Model antrian dengan kedatangan berdistribusi poisson dan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial : studi kasus antrian prioritas layanan BPJS RS Panti Rapih.

vii ABSTRAK

Antrian adalah suatu kondisi dengan subyek-subyek menuju suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Masalah ini memerlukan model matematika untuk memahami perilaku sistem antrian. Model antrian dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial akan diulas dalam skripsi ini. Unsur-unsur antrian seperti model antrian, sikap subyek terhadap antrian, waktu tunggu, serta disiplin antrian mempunyai karakteristik yang harus dipelajari.

Dalam skripsi ini disiplin antrian yang digunakan adalah disiplin antrian prioritas yaitu pelayanan diberikan kepada subyek yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi dibanding subyek yang lain. Model antrian yang diterapkan untuk menganalisis antrian layanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yang bertujuan untuk mengevaluasi penyebab masalah antrian yang terjadi.

viii ABSTRACT

Queueing is a condition where the subjects go to a particular area to be served and face a lateness due to a busy-service mechanism. This problem needs a mathematical model to understand the queueing system behavior. The queueing model with Poisson distributed arrival and Exponential distributed service time will be discussed in this thesis. The elements of queue, such as the queue model, the subject behavior towards the queue, the waiting time, and the queue discipline respectively have characteristics that need to be studied.

In this thesis the queue discipline used is priority queueing discipline, that is, a service is given first to the subjects having higher priority than others. The queueing model is applied to analyze the BPJS queueing service at Panti Rapih Hospital Yogyakarta. It aims to evaluate the factors causes the queueing problem. Keywords: Queueing priority, Exponential Distribution Time Service, Queueing system.

i

MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN

BERDISTRIBUSI POISSON DAN WAKTU PELAYANAN

BERDISTRIBUSI EKSPONENSIAL

(Studi Kasus: Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun oleh: Amalya Widiastuti

NIM: 123114017

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

ii

THE QUEUEING MODEL WITH POISSON DISTRIBUTED

ARRIVAL AND EXPONENTIAL DISTRIBUTED SERVICE

TIME

(Case Study: Priority Queue of BPJS Service at

Panti Rapih Hospital)

A THESIS

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by: Amalya Widiastuti Student ID: 123114017

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

iii SKRIPSI

MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI

EKSPONENSIAL

(Studi Kasus : Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)

Disusun oleh: Nama: Amalya Widiastuti

NIM: 123114017

Telah disetujui oleh:

Dosen pembimbing skripsi

Ir. Ig Aris Dwiatmoko, M.Sc. Tanggal: 17 Oktober 2016

iv SKRIPSI

MODEL ANTRIAN DENGAN KEDATANGAN BERDISTRIBUSI POISSON DAN WAKTU PELAYANAN BERDISTRIBUSI

EKSPONENSIAL

(Studi Kasus: Antrian Prioritas BPJS RS Panti Rapih) Disiapkan dan ditulis oleh:

Amalya Widiastuti NIM: 123114017

Telah dipertahankan dihadapan Panita Penguji Pada tanggal 16 November 2016 Dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama lengkap tanda tangan

Ketua: Sudi Mungkasi, Ph.D. ... Sekertaris: Y.G. Hartono, Ph.D. ... Anggota: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. ...

Yogyakarta, Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma Dekan

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

*Jangan pernah menunda sesuatu, sebab menunda adalah

masalah.

Karya tulis ini ku persembahkan untuk:

 Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat selesai,

 Mama yang selalu mendoakan ku dan memberi perhatian serta kasih sayang hingga saat ini.

 Papa, Mas Thias, Mba Laila dan Dimas yang selalu mendukung serta melindungi ku.

vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 17 Oktober 2016

vii ABSTRAK

Antrian adalah suatu kondisi dengan subyek-subyek menuju suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Masalah ini memerlukan model matematika untuk memahami perilaku sistem antrian. Model antrian dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial akan diulas dalam skripsi ini. Unsur-unsur antrian seperti model antrian, sikap subyek terhadap antrian, waktu tunggu, serta disiplin antrian mempunyai karakteristik yang harus dipelajari.

Dalam skripsi ini disiplin antrian yang digunakan adalah disiplin antrian prioritas yaitu pelayanan diberikan kepada subyek yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi dibanding subyek yang lain. Model antrian yang diterapkan untuk menganalisis antrian layanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yang bertujuan untuk mengevaluasi penyebab masalah antrian yang terjadi.

viii ABSTRACT

Queueing is a condition where the subjects go to a particular area to be served and face a lateness due to a busy-service mechanism. This problem needs a mathematical model to understand the queueing system behavior. The queueing model with Poisson distributed arrival and Exponential distributed service time will be discussed in this thesis. The elements of queue, such as the queue model, the subject behavior towards the queue, the waiting time, and the queue discipline respectively have characteristics that need to be studied.

In this thesis the queue discipline used is priority queueing discipline, that is, a service is given first to the subjects having higher priority than others. The queueing model is applied to analyze the BPJS queueing service at Panti Rapih Hospital Yogyakarta. It aims to evaluate the factors causes the queueing problem. Keywords: Queueing priority, Exponential Distribution Time Service, Queueing system.

ix

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Amalya Widiastuti

NIM : 123114017

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

Model Antrian Dengan Kedatangan Berdistribusi Poisson Dan Pelayanan Berdistribusi Eksponensial

(Studi Kasus: Antrian Prioritas Layanan BPJS RS Panti Rapih)

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 16 November 2016 Yang menyatakan

x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Allah SWT atas berkat yang selalu menyertai penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.

Banyak tantangan dalam proses penulisan skripsi ini, namun dengan penyertaan Allah SWT serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya skripsi ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan sehingga terselesaikannya skripsi ini.

