Metode Branch And Bound Untuk Penjadwalan Proyek Dengan Generalized Precedence Relations

METODE

BRANCH AND BOUND

UNTUK PENJADWALAN

PROYEK DENGAN

GENERALIZED

PRECEDENCE RELATIONS

SKRIPSI

JENNI PARULIANA

070803029

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

METODE BRANCH AND BOUND UNTUK PENJADWALAN

PROYEK DENGAN GENERALIZED

PRECEDENCE RELATIONS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

JENNI PARULIANA 070803029

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

PERSETUJUAN

Judul : METODE BRANCH AND BOUND UNTUK PENJADWALAN PROYEK DENGAN GENERALIZED PRECEDENCE RELATIONS

i Kategori : SKRIPSI

Nama : JENNI PARULIANA

Nomor Induk Mahasiswa : 070803029

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, 2011 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Dra. Elly Rosmaini, M.Si Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si NIP 19600520 198503 2 002 NIP 19460404 197107 1 001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Drs. Tulus, M.Si NIP.19620901 198803 1 002

PERNYATAAN

METODE BRANCH AND BOUND UNTUK PENJADWALAN PROYEK DENGAN GENERALIZED

PRECEDENCE RELATIONS

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 2011

JENNI PARULIANA 070803029

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan karunia-Nya, sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan. Dalam kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih dan penghargaan penulis sampaikan kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si. selaku pembimbing 1 dan Ibu Dra. Elly Rosmaini, M.Si. selaku pembimbing 2 yang telah memberikan bimbingan dan kepercayaan kepada penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.

2. Bapak Prof. Dr. Drs. Herman Mawengkang dan Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si. selaku dosen pembanding/penguji penulis.

3. Bapak Syahril Efendi, S.Si., M.IT. selaku dosen wali penulis selama mengikuti perkuliahan.

4. Bapak Prof. Drs. Tulus, M.Si. dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si. selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

5. Dekan dan Pembantu Dekan FMIPA USU.

6. Semua Dosen di Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU, dan rekan-rekan kuliah yang selama ini telah memberikan semangat, kritik, dan saran dalam pengerjaan skripsi ini.

7. Khususnya kepada kedua orang tua penulis yang tercinta Bapak Daniel dan Ibu Yasinta, saudara laki-laki Jonni Parulian dan Jonatan Parulian, serta saudara perempuan Juliana Parulian yang selalu memberikan doa, bimbingan, dan pengorbanan baik moril maupun materil kepada penulis selama masa perkuliahan hingga selesainya skripsi ini.

Semoga budi baik dan bantuan beliau-beliau mendapat balasan dari Tuhan Yang Maha Esa. Amin.

Medan, Maret 2011 Penulis

ABSTRAK

Masalah penjadwalan adalah suatu masalah optimasi kombinatorial. Pada dasarnya, penjadwalan adalah pengalokasian sumber-sumber yang ada dalam menyelesaikan suatu proyek. Branch and bound merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi optimal pada penjadwalan dengan Generalized Precedence Relations. Generalized Precedence Relations (GPR) menyangkut dua teknik, yaitu Critical Path Methode (CPM) dan Project Evaluation and Review Technique (PERT) yang sangat dibutuhkan dalam penjadwalan proyek. Fungsi tujuan dalam penelitian ini adalah menjadwalkan proyek dengan kendala GPR dan batas waktu yang ditentukan, dengan tujuan meminimumkan Net Present Value (NPV) dari proyek.

BRANCH AND BOUND METHOD FOR PROJECT SCHEDULING WITH GENERALIZED

PRECEDENCE RELATIONS

ABSTRACT

Scheduling problem is a combinatorial optimization problem. Essentially, scheduling is an allocatioan of available sources for solving project. Branch and bound is one of methods which can be used to obtain an optimal solution for scheduling project with Generalized Precedence Relation (GPR). Generalized Precedence Relations is about two technique, namely Critical Path Methode (CPM) and Project Evaluation and Review Technique (PERT) which is needed in project scheduling. Objective function of this issue is to find a project schedule with GPR constraint and a fixed deadline, such that the Net Present Value (NPV) of project is minimized.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

BAB 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Kontribusi Penelitian 3

1.6 Metode Penelitian 3

1.7 Tinjauan Pustaka 3

BAB 2 Landasan Teori 6

2.1 Konsep Penjadwalan Proyek 6 2.2 Jaringan Kerja (Network) 7 2.2.1 Critical Path Method (CPM) 9 2.2.2 Program Evaluation and Review Technique (PERT) 9

2.2.3 Lintasan Kritis 9

2.3. Model Penjadwalan Proyek dengan GPR 10

2.4 Matriks dan Operasi Matriks 14

2.4.1 Definisi Matriks 14

2.4.2 Operasi Matriks 15

2.4.2.1 Penjumlahan Matriks 15 2.4.2.2 Perkalian Matriks dengan Skalar 16

2.4.2.3 Perkalian Matriks 16

BAB 3 Pembahasan 18

3.1 Metode Branch and Bound 18

3.1.1 Algoritma Dasar 18

3.1.1.1 Breadht First Search (BFS) 18 3.1.1.2 Depth First Search (DFS) 19

3.1.2 Jadwal Awal 19

3.1.3 Strategi Pencarian dan Percabangan 20 3.1.4 Batas Bawah (Lower Bound) 22 3.2 Contoh Kasus dan Penyelesaiannya 24

BAB 4 Kesimpulan dan Saran 59

4.1 Kesimpulan 59

4.2 Saran 59

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 2.1 Notasi yang digunakan dalam kendala GPR 10

Tabel 3.1 Data proyek 26

Tabel 3.2 Data dan 26

Tabel 3.3 Hasil perolehan untuk node 1 28 Tabel 3.4 Hasil perolehan untuk node 2 31 Tabel 3.5 Hasil perolehan untuk node 3 33 Tabel 3.6 Hasil perolehan untuk node 4 35 Tabel 3.7 Hasil perolehan untuk node 5 37 Tabel 3.8 Hasil perolehan untuk node 6 39 Tabel 3.9 Hasil perolehan untuk node 7 41 Tabel 3.10 Hasil perolehan untuk node 8 43 Tabel 3.11 Hasil perolehan untuk node 9 45 Tabel 3.12 Hasil perolehan untuk node 10 47 Tabel 3.13 Hasil perolehan untuk node 11 49 Tabel 3.14 Hasil perolehan untuk node 12 52 Tabel 3.15 Hasil perolehan untuk node 13 54

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Simbol GPR 8

Gambar 2.2 Simbol kegiatan 8

Gambar 2.3 Simbol kegiatan dummy 8

Gambar 2.4 Hubungan antara kegiatan dengan kejadian 8

Gambar 2.5 Kendala 11

Gambar 2.6 Kendala 11

Gambar 2.7 Kendala 11

Gambar 2.8 Kendala 11

Gambar 2.9 Kendala 12

Gambar 2.10 Kendala 12

Gambar 2.11 Kendala 12

Gambar 3.1 Conflict set jenis I 22

Gambar 3.2 Conflict set jenis II 22

Gambar 3.3 Conflict set jenis III 23

Gambar 3.4 Diagram pohon metode Branch and Bound 24 Gambar 3.5 Jaringan kerja proyek dengan GPR 25 Gambar 3.6 Jaringan kerja standar proyek 25 Gambar 3.7 Gantt Chart untuk jadwal awal 27 Gambar 3.8 Gambaran kondisi pohon pada node 1 29 Gambar 3.9 Gambaran kondisi pohon pada node 2 31

Gambar 3.10 Gantt Chart untuk node 2 31

Gambar 3.11 Gambaran kondisi pohon pada node 3 33 Gambar 3.12 Gambaran kondisi pohon pada node 4 35 Gambar 3.13 Gambaran kondisi pohon pada node 5 37 Gambar 3.14 Gambaran kondisi pohon pada node 6 39 Gambar 3.15 Gambaran kondisi pohon pada node 7 41 Gambar 3.16 Gambaran kondisi pohon pada node 8 43 Gambar 3.17 Gambaran kondisi pohon pada node 9 46 Gambar 3.18 Gambaran kondisi pohon pada node 10 48 Gambar 3.19 Gambaran kondisi pohon pada node 11 50 Gambar 3.20 Gambaran kondisi pohon pada node 12 52 Gambar 3.21 Gambaran kondisi pohon pada node 13 55 Gambar 3.22 Gambaran kondisi pohon pada node 14 58 Gambar 3.23 Gantt Chart untuk jadwal optimal 58

ABSTRAK

Masalah penjadwalan adalah suatu masalah optimasi kombinatorial. Pada dasarnya, penjadwalan adalah pengalokasian sumber-sumber yang ada dalam menyelesaikan suatu proyek. Branch and bound merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi optimal pada penjadwalan dengan Generalized Precedence Relations. Generalized Precedence Relations (GPR) menyangkut dua teknik, yaitu Critical Path Methode (CPM) dan Project Evaluation and Review Technique (PERT) yang sangat dibutuhkan dalam penjadwalan proyek. Fungsi tujuan dalam penelitian ini adalah menjadwalkan proyek dengan kendala GPR dan batas waktu yang ditentukan, dengan tujuan meminimumkan Net Present Value (NPV) dari proyek.

