PEMODELAN MATEMATIKA UNTUK LAJU PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSIS YANG BERGANTUNG PADA KEPADATAN PENDUDUK.

PEMODELAN MATEMATIKA UNTUK LAJU PENYEBARAN
PENYAKIT TUBERCULOSIS YANG BERGANTUNG PADA
KEPADATAN PENDUDUK
Oleh:
Daniel Munthe
NIM 409230009
Program Studi Matematika

SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sain

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2015

iv

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis ucapkan Kepada Tuhan Yesus Kristus atas kasih
Nya yang begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul “Pemodelan Matematika Untuk Laju Penyebaran Penyakit

Tuberculosis Yang Bergantung Pada Kepadatan Penduduk” ini dapat
terselesaikan dengan baik.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan
mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta
doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, pada
kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada: Bapak Prof. Dr. Ibnu
Hajar, M.Si., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan,
M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Bapak Dr. Edi Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika serta selaku
Pembimbing Akademik, ibu Dra.Faiz Ahyaningsih, M.Si., , Ibu Dra. Nerli
Khairani, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika, dan Ibu Dra. Hamidah
Nasution, M.Si selaku Pembimbing Skripsi yang telah meluangkan waktu dalam
memberikan pengarahan, bimbingan, dan petunjuk-petunjuk yang sangat berharga
selama penulisan skripsi ini sehingga skripsi ini dapat penulis selesaikan dengan
baik, Bapak Dr. Edi Syahputra, M.Pd, Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., dan Ibu

Susiana.M.Si, selaku dosen penguji penulis yang telah memberikan saran dan
masukan selama penulisan skripsi ini, Seluruh dosen dan pegawai di lingkungan
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan,
Bapak Drs. Banu Susanto, M.Si., selaku Kassubag Tata Usaha dan penanggung
jawab dalam penelitian penulis di Perpustakaan Universitas Negeri Medan.
Secara khusus dan istimewa penulis mengucapkan terima kasih dan
hormat kepada Ayahanda Pnt. Ngambah Munthe yang menjadi motivator penulis
sampai saat ini dan Ibunda Eleberti Sipayung,untuk semua kasih sayang, doa,
nasihat, dukungan, dan jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi..

iv

v

Ucapan terima kasih juga saya ucapkan kepada saudara penulis, kepada Adik saya
Michael Jimmy Munthe dan Matius Prima Munthe, terima kasih atas cinta, kasih
sayang, doa dan dukungan yang telah memotivasi dan memberi semangat bagi
saya untuk menyelesaikan studi.
Penulis juga mengucapkan terima kasih untuk teman-teman terdekat saya
Jesman Butar-Butar dan Yohanes Sihite yang membantu pengerjaan penelitian

ini. Tidak lupa pula penulis ucapkan terima kasih kepada sahabat-sahabat penulis:
neng Alfri, Andre JP, Erixon dan juga Naomi Widya yang selalu menemani dan
tak henti-hentinya memberikan dukungan, semangat dan doa,dan canda tawa yang
sering dilakukan bersama. Terimakasih pula untuk teman-teman seperjuangan :
Shinta, Dwita, Devi, Gomgom, Daning, Armansyah, dan teman-teman
seperjuangan Non-Dik’09 yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu yang
selama ini selalu memberikan doa, semangat dan dukungan selama penulisan
skripsi ini. Juga teman-teman satu kost, Ceria nangin, Nando, Nius Naga, Good
Sitopu terimakasih untuk semua bantuannya. Tak lupa juga buat Merina Tarigan
atas semangat yang selalu diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kata
sempurna. Untuk itu dengan segala kerendahan hati penulis mengharapkan kritik
dan saran membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat
bermanfaat bagi ilmu pengetahuan.
Medan,
Penulis,

Maret 2015

Daniel Munthe

NIM. 409230009

vi

DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan

i

Riwayat Hidup

ii

Abstrak

iii

Kata Pengantar

iv

Daftar Isi

vi

Daftar Gambar

viii

Daftar Tabel

ix

Daftar Lampiran

x

BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang

1.2 Rumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tujuan Penelitian
1.5 Manfaat Penelitian

1
4
4
5
5

BAB II LANDASAN TEORI
2.1Epidemiologi
2.1.1 Peranan Epidemiologi
2.1.2 Ruang Lingkup Epidemiologi
2.2 Penyakit Tuberculosis
2.2.1 Kuman Tuberculosis
2.2.2 Cara penularan Tuberculosis
2.2.3 Gejala-gejala TB
2.2.4 Pengobatan TB