2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik Matematika 2012. 3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas

Sains dan Teknologi.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.

5. Kedua orang tuaku tercinta Asriyanto dan Rusmiati, kakakku Thias Bahtiar Nugroho dan Laila Chairunisa, adikku Dimas Ali Prasojo, dan sahabatku

xi

Arum, Eni dan Adi yang selalu memberikan dukungan, doa, dan semangat sehingga terselesaikannya skripsi ini.

6. Sahabat BSD (Rian dan Fitri), teman-teman Matematika 2012 (Ajeng, Putri, Sila, Anggun, Noni, Manda, Happy, Dewi, Rian, Budi, Ega, Boby, Tika, Ferny, Juli, Ilga, Oxi, dan Risma), Nawacatur, Bovis, dan Nancy Amanda, Ensi, dan Linda yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, dan memberikan keceriaan serta dukungan selama masa kuliah. 7. Rumah Sakit Panti Rapih yang telah mengizinkan penulis melakukan

penelitian pada skripsi ini.

8. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

Semoga segala doa, perhatian, dukungan, bantuan, dan cinta yang telah diberikan mendapatkan balasan dari Allah SWT.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penelitian selanjutnya. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar yang baik.

Yogyakarta, 17 Oktober 2016 Penulis,

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA ... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ... ix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR TABEL ... xv

DAFTAR GAMBAR ... xvi

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 3

C. Batasan Masalah ... 3

D. Tujuan Penulisan ... 4

E. Metode Penulisan ... 4

F. Manfaat Penulisan ... 4

xiii

BAB II DASAR- DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA ... 7

A.Peluang ... 7

B. Nilai Harapan ... 17

C.Variansi ... 25

D.Fungsi Pembangkit Momen (FPM) ... 27

E. Distribusi Poisson ... 29

F. Distribusi Gamma ... 32

G.Distribusi Eksponensial ... 39

H.Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov ... 40

BAB III TEORI ANTRIAN ... 45

A.Proses Antrian ... 45

B. Unsur-Unsur Antrian ... 45

C.Aturan Distribusi Eksponensial ... 51

D.Proses Poisson ... 53

E. Waktu Antar Kedatangan ... 60

F. Hubungan Antara Distribusi Poisson dengan Distribusi Eksponensial.64 G.Model Antrian Poisson yang Diperumum ... 65

H.Antrian Poisson Khusus ... 70

I. Model Antrian dengan Pelayanan Tunggal Kapasitas Tak Hingga ... 75

J. Model Antrian dengan Pelayanan Kapasitas Tak Hingga ... 81

BAB IV ANALISIS ANTRIAN LAYANAN BPJS RS PANTI RAPIH YOGYAKARTA ... 86

xiv

A. Sistem Antrian Pelayanan BPJS di Rumah Sakit Panti Rapih dan

Harapan Pasien ... 87

B. Analisis Deskriptif Data Waktu Kedatangan dan Waktu Pelayanan ... 93

C. Analisis Sistem Antrian Layanan BPJS ... 97

D. Analisis Perhitungan Performa Antrian ... 107

E. Evaluasi dan Saran Untuk Sistem Antrian ... 109

BAB V PENUTUP ... 110

A. Kesimpulan ... 110

B. Saran ... 111

DAFTAR PUSTAKA ... 112

xv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil ... 12

Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama... 15

Tabel 2.3 Fungsi probabilitas dari variabel acak ... 23

Tabel 2.4 Data suatu sampel acak ... 42

Tabel 2.5 Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov secara manual ... 43

Tabel 2.6 Uji Sampel tunggal Kolmogorov-Sminrov dengan SPSS... 44

Tabel 3.1 Hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial di antrian ... 64

Tabel 3.2 Sistem pelayanan pada Toko Grosir B&K ... 68

Tabel 3.3 Hasil perhitungan performa antrian dengan software MATLAB ... 85

Tabel 4.1 Pembagian tugas loket dalam melayani pasien ... 91

Tabel 4.2 Jawaban dari pertanyaan nomor 1 oleh responden ... 92

Tabel 4.3 Jawaban responden mengenai waktu mengantri ... 92

Tabel 4.4 Informasi kedatangan dan waktu pelayanan sistem antrian ... 94

Tabel 4.5 Statistik hasil uji distribusi kedatangan ... 96

Tabel 4.6 Statistik hasil uji waktu pelayanan ... 97

xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Antrian orang yang menunggu dilayani ... 2

Gambar 1.2 Antrian peti kemas yang menunggu dikirim ... 2

Gambar 2.1 Pemetaan ... 11

Gambar 3.1 Model antrian satu saluran satu fase ... 48

Gambar 3.2 Model antrian satu saluran multi fase ... 49

Gambar 3.3 Model antrian multi saluran satu fase ... 50

Gambar 3.4 Model antrian multi saluran multi fase ... 50

Gambar 3.5 Ilustrasi waktu tunggu ... 61

Gambar 3.6 Diagam transisi antrian Poisson ... 66

Gambar 3.7 Skema antrian Poisson khusus ... 71

Gambar 4.1 Ilustrasi antrian layanan BPJS RS Panti Rapih ... 87

Gambar 4.2 Pengambilan tiket antrian layanan BPJS ... 89

Gambar 4.3 Pasien yang menunggu untuk dilayani ... 89

Gambar 4.4 Pasien yang sedang mendapatkan pelayanan oleh petugas di loket (server) ... 90

1

BAB I

PENDAHULUAN

A.Latar Belakang

Antrian masih menjadi masalah yang sering ditemukan di fasilitas pelayanan umum. Antrian adalah suatu kondisi dengan subyek-subyek menuju suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Dalam hal ini terjadi waktu tunggu yaitu waktu yang diperlukan dalam sebuah antrian. Antrian yang terbentuk dalam pelayanan terjadi akibat kurangnya jumlah pelayanan, banyaknya kedatangan, dan waktu tunggu yang lama. Kedatangan dan waktu pelayanan yang berbeda-beda, setiap orang yang terlibat dalam antrian akan memiliki waktu tunggu yang berbeda-beda. Terjadinya antrian merupakan sesuatu yang kurang baik dalam suatu pelayanan karena membuat orang yang terlibat dalam antrian harus menunggu untuk dilayani.