BRANCH AND BOUND METHOD FOR PROJECT SCHEDULING WITH GENERALIZED

PRECEDENCE RELATIONS

ABSTRACT

Scheduling problem is a combinatorial optimization problem. Essentially, scheduling is an allocatioan of available sources for solving project. Branch and bound is one of methods which can be used to obtain an optimal solution for scheduling project with Generalized Precedence Relation (GPR). Generalized Precedence Relations is about two technique, namely Critical Path Methode (CPM) and Project Evaluation and Review Technique (PERT) which is needed in project scheduling. Objective function of this issue is to find a project schedule with GPR constraint and a fixed deadline, such that the Net Present Value (NPV) of project is minimized.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Suatu proyek dapat dikatakan sebagai suatu rangkaian kegiatan-kegiatan yang mempunyai saat awal dilaksanakan serta diselesaikan dalam jangka waktu tertentu untuk mencapai suatu tujuan (P. Siagian, 1987, hal: 287). Proyek akan dikatakan selesai apabila seluruh kegiatan yang merangkai proyek tersebut selesai. Kegiatan-kegiatan yang mengisi suatu proyek memiliki keterikatan. Hal ini memungkinkan suatu kegiatan harus diselesaikan lebih dulu sebelum kegiatan yang lain dimulai.

Suatu kegiatan dalam suatu proyek biasanya dipandang sebagai suatu pekerjaan (job) yang dalam penyelesaiannya memerlukan sumber daya seperti waktu, tenaga, dan biaya (J. Supranto, 1988, hal: 232). Pada perusahaan produksi, semua sumber daya yang diperlukan untuk menyelesaikan proses produksi harus tersedia. Kadang kala sumber daya tersebut memiliki kuantitas dan kualitas yang terbatas sehingga perusahaan dituntut untuk bisa mengalokasikan sumber daya yang ada (terbatas) supaya proses produksi tetap berjalan lancar tanpa mengurangi keuntungan. Solusi untuk mengatasi masalah tersebut adalah penjadwalan. Dalam penjadwalan, jika ada kegiatan yang akan melewati proses pada mesin maka terdapat kombinasi jadwal. Dari kombinasi jadwal tersebut akan dipilih jadwal yang optimal. Penjadwalan berkaitan dengan penugasan (assignment) mesin-mesin yang digunakan untuk menyelesaikan setiap operasi dimana setiap mesin mempunyai sejumlah kegiatan yang menunggu untuk diproses sesuai dengan urutan prosesnya. Konsep penjadwalan yang baik akan mampu memberikan petunjuk dan sekaligus menjadi kendali di dalam pelaksanaan proyek produksi. Sistem penjadwalan yang terbentuk akan memberikan petunjuk bagaimana seharusnya urutan kegiatan yang akan melalui

setiap mesin, kapan seharusnya masing-masing kegiatan start dan finish, serta kapan seharusnya keseluruhan proyek produksi selesai dikerjakan. Dengan demikian sistem penjadwalan sangat berperan dalam pelaksanaan proyek agar proses produksi dapat berjalan dengan efektif dan efisien.

Metode Branch and Bound merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan penjadwalan proyek dengan Generalized Precedence Relations yang optimal. Metode ini mula-mula dipakai oleh A. H. Land dan A. G. Doig pada 1960. Baik program linier maupun program nonlinier dapat diselesaikan dengan metode Branch and Bound.

Berdasarkan permasalahan dari uraian di atas, penulis memberi judul tulisan

ini dengan “Metode Branch and Bound untuk Penjadwalan Proyek dengan Generalized Precedence Relations”.

1.2 Identifikasi Masalah

Permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana metode Branch and Bound dalam menentukan penjadwalan proyek dengan Generalized Precedence Relations yang optimal.

1.3 Batasan Masalah

Agar tulisan ini terfokus dan tidak menyimpang dari tujuannya, maka diadakan pembatasan masalah, yaitu:

1. Masalah yang dibahas adalah penjadwalan proyek dengan kendala Generalized Precedence Relations dengan bobot kecepatan-keterlambatan.

2. Hasil akhir yang akan dicapai adalah solusi optimal penjadwalan proyek dengan

Generalized Precedence Relations menggunakan metode Branch and Bound

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui bagaimana metode Branch and Bound dalam mengoptimalkan penjadwalan proyek dengan Generalized Precedence Relations.

1.5 Kontribusi Penelitian

Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah menambah referensi yang berhubungan dengan problem penjadwalan yang diharapkan dapat membantu para pengambil keputusan dalam mengatasi problem penjadwalan proyek.

1.6 Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Menjelaskan proyek dan penjadwalan proyek dengan Generalized Precedence Relations.

2. Menjelaskan metode Branch and Bound untuk pencarian solusi.

3. Membahas masalah penjadwalan proyek dengan Generalized Precedence Relations untuk mendapatkan solusi optimal.

4. Menarik kesimpulan dan saran.

1.7 Tinjauan Pustaka

Karena tulisan ini adalah studi literatur, maka tinjauan kepustakaan merupakan tolak ukur yang utama untuk menyelesaikan tulisan ini. Beberapa literatur yang mendukung tulisan ini antara lain:

P. K. Gupta dan D. S. Hira (2007) dalam bukunya menguraikan tentang

jaringan kerja dan analisisnya dalam suatu proyek. Suatu proyek terdiri dari tiga bagian utama, yaitu: perencanaan, penjadwalan, dan pengendalian proyek. Jaringan kerja menyangkut dua teknik, yaitu: Critical Path Method dan Programm Evaluation and Review Technique.

F. S. Hillier dan G. J. Lieberman (2005) dalam bukunya menguraikan

tentang konsep utama metode Branch and Bound adalah dengan membagi dan menyelesaikan. Pembagian atau percabangan dilakukan dengan membagi keseluruhan penyelesaian layak dari suatu masalah optimasi menjadi beberapa submasalah yang lebih kecil. Penyelesaian atau pembatasan dilakukan dengan memberi batasan terhadap penyelesaian optimal pada suatu anak percabangan (node).

B. A. Nadjafi dan S. Shadrokh (2008) dalam jurnalnya menguraikan masalah

penjadwalan proyek dengan bobot kecepatan-keterlambatan sebagai pengembangan bentuk di mana nilai waktu dari uang dihitung berdasarkan tingkat diskonto dari aliran kas yang kontinu. Masalah penjadwalan yang dibahas memuat kendala General Precedence Relation dan penyelesaiannya menggunakan metode Branch and Bound. Secara matematis fungsi tujuan dari masalah penjadwalan tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut:

∑ ∑

∑

dengan kendala:

P. Siagian (1987) dalam bukunya menguraikan tentang program bilangan

cacah dan teori jaringan kerja. Metode Branch and Bound pertama kali dipakai oleh A. H. Land dan A. G. Doig untuk menyelesaikan program bilangan cacah. Ternyata Branch and Bound tidak hanya digunakan untuk program bilangan cacah, tetapi juga dapat digunakan untuk program matematika yang lain. Pembuatan suatu jadwal

merupakan akhir dari suatu jaringan kerja. Jadwal ini berupa diagram waktu yang dituangkan menjadi satu kalender yang sangat dibutuhkan oleh para palaksana.

