Fuzzy Linear Programming (FLP) Dengan Konstanta Sebelah Kanan Berbentuk Bilangan Fuzzy Dan Berbentuk Trapezoidal.

(1)

F UZZY LINEAR PROGRAMMING

(FLP) DENGAN KONSTANTA

SEBELAH KANAN BERBENTUK BILANGAN

F UZZY

DAN

BERBENTUK TRAPEZOIDAL

SKRIPSI

DEWI YANNI FRANSISKA SAMOSIR

070803046

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

(2)

FUZZY LINEAR PROGRAMMING (FLP) DENGAN KONSTANTA SEBELAH KANAN BERBENTUK BILANGAN FUZZY DAN BERBENTUK TRAPEZOIDAL

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

DEWI YANNI FRANSISKA SAMOSIR

070803046

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

(3)

PERSETUJUAN

Judul : FUZZY LINEAR PROGRAMMING (FLP) DENGAN KONSTANTA SEBELAH KANAN BERBENTUK BILANGAN FUZZY DAN BERBENTUK

TRAPEZOIDAL

Kategori : SKRIPSI

Nama : DEWI YANNI FRANSISKA SAMOSIR

Nomor Induk Mahasiswa : 070803046

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, September 2011 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Ujian Sinulingga, M.Si Drs. Faigiziduhu Bu‟ulölö, M.Si

NIP 19560303 198403 1 004 NIP 19531218 198003 1 003

Diketahui/ Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si

(4)

PERNYATAAN

FUZZY LINEAR PROGRAMMING (FLP) DENGAN KONSTANTA SEBELAH KANAN BERBENTUK BILANGAN FUZZY DAN BERBENTUK TRAPEZOIDAL

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

DEWI YANNI FRANSISKA SAMOSIR 070803046

(5)

PENGHARGAAN

Hanya pujian dan ucapan syukur yang bisa penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, buat setiap kebaikan, pertolongan dan penyertaan-Nya yang boleh dirasakan penulis dalam keseluruhan hidup yang dipercayakan-Nya, terkhusus buat pertolongan-Nya dalam pengerjaan skripsi ini mulai dari awal sampai akhir. Terpuji termulialah DIA.

Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang turut membantu baik dalam dukungan dana, pemikiran dan doa sehingga skripsi ini dapat selesai. Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Drs. Faigiziduhu Bu‟ulölö, M.Si dan Drs. Ujian Sinulingga, M.Si sebagai Dosen Pembimbing, Bapak Drs. Suyanto, M.Kom dan Drs. Rachmad Sitepu, M.Si sebagai Dosen Pembanding/ Penguji, atas bimbingan, kritikan dan saran untuk perbaikan skripsi ini. Dan juga kepada Bapak O. Samosir dan Ibu L. Hutapea sebagai orangtua tercinta, yang dengan penuh kesabaran memberikan dukungan kepada penulis, dan kepada adik-adik yaitu Delviana, Dollian, Dian yang juga selalu memberikan semangat, dan juga seluruh keluarga besar Samosir dan Hutapea yang terus mendukung dan mendoakan. Dan kepada KTB Florence dan KK Diselva, dan juga teman-teman seperjuangan di Matematika 2007 USU.

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam pengerjaan skripsi ini. Oleh karena itu penulis juga mengaharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun. Akhir kata penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi yang membacanya.

Medan, September 2011 Penulis

(6)

ABSTRAK

Salah satu asumsi yang harus dipenuhi dalam permasalahan program linier adalah asumsi kepastian (Deterministik/ Certainty), di mana asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter dalam program linier harus bernilai tetap dan diketahui secara pasti. Akan tetapi dalam kenyataannya asumsi ini jarang dipenuhi karena pada umumnya permasalahan program linier diselesaikan untuk memilih suatu tindakan atau keputusan yang akan digunakan untuk waktu yang akan datang. Maka parameter-parameter yang digunakan adalah suatu prediksi untuk waktu yang akan datang yang bersifat tidak pasti. Dengan adanya faktor ketidakpastian tersebut, maka permasalahan program linier dengan kondisi parameter yang tidak pasti di dekati dengan teori himpunan fuzzy dalam pengerjaannya. Dalam tulisan ini dibahas suatu bentuk fuzzy linear programming (FLP) di mana hanya konstanta sebelah kanan berbentuk bilangan fuzzy dan juga berbentuk trapezoidal beserta contoh numeriknya, di mana permasalahan dikonversikan ke dalam bentuk program linier biasa dan juga menggunakan variabel dummy dan 0 1. Selanjutnya untuk memperoleh solusi optimalnya digunakan bantuan metode simpleks dan program QM.

Kata kunci : Program Linier, Fuzzy Linear Programming, Fungsi Keanggotaan Trapezoidal, Metode Simpleks, Program QM

(7)

ABSTRACT

One of assumption that must be fulfilled in linear programming problem is the certainty assumption (Deterministic/ Certainty) where this assumption declares that all parameters in linear programming must have permanent value and known surely. But practically, this assumption is seldom to be fulfilled because in generally linear programming problem is finished to choose an action or a decision that will be used for in the future. So parameters are the prediction that will be used for an uncertainty time in future. Because of the existence of the uncertainty factor, so linear programming problem with the uncertainty parameter condition was discussed with fuzzy set theory. In this writing, was discussed about a form of fuzzy linear programming (FLP) where only right side constanta formed fuzyy numeral and Trapezoidal along with the numeric example, and the problem was conversed into classic linear programming and also use dummy variable and 0

1. The next is to get the optimal solution using simplex method and QM software.

Keywords : Linear Programming, Fuzzy Linear Programming (FLP), Trapezoidal Membership Function, Simplex Method, QM Software

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel ix

Daftar Gambar x

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tinjauan Pustaka 3

1.5 Tujuan Penelitian 5

1.6 Kontribusi Penelitian 5

1.7 Metodologi Penelitian 5

Bab 2 Landasan Teori 6

2.1 Program Linier 6

2.2 Asumsi-asumsi Yang Harus Dipenuhi Dalam Program Linier 8

2.3 Metode Simpleks 9

(9)

2.3.2 Program QM 13 2.4 Teori Himpunan Crisp Dan Teori Himpunan Fuzzy 13 2.5 Fungsi Keanggotaan Trapezoidal (Trapesium) 14 2.6 Fuzzzy Linear Programming (FLP) 15

2.6.1 Program Linier Dengan Koefisien Teknologi

Berbentuk Bilangan Fuzzy 16

2.6.2 Program Linier Dengan Koefisien Teknologi Dan Konstanta Sebelah Kanan Berbentuk Bilangan

Fuzzy 19

Bab 3 Pembahasan 23

3.1 Program Linier dengan Hanya Konstanta Sebelah

Kanan Berbentuk Bilangan Fuzzy 23

3.2 Pembahasan Contoh Numerik 25

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 40

4.1 Kesimpulan 40

4.2 Saran 40

Daftar Pustaka 42

Lampiran

(10)

DAFTAR TABEL

Halama n

Tabel 2.1 Bentuk Umum Tabel Simplek Awal 11

Tabel 3.1 Tabel Simplek Awal ₁ 34

Tabel 3.2 Tabel Simplek Iterasi Pertama ₁ 35

Tabel 3.3 Tabel Simplek Iterasi Kedua ₁ 36

Tabel 3.4 Tabel Simplek Iterasi Ketiga ₁ 37

Tabel 3.5 Tabel Simplek Awal ₂ 38

Tabel 3.6 Tabel Simplek Iterasi Pertama ₂ 39

Tabel 3.7 Tabel Simplek Iterasi Kedua ₂ 40

(11)

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1. Tampilan Sementara (Splash) dari Program QM 13

(12)

ABSTRAK

Kata kunci : Program Linier, Fuzzy Linear Programming, Fungsi Keanggotaan Trapezoidal, Metode Simpleks, Program QM

(13)

ABSTRACT

1. The next is to get the optimal solution using simplex method and QM software.

Keywords : Linear Programming, Fuzzy Linear Programming (FLP), Trapezoidal Membership Function, Simplex Method, QM Software

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Konsep program linier ditemukan dan diperkenalkan pertamakali oleh George Dantzig yang berupa metode mencari solusi masalah program linier dengan banyak variabel keputusan. Dantzig bekerja di bidang penelitian teknis matematis untuk memecahkan masalah logistik militer angkatan udara Amerika Serikat selama perang dunia II. Penelitiannya didukung oleh J. Von Neumann, L. Hurwich dan T. C. Koopmans yang bekerja dalam bidang yang sama. Adapun teknik yang asli adalah program saling ketergantungan kegiatan-kegiatan dalam suatu struktur linier dan kemudian disederhanakan menjadi program linier.