Proses antrian juga dipengaruhi oleh banyaknya pelanggan yang semakin banyak. Dengan kata lain fenomena yang terjadi pada antrian adalah pelayanan masih berjalan tetapi dengan tingkat pelayanan yang lebih lambat dengan sebelumnya.

Berikut ini adalah contoh nyata sebuah antrian, yang ditunjukkan oleh Gambar 1.1 dan Gambar 1.2.

Gambar 1.1 Antrian orang yang menunggu dilayani.

Gambar 1.2 Antrian peti kemas yang menunggu dikirim.

Dalam karya tulis ini akan dibahas mengenai model antrian dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dan juga akan dipelajari ukuran kinerja sistem dalam antrian seperti rata-rata banyaknya subyek dalam sistem antrian, rata-rata banyaknya subyek yang menunggu dalam antrian, waktu tunggu subyek yang dihabiskan dalam sistem, dan waktu tunggu subyek yang dihabiskan dalam antrian.

Ukuran kinerja sistem dapat digunakan untuk menentukan banyaknya pelayanan yang dibutuhkan agar waktu tunggu menjadi minimum. Dalam karya

tulis ini, penulis melakukan penelitian dari suatu layanan antrian. Obyek yang dijadikan penelitian adalah antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti rapih. Penulis akan mengambil data secara langsung dan mengolah data serta akan menganalisis ukuran kinerja sistem sehingga menghasilkan suatu usulan perbaikan.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang dibicarakan pada tugas akhir ini adalah: 1. Bagaimana dasar-dasar teori antrian?

2. Bagaimana distribusi Poisson dan Eksponensial dapat dipergunakan dalam sebuah antrian?

3. Bagaimana ukuran kinerja sistem pada model antrian dengan kedatangan yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan yang berdistribusi Eksponensial?

C. Batasan Masalah

Dalam pembuatan tugas akhir ini ada beberapa hal yang dibatasi agar permasalahan tidak meluas atau tidak sesuai dengan tujuan awal. Berikut adalah batasan masalahnya:

1. Model yang dibahas adalah model dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

2. Model yang dibahas adalah:

a. Model antrian dengan pelayanan tunggal yaitu ∕ ∕ : ⁄∞⁄ .∞ b. Model antrian dengan pelayanan yaitu ∕ ∕ : ⁄∞⁄ .∞

4. Data yang digunakan adalah data antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta.

D. Tujuan penulisan

Penulisan ini bertujuan membahas dasar-dasar teori sebuah antrian, peranan distribusi Eksponensial dalam sebuah antrian serta penerapannya pada masalah antrian layanan BPJS di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang dipakai adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi buku-buku pendukung dan jurnal yang mengenai antrian dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Jenis-jenis sumber pustaka yang digunakan dicantumkan dalam daftar pustaka.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari karya tulis ini adalah:

1. Bagi penulis: memahami mengenai teori antrian dan mampu menganalisis masalah antrian.

2. Bagi pembaca: memperdalam pengetahuan baru tentang teori antrian serta memberikan informasi bagi pihak yang membutuhkan.

G. Sistematika Penulisan BAB I : PENDAHULUAN

A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Metode Penulisan F. Manfaat Penulisan

BAB II : DASAR-DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA A. Peluang

B. Nilai Harapan atau Mean C. Variansi

D. Fungsi Pembangkit Momen (FPM) E. Distribusi Poisson

F. Distribusi Gamma G. Distribusi Eksponensial

H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov

BAB III TEORI ANTRIAN A. Proses Antrian B. Unsur-Unsur Antrian

D. Proses Poisson

E. Waktu Antar Kedatangan

F. Model Antrian Poisson yang Diperumum G. Antrian Poisson Khusus

H. Model Antrian Tunggal dengan Kapasitas Tak Hingga I. Model Antrian dengan Pelayanan Kapasitas Tak Hingga

BAB IV: ANALISIS ANTRIAN LAYANAN BPJS RUMAH SAKIT PANTI RAPIH YOGYAKARTA

A. Sistem Antrian Pelayanan BPJS Rumah Sakit Panti Rapih

B. Analisis Deskriptif Data Waktu Kedatangan dan Waktu Pelayanan C. Analisis Sistem Antrian BPJS

D. Analisis Perhitungan E. Evaluasi dan Saran

BAB V: PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

7 BAB II

DASAR-DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA

Dalam Bab ini akan disajikan dasar-dasar teori peluang dan statistika sebagai landasan pembahasan skripsi ini.

A. Peluang

Definisi 2.1 Ruang Sampel

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan simbol .

Contoh 2.1

Percobaan pelemparan sekeping koin sebanyak dua kali dengan kedua sisinya yaitu gambar dan angka, ruang sampel dari percobaan tersebut adalah

{ , , , }.

Simbol menyatakan “Gambar” pada sisi koin dan simbol menyatakan “Angka” pada sisi koin.

Definisi 2.2 Kejadian

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya .

Contoh 2.2

Percobaan pengambilan 3 buah bola yang diambil secara satu per satu tanpa pengembalian dari kantong yang berisi 9 buah bola dengan 3 buah bola berwarna hijau, 3 buah bola berwarna merah, dan 3 buah bola berwarna biru.

: Kejadian terambilnya bola pertama berwarna hijau.

