Simulasi Sebaran Waktu Antar Kedatangan Pada Model Antrian Tunggal
SIMULASI SEBARANWAI 1) ........................................................... 10
Proporsi pendugaan untuk sebaran Weibull (a." 1, J3 " 1) .................................. 10
Rata-rata Lq Weibull (a. 2: 1, J3 2: 1) dan pengasumsian Eksponensial .................... 11
Faktor utilisasi Weibull (a." 1, J3" 1) ..... .............. .......................................... 11
Proporsi pendugaan untuk sebaran Weibull (a. < 1, J3" 1 ) ........................•....... 11
Rata-rata Lq Weibull (a. < 1, J3" 1) danpengasumsian Eksponensial ................... 12
Faktor utilisasi Weibull (a. < 1, J3" 1) ..................................... ........................ 12
Proporsi pendugaan untuk sebaran Normal ................................................... 13
Rata-rata Lq Normal dan pengasumsian Eksponensial ..................................... 13
Faktor utilisasi Normal .......................................................... .................... 13
DAFTARGAMBAR
I.
Halaman
Node CREATE, QUEUE,jalur ACTN1TY, TERMINATE, COLCT ........................ 5
DAFTAR LAMPlRAN
Halaman
Teladan diagram jaringan grafis, perintah eksekusi program untuk sebaran waktu antar kedatangan Normal (2,1) dan sebaran waktu pelayanan Eksponensial (1)... 15
2. Teladan keluaran SLAM II untuk sebaran waktu antar kedatangan Normal (2,1)
dan sebaran waktu pelayanan Eksponensial (1) .................................. ... .... ... ... 16
3. Hasil pengujian kesalingbebasan data simulasi ............................................... 17
4. A. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Gamma ( a." 1, J3 " 1 ) ....... 18
B. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Gamma ( a. < 1, J3 "1) ....... 18
C. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Weibull (a." 1, J3" 1) ....... 18
D. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Weibull ( a. < 1, J3 "1) ....... 18
E. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk Normal ( J.1 > 1, (J > 1 ) ..... ..... ........ 18
5. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Gamma (a." 1, J3" 1 ) ............................... 19
6. A. Korelasi Gamma ( a. " 1, J3 " 1 ) dengan pengasumsian Eksponensial ............. 21
B. Korelasi Gamma (a. < 1, J3 > 1) dengan pengasumsian Eksponensial ............. 21
C. Korelasi Weibull (a." 1, J3 2: 1) dengan pengasumsian Eksponensial .............. 21
D. Korelasi Weibull (a. < 1, J3" 1) dengan pengasumsian Eksponensial .............. 21
E. Korelasi Normal dengan pengasumsian Eksponensial ............................... 21
7. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Gamma (a. < 1, J3 > 1 ) .............................. 22
8. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Weibull (a. 2: 1, J3 "1) ............................... 24
9. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Weibull (a. < 1, J3" 1) ............................... 26
10. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Normal ................................................. 28
1.
1
PENDAHULUAN
TINJAUANPUSTAKA
Pemodelan antrian pada umumnya
menggunakan
asumsi
bahwa
proses
kedatangan dan/ atau waktu pelayanan
mengikuti sebaran Eksponensial Asumsi ini
melandasi pembentukan proses kelahirankematian. Penurunan persamaan dati proses
kelahiran-kematian ini menghasilkan berbagai
karakteristik
sistem
antrian.
Namun
kenyataannya, proses kedatangan dan/ atau
waktu pelayanan tidak selamanya mengikuti
sebaran Eksponensial Hal ini menyebabkan
analisis hasil pemodelan antrian menjadi
semakin kompleks dan suut untuk dikerjakan
(Hillier dan Lieberman, 1989). Solusi model ini
menurut WUlSton (1994) membutuhkan
formulasi model matematis tingkat lanjut
untuk memodifikasi proses
kelahirankematian (modified birth and death process).