Penerapan program linier pertama kalinya adalah dalam bidang perencanaan militer, khususnya dalam perang Perang Dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris. Sejak itulah seiring dengan berkembangnya waktu, dalam bidang teknologi dan pembangunan, teknik-teknik analisis program linier dengan cepat sekali menjalar dan diterapkan dalam berbagai bidang dan disiplin ilmu dalam rangka memecahkan berbagai permasalahan yang dihadapi.

Model program linier mengandung asumsi-asumsi implisit tertentu yang harus dipenuhi agar definisinya sebagai suatu masalah program linier menjadi absah. Dan salah satu asumsi dasar dalam permasalahan program linier adalah asumsi kepastian (deterministik/ certainty), di mana setiap parameter yaitu data-data dalam pemodelan program linier yang terdiri dari koefisien-koefisien fungsi tujuan, konstanta-konstanta sebelah kanan dan koefisien-koefisien teknologi diketahui secara pasti. Tetapi dalam kenyataannya asumsi ini jarang dipenuhi. Hal itu disebabkan karena kebanyakan

(15)

persoalan program linier diselesaikan untuk memilih suatu tindakan atau sebuah keputusan yang bisa dipergunakan untuk waktu yang akan datang. Jadi parameter-parameter yang digunakan didasarkan atas suatu prediksi mengenai kondisi di waktu yang akan datang (belum terjadi/ tidak pasti). Dengan adanya ketidakpastian tersebut maka biasanya akan dilakukan analisa kepekaan (sensitivitas) setelah diperoleh penyelesaian optimalnya, supaya dari hasil analisa sensitivitas itu dapat dilihat parameter-parameter yang sensitif. Hasil dari analisa sensitivitas ini juga akan dijadikan acuan dalam memprediksi parameter-parameter untuk kondisi yang akan datang tersebut. Dalam pengambilan keputusan dari suatu permasalahan program linier yang semakin kompleks, kadang-kadang tingkat ketidakpastian yang muncul juga akan semakin kompleks untuk melakukan analisa sensitivitas. Untuk mengakomodasikan tingkat ketidakpastian tersebut maka akan didekati dengan teori himpunan fuzzy. Dan dengan adanya tingkat ketidakpastian tersebut, maka permasalahan program linier pun mengalami perkembangan menjadi permasalahan fuzzy linier programming (FLP). Dalam tulisan ini akan diselesaikan suatu permasalahan fuzzy linear programming (FLP) di mana hanya konstanta sebelah kanan yang berbentuk bilangan fuzzy dan berbentuk trapezoidal.

Dengan alasan di atas maka penulis mengerjakan skripsi ini dengan judul: “F uzzy Linear Programming (FLP) dengan Konstanta Sebelah Kanan Berbentuk Bilangan

F uzzydan Berbentuk Trapezoidal”.

1.2 Perumusan Masalah

Dalam tulisan ini penulis menyelesaikan suatu permasalahan fuzzy linear programming

(FLP) dengan salah satu parameternya (konstanta sebelah kanan) tidak pasti dengan menggunakan pendekatan teori himpunan fuzzy sehingga permasalahan dapat dibuat ke dalam bentuk program linier biasa dan dengan menggunakan metode simpleks dan program QM diperoleh solusi optimal dari permasalahan fuzzy linear programming (FLP) tersebut.

(16)

1.3 Batasan Masalah

Tulisan ini dibatasi pada permasalahan fuzzy linear programming (FLP) dengan parameter-parameter yaitu hanya konstanta sebelah kanan yang berupa bilangan fuzzy dan konstanta sebelah kanan tersebut juga berbentuk trapezoidal. Penulis juga membatasi kasus yang dibahas yaitu hanya kasus maksimasi.

1.4 Tinjauan Pustaka

Sri Mulyono (2004) dalam bukunya „Riset Operasi‟ mengatakan bahwa program linier

adalah salah satu teknik operasi riset atau metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya,

Fien Zulfikarijah (2004) dalam bukunya „Operation Research‟ mengatakan bahwa dalam model linear programming terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar permasalahan linear programming menjadi absah, yaitu kesebandingan (proportionality), penambahan (additivity), pembagian (divisibility), dan kepastian (deterministic/ certainty).

Basuki Rahmat, dkk dalam jurnal (2005) „Aplikasi Fuzzy Linear Programming Untuk Optimasi Hasil Perencanaan Produksi‟ mengatakan bahwa fuzzy linear programming (FLP) adalah metode linear programming yang diaplikasikan dalam lingkungan fuzzy. Dalam fuzzy linear programming (FLP), fungsi objektif dan batasan tidak lagi mempunyai arti yang benar-benar tegas karena ada beberapa hal yang perlu mendapat pertimbangan dalam sistem.

Sri Kusuma Dewi dan Hari Purnomo (2004) dalam bukunya „Aplikasi Logika Fuzzy Untuk Pendukung Keputusan‟ mengatakan bahwa salah satu model program linier

klasik, adalah: Maksimumkan:

(17)

Dengan batasan (kendala):

� , 0

Di mana , ∈ , ∈ ,� ∈ ×

Atau untuk kasus minimasi, adalah: Minimumkan:

Dengan batasan (kendala):

� , 0

Dimana , ∈ , ∈ ,� ∈ ×

�, , adalah bilangan-bilangan crisp, tanda “ ” pada kasus maksimasi dan tanda “ ”

pada kasus minimasi juga bermakna tegas/ jelas (crisp), demikian juga perintah

“maksimumkan” dan “minimumkan” merupakan bentuk imperatif tegas. Jika di

asumsikan bahwa keputusan permasalahan program linier akan dibuat pada kondisi/ lingkungan fuzzy, maka model klasik permasalahan program linier di atas akan mengalami sedikit perubahan, yaitu:

1. Bentuk imperatif pada fungsi objektif tidak lagi benar-benar “maksimumkan” atau

“minimumkan”, karena adanya beberapa hal yang perlu mendapat pertimbangan

dalam suatu sistem.

2. Tanda “ ” pada batasan dalam kasus maksimasi dan tanda “ ” pada batasan dalam kasus minimasi tidak lagi bermakna tegas (crisp) secara matematis, namun sedikit mengalami pelanggaran makna. Hal ini juga disebabkan karena adanya beberapa hal yang perlu dipertimbangkan dalam sistem yang mengakibatkan batasan tidak dapat didekati secara tegas.

Pada umumnya pemecahan permasalahan fuzzy linear programming (FLP) diawali dengan mengkonversikan permasalahan tersebut ke dalam bentuk program linier

(18)

klasik. Hasil akhirnya diperoleh dalam bentuk bilangan nyata yang menggambarkan kompromi dari bilangan-bilangan fuzzy yang diproses didalamnya.

1.5 Tujuan Penelitian

Dalam tulisan ini penulis memusatkan pembicaraan pada permasalahan fuzzy linear programming (FLP) dengan tujuan untuk memperlihatkan bagaimana mengatasi suatu permasalahan fuzzy linear programming (FLP) dengan hanya konstanta sebelah kanan yang berupa bilangan fuzzy dan berbentuk trapezoidal sehingga memperoleh solusi optimal.

1.6 Kontribusi Penelitian

Tulisan ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan referensi dalam penyelesaian permasalahan program linier dengan kondisi parameter-parameter yang tidak pasti (fuzzy linear programming) dan salah satunya parameter konstanta sebelah kanan yang berbentuk bilangan fuzzy dan berbentuk trapezoidal.

1.7 Metodologi Penelitian

Tulisan ini bersifat literatur dengan menggunakan tahapan-tahapan berikut dalam pengerjaannya, yaitu:

1. Menjelaskan tentang program linier, asumsi-asumsi dasar dalam program linier, metode simpleks, program QM, teori himpunan crisp dan teori himpunan fuzzy, fungsi keanggotaan trapezoidal dan fuzzy linear programming (FLP).

2. Menjelaskan tentang program linier dengan hanya konstanta sebelah kanan yang berbentuk bilangan fuzzy.

(19)

3. Menyelesaikan suatu contoh permasalahan program linier dengan hanya konstanta sebelah kanan yang berbentuk bilangan fuzzy dan berbentuk trapezoidal.

4. Menarik kesimpulan yang berupa solusi optimal dari permasalahan fuzzy linear programming (FLP).

(20)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Program linier

Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam model matematik persamaan linier. Metode analisis yang paling bagus untuk menyelesaikan persoalan alokasi sumber ialah metode program linier. Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan program linier ialah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikutnya ialah menerjemahkan masalah yang ada ke dalam model matematika.

Program linier sering digunakan dalam menyelesaikan problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidang manufacturing, pemasaran, keuangan, personalia, administrasi dan lain sebagainya.