Maka = { , , , , , , , , }

dengan menyatakan “bola berwarna hijau”, menyatakan “bola berwarna

merah”, dan menyatakan “bola berwarna biru”.

Definisi 2.3

Misalkan dan adalah adalah kejadian dari ruang sampel , maka: 1. Gabungan dari dua kejadian dinotasikan dengan

= { | � � }. 2. Irisan dari dua kejadian dinotasikan dengan

= { | � � }. 3. Komplemen suatu kejadian dinotasikan � dengan

� _{= { � | }.} 4. Selisih dari kejadian dan dinotasikan \ dengan

\ = �_.

Definisi 2.4 Peluang

Diberikan ruang sampel dan kejadian dari . Peluang dari dinotasikan � yang memenuhi:

1. � .

2. � = .

3. Jika , , , …. adalah kejadian yang saling asing di maka

� … = ∑ � �

∞ �=

. Definisi 2.5 Peluang Suatu Kejaadian

Diberikan kejadian pada ruang sampel , peluang terjadinya adalah

� =

dengan adalah banyaknya anggota terjadi dan adalah banyaknya anggota ruang sampel .

Contoh 2.3

Pelemparan koin sebanyak dua kali. Berapa peluang munculnya minimal 1 sisi “Angka”?

Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah

= { , , , }

dengan menyatakan “Angka” pada sisi koin dan menyatakan “Gambar” pada sisi koin. Jika adalah kejadian yang menyatakan terjadinya minimal munculnya

Definisi 2.6 Peluang Bersyarat

Diberikan dua kejadian dan dalam ruang sampel . Peluang kejadian setelah kejadian terjadi dinotasikan dengan � | ,

� | =� _� , � > .

Dua kejadian dan saling bebas jika � = � � .

Contoh 2.4

Diberikan ruang sampel = { , , , , , } dan misalkan adalah kejadian bilangan genap di dan adalah kejadian bilangan yang lebih dari 3 di maka diperoleh = { , , } , = { , , }. Tentukanlah apakah dan saling bebas. Jawab:

= { , } berarti � = = , � = = dan � = = ,

oleh karena � � = ≠ � = maka dan tidak saling bebas.

Definisi 2.7 Variabel Acak

Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang nilainya ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.

Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital dan nilainya dinotasikan dengan huruf kecil. Misalkan merupakan variabel acak maka nilai dari adalah

Contoh 2.5

Percobaan pengambilan 2 buah bola tanpa pengembalian dari kantong yang berisi 4 buah bola berwarna merah dan 3 buah bola berwarna hijau. Misalkan variabel acak menyatakan banyaknya bola berwarna merah yang terambil.

Ruang sampel pada percobaan tersebut:

= { , , , }

dengan menyatakan bola berwarna “Merah” dan menyatakan bola berwarna “Hijau”.

= banyaknya bola berwarna merah yang terambil.

Nilai numerik 0, 1, atau 2 dapat diberikan pada setiap titik sampel dimana nilai 0, 1, atau 2 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan dari percobaan.

ℝ

Gambar 2.1 Pemetaan .

Definisi 2.8 Variabel Acak Diskrit

Sebuah variabel acak dikatakan variabel acak diskrit jika himpunan dari kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.

  

Definisi 2.9 Fungsi Probabilitas Diskrit

Himpunan pasangan terurut , � adalah suatu fungsi probabilitas diskrit untuk setiap kemungkinan hasil yang mungkin jika:

1. � untuk setiap � ℝ. 2. ∑ � = .

Contoh 2.6

Dari contoh 2.5 tentukan fungsi peluang banyaknya bola berwarna merah yang terambil.

Jawab:

Pada gambar 2.1 nilai adalah bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya bola berwarna merah yang terambil.

Tabel 2.1 Fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil.

�

� = =( (

( = ,

� = =( (

( = = ,

� = =( (

Definisi 2.10 Fungsi Probabilitas Kontinu

Fungsi adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel random kontinu , jika:

1. untuk setiap � ℝ. 2. _−∞∞ = .

3. � = _−∞∞ .

Contoh 2.7

Andaikan suhu dalam 0C dalam sebuah percobaan adalah variabel acak kontinu yang mempunyai fungsi densitas:

= { , − < <_{, lainnya} a. Buktikan bahwa adalah fungsi probabilitas. b. Tentukan � < .

Jawab:

a. Menurut definisi 2.10 (2) jelas ,

∫ = ∫ = _{|− =}

− .

∞ −∞

Definisi 2.11 Distribusi Fungsi Kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah variabel random diskrit dan kontinu didefinisikan sebagai berikut

= � =

{ ∑

∀

, jika diskrit, ∫

−∞ , jika kontinu.

Definisi 2.12 Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit

Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama diskrit jika variabel acak dan memenuhi:

1. , , ∀ , .

2. ∑ ∑ , = .

Untuk setiap di bidang , �[ , ] = ∑ ∑_� , .

Contoh 2.8

Dua buah pensil dipilih secara acak dari kotak yang berisikan 3 buah pensil berwarna biru, 2 buah pensil berwarna merah, dan 3 buah pensil berwarna hijau. Jika adalah banyaknya pensil biru yang terpilih dan adalah banyaknya pensil merah yang terpilih. Tentukan fungsi probabilitas bersama untuk fungsi , . Jawab:

Nilai dari pasangan terurut , yang mungkin adalah , , , , , , , , , , , .

Misalkan , adalah kemungkinan terpilihnya pensil berwarna hijau dan pensil berwarna merah. Banyaknya kemungkinan terpilihnya 2 pensil dari kotak tersebut adalah ( = . Banyaknya kemungkinan terpilihnya 1 pensil merah dari 2 pensil merah di dalam kotak dan terpilihnya 1 pensil hijau dari 3 pensil hijau di kotak adalah ( ( = . Jadi , = = . Perhitungan yang sama dapat digunakan untuk mencari kemungkinan-kemungkinan pada kasus yang lainnya. Secara umum

diperoleh , = ( − −

(8 untuk setiap = , , ; = , , ; dan

+ .

Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama.

Definisi 2.13 Fungsi Probabilitas Bersama Kontinu

Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama kontinu dengan variabel acak dan jika:

1. , , ∀ , .

2. _−∞∞ _−∞∞ , = .

, Total _Baris

0 1 2

0 1

2 0

Contoh 2.9

Diberikan , sebagai berikut:

, = { + , ,

, ,

Tunjukkan bahwa _−∞∞ _−∞∞ , = . Jawab:

Integral dari , adalah

∫ ∫∞ ,

−∞ ∞

−∞ = ∫ ∫ +

= ∫ + | =₌

= ∫ ( + )

= + |

= + = . Definisi 2.14 Variabel Acak Saling Bebas

Misalkan mempunyai fungsi distribusi , mempunyai fungsi distribusi ℎ dan , mempunyai fungsi distribusi bersama , . Maka dan

dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

, = ℎ

untuk setiap pasangan bilangan real , .

Jika dan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama , dan fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah dan ℎ , maka dan saling bebas jika dan hanya jika

, = ℎ

untuk semua pasangan bilangan real , .

Jika dan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama , dan fungsi fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah dan ℎ , maka dan saling bebas jika dan hanya jika

, = ℎ

untuk semua pasangan bilangan real , .

Contoh 2.10

Pada contoh 2.8 variabel acak dan tidak saling bebas sebab berdasarkan definisi 2.14 dan saling bebas jika , = ℎ untuk setiap pasangan bilangan real , . Pasangan bilangan real , diperoleh = , ℎ = , dan

ℎ = × = ≠ , = .

B. Nilai Harapan

Definisi 2.15 Nilai Harapan atau Mean (Rata-rata)

Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui. Mean atau nilai harapan dari adalah:

= = ∑ ; jika adalah variabel acak diskrit,

= = ∫∞

−∞

; jika adalah variabel acak kontinu.

Contoh 2.11

Diberikan 7 sampel dengan 4 sampel tergolong tidak rusak dan 3 sampel lainnya tergolong rusak. Bila dilakukan pengambilan 3 sampel secara acak, tentukanlah nilai harapan terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan tersebut. Andaikan variabel acak yang menunjukkan banyaknya komponen yang tidak rusak pada sampel. Fungsi probabilitas distribusi dari adalah

= ( ( −

( , = , , ,

sehingga diperoleh

= , = , = ,

nilai harapan adalah

= = + + + = = .

jadi nilai harapan dari terpilihnya sampel yang tidak rusak dari pengambilan tersebut adalah . .

Contoh 2.12

Diberikan variabel acak yang mewakili masa hidup elektronik dalam jam dengan fungsi densitas sebagai berikut:

, = { , > , lainnya Tentukanlah nilai harapan .

Menurut definsi nilai harapan diperoleh:

= = ∫∞ = ∫∞ = .

Nilai harapan dari adalah .

Definisi 2.16 Nilai Harapan Fungsi Variabel Acak

Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas dan adalah fungsi yang bernilai real dari . Nilai harapan adalah:

= [ ] = ∑ ; jika adalah variabel acak diskrit,

= [ ] = ∫∞

−∞

; jika adalah variabel acak kontinu.

Lemma 2.1

Diberikan suatu konstanta tak nol maka = . Bukti:

Untuk variabel acak diskrit,

= ∑ = ∑ = = .

Untuk variabel acak kontinu,

= ∫ = ∫ = . ∎

Lemma 2.2

Diberikan suatu konstanta tak nol maka = . Bukti:

Untuk variabel acak diskrit,

= ∑ = ∑ = .

Untuk variabel acak kontinu,

= ∫ = ∫ = . ∎

Teorema 2.1

Diberikan , suatu konstanta, + = + . Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut: untuk variabel acak diskrit,

+ = ∑ +

= ∑ +

= ∑ + ∑

Untuk variabel acak kontinu,

+ _{= ∫}∞ ₊

−∞

= ∫ + ∫∞

−∞ ∞

−∞

= + . ∎

Teorema 2.2 Nilai Harapan dari Jumlahan Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak

Nilai harapan dari jumlahan dua atau lebih fungsi variabel acak adalah

[ + ℎ ] = [ ] + [ℎ ].

Bukti:

Menurut Definisi 2.16 diperoleh sebagai berikut: untuk variabel acak diskit,

[ + ℎ ] = ∑[ + ℎ ]

= ∑[ + ℎ ]

= ∑ + ∑ ℎ

= [ ] + [ ].

Untuk variabel acak kontinu,

[ + ℎ ] = ∫ [ + ℎ ]

∞ −∞

= ∫ + ∫ ℎ∞ −∞ ∞

−∞

= [ ] + [ℎ ]. ∎ Teorema 2.3 Nilai Harapan dari Selisih Dua atau Lebih Fungsi Variabel Acak

[ − ℎ ] = [ ] − [ℎ ].

Bukti:

Menurut Definisi 2.16 diperoleh: untuk variabel acak diskrit,

[ − ℎ ] = ∑[ − ℎ ]

= ∑[ − ℎ ]

= ∑ − ∑ ℎ

= [ ] − [ ].

Untuk variabel acak kontinu,

[ − ℎ ] = ∫ [ − ℎ ]

∞ −∞

= ∫ − ∫ ℎ∞

−∞ ∞

−∞

Contoh 2.13

Diberikan variabel acak dengan fungsi probabilitas sebagai berikut: Tabel 2.3 Fungsi probabilitas dari variabel acak .