Taha
(1992)
menyarankan
untuk
menggtmakan silnulasi dalam mengatasi
pel'masalahan ini
Apabila persamaan baku model antrian
yang
menggunakan
asumsi
proses
kedatangan dan/ atau waktu pelayanan
menyebar Eksponensial tetap dipaksakan
untuk digunakan maka akan dihasilkan
kesilnpulan yang tidak valid. Kegagalan
untuk menenhikan sebaran yang tepat dati
proses-proses itu dapat juga mempengaruhi
ketepatan hasil model antrian (Law dan
Kelton, 1991).
Tujuan peneutian ini adalah untuk :
o Memverifikasi pengaruh sebaran waktu
antar kedatangan selain Eksponensial
terhadap karakteristik antrian tunggal
(M/M/1) dengan (a/M/1) dilnana a dapat
mengikuti sebaran Gamma, Weibull dan
Normal
l!l Menentukan apakah terdapat pola dati
penetapan parameter sebaran terhadap
salah satu karakteristik antrian yaitu ratarata banyaknya unit kedatangan yang
menunggu per unit waktu (Lq).
Pemodelan Anman (M/M/l) : (GD/co/co)
Antrian terjadi apabila unit-unit yang
membutuhkan pelayanan tidak dapat dilayani
langsung (Trueman, 1974). Bentuk
model
antrian distandarisasikan dengan notasi
Kendall-Lee sebagai (a/b/c) : (d/e/f) seperti
yang terlihat pada tabel1.
Tabel1. Notasimodel antrian
e
Jumlah maksilnum yang masih
dapat diterilna oleh sistem (dalam
antrian dan
Asumsi yang sering dipergunakan dalam
pemodelan antrian adalah :
o Sebaran waktu antar kedatangan dan
waktu pelayanan menyebar Eksponensial
l!l Disiplin antrian
dinyatakan dengan
sembarang disiplin (GD = general
discipline).
4il Kapasitas antrian sangat besar (tak
terbatas)
(I Populasi sumber input berukuran tak
terbatas dimana jumlah kedatangan
potensial tidak bergantung dati banyaknya
unit yang sedang berada dalam sistem
antrian (Trueman, 1974).
@ Unit kedatangan dianggap berperilaku
sabar selama menunggu untuk dilayani
(Trueman, 1974). Apabila pelayanan
sedang sibuk, maka hanya akan terjadi
fenomena blocking. Fenomena jockeying,
｢｡ｬｾｩｮｧ＠
dan reneging seringkali diasumsikan
tidak terjadi dalam sis tem.
Dalam jangka waktu yang lama maka
sistem akan mencapai suatu kondisi yang
stabil. Apabila kondisi stabil model antrian
telah dicapai maka dapat ditentukan beberapa
2
karakteristik antrian dan penjelasannya (lihat
Tabe12) sebagai berikut:
Lim
j ＮＺｎＢＨｃｾｌＩ､］Ｍ
Tabe12 Penjelasan karakteristik sistem
antrian
rata-rata
u = L; t -> '"
kedatangan yang menunggu per
o
rata-rata
banyaknya
unit
kedatangan yang sedang dilayani
unitwaktu
Lim A (t) = A; t -> '"
t
• w.
LimL __
J ］ｗ［ｮｾ＠
L
Io
Ws
D
n
waktu berada dalam
antrian
per
unit
LimL - q =Wq;n-> co
o n
Lim! N ,(u)du = L,;t ->
o
n
o
0::
t
LimI
S.
_J
n
memasuki
waktu
dalam
antrian
=Lq;t-).cc
qt
tmit
yang
rata-rata
N (u)du
t
rata-rata
kedatangan
n·
j'" 1
Lim
co
Proses Kelahiran-Kematian
1
= -
J..l
1
=-;n ---7 cc
Ws
Model dasar antrian menganggap bal1wa
proses kedatangan dan keberangkatan terjadi
menurut proses kelalriran-kematian (birlh and
dealh process).
Karakteristik antrian untuk {M/M/1}
(GD /00/ oo) selama kondisi stabil yaitu:
L = Lq+Ls
L = A' / (J.l (J.l- All + /..IJ.l
W= Wq+Ws
W = Lq/A + LsjA
Hubungan umum antara banyaknya unit
dengan waktu yang dipergunakan oleh unit
itu dinyatakan oleh fonnula antrian Little
(Winston, 1994) yaitu:
Untuk setiap sistem antrian pada kondis·
stabil, terdapat hubungan berikut :
L
Lq
L.