Bentuk standar dari permasalahan program linier adalah: a. Penulisan dalam bentuk skalar untuk kasus maksimasi Maksimumkan :

₁, 2,…, = = 1 1+ 2 2+ + (2.1)

Dengan kendala :

11 1+ 12 2+ + 1 = 1

21 1+ 22 2+ + 2 = 2

(21)

1, 2, , 0

Atau dapat juga ditulis dengan menggunakan lambang penjumlahan yaitu: Maksimumkan :

₁, 2,…, = = =1 (2.2)

Dengan kendala:

₌₁ = , = 1, 2, ,

0, = 1, 2, ,

Di mana , dan diketahui konstan.

Keterangan:

= parameter yang dijadikan kriteria optimisasi, atau koefisien peubah pengambilan

keputusan dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi menunjukkan keuntungan atau penerimaan per unit, sementara dalam kasus minimasi menunjukkan biaya per unit.

� = peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak diketahui). Karena = 1, 2, , berarti dalam hal ini terdapat variabel keputusan.

= koefisien teknologi peubah pengambilan keputusan dalam kendala ke- .

= sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang

bersangkutan; disebut juga konstanta sebelah kanan dari kendala ke- . Karena

= 1, 2, , berarti dalam hal ini terdapat jenis sumber daya. = Nilai skalar kriteria pengambilan keputusan nilai fungsi tujuan.

b. Penulisan dalam bentuk matriks untuk kasus maksimasi Maksimumkan :

= � (2.3)

Dengan kendala : �= dan �

(22)

Dimana � =

� � �

, = , = , =

… … … Dan menyatakan transpose.

2.2 Asumsi-asumsi yang Harus Dipenuhi dalam Program Linier

Ada beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan ke dalam model matematik persamaan linier sehingga problema itu dapat dikatakan absah menjadi suatu permasalahan program linier, yaitu:

a. Asumsi Linierity (Linieritas)

Asumsi ini menyatakan bahwa fungsi tujuan dan semua kendala harus berbentuk linier. Dengan kata lain, apabila suatu kendala melibatkan dua variabel keputusan maka dalam diagram dimensi dua kendala tersebut akan berupa suatu garis lurus. Demikian juga apabila suatu kendala melibatkan tiga variabel akan menghasilkan suatu bidang datar dan kendala yang melibatkan variabel akan menghasilkan hyperplane (bentuk geometris yang rata) dalam ruang berdimensi .

b. Asumsi Additivity (Aditivitas/ Penambahan)

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria optimasi (koefisien variabel keputusan dan fungsi tujuan) merupakan jumlah dari individu-individu dalam program linier. Misalnya, keuntungan total yang merupakan variabel keputusan, sama dengan jumlah keuntungan yang diperoleh dari masing-masing kegiatan ( ). Dan juga, seluruh sumber daya yang digunakan untuk semua kegiatan harus sama dengan jumlah sumber daya yang digunakan untuk masing-masing kegiatan.

c. Asumsi Proportionality (Proporsionalitas/ Kesebandingan)

Asumsi ini menyatakan bahwa jika variabel keputusan ( ) mengalami perubahan, maka dampak perubahannya akan menyebar dalam proporsi yang sama terhadap fungsi tujuan

(23)

( ) dan juga pada kendalanya ( ). Misalnya, apabila variabel keputusan dinaikkan dua kali. Maka secara proporsional (seimbang dan serasi) nilai-nilai fungsi tujuan dan kendalanya juga akan menjadi dua kali lipat.

d. Asumsi Divisibility (Divisibilitas/ Pembagian)

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai variabel keputusan ( ) yang diperoleh tidak harus berupa bilangan bulat, artinya nilai variabel keputusan bisa diperoleh pada nilai pecahan.

e. Asumsi Certainty (Deterministik/ Kepastian)

Asumsi ini menghendaki bahwa semua parameter dalam program linier ( , dan ) harus bernilai tetap dan diketahui atau ditentukan secara pasti.

2.3 Metode Simpleks

Pada umumnya permasalahan program linier dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik dan metode simpleks. Kedua metode ini tentunya memiliki kebaikan dan kelemahannya. Aplikasi kedua metode ini tergantung atas problema yang dihadapi.

Metode grafik digunakan apabila jumlah variabel keputusan hanya dua dan jumlah kendala dalam model sedikit (pada umumnya tidak lebih dari 4 kendala). Apabila jumlah kendalanya banyak (> 4 kendala), maka akan sukar untuk melukiskan garis kendalanya dalam grafik.

Sehingga meskipun permasalahan program linier dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik, akan tetapi untuk permasalahan program linier dengan lebih dari 3 variabel maka metode grafik ini tidak dapat digunakan. Oleh karena itu, pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan satu metode yang paling berhasil untuk menyelesaikan suatu permasalahan program linier, dan metode itu dinamakan metode simpleks dan telah diperbaiki oleh beberapa ahli lain.

(24)

Metode simpleks adalah suatu metode yang secara sistematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yang fisibel ke pemecahan dasar fisibel (feasible) lainnya dan ini dilakukan berulang-ulang (dengan jumlah ulangan yang terbatas) sehingga akhirnya tercapai suatu pemecahan dasar yang optimum dan pada setiap step/ iterasi menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang selalu lebih besar atau sama dari step-step sebelumnya (Supranto, 1983).

2.3.1 Langkah-langkah Metode Simpleks

Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan memudahkan proses perhitungan simpleks. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simpleks adalah:

a. Berdasarkan bentuk baku, tentukan solusi awal (initial basic feasible solution) dengan menetapkan n-m variabel nonbasis sama dengan nol. Di mana n jumlah variabel dan m banyaknya kendala.

b. Kemudian dipilih sebuah entering variable (variabel yang masuk) di antara yang sedang menjadi variabel nonbasis, yang jika dinaikkan di atas nol, dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Apabila tidak ada maka berhenti, berarti solusi sudah optimal. Jika tidak, maka lanjutkan ke langkah c.

c. Selanjutnya pilih sebuah leaving variable (variabel yang keluar) di antara yang sedang menjadi variabel basis yang harus menjadi nonbasis (nilainya menjadi nol) ketika

entering variable menjadi variabel basis.

d. Tentukan solusi yang baru dengan membuat entering variable dan leaving variable menjadi nonbasis. Selanjutnya kembali ke langkah b.

Selanjutnya akan dijelaskan langkah-langhkah penyelesaian persoalan yang formulasinya mempunyai bentuk sebagai berikut:

Maksimumkan:

= ₌₁ (2.4) Dengan kendala:

(25)

₌₁ ,

0, = 1, 2, , , = 1, 2, ,

Perhitungan simpleks yang lebih rinci akan diterangkan dengan langkah berikut: Langkah 1 : Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala.

Fungsi tujuan diubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser semua ke kiri. Fungsi kendala selain kendala nonnegatif diubah menjadi bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack, yaitu suatu variabel yang mewakili tingkat pengangguran kapasitas yang merupakan batasan.

Langkah 2 : Mentabulasikan persamaan-persamaan yang diperoleh pada langkah 1.

Tabel 2.1 Bentuk Umum Tabel Simplek Awal

Basis ₁ ₂ . . 0 0 . . 0 Solusi

� � . . � . .

0 ₁₁ ₁₂ . . 1 1 0 . . 0 1

0 ₂₁ ₂₂ . . 2 0 1 . . 0 2

. . . .

0 ₁ ₂ . . 0 0 . . 1

− − 1 − 2 . . − 0 0 . . 0 0

Kolom baris menunjukkan variabel yang sedang menjadi basis yaitu ₁, 2, , yang

nilainya ditunjukkan oleh kolom solusi. Secara tidak langsung ini menunjukkan bahwa variabel nonbasis ₁, 2, , (yang tidak ditunjukkan pada kolom basis) sama dengan

(26)

Langkah 3 : Menentukan entering variable (variabel yang masuk).

Tabel di atas memperlihatkan bahwa pada baris − kolom ₁, 2, , nilainya

negatif. Untuk persoalan dengan fungsi maksimasi, baris − dapat diperbaiki dengan meningkatkan nilai ₁, ₂, , pada baris − menjadi tidak negatif. Untuk itu pilihlah kolom pada baris − (termasuk kolom slack) yang mempunyai nilai negatif terbesar, selanjutnya kolom ini digunakan sebagai entering variable. Jika ditemukan lebih dari satu nilai negatif angka terbesar pilihlah salah satu, sebaliknya jika tidak ditemukan nilai negatif berarti solusi sudah optimal.

Sebaliknya untuk kasus minimasi, pilihlah kolom pada baris − yang nilainya positif terbesar. Jika tidak ditemukan nilai positif berarti solusi sudah optimal.

Dan pada persoalan di atas kolom ₂ merupakan entering variable.

Langkah 4 : Menentukan leaving variable (variabel yang keluar).

Leaving variable dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisien pada kolom entering nya.