0 1 2 3

Carilah nilai harapan = − . Jawab:

Dengan menggunakan Teorema 2.1, Teorema 2.2 dan Teorema 2.3 fungsi = − dapat ditulis sebagai berikut:

[ − ] = − + = − + ,

= ,

= ( ) + ( ) + + ( ) = ,

= ( ) + ( ) + + ( ) = ,

Jadi, nilai harapan = − adalah [ − ] = − + = .

Teorema 2.4 Nilai Harapan dari Perkalian Dua atau Lebih Variabel Acak Diberikan variabel acak dan yang saling bebas. Nilai harapan dari perkalian variabel acak tersebut adalah = .

Bukti:

Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk , diskrit diperoleh,

= ∑ ∑ ℎ

= ∑ ∑ ℎ

= ∑ ∑ ℎ

= ∑

= .

Menurut Definisi 2.14 dan Definisi 2.16 untuk , kontinu diperoleh, = ∫ ∫∞

−∞ ∞

−∞ ℎ

= ∫ [∫∞ ℎ

−∞ ]

∞ −∞

= ∫∞ −∞

= ∫∞

−∞

C. Variansi

Definisi 2.17 Variansi

Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui dengan mean . Variansi dari adalah:

� = [ − ] = ∑ − ; jika variabel acak diskrit,

� = [ − ] = ∫∞ −

−∞

; jika variabel acak kontinu. Akar dari variansi adalah � dan disebut standar deviasi dari .

Contoh 2.14

Perhatikan Contoh 2.11. Tentukan variansi dari .

Diketahui bahwa = . dari perhitungan pada contoh 2.11 diperoleh:

= , = , = , = .

Variansi dari adalah

� _{= ∑ − .}

=

= − . ( ) + − . ( ) + − . ( ) + − . ( )

= . . Teorema 2.5

Variansi dari variabel acak adalah

Bukti:

Bila adalah variabel acak diskrit diperoleh,

� = ∑ −

= ∑ − +

= ∑ − ∑ + ∑ .

Menurut definisi nilai harapan = ∑ dan menurut definisi fungsi probabilitas diskrit yang ke (2) ∑ = untuk setiap fungsi probabilitas diskrit maka diperoleh

� = ∑ −

= − .

Bila adalah variabel acak kontinu diperoleh

� = ∫∞ −

−∞

= ∫∞ − +

−∞

= ∫ − ∫ + ∫ ∞ .

−∞ ∞

−∞ ∞

Menurut definisi nilai harapan = _−∞∞ dan menurut fungsi probabilitas kontinu yang ke (2) _−∞∞ = untuk setiap fungsi probabilitas kontinu maka diperoleh

� = ∫ − ∫ ∞

−∞ ∞

−∞

= − . ∎ D. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

Fungsi pembangkit momen berguna untuk menyelesaikan masalah-masalah komputasi dalam statistika matematis.

Definisi 2.18

Momen ke-� dari variabel acak adalah dan dinotasikan ′ .

Definisi 2.19 Fungsi Pembangkit Momen (FPM)

Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak didefinisikan sebagai berikut

= .

Teorema 2.6 Fungsi Pembangkit Momen dari Jumlahan Variabel Acak Misalkan , , … , adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen masing-masing adalah , , … , _� .

Jika = + + ⋯ + maka = × × … × _� .

Diketahui , , … , adalah variabel acak yang saling bebas maka menurut Teorema 2.4 dan Definisi 2.19 diperoleh:

=

= ( + +⋯+ �

= × × … × �

= × × … × �

= × × … × . ∎

Teorema 2.7 Ketunggalan

Diberikan dan adalah fungsi pembangkit momen dari variabel random dan . Jika = maka dan mempunyai distribusi yang sama.

Bukti:

(Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi) Pada skripsi tersebut, Teorema Ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu

� = �

dengan � adalah bilangan kompleks.

Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik dengan mengganti = −� , bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu

∫∞ �

−∞ = ∫

� ∞

maka = (skripsi hal 54).

Berdasarkan Teorema Ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.

E. Distribusi Poisson

Percobaan yang menghasilkan nilai numerik dari variabel acak yang menyatakan banyaknya kejadian khusus yang terjadi selama jangka waktu tertentu disebut percobaan Poisson. Misalnya variabel acak yang menyatakan banyaknya telepon yang masuk dalam kurun waktu 1 jam. Distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit.

Definisi 2.20 Distribusi Poisson

Distribusi probabilitas untuk variabel acak Poisson yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu didefinisikan sebagai berikut:

; = _! − , = , , , ….

dengan adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah tertentu yang dinyatakan dan adalah menunjukkan selang waktu.

Teorema 2.8 Nilai Harapan Distribusi Poisson

Nilai harapan dari variabel acak diskrit yang berdistribusi Poisson adalah = .

Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.15 diperoleh:

= ∑ ∞ = = ∑ − _! ∞ = = ∑ − _{− !}− ∞ = = ∑ − _{− !}− ∞ = . Misalkan = − , maka

= ∑ − _! .

∞ = Mengingat bahwa = −�

! berdistribusi Poisson dan berdasarkan definisi fungsi probabilitas diskrit ke- (2) ∑∞₌ = maka diperoleh

= ∑ − − − ! ∞ = = ∑ − ! ∞ = = . ∎

Teorema 2.9 Variansi Distribusi Poisson

Variansi dari variabel acak diskrit berdistribusi Poisson ; adalah = .

Bukti:

Misalkan:

= − +

= − +

= [ − ] + ,

[ − ] = ∑ −

∞ =

= ∑ − − _!

