Solusi Multi-Depot Vehicle Routing Problem Menggunakan Integer Linear Programming
SOLUSI MULTI-DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM
MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING
NUR AULIA RACHMAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Solusi Multi-Depot
Vehicle Routing Problem Menggunakan Integer Linear Programming adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2015
Nur Aulia Rachman
NIM G54110049
ABSTRAK
NUR AULIA RACHMAN. Solusi Multi-Depot Vehicle Routing Problem
Menggunakan Integer Linear Programming. Dibimbing oleh PRAPTO TRI
SUPRIYO dan SISWANDI.
Suatu perusahaan yang memiliki beberapa tempat penyimpanan
barang perlu menentukan skenario pendistribusian barang dari beberapa
tempat penyimpanan barang (depot) ke beberapa agen yang akan
meminimumkan biaya operasional. Karya ilmiah ini memberikan model
untuk menentukan rute armada kendaraan guna mendistribusikan barang
dari beberapa depot ke beberapa agen dengan biaya operasional yang
minimum. Model diformulasikan menggunakan Integer Linear
Programming dan diimplementasikan menggunakan software LINGO 11.0
untuk menentukan skenario pendistribusian barang dari dua depot ke dua
puluh agen yang terpisah relatif jauh satu dengan yang lainnya.
Kata kunci: MDVRP, pendistribusian barang
ABSTRACT
NUR AULIA RACHMAN. Solution of the Multi-Depot Vehicle Routing
Problem Using Integer Linear Programming. Supervised by PRAPTO TRI
SUPRIYO and SISWANDI.
A company which has several storage of goods needs to determine
a scenario how to distribute goods from multiple storages (depots) to some
customers by minimizing operation costs. This paper provides a model to
determine the vehicle fleet in order to distribute goods from several depots
to some customers with minimum operation costs. The model was
formulated using Integer Linear Programming and implemented using
software LINGO 11.0 to determine the scenario how to distribute goods
from two depots to twenty customers relatively far apart from each other.
Keywords: MDVRP, products distribution
SOLUSI MULTI-DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM
MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING
NUR AULIA RACHMAN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul dari
karya ilmiah ini adalah Solusi Multi-Depot Vehicle Routing Problems
Menggunakan Integer Linear Programmings. Penyusunan karya ilmiah ini
tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis
mengucapkan terima kasih kepada:
1
Bapak dan Ibu tercinta yang selalu mendukung, mendoakan yang
terbaik serta memberikan semangat tanpa henti-hentinya kepada
penulis, Nur Laila Fitriati Ahwanah selaku kakak dan Achmad Arif
Hidayat selaku adik yang telah memberikan banyak motivasi kepada
penulis untuk terus belajar,
2
Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, M.Kom selaku dosen pembimbing I,
Bapak Drs. Siswandi, M.Si selaku dosen pembimbing II dan Bapak
Toni Bakhtiar, M.Sc selaku penguji yang telah memberikan ilmu,
saran, motivasi dan bantuannya dalam penulisan karya ilmiah ini,
3
Semua dosen Departemen Matematika IPB, terima kasih atas semua
ilmu yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di
Departemen Matematika IPB,
4
Semua Staf Departemen Matematika IPB atas pelayanannya yang baik
selama penulis menimba ilmu di Departemen Matematika IPB,
5
Kak Maya selaku asisten praktikum mata kuliah Pemodelan Riset
Operasi, dan Kak Alin yang telah banyak memberikan masukan serta
saran yang bermanfaat dalam penulisan karya ilmiah ini,
6
Dedi, deby, dinar, dan seluruh keluarga Matematika 48 atas doa,
dukungan serta semangat yang diberikan,
7
Seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari sempurna.
Penulis sangat mengaharapkan segala kritik dan saran yang membangun.
Semoga karya ilmiah ini dapat menambah wawasan bagi pembaca sekalian
dan bisa bermanfaat bagi dunia ilmu pendidikan khususnya bidang
matematika serta menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Agustus 2015
Nur Aulia Rachman
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
ix
DAFTAR LAMPIRAN
ix
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
Linear Programming
1
Integer Linear Programming
2
Traveling Salesman Problem
2
Multiple Traveling Salesman Problem
2
Vehicle Routing Problem
2
Multi-Depot Vehicle Routing Problem
3
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3
Deskripsi Masalah
3
Formulasi Masalah
4
UJI MODEL
7
IMPLEMENTASI MODEL
9
HASIL DAN PEMBAHASAN
11
SIMPULAN DAN SARAN
12
Simpulan
12
Saran
12
DAFTAR PUSTAKA
13
LAMPIRAN
14
RIWAYAT HIDUP
33
DAFTAR TABEL
1 Permintaan produk setiap tempat
2 Jarak antartempat pada simulasi 1
3 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah produk yang dibawa
tiap kendaraan yang beroperasi pada simulasi 1
4 Jarak antartempat pada simulasi 2
5 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah produk yang dibawa
tiap kendaraan yang beroperasi pada simulasi 2
6 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah crate roti yang dibawa
tiap kendaraan yang beroperasi
7 Jarak antarnode
8 Permintaan roti setiap node
7
7
8
8
8
11
22
22
DAFTAR GAMBAR
1 Perjalanan dari kendaraan yang berupa subtour
2 Perjalanan dari kendaraan yang berupa tour
3 Rute pendistribusian kendaraan apda implementasi model
6
6
12
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam
menyelesaikan uji model simulasi 1 untuk Solusi Multi-Depot
Vehicle Routing Problem Menggunakan Integer Linear
Programming
2 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam
menyelesaikan uji model simulasi 2 untuk Solusi Multi-Depot
Vehicle Routing Problem Menggunakan Integer Linear
Programming
3 Data jarak antarnode serta permintaan setiap node terhadap roti
yang digunakan dalam implementasi model.
4 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam
menyelesaikan Solusi Multi-Depot Vehicle Routing
Problem Menggunakan Integer Linear Programming
14
18
22
23
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Suatu perusahaan selain berperilaku sebagai produsen, pada umumnya juga
berperilaku sebagai distributor untuk menyalurkan barang yang telah
diproduksinya agar bisa sampai ke tangan konsumen. Perusahaan biasanya
bekerjasama dengan beberapa toko atau swalayan yang biasanya disebut sebagai
agen, yang akan membantu memasarkan barang kepada masyarakat. Proses
distribusi dari tempat penyimpanan barang (depot) ke agen memerlukan suatu
pemecahan masalah penentuan rute yang paling optimal yang akan
mengefisienkan biaya operasional. Sebab jika rute yang dipilih bukanlah rute yang
paling optimal, maka akan menimbulkan masalah bagi perusahaan, seperti biaya
distribusi yang besar, proses pengiriman yang memakan waktu yang lama, dan
lain sebagainya.
Diketahui bahwa beberapa perusahaan memiliki beberapa tempat
penyimpanan (depot atau gudang) barang di mana barang-barang tersebut akan
didistribusikan ke para agen. Perusahaan memiliki kepentingan untuk menentukan
skenario pendistribusian barang dari beberapa depot ke beberapa agen dengan
biaya paling efisien. Upaya untuk menentukan model skenario pendistribusian
barang di atas tentu akan sangat bermanfaat bagi perusahaan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah memformulasikan masalah penentuan
rute optimal untuk melakukan distribusi ke dalam bentuk Multi-Depot Vehicle
Routing Problem (MDVRP) menggunakan Integer Linear Programming (ILP)
dan mengimplementasikan model tersebut pada suatu kasus menggunakan
bantuan software LINGO 11.0.
TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memahami masalah dalam karya ilmiah ini diperlukan beberapa
pengertian sebagai berikut.
Linear Programming
Linear Programming (LP) adalah suatu masalah pengoptimuman yang
memenuhi aturan sebagai berikut:
1 bertujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan sebuah fungsi linear.
Fungsi yang dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif,
2 nilai-nilai pada variabel keputusan harus memenuhi kendala-kendala yang ada.
Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertaksamaan linear, dan
3 pembatasan tanda bergantung pada setiap variabel. Untuk sembarang variabel
haruslah variabel taknegatif (
) atau variabel takberbatas
(Winston 2004).
2
Integer Linear Programming
Suatu masalah pengoptimalan disebut Integer Linear Programming (ILP)
atau disebut juga Integer Programming (IP) jika beberapa atau semua variabel
yang digunakan berupa bilangan bulat (integer) taknegatif. Sebuah IP di mana
semua variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer) disebut pure
integer programming. Sebuah IP di mana hanya beberapa variabel yang
digunakan berupa bilangan bulat disebut mixed integer programming. IP di mana
semua variabel yang digunakan harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP (Winston
2004).