Wikipedia (2011) dalam situsnya menjelaskan faktor diskonto, , adalah faktor yang dikalikan dengan suatu aliran kas yang akan datang untuk mendapatkan nilai sekarang. Secara diskrit dirumuskan faktor diskonto sebagai berikut:

dan secara kontinu dirumuskan sebagai:

BAB 2

LANDASAN TEORI

Di dalam bab 2 ini akan diuraikan mengenai landasan teori berdasarkan tinjauan kepustakaan yang berhubungan dengan persoalan penjadwalan proyek dengan GPR.

2. 1 Konsep Penjadwalan Proyek

Suatu proyek dapat dikatakan sebagai suatu rangkaian kegiatan-kegiatan yang mempunyai saat awal dilaksanakan serta diselesaikan dalam jangka waktu tertentu untuk mencapai suatu tujuan (P. Siagian, 1987, hal: 287). Proyek akan dikatakan selesai apabila seluruh kegiatan yang merangkai proyek tersebut selesai. Kegiatan-kegiatan yang mengisi suatu proyek memiliki keterikatan. Hal ini memungkinkan suatu kegiatan harus diselesaikan lebih dulu sebelum kegiatan yang lain dimulai. Kegiatan yang harus diselesaikan lebih dulu dari kegiatan lain disebut predecessor dan kegiatan yang diselesaikan setelah kegiatan sebelumnya disebut successor. Suatu kegiatan dalam suatu proyek biasanya dipandang sebagai suatu pekerjaan (job) yang dalam penyelesaiannya memerlukan waktu, tenaga, dan biaya. Proyek memerlukan tiga tahapan, yaitu:

1. Perencanaan (Planning), meliputi penetapan sasaran dan strategi, pendefinisian proyek dan ketentuan organisasi.

2. Penjadwalan (Scheduling), meliputi pengalokasian sumber daya.

3. Pengendalian (Controlling), meliputi pengawasan sumber daya, biaya, kualitas, dan budget.

Tahap pertama dan kedua dilakukan sebelum proyek dimulai dan tahap ketiga dilakukan setelah proyek dimulai.

Penjadwalan merupakan proses pengalokasian sumber-sumber yang dimiliki suatu pabrik dalam menyelesaikan suatu pekerjaan. Di samping itu, penjadwalan juga merupakan suatu teori yang berisi prinsip-prinsip dasar, model, teknik dan kesimpulan logis dalam pengambilan keputusan. Persoalan penjadwalan muncul ketika jumlah kegiatan yang dapat dikerjakan secara bersama lebih besar dibandingkan dengan jumlah peralatan yang ada. Penjadwalan terdiri dari dua unsur yang penting, yaitu kegiatan (job) dan sumber daya seperti mesin, waktu, tenaga, dan biaya. Secara ringkas pokok-pokok penjadwalan adalah sebagai berikut (J. Supranto, 1988, hal: 234):

1. Menentukan target, tanpa adanya target sukar untuk membuat evaluasi. 2. Kegiatan-kegiatan yang harus dilakukan.

3. Urutan kegiatan.

4. Jangka waktu yang diperlukan oleh masing-masing kegiatan. 5. Tersedianya alat ukuran/standar.

6. Memperhatikan contingency factor.

2. 2 Jaringan Kerja (Network)

Jaringan kerja (network) merupakan salah satu teknik penjadwalan selain teknik Gantt Chart. Teknik Gantt Chart adalah teknik perencanaan yang paling sederhana untuk penjadwalan proyek. Gantt Chart bersifat dinamis dengan penampilan yang selalu berubah-ubah. Kelebihannya adalah Gantt Chart mempergunakan skala waktu dan kekurangannya adalah Gantt Chart tidak dapat menunjukkan relasi antara kegiatan-kegiatan dalam suatu rencana penjadwalan. Sedangkan kelebihan teknik jaringan kerja adalah mampu mengatasi kelemahan Gantt Chart dalam hal menunjukkan relasi antara kegiatan-kegiatan dalam suatu rencana penjadwalan. Kekurangan jaringan kerja adalah tidak memiliki skala waktu. Teknik jaringan kerja dan teknik Gantt Chart dapat dikolaborasikan untuk pencapaian yang optimal. Jaringan kerja digunakan untuk melihat relasi antara kegiatan-kegiatan dalam suatu rencana penjadwalan dan Gantt Chart digunakan untuk melihat posisi kegiatan-kegiatan dalam rencana penjadwalan itu.

Penjadwalan merupakan bagian terakhir dari suatu rencana jaringan kerja. Penjadwalan proyek dapat digambarkan dengan diagram jaringan kerja dengan menggunakan beberapa simbol, yaitu:

1. Anak panah (Edge), menyatakan hubungan GPR antara dua kegiatan yang berpasangan. edge dapat berbentuk horizontal, diagonal, dan lengkungan. Panjang edge tidak berpengaruh dengan besarnya GPR. Pada umumnya GPR dicantumkan di atas, di bawah, atau di samping anak panah. Pangkal anak panah menandakan kegiatan predecessor dan ujung anak panah menandakan kegiatan successor. Untuk jaringan kerja standar proyek, GPR diganti dengan .

Gambar 2.1 Simbol GPR

2. Lingkaran (Node), menyatakan kegiatan yang dalam penyelesaiannya memerlukan waktu, tenaga, dan biaya. Pada umumnya nomor urut kegiatan dibubuhkan di dalam node. Di atas node biasanya dicantumkan durasi kegiatan.

Gambar 2.2 Simbol kegiatan

3. Lingkaran terputus-putus, menyatakan kegiatan boneka (Dummy) yang pada penyelesaiannya tidak memerlukan waktu, tenaga, dan biaya. Tujuan dari menggunakan dummy adalah untuk menghindari keraguan dalam hal pengindikasian dan menunjukkan gambaran urutan logika yang benar. Dalam penelitian ini, dummy ditempatkan di awal dan di akhir jaringan kerja proyek.

Gambar 2.3 Simbol kegiatan dummy

Hubungan antara dua kegiatan dengan GPR dapat dilihat pada Gambar 2.4.

Dalam analisis jaringan kerja dikenal dua metode, yaitu Critical Path Method dan Program Evaluation and Review Technique. Kedua teknik tersebut dikembangkan oleh kelompok yang berbeda secara simultan pada waktu yang bersamaan.

2.2.1 Critical Path Method (CPM)

Pada awalnya CPM dikenal dengan sebutan William-Kelly Method. Pada tahun 1956 Morgan Walker dari E.I. du Pont de Nemours Company bekerjasama dengan James E. Kelly dari kelompok perencanaan proyek konstruksi internal Remington Rand dalam menggunakan komputer Univac untuk melakukan penjadwalan konstruksi yang menghasilkan metode yang rasional, tertib, dan mudah untuk menggambarkan proyek dalam komputer. Kemudian CPM dilanjutkan oleh Mauchly Associates. Karakteristik khusus dari CPM adalah memperkirakan waktu dengan pasti (Deterministik).

2.2.2 Program Evaluation and Review Technique (PERT)

PERT pertama kali dikembangkan oleh U. S. Navy dari Special Project Office yaitu Biro Proyek Khusus Angkatan Laut Amerika Serikat bekerja sama dengan Allen dan Hamilton dari perusahaan jasa konsultasi manajemen Booz untuk jadwal penelitian dan pengembangan kegiatan program peluru kendali Polaris. Teknik ini bersifat probabilistik yaitu memperkirakan waktu dengan kemungkinan.

2.2.3 Lintasan Kritis

Lintasan kritis adalah lintasan di mana setiap kejadian pada lintasan tersebut (kegiatan kritis) mempunyai waktu kejadian paling cepat sama dengan waktu kejadian paling lambat (P. Siagian, 1987, hal: 302). Jumlah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu lintasan kritis adalah sama dengan jumlah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan seluruh proyek.

Ketentuan-ketentuan lain dari lintasan kritis adalah (P. Siagian, 1987, hal: 302):

1. Lintasan kritis juga diperkenankan melalui dummy.

2. Lintasan kritis tidak perlu hanya terdiri dari satu lintasan melainkan boleh terdiri dari dua atau lebih.

3. Waktu penyelesaian satu kegiatan kritis tidak boleh melebihi waktu yang sudah ditentukan, karena keterlambatan kegiatan kritis dapat mengganggu atau memperpanjang waktu penyelesaian seluruh proyek.