= AW
= AWq
= AWS
Misalkan ada sistem antrian (M/M/1) :
(FCFS/ 00/ oo). Jika slate (banyaknya orang
yang telah ada dalam waktu t) adalm j, maka
sifat
tak
mempunyai
ingatan
dari
Eksponensia!
mengimplikasikan
bmwa
peluang satu kedatangan terjadi dalam
interval [t, t+s] tidak akan tergantung kepada
telah berapa lama j orang itu berada di dalam
sistem dan dapat saja dinyatakan bmwa
seolah-olah baru satu kedatangan yang te'jadi
padawaktut
Jadi apabila waktu antar kedatangan tidak
menyebar
Eksponensial
maka
proses
kelahiran-kematian tidak lagi sesuai Artinya,
peluang satu kedatangan terjadi dalam
interval [t, t+s] akan terganhmg kepada telah
berapa lama j orang itu berada di dalam
sistem (Winston, 1994).
3
Proses Poisson
Proses Poisson berperanan penting dalam
memodelkan unit kedatangan yang acak
(Wolf,I989).
Misalkan interval waktu [O,t] diliagi atas n
interval yang sarna panjangnya (llt). Untuk
setiap interval asumsikan bahwa hanya satu
kedatangan yang dapat tetjadi dan tidak
pemah lebih dati satu. Peluang terdapatnya
satu kedatangan dalam interval yang kecil itu
mengikuti fungsi peluang Bernoulli (p).
Peluang ini besamya sarna untuk setiap
interval Misalkan A = np adalah banyaknya
kedatangan harapan dalam interval [O,t].
Maka banyaknya kedatangan (k) dalam
interval [O,t] itu dapat dinyatakan dalam
fungsi peluang Binomial
P(k I n,p) = C(n,p) pk (I_p)n.k
Misalkan dilakukan perbandingan antara :
P(k+ll n,p) = C(n,p) pk+! (I-p)n·k.!
P(k I n,p)
C(n,p) pk(I_p)n.k
(n-k)(p /I-p)/ (k+1)
sehingga diperoleh persamaan :
P(k+I I n,p) = (n-k)(p/I-p)/(k+I) X
P(k I n,p)
Untuk k = 0, maka :
P(I I n,p) = (np /I-p) P(O I n,p)
(A/I- (')../n» e"
Apabila M dipilih sekecil mungkin
sehingga ')../ n = p juga semakin kecil, maka
akan diperoleh untuk k kedatangan dalam
satu unit waktu :
P(k I n,p)
=
"k e -')k!
Terlihat bahwa P(N(I) = k) mengikuti sebaran
Poisson. Kalau selama t unit waktu, maka
P(N(t) = k) adalah:
P(k I n,p)
= (At)
k
e - ).'/k!
Misalkan kita merancang bahwa waktu
kedatangan itu dimulai dati t = 0. Kemudian
akan ditentukan sebaran dati peubah acak T
yang dinyatakan sebagai waktu dati
kedatangan sebelum ke waktu kedatangan
yang berikutnya Sebaran itu dinamakan
sebagai sebaran waktu antar kedatangan.
Misalkan k = 0, maka poet) = e .'t. Maka P! (t)
= 1 - poet) = 1 - e .'t. Ternhat bahwa
persamaan itu sarna dengan fungsi sebaran
Eksponensial
Suatu proses stokastik {N(t), t 0, jadi :
P (N(/+s) - N(t) = k) = e .)., (k)kjk!
untuk k,1,s '"
t
• w.
LimL __
J ］ｗ［ｮｾ＠
L
Io
Ws
D
n
waktu berada dalam
antrian
per
unit
LimL - q =Wq;n-> co
o n
Lim! N ,(u)du = L,;t ->
o
n
o
0::
t
LimI
S.
_J
n
memasuki
waktu
dalam
antrian
=Lq;t-).cc
qt
tmit
yang
rata-rata
N (u)du
t
rata-rata
kedatangan
n·
j'" 1
Lim
co
Proses Kelahiran-Kematian
1
= -
J..l
1
=-;n ---7 cc
Ws
Model dasar antrian menganggap bal1wa
proses kedatangan dan keberangkatan terjadi
menurut proses kelalriran-kematian (birlh and
dealh process).
