32
agar biaya pemindahan barang minimum, maka digunakan 5 buah mobil A dan 8 buah mobil B, dengan besarnya sewa Rp 1.680.000,00.
2.2.5 Primal dan Dual
Konsep dual merupakan perkembangan dari teori PL. Hubungan antara masalah asli disebut ”primal” dengan dual dapat dipetik manfaatnya
dalam berbagai hal yaitu sebagai dasar interpretasi suatu masalah PL Subagyo dkk 1984:57.
Interpretasi-interpretasi tersebut sangat berguna untuk menganalisa masalah asli primal. Asumsi-asumsi yang digunakan pada masalah primal
dinyatakan dalam bentuk standar, yaitu sebagai berikut. Fungsi tujuan :
Maksimumkan :
∑
=
=
n j
j j
x c
Z
1
Harus memenuhi fungsi kendala:
i n
j j
ij
b x
a ≤
∑
=
1
, untuk i = 1, 2, … , m.
≥
j
x
, untuk j = 1, 2, … , n. Pemecahan masalah primal dengan metode simpleks terlihat pada
kondisi optimal apabila semua koefisien pada baris Z
j
– c
j
tidak ada yang bertanda negatif untuk masalah masimasi. Secara simbolis, kondisi optimal
dinyatakan sebagai berikut. Z
j
– c
j
≥ 0 , untuk j = 1, 2, … , n. y
j
≥ 0 , untuk i = 1, 2, … , m.
33
VdB Q
x
1
x
2
. . . x
n
S
1
S
2
. . . S
m
Z Z
Z
1
-c
1
Z2-c2 . . .
Z
n
-c
n
y
1
y
2
. . . y
n
Tabel 2.14. Koefisien Z pada Kondisi Optimal untuk Masalah Primal
Dengan mengganti Z
j
, metode simpleks dapat diinterpretasikan mencari nilai y
1
, y
2
, … , y
m
. Dimana :
Fungsi tujuan : Meminimalkan :
∑
=
=
m i
i i
y b
Z
1
Harus memenuhi fungsi kendala:
j m
i i
ij
c y
a ≤
∑
=1
, untuk j = 1, 2, … , n. ≥
i
y , untuk i = 1, 2, … , m.
Bentuk di atas yang kemudian dikenal sebagai bentuk dual dari masalah primal pada PL di atas. Sebagai konsekuensi nilai Z optimal
maksimasi pada masalah primal adalah nilai Z’ minimal pada masalah dual. Begitu juga jika masalah primalnya berupa fungsi tujuan minimasi maka
dualnya menjadi fungsi tujuan maksimasi. Dari hubungan di atas dapat disimpulkan bahwa:
1. Variabel-variabel pada semua model nilainya nonnegatif 2. Koefisien fungsi tujuan pada masalah primal adalah sisi kanan dari
masalah dual 3. Matriks koefisien pada masalah primal merupakan transpos matriks
koefisien pada masalah dual
34
Contoh 2.3. Masalah Primal – Dual Untuk menjelaskan masalah primal dual ke dalam contoh permasalahan lihat
contoh 2.1. Model matemática pada contoh 2.1 masalah primalnya asli adalah sebagai berikut.
Fungsi tujuan: Maks
: Z = 8000x
1
+ 6000x
2
harus memenuhi 4 x
1
+ 4 x
2
≤ 100 3 x
1
+ 2 x
2
≤ 60 x
1
≥ 0, x
2
≥ 0 Dengan metode simpleks yang telah dijelaskan pada penyelesaian
contoh 2.1 di atas diperoleh penyelesaian optimal dengan nilai Zmaks = 170.000 dengan x
1
= 10 dan x
2
= 15. Model matemática dari contoh 2.1 dapat disusun sebagai masalah dualnya sebagai berikut.
Fungsi tujuan: Min
: Z’ = 100y
1
+ 60y
2
harus memenuhi 4 y
1
+ 3 y
2
≤ 8000 4 y
1
+ 2 y
2
≤ 6000 y
1
≥ 0, y
2
≥ 0. Untuk menyelesaiakan masalah dual di atas digunakan metode
simpleks seperti halnya pada penyelesaian masalah PL.
35
Penyelesaian: Langkah 1: Konversi pada bentuk standar.
Minimumkan : Z’ = 100y
1
+ 60y
2
Berdasarkan 4y
1
+ 3y
2
- S
1
= 8000 4y
1
+ 2y
2
- S
2
= 6000 y
1
, y
2
, S
1
, S
2
≥ 0 Untuk menyelesaikan masalah minimasi berbeda pada masalah
maksimasi, tambahkan variabel y
a
dan y
b
dengan koefisien M yaitu bilangan yang cukup besar. Sehingga diperoleh persamaan baru sebagai berikut.
Minimumkan : Z’ = 100y
1
+ 60y
2
Berdasarkan 4x
1
+ 3x
2
- S
1
+ y
a
= 120 4x
1
+ 2x
2
- S
2
+ y
b
= 180 x
1
, x
2
, S
1
, S
2
y
a
, y
b
, ≥ 0
Langkah 2: Menyusunan persamaan-persamaan di dalam tabel. Setelah formasi diubah kemudian disusun ke dalam tabel, dalam bentuk
simbol seperti tampak berikut.