Traveling Salesman Problem
Dalam masalah pendistribusian suatu produk, terdapat beberapa variasi
masalah pendistribusian yang mungkin bisa saja terjadi, mulai dari masalah
pendistribusian yang paling sederhana yaitu Traveling Salesman Problem (TSP)
hingga masalah yang lebih kompleks yang merupakan pengembangan dari
Traveling Salesman Problem (TSP). Traveling Salesman Problem (TSP)
merupakan suatu kondisi di mana seorang salesman akan berangkat dari satu kota
kemudian mengunjungi tepat sekali sejumlah m kota yang ada dan pada akhir
perjalanannya salesman tersebut akan kembali ke kota asal atau depot. Tujuan
dari TSP adalah menentukan rute yang melalui seluruh kota dan meminimumkan
jarak / biaya perjalanan (Hoffman et al. 2001).
Multiple Traveling Salesman Problem
Multiple Traveling Salesman Problem (m-TSP) adalah salah satu variasi
dari TSP, di mana terdapat sebanyak m-salesman mengunjungi seluruh kota,
tetapi setiap kota hanya dapat dikunjungi oleh tepat satu salesman saja. Tiap
salesman berawal dari suatu depot dan pada akhir perjalannya juga harus kembali
ke depot tersebut. Tujuan dari m-TSP adalah meminimumkan total jarak dari
setiap rute.
Masalah m-TSP dikenal juga sebagai Vehicle Routing Problem (VRP), di
mana sebuah kota memiliki permintaan dan tiap salesman atau kendaraan
memiliki kapasitas tertentu. Total permintaan dalam suatu rute tidak boleh
melebihi kapasitas dari kendaraan yang melalui rute tersebut (Larsen 1999).
Vehicle Routing Problem
Vehicle Routing Problem (VRP) merupakan suatu masalah penentuan rute
kendaraan dalam mendistribusikan barang dari tempat produksi yang dinamakan
depot ke agen. Tujuan dari VRP adalah menentukan sejumlah rute untuk
melakukan pengiriman pada setiap agen, dengan mengikuti beberapa ketentuan,
antara lain: (1) setiap rute berawal dan berakhir di depot, (2) setiap agen
dikunjungi tepat satu kali oleh tepat satu kendaraan, (3) jumlah permintaan setiap
rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melalui rute tersebut dan (4)
meminimumkan total biaya pengiriman (Cordeau et al. 2002).
3
Multi-Depot Vehicle Routing Problem
Multi-Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP) merupakan variasi dari
VRP, di mana terdapat sejumlah m-depot yang bertindak sebagai distributor suatu
produk. Dalam Multi-Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP), jumlah dan
letak dari depot telah ditentukan sebelumnya. Setiap depot cukup besar untuk
menyediakan semua produk yang diminta oleh agen. Setiap kendaraan memulai
perjalanan dan mengakhiri perjalanan pada depot yang sama. Lokasi dan
permintaan dari setiap agen telah diketahui sebelumnya dan setiap agen
dikunjungi tepat sekali oleh sebuah kendaraan. Sebagai akibat dari adanya depot
untuk menyediakan produk, maka pembuat keputusan harus menentukan agen
mana saja yang akan dilayani oleh masing-masing depot. Tujuan dari penentuan
rute adalah meminimumkan jumlah rute tanpa melanggar kendala kapasitas
kendaraan. Jumlah rute yang lebih besar meningkatkan jumlah kendaraan yang
dibutuhkan dan akan mengurangi kualitas dari solusi yang dihasilkan. Penentuan
rute dan penjadwalan yang lebih baik dapat menghasilkan jarak pengiriman
terpendek, waktu pelayanan semua agen yang tercepat, biaya pengiriman yang
kecil dan tingkat efisiensi yang tinggi. Secara umum, tujuan dari MDVRP adalah
untuk meminimumkan total jarak pengiriman atau waktu yang dihabiskan untuk
melayani semua agen. Lebih kecil waktu pengiriman, lebih besar tingkat kepuasan
agen. Lebih sedikit kendaraan berarti total biaya operasionalnya pun kecil, maka
tujuan dari MDVRP bisa menjadi meminimumkan jumlah kendaraan. Walaupun
ada beberapa tujuan, namun tujuan utama dari MDVRP adalah untuk
meningkatkan efisiensi dalam pengiriman produk (Surekha dan Sumathi 2011).
Masalah pendistribusian yang akan dibahas lebih lanjut dalam karya
ilmiah ini merupakan Multi-Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP).
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Deskripsi Masalah
Masalah pendistribusian barang yang dimaksud dalam karya ilmiah ini
adalah masalah penentuan rute perjalanan untuk melakukan distribusi barang dari
sejumlah depot ke sejumlah agen dengan tujuan meminimumkan total biaya
distribusi barang yang merupakan penjumlahan dari biaya tetap penggunaan
kendaraan dan biaya perjalanan. Misalkan tersedia kendaraan lebih dari satu pada
masing-masing depot. Setiap kendaraan yang digunakan akan berangkat dari suatu
depot dan harus kembali ke depot yang sama saat ia berangkat. Setiap agen hanya
boleh dilayani tepat sekali oleh sebuah kendaraan. Setiap agen memiliki
permintaan terhadap barang yang harus dipenuhi, serta setiap kendaraan memiliki
kapasitas muatan dengan besaran tertentu, sehingga rute perjalanan yang
dihasilkan harus mempertimbangkan kapasitas muatan kendaraan, agar rute yang
dihasilkan tidak melebihi kapasitas muatan setiap kendaraan yang melalui rute
tersebut.
4
Formulasi Masalah
Berdasarkan deskripsi masalah yang diberikan di atas, masalah
pendistribusian barang ini diformulasikan sebagai masalah ILP. Formulasi
masalah pendistribusian barang ini menggunakan himpunan, indeks, parameter,
dan variabel keputusan sebagai berikut:
Himpunan
= Himpunan semua depot,
= Himpunan semua agen,
= Himpunan kendaraan yang akan berangkat dan kembali ke depot
∑
= Himpunan semua kendaraan,
Indeks
= Indeks yang menyatakan node,
= Indeks yang menyatakan kendaraan,
Parameter
= Banyaknya node,
= Biaya tetap penggunaan kendaraan
= Biaya perjalanan per km dari node ke node ,
= Banyaknya permintaan agen
= Kapasitas maksimum kendaraan
= Jarak dari node ke node ,
Variabel Keputusan
{
{
= Variabel tambahan yang digunakan dalam eliminasi subtour untuk agen
pada kendaraan
= Variabel tambahan yang digunakan dalam eliminasi subtour untuk agen
pada kendaraan
Fungsi Objektif
Dalam penelitian ini, diinginkan biaya yang seminimum mungkin untuk
melakukan distribusi kepada agen, sehingga digunakan fungsi objektif untuk
meminimumkan total biaya distribusi, yang terdiri atas penjumlahan dari biaya
tetap penggunaan kendaraan ditambah dengan biaya perjalanan. Secara matematis
fungsi objektifnya dapat ditulis sebagai berikut:
∑
∑ ∑ ∑
5
Kendala
Di antara kendala dalam masalah pendistribusian barang ini, terdapat
kendala yang bersumber dari jurnal Surekha dan Sumathi (2011), yaitu kendala
eliminasi subtour. Kendala ini bertujuan membentuk suatu perjalanan dari setiap
kendaraan dalam bentuk tour yang fisibel, bukan perjalanan dalam bentuk subtour
yang takfisibel. Pengertian subtour sendiri ialah suatu kondisi di mana sebuah
tour atau lebih terbentuk dengan tempat memulai perjalanannya bukanlah dari
depot dan biasanya kondisi ini terjadi bersamaan dengan terbentuknya sebuah tour
atau lebih yang memulai perjalanannya dari depot. Sementara kendala yang lain
merupakan pengembangan dari deskripsi masalah yang diberikan di atas.
1
2
3
Setiap kendaraan akan berangkat dari depot dan tidak harus semua
kendaraan digunakan.
∑
Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot yang sama saat ia
berangkat.
∑
Setiap agen dilayani tepat sekali oleh sebuah kendaraan.
∑ ∑
4
5
∑ ∑
Rute harus kontinu, artinya setiap kendaraan yang mengunjungi suatu agen
pasti akan meninggalkan agen tersebut.
∑
∑
Total permintaan dari semua agen yang dilalui oleh setiap kendaraan tidak
boleh melebihi kapasitas maksimum kendaraan yang digunakan.
∑∑
6
Tidak ada agen yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan.
7
Tidak ada perjalanan antardepot.
8
Tidak ada perjalanan ke tempat yang sama.
9
Kendala eliminasi subtour yang bertujuan membentuk adanya tour yang
fisibel.
10
Kendala biner dan ketaknegatifan.