2. 3 Model Penjadwalan Proyek dengan GPR

GPR menyangkut dua teknik, yaitu CPM dan PERT yang sangat dibutuhkan dalam penjadwalan proyek. GPR dibedakan dalam empat jenis, yaitu: Start (SS), Start-Finish (SF), Finish-Start (FS), dan Finish-Finish (FF). GPR menyajikan nilai maksimum atau minimum time-lag antara dua kegiatan yang berpasangan. Misalkan waktu start dari kegiatan disimbolkan dengan , waktu finish dari kegiatan disimbolkan dengan , dan meyatakan durasi kegiatan , di mana , maka nilai maksimum dan minimum time-lag antara dua kegiatan, dan disajikan dalam bentuk:

GPR menjelaskan bahwa maksimal time-lag dapat disajikan sebagai minimial time-lag pada arah yang berlawanan. Ada beberapa simbol yang digunakan dalam kendala GPR dan hubungannya antarkegiatan seperti dalam tabel berikut.

Tabel 2.1 Notasi yang Digunakan dalam Kendala GPR

Notasi Kendala

Graf yang menggambarkan kendala GPR tersebut ditampilkan dalam gambar-gambar berikut.

Gambar 2.5 Kendala

Gambar 2.6 Kendala

Gambar 2.7 Kendala

Gambar 2.9 Kendala

Gambar 2.10 Kendala

Gambar 2.11 Kendala

Jika didefinisikan sebagai due date dari kegiatan , yang bersifat deterministik, maka nilai kecepatan dari kegiatan dapat dihitung dengan rumus dan nilai keterlambatan dari kegiatan dapat dihitung dengan rumus Sehingga total nilai kecepatan-keterlambatan dari kegiatan adalah dengan meyatakan bobot kecepatan kegiatan dan

meyatakan bobot keterlambatan kegiatan , .

Kemudian, diasumsikan bahwa , , , dan sehingga masalah kecepatan-keterlambatan menjadi:

∑

dengan kendala:

di mana:

(1) Menyatakan fungsi tujuan untuk meminimumkan bobot nilai kecepatan-keterlambatan dari proyek.

(2) Menyatakan hubungan urutan finish-start di antara kegiatan. (3) Menyatakan nilai kecepatan setiap kegiatan.

(4) Menyatakan nilai keterlambatan setiap kegiatan.

(5) Menyatakan kegiatan dummy awal finish pada waktu nol.

(6) Menyatakan waktu finish, nilai kecepatan, dan nilai keterlambatan dari setiap kegiatan adalah integer nonnegatif.

Net Present Value (NPV) atau nilai bersih sekarang adalah analisis manfaat finansial yang digunakan untuk mengukur kelayakan suatu proyek berdasarkan nilai sekarang aliran kas bersih dari pendapatan yang akan datang dipotong modal dan biaya investasi. Aliran kas bersih adalah laba bersih ditambah penyusutan. Biaya investasi adalah total dana yang dikeluarkan untuk pengadaan seluruh sumber daya yang dibutuhkan dalam menjalankan suatu proyek. Pada kriteria NPV, nilai waktu uang dihitung dengan mendiskonto aliran kas. Nilai uang sebagai manfaat finansial dari usaha yang diperkirakan akan diterima di masa yang akan datang tidak sama dengan nilai uang yang diterima sekarang karena adanya faktor tingkat diskonto yang disimbolkan dengan . Dengan menggunakan , nilai sekarang yang harus dibayar pada akhir periode diperoleh dari

Fungsi tujuan dalam penelitian ini, disimbolkan dengan , adalah menjadwalkan proyek dengan kendala GPR dan batas waktu yang ditentukan, dengan tujuan meminimumkan NPV dari proyek. Secara matematis fungsi tujuan dapat ditulis:

∑ ∑

∑

dengan kendala:

(10)

di mana:

(7) Menyatakan fungsi tujuan dengan tujuan meminimumkan NPV dari proyek. (8) Menyatakan kegiatan dapat start jika predecessor-nya, kegiatan , telah start

selama satuan waktu.

(9) Menyatakan batas dari durasi proyek dengan menambahkan batas waktu proyek, disimbolkan dengan , untuk kegiatan dummy akhir .

(10) menyatakan kegiatan dummy awal start dan finish pada waktu nol. (11) menyatakan waktu start setiap kegiatan bernilai integer nonnegatif.

Suatu jadwal, , dikatakan optimal jika waktu start setiap kegiatan memenuhi semua kendala GPR. Fungsi tujuan optimal dinyatakan dengan .

2. 4 Matriks dan Operasi Matriks

2.4.1 Definisi Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris (arah horizontal) dan kolom (arah vertikal). Bilangan-bilangan yang terdapat di dalam matriks tersebut disebut elemen atau entri dari matriks. Ukuran suatu matriks dinyatakan dalam jumlah baris dan kolom yang dimilikinya. Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom disebut matriks kolom dan suatu matriks yang hanya terdiri dari satu baris disebut matriks baris. Jika adalah sebuah matriks, maka menyatakan entri yang terdapat di dalam baris dan kolom dari matriks . Secara umum matriks dituliskan sebagai berikut:

[

]

Matriks di atas disebut matriks berukuran kali (ditulis ) karena memiliki baris dan kolom.

Dalam tulisan ini, matriks akan digunakan untuk menguji kelayakan dari suatu jadwal. Anggota-anggota dari matriks tersebut dapat diperoleh dengan mengikuti ketentuan berikut:

{

di mana menyatakan minimal time-lag antara waktu start dari kegiatan dan . Dalam matriks ini kegiatan merupakan predecessor bagi kegiatan . Suatu jadwal dikatakan tidak layak apabila terdapat paling tidak satu dari elemen matriks yang mewakili jadwal tersebut bernilai negatif. Elemen yang bernilai negatif tersebut menunjukkan pasangan kegiatan yang bermasalah dan himpunan pasangan kegiatan yang bermasalah dinyatakan dengan .

2.4.2 Operasi Matriks

2.4.2.1Penjumlahan Matriks

Jika [ ] dan [ ] adalah dua matriks sebarang berukuran , maka adalah suatu matriks [ ] berukuran di mana (R. Bronson, 1970, hal: 3). Matriks-matriks dengan ukuran yang berbeda tidak dapat dijumlahkan.

Contoh : Misalkan [

]

dan [

]

[ ] [

]

2.4.2.2Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika [ ] adalah matriks berukuran sebarang dan adalah skalar sebarang, maka adalah suatu matriks [ ] berukuran di mana (R. Bronson, 1970, hal: 4). Matriks disebut sebagai kelipatan skalar dari .

.

Contoh :

Misalkan matriks [ ] Maka,

[ _] [ _] [ ]

2.4.2.3Perkalian Matriks

Jika [ ] adalah matriks berukuran sebarang dan [ ] adalah matriks berukuran sebarang, maka didefinisikan sebagai suatu matriks [ ] berukuran di mana ∑ (R. Bronson, 1970, hal: 8).

Contoh :

Diketahui [

], dan [

]

Karena adalah matriks berukuran dan adalah matriks berukuran , maka adalah matriks berukuran . Perhitungan untuk hasilkali-hasilkalinya adalah:

Dengan demikian diperoleh [ ].

BAB 3

PEMBAHASAN

Dalam Bab 3 ini akan dibahas mengenai metode Branch and Bound yang akan digunakan pada pencarian solusi optimal dan contoh masalah beserta penyelesaiannya.

3.1 Metode Branch and Bound

Metode Branch and Bound adalah suatu metode pencarian solusi yang ditransformasikan dalam bentuk pohon percabangan dan pembatasan. Metode ini mula-mula dipakai oleh A. H. Land dan A. G. Doig pada tahun 1960. Metode Branch and bound merupakan suatu metode yang paling umum digunakan untuk mencari solusi optimal pada masalah optimasi kombinatorial seperti penjadwalan proyek. Branch and bound terdiri atas tiga bagian utama, yaitu batas bawah, strategi pencarian, dan percabangan. Baik program linier maupun program nonlinier dapat diselesaikan dengan metode Branch and Bound.

3.1.1 Algoritma Dasar

Ada dua yang menjadi dasar dari algoritma Branch and bound, yaitu algoritma Breadht First Search dan algoritma Depth First Search.