= (2.5)

Baris yang memiliki rasio yang nilainya positif terkecil selanjutnya akan digunakan sebagai leaving variable. Jika tidak ada elemen yang nilainya positif dalam kolom kunci (kolom entering variable) ini, maka persoalan tidak memiliki pemecahan.

Kolom pada entering variable dinamakan entering column, dan baris yang berhubungan dengan leaving variable dinamakan persamaan pivot. Elemen pada perpotongan entering column dan persamaan pivot dinamakan elemen pivot.

Langkah 5 : Menentukan persamaan pivot baru.

(27)

Langkah 6 : Menentukan persamaan-persamaan baru selain persamaan pivot baru.

Persamaan baru = (Persamaan lama) – (Koefisien kolom entering x persamaan pivot baru) (2.7)

Langkah 7 : Lanjutkan perbaikan-perbaikan.

Lakukan langkah perbaikan dengan cara mengulang langkah 3 sampai langkah 6 hingga diperoleh hasil optimal.

2.3.2 Program QM

Program QM adalah paket program komputer untuk menyelesaikan persoalan-persoalan metode kuantitatif, manajemen sains atau riset operasi. Program QM juga adalah salah satu software yang dapat digunakan untuk membantu perhitungan masalah program linier.

(28)

2.4 Teori Himpunan Crisp Dan Teori Himpunan F uzzy

Himpunan Crisp A didefinisikan oleh item-item yang ada pada himpunan itu. Pada teori himpunan Crisp, keberadaan suatu elemen pada suatu himpunan A, hanya akan memiliki dua kemungkinan keanggotaan, yaitu menjadi anggota A atau tidak menjadi anggota A (Chak, 1998). Suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar tingkat keanggotaan suatu elemen dalam suatu himpunan A, sering disebut dengan nama nilai keanggotaan atau derajat keanggotaan, dinotasikan dengan _� . Pada himpunan Crisp, hanya ada 2 nilai keanggotaan, yaitu _� = 1 untuk menjadi anggota A, dan _� = 0 untuk bukan anggota A.

Teori himpunan fuzzy yang ditemukan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965 merupakan kerangka matematis yang digunakan untuk mempresentasikan ketidakpastian, ketidakjelasan, ketidaktepatan, kekurangan informasi, dan kebenaran parsial (Tettamanzi, 2001). Himpunan fuzzy didasarkan pada gagasan untuk memperluas jangkauan fungsi karakteristik sedemikian hingga fungsi tersebut akan mencakup bilangan real pada interval 0, 1 . Nilai keanggotaannya menunjukkan bahwa suatu item dalam semesta pembicaraan tidak hanya berada pada 0 atau 1, namun juga nilai yang terletak diantaranya. Dengan kata lain, nilai kebenaran suatu item tidak hanya bernilai benar atau salah. Nilai 0 menunjukkan salah, nilai 1 menunjukkan benar, dan masih ada nilai-nilai yang terletak antara benar dan salah.

Menurut (Kusumadewi, 2002)

Misalkan dimiliki variabel umur yang dibagi menjadi 3 kategori, yaitu:

MUDA umur < 35 tahun

SETENGAH BAYA 35 tahun umur 55 tahun

TUA umur > 55 tahun

Dengan menggunakan pendekatan himpunan Crisp, amatlah tidak adil untuk menetapkan nilai SETENGAH BAYA. Pendekatan ini bisa saja dilakukan untuk hal-hal yang bersifat diskontinu. Misalkan klasifikasi untuk umur 55 tahun dan 56 tahun

(29)

sangatlah jauh berbeda, di mana umur 55 tahun termasuk dalam setengah baya, sedangkan umur 56 tahun termasuk sudah tua. Demikian juga halnya untuk klasifikasi muda dan tua. Orang yang berumur 34 tahun dikatakan muda, sedangkan orang yang berumur 35 tahun sudah tidak muda lagi. Orang yang berumur 55 tahun termasuk stengah baya menurut pengklasifikasian, tetapi orang yang berumur 55 tahun lebih 1 hari sudah tidak setengah baya lagi tetapi sudah termasuk tua.

2.5 Fungsi Keanggotaan Trapezoidal (Trapesium)

Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaannya (sering juga disebut dengan derajat keanggotaan) yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Atau dapat dinotasikan sebagai berikut :

�: � → 0, 1

Untuk x ∈� maka µA(x) adalah derajat keanggotaan x dalam A.

Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi keanggotaan trapezoidal jika mempunyai empat buah parameter, yaitu , , , ∈ ℝ dengan < < < , dan dinyatakan dengan , , , , dengan aturan:

−

− untuk (2.8)

1 untuk

; , , , = −

− untuk

0 untuk lainnya

Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai berikut:

(30)

; , , , = −

− , 1, −

− , 0 (2.9)

2.6 F uzzy Linear Programming (FLP)

Dalam fuzzy linear programming akan dicari suatu nilai yang merupakan fungsi objektif yang akan dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan menggunakan himpunan fuzzy.

Bentuk umum dari fuzzy linear programming (FLP) untuk kasus maksimasi adalah:

Maksimumkan:

= ₌₁ (2.10) Dengan kendala:

₌₁ , = 1, 2, , 0 , = 1, 2, ,

Di mana , , dan semuanya adalah bilangan fuzzy. Keterangan:

= Fungsi tujuan = Nilai kontribusi = Variabel keputusan = Koefisien teknologi

= Konstanta sebelah kanan (sumber daya)

2.6.1 Program Linier Dengan Koefisien Teknologi Berbentuk Bilangan F uzzy

Bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi berbentuk bilangan fuzzy

(31)

Maksimumkan:

= ₌₁ (2.11) Dengan kendala:

₌₁ , = 1, 2, ,

0, = 1, 2, ,

Untuk kasus program linier dengan koefisien teknologi berbentuk bilangan fuzzy, terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:

Asumsi 1: Koefisien teknologi dikatakan berbentuk bilangan fuzzy apabila memenuhi syarat fungsi keanggotaan linier berikut:

1 jika < (2.12)

= + − jika <

0 jika +

di mana ∈ dan > 0 untuk semua = 1, 2, , , = 1, 2, , .

Defuzzyfikasi adalah perubahan dari suatu besaran fuzzy ke suatu besaran numerik, sedangkan fuzzyfikasi adalah perubahan dari besaran numerik ke suatu besaran

fuzzy.

Untuk mendefuzzyfikasi permasalahan ini, pertama-tama fungsi objektif (tujuan) harus diubah ke dalam kondisi fuzzy, yaitu dengan menghitung batas bawah ( ) dan batas atas ( ) dari nilai optimal awal. Batas-batas dari nilai optimal ini akan diperoleh dengan menyelesaikan permasalahan program linier standar berikut:

Maksimumkan:

₁ = ₌₁ (2.13) Dengan kendala:

(32)

0, = 1, 2, ,

Dan juga Maksimumkan:

₂ = ₌₁ (2.14) Dengan kendala:

₌₁ + , = 1, 2, ,

0, = 1, 2, ,

Dari persamaan di atas, nilai dari fungsi objektif (tujuan) berada di antara ₁ dan ₂ di mana nilai koefisien teknologi mengalami perubahan di antara dan + . Dengan nilai batas bawah = ₁, ₂ dan nilai batas atas = ₁, ₂ .

Asumsi 2: Permasalahan linier crisp yaitu persamaan ₁ dan ₂ di atas memiliki nilai optimal yang terbatas. Pada kasus ini nilai optimal dari himpunan fuzzy �, di mana merupakan himpunan bagian dari , dalam buku Klir dan Yuan didefinisikan sebagai:

0 jika ₌₁ < (2.15)

� =

=1 −

− jika =1 <

1 jika ₌₁

Himpunan fuzzy dari kendala ke- , yaitu yang merupakan himpunan bagian dari , didefinisikan ke dalam persamaan:

0 , < ₌₁ (2.16) = − =1

, ₌₁ < ₌₁ +

(33)

Dengan menggunakan definisi keputusan fuzzy yang diperkenalkan oleh Bellman dan Zadeh, maka terdapat:

= _� , min (2.17)

Untuk kasus ini keputusan fuzzy yang optimal adalah solusi dari permasalahan:

max ₀ = max ₀ _� , min (2.18)

Dengan demikian bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi berbentuk bilangan fuzzy menjadi permasalahan optimisasi:

Maksimumkan:

= (2.19) Dengan kendala:

_�

, = 1, 2, ,

0, 0 1

Dengan menggunakan persamaan (2.15) dan (2.16), permasalahan di atas dapat ditulis ke dalam bentuk:

Maksimumkan:

= (2.20) Dengan kendala:

− − ₌₁ + 0

₌₁ + − 0, = 1, 2, , , = 1, 2, ,

0, 0 1

Dengan catatan kendala dalam permasalahan ini mengandung aturan cross product yaitu adalah nonkonveks. Oleh Karena itu solusi dari permasalahan ini memerlukan

(34)

penyelesaian khusus yang diadopsi dari penyelesaian permasalahan optimisasi nonkonveks.

