scheduling Using Max-Plus Algebra:
a Case Study on the Installation of Water Treatment in Semarang. Supervised by
MUHAMMAD ILYAS and SISWANDI.
Project scheduling is part of the project management which planning the
implementation of activities in a project in a structured manner and have a clear
time limitation. The linkage among activities in a project can be transformed into
the form of matrix which can be analyzed by using max-plus algebraic method.
This matrix will then be applied in the calculation to obtain the required solution
of the project scheduling, such as the optimum time, critical path, and a time
tolerance.
Keywords: Max-Plus algebra, project scheduling, optimum time, critical path.
PENJADWALAN PROYEK MENGGUNAKAN METODE
ALJABAR MAX-PLUS: STUDI KASUS PADA PEMASANGAN
PENGOLAH AIR PDAM KOTA SEMARANG
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada keluarga atas segala doa, semangat,
dan pengorbanan yang dilakukan demi terselesaikannya karya ilmiah ini. Terima
kasih juga penulis ucapkan kepada Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc sebagai
dosen Pembimbing I dan Bapak Drs Siswandi, MSi sebagai dosen Pembimbing II
serta Bapak Dr Sugi Guritman sebagai dosen Penguji yang telah banyak memberi
saran dan arahan selama proses bimbingan. Ucapan terima kasih juga disampaikan
kepada teman-teman Matematika IPB yang telah memberi motivasi dan masukan
selama pengerjaan karya ilmiah ini. Serta berbagai pihak yang pernah mengisi
hari-hari penulis selama pengerjaan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2015
Arpi Median Lavandi Noor
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
METODE
6
Metode Aljabar Max-Plus
6
Metode Jalur Kritis/Critical Path Method (CPM)
7
Data
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
SIMPULAN DAN SARAN
8
17
Simpulan
17
Saran
17
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
21
DAFTAR TABEL
1 Rincian kegiatan proyek
2 Hasil perhitungan CPM
8
16
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
Diagram relasi antar kegiatan
Diagram perhitungan maju
Diagram perhitungan mundur
Diagram perhitungan slack
9
13
15
16
DAFTAR LAMPIRAN
1 Perhitungan dengan Scilab
18
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Air telah menjadi kebutuhan pokok bagi seluruh makhluk hidup di muka
bumi sejak dahulu kala. Air bersih menjadi kriteria khusus bagi umat manusia
untuk memenuhi kebutuhan dalam segala aspek kehidupannya. Pertumbuhan
populasi manusia yang kian tinggi menimbulkan dampak pada kebutuhan air
bersih dalam jumlah yang besar. Oleh karena itu, keberadaan air bersih perlu
ditingkatkan demi kelancaran keberlangsungan hidup di berbagai daerah.
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) merupakan salah satu unit usaha
milik daerah yang diawasi dan dimonitori oleh aparat-aparat eksekutif maupun
legislatif daerah yang bergerak dalam distribusi air bersih bagi masyarakat umum.
Sebagai suatu lembaga, PDAM memiliki misi melaksanakan pelayanan air minum
yang berkesinambungan kualitas, kuantitas, dan kontinuitas. Permasalahan
penduduk yang ada mengakibatkan PDAM perlu melakukan peningkatan
kuantitas dan pengembangan kualitas air bersih, sesuai dengan misi yang
dicanangkan tersebut. Pihak PDAM mengadakan beberapa proyek pemasangan
pengolah air guna menjangkau daerah-daerah yang belum ataupun kekurangan
pasokan air bersih.
Sebuah proyek merupakan suatu kegiatan yang diorganisasikan untuk
mencapai tujuan dan sasaran dengan menggunakan sumber daya dan dana yang
tersedia, dan harus diselesaikan dalam jangka waktu tertentu. Penjadwalan dalam
proyek memiliki tujuan menentukan durasi total untuk menyelesaikan proyek;
menentukan waktu pelaksanaan masing-masing kegiatan; mengetahui kegiatankegiatan yang berada dalam jalur kritis.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian penjadwalan proyek
pemasangan pengolah air PDAM di kota Semarang menggunakan metode aljabar
Max-Plus. Proses pengolahan air pada PDAM terbagi menjadi dua jenis, yaitu
pengolahan air lengkap dan pengolahan air tidak lengkap. Pengolahan air lengkap
terdiri dari penyaringan (intake), koagulasi dan flokulasi (menggabungkan flokflok kecil), sedimentasi (mengendapkan flok-flok kecil), filtrasi (penyaringan
flok), klorinasi (menghilangkan zat desinfektan). Pengolahan air tidak lengkap
hanya diberlakukan pada air yang berasal dari mata air dan air tanah dalam, yang
prosesnya terdiri dari aerasi (mengurangi zat besi) dan chlorinasi.
Sumber utama karya ilmiah ini adalah tesis yang ditulis oleh Maria H.
Andersen (2002). Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini merupakan data
sekunder yang diperoleh dari paper yang ditulis oleh Madchan Anis (2012).
Solusi numerik yang diperoleh dalam karya ilmiah ini menggunakan software
Scilab 5.4.1 dengan menggunakan toolbox yang dikembangkan oleh Subiono
(2009).
2
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan:
1. Menyelesaikan masalah penjadwalan proyek menggunakan metode aljabar
Max-Plus
2. Menentukan waktu optimum, jalur kritis, dan waktu toleransi dalam suatu
proyek.
TINJAUAN PUSTAKA
Definisi 1 (Penjadwalan Proyek)
Penjadwalan proyek adalah bagian dari sistem manajemen proyek yang
bertujuan untuk menjamin pelaksanaan proyek secara tepat waktu, tepat biaya,
dan tepat mutu.
(Ervianto 2002)
Definisi 2 (Jalur Kritis)
Jalur kritis (critical path) adalah urutan kegiatan dalam proyek, yang
menentukan kemungkinan durasi penyelesaian proyek paling cepat.
(Duncan 2013)
Jika kegiatan yang terletak pada jalur kritis tertunda, maka waktu
penyelesaian proyek secara keseluruhan otomatis juga akan tertunda. Penyelesaian
proyek secara keseluruhan dapat dipercepat dengan mempercepat penyelesaian
kegiatan-kegiatan di jalur kritis.
Definisi 3 (Waktu Toleransi)
Waktu toleransi (slack time) adalah sejumlah waktu dari suatu kegiatan
yang mungkin bisa ditunda dari waktu mulai yang sebenarnya tanpa memengaruhi
waktu selesai keseluruhan proyek.
(Duncan 2013)
Waktu toleransi pada kegiatan yang berada di jalur kritis sama dengan 0
(nol). Hal ini memungkinkan relokasi sumber daya dari kegiatan nonkritis ke
kegiatan kritis.
3
Definisi 4 (Semigrup)
Semigrup adalah suatu himpunan dengan operasi biner asosiatif.
(Fraleigh 1997)
Definisi 5 (Semiring)
Suatu semiring , +,× adalah suatu himpunan takkosong
disertai
dengan dua operasi biner + dan ×, yang memenuhi aksioma berikut:
1.
, + merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu
∀ , , ∈ , memenuhi
a)
+ = + ,
b)
+ + = + + ,
c)
+ = = + .
2.
, × adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu ∀ , , ∈ ,
memenuhi
a)
× × = × × ,
b) × = = × .
3. Terdapat elemen yang bersifat absorbing terhadap operasi ×, yaitu elemen
netral , karena ∀ ∈ , memenuhi
× = × = .
4. Operasi × distributif terhadap +, yaitu ∀ , , ∈ berlaku
a)
+ × = × + × ,
b) × + = × + × .
Suatu semiring
, +,× dikatakan komutatif jika operasi × bersifat
komutatif, yaitu ∀ , ∈ berlaku × = × .