3.1.1.1Breadht First Search (BFS)

ang status. Langkah-langkah yang dilakukan pada implementasi Branch and Bound adalah:

1. Membangkitkan node baru dari semua node awal.

2. Memberikan cost tertentu untuk setiap node pada pohon percabangan. 3. Memilih node yang memiliki cost terkecil untuk dibangkitkan.

3.1.1.2Depth First Search (DFS)

Prinsip DFS adalah selalu membangkitkan node pertama dari node awal pada pohon percabangan. Langkah-langkah yang dilakukan pada implementasi Branch and Bound adalah:

1. Membangkitkan setiap node pertama dari node awal hingga tidak ada lagi node yang dapat dibangkitkan.

2. Kembali menelusuri node-node calon solusi yang telah dibangkitkan untuk menemukan jalur solusi lain yang lebih baik.

3. Berhenti setelah menemukan solusi yang optimal.

3.1.2 Jadwal awal

Hal pertama yang harus dilakukan sebelum membangun pohon percabangan adalah menentukan jadwal awal. Apabila tingkat pohon Branch and Bound disimbolkan dengan maka jadwal awal berada pada tingkat . Untuk menentukan jadwal awal, waktu start dari masing-masing kegiatan harus ditentukan terlebih dahulu dengan mengikuti persyaratan berikut:

{

di mana meyatakan waktu start paling awal kegiatan dan meyatakan waktu finish paling akhir kegiatan . dari kegiatan dapat dihitung dengan menentukan jarak terjauh dari node 1 ke node dan dari kegiatan dapat dihitung dengan menentukan jarak terdekat dari node ke node .

Jadwal awal tersebut belum tentu jadwal yang layak sehingga harus diuji kelayakannya dengan matriks yang telah dijelaskan dalam subbab 2.4.1.

3.1.3 Strategi Pencarian dan Percabangan

Pencarian dimulai dari jadwal awal yang telah ditentukan. Asumsikan terdapat dua kegitan, dan , yang bermasalah pada tingkat dari pohon percabangan di mana kegiatan merupakan predecessor bagi kegiatan . Suatu masalah akan dipecah menjadi beberapa submasalah. Misalkan jumlah elemen yang bernilai negatif adalah , maka terdapat alternatif percabangan sehingga pohon percabangan ditingkatkan menjadi . Dari masing-masing node akan dihitung nilai .

Misalkan elemen matriks pertama yang bernilai negatif adalah – , maka terdapat alternatif untuk menentukan nilai suatu node. Alternatif yang pertama adalah memajukan waktu start kegiatan sebesar satuan waktu. Alternatif kedua adalah memundurkan waktu start kegiatan sebesar 1 satuan waktu dan memajukan waktu start kegiatan sebesar satuan waktu. Alternatif ke-adalah memundurkan waktu start kegiatan sebesar satuan waktu dan memajukan waktu start kegiatan sebesar satuan waktu. Terakhir, alternatif ke- adalah memundurkan waktu start kegiatan sebesar satuan waktu. Dari semua alternatif yang mungkin akan dipilih nilai yang paling minimum. Pada proses memundurkan dan atau memajukan waktu start kegiatan, , perlu diperhatikan bahwa waktu start kegiatan tidak boleh lebih dari atau kurang dari .

Lemma

Strategi penggeseran, yang terdiri dari semua penggeseran pada jalur kegiatan, akan menghasilkan enumerasi lengkap dari pohon pencarian.

Bukti:

Pada suatu tingkat dari pohon Branch and Bound, untuk menyelesaikan kegiatan dan yang memiliki konflik waktu sebesar periode, cabang ke- dilakukan dengan

menggeser kegiatan , periode ke kiri dan kegiatan , periode ke kanan. Misalkan ada kegiatan , , dan , di mana , , dan , . Misalkan juga konflik waktu kegiatan dan sebesar , dan kegiatan dan sebesar . Kemudian dan masing-masing didefinisikan sebagai waktu start kegiatan pada jadwal tak layak tertentu dan pada suatu jadwal yang layak. Jelas bahwa pada cabang pertama dari tingkat , terdapat , , dan . Demikian juga pada cabang terakhir dari tingkat , terdapat , , dan . Lalu, akan diperlihatkan bahwa waktu start kegiatan , , diperoleh dari interval , dengan menunjukkan bahwa strategi percabangan akan memperhitungkan semua titik pada interval tersebut. Walaupun pada tingkat pohon Branch and Bound ini, diketahui hanya interval tersebut untuk yang menghasilkan waktu layak untuk kegiatan , , dan , tetapi ada kemungkinan diperoleh dari di luar interval tersebut pada tingkat pohon Branch and Bound berikutnya.

,

Seandainya konflik waktu kegiatan dan diselesaikan pada tingkat dari pohon Branch and Bound dan konflik waktu kegiatan dan diselesaikan pada tingkat . Asumsikan . Kegiatan start pada pada cabang ke- tingkat dan menurut strategi percabangan, konflik waktu kegiatan dan juga diselesaikan secera otomatis. Asumsikan . Pada cabang

tingkat , konflik waktu kegiatan dan diselesaikan dengan menggeser sebesar periode ke kiri, sehingga konflik waktu kegiatan dan tidak terselesaikan. Cabang ke- tingkat , akan menghasilkan waktu start kegiatan pada periode dan menyelesaikan konflik waktu kegiatan dan . Akibatnya, dengan mengulang strategi percabangan sepanjang pencarian akan menghasilkan enumerasi dari semua solusi yang mungkin.

Pada proses percabangan, mungkin saja suatu node yang sama terulang kembali. Dengan kata lain, terdapat dua node yang mempresentasikan jaringan kerja penjadwalan proyek yang sama. Hal ini diketahui dari matriks yang sama. Sehingga, apabila dari suatu node baru diperoleh matriks yang sama dengan

matriks dari node sebelumnya maka node tersebut dapat dipangkas atau perhitungan tidak perlu dilanjutkan. Proses percabangan akan berhenti apabila telah didapatkan jadwal optimal yaitu suatu jadwal dengan matriks yang semua elemennya bernilai nonnegatif. Dengan kata lain, proses percabangan akan berhenti apabila tidak terdapat lagi pasangan kegiatan yang bermasalah.

3.1.4 Batas Bawah (Lower Bound)

Jika batas bawah ( ) tidak digunakan maka segala kemungkinan penyelesaian harus dienumerasikan satu persatu, sehingga memperlama proses optimasi. Oleh karena itu, LB perlu dikalkulasikan pada setiap node. Selain itu, apabila percabangan yang dibangkitkan dari suatu node tidak mengarah pada solusi, maka node tersebut dapat dipangkas.

Terdapat tiga jenis conflict set, yaitu:

1. Apabila kegiatan merupakan predecessor bagi kegiatan dan kedua kegiatan tersebut memiliki konflik waktu . Untuk lebih jelas, dapat dilihat dalam gambar 3.1.

Gambar 3.1 Conflict set jenis I

2. Apabila kegiatan merupakan predecessor bagi beberapa kegiatan, , dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut. Untuk lebih jelas, dapat dilihat dalam gambar 3.2.

3. Apabila kegiatan merupakan successor bagi beberapa kegiatan, , dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut. Untuk lebih jelas, dapat dilihat dalam gambar 3.3.

Gambar3.3 Conflict set jenis III

Dalil 1

Untuk conflict set jenis I, di mana kendala GPR antara kegiatan dan kegiatan diabaikan, diasumsikan besar konflik waktu adalah satuan waktu. Dengan demikian, nilai minimum untuk menyelesaikan conflict set ke- , ̅ , dapat dihitung dengan rumus:

̅ di mana diperoleh dari:

{ ∑

∑

}

dengan merupakan nilai minimum untuk menyelesaikan konflik waktu antara kegiatan dan kegiatan .

Dalil 2

Untuk conflict set jenis II, di mana kegiatan merupakan predecessor bagi beberapa kegiatan, , dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut, nilai minimum untuk menyelesaikan conflict set ke- , ̅ , dapat dihitung dengan rumus:

Dalil 3

Untuk conflict set jenis III, di mana kegiatan merupakan successor bagi beberapa kegiatan, , dengan mengabaikan kendala GPR kegiatan-kegiatan tersebut, nilai minimum untuk menyelesaikan conflict set ke- , ̅ , dapat dihitung dengan rumus:

̅

{ }

Dalil 4

Untuk setiap jadwal yang dibangkitkan dari pohon percabangan, LB ditentukan oleh: ∑ ̅

dengan menyatakan solusi sementara dan ̅ menyatakan nilai minimum untuk menyelesaikan conflict set ke- .