2.6.2 Program Linier Dengan Koefisien Teknologi Dan Konstanta Sebelah Kanan Berbentuk Bilangan F uzzy

Bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi dan konstanta sebelah kanan berbentuk bilangan fuzzy untuk kasus maksimasi adalah:

Maksimumkan:

= ₌₁ (2.21) Dengan kendala:

₌₁ , = 1, 2, ,

0, = 1, 2, ,

Untuk kasus program linier dengan koefisien teknologi dan konstanta sebelah kanan berbentuk bilangan fuzzy, terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:

Asumsi 1: Koefisien teknologi dan konstanta sebelah kanan dikatakan berbentuk bilangan fuzzy apabila memenuhi syarat fungsi keanggotaan linier berikut:

1 jika < (2.22)

= + − jika < +

0 jika +

(35)

1 jika < (2.23)

= + − jika < +

0 jika +

Di mana ∈ . Untuk mendefuzzyfikasi permasalahan ini, pertama-tama akan dicari nilai optimal dari batas atas dan batas bawah permasalahan tersebut. Nilai batas-batas tersebut akan diperoleh dengan menyelesaikan permasalahan program linier standar, dengan mengasumsikan bahwa batas-batas tersebut memiliki nilai optimal yang terbatas.

Untuk ₁, persamaannya adalah: Maksimumkan:

₁ = ₌₁ (2.24) Dengan kendala:

₌₁ + , = 1, 2, ,

0, = 1, 2, ,

Untuk ₂, persamaannya adalah: Maksimumkan:

₂ = ₌₁ (2.25) Dengan kendala:

₌₁ + , = 1, 2, ,

0, = 1, 2, ,

Untuk ₃, persamaannya adalah: Maksimumkan:

₃ = ₌₁ (2.26) Dengan kendala:

(36)

0, = 1, 2, ,

Dan untuk ₄, persamaannya adalah: Maksimumkan:

₄ = ₌₁ (2.27) Dengan kendala:

₌₁ , = 1, 2, ,

0, = 1, 2, ,

Maka batas bawah = 1, 2, 3, 4 dan batas atas = 1, 2, 3, 4 .

Nilai dari fungsi objektif berada di antara batas bawah dan batas atas sementara nilai koefisien teknologi berada di antara dan + , dan nilai konstanta sebelah kanan berada di antara dan + .

Asumsi 2: Nilai optimal himpunan fuzzy�, didefinisikan sebagai:

0 jika ₌₁ < (2.28)

� = =1₋− jika =1 <

1 jika ₌₁

Himpunan fuzzy dengan kendala ke- yaitu yang merupakan himpunan bagian dari didefinisikan ke dalam:

0 , < ₌₁ (2.29) = − =1

, ₌₁ ₌₁ +

1 , ₌₁ + +

Dengan menggunakan metode defuzzyfikasi, permasalahan direduksi menjadi: Maksimumkan:

(37)

Dengan kendala:

− − ₌₁ + 0

₌₁ + + − 0, = 1, 2, , , = 1, 2, , 0, 0 1

Dengan catatan seperti pada kasus program linier dengan koefisien teknologi berupa bilangan fuzzy.

(38)

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Program Linier dengan Hanya Konstanta Sebelah Kanan Berbentuk Bilangan

F uzzy

Salah satu bentuk dari fuzzy linear programming (FLP) adalah program linier dengan hanya konstanta sebelah kanan yang berbentuk bilangan fuzzy.

Bentuk umum dari program linier dengan konstanta sebelah kanan berbentuk bilangan fuzzy untuk kasus maksimasi adalah:

Maksimumkan:

= ₌₁ (3.1) Dengan kendala:

₌₁ , = 1, 2, ,

0, = 1, 2, ,

Program linier dengan konstanta sebelah kanan yang berbentuk bilangan fuzzy maka harus memenuhi asumsi berikut:

Asumsi 1: Konstanta sebelah kanan dikatakan berbentuk bilangan fuzzy apabila mengikuti fungsi keanggotaan linier berikut:

1 jika <

= + − jika + (3.2)

(39)

Untuk ₁, persamaannya adalah: Maksimumkan:

₁ = ₌₁ (3.3) Dengan kendala:

₌₁ , = 1, 2, ,

0, = 1, 2, ,

Dan untuk ₂, persamaannya adalah: Maksimumkan:

₂ = ₌₁ (3.4) Dengan kendala:

₌₁ + , = 1, 2, ,

0, = 1, 2, ,

Maka batas bawah = 1, 2 dan batas atas = 1, 2 . Nilai

dari fungsi objektif berada di antara batas bawah dan batas atas sementara nilai konstanta sebelah kanan berada di antara dan + .

Asumsi 2: Permasalahan linier crisp yaitu persamaan (3.3) dan (3.4) di atas memiliki nilai optimal yang terbatas. Pada kasus ini nilai optimal dari himpunan fuzzy �, di mana merupakan himpunan bagian dari , dalam buku Klir dan Yuan didefinisikan sebagai:

0 jika ₌₁ <

(40)

1 jika ₌₁

Sehingga untuk setiap solusi layak , tingkat pencapaian fungsi objektif diperoleh dengan memaksimumkan tingkat pencapaian _�, yaitu dengan menggunakan variabel dummy

yaitu , di mana 0 1.

Dengan demikian bentuk umum dari program linier dengan koefisien teknologi berbentuk bilangan fuzzy menjadi permasalahan optimisasi:

Maksimumkan:

= (3.6) Dengan kendala:

_�

0, 0 1

Dengan menggunakan (3.5) , permasalahan (3.6) dapat ditulis ke dalam bentuk: Maksimumkan:

= (3.7) Dengan kendala:

− − ₌₁ + 0

+ ₌₁ − + 0, = 1, 2, , , = 1, 2, ,

0, (0 1)

Dengan catatan kendala dalam permasalahan ini mengandung aturan cross product yaitu adalah bukan konveks. Oleh Karena itu solusi dari permasalahan ini memerlukan penyelesaian khusus yang diadopsi dari penyelesaian permasalahan optimisasi nonkonveks.

(41)

3.2 Pembahasan Contoh Numerik

Pabrik Alfa-Beta memproduksi 3 jenis produk yaitu �₁, �₂, dan �₃ dalam sehari di mana ketiga produk tersebut dibuat dengan menggunakan dua bahan baku dan . Informasi yang tersedia untuk menyelesaikan persoalan produksi ialah:

Jenis Bahan Baku

Jenis Produksi Bahan Baku yang Tersedia

� � �

10 20 15 800

20 10 25 1.000

Untung Bersih Rp 30.000,- Rp 20.000,- Rp 35.000,-

Berdasarkan pengalaman produksi sebelumnya, bahan baku masih bisa ditambah sampai dengan 900 per hari, dan bahan baku masih bisa ditambah sampai dengan 1.200 per hari. Untuk memaksimumkan keuntungan bersih, berapa unit produk �₁, �₂ dan �₃ yang harus diproduksi setiap harinya oleh pabrik Alfa-Beta.

Dari permasalahan di atas diperoleh: 1. Variabel keputusan

Variabel keputusan adalah jumlah produk �₁, �₂ dan �₃ yang diproduksi per hari. Ini berarti ada tiga variabel keputusan yang akan dicari besar nilainya.

1 = jumlah unit produk �1 yang diproduksi setiap hari 2 = jumlah unit produk �2 yang diproduksi setiap hari 3 = jumlah unit produk �3 yang diproduksi setiap hari

2. Nilai kontribusi

Nilai kontribusi adalah laba yang diharapkan dari penjualan produk �1, �2 dan �3

per unit.

1 = laba yang diharapkan dari penjualan produk �1 per unit

= Rp 30.000,-/ unit

(42)

= Rp 20.000,-/ unit

3 = laba yang diharapkan dari penjualan produk �3 per unit

= Rp 35.000,-/ unit

3. Koefisien teknologi

Koefisien teknologi adalah jumlah bahan baku masing-masing dan yang dibutuhkan untuk memproduksi setiap unit produk �₁, �₂ dan �₃. Dengan demikian dapat disusun koefisien teknologi untuk masing-masing produk dan jenis bahan baku.

