KONSISTENSI METODE SIMPLEKS DALAM MENENTUKAN NILAI OPTIMUM.
KONSISTENSI METODE SIMPLEKS DALAM
MENENTUKAN NILAI OPTIMUM
Oleh :
Rina Lusiana Rumahorbo
NIM 4111230007
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2016
i
iii
Konsistensi Metode Simpleks dalam Menentukan Nilai Optimum
Rina Lusiana Rumahorbo (NIM 4111230007)
Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk menunjukkan bagaimana Konsistensi
Metode Simpleks dalam Menentukan Nilai Optimum. Data yang dipakai dalam
penelitian ini adalah data sekunder, dimana data tersebut merupakan data yang
memiliki penyelesaian optimum. Untuk mendapatkan solusi yang memberikan
nilai optimum pada penelitian ini terlebih dahulu dilakukan dengan cara
mendaftarkan semua kemungkinan solusi kemudian mencari nilai yang paling
optimum dari semua kemungkinan solusi. Selanjutnya, persoalan program linear
akan diselesaikan dengan menggunakan Metode Simpleks. Penelitian dimulai dari
mengkaji konsep solusi optimal secara umum, selanjutnya langkah metode
Simpleks diuraikan tahap demi tahap. Setiap langkah Metode Simpleks dianalisis
melalui pengamatan untuk memeriksa hasil yang diperoleh apakah memenuhi
kriteria Optimum. Dari langkah awal memformulasikan persoalan program linear
ke dalam bentuk siap simpleks, kemudian memasukkan persamaan ke dalam tabel
simpleks awal sampai pada langkah memeriksa solusi yang dieroleh tabel
simpleks, metode simpleks menunjukkan bahwa setiap tahap yang dilalui secara
konsisten menuju satu titik. Titik yang dituju dalam hal ini adalah titik yang
memberikan nilai optimum. Pada penelitian ini ada tiga kasus maksimasi dan tiga
kasus minimasi yang diselesaikan dengan metode simpleks, dan dari solusi yang
diperoleh metode simpleks secara konsisten memberikan nilai yang benar-benar
optimum untuk setiap kasus.
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas
segala rahmat dan kasih karunia-Nya yang begitu besar telah memberikan
kesehatan dan hikmat sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan
baik. Adapun Skripsi berjudul “Konsistensi Metode Simpleks dalam
Menentukan Nilai Optimum”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu
syarat memperoleh gelar sarjana Sains di Universitas Negeri Medan.
Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada
berbagai pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini mulai dari
pengajuan proposal penenlitian, pelaksanaan sampai penyusunan skripsi, antara
lain kepada Bapak Dr. Abil Mansyur, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi
yang telah memberikan bimbingan dan saran kepada penulis dalam menyusun
skripsi ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof.Dr. Edi
Syahputra, Bapak Dr. H. Banjarnahor, M.Pd, dan Bapak Dr. Pardomuan Sitompul
S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran-saran
kepada penulis. Terima kasih pula kepada Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku
dosen Pembimbing Akademik, Ketua Jurusan Bapak Dr. Edy Surya, M.Si dan
dosen-dosen jurusan Matematika FMIPA UNIMED yang telah membantu penulis.
Teristimewa ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada keluarga
besar Rumahorbo untuk semua kasih sayang, doa dan dukungan yang telah
diberikan
dalam perkuliahan hingga penyelesaian skripsi ini secara khusus
kepada Ayahanda T. Rumahorbo, Ibunda M.Manik. Ucapan terima kasih juga
penulis sampaikan kepada komponen pelayanan UKMKP UP FMIPA yang
mendukung dan terus menyemangati dalam penyusunan skripsi ini. Teristimewa
buat Amadea SG (Romiana, Rosari, Berkat, Yuri dan Kristiani), Adik Kelompok
Kecil (Romli, Shela, Fridayuni, Ivana, Julius, Nina, Penny, Witha, Anggi, Arif,
Hariaty, Lestari, Nova, dan Novelita), Koordinasi UKMKP UP FMIPA 2015
(Vine, Reni, Febriana, Saut, Robertus, Dwi, Heydi, Eva, Rika, Karya, Renny,
v
Sirma dan Andy) juga buat Koordinasi 2014 yang terkasih (Kak Oripa, Reni, Kak
Meyta, Kak Fretty, Kak Herti, Kak Rina M, Bg Tahando, Kak Dewi M, Kak
Marta, Kak Apri, Bg Berton, Kak Lea dan Kak Sulastri). Tak lupa terima kasih
buat teman-teman seperjuangan MM Nondik 2011 yang memberikan semangat
dan doa dalam penyelesaian skripsi ini. Terkhusus teman-teman dekat Rosari,
Roslin, Reni, Oktapina, Orlando dan Joni yang terus menyemangati.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan dari segi
materi mapun isinya. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan saran dan
kritik dengan tujuan menyempurnakan dan mengembangkan kajian skripsi ini.
Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.
Medan, Juli 2016
Penulis
Rina Lusiana Rumahorbo
NIM. 4111230007
vi
DAFTAR ISI
Lembar Pengesahan
Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Lampiran
i
ii
iii
iv
v
viii
ix
BAB I PENDAHULUAN
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Latar Belakang Masalah
Batasan Masalah
Rumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
1
3
3
4
4
BAB II LANDASAN TEORI
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
Matriks
Pemecahan Sistem Persamaan Linear
Eliminasi Gauss
Pemograman Linear
Metode Simpleks
Bentuk Baku dan Bentuk Kanonik
Variabel Semu (Artifisial)
Langkah-langkah Metode Simpleks
5
7
7
9
12
16
17
18
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Lokasi dan Waktu Penelitian
3.2
Jenis Penelitian
3.3
Teknik Pengumpulan Data
3.4
Teknik Analisis Data
20
20
20
21
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Solusi Optimal
4.2 Menulis Model Persoalan Program linear
4.3 Metode Simpleks
4.3.1 Tabel Simpleks
4.4 Contoh kasus 1
4.5 Contoh kasus 2
4.6 Software LINDO
4.7 Contoh kasus 3
4.8 Contoh kasus 4
26
27
28
29
35
38
41
41
44
vii
4.9 Contoh kasus 5
4.10 Contoh kasus 6
4.11 Konsistensi Metode Simpleks
45
46
48
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
50
50
DAFTAR PUSTAKA
51
vi
DAFTAR ISI
Lembar Pengesahan
Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Lampiran
i
ii
iii
iv
v
viii
ix
BAB I PENDAHULUAN
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Latar Belakang Masalah
Batasan Masalah
Rumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
1
3
3
4
4
BAB II LANDASAN TEORI
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
Matriks
Pemecahan Sistem Persamaan Linear
Eliminasi Gauss
Pemograman Linear
Metode Simpleks
Bentuk Baku dan Bentuk Kanonik
Variabel Semu (Artifisial)
Langkah-langkah Metode Simpleks
5
7
7
9
12
16
17
18
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Lokasi dan Waktu Penelitian
3.2
Jenis Penelitian
3.3
Teknik Pengumpulan Data
3.4
Teknik Analisis Data
20
20
20
21
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Solusi Optimal
4.2 Menulis Model Persoalan Program linear
4.3 Metode Simpleks
4.3.1 Tabel Simpleks
4.4 Contoh kasus 1
4.5 Contoh kasus 2
4.6 Software LINDO
4.7 Contoh kasus 3
4.8 Contoh kasus 4
26
27
28
29
35
38
41
41
44
vii
4.9 Contoh kasus 5
4.10 Contoh kasus 6
4.11 Konsistensi Metode Simpleks
45
46
48
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
50
50
DAFTAR PUSTAKA
51
viii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1
Tabel 4.1
Tabel 4.2
Tabel 4.3
Tabel 4.4
Tabel 4.5
Tabel 4.6
Tabel 4.7
Tabel 4.8
Tabel 4.9
Tabel 4.10
Tabel 4.11
Tabel 4.12
Tabel 4.13
Tabel 4.14
Tabel 4.15
Tabel 4.16
Simpleks Awal
Syarat setiap potongan
Kendala 1
Kendala 2
Kendala 3
Solusi yang mungkin
Simpleks Awal
Simpleks Awal
Simpleks iterasi pertama
Simpleks iterasi kedua
Hasil penelitian kasus 1
Simpleks ierasi pertama
Simpleks iterasi kedua
Hasil Optimasi Metode Simpleks kasus 1
Hasil Optimasi Metode Simpleks kasus 2
Produksi dengan menggunakan Metode Simpleks
Distribusi Gula Pasir
18
22
24
24
24
25
29
33
33
34
34
35
36
37
40
40
46
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Penyelesaian Kasus 2 dengan Metode simpleks
52
Lampiran 2
Penyelesaian Kasus 4
60
Lampiran 3
Penyelesaian Kasus 5
61
Lampiran 4
Penyelesaian Kasus 6
62
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah mengalokasikan
secara umum keterbatasan/kelangkaan sumber daya, berupa uang, tenaga kerja, bahan
mentah, kapasitas mesin, waktu, ruang atau teknologi. Hasil yang diinginkan adalah
yang terbaik sebagai maksimasi dari beberapa ukuran profit, penjualan dan
kesejahteraan, atau minimasi pada biaya, waktu dan jarak. Masalah optimasi linear
banyak dijumpai dalam bidang produksi barang, distribusi barang, dalam bidang
ekonomi, dan bidang lainnya yang termasuk dalam kajian Riset Operasional. Masalah
optimasi dapat diselesaikan dengan program linear.
