Bilangan Bulat

Akibat 2.2.7.6. (Buchmann, 2000) Jika suatu bilangan prima p membagi ∏ q i

dengan qq 1 , 2 ,..., q k adalah bilangan-bilangan prima, maka p sama dengan salah satu dari qq 1 , 2 ,..., q k .

Bukti:

Untuk k = 1, p jelas merupakan pembagi dari q 1 yaitu p = q 1 . Untuk k > 1 , p membagi qqq 1 .( . ... ) 2 3 q k . Menggunakan Lemma 2.2.7.5 diperoleh bahwa p membagi q 1 atau qq 2 . ... 3 q k . Jika p = q 1 maka bukti selesai. Jika p ≠ q 1 , maka p membagi q 2 .( ... ) q 3 q k . Sehingga p membagi q 2 atau q 3 ... q k . Jika p = q 2 maka bukti selesai. Jika p ≠ q 2 , maka p membagi q 3 .( ... ) q 4 q k , dan seterusnya. Dengan demikian terdapat q i ,1i ≤≤ k sedemikian hingga p = q i .

Teorema 2.2.7.7. (Buchmann, 2000) Setiap bilangan bulat a > 1 dapat disajikan sebagai hasil kali dari sejumlah bilangan prima berhingga secara tunggal.

Bukti:

Akan dibuktikan menggunakan induksi. Diberikan sebarang bilangan bulat a > 1 . Untuk a = 2, maka jelas a merupakan hasil kali dari bilangan prima. Untuk a > 2 ,

diasumsikan benar untuk a − 1 dan untuk setiap m dengan 2 ≤≤− m a 1 . Akan diasumsikan benar untuk a − 1 dan untuk setiap m dengan 2 ≤≤− m a 1 . Akan

maka a dapat dinyatakan sebagai a = mm 1 . 2 ... m k dengan m i ∈ ℕ dan 1 < m i < a , 1i ≤≤ k . Menurut asumsi yang diambil di atas, maka m i adalah hasil kali dari sejumlah bilangan prima. Akibatnya, a = mm 1 . 2 ... m k juga merupakan hasil kali dari sejumlah bilangan prima.

Untuk membuktikan ketunggalannya, misalkan a = pp 1 . ... 2 p r dan a = qq 1 . ... 2 q s , dengan pp 1 , 2 ,..., pqq r ,, 1 2 ,..., q s adalah bilangan-bilangan prima. Akan ditunjukkan bahwa penyajian bilangan bulat a adalah tunggal, yaitu r = s . Diasumsikan benar

untuk setiap m dengan 2 ≤≤− m a 1 . Karena a = pp 1 . ... 2 p r = qq 1 . ... 2 q s , maka p 1 membagi qq 1 . ... 2 q s . Menggunakan Akibat 2.2.7.6, diperoleh bahwa p 1 adalah salah satu dari qq 1 , 2 ,..., q s . Tanpa mengurangi keumuman, diambil p 1 = q 1 . Berdasarkan

asumsi induksi, faktorisasi prima dari

adalah tunggal. Sehingga diperoleh

bahwa r = s . Terbukti bahwa penyajian bilangan bulat a adalah tunggal.

Untuk mengecek apakah suatu bilangan bulat ganjil a > 1 adalah bilangan prima, dilakukan suatu tes keprimaan (primality test), yaitu suatu algoritma untuk membuktikan bahwa suatu bilangan bulat positif ganjil adalah bilangan prima atau komposit. Berikut ini diberikan sebuah tes keprimaan yang didasarkan pada Definisi

Algoritma 2.4 : Tes Keprimaan Biasa

Input : Bilangan bulat ganjil a > 1 .

Output : Pernyataan ”prima” atau ”komposit”. Langkah :

1. Set b ← 1 .

2. Repeat :

2.1. b ←+ b 1 .

2.2. c ← a mod b .

3. Until c = 0 .

4. Jika a = b , maka output(”prima”).

5. Jika a ≠ b , maka output (”komposit”).