(Surekha dan Sumathi 2011)
6
Sebagai ilustrasi dari kendala 9, misalkan diberikan node 1, 2, 3, 4, 5, dan 6
di mana node 1 dan 2 merupakan depot (gudang barang), serta terdapat sebuah
kendaraan pada tiap depot. Perhatikan graf berikut ini :
1
2
Rute 2
Rute 1
4
3
5
6
Gambar 1 Perjalanan dari kendaraan yang berupa subtour
Gambar 1 merupakan suatu subtour yang terdiri dari 1-3-4-1 dan 5-6-5.
Pada Gambar 1 diperoleh nilai
. Misalkan
diambil subtour yang tidak memuat depot 1 dan 2 yaitu 5-6-5 serta digunakan
kendaraan 2 pada rute 2. Representasi kendala 9 terhadap arcs dalam subtour ini
adalah:
dan
menghasilkan
Karena
maka
diperoleh
hasil yang kontradiksi sehingga perjalanan yang memuat suatu subtour
merupakan solusi yang takfisibel.
1
2
Rute 2
Rute 1
3
4
5
6
Gambar 2 Perjalanan dari kendaraan yang berupa tour
dan
Misalkan diberikan tour seperti pada Gambar 2, yaitu 1-3-4-1 untuk rute 1
2-5-6-2
untuk
rute
2
dan
misalkan
nilai
serta
lainnya bernilai
Sehingga
didapat
Akan
dibuktikan bahwa kendala 9 terpenuhi. Pertama pemilihan untuk sebuah arc
dengan
Sebagai contoh untuk
adalah
Diketahui bahwa
dan
sehingga
menghasilkan
Kedua, pemilihan untuk sebuah arc dengan
Sebagai contoh untuk
adalah
di mana
dan
karena node 5 tidak dikunjungi oleh kendaraan 1, maka menghasilkan
Sehingga kendala 9 telah terbukti terpenuhi.
7
UJI MODEL
Berdasarkan deskripsi masalah yang diberikan di atas, dilakukan uji model
yang bertujuan untuk meyakinkan bahwa model yang telah dibangun dan
diselesaikan dengan bantuan software LINGO 11.0 ini adalah benar. Pada uji
model ini dilakukan 2 simulasi untuk 2 depot dan 4 agen di mana terdapat 2
kendaraan yang berkapasitas muatan 150 unit pada setiap depot dengan biaya
tetap sebesar Rp 50000,00/kendaraan serta biaya perjalanan Rp 1000,00/km.
Permintaan agen terhadap barang serta jarak antartempat juga telah diketahui
sebelumnya. Pada simulasi 1, ingin didapatkan hasil bahwa masing-masing depot
menggunakan 1 buah kendaraan untuk melayani 2 agen untuk setiap kendaraan,
sementara pada simulasi 2 ingin didapatkan hasil bahwa semua agen hanya
dilayani oleh sebuah depot di mana depot tersebut menggunakan semua
kendaraannya dan depot yang lain tidak melakukan distribusi kepada agen. Pada
kedua simulasi ini, tempat 1 & 2 merupakan 2 buah depot yang berbeda. Pada
Tabel 1, diberikan besarnya permintaan produk pada setiap tempat, di mana
produk tersebut akan disediakan oleh kedua depot yang kemudian akan
didistribusikan kepada agen.
Tabel 1 Permintaan produk setiap tempat
Tempat
Permintaan (unit)
1
0
2
0
3
50
4
50
5
100
6
100
Tabel 2 memberikan besarnya jarak antartempat yang akan digunakan
untuk simulasi 1, di mana jarak antartempat adalah simetrik, artinya jarak dari
tempat ke tempat sama dengan jarak dari tempat ke tempat .
Tabel 2 Jarak antartempat pada simulasi 1 (dalam kilometer)
Tempat
1
2
3
4
5
6
1
0.00
14.55
18.97
30.55
15.86
30.08
2
14.55
0.00
26.78
31.08
22.45
1.19
3
18.97
26.78
0.00
8.60
4.26
3.48
4
30.55
31.08
8.60
0.00
18.64
26.56
5
15.86
22.45
4.26
18.64
0.00
23.36
6
30.08
1.19
3.48
26.56
23.36
0.00
Menggunakan parameter yang diberikan pada deskripsi uji model di atas,
didapatkan hasil untuk simulasi 1 seperti yang diinginkan yaitu setiap depot
menggunakan 1 buah kendaraan untuk melayani 2 agen dengan nilai fungsi
objektif sebesar Rp 196.500,00.
Tabel 3 memberikan hasil dari simulasi 1 yang memberikan rute
pendistribusian, jarak yang ditempuh kendaraan serta jumlah produk yang dibawa
oleh setiap kendaraan yang digunakan.
8
Tabel 3 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah produk yang dibawa tiap
kendaraan yang beroperasi pada simulasi 1
Kode
Kendaraan
1
2
3
4
Rute Pendistribusian
1
2
-
5
3
4
6
Jumlah produk
yang dibawa
(unit)
0
150
150
0
Jarak yang ditempuh
kendaraan (kilometer)
0
65.05
31.45
0
1
2
Tabel 4 memberikan besarnya jarak antartempat yang akan digunakan
untuk simulasi 2, di mana jarak antartempat adalah simetrik, artinya jarak dari
tempat ke tempat sama dengan jarak dari tempat ke tempat .
Tabel 4 Jarak antartempat pada simulasi 2 (dalam kilometer)
Tempat
1
2
3
4
5
6
1
0.00
34.55
18.97
30.55
15.86
30.08
2
14.55
0.00
26.78
31.08
22.45
31.19
3
18.97
26.78
0.00
8.60
4.26
3.48
4
30.55
31.08
8.60
0.00
18.64
26.56
5
15.86
22.45
4.26
18.64
0.00
23.36
6
30.08
31.19
3.48
26.56
23.36
0.00
Menggunakan parameter yang diberikan pada deskripsi uji model di atas,
didapatkan hasil untuk simulasi 2 seperti yang diinginkan yaitu semua agen hanya
dilayani oleh sebuah depot di mana depot tersebut menggunakan semua
kendaraannya sementara depot yang lain tidak melakukan distribusi. Nilai fungsi
objektif yang didapatkan adalah sebesar Rp 217.580,00.
Tabel 5 memberikan hasil dari simulasi 2 yang memberikan rute
pendistribusian, jarak yang ditempuh kendaraan serta jumlah produk yang dibawa
oleh setiap kendaraan yang digunakan.
Tabel 5 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah produk yang dibawa tiap
kendaraan yang beroperasi pada simulasi 2
Kode
Kendaraan
1
2
3
4
Rute Pendistribusian
1
1
-
5
3
4
6
1
1
Jarak yang ditempuh
kendaraan (kilometer)
65.05
52.53
0
0
Jumlah produk
yang dibawa
(unit)
150
150
0
0
9
IMPLEMENTASI MODEL
Misalkan dalam masalah pendistribusian roti, di mana akan ada 2 buah
depot yang akan menjadi distributor roti untuk disalurkan ke beberapa agen di
mana setiap depot memiliki jumlah kendaraan sebanyak 2 buah, yaitu kendaraan 1
dan 2 akan memulai dan mengakhiri perjalanan di depot 1, sementara kendaraan 3
dan 4 akan memulai dan mengakhiri perjalanannya di depot 2. Terdapat 20 agen
yang akan dikunjungi. Perusahaan pembuat roti ini menginginkan agar rute yang
dilalui oleh setiap kendaraan yang melakukan distribusi merupakan rute yang
meminimumkan biaya distribusi ke semua agen. Data yang diberikan merupakan
data hipotetik yang dapat digunakan untuk keperluan simulasi. Asumsi yang
digunakan pada implementasi model ini ialah sebagai berikut:
1 Jarak antarnode adalah simetrik, artinya jarak dari node i ke node j sama
dengan jarak dari node j ke node i.
2 Setiap agen hanya boleh dilayani tepat sekali oleh sebuah kendaraan.
3 Setiap kendaraan yang melakukan distribusi harus memulai perjalanan dan
mengakhiri perjalanannya pada depot yang sama, yaitu pada depot 1 tersedia
kendaraan 1 dan 2, sementara pada depot 2 tersedia kendaraan 3 dan 4.
4 Permintaan setiap agen telah diketahui.
5 Kapasitas setiap kendaraan sama (homogen).
Masalah pendistribusian roti ke 20 agen oleh 2 depot dapat diformulasikan
sebagai berikut:
Himpunan
= Himpunan semua depot,
= Himpunan semua agen,
= Himpunan kendaraan yang akan berangkat dan kembali ke depot
= Himpunan semua kendaraan,
.