Program linear adalah suatu teknik pengambilan keputusan untuk
memecahkan masalah optimasi. Teknik ini dikembangkan oleh LV Kantorovich,
seorang ahli matematik dari Rusia, pada tahun 1939. Program linear menggunakan
model matematis untuk menggambarkan masalah yang hendak dianalisa. Setiap
modelnya dinyatakan dalam bentuk fungsi tujuan dan fungsi batasan (kendala,
constraint). Dalam masalah optimasi linear, kendala atau batasan-batasannya dapat
diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear (Herjanto Eddy, 2007: 43)
Nilai-nilai variabel yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear berada
pada suatu himpunan penyelesaian yang mempunyai berbagai kemungkinan
penyelesaian. Dari berbagai kemungkinan penyelesaian terdapat sebuah penyelesaian
yang memberikan hasil terbaik yang disebut dengan penyelesaian optimum. Jadi,
tujuan dari optimasi linear adalah untuk mengoptimumkan sebuah fungsi linear dari
variabel tujuan, misalkan pendapatan, keuntungan atau biaya. Dalam fungsi tujuan
harus dijelaskan apakah akan memaksimalkan/ meminimalkan fungsi variabel.
Pemecahan masalah pemrograman linear dapat dilakukan dengan beberapa
teknik, antara lain cara aljabar, cara grafik dan metode simpleks. Cara aljabar
2
merupakan teknik yang paling sederhana tetapi kurang efisien, terutama apabila
jumlah batasan cukup banyak. Cara aljabar mencari penyelesaian dengan pendekatan
trial and error untuk mendapatkan hasil yang optimal. Cara grafik juga merupakan
cara yang cukup sederhana namun hanya dapat digunakan untuk permasalahan dua
variabel, karena jika grafiknya lebih dari dua variabel maka dapat dibayangkan
kesulitan yang dialami dalam mencari titik penyelesaian yang optimal. Sejak analisis
dilakukan dengan cara yang sederhana dengan cara grafik untuk kasus sederhana, kini
teknik ini bisa digunakan untuk kasus yang memiliki tingkat kompleksitas yang
tinggi dengan ratusan bahkan ribuan variabel dan batasan yaitu dengan menggunakan
metode simpleks. Metode simpleks dikembangkan oleh George B. Dantzig pada
tahun 1947, yang merupakan metode paling luas dipakai dalam pemrograman linear
(Herjanto Eddy, 2007: 43-45).
Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian program linear
sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan
dengan pengalokasian sumber daya secara optimal. Penentuan solusi optimal
menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan.
Eliminasi Gauss merupakan suatu metode untuk memberikan prosedur yang
sistematik untuk memecahkan sistem-sistem persamaan program. Prosedur tersebut
didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk
yang cukup sederhana, sehingga sistem persamaan dapat dipecahkan dengan
memeriksa sistem tersebut.
Penentuan solusi optimal dengan metode simpleks dilakukan tahap demi
tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi
sebelumnya (� − 1). Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan
solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linear diubah ke dalam
bentuk
baku terlebih dahulu, yaitu fungsi-fungsi kendala yang masih berbentuk
pertidaksamaan harus diubah menjadi berbentuk persamaan. Bentuk baku dalam
metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama
3
dengan tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh suatu variabel basis awal.
Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada
aktivitas yang dilakukan.
Dengan mengidentifikasi satu pemecahan dasar awal lalu bergerak secara
sistematis ke pemecahan dasar lainnya yang memiliki potensi untuk memperbaiki
nilai fungsi tujuan, pada akhirnya pemecahan dasar yang bersesuaian dengan nilai
optimum akan diidentifikasi dan proses akan berhenti.