Karakteristik antrian untuk {M/M/1}
(GD /00/ oo) selama kondisi stabil yaitu:
L = Lq+Ls
L = A' / (J.l (J.l- All + /..IJ.l
W= Wq+Ws
W = Lq/A + LsjA
Hubungan umum antara banyaknya unit
dengan waktu yang dipergunakan oleh unit
itu dinyatakan oleh fonnula antrian Little
(Winston, 1994) yaitu:
Untuk setiap sistem antrian pada kondis·
stabil, terdapat hubungan berikut :
L
Lq
L.
= AW
= AWq
= AWS
Misalkan ada sistem antrian (M/M/1) :
(FCFS/ 00/ oo). Jika slate (banyaknya orang
yang telah ada dalam waktu t) adalm j, maka
sifat
tak
mempunyai
ingatan
dari
Eksponensia!
mengimplikasikan
bmwa
peluang satu kedatangan terjadi dalam
interval [t, t+s] tidak akan tergantung kepada
telah berapa lama j orang itu berada di dalam
sistem dan dapat saja dinyatakan bmwa
seolah-olah baru satu kedatangan yang te'jadi
padawaktut
Jadi apabila waktu antar kedatangan tidak
menyebar
Eksponensial
maka
proses
kelahiran-kematian tidak lagi sesuai Artinya,
peluang satu kedatangan terjadi dalam
interval [t, t+s] akan terganhmg kepada telah
berapa lama j orang itu berada di dalam
sistem (Winston, 1994).
3
Proses Poisson
Proses Poisson berperanan penting dalam
memodelkan unit kedatangan yang acak
(Wolf,I989).
Misalkan interval waktu [O,t] diliagi atas n
interval yang sarna panjangnya (llt). Untuk
setiap interval asumsikan bahwa hanya satu
kedatangan yang dapat tetjadi dan tidak
pemah lebih dati satu. Peluang terdapatnya
satu kedatangan dalam interval yang kecil itu
mengikuti fungsi peluang Bernoulli (p).
Peluang ini besamya sarna untuk setiap
interval Misalkan A = np adalah banyaknya
kedatangan harapan dalam interval [O,t].
Maka banyaknya kedatangan (k) dalam
interval [O,t] itu dapat dinyatakan dalam
fungsi peluang Binomial
P(k I n,p) = C(n,p) pk (I_p)n.k
Misalkan dilakukan perbandingan antara :
P(k+ll n,p) = C(n,p) pk+! (I-p)n·k.!
P(k I n,p)
C(n,p) pk(I_p)n.k
(n-k)(p /I-p)/ (k+1)
sehingga diperoleh persamaan :
P(k+I I n,p) = (n-k)(p/I-p)/(k+I) X
P(k I n,p)
Untuk k = 0, maka :
P(I I n,p) = (np /I-p) P(O I n,p)
(A/I- (')../n» e"
Apabila M dipilih sekecil mungkin
sehingga ')../ n = p juga semakin kecil, maka
akan diperoleh untuk k kedatangan dalam
satu unit waktu :
P(k I n,p)
=
"k e -')k!
Terlihat bahwa P(N(I) = k) mengikuti sebaran
Poisson. Kalau selama t unit waktu, maka
P(N(t) = k) adalah:
P(k I n,p)
= (At)
k
e - ).'/k!
Misalkan kita merancang bahwa waktu
kedatangan itu dimulai dati t = 0. Kemudian
akan ditentukan sebaran dati peubah acak T
yang dinyatakan sebagai waktu dati
kedatangan sebelum ke waktu kedatangan
yang berikutnya Sebaran itu dinamakan
sebagai sebaran waktu antar kedatangan.