(Rudhito 2007)
Aljabar Max-Plus
Aljabar Max-Plus adalah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan
bilangan riil digabung dengan −∞ , dengan operasi penjumlahan,
, yang
didefinisikan sebagai pengambilan nilai maksimum dan operasi perkalian, ⊗ ,
yang didefinisikan sebagai operasi penjumlahan biasa pada himpunan bilangan riil.
Untuk lebih jelasnya, diberikan ℝ �� = ℝ ∪ {−∞} , diberikan operasi
di
dalam ℝ �� dengan
= max ,
dan operasi ⊗ dalam ℝ �� dengan
= + . Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan ℝ �� dengan
operasi biner ⊕ dan ⊗, dinotasikan sebagai (ℝ �� , , ⊗) disebut aljabar
Max-Plus.
4
Teorema 1 Di dalam struktur aljabar (ℝ �� , , ⊗) memenuhi sifat-sifat
berikut:
1. (ℝ �� , , ⊗) adalah semiring.
2. Operasi perkalian bersifat asosiatif dan komutatif, yaitu ∀ , , ∈ ℝ �� ,
berlaku
a.
=
,
b.
=
.
3. Elemen identitas terhadap operasi perkalian adalah 0, karena ∀ ∈ ℝ ��
berlaku
= .
4. Sifat distributif ⊗ terhadap , yaitu ∀ , , ∈ ℝ �� , berlaku
a.
=
,
b.
=
.
5. Elemen identitas terhadap operasi penjumlahan, −∞ , memiliki sifat
absorbing terhadap operasi perkalian, misalkan ∀ ∈ ℝ �� berlaku
−∞ = −∞.
Bukti:
1. Akan dibuktikan (ℝ �� , , ⊗) memenuhi aksioma semiring:
a. ℝ �� , ⊕ merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral
−∞.
1) Ambil , ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊕ = max ,
= max ,
= ⊕
maka berlaku sifat komutatif pada ⊕.
2) Ambil , , ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊕ ⊕ = max max , ,
= max , ,
= max , max ,
= ⊕ ⊕
maka berlaku sifat assosiatif pada ⊕.
3) Ambil ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊕ −∞ = max , −∞
=
maka −∞ merupakan elemen netral pada ℝ �� terhadap
operasi ⊕.
Berdasarkan 1), 2), dan 3), terbukti ℝ �� , ⊕ merupakan
semigrup komutatif dengan elemen netral −∞.
b. (ℝ �� , ⊗) adalah semigrup dengan elemen satuan 0.
1) Ambil , , ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊗ ⊗ = + +
= + +
= ⊗ ⊗
maka berlaku sifat asosiatif pada ⊗.
5
2.
3.
4.
5.
2) Ambil ∈ ℝ �� sebarang dan ∈ ℝ �� , karena
⊗ = +
=
maka 0 merupakan elemen satuan pada (ℝ �� , ⊗).
c. Elemen netral −∞ memiliki sifat absorbing terhadap operasi ⊗.
Ambil ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊗ −∞ = + −∞
= −∞
maka −∞ memiliki sifat absorbing terhadap ⊗ untuk setiap
anggota ℝ �� .
d. Operasi ⊗ bersifat distributif terhadap operasi ⊕.
Ambil , , ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊕ ⊗ = max , +
= max + , +
= ⊗ ⊕ ⊗
maka terbukti operasi ⊗ bersifat distributif terhadap operasi ⊕.
Berdasarkan pembuktian a.,b.,c., dan d., maka bukti lengkap bahwa
(ℝ �� , , ⊗) adalah semiring.
Akan dibuktikan bahwa operasi ⊗ pada aljabar Max-Plus memiliki sifat
komutatif.
Ambil , ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊗ = +
= +
= ⊗
maka berlaku sifat komutatif pada ⊗.
Akan dibuktikan elemen netral terhadap operasi perkalian adalah 0.
Ambil ∈ ℝ �� sebarang, berlaku
⊗ = + =
Akan dibuktikan sifat distributif ⊗ terhadap , yaitu ∀ , , ∈ ℝ �� ,
berlaku:
=
Ambil , , ∈ ℝ �� sebarang, berlaku
⊗ ⊕ = + max ,
= max + , +
= ⊗ ⊕ ⊗
Akan dibuktikan elemen identitas terhadap operasi penjumlahan, −∞ ,
memiliki sifat absorbing terhadap operasi perkalian, yaitu ∀ ∈ ℝ ��
berlaku
−∞ = −∞
Ambil ∈ ℝ �� sebarang, berlaku
−∞ = + −∞ = −∞
6
Operasi Matriks pada Aljabar Max-Plus
Aljabar Max-Plus dapat diperluas untuk elemen matriks. Operasi pada
elemen matriks dibutuhkan untuk melakukan perhitungan pada penjadwalan
proyek menggunakan metode Max-Plus.
Diberikan dan adalah matriks berukuran
× dengan
= [ ] ; = [ ],
= , ,… ; = , ,…, ,
dengan nilai-nilai
,
∈ ℝ �� dan ∈ ℝ �� , didefinisikan operasi
penjumlahan matriks Max-Plus dan sebagai berikut:
Diberikan
dengan
= [
] = [max(
matriks berukuran
= , ,…
= [
×
];
dan
= [
; = , ,… ;
,
)].
matriks berukuran
],
�
= , , … �,
dengan nilai-nilai
,
∈ ℝ �� , didefinisikan perkalian dua matriks,
matriks dikalikan dengan matriks
dapat ditulis
merupakan matriks
berukuran
× � dengan elemen baris ke-i kolom ke-j sebagai berikut:
=(
) (
) ⊕ …⊕ (
) = max(
j
+
).
METODE
Metode Max-Plus pada Penjadwalan Proyek
Berikut langkah-langkah untuk mencari solusi penjadwalan proyek dengan
menggunakan aljabar Max-Plus.
1. Formulasikan data yang ada ke dalam bentuk diagram. Berikan kegiatan
tambahan �, � pada diagram. Tiap kegiatan i yang tidak memiliki
kegiatan pendahulu, berikan arah dari � ke i dengan bobot 0. Tiap kegiatan
j yang tidak memiliki kegiatan setelahnya, berikan arah dari j ke � dengan
bobot waktu penyelesaian kegiatan j. Berikan arah pada kegiatan i menuju
kegiatan j yang saling berkaitan dengan bobot sama dengan lama proses
kegiatan i.
2. Buat matriks Max-Plus , dengan elemen
adalah bobot dari kegiatan i
ke kegiatan j. Jika i dan j tidak saling berkaitan, maka elemen
bernilai
-∞.
+
…
, dengan n adalah banyaknya kegiatan
3. Hitung ∗ =
sebelum ditambahkan dengan �, �.
∗
4. Waktu penyelesaian optimum adalah ��
7
5. Cari nilai vektor rute terjauh
, vektor slack
. Kedua vektor
berukuran × tanpa memuat �, �.
∗
= �∗ ⊗ ∗�
= ��
−
6. Jalur kritis adalah elemen pada vektor slack yang bernilai 0 ( = ).
Metode Jalur Kritis/Critical Path Method (CPM) pada Penjadwalan Proyek
Algoritma CPM
Perhitungan maju
1. Suatu kegiatan dapat dimulai bila kegiatan pendahulunya telah selesai,
kecuali kegiatan awal, maka waktu mulai paling awal
kegiatan awal
adalah
= .
2. Waktu selesai paling awal
suatu kegiatan sama dengan waktu mulai
paling awal ditambah waktu penyelesaian
kegiatan tersebut.
=
+ .
3. Bila suatu kegiatan memiliki dua atau lebih kegiatan pendahulu, maka
waktu mulai paling awal kegiatan tersebut adalah waktu selesai paling
awal terbesar dari kegiatan-kegiatan pendahulunya.
= max
.