Konsisten menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia adalah tetap (tidak
berubah-ubah), taat asas, selaras atau kesesuaian perbuatan dengan ucapan. Konsisten
juga berarti melakukan suatu kegiatan secara terus menerus dengan tekun dan benar
tanpa keluar dari jalur / batasan batasan yang telah ditentukan. Konsistensi biasanya
dijadikan sebagai acuan pembuktian bahwa kegiatan atau pekerjaan yang dilakukan
seseorang dapat berguna dan mendapat nilai yang baik di mata orang lain. Pada
penelitian ini penulis akan menganalisis konsistensi Metode Simpleks dalam
menentukan nilai optimum. Konsistensi dalam hal ini adalah menunjukkan hasil yang
diperoleh setelah melalui semua tahap yang dikerjakan dengan metode simpleks
merupakan hasil yang optimum, yaitu memberikan nilai terbesar untuk kasus
maksimasi dan sebalikanya memberikan nilai terkecil untuk kasus minimasi. Oleh
karena itu, peneliti mengangkat penelitian yang berjudul “Konsistensi Metode
Simpleks dalam Menentukan Nilai Optimum”
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka permasalahan yang akan diteliti
adalah bagaimana konsistensi metode simpleks dalam menentukan nilai optimum?
1.3
Batasan Masalah
Agar pembahasan masalah dalam tulisan ini tidak menyimpang, maka perlu
dilakukan batasan masalah, yaitu kasus yang digunakan merupakan kasus program
linear yang memiliki penyelesaian optimum.
4
1.4
Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian adalah mengetahui konsistensi metode simpleks
dalam menentukan nilai optimum, apakah hasil yang diperoleh benar-benar optimum
dan memenuhi kriteria optimum.
1.5
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Manfaat bagi Penulis
Untuk
mengembangkan
wawasan
tentang
metode
simpleks
dalam
menentukan nilai optimum.
2. Manfaat bagi Pembaca
Sebagai tambahan wawasan dan memberikan gambaran tentang teknik
penyelesaian masalah optimasi dengan metode simpleks.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Pada penelitian ini ditunjukkan bagaimana tahapan yang ditawarkan oleh
metode simpleks dalam menentukan nilai optimum dari setiap iterasi memberikan
nilai yang benar-benar memenuhi kriteria optimal. Berdasarkan hasil pembahasan
yang telah dilakukan, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
Metode Simpleks secara konsisten dari tahap awal sampai pada tahap akhir
menawarkan
langkah-langkah
yang
terus
menerus
dilakukan
untuk
mencapai/menuju suatu titik penyelesaian. Dari berbagai jenis kasus yang
diselesaikan baik kasus maksimasi maupun kasus minimasi, metode simpleks
menunjukkan konsistensinya dalam menentukan penyelesaian dengan berhentinya
iterasi apabila suatu titik tertentu diperoleh. Titik tersebut adalah titik yang
memberikan nilai optimum pada persoalan linear yang diselesaikan. Maka dari
penelitian yang dilakukan, metode simpleks adalah metode yang konsisten.
5.2
Saran
Penulis menyadari kekurangan penelitian yang dilakukan sehingga
penelitian selanjutnya perlu dilakukan penelitian kajian lanjut untuk kasus-kasus
yang berbeda parameter atau bidang, yaitu masalah umum di tengah masyarakat
yang tidak termasuk kasus produksi. Untuk penelitian selanjutnya juga perlu
dilakukan tentang efektivitas Metode Simpleks dalam menentukan nilai optimum
suatu program linear. Sehingga tidak hanya mengkaji bagaimana konsistensi
metode simpleks menentukan nilai optimum tetapi juga dapat melihat bagaimana
perbandingan dan efektivitas Metode Simpleks terhadap metode lain dalam
persoalan program linear.
DAFTAR PUSTAKA
Bazaraa, M S, dkk. 2010. Linear Programming and Network Flows Forth Edition.
Canada: John Wiley and Sons, Inc
Herjanto, Eddy. 2007. Manajemen Opersi Edisi Ketiga. Jakarta: Grasindo
Iyer, Sankara P. 2008. Operation Research. New Delhi: Tata McGraw-Hill
R Thie P dan Gerard E K. 2008. An Introduction to Linear Programming and
Game Theory. Canada: John Wiley and Sons, Inc
She Yang, Xin. 2008. Introduction to Mathematical Optimization. United
Kingdom: Cambridge International Science Publishing
Siringoringo, H. 2005. Seri Teknik Riset Operasional Pemograman Linear.
Yogyakarta: Graha Ilmu
Sottinen, T. 2009. Operations Research Wtih GNU Linear Programming.