Indeks
= Indeks untuk menyatakan node (tempat), di mana terdapat 2 depot dan
20 agen, maka banyaknya node (tempat) adalah 22 tempat dan nilai dari
,
, sedangkan
menyatakan depot 1
dan depot 2,
menyatakan agen (node yang akan
dikunjungi).
= Indeks untuk menyatakan kendaraan, di mana terdapat 2 buah kendaraan
pada setiap depot , sehingga
Parameter
= Banyaknya node (tempat) = 22 tempat
= Biaya tetap penggunaan kendaraan = Rp 50000,00/kendaraan
= Biaya perjalanan dari node ke node = Rp 1000,00/km
= Banyaknya permintaan agen (diberikan pada Tabel 8 Lampiran 3)
= Kapasitas maksimum kendaraan = 150 crate/kendaraan
= Jarak dari node ke node (diberikan pada Tabel 7 Lampiran 3)
10
Variabel Keputusan
{
{
= Variabel tambahan yang digunakan dalam eliminasi subtour untuk agen
pada kendaraan ,
= Variabel tambahan yang digunakan dalam eliminasi subtour untuk agen
pada kendaraan .
Fungsi Objektif
∑
∑∑∑
Kendala
1 Setiap kendaraan akan berangkat dari depot dan tidak harus semua kendaraan
digunakan.
∑
2
∑
Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot yang sama saat ia
berangkat.
∑
3
∑
Setiap agen dilayani tepat satu kali oleh sebuah kendaraan.
∑∑
4
∑∑
Rute harus kontinu, artinya setiap kendaraan yang mengunjungi suatu agen
pasti akan meninggalkan agen tersebut.
∑
∑
11
5
Total permintaan dari semua agen yang dilalui oleh setiap kendaraan tidak
boleh melebihi kapasitas maksimum kendaraan yang digunakan.
∑∑
6
Tidak ada agen yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan.
7
Tidak ada perjalanan antardepot.
8
Tidak ada perjalanan ke tempat yang sama.
9
Kendala eliminasi subtour yang bertujuan membentuk adanya tour yang
fisibel.
10
Kendala biner dan ketaknegatifan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penyelesaian kasus di atas dilakukan dengan menggunakan bantuan
software LINGO 11.0. Sintaks program dan hasil komputasi diberikan pada
Lampiran 4. Menggunakan komputer dengan Sistem Operasi Windows 7, CPU
2.20GHz, RAM 4.0 GB diperoleh solusi optimal sebesar Rp 237730,00 dalam
waktu 10 jam 59 menit 9 detik.
Tabel 6 memberikan hasil dari penyelesaian kasus di atas yang memberikan
rute pendistribusian, jarak yang ditempuh kendaraan serta jumlah produk yang
dibawa oleh setiap kendaraan yang digunakan.
Tabel 6 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah crate roti yang dibawa
tiap kendaraan yang beroperasi
Kode
Kendaraan
1
2
3
4
Rute Pendistribusian
1
2
9
2
7
20 12 10 1
17 11 18 15 19 5 3
2
6 16 21 8 13
4
22
14
2
0
25.4
Jumlah
crate roti
yang
dibawa
(crate)
0
39
33.74
140
28.59
142
Jarak yang
ditempuh
kendaraan
(kilometer)
12
Jumlah kendaraan yang digunakan untuk melakukan distribusi ke semua
agen hanya 3 dari 4 kendaraan yang tersedia. Jarak yang ditempuh kendaraan dan
jumlah crate roti yang dibawa pada kendaraan 1 adalah 0, ini menunjukkan bahwa
kendaraan tersebut tidak digunakan.
Rute 2
Rute 1
Rute 1
Gambar 3 Rute pendistribusian kendaraan pada implementasi model
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Multi-Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP) dapat dimodelkan sebagai
masalah Integer Linear Programming (ILP). Model ini bertujuan meminimumkan
total biaya distribusi ke semua agen, di mana setiap kendaraan yang digunakan
akan memulai perjalanannya dari depot hingga kemudian harus mengakhiri
perjalanannya di depot yang sama dengan tempat ia memulai perjalanannya.
Implementasi model pada pendistribusian dengan 2 depot dan 20 agen ini
diperoleh nilai optimal dalam waktu 10 jam 59 menit 9 detik.
Saran
Pada karya ilmiah ini, data yang digunakan merupakan data hipotetik.
Sehingga penelitian ini dapat dikembangkan dengan menggunakan data aktual.
Selain itu, penelitian ini juga dapat dikembangkan dengan menambahkan kendala
time windows (horizon waktu) yang dimiliki setiap agen, lalu kendala pemilihan
rute untuk distribusi apabila terjadi kemacetan, kendala adanya ritasi kendaraan
lebih dari sekali, serta kendala lain yang relevan dengan kondisi aktual.
13
DAFTAR PUSTAKA
Cordeau J-F, Gendreau M, Laporte G, Potvin JY, Semet F. 2002. A Guide to
Vehicle Routing Heuristics. Journal of Operation Research Society. 53:512522.
Hoffman K, Padberg M, Rinaldi G. 2001. Traveling Salesman Problem. Kluwer
Academic Publishers. doi:10.1007/1-4020-0611-X_1068.
Larsen J. 1999. Vehicle Routing with Time Windows – Finding optimal solutions
efficiently.
Surekha P, Sumathi S. 2011. Solution to Multi-Depot Vehicle Routing Problem
Using Genetic Algorithms. World Applied Programming. 1(3):118-131.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms. 4th ed.
New York: Duxbury.
14
Lampiran 1
Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam menyelesaikan uji
model simulasi 1 untuk Solusi Multi-Depot Vehicle Routing Problem
Menggunakan Integer Linear Programming
model:
sets:
vehicle/1..4/:w,z,b;
!w=kapasitas kendaraan dari depot 1;
!z=variabel keputusan bila kendaraan tipe-k dari depot 1 dioperasikan;
!b=biaya tetap kendaraan;
node/1..6/:q;
!1=depot 1, 2=depot 2, 3-22=agen yang harus dilayani;
!q=demand tiap node;
load(node,vehicle):U;
!U=variabel tambahan yang digunakan untuk eliminasi subtour;
link(node,node):d,c;
!d=jarak;
!c=biaya perjalanan;
route(node,node,vehicle):x;
!x=variabel keputusan jika kendaraan tipe k digunakan untuk melayani j
setelah i;
endsets
DATA:
!kapasitas kendaraan;
w=
150 150 150 150
;
!b=biaya tetap;
b=
50000 50000 50000 50000
;
!jarak;
d=
0.00 14.55 18.97 30.55 15.86 30.08
14.55 0.00 26.78 31.08 22.45 1.19
18.97 26.78 0.00 8.60 4.26 3.48
30.55 31.08 8.60 0.00 18.64 26.56
15.86 22.45 4.26 18.64 0.00 23.36
30.08 1.19 3.48 26.56 23.36 0.00
;
!demand produk setiap node;
q=
0 0 50 50 100 100
;
ENDDATA
15
N=@size(node);
@for(node(i): @for(node(j)|j#NE#i:c(i,j)=1000*d(i,j)));
!fungsi objektif;
min=@sum(vehicle(k) :b(k)*z(k))+@sum(vehicle(k):@sum(node(i):@sum(node(
j)|i#NE#j:c(i,j)*x(i,j,k))));
!kendala-kendala;
!Setiap kendaraan akan berangkat dari depot dan seluruh kendaraan akan
digunakan untuk melayani agen;
@for(vehicle(k)|k#LE#2: @sum(node(j)|j#GT#2:x(1,j,k))=z(k));
@for(vehicle(k)|k#GT#2: @sum(node(j)|j#GT#2:x(2,j,k))=z(k));
!kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot;
@for(vehicle(k)|k#LE#2: @sum(node(i)|i#GT#2:x(i,1,k))=z(k));
@for(vehicle(k)|k#GT#2: @sum(node(i)|i#GT#2:x(i,2,k))=z(k));
!setiap pelanggan tepat dikunjungi sekali oleh satu kendaraan;
@for(node(j)|(j#GT#2): @sum(vehicle(k):@sum(node(i)|j#NE#i:x(i,j,k)))=1);
@for(node(i)|(i#GT#2): @sum(vehicle(k):@sum(node(j)|j#NE#i:x(i,j,k)))=1);
!kekontinuan rute;
@for(vehicle(k): @for(node(p)|p#GT#2: @sum(node(i)|p#NE#i:x(i,p,k)) @sum(node(j)|p#NE#j:x(p,j,k))=0));
!barang yang diangkut untuk didistribusikan tidak melebihi kapasitas
masingmasing kendaraan;
@for(vehicle(k):@sum(node(i)|i#GT#2:@sum(node(j)|j#NE#i:q(i)*x(i,j,k)))
MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING
NUR AULIA RACHMAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Solusi Multi-Depot
Vehicle Routing Problem Menggunakan Integer Linear Programming adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2015
Nur Aulia Rachman
NIM G54110049
ABSTRAK
NUR AULIA RACHMAN. Solusi Multi-Depot Vehicle Routing Problem
Menggunakan Integer Linear Programming. Dibimbing oleh PRAPTO TRI
SUPRIYO dan SISWANDI.