2.3Sistem Kompartemen
2.4 Model SEIR
2.5 PersamaanDiferensial
2.5.1 Persamaan Diferensial
2.5.2 Persamaan Diferensial Biasa
2.5.3Persamaan Diferensial Biasa Linier dantak Linear
2.6 Nilai Eigen danFaktor Eigen
2.6.1 Nilai Eigen
2.6.2 Vektor Eigen
2.7 Titik Ekuilibrium (Titik Keseimbangan)

6
8
8
9
9
10
11
11
12

13
14
14
14
15
15
15
17
19

vii

2.7.1 Matriks Jacobian

2.8 Stabilitas dan Akar-akar Karakteristik
2.9 Bilangan Reproduksi Dasar
2.10 Spektrar Radius

20

20
22
24

BAB III METODE PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
3.2 Teknik Pengumpulan Data
3.3 Langkah- Langkah Penelitian
3.4 Diagram Alur

25
25
25
26

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Model Matimatika
4.1.1 Model Epidemik Tuberculosis
4.1.2 Asumsi-Asumsi
4.1.3 Konstruksi Model

4.2 Menentukan Nilai Ro
4.3 Titik Kesetimbangan bebas Penyakit p 0
4.4 Titik Kesetimbangan Endemik
4.5 Menentukan Kesetabilan Titik Kesetimbangan
4.4.1 Kesetabilan Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
4.5.2 Kesetabilan Titik Endemik
4.5 Hasil Simulasi

27
27
28
29
34
35
36
38
40
42
44

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran

47
49

LAMPIRAN

50

DAFTAR PUSTAKA

ix

Daftar Tabel
Tabel 2.1 Persamaan Diferensial dan linieritas

ix

15

viii

Daftar Gambar
Gambar 2.1 Sistem Kompartemen

12

Gambar 2.2 Diagram kompartemen model SEIR

13

Gambar 3.1. Diagram Alur Penelitian

26

Gambar 4.1 Diagram Kompartemen Penyakit Tuberculosis

30

viii

x

DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Susceptibel......................................................................................50
Lampiran Exposed..........................................................................................50
Lampiran Infectious........................................................................................51
Lampiran Recovery.........................................................................................51

BAB I
PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang
Perkembangan ilmu pengetahuan dibidang Matematika memberikan
peranan penting dalam membantu menganalisa dan mengontrol penyebaran
penyakit. Kejadian-kejadian yang ada di sekitar dapat diamati dan dianalisis
dalam bentuk model matematika.
Model

matematika

merupakan

sekumpulan

persamaan

atau

pertidaksamaan yang mengungkapkan perilaku suatu permasalahan yang nyata.
Model Matematika dibuat berdasarkan asumsi-asumsi. Model matematika yang
telah dibentuk akan dilakukan analisa, agar model yang dibuat representatif
terhadap permasalahan yang dibahas. Banyak permasalah yang timbul dari
berbagai bidang ilmu, misalnya bidang kesehatan, kimia, biologi, dan yang lainlain yang dapat dibuat model matematikanya.
Pada bidang kesehatan model matematika digunakan untuk mengetahui
bagaimana penyebaran suatu penyakit menular maupun tidak menular dan
penderita jumlah suatu penyakit baik yang berupa epidemic maupun tidak.
Beberapa penyakit seperti AIDS, H1N1, TB, mempunyai periode laten, artinya ada
selang waktu dimana suatu individu terinfeksi sampai muncul penyakit. Periode
laten inilah yang menjadi alasan pembentukan model SEIR.
(Ekawati)
Tuberculosis (TB) merupakan salah satu penyakit penyebab kematian
penduduk di negara-negara berkembang yang disebabkan oleh bakteri
mycobacterium. Gejala-gejala penderita TB diantaranya batuk-batuk, sesak dada,
nafas pendek, hilang nafsu makan, berat badan turun, demam, kedinginan, dan
kelelahan. Objek TB biasanya adalah anak-anak dan orang yang lemah kekebalan
tubuhnya. Pada waktu penderita batuk, butir-butir air ludah berterbangan diudara
dan terhisap oleh orang yang sehat dan masuk kedalam parunya yang kemudian
menyebabkan penyakit tuberculosis.