�� � �
�ℎ
�� �
Perhitungan Mundur
4. Waktu mulai paling akhir (� ) suatu kegiatan sama dengan waktu selesai
paling akhir (� ) dikurangi waktu penyelesaian ( ) kegiatan tersebut.
� =� − .
5. Apabila suatu kegiatan memiliki dua kegiatan atau lebih kegiatan
setelahnya, maka waktu selesai paling akhir kegiatan tersebut sama dengan
waktu mulai paling akhir terkecil kegiatan setelahnya.
� = min � � � �
.
�ℎ � � �
Perhitungan Slack
6. Slack time diperoleh dengan cara
=� −
=� −
.
Data
Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data yang terdapat
dalam proyek pemasangan instalasi pengolah air (water treatment) pada
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) di kota Semarang. Data tersebut didapat
dari paper yang ditulis oleh Madchan Anis pada tahun 2012. Pada bagian
Simpulan akan dibandingkan hasil yang diperoleh dengan metode aljabar MaxPlus dengan Metode Jalur Kritis (CPM) yang telah dilakukan pada paper tersebut.
Rincian kegiatan dan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek tersebut
sebagai berikut:
8
Tabel 1 Rincian kegiatan proyek
1. Perencanaan sistem
-
Waktu penyelesaian
(hari)
12
2. Pembuatan saluran air
1
10
3. Pembuatan pondasi
1
11
4. Pemesanan mesin
1
14
5. Pembuatan instalasi listrik
3
8
6. Pemasangan pipa
2,5
9
7. Pemasangan mesin
3,4
7
8. Finishing dan start up
6,7
6
Kegiatan
Kegiatan pendahulu
HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode Aljabar Max-Plus
Karya ilmiah ini akan memformulasikan masalah penjadwalan proyek
dengan menggunakan metode aljabar Max-Plus. Dengan mengikuti langkahlangkah yang diberikan pada metode, akan diperoleh nilai dari waktu optimum
untuk penyelesaian keseluruhan proyek beserta nilai-nilai dari jalur kritis dan
waktu toleransi.
Langkah 1
Transformasikan data pada Tabel 1 ke dalam bentuk diagram. Hal ini
dilakukan untuk melihat relasi antar tiap kegiatan. Pada Tabel 1 terlihat bahwa
kegiatan yang tidak memiliki kegiatan pendahulu adalah kegiatan 1, maka berikan
arah dari � ke
dengan bobot 0. Kegiatan yang tidak memiliki kegiatan
setelahnya adalah kegiatan 8, maka berikan arah dari 8 ke � dengan bobot waktu
penyelesaian kegiatan 8, yaitu 6. Untuk kegiatan lain yang saling berhubungan,
berikan arah satu sama lain dengan bobot waktu penyelesaian kegiatan yang lebih
dahulu. Jika data yang dimasukkan sudah benar, akan diperoleh diagram seperti
Gambar 1 berikut:
9
Gambar 1 Diagram relasi antar kegiatan
Langkah 2
Dari diagram pada Gambar 1, kemudian ditransformasikan ke dalam
bentuk matriks Max-Plus , yang tiap elemennya adalah bobot dari waktu
penyelesaian suatu kegiatan menuju kegiatan lain yang saling berkaitan. Jika
antar kegiatan tidak saling berkaitan maka berikan nilai −∞. Akan diperoleh
matriks Max-Plus sebagai berikut:
�
� −∞
=
−∞ −∞ −∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞
−∞
�[
Langkah 3
Kemudian akan dihitung nilai
∗
=
*
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
�
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞]
,
…
+
.
Untuk mendapat nilai *, diperlukan nilai 2, 3, 4, 5, 6, 7,
dan 9. Setelah dilakukan perhitungan secara manual, didapat nilai
sampai 9 sebagai berikut:
8
,
2
10
=
�
� −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
=
�[
�
� −∞ −∞
−∞
=
=
�[
=
=
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞ −∞
−∞
−∞ −∞
−∞
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
−∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
�
� −∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
�[
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
�
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞]
�
−∞ −∞
−∞
−∞
−∞ −∞
−∞
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞ ]
−∞
−∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
�
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞]
11
=
=
�
� −∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
�[
=
=
�
� −∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
�[
= [−∞] ;
Setelah didapat nilai
∗
�
� −∞
∗
=
�[
= [−∞] ;
sampai
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
= [−∞] .
, maka akan diperoleh nilai
∗
�
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞ ]
�
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞ ]
yaitu
=
−∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞
−∞
�
−∞
−∞
−∞ −∞
−∞
−∞
−∞]
Langkah 4
Dari matriks ∗ diperoleh waktu optimum penyelesaian keseluruhan
∗
proyek, yaitu nilai dari ��
= . Hal ini menunjukkan penyelesaian proyek
secara keseluruhan tidak bisa kurang dari waktu 46 hari.
12
Langkah 5
Kemudian akan dicari jalur kritis pada proyek yang didapat dengan
mencari vektor , dengan elemen ke- adalah
=
yaitu
=
=
dan vektor
[ ]
[
∗
�
+
+
+
+
+
+
+
+
dengan elemen ke- adalah
=
yaitu
=
=
[ ]
[
∗
��
−
−
−
−
−
−
−
−
∗
�
⊗
,
=
[
]
−
,
=
]
]
.
[ ]
Dari vektor yang elemennya bernilai 0, maka kegiatan tersebut termasuk
dalam jalur kritis, sehingga didapat jalur kritis pada proyek adalah 1-3-5-6-8. Dari
vektor juga diperoleh nilai waktu toleransi dari tiap kegiatan, yaitu nilai pada
tiap elemen vektor sesuai dengan masing-masing kegiatan. Dapat diartikan
bahwa kegiatan 2 dapat ditunda, tanpa memengaruhi waktu penyelesaian
keseluruhan proyek, selama maksimal 9 hari.
Metode Jalur Kritis/ Critical Path Method (CPM)
Perhitungan Maju
Berdasarkan algoritma CPM, maka pertama akan dilakukan perhitungan
maju. Perhitungan maju ini bertujuan untuk melihat waktu optimum yang
dibutuhkan suatu proyek untuk menyelesaikan keseluruhan kegiatan.
Waktu mulai paling awal ( ) kegiatan pertama pada proyek adalah nol.
Maka waktu mulai paling awal kegiatan 1 adalah nol.
=
13
Waktu mulai paling awal suatu kegiatan adalah waktu selesai paling awal
(
) kegiatan pendahulunya. Waktu selesai paling awal
suatu kegiatan
adalah waktu mulai paling awal kegiatan ditambahkan dengan lama waktu
penyelesaian ( ) kegiatan bersangkutan.
=
=
=
+
=
+
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
= max
=
+
,
=
= max
+ =
= max
=
+
,
=
= max
+ =
=
=
=
=
=
=
=
+
=
+
=
+
=
Jika suatu kegiatan memiliki lebih dari satu kegiatan pendahulu, maka
waktu mulai paling akhir kegiatan tersebut adalah nilai maksimal dari waktu
selesai paling awal dari kegiatan-kegiatan pendahulunya.
= max
=
+
,
=
= max
+ =
,
=
,
=
,
=
Perhitungan maju CPM dapat digambarkan seperti diagram pada Gambar 2
berikut.
Gambar 2 Diagram perhitungan maju
14
Diagram pada Gambar 2 menunjukkan alur pengerjaan kegiatan-kegiatan
pada proyek, dari kegiatan awal hingga kegiatan akhir. Tiap lingkaran pada
diagram mewakili kegiatan-kegiatan dalam proyek, dari kegiatan 1 sampai
kegiatan 8. Pada data terlihat bahwa kegiatan 1 merupakan kegiatan pendahulu
bagi kegiatan 2, kegiatan 3, dan kegaiatan 4, maka pada diagram diberikan panah
dari lingkaran 1 menuju lingkaran 2, 3, dan 4, dan begitu selanjutnya. Dua angka
yang terdapat di atas nomor kegiatan menunjukkan
dan
kegiatan
bersangkutan secara berurutan, sesuai dengan yang terdapat pada perhitungan
maju.