Suatu perusahaan yang memiliki beberapa tempat penyimpanan
barang perlu menentukan skenario pendistribusian barang dari beberapa
tempat penyimpanan barang (depot) ke beberapa agen yang akan
meminimumkan biaya operasional. Karya ilmiah ini memberikan model
untuk menentukan rute armada kendaraan guna mendistribusikan barang
dari beberapa depot ke beberapa agen dengan biaya operasional yang
minimum. Model diformulasikan menggunakan Integer Linear
Programming dan diimplementasikan menggunakan software LINGO 11.0
untuk menentukan skenario pendistribusian barang dari dua depot ke dua
puluh agen yang terpisah relatif jauh satu dengan yang lainnya.
Kata kunci: MDVRP, pendistribusian barang
ABSTRACT
NUR AULIA RACHMAN. Solution of the Multi-Depot Vehicle Routing
Problem Using Integer Linear Programming. Supervised by PRAPTO TRI
SUPRIYO and SISWANDI.
A company which has several storage of goods needs to determine
a scenario how to distribute goods from multiple storages (depots) to some
customers by minimizing operation costs. This paper provides a model to
determine the vehicle fleet in order to distribute goods from several depots
to some customers with minimum operation costs. The model was
formulated using Integer Linear Programming and implemented using
software LINGO 11.0 to determine the scenario how to distribute goods
from two depots to twenty customers relatively far apart from each other.
Keywords: MDVRP, products distribution
SOLUSI MULTI-DEPOT VEHICLE ROUTING PROBLEM
MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING
NUR AULIA RACHMAN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul dari
karya ilmiah ini adalah Solusi Multi-Depot Vehicle Routing Problems
Menggunakan Integer Linear Programmings. Penyusunan karya ilmiah ini
tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis
mengucapkan terima kasih kepada:
1
Bapak dan Ibu tercinta yang selalu mendukung, mendoakan yang
terbaik serta memberikan semangat tanpa henti-hentinya kepada
penulis, Nur Laila Fitriati Ahwanah selaku kakak dan Achmad Arif
Hidayat selaku adik yang telah memberikan banyak motivasi kepada
penulis untuk terus belajar,
2
Bapak Drs Prapto Tri Supriyo, M.Kom selaku dosen pembimbing I,
Bapak Drs. Siswandi, M.Si selaku dosen pembimbing II dan Bapak
Toni Bakhtiar, M.Sc selaku penguji yang telah memberikan ilmu,
saran, motivasi dan bantuannya dalam penulisan karya ilmiah ini,
3
Semua dosen Departemen Matematika IPB, terima kasih atas semua
ilmu yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di
Departemen Matematika IPB,
4
Semua Staf Departemen Matematika IPB atas pelayanannya yang baik
selama penulis menimba ilmu di Departemen Matematika IPB,
5
Kak Maya selaku asisten praktikum mata kuliah Pemodelan Riset
Operasi, dan Kak Alin yang telah banyak memberikan masukan serta
saran yang bermanfaat dalam penulisan karya ilmiah ini,
6
Dedi, deby, dinar, dan seluruh keluarga Matematika 48 atas doa,
dukungan serta semangat yang diberikan,
7
Seluruh pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari sempurna.
Penulis sangat mengaharapkan segala kritik dan saran yang membangun.
Semoga karya ilmiah ini dapat menambah wawasan bagi pembaca sekalian
dan bisa bermanfaat bagi dunia ilmu pendidikan khususnya bidang
matematika serta menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Agustus 2015
Nur Aulia Rachman
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
ix
DAFTAR LAMPIRAN
ix
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
1
Linear Programming
1
Integer Linear Programming
2
Traveling Salesman Problem
2
Multiple Traveling Salesman Problem
2
Vehicle Routing Problem
2
Multi-Depot Vehicle Routing Problem
3
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3
Deskripsi Masalah
3
Formulasi Masalah
4
UJI MODEL
7
IMPLEMENTASI MODEL
9
HASIL DAN PEMBAHASAN
11
SIMPULAN DAN SARAN
12
Simpulan
12
Saran
12
DAFTAR PUSTAKA
13
LAMPIRAN
14
RIWAYAT HIDUP
33
DAFTAR TABEL
1 Permintaan produk setiap tempat
2 Jarak antartempat pada simulasi 1
3 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah produk yang dibawa
tiap kendaraan yang beroperasi pada simulasi 1
4 Jarak antartempat pada simulasi 2
5 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah produk yang dibawa
tiap kendaraan yang beroperasi pada simulasi 2
6 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah crate roti yang dibawa
tiap kendaraan yang beroperasi
7 Jarak antarnode
8 Permintaan roti setiap node
7
7
8
8
8
11
22
22
DAFTAR GAMBAR
1 Perjalanan dari kendaraan yang berupa subtour
2 Perjalanan dari kendaraan yang berupa tour
3 Rute pendistribusian kendaraan apda implementasi model
6
6
12
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam
menyelesaikan uji model simulasi 1 untuk Solusi Multi-Depot
Vehicle Routing Problem Menggunakan Integer Linear
Programming
2 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam
menyelesaikan uji model simulasi 2 untuk Solusi Multi-Depot
Vehicle Routing Problem Menggunakan Integer Linear
Programming
3 Data jarak antarnode serta permintaan setiap node terhadap roti
yang digunakan dalam implementasi model.
4 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam
menyelesaikan Solusi Multi-Depot Vehicle Routing
Problem Menggunakan Integer Linear Programming
14
18
22
23
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Suatu perusahaan selain berperilaku sebagai produsen, pada umumnya juga
berperilaku sebagai distributor untuk menyalurkan barang yang telah
diproduksinya agar bisa sampai ke tangan konsumen. Perusahaan biasanya
bekerjasama dengan beberapa toko atau swalayan yang biasanya disebut sebagai
agen, yang akan membantu memasarkan barang kepada masyarakat. Proses
distribusi dari tempat penyimpanan barang (depot) ke agen memerlukan suatu
pemecahan masalah penentuan rute yang paling optimal yang akan
mengefisienkan biaya operasional. Sebab jika rute yang dipilih bukanlah rute yang
paling optimal, maka akan menimbulkan masalah bagi perusahaan, seperti biaya
distribusi yang besar, proses pengiriman yang memakan waktu yang lama, dan
lain sebagainya.
Diketahui bahwa beberapa perusahaan memiliki beberapa tempat
penyimpanan (depot atau gudang) barang di mana barang-barang tersebut akan
didistribusikan ke para agen. Perusahaan memiliki kepentingan untuk menentukan
skenario pendistribusian barang dari beberapa depot ke beberapa agen dengan
biaya paling efisien. Upaya untuk menentukan model skenario pendistribusian
barang di atas tentu akan sangat bermanfaat bagi perusahaan.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah memformulasikan masalah penentuan
rute optimal untuk melakukan distribusi ke dalam bentuk Multi-Depot Vehicle
Routing Problem (MDVRP) menggunakan Integer Linear Programming (ILP)
dan mengimplementasikan model tersebut pada suatu kasus menggunakan
bantuan software LINGO 11.0.
TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memahami masalah dalam karya ilmiah ini diperlukan beberapa
pengertian sebagai berikut.
Linear Programming
Linear Programming (LP) adalah suatu masalah pengoptimuman yang
memenuhi aturan sebagai berikut:
1 bertujuan untuk memaksimumkan atau meminimumkan sebuah fungsi linear.
Fungsi yang dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif,
2 nilai-nilai pada variabel keputusan harus memenuhi kendala-kendala yang ada.
Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertaksamaan linear, dan
3 pembatasan tanda bergantung pada setiap variabel. Untuk sembarang variabel
haruslah variabel taknegatif (
) atau variabel takberbatas
(Winston 2004).
2
Integer Linear Programming
Suatu masalah pengoptimalan disebut Integer Linear Programming (ILP)
atau disebut juga Integer Programming (IP) jika beberapa atau semua variabel
yang digunakan berupa bilangan bulat (integer) taknegatif. Sebuah IP di mana
semua variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer) disebut pure
integer programming. Sebuah IP di mana hanya beberapa variabel yang
digunakan berupa bilangan bulat disebut mixed integer programming. IP di mana
semua variabel yang digunakan harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP (Winston
2004).