Misalkan k = 0, maka poet) = e .'t. Maka P! (t)
= 1 - poet) = 1 - e .'t. Ternhat bahwa
persamaan itu sarna dengan fungsi sebaran
Eksponensial
Suatu proses stokastik {N(t), t 0, jadi :
P (N(/+s) - N(t) = k) = e .)., (k)kjk!
untuk k,1,s
Proporsi pendugaan untuk sebaran Weibull (a." 1, J3 " 1) .................................. 10
Rata-rata Lq Weibull (a. 2: 1, J3 2: 1) dan pengasumsian Eksponensial .................... 11
Faktor utilisasi Weibull (a." 1, J3" 1) ..... .............. .......................................... 11
Proporsi pendugaan untuk sebaran Weibull (a. < 1, J3" 1 ) ........................•....... 11
Rata-rata Lq Weibull (a. < 1, J3" 1) danpengasumsian Eksponensial ................... 12
Faktor utilisasi Weibull (a. < 1, J3" 1) ..................................... ........................ 12
Proporsi pendugaan untuk sebaran Normal ................................................... 13
Rata-rata Lq Normal dan pengasumsian Eksponensial ..................................... 13
Faktor utilisasi Normal .......................................................... .................... 13
DAFTARGAMBAR
I.
Halaman
Node CREATE, QUEUE,jalur ACTN1TY, TERMINATE, COLCT ........................ 5
DAFTAR LAMPlRAN
Halaman
Teladan diagram jaringan grafis, perintah eksekusi program untuk sebaran waktu antar kedatangan Normal (2,1) dan sebaran waktu pelayanan Eksponensial (1)... 15
2. Teladan keluaran SLAM II untuk sebaran waktu antar kedatangan Normal (2,1)
dan sebaran waktu pelayanan Eksponensial (1) .................................. ... .... ... ... 16
3. Hasil pengujian kesalingbebasan data simulasi ............................................... 17
4. A. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Gamma ( a." 1, J3 " 1 ) ....... 18
B. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Gamma ( a. < 1, J3 "1) ....... 18
C. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Weibull (a." 1, J3" 1) ....... 18
D. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk sebaran Weibull ( a. < 1, J3 "1) ....... 18
E. Deskripsi waktu antar kedatangan untuk Normal ( J.1 > 1, (J > 1 ) ..... ..... ........ 18
5. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Gamma (a." 1, J3" 1 ) ............................... 19
6. A. Korelasi Gamma ( a. " 1, J3 " 1 ) dengan pengasumsian Eksponensial ............. 21
B. Korelasi Gamma (a. < 1, J3 > 1) dengan pengasumsian Eksponensial ............. 21
C. Korelasi Weibull (a." 1, J3 2: 1) dengan pengasumsian Eksponensial .............. 21
D. Korelasi Weibull (a. < 1, J3" 1) dengan pengasumsian Eksponensial .............. 21
E. Korelasi Normal dengan pengasumsian Eksponensial ............................... 21
7. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Gamma (a. < 1, J3 > 1 ) .............................. 22
8. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Weibull (a. 2: 1, J3 "1) ............................... 24
9. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Weibull (a. < 1, J3" 1) ............................... 26
10. Plot analisis kepekaan untuk sebaran Normal ................................................. 28
1.
1
PENDAHULUAN
TINJAUANPUSTAKA
Pemodelan antrian pada umumnya
menggunakan
asumsi
bahwa
proses
kedatangan dan/ atau waktu pelayanan
mengikuti sebaran Eksponensial Asumsi ini
melandasi pembentukan proses kelahirankematian. Penurunan persamaan dati proses
kelahiran-kematian ini menghasilkan berbagai
karakteristik
sistem
antrian.
Namun
kenyataannya, proses kedatangan dan/ atau
waktu pelayanan tidak selamanya mengikuti
sebaran Eksponensial Hal ini menyebabkan
analisis hasil pemodelan antrian menjadi
semakin kompleks dan suut untuk dikerjakan
(Hillier dan Lieberman, 1989). Solusi model ini
menurut WUlSton (1994) membutuhkan
formulasi model matematis tingkat lanjut
untuk memodifikasi proses
kelahirankematian (modified birth and death process).
Taha
(1992)
menyarankan
untuk
menggtmakan silnulasi dalam mengatasi
pel'masalahan ini
Apabila persamaan baku model antrian
yang
menggunakan
asumsi
proses
kedatangan dan/ atau waktu pelayanan
menyebar Eksponensial tetap dipaksakan
untuk digunakan maka akan dihasilkan
kesilnpulan yang tidak valid. Kegagalan
untuk menenhikan sebaran yang tepat dati
proses-proses itu dapat juga mempengaruhi
ketepatan hasil model antrian (Law dan
Kelton, 1991).