100 60
M M
Kolom Penilaian
c
B
VdB Q
y
1
y
2
S
1
S
2
y
a
y
b
M y
a
8000 4
3 -1
1 M
y
b
6000 4
2 -1
1 Z
j
300M 8M
5M -M
-M M
M Zj-cj
8M-100 5M-60
-M -M
Tabel 2.15. Tabel Simpleks Awal untuk Masalah Dual
36
Langkah 3: Memilih kolom kunci. Kolom kunci adalah kolom dengan baris evaluasi terbesar yaitu 8M-100,
sehingga kolom kunci adalah memuat y
1
. Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci.
100 60
M M
Kolom Penilaian
c
B
VdB Q
y
1
y
2
S
1
S
2
y
a
y
b
M y
a
8000 4
3 -1
1 2000
M y
b
6000 4
2 -1
1 1500
ĸ Z
j
300M 8M
5M -M
-M M
M Zj-cj
8M-100 5M-60
-M -M
Ĺ
Kolom Kunci
Tabel 2.16. Pemilihan Kolom Kunci dan Baris Kunci untuk Tabel 2.15
Baris Kunci
Langkah 4: Mengubah nilai-nilai baris yang lain. Gantilah variabel dasar pada baris itu dengan variabel yang terdapat di bagian
atas kolom kunci. Nilai-nilai baris yang lain, selain pada baris kunci dapat diubah dengan rumus sebagai berikut.
100 60
M M
Kolom Penilaian
c
B
VdB Q
y
1
y
2
S
1
S
2
y
a
y
b
M y
a
2000 1
-1 1
1 -1
M y
b
1500 1
12 -14
14 Z
j
300M 100
M+50 -M M-25
M 25-M
Zj-cj M-10 -M
M-25 25-2M
Tabe l 2.17. Tabe l Nilai Baru Pertama untuk Pe rbaikan Tabe l 2.16
Langkah 5: Melanjutkan perbaikan atau perubahan Ulangi langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah 4 untuk
memperbaiki tabel-tabel yang telah di ubah nilainya. Perubahan berhenti setelah pada baris pertama fungsi tujuan tidak ada yang bernilai negatif.
37
100 60
M M
Kolom Penilaian
c
B
VdB Q
y
1
y
2
S
1
S
2
y
a
y
b
M y
a
2000 1
-1 1
1 -1
2000 100
y
1
1500 1
12 -14
14 3000
Z
j
300M 100
M+50 -M M-25
M 25-M
Zj-cj M-10 -M
M-25 25-2M
Tabel 2.18. Tabe l Pe milihan Kolom Kunci dan Baris Kunci untuk Tabe l 2.17
100 60
M M
Kolom Penilaian
c
B
VdB Q
y
1
y
2
S
1
S
2
y
a
y
b
60 y
2
2000 1
-1 1
1 -1
100 y
1
500 1
12 -34
12 14
Z
j
170000 100
60 10
15 M
25-M Zj-cj
10 15
10-M -35-M
Tabe l 2.19. Tabe l Nilai Baru Ke dua untuk Perbaikan Tabel 2.18
Dari tabel 2.13 baris evaluasi sudah tidak ada yang negatif, jadi program sudah optimal. Dengan demikian y
1
= 500 dan y
2
= 2000 dengan Z’
min
= 170000. Dari penyelesaian dual dan primal diperoleh nilai Z
maks
pada penyelesaian optimal primal sama dengan Z’
min
pada penyelesaian optimal dualnya.
Dari penyelesaian optimal masalah primal dual di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
1. Apabila primal adalah masalah maksimum dengan nilai Z adalah nilai fungsi tujuan dan Z’ adalah nilai fungsi tujuan dari dual, maka pada tabel
dari primal dan tabel dari dual berlaku Z ≤ Z’.
2. Pada tabel optimal Z
maks
= Z’
min
38
3. Apabila X optimal = a
1
, a
2
, … , a
n
adalah penyelesaian optimal dari primal, maka pada tabel optimal dari dual nilai-nilai a
1
, a
2
, … , a
n
terdapat pada baris penilaian Z
j
-c
j
4. Apabila Y optimal = b
1
, b
2
, … , b
m
adalah penyelesaian optimal dari dual, maka pada tabel optimal dari primal nilai-nilai b
1
, b
2
, … , b
m
terdapat pada baris penilaian Z
j
-c
j
5. Jika variable slack ke-i yaitu variable slack yang ditambahkan pada kendala ke-i dari primal tidak sama dengan nol S
i
≠ 0 dalam tabel primal, maka variable ke-i dalam dual akan sama dengan nol y
i
= 0. Sebaliknya jika variable ke-i pada dual tidak sama dengan nol y
i
≠ 0, maka variabel ke-i pada primal akan sama dengan nol S
i
= 0 6. Jika variabel x
j
muncul pada baris dalam tabel optimal primal, maka variabel slack atau surplus pada kendala ke-j pada tabel optimal dual akan
sama dengan nol S
j
= 0 Suyitno 1997:88.
2.3 Program Solver
Penyelesaian masalah linear dengan banyak variabel akan lebih mudah dengan menggunakan program komputer. Dalam hal ini program
komputer yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah yang akan dikaji adalah program Excel. Prinsip kerja utama dari program Excel adalah
memasukan data sebagai rumusan permasalahan yang terdiri dari optimasi dari fungsi maksimal atau minimal dan fungsi kendala. Rumusan yang
dimaksud dalam hal ini adalah bentuk matematika yang berupa fungsi linear.