11 = jumlah jenis bahan baku untuk memproduksi produk �1

= 10

12 = jumlah jenis bahan baku untuk memproduksi produk �2

= 20

13 = jumlah jenis bahan baku untuk memproduksi produk �3

= 15

21 = jumlah jenis bahan baku untuk memproduksi produk �1

= 20

22 = jumlah jenis bahan baku untuk memproduksi produk �2

= 10

23 = jumlah jenis bahan baku untuk memproduksi produk �3

= 25

4. Sumber daya/ Konstanta sebelah kanan

Sumber daya yang tersedia adalah jumlah bahan baku dan yang dibutuhkan untuk memproduksi produk �₁, �₂ dan �₃. Letak sumber daya dalam model matematik program linier adalah pada sisi bagian kanan kendala masing-masing jenis bahan baku

1 = jumlah bahan baku untuk memproduksi produk �1, �2 dan �3

dalam satu hari

(43)

2 = jumlah bahan baku untuk memproduksi produk �1, �2 dan �3

dalam satu hari = 1.000 2 1.200

5. Tanda ketidaksamaan kendala

Karena sumber daya yang tersedia untuk memproduksi produk �₁, �₂ dan �₃ sifatnya terbatas, maka tanda ketidaksamaan dalam setiap kendala adalah lebih kecil atau sama dengan .

Permasalahan di atas merupakan bentuk permasalahan program linier dengan hanya konstanta sebelah kanan yang berbentuk bilangan fuzzy dan berbentuk trapezoidal. Dikatakan berbentuk bilangan fuzzy karena konstanta sebelah kanannya tidak merupakan suatu bilangan yang pasti, tetapi dalam bentuk interval yaitu 800 1 900 dan

1.000 2 1.200. Dikatakan berbentuk trapezoidal karena terdapat empat buah

parameter < < < yaitu 800 < 900 < 1.000 < 1.200 yang merupakan parameter untuk konstanta sebelah kanan dari permasalahan tersebut.

Selanjutnya akan dibuat ke dalam bentuk matematis fuzzy linear programming

(FLP) berikut: Maksimumkan:

= 30.000 1+ 20.000 2+ 35.000 3

Dengan kendala:

10 1+ 20 2+ 15 3 1

20 1+ 10 2+ 25 3 2

Dengan ₁, 2, 3 0.

Karena konstanta sebelah kanan berbentuk bilangan fuzzy, maka dalam permasalahan di atas dapat didefinisikan ke dalam fungsi keanggotaan linier (menurut persamaan (3.2)) sebagai berikut:

(44)

1 , < 800

1 = 900−

100 , 800 900

0 , > 900

Dan

1 , < 1.000

2 =

1.200−

200 , 1.000 1.200

0 , > 1.200

Selanjutnya akan dicari nilai optimal dari batas atas dan batas bawah permasalahan tersebut. Nilai batas-batas tersebut akan diperoleh dengan menyelesaikan permasalahan program linier standar, dengan mengasumsikan bahwa batas-batas tersebut memiliki nilai optimal yang terbatas.

Untuk ₁, persamaannya adalah: Maksimumkan:

1 = 30.000 1+ 20.000 2+ 35.000 3

Dengan kendala:

10 1+ 20 2 + 15 3 800

20 1+ 10 2+ 25 3 1.000

Dengan ₁, 2, 3 0.

Untuk mencari solusi optimal dari permasalahan ini maka akan digunakan metode simpleks, yaitu:

Bentuk kanonik untuk persamaan ₁ adalah: Maksimumkan:

1−30.000 1 −20.000 2−35.000 3 = 0

Dengan kendala:

10 ₁+ 20 ₂+ 15 ₃ + ₁ = 800 20 1+ 10 2 + 25 3 + 2 = 1.000

(45)

Dengan ₁, 2, 3, 1, 2 0.

Tabel 3.1 Tabel Simplek Awal

Basis 30.000 20.000 35.000 0 0 Solusi

� � �

0 10 20 15 1 0 800

0 20 10 25 0 1 1.000

− -30.000 -20.000 -35.000 0 0 0

Catatan:

1. Dari tabel simpleks awal di atas diperoleh entering variable yaitu -35.000 pada kolom ₃

2. Rasio = 800

15 , 1000

25 dan nilai positif terkecil yaitu 1000

25 , maka leaving variable

adalah 2

3. Elemen pivot adalah 25

4. Persamaan pivot baru (menurut persamaan (2.6))

3 4

2 5

1 0 1

40 5. Persamaan-persamaan baru:

 Persamaan − baru

Pers. − lama -30.000 -20.000 -35.000 0 0 0

(-35.000) × pers. pivot baru -28.000 -14.000 -35.000 0 -1.400 -1.400.000 (-)

Pers. − baru -2.000 -6.000 0 0 1.400 1.400.000

 Persamaan ₁ baru

(46)

(15) × pers. pivot baru 12 6 15 0 3 5

600 (-)

Pers. ₁ baru -2 14 0 1

−3₅ 200

Persamaan-persamaan di atas dapat dibuat ke dalam tabel simplek iterasi pertama berikut:

Tabel 3.2 Tabel Simplek Iterasi Pertama

Basis 30.000 20.000 35.000 0 0 Solusi

� � �

0 -2 14 0 1

−3₅ 200

� 35.000 4

2 5

1 0 1

− -2.000 -6.000 0 0 1.400 1.400.000

Catatan:

1. Dari tabel simplek iterasi pertama di atas diperoleh entering variable yaitu -6.000 pada kolom ₂

2. Rasio = 200

14 , 40

2 5

dan nilai positif terkecil yaitu 200

14, maka leaving variable adalah 1

3. Elemen pivot adalah 14

4. Persamaan pivot baru (menurut persamaan (2.6))

2 ₋1

1 0 1

14 −

3 70

100 7

5. Persamaan-persamaan baru:

 Persamaan − baru

(47)

(-6.000) × pers. pivot baru

6.000 7

-6.000 0

−3.000₇ 1.800₇ −600.0007 (-)

Pers. − baru

−20.000

0 0 3.000 7

8.000 7

10.400.000 7

 Persamaan ₃ baru Pers. ₃ lama 4

2 5

1 0 1

5 × pers. pivot baru −

2 35

2 5

0 2

70 − 6 350

200

35 (-)

Pers. ₃ baru 6

0 1

−₃₅1 ₃₅2 240₇

Persamaan-persamaan di atas dapat dibuat ke dalam tabel simplek iterasi kedua berikut:

Tabel 3.3 Tabel Simplek Iterasi Kedua

Basis 30.000 20.000 35.000 0 0 Solusi

� � �

� 20.000

−1

1 0 1

14 − 3 70

100 7

� 35.000 6

0 1

− 1 35 2 35 240 7

− ₋20.000 7

0 0 3.000 7 8.000 7 10.400.000 7 Catatan:

1. Dari tabel simplek iterasi kedua di atas diperoleh entering variable yaitu −20.000

pada kolom ₁ 2. Rasio =

240 7 6 7

dan nilai positif terkecil yaitu 240

6 , maka leaving variable adalah 3

3. Elemen pivot adalah 6

(48)

4. Persamaan pivot baru (menurut persamaan (2.6))

1 1 0 7

6 − 1 30 1 15 40 5. Persamaan-persamaan baru:

 Persamaan − baru Pers. − lama

−20.000₇ 0 0 3.000₇ 8.000₇ 10.400.000₇

−20.000

7 × pers. pivot baru −

20.000 7

−10.000₃ 2.000₂₁ −4.000₂₁ −800.0007 (-)

Pers. − baru 0 0 10.000

3 1.000 3 4.000 3 1.600.000

 Persamaan ₂ baru Pers. ₂ lama

−1₇ 1 0 ₁₄1 −₇₀3 100₇

−1

7 × pers. pivot baru −

1 7

−1₆ ₂₁₀1 −₁₀₅1 −40

7 (-)

Pers. 1 baru 0 1 1

6 1 15 − 1 30 20

Persamaan-persamaan di atas dapat dibuat ke dalam tabel simplek iterasi ketiga berikut:

Tabel 3.4 Tabel Simplek Iterasi Ketiga

Basis 30.000 20.000 35.000 0 0 Solusi

� � �

� 20.000 0 1 1

6 1 15 − 1 30 20

� 30.000 1 0 7

6 − 1 30 1 15 40

(49)

− 0 0 10.000 3

1.000 3

4.000 3

1.600.000

Karena baris − sudah tidak ada yang negatif, maka pada iterasi ketiga sudah dicapai kondisi optimal. Dan dari tabel simplek iterasi ketiga di atas diperoleh nilai ₁ = 40,

2 = 20, 3 = 0, dan 1 = 1.600.000.

Untuk ₂, persamaannya adalah: Maksimumkan:

2 = 30.000 1+ 20.000 2+ 35.000 3

Dengan kendala:

10 1+ 20 2 + 15 3 900

20 1+ 10 2+ 25 3 1.200

Dengan ₁, 2, 3 0.