Finlandia: Universitas Vaasa
51
MENENTUKAN NILAI OPTIMUM
Oleh :
Rina Lusiana Rumahorbo
NIM 4111230007
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2016
i
iii
Konsistensi Metode Simpleks dalam Menentukan Nilai Optimum
Rina Lusiana Rumahorbo (NIM 4111230007)
Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk menunjukkan bagaimana Konsistensi
Metode Simpleks dalam Menentukan Nilai Optimum. Data yang dipakai dalam
penelitian ini adalah data sekunder, dimana data tersebut merupakan data yang
memiliki penyelesaian optimum. Untuk mendapatkan solusi yang memberikan
nilai optimum pada penelitian ini terlebih dahulu dilakukan dengan cara
mendaftarkan semua kemungkinan solusi kemudian mencari nilai yang paling
optimum dari semua kemungkinan solusi. Selanjutnya, persoalan program linear
akan diselesaikan dengan menggunakan Metode Simpleks. Penelitian dimulai dari
mengkaji konsep solusi optimal secara umum, selanjutnya langkah metode
Simpleks diuraikan tahap demi tahap. Setiap langkah Metode Simpleks dianalisis
melalui pengamatan untuk memeriksa hasil yang diperoleh apakah memenuhi
kriteria Optimum. Dari langkah awal memformulasikan persoalan program linear
ke dalam bentuk siap simpleks, kemudian memasukkan persamaan ke dalam tabel
simpleks awal sampai pada langkah memeriksa solusi yang dieroleh tabel
simpleks, metode simpleks menunjukkan bahwa setiap tahap yang dilalui secara
konsisten menuju satu titik. Titik yang dituju dalam hal ini adalah titik yang
memberikan nilai optimum. Pada penelitian ini ada tiga kasus maksimasi dan tiga
kasus minimasi yang diselesaikan dengan metode simpleks, dan dari solusi yang
diperoleh metode simpleks secara konsisten memberikan nilai yang benar-benar
optimum untuk setiap kasus.
iv
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas
segala rahmat dan kasih karunia-Nya yang begitu besar telah memberikan
kesehatan dan hikmat sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan
baik. Adapun Skripsi berjudul “Konsistensi Metode Simpleks dalam
Menentukan Nilai Optimum”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu
syarat memperoleh gelar sarjana Sains di Universitas Negeri Medan.
Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada
berbagai pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini mulai dari
pengajuan proposal penenlitian, pelaksanaan sampai penyusunan skripsi, antara
lain kepada Bapak Dr. Abil Mansyur, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi
yang telah memberikan bimbingan dan saran kepada penulis dalam menyusun
skripsi ini. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof.Dr. Edi
Syahputra, Bapak Dr. H. Banjarnahor, M.Pd, dan Bapak Dr. Pardomuan Sitompul
S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan saran-saran
kepada penulis. Terima kasih pula kepada Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku
dosen Pembimbing Akademik, Ketua Jurusan Bapak Dr. Edy Surya, M.Si dan
dosen-dosen jurusan Matematika FMIPA UNIMED yang telah membantu penulis.
Teristimewa ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada keluarga
besar Rumahorbo untuk semua kasih sayang, doa dan dukungan yang telah
diberikan
dalam perkuliahan hingga penyelesaian skripsi ini secara khusus
kepada Ayahanda T. Rumahorbo, Ibunda M.Manik. Ucapan terima kasih juga
penulis sampaikan kepada komponen pelayanan UKMKP UP FMIPA yang
mendukung dan terus menyemangati dalam penyusunan skripsi ini. Teristimewa
buat Amadea SG (Romiana, Rosari, Berkat, Yuri dan Kristiani), Adik Kelompok
Kecil (Romli, Shela, Fridayuni, Ivana, Julius, Nina, Penny, Witha, Anggi, Arif,
Hariaty, Lestari, Nova, dan Novelita), Koordinasi UKMKP UP FMIPA 2015
(Vine, Reni, Febriana, Saut, Robertus, Dwi, Heydi, Eva, Rika, Karya, Renny,
v
Sirma dan Andy) juga buat Koordinasi 2014 yang terkasih (Kak Oripa, Reni, Kak
Meyta, Kak Fretty, Kak Herti, Kak Rina M, Bg Tahando, Kak Dewi M, Kak
Marta, Kak Apri, Bg Berton, Kak Lea dan Kak Sulastri). Tak lupa terima kasih
buat teman-teman seperjuangan MM Nondik 2011 yang memberikan semangat
dan doa dalam penyelesaian skripsi ini. Terkhusus teman-teman dekat Rosari,
Roslin, Reni, Oktapina, Orlando dan Joni yang terus menyemangati.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan dari segi
materi mapun isinya. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan saran dan
kritik dengan tujuan menyempurnakan dan mengembangkan kajian skripsi ini.
Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.
Medan, Juli 2016
Penulis
Rina Lusiana Rumahorbo
NIM. 4111230007
vi
DAFTAR ISI
Lembar Pengesahan
Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Lampiran
i
ii
iii
iv
v
viii
ix
BAB I PENDAHULUAN
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Latar Belakang Masalah
Batasan Masalah
Rumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
1
3
3
4
4
BAB II LANDASAN TEORI
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
Matriks
Pemecahan Sistem Persamaan Linear
Eliminasi Gauss
Pemograman Linear
Metode Simpleks
Bentuk Baku dan Bentuk Kanonik
Variabel Semu (Artifisial)
Langkah-langkah Metode Simpleks
5
7
7
9
12
16
17
18
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Lokasi dan Waktu Penelitian
3.2
Jenis Penelitian
3.3
Teknik Pengumpulan Data
3.4
Teknik Analisis Data
20
20
20
21
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Solusi Optimal
4.2 Menulis Model Persoalan Program linear
4.3 Metode Simpleks
4.3.1 Tabel Simpleks
4.4 Contoh kasus 1
4.5 Contoh kasus 2
4.6 Software LINDO
4.7 Contoh kasus 3
4.8 Contoh kasus 4
26
27
28
29
35
38
41
41
44
vii
4.9 Contoh kasus 5
4.10 Contoh kasus 6
4.11 Konsistensi Metode Simpleks
45
46
48
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
50
50
DAFTAR PUSTAKA
51
vi
DAFTAR ISI
Lembar Pengesahan
Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar
Daftar Isi
Daftar Tabel
Daftar Lampiran
i
ii
iii
iv
v
viii
ix
BAB I PENDAHULUAN
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Latar Belakang Masalah
Batasan Masalah
Rumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
1
3
3
4
4
BAB II LANDASAN TEORI
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
Matriks
Pemecahan Sistem Persamaan Linear
Eliminasi Gauss
Pemograman Linear
Metode Simpleks
Bentuk Baku dan Bentuk Kanonik
Variabel Semu (Artifisial)
Langkah-langkah Metode Simpleks
5
7
7
9
12
16
17
18
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Lokasi dan Waktu Penelitian
3.2
Jenis Penelitian
3.3
Teknik Pengumpulan Data
3.4
Teknik Analisis Data
20
20
20
21
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Solusi Optimal
4.2 Menulis Model Persoalan Program linear
4.3 Metode Simpleks
4.3.1 Tabel Simpleks
4.4 Contoh kasus 1
4.5 Contoh kasus 2
4.6 Software LINDO
4.7 Contoh kasus 3
4.8 Contoh kasus 4
26
27
28
29
35
38
41
41
44
vii
4.9 Contoh kasus 5
4.10 Contoh kasus 6
4.11 Konsistensi Metode Simpleks
45
46
48
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
50
50
DAFTAR PUSTAKA
51
viii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1
Tabel 4.1
Tabel 4.2
Tabel 4.3
Tabel 4.4
Tabel 4.5
Tabel 4.6
Tabel 4.7
Tabel 4.8
Tabel 4.9
Tabel 4.10
Tabel 4.11
Tabel 4.12
Tabel 4.13
Tabel 4.14
Tabel 4.15
Tabel 4.16
Simpleks Awal
Syarat setiap potongan
Kendala 1
Kendala 2
Kendala 3
Solusi yang mungkin
Simpleks Awal
Simpleks Awal
Simpleks iterasi pertama
Simpleks iterasi kedua
Hasil penelitian kasus 1
Simpleks ierasi pertama
Simpleks iterasi kedua
Hasil Optimasi Metode Simpleks kasus 1
Hasil Optimasi Metode Simpleks kasus 2
Produksi dengan menggunakan Metode Simpleks
Distribusi Gula Pasir
18
22
24
24
24
25
29
33
33
34
34
35
36
37
40
40
46
ix
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Penyelesaian Kasus 2 dengan Metode simpleks
52
Lampiran 2
Penyelesaian Kasus 4
60
Lampiran 3
Penyelesaian Kasus 5
61
Lampiran 4
Penyelesaian Kasus 6
62
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah mengalokasikan
secara umum keterbatasan/kelangkaan sumber daya, berupa uang, tenaga kerja, bahan
mentah, kapasitas mesin, waktu, ruang atau teknologi. Hasil yang diinginkan adalah
yang terbaik sebagai maksimasi dari beberapa ukuran profit, penjualan dan
kesejahteraan, atau minimasi pada biaya, waktu dan jarak. Masalah optimasi linear
banyak dijumpai dalam bidang produksi barang, distribusi barang, dalam bidang
ekonomi, dan bidang lainnya yang termasuk dalam kajian Riset Operasional. Masalah
optimasi dapat diselesaikan dengan program linear.