Perhitungan Mundur
Waktu selesai paling awal kegiatan terakhir, yaitu kegiatan delapan, yang
merupakan waktu optimum penyelesaian keseluruhan proyek juga merupakan
waktu selesai paling akhir dari kegiatan tersebut.
�
=
=�
=
Waktu mulai paling akhir (� ) adalah waktu selesai paling akhir (� )
dikurangi dengan lama waktu penyelesaian ( ) kegiatan bersangkutan.
�
�
=�
=�
−
=
=
−
=
=
−
=
�
�
=�
=�
−
=
−
=
=
−
=
=
−
=
=�
−
=
−
=
−
=
=�
=�
=
−
=
−
=
�
�
�
�
�
=�
=�
=�
=�
Jika suatu kegiatan memiliki lebih dari satu kegiatan seteleahnya, maka
waktu selesai paling akhir kegiatan tersebut adalah nilai minimal dari waktu mulai
paling akhir dari kegiatan-kegiatan setelahnya
.
� = min � , �
= min
,
=
� =� − =
−
=
�
�
�
�
= min � , � , �
=� − =
−
= min
=
,
,
=
15
Perhitungan mundur CPM dapat digambarkan seperti diagram pada
Gambar 3 berikut.
Gambar 3 Diagram perhitungan mundur
Sama seperti diagram perhitungan maju, diagram perhitungan mundur
menggambarkan alur pengerjaan keseluruhan proyek, namun dari kegiatan akhir
hingga kegiatan awal. Dua angka di bagian bawah lingkaran merupakan nilai-nilai
dari � dan � secara berurutan masing-masing kegiatan dari hasil perhitungan
mundur.
Perhitungan Slack
Waktu toleransi ( ) suatu kegiatan adalah hasil dari waktu mulai paling
akhir dikurangi waktu mulai paling awal, atau waktu selesai paling akhir
dikurangi waktu selesai paling awal kegiatan yang bersangkutan. Untuk kegiatan
yang memiliki waktu toleransi nol, maka kegiatan tersebut masuk ke dalam jalur
kritis.
=�
−
=�
=�
−
=
=�
−
=
−
Berikut adalah perhitungan slack tiap kegiatan.
=�
=�
=�
=�
=�
=�
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
16
Perhitungan slack dapat digambarkan sebagai gabungan dari diagram
perhitungan maju dan perhitungan mundur. Pada diagram perhitungan slack,
bagian atas lingkaran merupakan hasil perhitungan maju, dan bagian bawah
merupakan hasil perhitungan mundur. Jika angka-angka pada bagian atas
lingkaran sama dengan angka-angka pada bagian bawah lingkaran, maka kegiatan
tersebut masuk ke dalam jalur kritis. Berikut adalah diagram perhitungan slack:
Gambar 4 Diagram perhitungan slack
Hasil CPM
Hasil yang didapat dengan metode CPM pada pembahasan sebelumnya
sesuai dengan hasil yang terdapat pada paper rujukan Madchan Anis (2012) yaitu
seperti pada Tabel 2 berikut:
Tabel 2 Hasil CPM
Nama
Berada di
Lama
Waktu
kegiatan jalur kritis
kegiatan
toleransi
1
Ya
12
0
2
Tidak
10
9
3
Ya
11
0
4
Tidak
14
7
5
Ya
8
0
6
Ya
9
0
7
Tidak
7
7
8
Ya
6
0
Waktu penyelesaian keseluruhan proyek = 46 hari
17
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Permasalahan penjadwalan proyek dapat diselesaikan dengan
metode aljabar Max-Plus. Waktu optimum penyelesaian keseluruhan
proyek adalah 46 hari, kegiatan-kegiatan yang masuk ke dalam jalur kritis
yaitu kegiatan 1-3-5-6-8, dan waktu toleransi kegiatan 2 yaitu 9 hari,
kegiatan 4 yaitu 7 hari, kegiatan 7 yaitu 7 hari, dan kegiatan lain tidak
memiliki waktu toleransi. Untuk data yang terdapat dalam paper rujukan
yang ditulis oleh Madchan Anis (2012), hasil yang diperoleh dalam
metode aljabar Max-Plus sesuai dengan hasil yang diperoleh dalam
Metode Jalur Kritis (CPM).
Saran
Metode aljabar Max-Plus memiliki proses perhitungan yang
membutuhkan ketelitian cukup tinggi terkait dengan bentuk matriks yang
digunakan. Penggunaan toolbox pada Scilab untuk melakukan perhitungan
secara numerik merupakan salah satu cara untuk mendapat hasil lebih
tepat dan cepat. Penulis berharap penggunaan aljabar Max-Plus dapat
dikembangkan untuk mencari nilai-nilai yang bisa diperoleh pada CPM
namun belum bisa diperoleh pada aljabar Max-Plus, contohnya mencari
biaya optimum penyelesaian proyek.
DAFTAR PUSTAKA
Andersen MH. 2002. Max-Plus Algebra: Properties and Applications [tesis].
Laramie (US): University of Wyoming.
Anis M. 2012. Penjadwalan Proyek dengan Menggunakan Metode Jalur Kritis
[paper]. Semarang (ID): Universitas Diponegoro.
Duncan WR. 2013. Project A Guide to the Project Management Body of
Knowledge. Pennsylvania (US): Management Institute.
Ervianto WI. 2002. Manajemen Proyek Konstruksi. Yogyakarta (ID): ANDI.
Fraleigh JB. 1997. A First Course in Abstract Algebra. New York (US):
Addison-Wesley.
Rudhito MA. 2007. Semimodul Bilangan Fuzzy atas Aljabar Max-Plus Bilangan
Fuzzy. Prosiding Seminar Nasional Matematika. Bandung (ID):
Universitas Pendidikan Indonesia.
Subiono. 2013. Aljabar Maxplus dan Terapannya. Surabaya (ID): Institut
Sepuluh Nopember.
18
Lampiran 1 Perhitungan dengan Scilab:
19
20
21
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 3 April 1993 di Jakarta. Penulis merupakan
putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Suhaeri dan Ibu Nuril Huda. Tahun
2011 penulis lulus dari SMA Negeri 65 Jakarta dan lulus seleksi masuk Institut
Pertanian Bogor melalui Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri
(SNMPTN) jalur undangan. Penulis diterima di Departemen Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selain mengikuti perkuliahan pada
mayor Matematika, penulis juga mengikuti perkuliahan minor Sistem Informasi.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan berorganisasi.
Di tahun pertama penulis mengikuti Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) Futsal IPB.
Tiap tahunnya penulis ikut serta dalam perhelatan tahunan Olimpiade Mahasiswa
IPB (OMI) dalam cabang atletik, sepak bola, dan futsal. Penulis pernah menjabat
sebagai Ketua Departemen Informasi dan Komunikasi di Gugus Mahasiswa
Matematika (Gumatika) IPB.
ALJABAR MAX-PLUS: STUDI KASUS PADA PEMASANGAN
PENGOLAH AIR PDAM KOTA SEMARANG
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penjadwalan Proyek
Menggunakan Metode Aljabar Max-Plus: Studi Kasus pada Pemasangan
Pengolah Air PDAM Kota Semarang adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2015
Arpi Median Lavandi Noor
NIM G54110061
ABSTRAK
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR. Penjadwalan Proyek Menggunakan Metode
Aljabar Max-Plus: Studi Kasus pada Pemasangan Pengolah Air PDAM Kota
Semarang. Dibimbing oleh MUHAMMAD ILYAS dan SISWANDI.
