dari model STAR sehingga kajian GSTAR1
1
juga perluasan dari model STAR1
1
. Model GSTAR1
1
untuk setiap lokasi i = 1,2,…,N dan waktu t dinyatakan oleh
= − 1 +
− 1 + 3.2
Dalam notasi matriks, model di atas dinyatakan sebagai: =
+ − 1 + 3.3
Dimana,
= ⋮
, = ⋮
, = ⋯
⋯ ⋮
⋮ ⋱
⋮ ⋯
,
dengan = 1
3.3 Kestasioneran Model GSTAR1
1
Model GSTAR, khususnya GSTAR1
1
merupakan model versi terbatas dari model VAR Borovkova dkk., 2002 dan Ruchjana, 2003. Oleh sebab itu, kondisi
stasioneritas dari model GSTAR dapat diturunkan dari kondisi stasioneritas model VAR.
Teorema
Jika ϕ
dan ϕ
memenuhi +ϕ
+ ϕ + ≤ 1 dan +ϕ
− ϕ + ≤ 1 untuk setiap
i=1,2,…,N maka GSTAR1
1
stasioner. Teorema ini memberikan syarat cukup kestasioneran model GSTAR1
1
Ruchjana, 2002.
Bukti: Bentuk VAR1 dari model GSTAR1
1
dinyatakan dalam persamaan =
+ − 1 + 3.4
Dapat direpresentasikan dalam model VAR1 yaitu = − 1 +
Dengan =
+ 3.5
Sehingga jika solusi dari yang memenuhi persamaan
|1
2 3
− +
| = 0 3.6
Terletak dalam lingkaran satuan || 1, maka GSTAR1
1
stasioner. Jika
adalah solusi dari persamaan di atas, maka paling sedikit untuk satu lokasi 6 ∈ 81,2, … , ; berlaku:
+ − + ≤ +
+ 3.7 Dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan di atas diperoleh:
− ? ≤
?
− 2 +
? − ? ≤ 0
Dengan
,
= 2
2 ? − 4 A
? − ? B
2 Atau
,
= ±
Karena || ≤ 1, maka +
± + ≤ 1. Sehingga untuk setiap i=1,2,…,N
berlaku +
+ + ≤ 1 dan +
− + ≤ 1 3.8
Ini merupakan syarat cukup GSTAR1
1
stasioner.
3.4 Fungsi Autokorelasi GSTAR1
1
Karakteristik fungsi autokorelasi model GSTAR1
1
adalah sama dengan model STAR1
1
, yaitu menurun secara signifikan tail off. Berikut ini adalah autokorelasi GSTAR1
1
pada berbagai lag:
Untuk k=0 dan l=0
E 1 =
F Γ1 H F Γ0 F Γ0 I
= F J
K
L
1 + K
L
1
M
+ K
N
O
1P F K
N
O
1
E 2 =
F Γ2 H F Γ0 F Γ0 I
= FJ
Γ1 + Γ1 ′P
H F Γ0 F Γ0 I
= 1
; FJ Γ1P + 1; FJ
Γ1 ′P 1
; F JK
N
O
P
= R 1 +
R 1 R 0
dan seterusnya. Secara umum ditulis
E S =
T U
V U
W R 1
R 0 ; Y YZ S = 1 R S − 1 +
R S − 1 R 0
; Y YZ S = 2,3, … , [ 3.9
Untuk k = 0 dan ] =1
E 1 =
F WΓ1 H F W′WΓ0 F Γ0 I
= 1
R 0R 0
E 2 =
F WΓ2 H F W′WΓ0 F Γ0 I
= R 1 +
R 1 R 0R 0
dan seterusnya. Secara umum ditulis
E S =
T U
V U
W R 1
R 0R 0 ; Y YZ S = 1 R S − 1 +
R S − 1 _R 0R 0`
; Y YZ S = 2, … , [ 3.10
Untuk k = 1 dan ] =1
E 1 =
F W′WΓ1 H F W′WΓ0 I
= R 1
R 0 E
1 = F W′WΓ2
H F W′WΓ0 I =
R 2 R 0
dan seterusnya. Secara umum ditulis
E S =
a
bb
c a
bb
; untuk s = 1,2,…,t
3.11
3.5 Fungsi Autokorelasi Parsial GSTAR1