Tujuan peneutian ini adalah untuk :
o Memverifikasi pengaruh sebaran waktu
antar kedatangan selain Eksponensial
terhadap karakteristik antrian tunggal
(M/M/1) dengan (a/M/1) dilnana a dapat
mengikuti sebaran Gamma, Weibull dan
Normal
l!l Menentukan apakah terdapat pola dati
penetapan parameter sebaran terhadap
salah satu karakteristik antrian yaitu ratarata banyaknya unit kedatangan yang
menunggu per unit waktu (Lq).
Pemodelan Anman (M/M/l) : (GD/co/co)
Antrian terjadi apabila unit-unit yang
membutuhkan pelayanan tidak dapat dilayani
langsung (Trueman, 1974). Bentuk
model
antrian distandarisasikan dengan notasi
Kendall-Lee sebagai (a/b/c) : (d/e/f) seperti
yang terlihat pada tabel1.
Tabel1. Notasimodel antrian
e
Jumlah maksilnum yang masih
dapat diterilna oleh sistem (dalam
antrian dan
Asumsi yang sering dipergunakan dalam
pemodelan antrian adalah :
o Sebaran waktu antar kedatangan dan
waktu pelayanan menyebar Eksponensial
l!l Disiplin antrian
dinyatakan dengan
sembarang disiplin (GD = general
discipline).
4il Kapasitas antrian sangat besar (tak
terbatas)
(I Populasi sumber input berukuran tak
terbatas dimana jumlah kedatangan
potensial tidak bergantung dati banyaknya
unit yang sedang berada dalam sistem
antrian (Trueman, 1974).
@ Unit kedatangan dianggap berperilaku
sabar selama menunggu untuk dilayani
(Trueman, 1974). Apabila pelayanan
sedang sibuk, maka hanya akan terjadi
fenomena blocking. Fenomena jockeying,
｢｡ｬｾｩｮｧ＠
dan reneging seringkali diasumsikan
tidak terjadi dalam sis tem.
Dalam jangka waktu yang lama maka
sistem akan mencapai suatu kondisi yang
stabil. Apabila kondisi stabil model antrian
telah dicapai maka dapat ditentukan beberapa
2
karakteristik antrian dan penjelasannya (lihat
Tabe12) sebagai berikut:
Lim
j ＮＺｎＢＨｃｾｌＩ､］Ｍ
Tabe12 Penjelasan karakteristik sistem
antrian
rata-rata
u = L; t -> '"
kedatangan yang menunggu per
o
rata-rata
banyaknya
unit
kedatangan yang sedang dilayani
unitwaktu
Lim A (t) = A; t -> '"
t
• w.
LimL __
J ］ｗ［ｮｾ＠
L
Io
Ws
D
n
waktu berada dalam
antrian
per
unit
LimL - q =Wq;n-> co
o n
Lim! N ,(u)du = L,;t ->
o
n
o
0::
t
LimI
S.
_J
n
memasuki
waktu
dalam
antrian
=Lq;t-).cc
qt
tmit
yang
rata-rata
N (u)du
t
rata-rata
kedatangan
n·
j'" 1
Lim
co
Proses Kelahiran-Kematian
1
= -
J..l
1
=-;n ---7 cc
Ws
Model dasar antrian menganggap bal1wa
proses kedatangan dan keberangkatan terjadi
menurut proses kelalriran-kematian (birlh and
dealh process).
Karakteristik antrian untuk {M/M/1}
(GD /00/ oo) selama kondisi stabil yaitu:
L = Lq+Ls
L = A' / (J.l (J.l- All + /..IJ.l
W= Wq+Ws
W = Lq/A + LsjA
Hubungan umum antara banyaknya unit
dengan waktu yang dipergunakan oleh unit
itu dinyatakan oleh fonnula antrian Little
(Winston, 1994) yaitu:
Untuk setiap sistem antrian pada kondis·
stabil, terdapat hubungan berikut :
L
Lq
L.