Untuk mencari solusi optimal dari permasalahan ini maka akan digunakan metode simpleks, yaitu:

Bentuk kanonik untuk persamaan ₂ adalah: Maksimumkan:

2 −30.000 1−20.000 2−35.000 3 = 0

Dengan kendala:

10 1+ 20 2+ 15 3 + 1 = 900

20 ₁+ 10 ₂ + 25 ₃ + ₂ = 1.200

Dengan ₁, 2, 3, 1, 2 0.

Tabel 3.5 Tabel Simplek Awal

Basis 30.000 20.000 35.000 0 0 Solusi

� � �

0 10 20 15 1 0 900

0 20 10 25 0 1 1.200

(50)

Catatan:

1. Dari tabel simpleks awal di atas diperoleh entering variable yaitu -35.000 pada kolom ₃

2. Rasio = 900

15 , 1.200

25 dan nilai positif terkecil yaitu 1.200

25 , maka leaving variable

adalah 2

3. Elemen pivot adalah 25

4. Persamaan pivot baru (menurut persamaan (2.6))

3 4

2 5

1 0 1

48 5. Persamaan-persamaan baru:

 Persamaan − baru

Pers. − lama -30.000 -20.000 -35.000 0 0 0

(-35.000) × pers. pivot baru -28.000 -14.000 -35.000 0 -1.400 -1.680.000 (-)

Pers. − baru -2.000 -6.000 0 0 1.400 1.680.000

 Persamaan ₁ baru

Pers. ₁ lama 10 20 15 1 0 900

(15) × pers. pivot baru 12 6 15 0 3

720 (-)

Pers. ₁ baru -2 14 0 1

−3

180

(51)

Tabel 3.6 Tabel Simplek Iterasi Pertama

Basis 30.000 20.000 35.000 0 0 Solusi

� � �

0 -2 14 0 1

−3

180

� 35.000 4

2 5

1 0 1

− -2.000 -6.000 0 0 1.400 1.680.000

Catatan:

1. Dari tabel simplek iterasi pertama di atas diperoleh entering variable yaitu -6.000 pada kolom ₂

2. Rasio = 180

14 , 48

2 5

dan nilai positif terkecil yaitu 180

14, maka leaving variable adalah 1

3. Elemen pivot adalah 14

4. Persamaan pivot baru (menurut persamaan (2.6))

2 ₋1

1 0 1

14 −

3 70

90 7

5. Persamaan-persamaan baru:

 Persamaan − baru

Pers. − lama -2.000 -6.000 0 0 1.400 1.680.000 (-6.000) × pers.

pivot baru

6.000 7

-6.000 0

−3.000

1.800

7 −

540.000 7 (-)

Pers. − baru

−20.000

0 0 3.000 7

8.000 7

12.300.000 7

(52)

Pers. ₃ lama 4

2 5

1 0 1

5 × pers. pivot baru −

2 35

2 5

0 2

70 − 3 175

7 (-)

Pers. ₃ baru 6 7

0 1

− 1 35 2 35 300 7

Persamaan-persamaan di atas dapat dibuat ke dalam tabel simplek iterasi kedua berikut:

Tabel 3.7 Tabel Simplek Iterasi Kedua

Basis 30.000 20.000 35.000 0 0 Solusi

� � �

� 20.000

−1₇ 1 0 ₁₄1 −₇₀3 90₇

� 35.000 6

0 1

−₃₅1 ₃₅2 300₇

− ₋20.000 7

0 0 3.000

7 8.000 7 12.300.000 7 Catatan:

1. Dari tabel simplek iterasi kedua di atas diperoleh entering variable yaitu −20.000

pada kolom 1

2. Rasio = 300

6 dan nilai positif terkecil yaitu 50, maka leaving variable adalah 3

3. Elemen pivot adalah 6

4. Persamaan pivot baru (menurut persamaan (2.6))

1 1 0 7

6 − 1 30 1 15 50

5. Persamaan-persamaan baru:

(53)

Pers. − lama

−20.000₇ 0 0 3.000₇ 8.000₇ 12.300.000₇

−20.000

7 × pers. pivot baru −

20.000 7

−10.000₃ 2.000₂₁ −4.000₂₁ −1.000.0007 (-)

Pers. − baru 0 0 10.000

3 1.000 3 4.000 3 1.900.000

 Persamaan ₂ baru Pers. ₂ lama

−1₇ 1 0 ₁₄1 −₇₀3 90₇

−1

7 × pers. pivot baru −

1 7

−1₆ ₂₁₀1 −₁₀₅1 −50

7 (-)

Pers. ₁ baru 0 1 1

6 1 15 − 1 30 20

Persamaan-persamaan di atas dapat dibuat ke dalam tabel simplek iterasi ketiga berikut:

Tabel 3.8 Tabel Simplek Iterasi Ketiga

Basis 30.000 20.000 35.000 0 0 Solusi

� � �

� 20.000 0 1 1

6 1 15 − 1 30 20

� 30.000 1 0 7

6 − 1 30 1 15 50

− 0 0 10.000

3 1.000 3 4.000 3 1.900.000

Karena baris − sudah tidak ada yang negatif, maka pada iterasi ketiga sudah dicapai kondisi optimal. Dan dari tabel simplek iterasi ketiga di atas diperoleh nilai ₁ = 50,

(54)

Dengan demikian diperoleh nilai batas bawah , yaitu:

= 1, 2

= 1.600.000 , 1.900.000 = 1.600.000

Dan nilai batas atas , yaitu:

= ₁, ₂

= 1.600.000 , 1.900.000 = 1.900.000

Selanjutnya permasalahan dibuat ke dalam bentuk persamaan (3.7), sebagai berikut: Maksimumkan:

Dengan kendala:

1.900.000−1.600.000 − 30.000 1+ 20.000 2+ 35.000 3 −1.600.000

100 + 10 1+ 20 2+ 15 3−900 0

200 + 20 ₁ + 10 ₂ + 25 ₃−1.200 0

Dengan , 1, 2, 3 0

Dapat juga dibuat ke dalam bentuk berikut: Maksimumkan:

Dengan kendala:

30.000 ₁+ 20.000 ₂+ 35.000 ₃−300.000 1.600.000 10 1+ 20 2+ 15 3+ 100 900

20 1+ 10 2+ 25 3+ 200 1.200

(55)

Untuk mencari solusi optimal dari permasalahan ini tidak dapat digunakan langkah metode simpleks biasa, maka digunakan bantuan program QM. Dengan memisalkan

= 4, maka permasalahan menjadi:

Maksimumkan:

= 4

Dengan kendala:

30.000 ₁+ 20.000 ₂ + 35.000 ₃−300.000 ₄ 1.600.000 10 1+ 20 2+ 15 3+ 100 4 900

20 1+ 10 2+ 25 3+ 200 4 1.200

Dengan ₁, 2, 3, 4 0.

Berdasarkan penyelesaian dengan menggunakan program QM (dapat dilihat pada lampiran), pada iterasi keenam sudah diperoleh solusi optimalnya yaitu, = 4 = 0,5 ,

1 = 45 , 2 = 20, dan 3 = 0.

Sehingga jumlah produk �₁, �₂, dan �₃ yang harus diproduksi per hari adalah: �1 = 1 = 45 unit

�2 = 2 = 20 unit �3 = 3 = 0 unit

Untuk memperoleh total laba maksimum per hari maka jumlah produk �₁, �₂, dan �3 disubstitusikan ke persamaan fungsi tujuan awal yaitu:

= 30.000 ₁+ 20.000 ₂+ 35.000 ₃

Dengan demikian total laba maksimum per hari yang akan diperoleh adalah:

= 30.000 45 + 20.000 20 + 35.000 0 = 1.350.000 + 400.000 + 0

(56)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

fuzzy linear programming dengan parameter konstanta sebelah kanan yang berbentuk bilangan fuzzy pada persoalan ini diselesaikan dengan lebih dahulu dikonversikan ke dalam bentuk program linier biasa dengan menggunakan data pada proses produksi sebelumnya dan untuk memperoleh solusi optimalnya digunakan bantuan metode simpleks dan program QM.

Hasil perhitungan dari contoh numerik yang dikerjakan dalam skripsi ini diperoleh jumlah produk �₁,�2 dan �3 yang harus diproduksi per hari yaitu �1 sebanyak 45 unit, �2

sebanyak 20 unit, dan �₃ sebanyak 0 unit artinya tidak memproduksi produk �₃. Dan laba total yang akan diperoleh per hari adalah sebesar Rp 1.750.000,-.

4.2 Saran

Dalam skripsi ini penulis hanya membahas program linier dengan hanya konstanta sebelah kanan yang berbentuk bilangan fuzzy dan berbentuk trapezoidal. Penulis menyarankan pembaca dapat melanjutkan pembahasan untuk bentuk fuzzy linear programming (FLP) lainnya, seperti program linier di mana hanya koefisien teknologi yang berbentuk bilangan fuzzy, program linier di mana koefisien teknologi dan konstanta

(57)

sebelah kanan berbentuk bilangan fuzzy, dan juga program linier di mana fungsi tujuan, koefisien teknologi, dan juga konstanta sebelah kanan berbentuk bilangan fuzzy. Dan permasalahan fuzzy linear programming (FLP) juga dapat dikembangkan dengan bentuk fungsi keanggotaan linier lainnya, yaitu berbentuk triangular (segitiga).