Program linear adalah suatu teknik pengambilan keputusan untuk
memecahkan masalah optimasi. Teknik ini dikembangkan oleh LV Kantorovich,
seorang ahli matematik dari Rusia, pada tahun 1939. Program linear menggunakan
model matematis untuk menggambarkan masalah yang hendak dianalisa. Setiap
modelnya dinyatakan dalam bentuk fungsi tujuan dan fungsi batasan (kendala,
constraint). Dalam masalah optimasi linear, kendala atau batasan-batasannya dapat
diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear (Herjanto Eddy, 2007: 43)
Nilai-nilai variabel yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear berada
pada suatu himpunan penyelesaian yang mempunyai berbagai kemungkinan
penyelesaian. Dari berbagai kemungkinan penyelesaian terdapat sebuah penyelesaian
yang memberikan hasil terbaik yang disebut dengan penyelesaian optimum. Jadi,
tujuan dari optimasi linear adalah untuk mengoptimumkan sebuah fungsi linear dari
variabel tujuan, misalkan pendapatan, keuntungan atau biaya. Dalam fungsi tujuan
harus dijelaskan apakah akan memaksimalkan/ meminimalkan fungsi variabel.
Pemecahan masalah pemrograman linear dapat dilakukan dengan beberapa
teknik, antara lain cara aljabar, cara grafik dan metode simpleks. Cara aljabar
2
merupakan teknik yang paling sederhana tetapi kurang efisien, terutama apabila
jumlah batasan cukup banyak. Cara aljabar mencari penyelesaian dengan pendekatan
trial and error untuk mendapatkan hasil yang optimal. Cara grafik juga merupakan
cara yang cukup sederhana namun hanya dapat digunakan untuk permasalahan dua
variabel, karena jika grafiknya lebih dari dua variabel maka dapat dibayangkan
kesulitan yang dialami dalam mencari titik penyelesaian yang optimal. Sejak analisis
dilakukan dengan cara yang sederhana dengan cara grafik untuk kasus sederhana, kini
teknik ini bisa digunakan untuk kasus yang memiliki tingkat kompleksitas yang
tinggi dengan ratusan bahkan ribuan variabel dan batasan yaitu dengan menggunakan
metode simpleks. Metode simpleks dikembangkan oleh George B. Dantzig pada
tahun 1947, yang merupakan metode paling luas dipakai dalam pemrograman linear
(Herjanto Eddy, 2007: 43-45).
Metode simpleks merupakan salah satu teknik penyelesaian program linear
sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan
dengan pengalokasian sumber daya secara optimal. Penentuan solusi optimal
menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan.
Eliminasi Gauss merupakan suatu metode untuk memberikan prosedur yang
sistematik untuk memecahkan sistem-sistem persamaan program. Prosedur tersebut
didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk
yang cukup sederhana, sehingga sistem persamaan dapat dipecahkan dengan
memeriksa sistem tersebut.
Penentuan solusi optimal dengan metode simpleks dilakukan tahap demi
tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi
sebelumnya (� − 1). Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan
solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linear diubah ke dalam
bentuk
baku terlebih dahulu, yaitu fungsi-fungsi kendala yang masih berbentuk
pertidaksamaan harus diubah menjadi berbentuk persamaan. Bentuk baku dalam
metode simpleks tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama
3
dengan tetapi setiap fungsi kendala harus diwakili oleh suatu variabel basis awal.
Variabel basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada
aktivitas yang dilakukan.
Dengan mengidentifikasi satu pemecahan dasar awal lalu bergerak secara
sistematis ke pemecahan dasar lainnya yang memiliki potensi untuk memperbaiki
nilai fungsi tujuan, pada akhirnya pemecahan dasar yang bersesuaian dengan nilai
optimum akan diidentifikasi dan proses akan berhenti.