Penjadwalan proyek adalah bagian dari manajemen proyek yang bertujuan
merencanakan pelaksanaan kegiatan-kegiatan dalam suatu proyek secara
terstruktur dan memiliki batasan waktu yang jelas. Keterkaitan antar kegiatan
dalam suatu proyek dapat ditransformasikan ke dalam bentuk matriks yang
kemudian dapat dianalisis menggunakan metode aljabar Max-Plus. Matriks inilah
yang akan diterapkan dalam perhitungan untuk mendapat solusi yang dibutuhkan
dalam penjadwalan proyek, seperti waktu optimum, jalur kritis, dan waktu
toleransi.
Kata kunci: aljabar Max-Plus, penjadwalan proyek, waktu optimum, jalur kritis.
ABSTRACT
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR. Project Scheduling Using Max-Plus Algebra:
a Case Study on the Installation of Water Treatment in Semarang. Supervised by
MUHAMMAD ILYAS and SISWANDI.
Project scheduling is part of the project management which planning the
implementation of activities in a project in a structured manner and have a clear
time limitation. The linkage among activities in a project can be transformed into
the form of matrix which can be analyzed by using max-plus algebraic method.
This matrix will then be applied in the calculation to obtain the required solution
of the project scheduling, such as the optimum time, critical path, and a time
tolerance.
Keywords: Max-Plus algebra, project scheduling, optimum time, critical path.
PENJADWALAN PROYEK MENGGUNAKAN METODE
ALJABAR MAX-PLUS: STUDI KASUS PADA PEMASANGAN
PENGOLAH AIR PDAM KOTA SEMARANG
ARPI MEDIAN LAVANDI NOOR
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada keluarga atas segala doa, semangat,
dan pengorbanan yang dilakukan demi terselesaikannya karya ilmiah ini. Terima
kasih juga penulis ucapkan kepada Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc sebagai
dosen Pembimbing I dan Bapak Drs Siswandi, MSi sebagai dosen Pembimbing II
serta Bapak Dr Sugi Guritman sebagai dosen Penguji yang telah banyak memberi
saran dan arahan selama proses bimbingan. Ucapan terima kasih juga disampaikan
kepada teman-teman Matematika IPB yang telah memberi motivasi dan masukan
selama pengerjaan karya ilmiah ini. Serta berbagai pihak yang pernah mengisi
hari-hari penulis selama pengerjaan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2015
Arpi Median Lavandi Noor
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
METODE
6
Metode Aljabar Max-Plus
6
Metode Jalur Kritis/Critical Path Method (CPM)
7
Data
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
SIMPULAN DAN SARAN
8
17
Simpulan
17
Saran
17
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
21
DAFTAR TABEL
1 Rincian kegiatan proyek
2 Hasil perhitungan CPM
8
16
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
Diagram relasi antar kegiatan
Diagram perhitungan maju
Diagram perhitungan mundur
Diagram perhitungan slack
9
13
15
16
DAFTAR LAMPIRAN
1 Perhitungan dengan Scilab
18
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Air telah menjadi kebutuhan pokok bagi seluruh makhluk hidup di muka
bumi sejak dahulu kala. Air bersih menjadi kriteria khusus bagi umat manusia
untuk memenuhi kebutuhan dalam segala aspek kehidupannya. Pertumbuhan
populasi manusia yang kian tinggi menimbulkan dampak pada kebutuhan air
bersih dalam jumlah yang besar. Oleh karena itu, keberadaan air bersih perlu
ditingkatkan demi kelancaran keberlangsungan hidup di berbagai daerah.
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) merupakan salah satu unit usaha
milik daerah yang diawasi dan dimonitori oleh aparat-aparat eksekutif maupun
legislatif daerah yang bergerak dalam distribusi air bersih bagi masyarakat umum.
Sebagai suatu lembaga, PDAM memiliki misi melaksanakan pelayanan air minum
yang berkesinambungan kualitas, kuantitas, dan kontinuitas. Permasalahan
penduduk yang ada mengakibatkan PDAM perlu melakukan peningkatan
kuantitas dan pengembangan kualitas air bersih, sesuai dengan misi yang
dicanangkan tersebut. Pihak PDAM mengadakan beberapa proyek pemasangan
pengolah air guna menjangkau daerah-daerah yang belum ataupun kekurangan
pasokan air bersih.
Sebuah proyek merupakan suatu kegiatan yang diorganisasikan untuk
mencapai tujuan dan sasaran dengan menggunakan sumber daya dan dana yang
tersedia, dan harus diselesaikan dalam jangka waktu tertentu. Penjadwalan dalam
proyek memiliki tujuan menentukan durasi total untuk menyelesaikan proyek;
menentukan waktu pelaksanaan masing-masing kegiatan; mengetahui kegiatankegiatan yang berada dalam jalur kritis.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian penjadwalan proyek
pemasangan pengolah air PDAM di kota Semarang menggunakan metode aljabar
Max-Plus. Proses pengolahan air pada PDAM terbagi menjadi dua jenis, yaitu
pengolahan air lengkap dan pengolahan air tidak lengkap. Pengolahan air lengkap
terdiri dari penyaringan (intake), koagulasi dan flokulasi (menggabungkan flokflok kecil), sedimentasi (mengendapkan flok-flok kecil), filtrasi (penyaringan
flok), klorinasi (menghilangkan zat desinfektan). Pengolahan air tidak lengkap
hanya diberlakukan pada air yang berasal dari mata air dan air tanah dalam, yang
prosesnya terdiri dari aerasi (mengurangi zat besi) dan chlorinasi.
Sumber utama karya ilmiah ini adalah tesis yang ditulis oleh Maria H.
Andersen (2002). Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini merupakan data
sekunder yang diperoleh dari paper yang ditulis oleh Madchan Anis (2012).
Solusi numerik yang diperoleh dalam karya ilmiah ini menggunakan software
Scilab 5.4.1 dengan menggunakan toolbox yang dikembangkan oleh Subiono
(2009).
2
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan:
1. Menyelesaikan masalah penjadwalan proyek menggunakan metode aljabar
Max-Plus
2. Menentukan waktu optimum, jalur kritis, dan waktu toleransi dalam suatu
proyek.
TINJAUAN PUSTAKA
Definisi 1 (Penjadwalan Proyek)
Penjadwalan proyek adalah bagian dari sistem manajemen proyek yang
bertujuan untuk menjamin pelaksanaan proyek secara tepat waktu, tepat biaya,
dan tepat mutu.
(Ervianto 2002)
Definisi 2 (Jalur Kritis)
Jalur kritis (critical path) adalah urutan kegiatan dalam proyek, yang
menentukan kemungkinan durasi penyelesaian proyek paling cepat.
(Duncan 2013)
Jika kegiatan yang terletak pada jalur kritis tertunda, maka waktu
penyelesaian proyek secara keseluruhan otomatis juga akan tertunda. Penyelesaian
proyek secara keseluruhan dapat dipercepat dengan mempercepat penyelesaian
kegiatan-kegiatan di jalur kritis.
Definisi 3 (Waktu Toleransi)
Waktu toleransi (slack time) adalah sejumlah waktu dari suatu kegiatan
yang mungkin bisa ditunda dari waktu mulai yang sebenarnya tanpa memengaruhi
waktu selesai keseluruhan proyek.
(Duncan 2013)
Waktu toleransi pada kegiatan yang berada di jalur kritis sama dengan 0
(nol). Hal ini memungkinkan relokasi sumber daya dari kegiatan nonkritis ke
kegiatan kritis.
3
Definisi 4 (Semigrup)
Semigrup adalah suatu himpunan dengan operasi biner asosiatif.
(Fraleigh 1997)
Definisi 5 (Semiring)
Suatu semiring , +,× adalah suatu himpunan takkosong
disertai
dengan dua operasi biner + dan ×, yang memenuhi aksioma berikut:
1.
, + merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu
∀ , , ∈ , memenuhi
a)
+ = + ,
b)
+ + = + + ,
c)
+ = = + .