∞ =

= ∑ − − _{− − !}−

∞ =

,

[ − ] = ∑ − _{− !}−

∞ =

= ,

sehingga diperoleh

= [ − ] +

= + ,

dengan demikian

= −

= + −

Teorema 2.10 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson

Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak berdistribusi Poisson adalah −

Bukti:

Misalkan = �, maka

= ∑� _!−� ∞

=

= ∑� _!−� ∞

=

= −�_∑ �

! ∞

=

= � −�

= � −

= − _.

∎ F. Distribusi Gamma

Distribusi Gamma merupakan distribusi probabilitas berasal dari fungsi Gamma yang sudah dikenal luas. Distribusi Gamma merupakan distribusi kontinu. Beberapa distribusi merupakan kejadian khusus dari distribusi Gamma. Misalnya distribusi Eksponensial.

Definisi 2.21 Fungsi Gamma

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut

Γ = ∫∞ − − _{, > .}

Teorema 2.11 Sifat-sifat Fungsi Gamma Berikut ini adalah sifat-sifat dari fungsi Gamma: 1. Γ = − Γ − untuk setiap > . 2. Γ = .

3. Γ = − ! untuk setiap bilangan bulat positif . Bukti:

1. Menggunakan definisi fungsi Gamma dan pengintegralan kalkulus secara parsial yaitu = − , dengan memisalkan = − maka

= − − _{, dan =} − _{maka =} ∞ − _{= −} − _|∞ _sehingga diperoleh

Γ = lim_→∞− − − _{| − ∫ −}∞ − ₋ −

= lim_→∞− − − _{| + ∫}∞ − ₋ −

= lim_→∞− − − _{| + − ∫}∞ − − −

= −lim_→∞ − + − Γ −

= −lim_→∞[exp( − ln − ] + − Γ − = −lim_→∞{exp [ − (ln − )]} + − Γ −

= − Γ − .

2. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh:

Γ = ∫ − −

∞

= ∫∞ −

= lim_→∞− − _| = − −

= . (2.1)

3. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh:

Γ − = − ∫∞ − −

= − − ∫∞ − − −

= − ∫∞ − − −

= − Γ − , .

menurut teorema sifat-sifat fungsi Gamma ke-(1) dan ke- (2) serta dari persamaan (2.1) dan persamaan (2.2) diperoleh:

Γ = − Γ − (2.3)

= − − Γ −

= − − − Γ −

= − − − − Γ − … . Γ

= − − − − Γ − … .

= − !. ∎

Definisi 2.22 Distribusi Probabilitas Gamma

Variabel acak kontinu berdistribusi Gamma dengan parameter dan dengan fungsi densitas sebagai berikut:

= {

− −

Γ , untuk > , > , > , , selainnya.

Teorema 2.11 Nilai Harapan Distribusi Gamma

Nilai Harapan variabel acak kontinu yang berdistribusi Gamma adalah

= .

Bukti:

Misalkan = menurut nilai harapan dan definisi distribusi probabilitas Gamma diperoleh:

misalkan = maka dan = = maka persamaan (2.4) menjadi berdasarkan definisi fungsi Gamma persamaan (2.5) menjadi

= _{− ! Γ +}

= _{− ! Γ}

= _{− ! − !}

= (2.6)

karena = maka persamaan (2.6) menjadi

= . ∎

Teorema 2.12 Variansi Distribusi Gamma

Variansi variabel acak kontinu yang berdistribusi Gamma adalah

= .

Bukti:

Berdasarkan Teorema 2.5 akan dicari .

= ∫ −

− Γ ∞

= _Γ ∫∞ + −

= _Γ [ + _{Γ + ]}

= ∫∞ _{− !} − −

= +_Γ Γ α

= + ,

= − (

= + −

= + −

= . ∎

Teorema 2.13 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Gamma

Fungsi pembangkit momen dari variabel acak kontinu berdistribusi Gamma , adalah

= ₋ .

Bukti:

Misalkan = , berdasarkan Definisi Nilai Harapan dan Definisi Fungsi Pembangkit Momen diperoleh persamaan

=

= ∫∞ _[Γ − − _]

= ∫ Γ∞ − −

misalkan = − atau =

−_� dengan < maka = −_� sehingga Persamaan 2.7 menjadi

= ∫ Γ

− − − − ∞ − = ∫ − Γ − − ∞ = ∫ − − − Γ ∞ = − ∫ − − Γ , ∞ .

karena �− − Γ ∞

adalah fungsi probabilitas Gamma dengan = maka menurut Definisi Fungsi Probabilitas Kontinu ke-(2) persamaan 2.8 menjadi

=

− =

− .

G. Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial merupakan salah satu kejadian khusus dari distribusi Gamma yaitu ketika = dan = . Banyak sekali pengambilan keputusan untuk menyelesaikan suatu masalah dengan menggunakan distribusi Eksponensial. Misalnya waktu pelayanan pada subyek dalam sistem antrian.

Definisi 2.23 Distribusi Eksponensial

Variabel acak kontinu dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter , ditulis , bila mempunyai fungsi densitas sebagai berikut:

= { −_, ,

lainnya

Teorema 2.14 Nilai Harapan Distiribusi Eksponensial

Nilai harapan dari variabel acak kontinu berdistribusi Eksponensial adalah = .

Bukti:

= = × = . ∎

Teorema 2.15 Variansi Distribusi Eksponensial

Variansi dari variabel acak kontinu berdistribusi Exponensial ; adalah = .