Gambar 3.4 Diagram pohon metode Branch and Bound

Gambar di atas memperlihatkan pohon percabangan dengan nilai solusi sementara, , batas bawah, , dan himpunan kegiatan yang bermasalah, .

3.2 Contoh Kasus dan Penyelesaiannya

Pada subbab ini akan ditampilkan satu contoh kasus yang diambil dari jurnal “A

Branch and Bound Algorithm for the Weighted Earliness-Tardiness Project

4

3

1

2

5

7

6

3 0 8 5 10 7 4 8 4 5 0 9 2 5 -1 5 1 10 8 7 8 3

-5 5

0 4

5 0

-5

2 5 8

10 0

9 11

6 7 1 4 3 0 10 8 3 8 5 7 4 4 5 0

2 5 8

10 0

9 11

6

7 1

4 3

Scheduling Problem with Generalized Precedence Relations” (B. A. Nadjafi dan S. Shadrokh, 2009, vol:16, hal: 55-64) yang telah dimodifikasi berikut penyelesaiannya. Suatu proyek terdiri dari 9 kegiatan yang merangkainya. Setiap kegiatan memiliki durasi yang berbeda-beda. Gambar 3.5 menunjukkan jaringan kerja proyek tersebut. Angka di dalam node menyatakan nomor urut kegiatan, , dan angka di atas node menunjukkan durasi kegiatan, . Kendala GPR dibubuhkan pada edge yang bersesuaian. Jaringan kerja proyek dalam bentuk standar ditampilkan dalam Gambar 3.6.

Gambar 3.5 Jaringan kerja proyek dengan GPR

Gambar 3.6 Jaringan kerja standar proyek

Due date dan penalti ditunjukkan pada Tabel 3.1. Dalam hal ini, diasumsikan bobot kecepatan, , sama dengan bobot keterlambatan, . Batas waktu proyek, , adalah 35 dan tingkat diskonto, , adalah 0.01 atau 1 .

Tabel 3.1 Data proyek

Kegiatan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 13 9 15 23 17 24 29 25 34 35

4 7 9 2 4 5 3 2 1

Secara matematis, fungsi tujuan dari permasalahan di atas adalah: ∑ ∑

∑

dengan kendala:

Untuk mendapatkan jadwal yang optimal, langkah pertama yang harus dilakukan adalah membentuk jadwal awal pada tingkat awal pohon percabangan untuk node 1. Dari data yang ada, diperoleh dan yang dirangkum dalam Tabel 3.2.

Tabel 3.2 Data dan

Kegiatan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 9 4 9 12 12 16 17 18 25 33

Waktu start masing-masing kegiatan pada jadwal awal ditentukan dengan ketentuan berikut:

{

Sehingga diperoleh jadwal awal untuk node 1 seperti yang ditampilkan pada Gambar 3.7.

Gambar 3.7 Gantt Chart untuk jadwal awal

Pada node 1, kegiatan yang mengalami keterlambatan adalah kegiatan 2 sehingga nilai untuk node 1 adalah:

∑ ∑

∑

∑

∑

Selanjutnya dibentuk matriks yang anggota-anggotanya mengikuti ketentuan sebagai berikut:

{

[ ]

Terdapat 4 anggota matriks yang bernilai negatif, sehingga terdapat 4 pasangan kegiatan yang bermasalah, yaitu kegiatan 3 dengan kegiatan 2, kegiatan 3 dengan kegiatan 6, kegiatan 4 dengan kegiatan 7, dan kegiatan 5 dengan kegiatan 8. Maka diperoleh { }. Kemudian nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah diperoleh dari:

{ ∑ ∑ [ ] }

Sehingga nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah untuk node 1 adalah:

{ ∑ ∑ } { ∑ ∑ } { ∑ ∑ } { ∑ ∑ }

Selanjutnya untuk node 1 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.3.

Tabel 3.3 Hasil perolehan untuk node 1

Jenis Anggota ̅ 1 II 3 dan 2 6.8514 6.8514

15.8278 3 dan 6 3.3411

3 I 5 dan 8 1.6050 1.6050

Pada akhirnya diperoleh node 1 adalah:

Gambar 3.8 Gambaran kondisi pohon pada node 1

Berdasarkan matriks untuk node 1, maka diketahui ada 4 node pada tingkat pohon yang dapat dibangkitkan dari node 1. Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan untuk node 2. Pada node 2, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 2 dengan konflik waktu sebesar 2 satuan waktu. Ada 3 kemungkinan untuk node 2, yaitu:

1. Kegiatan 2 dimajukan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑

∑

∑

∑

2. Kegiatan 2 dimajukan 1 satuan waktu dan kegiatan 3 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah:

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

1 3.48 15.83

3. Kegiatan 3 dimundurkan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Dari ketiga kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 2. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 2, yaitu:

[ ]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑ ∑ } { ∑ ∑ } { ∑ ∑ }

Kemudian untuk node 2 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.4.

Tabel 3.4 Hasil perolehan untuk node 2

Jenis Anggota ̅ 1 I 3 dan 6 3.3411 3.3411

19.1690 2 I 4 dan 5 3.8940 3.8940

3 I 7 dan 8 1.6050 1.6050

Pada akhirnya diperoleh node 2 adalah:

Gambar 3.9 Gambaran kondisi pohon pada node 2

Gambar 3.10 Gantt chart untuk node 2

Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan pada tingkat pohon untuk node 3. Pada node 3, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 6 dengan konflik waktu sebesar 1 satuan waktu. Ada 2 kemungkinan untuk node 3, yaitu:

1. Kegiatan 6 dimajukan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑

∑

∑

∑

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

∑

∑

2. Kegiatan 3 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

Dari kedua kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 3. Selanjutnya dibentuk matriks

untuk node 3, yaitu:

[

]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑

∑

{ ∑ ∑ } { ∑ ∑ }

Kemudian untuk node 3 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.5.

Tabel 3.5 Hasil perolehan untuk node 3

Jenis Anggota ̅ 1 I 3 dan 2 6.8514 6.8514

19.1690 2 I 4 dan 7 3.8940 3.8940

3 I 5 dan 8 1.6050 1.6050

Pada akhirnya diperoleh node 3 adalah:

Gambar 3.11 Gambaran kondisi pohon pada node 3

Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan pada tingkat pohon untuk node 4. Pada node 4, yang disoroti adalah kegiatan 4 dan 7 dengan konflik waktu sebesar 1 satuan waktu. Ada 2 kemungkinan untuk node 4, yaitu:

1. Kegiatan 7 dimajukan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

2. Kegiatan 4 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Dari kedua kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 4. Selanjutnya dibentuk matriks

untuk node 4, yaitu:

[ ]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑ ∑ } { ∑ ∑ } { ∑ ∑ }

{ ∑

∑

}

Kemudian untuk node 4 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.6.

Tabel 3.6 Hasil perolehan untuk node 4

Jenis Anggota ̅ 1 II 3 dan 2 6.8514 6.8514

16.5326 3 dan 6 3.3411

2 I 5 dan 8 1.6050 1.6050 3 I 7 dan 10 0.7047 0.7047

Pada akhirnya diperoleh node 4 adalah:

Gambar 3.12 Gambaran kondisi pohon pada node 4

Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan pada tingkat pohon untuk node 5. Pada node 5, yang disoroti adalah kegiatan 5 dan 8 dengan konflik waktu sebesar 1 satuan waktu. Ada 2 kemungkinan untuk node 5, yaitu:

1. Kegiatan 8 dimajukan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

2. Kegiatan 5 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Dari kedua kemungkinan, dipilih kemungkinan yang terakhir yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 5. Matriks untuk node 5:

[ ]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑ ∑ } { ∑ ∑ } { ∑ ∑ }

Tabel 3.7 Hasil perolehan untuk node 5

Jenis Anggota ̅ 1 II 3 dan 2 6.8514 6.8514

15.8279 3 dan 6 3.3411

2 I 4 dan 7 3.8940 3.8940

Pada akhirnya diperoleh node 5 adalah:

Gambar 3.13 Gambaran kondisi pohon pada node 5

Langkah selanjutnya adalah memilih salah satu node pada tingkat pohon untuk dibangkitkan. Node tersebut dipilih berdasarkan nilai terkecil, yaitu node 5. Berdasarkan matriks untuk node 5, maka diketahui ada 3 node pada tingkat pohon yang dapat dibangkitkan dari node 5. Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan untuk node 6. Pada node 6, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 2 dengan konflik waktu sebesar 2 satuan waktu. Ada 3 kemungkinan untuk node 6, yaitu:

1. Kegiatan 2 dimajukan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

2. Kegiatan 2 dimajukan 1 satuan waktu dan kegiatan 3 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah:

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

3. Kegiatan 3 dimundurkan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Dari ketiga kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 6. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 6, yaitu:

[ ]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑

∑

} { ∑

∑

}

Kemudian untuk node 6 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.8.