= AW
= AWq
= AWS
Misalkan ada sistem antrian (M/M/1) :
(FCFS/ 00/ oo). Jika slate (banyaknya orang
yang telah ada dalam waktu t) adalm j, maka
sifat
tak
mempunyai
ingatan
dari
Eksponensia!
mengimplikasikan
bmwa
peluang satu kedatangan terjadi dalam
interval [t, t+s] tidak akan tergantung kepada
telah berapa lama j orang itu berada di dalam
sistem dan dapat saja dinyatakan bmwa
seolah-olah baru satu kedatangan yang te'jadi
padawaktut
Jadi apabila waktu antar kedatangan tidak
menyebar
Eksponensial
maka
proses
kelahiran-kematian tidak lagi sesuai Artinya,
peluang satu kedatangan terjadi dalam
interval [t, t+s] akan terganhmg kepada telah
berapa lama j orang itu berada di dalam
sistem (Winston, 1994).
3
Proses Poisson
Proses Poisson berperanan penting dalam
memodelkan unit kedatangan yang acak
(Wolf,I989).
Misalkan interval waktu [O,t] diliagi atas n
interval yang sarna panjangnya (llt). Untuk
setiap interval asumsikan bahwa hanya satu
kedatangan yang dapat tetjadi dan tidak
pemah lebih dati satu. Peluang terdapatnya
satu kedatangan dalam interval yang kecil itu
mengikuti fungsi peluang Bernoulli (p).
Peluang ini besamya sarna untuk setiap
interval Misalkan A = np adalah banyaknya
kedatangan harapan dalam interval [O,t].
Maka banyaknya kedatangan (k) dalam
interval [O,t] itu dapat dinyatakan dalam
fungsi peluang Binomial
P(k I n,p) = C(n,p) pk (I_p)n.k
Misalkan dilakukan perbandingan antara :
P(k+ll n,p) = C(n,p) pk+! (I-p)n·k.!
P(k I n,p)
C(n,p) pk(I_p)n.k
(n-k)(p /I-p)/ (k+1)
sehingga diperoleh persamaan :
P(k+I I n,p) = (n-k)(p/I-p)/(k+I) X
P(k I n,p)
Untuk k = 0, maka :
P(I I n,p) = (np /I-p) P(O I n,p)
(A/I- (')../n» e"
Apabila M dipilih sekecil mungkin
sehingga ')../ n = p juga semakin kecil, maka
akan diperoleh untuk k kedatangan dalam
satu unit waktu :
P(k I n,p)
=
"k e -')k!
Terlihat bahwa P(N(I) = k) mengikuti sebaran
Poisson. Kalau selama t unit waktu, maka
P(N(t) = k) adalah:
P(k I n,p)
= (At)
k
e - ).'/k!
Misalkan kita merancang bahwa waktu
kedatangan itu dimulai dati t = 0. Kemudian
akan ditentukan sebaran dati peubah acak T
yang dinyatakan sebagai waktu dati
kedatangan sebelum ke waktu kedatangan
yang berikutnya Sebaran itu dinamakan
sebagai sebaran waktu antar kedatangan.
Misalkan k = 0, maka poet) = e .'t. Maka P! (t)
= 1 - poet) = 1 - e .'t. Ternhat bahwa
persamaan itu sarna dengan fungsi sebaran
Eksponensial
Suatu proses stokastik {N(t), t 0, jadi :
P (N(/+s) - N(t) = k) = e .)., (k)kjk!
untuk k,1,s '"
t
• w.
LimL __
J ］ｗ［ｮｾ＠
L
Io
Ws
D
n
waktu berada dalam
antrian
per
unit
LimL - q =Wq;n-> co
o n
Lim! N ,(u)du = L,;t ->
o
n
o
0::
t
LimI
S.
_J
n
memasuki
waktu
dalam
antrian
=Lq;t-).cc
qt
tmit
yang
rata-rata
N (u)du
t
rata-rata
kedatangan
n·
j'" 1
Lim
co
Proses Kelahiran-Kematian
1
= -
J..l
1
=-;n ---7 cc
Ws
Model dasar antrian menganggap bal1wa
proses kedatangan dan keberangkatan terjadi
menurut proses kelalriran-kematian (birlh and
dealh process).