2.
, × adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu ∀ , , ∈ ,
memenuhi
a)
× × = × × ,
b) × = = × .
3. Terdapat elemen yang bersifat absorbing terhadap operasi ×, yaitu elemen
netral , karena ∀ ∈ , memenuhi
× = × = .
4. Operasi × distributif terhadap +, yaitu ∀ , , ∈ berlaku
a)
+ × = × + × ,
b) × + = × + × .
Suatu semiring
, +,× dikatakan komutatif jika operasi × bersifat
komutatif, yaitu ∀ , ∈ berlaku × = × .
(Rudhito 2007)
Aljabar Max-Plus
Aljabar Max-Plus adalah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan
bilangan riil digabung dengan −∞ , dengan operasi penjumlahan,
, yang
didefinisikan sebagai pengambilan nilai maksimum dan operasi perkalian, ⊗ ,
yang didefinisikan sebagai operasi penjumlahan biasa pada himpunan bilangan riil.
Untuk lebih jelasnya, diberikan ℝ �� = ℝ ∪ {−∞} , diberikan operasi
di
dalam ℝ �� dengan
= max ,
dan operasi ⊗ dalam ℝ �� dengan
= + . Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan ℝ �� dengan
operasi biner ⊕ dan ⊗, dinotasikan sebagai (ℝ �� , , ⊗) disebut aljabar
Max-Plus.
4
Teorema 1 Di dalam struktur aljabar (ℝ �� , , ⊗) memenuhi sifat-sifat
berikut:
1. (ℝ �� , , ⊗) adalah semiring.
2. Operasi perkalian bersifat asosiatif dan komutatif, yaitu ∀ , , ∈ ℝ �� ,
berlaku
a.
=
,
b.
=
.
3. Elemen identitas terhadap operasi perkalian adalah 0, karena ∀ ∈ ℝ ��
berlaku
= .
4. Sifat distributif ⊗ terhadap , yaitu ∀ , , ∈ ℝ �� , berlaku
a.
=
,
b.
=
.
5. Elemen identitas terhadap operasi penjumlahan, −∞ , memiliki sifat
absorbing terhadap operasi perkalian, misalkan ∀ ∈ ℝ �� berlaku
−∞ = −∞.
Bukti:
1. Akan dibuktikan (ℝ �� , , ⊗) memenuhi aksioma semiring:
a. ℝ �� , ⊕ merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral
−∞.
1) Ambil , ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊕ = max ,
= max ,
= ⊕
maka berlaku sifat komutatif pada ⊕.
2) Ambil , , ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊕ ⊕ = max max , ,
= max , ,
= max , max ,
= ⊕ ⊕
maka berlaku sifat assosiatif pada ⊕.
3) Ambil ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊕ −∞ = max , −∞
=
maka −∞ merupakan elemen netral pada ℝ �� terhadap
operasi ⊕.
Berdasarkan 1), 2), dan 3), terbukti ℝ �� , ⊕ merupakan
semigrup komutatif dengan elemen netral −∞.
b. (ℝ �� , ⊗) adalah semigrup dengan elemen satuan 0.
1) Ambil , , ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊗ ⊗ = + +
= + +
= ⊗ ⊗
maka berlaku sifat asosiatif pada ⊗.
5
2.
3.
4.
5.
2) Ambil ∈ ℝ �� sebarang dan ∈ ℝ �� , karena
⊗ = +
=
maka 0 merupakan elemen satuan pada (ℝ �� , ⊗).
c. Elemen netral −∞ memiliki sifat absorbing terhadap operasi ⊗.
Ambil ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊗ −∞ = + −∞
= −∞
maka −∞ memiliki sifat absorbing terhadap ⊗ untuk setiap
anggota ℝ �� .
d. Operasi ⊗ bersifat distributif terhadap operasi ⊕.
Ambil , , ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊕ ⊗ = max , +
= max + , +
= ⊗ ⊕ ⊗
maka terbukti operasi ⊗ bersifat distributif terhadap operasi ⊕.
Berdasarkan pembuktian a.,b.,c., dan d., maka bukti lengkap bahwa
(ℝ �� , , ⊗) adalah semiring.
Akan dibuktikan bahwa operasi ⊗ pada aljabar Max-Plus memiliki sifat
komutatif.
Ambil , ∈ ℝ �� sebarang, karena
⊗ = +
= +
= ⊗
maka berlaku sifat komutatif pada ⊗.
Akan dibuktikan elemen netral terhadap operasi perkalian adalah 0.
Ambil ∈ ℝ �� sebarang, berlaku
⊗ = + =
Akan dibuktikan sifat distributif ⊗ terhadap , yaitu ∀ , , ∈ ℝ �� ,
berlaku:
=
Ambil , , ∈ ℝ �� sebarang, berlaku
⊗ ⊕ = + max ,
= max + , +
= ⊗ ⊕ ⊗
Akan dibuktikan elemen identitas terhadap operasi penjumlahan, −∞ ,
memiliki sifat absorbing terhadap operasi perkalian, yaitu ∀ ∈ ℝ ��
berlaku
−∞ = −∞
Ambil ∈ ℝ �� sebarang, berlaku
−∞ = + −∞ = −∞
6
Operasi Matriks pada Aljabar Max-Plus
Aljabar Max-Plus dapat diperluas untuk elemen matriks. Operasi pada
elemen matriks dibutuhkan untuk melakukan perhitungan pada penjadwalan
proyek menggunakan metode Max-Plus.
Diberikan dan adalah matriks berukuran
× dengan
= [ ] ; = [ ],
= , ,… ; = , ,…, ,
dengan nilai-nilai
,
∈ ℝ �� dan ∈ ℝ �� , didefinisikan operasi
penjumlahan matriks Max-Plus dan sebagai berikut:
Diberikan
dengan
= [
] = [max(
matriks berukuran
= , ,…
= [
×
];
dan
= [
; = , ,… ;
,
)].
matriks berukuran
],
�
= , , … �,
dengan nilai-nilai
,
∈ ℝ �� , didefinisikan perkalian dua matriks,
matriks dikalikan dengan matriks
dapat ditulis
merupakan matriks
berukuran
× � dengan elemen baris ke-i kolom ke-j sebagai berikut:
=(
) (
) ⊕ …⊕ (
) = max(
j
+
).
METODE
Metode Max-Plus pada Penjadwalan Proyek
Berikut langkah-langkah untuk mencari solusi penjadwalan proyek dengan
menggunakan aljabar Max-Plus.
1. Formulasikan data yang ada ke dalam bentuk diagram. Berikan kegiatan
tambahan �, � pada diagram. Tiap kegiatan i yang tidak memiliki
kegiatan pendahulu, berikan arah dari � ke i dengan bobot 0. Tiap kegiatan
j yang tidak memiliki kegiatan setelahnya, berikan arah dari j ke � dengan
bobot waktu penyelesaian kegiatan j. Berikan arah pada kegiatan i menuju
kegiatan j yang saling berkaitan dengan bobot sama dengan lama proses
kegiatan i.
2. Buat matriks Max-Plus , dengan elemen
adalah bobot dari kegiatan i
ke kegiatan j. Jika i dan j tidak saling berkaitan, maka elemen
bernilai
-∞.
+
…
, dengan n adalah banyaknya kegiatan
3. Hitung ∗ =
sebelum ditambahkan dengan �, �.
∗
4. Waktu penyelesaian optimum adalah ��
7
5. Cari nilai vektor rute terjauh
, vektor slack
. Kedua vektor
berukuran × tanpa memuat �, �.
∗
= �∗ ⊗ ∗�
= ��
−
6. Jalur kritis adalah elemen pada vektor slack yang bernilai 0 ( = ).
Metode Jalur Kritis/Critical Path Method (CPM) pada Penjadwalan Proyek
Algoritma CPM
Perhitungan maju
1. Suatu kegiatan dapat dimulai bila kegiatan pendahulunya telah selesai,
kecuali kegiatan awal, maka waktu mulai paling awal
kegiatan awal
adalah
= .