Tabel 3.8 Hasil perolehan untuk node 6

Jenis Anggota ̅ 1 I 3 dan 6 3.3411 3.3411

19.1690 2 I 4 dan 7 3.8940 3.8940

Pada akhirnya diperoleh node 6 adalah:

Gambar 3.14 Gambaran kondisi pohon pada node 6

Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan pada tingkat pohon untuk node 7. Pada node 7, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 6 dengan konflik waktu sebesar 1 satuan waktu. Ada 2 kemungkinan untuk node 7, yaitu:

1. Kegiatan 6 dimajukan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑

∑

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83

2, 3, 4, 6, 7

6 11.93 19.17

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2. Kegiatan 3 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Dari kedua kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 7. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 7, yaitu:

[ ]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑ ∑ } { ∑ ∑ }

Kemudian untuk node 7 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.9.

Tabel 3.9 Hasil perolehan untuk node 7

Jenis Anggota ̅ 1 I 3 dan 2 6.8514 6.8514

19.1690 2 I 4 dan 5 3.8940 3.8940

Pada akhirnya diperoleh node 7 adalah:

Gambar 3.15 Gambaran kondisi pohon pada node 7

Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan pada tingkat pohon untuk node 8. Pada node 8, yang disoroti adalah kegiatan 4 dan 7 dengan konflik waktu sebesar 1 satuan waktu. Ada 2 kemungkinan untuk node 8, yaitu:

1. Kegiatan 7 dimajukan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

6 11.93 19.17

3, 4, 6, 7

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83

2, 3, 4, 6, 7

7 8.42 19.17

∑ ∑ ∑

2. Kegiatan 4 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Dari kedua kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 8. Selanjutnya dibentuk matriks

untuk node 8, yaitu:

[ ]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑ ∑ }

{ ∑

∑

} { ∑

∑

}

Kemudian untuk node 8 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.10.

Tabel 3.10 Hasil perolehan untuk node 8

Jenis Anggota ̅ LB 1 II 3 dan 2 6.8514 6.8514

16.5326 3 dan 6 3.3411

2 I 7 dan 10 0.7047 0.7047

Pada akhirnya diperoleh node 8 adalah:

Gambar 3.16 Gambaran kondisi pohon pada node 8

Langkah selanjutnya adalah kembali memilih salah satu node pada tingkat pohon untuk dibangkitkan. Node tersebut dipilih berdasarkan nilai terkecil, yaitu node 8. Berdasarkan matriks untuk node 8, maka diketahui ada 3 node pada tingkat pohon yang dapat dibangkitkan dari node 8. Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan untuk node 9. Pada node 9, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 2 dengan konflik waktu sebesar 2 satuan waktu. Ada 3 kemungkinan untuk node 9, yaitu:

1. Kegiatan 2 dimajukan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑

∑

7 8.42 19.17

2, 3, 4, 5

6 11.93 19.17

3, 4, 6, 7

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83

2, 3, 4, 6, 7

8 8.98 16.53

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2. Kegiatan 2 dimajukan 1 satuan waktu dan kegiatan 3 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

3. Kegiatan 3 dimundurkan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Dari ketiga kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal

untuk node 9. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 9, yaitu:

[

]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑

∑

} { ∑

∑

}

Kemudian untuk node 9 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.11.

Tabel 3.11 Hasil perolehan untuk node 9

Jenis Anggota ̅ 1 I 3 dan 6 3.3411 3.3411

19.8737 2 I 5 dan 10 0.7047 0.7047

Gambar 3.17 Gambaran kondisi pohon pada node 9

Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan pada tingkat pohon untuk node 10. Pada node 10, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 6 dengan konflik waktu sebesar 1 satuan waktu. Ada 2 kemungkinan untuk node 10, yaitu:

1. Kegiatan 6 dimajukan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2. Kegiatan 3 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑

7 8.42 19.17

2, 3, 4, 5

6 11.93 19.17

3, 4, 6, 7

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83

2, 3, 4, 6, 7

8 8.98 16.35

2, 3, 6, 7, 10

9 15.83 19.87

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Dari kedua kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 10. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 10, yaitu:

[ ]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑ ∑ } { ∑ ∑ }

Kemudian untuk node 10 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.12.

Tabel 3.12 Hasil perolehan untuk node 10

Jenis Anggota ̅ 1 I 3 dan 2 6.8514 6.8514

19.8737 2 I 7 dan 10 0.7047 0.7047

Gambar 3.18 Gambaran kondisi pohon pada node 10

Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan pada tingkat pohon untuk node 11. Pada node 11, yang disoroti adalah kegiatan 7 dan 10 dengan konflik waktu sebesar 1 satuan waktu. Ada 2 kemungkinan untuk node 11, yaitu:

1. Kegiatan 10 dimajukan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2. Kegiatan 7 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Karena jadwal tersebut sama dengan jadwal pada node 8, maka perhitungan untuk jadwal tersebut tidak perlu dilanjutkan.

7 8.42 19.17

2, 3, 4, 5

6 11.93 19.17

3, 4, 6, 7

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83

2, 3, 4, 6, 7

8 8.98 16.53

2, 3, 6, 7, 10

10 12.32 19.87

2, 3, 7, 10

9 15.83 19.87

Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 11. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 11, yaitu:

[

]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑

∑

} { ∑

∑

}

Kemudian untuk node 11 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.13.

Tabel 3.13 Hasil perolehan untuk node 11

Jenis Anggota ̅ 1 II 3 dan 2 6.8514 6.8514 16.5326

3 dan 6 3.3411 Pada akhirnya diperoleh node 11 adalah:

Gambar 3.19 Gambaran kondisi pohon pada node 11

Langkah selanjutnya adalah kembali memilih salah satu node pada tingkat pohon untuk dibangkitkan. Node tersebut dipilih berdasarkan nilai terkecil, yaitu node 11. Berdasarkan matriks untuk node 11, maka diketahui ada 2 node pada tingkat pohon yang dapat dibangkitkan dari node 11. Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan untuk node 12. Pada node 12, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 2 dengan konflik waktu sebesar 2 satuan waktu. Ada 3 kemungkinan untuk node 12, yaitu:

1. Kegiatan 2 dimajukan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

10 12.32 19.87

2, 3, 7, 10

7 8.42 19.17

2, 3, 4, 5

6 11.93 19.17

3, 4, 6, 7

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83

2, 3, 4, 6, 7

8 8.98 16.53

2, 3, 6, 7, 10

11 9.68 16.53

2, 3, 6

9 15.83 19.87

2. Kegiatan 2 dimajukan 1 satuan waktu dan kegiatan 3 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

3. Kegiatan 3 dimundurkan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Dari ketiga kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 12. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 12, yaitu:

[

]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑

∑

}

Kemudian untuk node 12 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.14.

Tabel 3.14 Hasil perolehan untuk node 12

Jenis Anggota ̅ 1 I 3 dan 6 3.3411 3.3411 19.8737 Pada akhirnya diperoleh node 12 adalah:

Gambar 3.20 Gambaran kondisi pohon pada node 12

10 12.32 19.87

2, 3, 7, 10

7 8.42 19.17

2, 3, 4, 5

6 11.93 19.17

3, 4, 6, 7

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83

2, 3, 4, 6, 7

8 8.98 16.53

2, 3, 6, 7, 10

11 9.68 16.53

2, 3, 6

9 15.83 19.87

3, 6, 7, 10

12 16.53 19.87

Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan pada tingkat pohon untuk node 13. Pada node 13, yang disoroti adalah kegiatan 3 dan 6 dengan konflik waktu sebesar 1 satuan waktu. Ada 2 kemungkinan untuk node 13, yaitu:

1. Kegiatan 6 dimajukan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2. Kegiatan 3 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Dari kedua kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal

untuk node 13. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 13, yaitu:

[

]

Maka diperoleh { } dan nilai dari masing-masing pasangan kegiatan yang bermasalah adalah:

{ ∑

∑

}

Kemudian untuk node 13 dikalkulasikan, dan hasilnya tertera dalam Tabel 3.15.