Traveling Salesman Problem
Dalam masalah pendistribusian suatu produk, terdapat beberapa variasi
masalah pendistribusian yang mungkin bisa saja terjadi, mulai dari masalah
pendistribusian yang paling sederhana yaitu Traveling Salesman Problem (TSP)
hingga masalah yang lebih kompleks yang merupakan pengembangan dari
Traveling Salesman Problem (TSP). Traveling Salesman Problem (TSP)
merupakan suatu kondisi di mana seorang salesman akan berangkat dari satu kota
kemudian mengunjungi tepat sekali sejumlah m kota yang ada dan pada akhir
perjalanannya salesman tersebut akan kembali ke kota asal atau depot. Tujuan
dari TSP adalah menentukan rute yang melalui seluruh kota dan meminimumkan
jarak / biaya perjalanan (Hoffman et al. 2001).
Multiple Traveling Salesman Problem
Multiple Traveling Salesman Problem (m-TSP) adalah salah satu variasi
dari TSP, di mana terdapat sebanyak m-salesman mengunjungi seluruh kota,
tetapi setiap kota hanya dapat dikunjungi oleh tepat satu salesman saja. Tiap
salesman berawal dari suatu depot dan pada akhir perjalannya juga harus kembali
ke depot tersebut. Tujuan dari m-TSP adalah meminimumkan total jarak dari
setiap rute.
Masalah m-TSP dikenal juga sebagai Vehicle Routing Problem (VRP), di
mana sebuah kota memiliki permintaan dan tiap salesman atau kendaraan
memiliki kapasitas tertentu. Total permintaan dalam suatu rute tidak boleh
melebihi kapasitas dari kendaraan yang melalui rute tersebut (Larsen 1999).
Vehicle Routing Problem
Vehicle Routing Problem (VRP) merupakan suatu masalah penentuan rute
kendaraan dalam mendistribusikan barang dari tempat produksi yang dinamakan
depot ke agen. Tujuan dari VRP adalah menentukan sejumlah rute untuk
melakukan pengiriman pada setiap agen, dengan mengikuti beberapa ketentuan,
antara lain: (1) setiap rute berawal dan berakhir di depot, (2) setiap agen
dikunjungi tepat satu kali oleh tepat satu kendaraan, (3) jumlah permintaan setiap
rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melalui rute tersebut dan (4)
meminimumkan total biaya pengiriman (Cordeau et al. 2002).
3
Multi-Depot Vehicle Routing Problem
Multi-Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP) merupakan variasi dari
VRP, di mana terdapat sejumlah m-depot yang bertindak sebagai distributor suatu
produk. Dalam Multi-Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP), jumlah dan
letak dari depot telah ditentukan sebelumnya. Setiap depot cukup besar untuk
menyediakan semua produk yang diminta oleh agen. Setiap kendaraan memulai
perjalanan dan mengakhiri perjalanan pada depot yang sama. Lokasi dan
permintaan dari setiap agen telah diketahui sebelumnya dan setiap agen
dikunjungi tepat sekali oleh sebuah kendaraan. Sebagai akibat dari adanya depot
untuk menyediakan produk, maka pembuat keputusan harus menentukan agen
mana saja yang akan dilayani oleh masing-masing depot. Tujuan dari penentuan
rute adalah meminimumkan jumlah rute tanpa melanggar kendala kapasitas
kendaraan. Jumlah rute yang lebih besar meningkatkan jumlah kendaraan yang
dibutuhkan dan akan mengurangi kualitas dari solusi yang dihasilkan. Penentuan
rute dan penjadwalan yang lebih baik dapat menghasilkan jarak pengiriman
terpendek, waktu pelayanan semua agen yang tercepat, biaya pengiriman yang
kecil dan tingkat efisiensi yang tinggi. Secara umum, tujuan dari MDVRP adalah
untuk meminimumkan total jarak pengiriman atau waktu yang dihabiskan untuk
melayani semua agen. Lebih kecil waktu pengiriman, lebih besar tingkat kepuasan
agen. Lebih sedikit kendaraan berarti total biaya operasionalnya pun kecil, maka
tujuan dari MDVRP bisa menjadi meminimumkan jumlah kendaraan. Walaupun
ada beberapa tujuan, namun tujuan utama dari MDVRP adalah untuk
meningkatkan efisiensi dalam pengiriman produk (Surekha dan Sumathi 2011).
Masalah pendistribusian yang akan dibahas lebih lanjut dalam karya
ilmiah ini merupakan Multi-Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP).
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Deskripsi Masalah
Masalah pendistribusian barang yang dimaksud dalam karya ilmiah ini
adalah masalah penentuan rute perjalanan untuk melakukan distribusi barang dari
sejumlah depot ke sejumlah agen dengan tujuan meminimumkan total biaya
distribusi barang yang merupakan penjumlahan dari biaya tetap penggunaan
kendaraan dan biaya perjalanan. Misalkan tersedia kendaraan lebih dari satu pada
masing-masing depot. Setiap kendaraan yang digunakan akan berangkat dari suatu
depot dan harus kembali ke depot yang sama saat ia berangkat. Setiap agen hanya
boleh dilayani tepat sekali oleh sebuah kendaraan. Setiap agen memiliki
permintaan terhadap barang yang harus dipenuhi, serta setiap kendaraan memiliki
kapasitas muatan dengan besaran tertentu, sehingga rute perjalanan yang
dihasilkan harus mempertimbangkan kapasitas muatan kendaraan, agar rute yang
dihasilkan tidak melebihi kapasitas muatan setiap kendaraan yang melalui rute
tersebut.
4
Formulasi Masalah
Berdasarkan deskripsi masalah yang diberikan di atas, masalah
pendistribusian barang ini diformulasikan sebagai masalah ILP. Formulasi
masalah pendistribusian barang ini menggunakan himpunan, indeks, parameter,
dan variabel keputusan sebagai berikut:
Himpunan
= Himpunan semua depot,
= Himpunan semua agen,
= Himpunan kendaraan yang akan berangkat dan kembali ke depot
∑
= Himpunan semua kendaraan,
Indeks
= Indeks yang menyatakan node,
= Indeks yang menyatakan kendaraan,
Parameter
= Banyaknya node,
= Biaya tetap penggunaan kendaraan
= Biaya perjalanan per km dari node ke node ,
= Banyaknya permintaan agen
= Kapasitas maksimum kendaraan
= Jarak dari node ke node ,
Variabel Keputusan
{
{
= Variabel tambahan yang digunakan dalam eliminasi subtour untuk agen
pada kendaraan
= Variabel tambahan yang digunakan dalam eliminasi subtour untuk agen
pada kendaraan
Fungsi Objektif
Dalam penelitian ini, diinginkan biaya yang seminimum mungkin untuk
melakukan distribusi kepada agen, sehingga digunakan fungsi objektif untuk
meminimumkan total biaya distribusi, yang terdiri atas penjumlahan dari biaya
tetap penggunaan kendaraan ditambah dengan biaya perjalanan. Secara matematis
fungsi objektifnya dapat ditulis sebagai berikut:
∑
∑ ∑ ∑
5
Kendala
Di antara kendala dalam masalah pendistribusian barang ini, terdapat
kendala yang bersumber dari jurnal Surekha dan Sumathi (2011), yaitu kendala
eliminasi subtour. Kendala ini bertujuan membentuk suatu perjalanan dari setiap
kendaraan dalam bentuk tour yang fisibel, bukan perjalanan dalam bentuk subtour
yang takfisibel. Pengertian subtour sendiri ialah suatu kondisi di mana sebuah
tour atau lebih terbentuk dengan tempat memulai perjalanannya bukanlah dari
depot dan biasanya kondisi ini terjadi bersamaan dengan terbentuknya sebuah tour
atau lebih yang memulai perjalanannya dari depot. Sementara kendala yang lain
merupakan pengembangan dari deskripsi masalah yang diberikan di atas.
1
2
3
Setiap kendaraan akan berangkat dari depot dan tidak harus semua
kendaraan digunakan.
∑
Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot yang sama saat ia
berangkat.
∑
Setiap agen dilayani tepat sekali oleh sebuah kendaraan.
∑ ∑
4
5
∑ ∑
Rute harus kontinu, artinya setiap kendaraan yang mengunjungi suatu agen
pasti akan meninggalkan agen tersebut.
∑
∑
Total permintaan dari semua agen yang dilalui oleh setiap kendaraan tidak
boleh melebihi kapasitas maksimum kendaraan yang digunakan.
∑∑
6
Tidak ada agen yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan.
7
Tidak ada perjalanan antardepot.
8
Tidak ada perjalanan ke tempat yang sama.
9
Kendala eliminasi subtour yang bertujuan membentuk adanya tour yang
fisibel.
10
Kendala biner dan ketaknegatifan.