Karakteristik antrian untuk {M/M/1}
(GD /00/ oo) selama kondisi stabil yaitu:
L = Lq+Ls
L = A' / (J.l (J.l- All + /..IJ.l
W= Wq+Ws
W = Lq/A + LsjA
Hubungan umum antara banyaknya unit
dengan waktu yang dipergunakan oleh unit
itu dinyatakan oleh fonnula antrian Little
(Winston, 1994) yaitu:
Untuk setiap sistem antrian pada kondis·
stabil, terdapat hubungan berikut :
L
Lq
L.
= AW
= AWq
= AWS
Misalkan ada sistem antrian (M/M/1) :
(FCFS/ 00/ oo). Jika slate (banyaknya orang
yang telah ada dalam waktu t) adalm j, maka
sifat
tak
mempunyai
ingatan
dari
Eksponensia!
mengimplikasikan
bmwa
peluang satu kedatangan terjadi dalam
interval [t, t+s] tidak akan tergantung kepada
telah berapa lama j orang itu berada di dalam
sistem dan dapat saja dinyatakan bmwa
seolah-olah baru satu kedatangan yang te'jadi
padawaktut
Jadi apabila waktu antar kedatangan tidak
menyebar
Eksponensial
maka
proses
kelahiran-kematian tidak lagi sesuai Artinya,
peluang satu kedatangan terjadi dalam
interval [t, t+s] akan terganhmg kepada telah
berapa lama j orang itu berada di dalam
sistem (Winston, 1994).
3
Proses Poisson
Proses Poisson berperanan penting dalam
memodelkan unit kedatangan yang acak
(Wolf,I989).
Misalkan interval waktu [O,t] diliagi atas n
interval yang sarna panjangnya (llt). Untuk
setiap interval asumsikan bahwa hanya satu
kedatangan yang dapat tetjadi dan tidak
pemah lebih dati satu. Peluang terdapatnya
satu kedatangan dalam interval yang kecil itu
mengikuti fungsi peluang Bernoulli (p).
Peluang ini besamya sarna untuk setiap
interval Misalkan A = np adalah banyaknya
kedatangan harapan dalam interval [O,t].
Maka banyaknya kedatangan (k) dalam
interval [O,t] itu dapat dinyatakan dalam
fungsi peluang Binomial
P(k I n,p) = C(n,p) pk (I_p)n.k
Misalkan dilakukan perbandingan antara :
P(k+ll n,p) = C(n,p) pk+! (I-p)n·k.!
P(k I n,p)
C(n,p) pk(I_p)n.k
(n-k)(p /I-p)/ (k+1)
sehingga diperoleh persamaan :
P(k+I I n,p) = (n-k)(p/I-p)/(k+I) X
P(k I n,p)
Untuk k = 0, maka :
P(I I n,p) = (np /I-p) P(O I n,p)
(A/I- (')../n» e"
Apabila M dipilih sekecil mungkin
sehingga ')../ n = p juga semakin kecil, maka
akan diperoleh untuk k kedatangan dalam
satu unit waktu :
P(k I n,p)
=
"k e -')k!
Terlihat bahwa P(N(I) = k) mengikuti sebaran
Poisson. Kalau selama t unit waktu, maka
P(N(t) = k) adalah:
P(k I n,p)
= (At)
k
e - ).'/k!
Misalkan kita merancang bahwa waktu
kedatangan itu dimulai dati t = 0. Kemudian
akan ditentukan sebaran dati peubah acak T
yang dinyatakan sebagai waktu dati
kedatangan sebelum ke waktu kedatangan
yang berikutnya Sebaran itu dinamakan
sebagai sebaran waktu antar kedatangan.
Misalkan k = 0, maka poet) = e .'t. Maka P! (t)
= 1 - poet) = 1 - e .'t. Ternhat bahwa
persamaan itu sarna dengan fungsi sebaran
Eksponensial
Suatu proses stokastik {N(t), t 0, jadi :
P (N(/+s) - N(t) = k) = e .)., (k)kjk!
untuk k,1,s