Tabel 3.15 Hasil perolehan untuk node 13

Jenis Anggota ̅ 1 I 3 dan 2 6.8514 6.8514 19.8737

Gambar 3.21 Gambaran kondisi pohon pada node 13

Langkah selanjutnya adalah kembali memilih salah satu node pada tingkat pohon untuk dibangkitkan. Node tersebut dipilih berdasarkan nilai terkecil, yaitu node 13. Berdasarkan matriks untuk node 13, maka diketahui hanya ada 1 node pada tingkat pohon yang dapat dibangkitkan dari node 13. Selanjutnya, perhitungan dilanjutkan untuk node 14. Pada node 14, yang disoroti adalah kegiatan 2 dan 3 dengan konflik waktu sebesar 2 satuan waktu. Ada 3 kemungkinan untuk node 14, yaitu:

1. Kegiatan 2 dimajukan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

10 12.32 19.87

2, 3, 7, 10

7 8.42 19.17

2, 3, 4, 5

6 11.93 19.17

3, 4, 6, 7

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83

2, 3, 4, 6, 7

8 8.98 16.53

2, 3, 6, 7, 10

11 9.68 16.53

2, 3, 6

9 15.83 19.87

3, 6, 7, 10

13 13.02 19.87

2, 3

12 16.53 19.87

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2. Kegiatan 2 dimajukan 1 satuan waktu dan kegiatan 3 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

3. Kegiatan 3 dimundurkan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

Dari ketiga kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 14. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 14, yaitu:

[

]

Karena tidak ada lagi elemen dari matriks untuk node 14 yang bernilai negatif maka proses dihentikan dan diperoleh sebagai jadwal proyek yang optimal dengan . Gambar 3.21 menunjukkan pohon Branch and Bound secara keseluruhan dan gambar 3.23 menampilkan Gantt Chart untuk jadwal optimal.

Gambar 3.22 Gambaran kondisi pohon pada node 14

Gambar 3.23 Gantt Chart untuk jadwal optimal

10 12.32 19.87

2, 3, 7, 10

7 8.42 19.17

2, 3, 4, 5

6 11.93 19.17

3, 4, 6, 7

4 7.37 16.53

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10

1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17

3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17

2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83

2, 3, 4, 6, 7

8 8.98 16.53

2, 3, 6, 7, 10

11 9.68 16.53

2, 3, 6

9 15.83 19.87

3, 6, 7, 10

13 13.02 19.87

2, 3

12 16.53 19.87

3, 6

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian pembahasan pada bab 3, maka dapat disimpulkan bahwa metode Branch and Bound merupakan metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi jadwal optimal suatu proyek dengan GPR berdasarkan bobot minimum kecepatan-keterlambatan dengan fungsi tujuan meminimumkan NPV.

4.2 Saran

Pada skripsi ini, masalah yang dibahas dikhususkan pada kasus penjadwalan proyek, sehingga pada penelitian relevan berikutnya supaya dapat mempertimbangkan kasus pengendalian proyek.

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2. Kegiatan 2 dimajukan 1 satuan waktu dan kegiatan 3 dimundurkan 1 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi .

Kemudian diperoleh nilai adalah:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

3. Kegiatan 3 dimundurkan 2 satuan waktu sehingga jadwalnya menjadi . Kemudian diperoleh nilai adalah:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑

Dari ketiga kemungkinan, dipilih kemungkinan yang pertama yaitu kemungkinan dengan nilai minimum. Dengan demikian, diperoleh jadwal untuk node 14. Selanjutnya dibentuk matriks untuk node 14, yaitu:

[

]

Karena tidak ada lagi elemen dari matriks untuk node 14 yang bernilai negatif maka proses dihentikan dan diperoleh sebagai jadwal proyek yang optimal dengan . Gambar 3.21 menunjukkan pohon Branch and Bound secara keseluruhan dan gambar 3.23 menampilkan Gantt Chart untuk jadwal optimal.

Gambar 3.22 Gambaran kondisi pohon pada node 14

Gambar 3.23 Gantt Chart untuk jadwal optimal

10 12.32 19.87 2, 3, 7, 10 7 8.42 19.17

2, 3, 4, 5 6 11.93 19.17

3, 4, 6, 7

4 7.37 16.53 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 1 3.48 15.83

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 10.33 19.17 3, 4, 5, 6, 7, 8

3 6.82 19.17 2, 3, 4, 5, 7, 8

5 5.08 15.83 2, 3, 4, 6, 7

8 8.98 16.53 2, 3, 6, 7, 10

11 9.68 16.53 2, 3, 6 9 15.83 19.87

3, 6, 7, 10

13 13.02 19.87 2, 3 12 16.53 19.87

3, 6

14 19.87 19.87

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian pembahasan pada bab 3, maka dapat disimpulkan bahwa metode Branch and Bound merupakan metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi jadwal optimal suatu proyek dengan GPR berdasarkan bobot minimum kecepatan-keterlambatan dengan fungsi tujuan meminimumkan NPV.

4.2 Saran

Pada skripsi ini, masalah yang dibahas dikhususkan pada kasus penjadwalan proyek, sehingga pada penelitian relevan berikutnya supaya dapat mempertimbangkan kasus pengendalian proyek.

DAFTAR PUSTAKA

Applegate, D. dan Cook, W. 1991. “A Computational Study of the Job-Shop Scheduling Problem”. Jurnal Komputasi 3(2): hal.149-156.

Bazaraa, M. S. 1977. Linier Programming and Network Flows. Canada: John Wiley and Sons, Inc.

Bronson, R. 1970. Matrix Methods. New York: Academic Press.

Brucker, P., dkk. 1997. “A Branch and Bound Algorithm for the Open-Shop Problem”.Jurnal Matematika 76: hal.43-59.

Ecker, J. G. dan Kupferschmid, M. 1988. Introduction to Operations Research. Canada: John Wiley and Sons, Inc.

Gupta, P. K. dan Hira, D. S. 2007. Operations Research. India: S.Chand.

Hillier, F. S. dan Lieberman, G. J. 2005. Introduction to Operation Research Eight Edition. New York: McGraw-Hill.

Lomnicki, Z. A. 1970. “A Branch and Bound Algorithm for the Exact Solution of the Three-Machine Scheduling Problem”.Jurnal Operasi Riset 16(1): hal.89-100.

Mitten, L. G. 1970. “Branch and Bound Methods”. Journal Operasi Riset 18(1):

hal.24-34.

Nadjafi, B. A. dan Shadrokh, S. 2008. “An Algorithm for the Weighted Earliness-Tardiness Unconstrained Project Scheduling Problem”. Journal of Applied Sciences 8(9): hal.1651-1659.

Nadjafi, B. A. dan Shadrokh, S. 2009. “A Branch and Bound Algorithm for the Weighted Earliness-Tardiness Project Scheduling Problem with Generalized Precedence Relations”.Jurnal Teknik Industri 16(1): hal.55-64.

Purwanto, E. B. 2008. Perancangan dan Analisis Algoritma. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Sakellaropoulos, S. dan Chassiakos, A.P. 2004. “Project Time-Cost Analysis under Generalized Precedence Relations”.Jurnal Teknik Sipil 35: hal.715-724. Siagian, P. 1987. Penelitian dan Operasional. Jakarta: Penerbit Universitas Indonesia.

Supranto, J. 1988. Riset Operasi untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta: Penerbit Universitas Indonesi.

Tan, H. W. dan Salim, S. 2004.”A Branch and Bound and Simulated Anneling Approach for Jobshop Scheduling. Malaysia”. Jurnal Matematika 20(1): hal.1-17.

Wikipedia. 6 Januari 2011. Discount Factor. http://en.wikipedia.org/wiki/Discounting.