1

2

Penyakit Tuberculosis (TB) paru, merupakan penyakit kronis yang masih
menjadi masalah kesehatan didunia maupun di Indonesia. WHO menyatakan
bahwa TB saat ini telah menjadi ancaman global. Diperkirakan 1,9 milyar
manusia atau sepertiga penduduk dunia terinfeksi penyakit ini. Setiap tahun
terjadi sekitar 9 juta penderita baru TB dengan kematian sebesar 3 juta orang.
Dinegara berkembang kematian mencakup 25 % dari keseluruhan kasus, yang
sebenarnya dapat dicegah dengan telah ditemukannya kuman penyebab TB.
(Nita, 2012)
Meskipun menular, tetapi orang tertular tuberculosis tidak semudah
tertular flu. Penularan penyakit ini memerlukan waktu pemaparan yang cukup
lama dan intensif dengan sumber penyakit (penular). Seseorang yang kesehatan
fisiknya baik, memerlukan kontak dengan penderita TB aktif setidaknya 8 jam
sehari selama 6 bulan untuk dapat terinfeksi. Sementara masa inkubasi TB sendiri,
yaitu waktu yang diperlukan dari mula terinfeksi sampai menjadi sakit
diperkirakan 6 bulan.
Kepadatan penduduk merupakan faktor resiko terhadap kejadian TB
(Depkes RI, 2006). Rumah atau daerah yang terlalu sempit atau terlalu banyak
penghuninya akan menyebabkan penularan penyakit saluran pernapasan misalnya
TB paru akan mudah terjadi antara penghuni rumah.
(Prasetyowati Dan Chatarina, 2009)
Di Indonesia, TB merupakan masalah utama kesehatan masyarakat.
Jumlah pasien TB di Indonesia merupakan terbanyak ke-3 didunia setelah india
dan china dengan jumlah pasien 10% dari jumlah pasien TB didunia. Resiko
penularan setiap tahun (Annual Risk of Tuberculosis Infection = ARTI) di
Indonesia cukup tinggi bervariasi antara 1-3%. Pada daerah dengan ARTI 1%
berarti setiap tahun diantara 1000 penduduk, 10 orang akan terinfeksi. Sebagian
dari orang yang terinfeksi tidak akan menjadi penderita tuberculosis, hanya sekitar
10% dari yang terinfeksi akan menjadi penderita tuberculosis (Depkes, 2004).
Terjadinya peningkatan kasus ini disebabkan oleh daya tahan tubuh yang lemah,
status gizi dan kebersihan diri individu dan kepadatan hunian lingkungan tempat
tinggal.

3

Sepanjang tahun 2010, sebanyak 73,8 persen penderita Tuberculosis (TB)
paru BTA (+) di Sumatera Utara. Berdasarkan survey, dari jumlah tersebut, kota
medan merupakan yang terbesar penderitanya. Lima kabupaten/kota dengan
penderita terbanyak pada Triwulan I hingga III berdasarkan jumlah penduduk
yaitu kota medan (2152), Pematang Siantar (288), Binjai (260), Tanjung Balai
(150) dan Tebing Tinggi (145). (Indra Widyastuti. “Medan terbesar penderita TB
paru”. Waspada online 13 feb 2014). Karena kota Medan merupakan yang
terbesar penduduknya menderita TB, maka, untuk simulasi akan digunakan data
penderita yang ada dikota medan.
Dengan besarnya jumlah penderita Tuberculosis di Sumatera Utara, perlu
adanya suatu penelitian dan pemikiran yang dilakukan selain dari pihak kesehatan
juga dari bidang-bidang ilmu lainnya. Seperti yang dilakukan dalam penelitian,
yaitu memikirkan suatu cara atau suatu pemecahan yang dapat menggambarkan
perilaku penyakit. Salah satu cara untuk memahami dan mengidentifikasi
hubungan penyebaran penyakit adalah dengan pemodelan matematika. Model
matematika biasanya dengan menyederhanakan sistem yang rumit. Model ini juga
dapat memprediksi laju jumlah populasi yang akan terinfeksi. Beberapa model
matematika yang biasa digunakan untuk memodelkan penyebaran penyakit seperti
SIR, SIRV, dan SEIR.
Model epidemik yang digunakan dalam penelitian ini adalah model
epidemik SEIR. Ngwenya (2009) menyebutkan bahwa model epidemik SEIR
memuat empat kompertemen yaitu Susceptible, Exposed, Infected dan Recoverey.
Susceptible (S) yaitu terdiri dari individu-individu yang sehat tetapi rentan
terhadap penyakit, kelompok individu Exposed (E) yang terdiri dari individuindividu yang tertular penyakit tetapi belum mempunyai kemampuan untuk
menularkan penyakit kepada orang lain, kelompok individu Infectius (I) yang
terdiri dari individu-individuyang tertular penyakit dan sudah mempunyai
kemampuan menularkan penyakit kepada orang lain, dan kelompok individu
Recovery (R) yang terdiri dari individu-individu yang telah sembuh dari penyakit.
Secara khusus dalam penelitian ini akan mengkaji penyebaran penyakit
Tuberculosis dengan efek kepadatan penduduk. Pengkajian ini dilakukan dengan