(Surekha dan Sumathi 2011)
6
Sebagai ilustrasi dari kendala 9, misalkan diberikan node 1, 2, 3, 4, 5, dan 6
di mana node 1 dan 2 merupakan depot (gudang barang), serta terdapat sebuah
kendaraan pada tiap depot. Perhatikan graf berikut ini :
1
2
Rute 2
Rute 1
4
3
5
6
Gambar 1 Perjalanan dari kendaraan yang berupa subtour
Gambar 1 merupakan suatu subtour yang terdiri dari 1-3-4-1 dan 5-6-5.
Pada Gambar 1 diperoleh nilai
. Misalkan
diambil subtour yang tidak memuat depot 1 dan 2 yaitu 5-6-5 serta digunakan
kendaraan 2 pada rute 2. Representasi kendala 9 terhadap arcs dalam subtour ini
adalah:
dan
menghasilkan
Karena
maka
diperoleh
hasil yang kontradiksi sehingga perjalanan yang memuat suatu subtour
merupakan solusi yang takfisibel.
1
2
Rute 2
Rute 1
3
4
5
6
Gambar 2 Perjalanan dari kendaraan yang berupa tour
dan
Misalkan diberikan tour seperti pada Gambar 2, yaitu 1-3-4-1 untuk rute 1
2-5-6-2
untuk
rute
2
dan
misalkan
nilai
serta
lainnya bernilai
Sehingga
didapat
Akan
dibuktikan bahwa kendala 9 terpenuhi. Pertama pemilihan untuk sebuah arc
dengan
Sebagai contoh untuk
adalah
Diketahui bahwa
dan
sehingga
menghasilkan
Kedua, pemilihan untuk sebuah arc dengan
Sebagai contoh untuk
adalah
di mana
dan
karena node 5 tidak dikunjungi oleh kendaraan 1, maka menghasilkan
Sehingga kendala 9 telah terbukti terpenuhi.
7
UJI MODEL
Berdasarkan deskripsi masalah yang diberikan di atas, dilakukan uji model
yang bertujuan untuk meyakinkan bahwa model yang telah dibangun dan
diselesaikan dengan bantuan software LINGO 11.0 ini adalah benar. Pada uji
model ini dilakukan 2 simulasi untuk 2 depot dan 4 agen di mana terdapat 2
kendaraan yang berkapasitas muatan 150 unit pada setiap depot dengan biaya
tetap sebesar Rp 50000,00/kendaraan serta biaya perjalanan Rp 1000,00/km.
Permintaan agen terhadap barang serta jarak antartempat juga telah diketahui
sebelumnya. Pada simulasi 1, ingin didapatkan hasil bahwa masing-masing depot
menggunakan 1 buah kendaraan untuk melayani 2 agen untuk setiap kendaraan,
sementara pada simulasi 2 ingin didapatkan hasil bahwa semua agen hanya
dilayani oleh sebuah depot di mana depot tersebut menggunakan semua
kendaraannya dan depot yang lain tidak melakukan distribusi kepada agen. Pada
kedua simulasi ini, tempat 1 & 2 merupakan 2 buah depot yang berbeda. Pada
Tabel 1, diberikan besarnya permintaan produk pada setiap tempat, di mana
produk tersebut akan disediakan oleh kedua depot yang kemudian akan
didistribusikan kepada agen.
Tabel 1 Permintaan produk setiap tempat
Tempat
Permintaan (unit)
1
0
2
0
3
50
4
50
5
100
6
100
Tabel 2 memberikan besarnya jarak antartempat yang akan digunakan
untuk simulasi 1, di mana jarak antartempat adalah simetrik, artinya jarak dari
tempat ke tempat sama dengan jarak dari tempat ke tempat .
Tabel 2 Jarak antartempat pada simulasi 1 (dalam kilometer)
Tempat
1
2
3
4
5
6
1
0.00
14.55
18.97
30.55
15.86
30.08
2
14.55
0.00
26.78
31.08
22.45
1.19
3
18.97
26.78
0.00
8.60
4.26
3.48
4
30.55
31.08
8.60
0.00
18.64
26.56
5
15.86
22.45
4.26
18.64
0.00
23.36
6
30.08
1.19
3.48
26.56
23.36
0.00
Menggunakan parameter yang diberikan pada deskripsi uji model di atas,
didapatkan hasil untuk simulasi 1 seperti yang diinginkan yaitu setiap depot
menggunakan 1 buah kendaraan untuk melayani 2 agen dengan nilai fungsi
objektif sebesar Rp 196.500,00.
Tabel 3 memberikan hasil dari simulasi 1 yang memberikan rute
pendistribusian, jarak yang ditempuh kendaraan serta jumlah produk yang dibawa
oleh setiap kendaraan yang digunakan.
8
Tabel 3 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah produk yang dibawa tiap
kendaraan yang beroperasi pada simulasi 1
Kode
Kendaraan
1
2
3
4
Rute Pendistribusian
1
2
-
5
3
4
6
Jumlah produk
yang dibawa
(unit)
0
150
150
0
Jarak yang ditempuh
kendaraan (kilometer)
0
65.05
31.45
0
1
2
Tabel 4 memberikan besarnya jarak antartempat yang akan digunakan
untuk simulasi 2, di mana jarak antartempat adalah simetrik, artinya jarak dari
tempat ke tempat sama dengan jarak dari tempat ke tempat .
Tabel 4 Jarak antartempat pada simulasi 2 (dalam kilometer)
Tempat
1
2
3
4
5
6
1
0.00
34.55
18.97
30.55
15.86
30.08
2
14.55
0.00
26.78
31.08
22.45
31.19
3
18.97
26.78
0.00
8.60
4.26
3.48
4
30.55
31.08
8.60
0.00
18.64
26.56
5
15.86
22.45
4.26
18.64
0.00
23.36
6
30.08
31.19
3.48
26.56
23.36
0.00
Menggunakan parameter yang diberikan pada deskripsi uji model di atas,
didapatkan hasil untuk simulasi 2 seperti yang diinginkan yaitu semua agen hanya
dilayani oleh sebuah depot di mana depot tersebut menggunakan semua
kendaraannya sementara depot yang lain tidak melakukan distribusi. Nilai fungsi
objektif yang didapatkan adalah sebesar Rp 217.580,00.
Tabel 5 memberikan hasil dari simulasi 2 yang memberikan rute
pendistribusian, jarak yang ditempuh kendaraan serta jumlah produk yang dibawa
oleh setiap kendaraan yang digunakan.
Tabel 5 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah produk yang dibawa tiap
kendaraan yang beroperasi pada simulasi 2
Kode
Kendaraan
1
2
3
4
Rute Pendistribusian
1
1
-
5
3
4
6
1
1
Jarak yang ditempuh
kendaraan (kilometer)
65.05
52.53
0
0
Jumlah produk
yang dibawa
(unit)
150
150
0
0
9
IMPLEMENTASI MODEL
Misalkan dalam masalah pendistribusian roti, di mana akan ada 2 buah
depot yang akan menjadi distributor roti untuk disalurkan ke beberapa agen di
mana setiap depot memiliki jumlah kendaraan sebanyak 2 buah, yaitu kendaraan 1
dan 2 akan memulai dan mengakhiri perjalanan di depot 1, sementara kendaraan 3
dan 4 akan memulai dan mengakhiri perjalanannya di depot 2. Terdapat 20 agen
yang akan dikunjungi. Perusahaan pembuat roti ini menginginkan agar rute yang
dilalui oleh setiap kendaraan yang melakukan distribusi merupakan rute yang
meminimumkan biaya distribusi ke semua agen. Data yang diberikan merupakan
data hipotetik yang dapat digunakan untuk keperluan simulasi. Asumsi yang
digunakan pada implementasi model ini ialah sebagai berikut:
1 Jarak antarnode adalah simetrik, artinya jarak dari node i ke node j sama
dengan jarak dari node j ke node i.
2 Setiap agen hanya boleh dilayani tepat sekali oleh sebuah kendaraan.
3 Setiap kendaraan yang melakukan distribusi harus memulai perjalanan dan
mengakhiri perjalanannya pada depot yang sama, yaitu pada depot 1 tersedia
kendaraan 1 dan 2, sementara pada depot 2 tersedia kendaraan 3 dan 4.
4 Permintaan setiap agen telah diketahui.
5 Kapasitas setiap kendaraan sama (homogen).
Masalah pendistribusian roti ke 20 agen oleh 2 depot dapat diformulasikan
sebagai berikut:
Himpunan
= Himpunan semua depot,
= Himpunan semua agen,
= Himpunan kendaraan yang akan berangkat dan kembali ke depot
= Himpunan semua kendaraan,
.