2. Waktu selesai paling awal
suatu kegiatan sama dengan waktu mulai
paling awal ditambah waktu penyelesaian
kegiatan tersebut.
=
+ .
3. Bila suatu kegiatan memiliki dua atau lebih kegiatan pendahulu, maka
waktu mulai paling awal kegiatan tersebut adalah waktu selesai paling
awal terbesar dari kegiatan-kegiatan pendahulunya.
= max
.
�� � �
�ℎ
�� �
Perhitungan Mundur
4. Waktu mulai paling akhir (� ) suatu kegiatan sama dengan waktu selesai
paling akhir (� ) dikurangi waktu penyelesaian ( ) kegiatan tersebut.
� =� − .
5. Apabila suatu kegiatan memiliki dua kegiatan atau lebih kegiatan
setelahnya, maka waktu selesai paling akhir kegiatan tersebut sama dengan
waktu mulai paling akhir terkecil kegiatan setelahnya.
� = min � � � �
.
�ℎ � � �
Perhitungan Slack
6. Slack time diperoleh dengan cara
=� −
=� −
.
Data
Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data yang terdapat
dalam proyek pemasangan instalasi pengolah air (water treatment) pada
Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) di kota Semarang. Data tersebut didapat
dari paper yang ditulis oleh Madchan Anis pada tahun 2012. Pada bagian
Simpulan akan dibandingkan hasil yang diperoleh dengan metode aljabar MaxPlus dengan Metode Jalur Kritis (CPM) yang telah dilakukan pada paper tersebut.
Rincian kegiatan dan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek tersebut
sebagai berikut:
8
Tabel 1 Rincian kegiatan proyek
1. Perencanaan sistem
-
Waktu penyelesaian
(hari)
12
2. Pembuatan saluran air
1
10
3. Pembuatan pondasi
1
11
4. Pemesanan mesin
1
14
5. Pembuatan instalasi listrik
3
8
6. Pemasangan pipa
2,5
9
7. Pemasangan mesin
3,4
7
8. Finishing dan start up
6,7
6
Kegiatan
Kegiatan pendahulu
HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode Aljabar Max-Plus
Karya ilmiah ini akan memformulasikan masalah penjadwalan proyek
dengan menggunakan metode aljabar Max-Plus. Dengan mengikuti langkahlangkah yang diberikan pada metode, akan diperoleh nilai dari waktu optimum
untuk penyelesaian keseluruhan proyek beserta nilai-nilai dari jalur kritis dan
waktu toleransi.
Langkah 1
Transformasikan data pada Tabel 1 ke dalam bentuk diagram. Hal ini
dilakukan untuk melihat relasi antar tiap kegiatan. Pada Tabel 1 terlihat bahwa
kegiatan yang tidak memiliki kegiatan pendahulu adalah kegiatan 1, maka berikan
arah dari � ke
dengan bobot 0. Kegiatan yang tidak memiliki kegiatan
setelahnya adalah kegiatan 8, maka berikan arah dari 8 ke � dengan bobot waktu
penyelesaian kegiatan 8, yaitu 6. Untuk kegiatan lain yang saling berhubungan,
berikan arah satu sama lain dengan bobot waktu penyelesaian kegiatan yang lebih
dahulu. Jika data yang dimasukkan sudah benar, akan diperoleh diagram seperti
Gambar 1 berikut:
9
Gambar 1 Diagram relasi antar kegiatan
Langkah 2
Dari diagram pada Gambar 1, kemudian ditransformasikan ke dalam
bentuk matriks Max-Plus , yang tiap elemennya adalah bobot dari waktu
penyelesaian suatu kegiatan menuju kegiatan lain yang saling berkaitan. Jika
antar kegiatan tidak saling berkaitan maka berikan nilai −∞. Akan diperoleh
matriks Max-Plus sebagai berikut:
�
� −∞
=
−∞ −∞ −∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞
−∞
�[
Langkah 3
Kemudian akan dihitung nilai
∗
=
*
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
�
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞]
,
…
+
.
Untuk mendapat nilai *, diperlukan nilai 2, 3, 4, 5, 6, 7,
dan 9. Setelah dilakukan perhitungan secara manual, didapat nilai
sampai 9 sebagai berikut:
8
,
2
10
=
�
� −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
=
�[
�
� −∞ −∞
−∞
=
=
�[
=
=
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞ −∞
−∞
−∞ −∞
−∞
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
−∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
�
� −∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
�[
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
�
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞]
�
−∞ −∞
−∞
−∞
−∞ −∞
−∞
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞ ]
−∞
−∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
�
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞]
11
=
=
�
� −∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
�[
=
=
�
� −∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞
�[
= [−∞] ;
Setelah didapat nilai
∗
�
� −∞
∗
=
�[
= [−∞] ;
sampai
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
= [−∞] .
, maka akan diperoleh nilai
∗
�
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞ ]
�
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞
−∞ ]
yaitu
=
−∞
−∞ −∞ −∞ −∞
−∞ −∞
−∞ −∞
−∞
−∞
�
−∞
−∞
−∞ −∞
−∞
−∞
−∞]
Langkah 4
Dari matriks ∗ diperoleh waktu optimum penyelesaian keseluruhan
∗
proyek, yaitu nilai dari ��
= . Hal ini menunjukkan penyelesaian proyek
secara keseluruhan tidak bisa kurang dari waktu 46 hari.
12
Langkah 5
Kemudian akan dicari jalur kritis pada proyek yang didapat dengan
mencari vektor , dengan elemen ke- adalah
=
yaitu
=
=
dan vektor
[ ]
[
∗
�
+
+
+
+
+
+
+
+
dengan elemen ke- adalah
=
yaitu
=
=
[ ]
[
∗
��
−
−
−
−
−
−
−
−
∗
�
⊗
,
=
[
]
−
,
=
]
]
.
[ ]
Dari vektor yang elemennya bernilai 0, maka kegiatan tersebut termasuk
dalam jalur kritis, sehingga didapat jalur kritis pada proyek adalah 1-3-5-6-8. Dari
vektor juga diperoleh nilai waktu toleransi dari tiap kegiatan, yaitu nilai pada
tiap elemen vektor sesuai dengan masing-masing kegiatan. Dapat diartikan
bahwa kegiatan 2 dapat ditunda, tanpa memengaruhi waktu penyelesaian
keseluruhan proyek, selama maksimal 9 hari.
Metode Jalur Kritis/ Critical Path Method (CPM)
Perhitungan Maju
Berdasarkan algoritma CPM, maka pertama akan dilakukan perhitungan
maju. Perhitungan maju ini bertujuan untuk melihat waktu optimum yang
dibutuhkan suatu proyek untuk menyelesaikan keseluruhan kegiatan.
Waktu mulai paling awal ( ) kegiatan pertama pada proyek adalah nol.
Maka waktu mulai paling awal kegiatan 1 adalah nol.
=
13
Waktu mulai paling awal suatu kegiatan adalah waktu selesai paling awal
(
) kegiatan pendahulunya. Waktu selesai paling awal
suatu kegiatan
adalah waktu mulai paling awal kegiatan ditambahkan dengan lama waktu
penyelesaian ( ) kegiatan bersangkutan.
=
=
=
+
=
+
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
+
= max
=
+
,
=
= max
+ =
= max
=
+
,
=
= max
+ =
=
=
=
=
=
=
=
+
=
+
=
+
=
Jika suatu kegiatan memiliki lebih dari satu kegiatan pendahulu, maka
waktu mulai paling akhir kegiatan tersebut adalah nilai maksimal dari waktu
selesai paling awal dari kegiatan-kegiatan pendahulunya.