4

mengubah model derivative yang sudah ada. Model derivative yang dilambangkan
berupa suatu persamaan derivative non linier.
Model epidemik dalam penelitian ini dibentuk dengan memasukkan
parameter ukuran luas wilayah yang ditempati oleh suatu populasi dalam masa
penularan

penyakit

(tranmisia)

sehingga

dapat

membantu

menganalisa

ketergantungan kepadatan penduduk dari dinamika penyakit tuberculosis.
Diasumsikan bahwa terdapat pencampuran homogen dari populasi dimana semua
orang mempunyai peluang yang sama untuk terinfeksi melalui suatu kontak
dengan individu penginfeksi. Populasi tersebar keseluruhan wilayah dengan luas
yang sangat kecil. Diasumsikan juga bahwa semua imigran dan kelahiran tidak
terinfeksi sehingga masuk kedalam kelas Susceptible (individu yang rentan).
Banyaknya kasus baru atau infeksi yang terjadi karena adanya satu penderita yang
masuk kedalam populasi yang sehat disebut Basic Reproductive Number (R0).
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian diatas, permasalahan yang dibahas adalah :
1. Bagaimana mengembangkan model Epidemi SEIR penyebaran penyakit
Tuberculosis dengan efek kepadatan penduduk ?
2. Bagaimana menetukan nilai bilangan reproduksi dasar (Ro) yaitu jumlah
individu yang akan terinfeksi jika satu individu terinfeksi masuk ke
populasi menggunakan Metode Next Generation Matriks ?
3. Melihat pengaruh antara kepadatan penduduk dengan nilai bilangan
reproduksi (Ro) ?
1.3 Batasan Masalah
Pembahasan permasalah dalam penelitian ini difokuskan pada batasanbatasan masalah, yakni:
1. Populasi bersifat homogen, dimana setiap orang mempunyai peluang yang
sama untuk terinfeksi melalui suatu kontak dengan individu penginfeksi.
2. Penyebaran

populasi

bersifat

terbuka

artinya

pertambahan

atau

pengurangan penduduk disamping diakibatkan oleh kelahiran dan
kematian juga dapat diakibatkan imigrasi.

5

3. Model epidemik yang digunakan adalah model epidemik tipe seir yang
memiliki empat populasi yaitu Susceptible, Exposed, Infection dan
Recovery.
4. Diasumsikan juga bahwa semua imigran dan kelahiran tidak terinfeksi
sehingga masuk dalam kelas Susceptible (individu yang rentan)
5. Individu yang telah sembuh (Recovery) dapat kembali ke kelas laten
(Exposed)
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan perumusan masalah, penulisan ini bertujuan untuk :
1. Pembentukan

model

matematika

untuk

Tuberculosis

(TB)

yang

bergantung pada kepadatan penduduk.
2. Menentukan nilai bilangan dasar (RO) dengan menggunakan Metode Next
Generation Matriks.
3. Melihat pengaruh kepadatan penduduk terhadap nilai bilangan dasar (RO).
1.5 Manfaat penulisan
Hasil penulisan ini diharapkan mempunyai manfaat bagi pembaca pada
umumnya dan penulis pada khususnya, selain itu diharapkan :
1. Bagi peneliti dapat menambah pengetahuan dibidang metematika khusus
nya tentang model metematika suatu penyakit,
2. Memberikan masukan kepada penulis lain yang ingin mengembangkan
penulisan tentang model penyebaran penyakit tuberculosis,
3

Memberikan masukan ke dinas kesehatan sehingga penanggulangan TB
dapat lebih baik.

BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1

Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan dalam skripsi ini dapat disimpulkan beberapa hal sebagai

berikut:
1. Dengan mengembangkan model epidemik SEIR maka didapatkan model epidemik
pada penyakit Tuberculosis yang bergantung pada kepadatan penduduk, parameter
kepadatan penduduk didapatkan dari membandingkan jumlah individu yang terinfeksi
(I) dengan luas daerah yang ditempati oleh individu yang terinfeksi (A). Model
epidemi tersebut adalah :
I
dS
   S   1 cS
A
dt

Dimana kelas Susceptibe adalah seluruh individu rentan, yang berkurang karena
adanya kematian alami (µS) dan adanya individu yang tertular penyakit
dE
I
I
  1 cS  ( E  kE  r1 E )   2 cR
dt
A
A

Kelas Exposed berasal dari individu rentan yang terinfeksi penyakit namun masih
dalam tahap laten, dan berkurang karena adanya kematian alami, kematian karena
penyakit dan karena sembuhnya individu, namun dapat bertambah lagi karena ada
individu sembuh yang kembali terserang penyakit.
dI
 kE  I  dI  r2 I
dt

Kelas Infectious berasal dari kelas laten yang menjadi dapat menularkan, lalu
berkurang karena adanya individu infectious yang mati alami, lalu karena adanya
individu infectious yang mati karena penyakit, dan adanya individu yang sembuh dari
individu infectious

47

48
I
dR
 r1 E  r2 I  R   2 cR
A
dt

Individu Recovery berasal dari individu yang sembuh dari kelas Exposed dan Infectious
dan berkurang karena adanya kematian alami dan karena adanya individu sembuh yang
terkena penyakit kembali.

2. Dengan

persamaan

model

dinamika

diperoleh

titik

dengan � adalah tingkat rekrutmen dan

ekuilibrium bebas penyakit
μ

penyakit Tuberkulosis

adalah tingkat kematian alami. Dari analisa kestabilan didapat bahwa titik

ekuilibrium bebas penyakit akan stabil jika

Dimana

A




  1 c
A 
k

 

  k  r1    d  r2




 .



 1c 
k


adalah karakteristik persatuan individu dan 




k
r
d
r


1 
2 


adalah peluang kelangsungan hidup dari individu laten ke individu terinfeksi Artinya,
untuk mendapatkan populasi bebas TB yang stabil daerah karakteristik per
satuan individu harus selalu lebih besar dari hasil kali peluang kelangsungan
hidup dari tingkat laten ke tingkat infeksi dengan banyaknya infeksi laten yang
dihasilkan oleh individu penginfeksi selama masa infeksinya.
3. Dengan persamaan model dinamika penyakit Tuberculosis diperoleh juga titik
ekuilibrium endemik yaitu :
ρe = (S*, E*, I*) = (

4. Dengan

A (   d  r2 )( R0  1) A ( R0  1)

,
,
)
k1c
1c
R0 

menggunakan

metode

next generation

matrix

didefinisikan R0=

 

k
   ( 1   2 )c 
 A    d  r    k  r  .


2 
1



a. Jika

 

    (  1   2 )c 
k


didapat 
 > 
 A     d  r2    k  r1 



49


 A     d  r2    k  r1 

, didapat 

 > 
k

     (  1   2 )c 



b. Jika



 A 
5. Kepadatan individu yang rentan 
 menekankan pada ukuran luas wilayah
 



dan jumlah penduduk. Jika luas wilayah cukup besar dan kepadatan penduduk
lebih kecil akan mengakibatkan nilai bilangan reproduksi dasar (RO) menjadi lebih
kecil. Dan jika ukuran luas wilayah kecil, kepadatan penduduk besar akan
bertambah berakibat nilai bilangan reproduksi dasar (RO) atau nilai infeksi sekunder
menjadi lebih besar.
5.2

Saran

Melalui penulisan dan pembahasan skripsi ini perlu dikembangkan pembahasan
dan

penelitian lebih

lanjut

untuk

model

matematika

untuk dinamika

penyakit

Tuberkulosis yang bergantung pada kepadatan penduduk dengan menganalisa kestabilan
pada titik kesetimbangan endemik.