Konsisten menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia adalah tetap (tidak
berubah-ubah), taat asas, selaras atau kesesuaian perbuatan dengan ucapan. Konsisten
juga berarti melakukan suatu kegiatan secara terus menerus dengan tekun dan benar
tanpa keluar dari jalur / batasan batasan yang telah ditentukan. Konsistensi biasanya
dijadikan sebagai acuan pembuktian bahwa kegiatan atau pekerjaan yang dilakukan
seseorang dapat berguna dan mendapat nilai yang baik di mata orang lain. Pada
penelitian ini penulis akan menganalisis konsistensi Metode Simpleks dalam
menentukan nilai optimum. Konsistensi dalam hal ini adalah menunjukkan hasil yang
diperoleh setelah melalui semua tahap yang dikerjakan dengan metode simpleks
merupakan hasil yang optimum, yaitu memberikan nilai terbesar untuk kasus
maksimasi dan sebalikanya memberikan nilai terkecil untuk kasus minimasi. Oleh
karena itu, peneliti mengangkat penelitian yang berjudul “Konsistensi Metode
Simpleks dalam Menentukan Nilai Optimum”
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka permasalahan yang akan diteliti
adalah bagaimana konsistensi metode simpleks dalam menentukan nilai optimum?
1.3
Batasan Masalah
Agar pembahasan masalah dalam tulisan ini tidak menyimpang, maka perlu
dilakukan batasan masalah, yaitu kasus yang digunakan merupakan kasus program
linear yang memiliki penyelesaian optimum.
4
1.4
Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian adalah mengetahui konsistensi metode simpleks
dalam menentukan nilai optimum, apakah hasil yang diperoleh benar-benar optimum
dan memenuhi kriteria optimum.
1.5
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Manfaat bagi Penulis
Untuk
mengembangkan
wawasan
tentang
metode
simpleks
dalam
menentukan nilai optimum.
2. Manfaat bagi Pembaca
Sebagai tambahan wawasan dan memberikan gambaran tentang teknik
penyelesaian masalah optimasi dengan metode simpleks.
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Pada penelitian ini ditunjukkan bagaimana tahapan yang ditawarkan oleh
metode simpleks dalam menentukan nilai optimum dari setiap iterasi memberikan
nilai yang benar-benar memenuhi kriteria optimal. Berdasarkan hasil pembahasan
yang telah dilakukan, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
Metode Simpleks secara konsisten dari tahap awal sampai pada tahap akhir
menawarkan
langkah-langkah
yang
terus
menerus
dilakukan
untuk
mencapai/menuju suatu titik penyelesaian. Dari berbagai jenis kasus yang
diselesaikan baik kasus maksimasi maupun kasus minimasi, metode simpleks
menunjukkan konsistensinya dalam menentukan penyelesaian dengan berhentinya
iterasi apabila suatu titik tertentu diperoleh. Titik tersebut adalah titik yang
memberikan nilai optimum pada persoalan linear yang diselesaikan. Maka dari
penelitian yang dilakukan, metode simpleks adalah metode yang konsisten.
5.2
Saran
Penulis menyadari kekurangan penelitian yang dilakukan sehingga
penelitian selanjutnya perlu dilakukan penelitian kajian lanjut untuk kasus-kasus
yang berbeda parameter atau bidang, yaitu masalah umum di tengah masyarakat
yang tidak termasuk kasus produksi. Untuk penelitian selanjutnya juga perlu
dilakukan tentang efektivitas Metode Simpleks dalam menentukan nilai optimum
suatu program linear. Sehingga tidak hanya mengkaji bagaimana konsistensi
metode simpleks menentukan nilai optimum tetapi juga dapat melihat bagaimana
perbandingan dan efektivitas Metode Simpleks terhadap metode lain dalam
persoalan program linear.
DAFTAR PUSTAKA
Bazaraa, M S, dkk. 2010. Linear Programming and Network Flows Forth Edition.
Canada: John Wiley and Sons, Inc
Herjanto, Eddy. 2007. Manajemen Opersi Edisi Ketiga. Jakarta: Grasindo
Iyer, Sankara P. 2008. Operation Research. New Delhi: Tata McGraw-Hill
R Thie P dan Gerard E K. 2008. An Introduction to Linear Programming and
Game Theory. Canada: John Wiley and Sons, Inc
She Yang, Xin. 2008. Introduction to Mathematical Optimization. United
Kingdom: Cambridge International Science Publishing
Siringoringo, H. 2005. Seri Teknik Riset Operasional Pemograman Linear.
Yogyakarta: Graha Ilmu
Sottinen, T. 2009. Operations Research Wtih GNU Linear Programming.
Finlandia: Universitas Vaasa
51