(58)

DAFTAR PUSTAKA

Gasimov, R. N. dan Yenilmez, K. 2002. “Solving Fuzzy Linear Programming Problems

With Linear Membership Functions”. Jurnal Turk J Math, halaman 375-396.

Klir, G. J. dan B. Yuan. 1995. Fuzzy Sets And Fuzzy Logic – Theory And Application.

Prentice Hall.

Kusumadewi, Sri. 2002. Analisis Desain Sistem Fuzzy Menggunakan Tool Box Matlab. Yogyakarta. Graha Ilmu.

Kusumadewi, Sri. dan Hari, P. 2004. Aplikasi Logika Fuzzy Untuk Pendukung Keputusan.

Edisi Pertama. Yogyakarta. Graha Ilmu.

Kusumadewi, Sri. dkk. 2006. Fuzzy Multi-Atributte Decision Making (Fuzzy MADM.

Edisi Pertama. Yogyakarta. Graha Ilmu.

Lieberman, G. J. dan F. S. Hittler. 1990. Introduction to Operation Research. Fifth Edition, Mc Graw – Hill.

Mulyono, Sri. 2004. Riset Operasi. Edisi Revisi. Jakarta. Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.

Mustafa, Zainal. Dan Parkhan, Ali. 2000. Belajar Cepat Linear Programming dengan QS (Quantitative Systems). Edisi Pertama. Yogyakarta. Ekonisia.

Nasendi, B. D. dan Anwar Affendi. 1984. Program Linier dan Variansinya. Bogor. Fakultas Kehutanan, Fakultas Pertanian, Fakultas Pasca Sarjana Institu Pertanian Bogor.

Rao, S. S. 1977. Optization – Theory And Aplications. Second Edition. San Diego, USA. Wiley Eastern Limited.

(59)

Siagian, P. 1987. Penelitian Operasional, Teori dan Praktek. Cetakan 2006. Jakarta. UI-Press.

Supranto, J. 1983. Linear Programming. Edisi Kedua. Jakarta. Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.

Susilo, Frans. 2006. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Edisi kedua. Yogyakarta. Graha Ilmu.

Sutapa, Nyoman. 2000. “Masalah Programa Linier Fuzzy Dengan Fungsi

Keanggotaan Linier”. Jurnal Teknik Industri Volume 2, nomor 1: halaman 28-33. Zulfikarijah, Fien. 2004. Operation Research. Malang. Bayumedia Publishing.

(1)

Dengan demikian diperoleh nilai batas bawah , yaitu:

= 1, 2

= 1.600.000 , 1.900.000 = 1.600.000

Dan nilai batas atas , yaitu:

= ₁, ₂

= 1.600.000 , 1.900.000 = 1.900.000

Selanjutnya permasalahan dibuat ke dalam bentuk persamaan (3.7), sebagai berikut: Maksimumkan:

= Dengan kendala:

1.900.000−1.600.000 − 30.000 1+ 20.000 2+ 35.000 3 −1.600.000

100 + 10 1+ 20 2+ 15 3−900 0

200 + 20 ₁ + 10 ₂ + 25 ₃−1.200 0 Dengan , 1, 2, 3 0

Dapat juga dibuat ke dalam bentuk berikut: Maksimumkan:

= Dengan kendala:

30.000 ₁+ 20.000 ₂+ 35.000 ₃−300.000 1.600.000 10 1+ 20 2+ 15 3+ 100 900

20 1+ 10 2+ 25 3+ 200 1.200

(2)

Untuk mencari solusi optimal dari permasalahan ini tidak dapat digunakan langkah metode simpleks biasa, maka digunakan bantuan program QM. Dengan memisalkan

= 4, maka permasalahan menjadi:

Maksimumkan:

= 4

Dengan kendala:

30.000 ₁+ 20.000 ₂ + 35.000 ₃−300.000 ₄ 1.600.000 10 1+ 20 2+ 15 3+ 100 4 900

20 1+ 10 2+ 25 3+ 200 4 1.200

Dengan ₁, 2, 3, 4 0.

Berdasarkan penyelesaian dengan menggunakan program QM (dapat dilihat pada lampiran), pada iterasi keenam sudah diperoleh solusi optimalnya yaitu, = 4 = 0,5 ,

1 = 45 , 2 = 20, dan 3 = 0.

Sehingga jumlah produk �₁, �₂, dan �₃ yang harus diproduksi per hari adalah: �1 = 1 = 45 unit

�2 = 2 = 20 unit �3 = 3 = 0 unit

Untuk memperoleh total laba maksimum per hari maka jumlah produk �₁, �₂, dan �3 disubstitusikan ke persamaan fungsi tujuan awal yaitu:

= 30.000 ₁+ 20.000 ₂+ 35.000 ₃

Dengan demikian total laba maksimum per hari yang akan diperoleh adalah: = 30.000 45 + 20.000 20 + 35.000 0

= 1.350.000 + 400.000 + 0 = 1.750.000

(3)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Permasalahan fuzzy linear programming (FLP) dapat diselesaikan dengan pendekatan teori himpunan fuzzy sehingga dapat diselesaikan dengan mengkonversikan ke dalam bentuk program linier biasa dan dengan menggunakan variabel dummy . Dan untuk fuzzy linear programming dengan parameter konstanta sebelah kanan yang berbentuk bilangan fuzzy pada persoalan ini diselesaikan dengan lebih dahulu dikonversikan ke dalam bentuk program linier biasa dengan menggunakan data pada proses produksi sebelumnya dan untuk memperoleh solusi optimalnya digunakan bantuan metode simpleks dan program QM.

Hasil perhitungan dari contoh numerik yang dikerjakan dalam skripsi ini diperoleh jumlah produk �₁,�2 dan �3 yang harus diproduksi per hari yaitu �1 sebanyak 45 unit, �2

sebanyak 20 unit, dan �₃ sebanyak 0 unit artinya tidak memproduksi produk �₃. Dan laba total yang akan diperoleh per hari adalah sebesar Rp 1.750.000,-.

4.2 Saran

(4)

(5)

DAFTAR PUSTAKA

Gasimov, R. N. dan Yenilmez, K. 2002. “Solving Fuzzy Linear Programming Problems With Linear Membership Functions”. Jurnal Turk J Math, halaman 375-396.

Klir, G. J. dan B. Yuan. 1995. Fuzzy Sets And Fuzzy Logic – Theory And Application. Prentice Hall.

Kusumadewi, Sri. 2002. Analisis Desain Sistem Fuzzy Menggunakan Tool Box Matlab. Yogyakarta. Graha Ilmu.

Kusumadewi, Sri. dan Hari, P. 2004. Aplikasi Logika Fuzzy Untuk Pendukung Keputusan. Edisi Pertama. Yogyakarta. Graha Ilmu.

Kusumadewi, Sri. dkk. 2006. Fuzzy Multi-Atributte Decision Making (Fuzzy MADM. Edisi Pertama. Yogyakarta. Graha Ilmu.

Lieberman, G. J. dan F. S. Hittler. 1990. Introduction to Operation Research. Fifth Edition, Mc Graw – Hill.

Mulyono, Sri. 2004. Riset Operasi. Edisi Revisi. Jakarta. Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.

Mustafa, Zainal. Dan Parkhan, Ali. 2000. Belajar Cepat Linear Programming dengan QS (Quantitative Systems). Edisi Pertama. Yogyakarta. Ekonisia.

Nasendi, B. D. dan Anwar Affendi. 1984. Program Linier dan Variansinya. Bogor. Fakultas Kehutanan, Fakultas Pertanian, Fakultas Pasca Sarjana Institu Pertanian Bogor.

(6)

Siagian, P. 1987. Penelitian Operasional, Teori dan Praktek. Cetakan 2006. Jakarta. UI-Press.

Supranto, J. 1983. Linear Programming. Edisi Kedua. Jakarta. Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia.

Susilo, Frans. 2006. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Edisi kedua. Yogyakarta. Graha Ilmu.

Sutapa, Nyoman. 2000. “Masalah Programa Linier Fuzzy Dengan Fungsi Keanggotaan Linier”. Jurnal Teknik Industri Volume 2, nomor 1: halaman 28-33. Zulfikarijah, Fien. 2004. Operation Research. Malang. Bayumedia Publishing.

Fuzzy Linear Programming (FLP) Dengan Konstanta Sebelah Kanan Berbentuk Bilangan Fuzzy Dan Berbentuk Trapezoidal.