Indeks
= Indeks untuk menyatakan node (tempat), di mana terdapat 2 depot dan
20 agen, maka banyaknya node (tempat) adalah 22 tempat dan nilai dari
,
, sedangkan
menyatakan depot 1
dan depot 2,
menyatakan agen (node yang akan
dikunjungi).
= Indeks untuk menyatakan kendaraan, di mana terdapat 2 buah kendaraan
pada setiap depot , sehingga
Parameter
= Banyaknya node (tempat) = 22 tempat
= Biaya tetap penggunaan kendaraan = Rp 50000,00/kendaraan
= Biaya perjalanan dari node ke node = Rp 1000,00/km
= Banyaknya permintaan agen (diberikan pada Tabel 8 Lampiran 3)
= Kapasitas maksimum kendaraan = 150 crate/kendaraan
= Jarak dari node ke node (diberikan pada Tabel 7 Lampiran 3)
10
Variabel Keputusan
{
{
= Variabel tambahan yang digunakan dalam eliminasi subtour untuk agen
pada kendaraan ,
= Variabel tambahan yang digunakan dalam eliminasi subtour untuk agen
pada kendaraan .
Fungsi Objektif
∑
∑∑∑
Kendala
1 Setiap kendaraan akan berangkat dari depot dan tidak harus semua kendaraan
digunakan.
∑
2
∑
Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot yang sama saat ia
berangkat.
∑
3
∑
Setiap agen dilayani tepat satu kali oleh sebuah kendaraan.
∑∑
4
∑∑
Rute harus kontinu, artinya setiap kendaraan yang mengunjungi suatu agen
pasti akan meninggalkan agen tersebut.
∑
∑
11
5
Total permintaan dari semua agen yang dilalui oleh setiap kendaraan tidak
boleh melebihi kapasitas maksimum kendaraan yang digunakan.
∑∑
6
Tidak ada agen yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan.
7
Tidak ada perjalanan antardepot.
8
Tidak ada perjalanan ke tempat yang sama.
9
Kendala eliminasi subtour yang bertujuan membentuk adanya tour yang
fisibel.
10
Kendala biner dan ketaknegatifan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Penyelesaian kasus di atas dilakukan dengan menggunakan bantuan
software LINGO 11.0. Sintaks program dan hasil komputasi diberikan pada
Lampiran 4. Menggunakan komputer dengan Sistem Operasi Windows 7, CPU
2.20GHz, RAM 4.0 GB diperoleh solusi optimal sebesar Rp 237730,00 dalam
waktu 10 jam 59 menit 9 detik.
Tabel 6 memberikan hasil dari penyelesaian kasus di atas yang memberikan
rute pendistribusian, jarak yang ditempuh kendaraan serta jumlah produk yang
dibawa oleh setiap kendaraan yang digunakan.
Tabel 6 Rute pendistribusian, jarak tempuh, dan jumlah crate roti yang dibawa
tiap kendaraan yang beroperasi
Kode
Kendaraan
1
2
3
4
Rute Pendistribusian
1
2
9
2
7
20 12 10 1
17 11 18 15 19 5 3
2
6 16 21 8 13
4
22
14
2
0
25.4
Jumlah
crate roti
yang
dibawa
(crate)
0
39
33.74
140
28.59
142
Jarak yang
ditempuh
kendaraan
(kilometer)
12
Jumlah kendaraan yang digunakan untuk melakukan distribusi ke semua
agen hanya 3 dari 4 kendaraan yang tersedia. Jarak yang ditempuh kendaraan dan
jumlah crate roti yang dibawa pada kendaraan 1 adalah 0, ini menunjukkan bahwa
kendaraan tersebut tidak digunakan.
Rute 2
Rute 1
Rute 1
Gambar 3 Rute pendistribusian kendaraan pada implementasi model
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Multi-Depot Vehicle Routing Problem (MDVRP) dapat dimodelkan sebagai
masalah Integer Linear Programming (ILP). Model ini bertujuan meminimumkan
total biaya distribusi ke semua agen, di mana setiap kendaraan yang digunakan
akan memulai perjalanannya dari depot hingga kemudian harus mengakhiri
perjalanannya di depot yang sama dengan tempat ia memulai perjalanannya.
Implementasi model pada pendistribusian dengan 2 depot dan 20 agen ini
diperoleh nilai optimal dalam waktu 10 jam 59 menit 9 detik.
Saran
Pada karya ilmiah ini, data yang digunakan merupakan data hipotetik.
Sehingga penelitian ini dapat dikembangkan dengan menggunakan data aktual.
Selain itu, penelitian ini juga dapat dikembangkan dengan menambahkan kendala
time windows (horizon waktu) yang dimiliki setiap agen, lalu kendala pemilihan
rute untuk distribusi apabila terjadi kemacetan, kendala adanya ritasi kendaraan
lebih dari sekali, serta kendala lain yang relevan dengan kondisi aktual.
13
DAFTAR PUSTAKA
Cordeau J-F, Gendreau M, Laporte G, Potvin JY, Semet F. 2002. A Guide to
Vehicle Routing Heuristics. Journal of Operation Research Society. 53:512522.
Hoffman K, Padberg M, Rinaldi G. 2001. Traveling Salesman Problem. Kluwer
Academic Publishers. doi:10.1007/1-4020-0611-X_1068.
Larsen J. 1999. Vehicle Routing with Time Windows – Finding optimal solutions
efficiently.
Surekha P, Sumathi S. 2011. Solution to Multi-Depot Vehicle Routing Problem
Using Genetic Algorithms. World Applied Programming. 1(3):118-131.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms. 4th ed.
New York: Duxbury.
14
Lampiran 1
Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam menyelesaikan uji
model simulasi 1 untuk Solusi Multi-Depot Vehicle Routing Problem
Menggunakan Integer Linear Programming
model:
sets:
vehicle/1..4/:w,z,b;
!w=kapasitas kendaraan dari depot 1;
!z=variabel keputusan bila kendaraan tipe-k dari depot 1 dioperasikan;
!b=biaya tetap kendaraan;
node/1..6/:q;
!1=depot 1, 2=depot 2, 3-22=agen yang harus dilayani;
!q=demand tiap node;
load(node,vehicle):U;
!U=variabel tambahan yang digunakan untuk eliminasi subtour;
link(node,node):d,c;
!d=jarak;
!c=biaya perjalanan;
route(node,node,vehicle):x;
!x=variabel keputusan jika kendaraan tipe k digunakan untuk melayani j
setelah i;
endsets
DATA:
!kapasitas kendaraan;
w=
150 150 150 150
;
!b=biaya tetap;
b=
50000 50000 50000 50000
;
!jarak;
d=
0.00 14.55 18.97 30.55 15.86 30.08
14.55 0.00 26.78 31.08 22.45 1.19
18.97 26.78 0.00 8.60 4.26 3.48
30.55 31.08 8.60 0.00 18.64 26.56
15.86 22.45 4.26 18.64 0.00 23.36
30.08 1.19 3.48 26.56 23.36 0.00
;
!demand produk setiap node;
q=
0 0 50 50 100 100
;
ENDDATA
15
N=@size(node);
@for(node(i): @for(node(j)|j#NE#i:c(i,j)=1000*d(i,j)));
!fungsi objektif;
min=@sum(vehicle(k) :b(k)*z(k))+@sum(vehicle(k):@sum(node(i):@sum(node(
j)|i#NE#j:c(i,j)*x(i,j,k))));
!kendala-kendala;
!Setiap kendaraan akan berangkat dari depot dan seluruh kendaraan akan
digunakan untuk melayani agen;
@for(vehicle(k)|k#LE#2: @sum(node(j)|j#GT#2:x(1,j,k))=z(k));
@for(vehicle(k)|k#GT#2: @sum(node(j)|j#GT#2:x(2,j,k))=z(k));
!kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot;
@for(vehicle(k)|k#LE#2: @sum(node(i)|i#GT#2:x(i,1,k))=z(k));
@for(vehicle(k)|k#GT#2: @sum(node(i)|i#GT#2:x(i,2,k))=z(k));
!setiap pelanggan tepat dikunjungi sekali oleh satu kendaraan;
@for(node(j)|(j#GT#2): @sum(vehicle(k):@sum(node(i)|j#NE#i:x(i,j,k)))=1);
@for(node(i)|(i#GT#2): @sum(vehicle(k):@sum(node(j)|j#NE#i:x(i,j,k)))=1);
!kekontinuan rute;
@for(vehicle(k): @for(node(p)|p#GT#2: @sum(node(i)|p#NE#i:x(i,p,k)) @sum(node(j)|p#NE#j:x(p,j,k))=0));
!barang yang diangkut untuk didistribusikan tidak melebihi kapasitas
masingmasing kendaraan;
@for(vehicle(k):@sum(node(i)|i#GT#2:@sum(node(j)|j#NE#i:q(i)*x(i,j,k)))