= max
=
+
,
=
= max
+ =
,
=
,
=
,
=
Perhitungan maju CPM dapat digambarkan seperti diagram pada Gambar 2
berikut.
Gambar 2 Diagram perhitungan maju
14
Diagram pada Gambar 2 menunjukkan alur pengerjaan kegiatan-kegiatan
pada proyek, dari kegiatan awal hingga kegiatan akhir. Tiap lingkaran pada
diagram mewakili kegiatan-kegiatan dalam proyek, dari kegiatan 1 sampai
kegiatan 8. Pada data terlihat bahwa kegiatan 1 merupakan kegiatan pendahulu
bagi kegiatan 2, kegiatan 3, dan kegaiatan 4, maka pada diagram diberikan panah
dari lingkaran 1 menuju lingkaran 2, 3, dan 4, dan begitu selanjutnya. Dua angka
yang terdapat di atas nomor kegiatan menunjukkan
dan
kegiatan
bersangkutan secara berurutan, sesuai dengan yang terdapat pada perhitungan
maju.
Perhitungan Mundur
Waktu selesai paling awal kegiatan terakhir, yaitu kegiatan delapan, yang
merupakan waktu optimum penyelesaian keseluruhan proyek juga merupakan
waktu selesai paling akhir dari kegiatan tersebut.
�
=
=�
=
Waktu mulai paling akhir (� ) adalah waktu selesai paling akhir (� )
dikurangi dengan lama waktu penyelesaian ( ) kegiatan bersangkutan.
�
�
=�
=�
−
=
=
−
=
=
−
=
�
�
=�
=�
−
=
−
=
=
−
=
=
−
=
=�
−
=
−
=
−
=
=�
=�
=
−
=
−
=
�
�
�
�
�
=�
=�
=�
=�
Jika suatu kegiatan memiliki lebih dari satu kegiatan seteleahnya, maka
waktu selesai paling akhir kegiatan tersebut adalah nilai minimal dari waktu mulai
paling akhir dari kegiatan-kegiatan setelahnya
.
� = min � , �
= min
,
=
� =� − =
−
=
�
�
�
�
= min � , � , �
=� − =
−
= min
=
,
,
=
15
Perhitungan mundur CPM dapat digambarkan seperti diagram pada
Gambar 3 berikut.
Gambar 3 Diagram perhitungan mundur
Sama seperti diagram perhitungan maju, diagram perhitungan mundur
menggambarkan alur pengerjaan keseluruhan proyek, namun dari kegiatan akhir
hingga kegiatan awal. Dua angka di bagian bawah lingkaran merupakan nilai-nilai
dari � dan � secara berurutan masing-masing kegiatan dari hasil perhitungan
mundur.
Perhitungan Slack
Waktu toleransi ( ) suatu kegiatan adalah hasil dari waktu mulai paling
akhir dikurangi waktu mulai paling awal, atau waktu selesai paling akhir
dikurangi waktu selesai paling awal kegiatan yang bersangkutan. Untuk kegiatan
yang memiliki waktu toleransi nol, maka kegiatan tersebut masuk ke dalam jalur
kritis.
=�
−
=�
=�
−
=
=�
−
=
−
Berikut adalah perhitungan slack tiap kegiatan.
=�
=�
=�
=�
=�
=�
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
16
Perhitungan slack dapat digambarkan sebagai gabungan dari diagram
perhitungan maju dan perhitungan mundur. Pada diagram perhitungan slack,
bagian atas lingkaran merupakan hasil perhitungan maju, dan bagian bawah
merupakan hasil perhitungan mundur. Jika angka-angka pada bagian atas
lingkaran sama dengan angka-angka pada bagian bawah lingkaran, maka kegiatan
tersebut masuk ke dalam jalur kritis. Berikut adalah diagram perhitungan slack:
Gambar 4 Diagram perhitungan slack
Hasil CPM
Hasil yang didapat dengan metode CPM pada pembahasan sebelumnya
sesuai dengan hasil yang terdapat pada paper rujukan Madchan Anis (2012) yaitu
seperti pada Tabel 2 berikut:
Tabel 2 Hasil CPM
Nama
Berada di
Lama
Waktu
kegiatan jalur kritis
kegiatan
toleransi
1
Ya
12
0
2
Tidak
10
9
3
Ya
11
0
4
Tidak
14
7
5
Ya
8
0
6
Ya
9
0
7
Tidak
7
7
8
Ya
6
0
Waktu penyelesaian keseluruhan proyek = 46 hari
17
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Permasalahan penjadwalan proyek dapat diselesaikan dengan
metode aljabar Max-Plus. Waktu optimum penyelesaian keseluruhan
proyek adalah 46 hari, kegiatan-kegiatan yang masuk ke dalam jalur kritis
yaitu kegiatan 1-3-5-6-8, dan waktu toleransi kegiatan 2 yaitu 9 hari,
kegiatan 4 yaitu 7 hari, kegiatan 7 yaitu 7 hari, dan kegiatan lain tidak
memiliki waktu toleransi. Untuk data yang terdapat dalam paper rujukan
yang ditulis oleh Madchan Anis (2012), hasil yang diperoleh dalam
metode aljabar Max-Plus sesuai dengan hasil yang diperoleh dalam
Metode Jalur Kritis (CPM).
Saran
Metode aljabar Max-Plus memiliki proses perhitungan yang
membutuhkan ketelitian cukup tinggi terkait dengan bentuk matriks yang
digunakan. Penggunaan toolbox pada Scilab untuk melakukan perhitungan
secara numerik merupakan salah satu cara untuk mendapat hasil lebih
tepat dan cepat. Penulis berharap penggunaan aljabar Max-Plus dapat
dikembangkan untuk mencari nilai-nilai yang bisa diperoleh pada CPM
namun belum bisa diperoleh pada aljabar Max-Plus, contohnya mencari
biaya optimum penyelesaian proyek.
DAFTAR PUSTAKA
Andersen MH. 2002. Max-Plus Algebra: Properties and Applications [tesis].
Laramie (US): University of Wyoming.
Anis M. 2012. Penjadwalan Proyek dengan Menggunakan Metode Jalur Kritis
[paper]. Semarang (ID): Universitas Diponegoro.
Duncan WR. 2013. Project A Guide to the Project Management Body of
Knowledge. Pennsylvania (US): Management Institute.
Ervianto WI. 2002. Manajemen Proyek Konstruksi. Yogyakarta (ID): ANDI.
Fraleigh JB. 1997. A First Course in Abstract Algebra. New York (US):
Addison-Wesley.
Rudhito MA. 2007. Semimodul Bilangan Fuzzy atas Aljabar Max-Plus Bilangan
Fuzzy. Prosiding Seminar Nasional Matematika. Bandung (ID):
Universitas Pendidikan Indonesia.
Subiono. 2013. Aljabar Maxplus dan Terapannya. Surabaya (ID): Institut
Sepuluh Nopember.
18
Lampiran 1 Perhitungan dengan Scilab:
19
20
21
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 3 April 1993 di Jakarta. Penulis merupakan
putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Suhaeri dan Ibu Nuril Huda. Tahun
2011 penulis lulus dari SMA Negeri 65 Jakarta dan lulus seleksi masuk Institut
Pertanian Bogor melalui Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri
(SNMPTN) jalur undangan. Penulis diterima di Departemen Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selain mengikuti perkuliahan pada
mayor Matematika, penulis juga mengikuti perkuliahan minor Sistem Informasi.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan berorganisasi.
Di tahun pertama penulis mengikuti Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) Futsal IPB.
Tiap tahunnya penulis ikut serta dalam perhelatan tahunan Olimpiade Mahasiswa
IPB (OMI) dalam cabang atletik, sepak bola, dan futsal. Penulis pernah menjabat
sebagai Ketua Departemen Informasi dan Komunikasi di Gugus Mahasiswa
Matematika (Gumatika) IPB.