Bukti:

= = × ( ) = . ∎

Teorema 2.16 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Eksponensial Bila ~ , maka fungsi pembangkit momennya adalah

=

− . Bukti:

= ₋ =

− . _∎

H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov

Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov atau sering disebut (godness of fit) adalah uji kecocokan atau keselarasan. Uji ini ditemukan oleh matematikawan Rusia A. N. Kolmogorov pada tahun 1933. Uji ini memusatkan perhatian pada dua buah fungsi distribusi kumulatif yaitu distribusi kumulatif yang dihipotesiskan dan distribusi kumulatif yang diamati. Mengingat menyatakan suatu fungsi distribusi kumulatif. Apabila ingin mengambil sampel dari distribusi kumulatif yang belum diketahui, hal ini mendorong untuk memastikan apakah dapat disimpulkan = untuk semua dengan adalah suatu fungsi distribusi kumulatif yang sepenuhnya ditentukan yakni distribusi kumulatif yang dihipotesiskan. Jika = sangat diharapkan ada kecocokan antara

dan , dengan adalah fungsi distribusi sampel yang diamati atau fungsi distribusi empirik.

Definisi 2.24 Distribusi Sampel atau Distribusi Empirik

Misalkan , , … , adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris di definisikan sebagai berikut:

= {

, < � �

, � < < �+ ,

dengan _� adalah pengaruh urutan ke-� dan � menyatakan banyaknya nilai pengamatan dalam sampel yang kurang dari atau sama dengan dan menyatakan banyaknya pengamatan.

Definisi 2.25 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov

Statistik uji Kolmogorov-Smirnov dinotasikan didefinisikan sebagai berikut: = max +, − .

+ = max[ − ].

− = max [ − ].

Prosedur dalam melakukan uji ini adalah sebagai berikut: 1. Tentukan hipotesis yaitu:

: =

2. Tentukan tingkat signifikasi yaitu .

3. Hitung dan yang diamati dan hitunglah − . 4. Tentukan wilayah kritis yaitu:

ditolak dan diterima bila > .

5. Carilah nilai dan nilai , diperoleh dari Lampiran 5. 6. Buatlah kesimpulan.

Untuk mempermudah pengujian, uji sampel Kolmogorov-Smirnov juga dapat dilakukan dengan SPSS.

Contoh 2.15

Diberikan data suatu sampel acak.

Tabel 2.4 Data suatu sampel acak.

Data

8 1 3 3 2

1 4 0 5 9

Apakah data tersebut berdistribusi Poisson atau tidak? Jawab:

1. :data berdistribusi Poisson. :data tidak berdistribusi Poisson. 2. Tingkat signifikansi = . .

3. Perhitungan secara manual: Rata-rata dari data adalah 3.6.

Tabel 2.5 Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov secara manual.

frek Fkum _{� − � + −}

0 1 1 1 0.1 0.027324 0 0.0726763 0.027324 1 2 3 2 0.2 0.125689 0.1 0.0743109 0.025689 2 1 4 3 0.3 0.302747 0.2 -0.002747 0.102747 3 2 6 4 0.4 0.515216 0.3 -0.115216 0.215216 4 1 7 5 0.5 0.706438 0.4 -0.206438 0.306438 5 1 8 6 0.6 0.844119 0.5 -0.244119 0.344119 8 1 9 7 0.7 0.988329 0.6 -0.288329 0.388329 9 1 10 8 0.8 0.995976 0.7 -0.195976 0.295976

max + = . dan max − = . .

Perhitungan dengan SPSS:

Tabel 2.6 Uji Sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov dengan SPSS. VAR00002

N 10

Poisson Parametera,,b _{Mean 3.6000}

Most Extreme Differences Absolute .174

Positive .174

Negative -.169

Kolmogorov-Smirnov Z .551

Asymp. Sig. (2-tailed) .922

a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data. 4. Daerah penolakan ditolak bila:

> tabel = . atau Asymp.Sig (2-tailed) < . 5. Kesimpulan:

Dari perhitungan diperoleh = . < tabel = . dan dari SPSS diperoleh nilai Asymp.Sig.(2-tailed) adalah = . > = . . maka diterima. Jadi dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi Poisson.

45 BAB III Teori Antrian

A. Proses Antrian

Antrian adalah suatu kondisi subyek-subyek menuju suatu area untuk dilayani dan menghadapi suatu keterlambatan yang disebabkan oleh mekanisme pelayanan yang mengalami kesibukan. Antrian sendiri timbul karena adanya ketidakseimbangan antara banyaknya subyek yang dilayani dengan pelayanannya.

Prinsip utama dalam situasi mengantri adalah subyek yang terlibat dalam antrian atau pelanggan (customer) dan fase atau pelayan (server). Pokok dari analisis antrian adalah kedatangan pelanggan diwakili dengan waktu antar kedatangan yang terjadi secara berturut-turut, untuk selanjutnya istilah waktu antar kedatangan ditulis dengan waktu kedatangan. Pelayanan diwakili dengan waktu pelayanan pada tiap pelanggan. Secara umum waktu antar kedatangan bersifat suatu kemungkinan, misalnya suatu pelanggan yang datang untuk membeli tiket bioskop atau bersifat telah ditetapkan, misalnya kedatangan pelamar pekerjaan untuk wawancara.

B. Unsur-Unsur Antrian

Dalam sebuah antrian terdapat unsur-unsur penting yaitu: 1. Distribusi kedatangan.

Distribusi kedatangan biasanya dinyatakan dalam distribusi probabilitas tertentu seperti distribusi Poisson, distribusi Eksponensial, atau distribusi

Erlang. Kedatangan pelanggan untuk masuk dalam sistem antrian terbagi menjadi dua yaitu:

a. Kedatangan secara individu. b. Kedatangan secara kelompok. 2. Distribusi pelayanan

Dalam distribusi pelayanan dibutuhkan pola pelayanan yaitu waktu pelayanan. Waktu pelayanan berupa variabel acak yang distribusi probabilitasnya diketahui. Pelayanan kepada pelanggan terbagi menjadi dua yaitu:

a. Pelayanan secara individu. b. Pelayanan secara kelompok. 3. Perilaku pelanggan pada antrian.

Perilaku pelanggan pada sistem antrian merupakan faktor yang penting. Perilaku pelanggan pada sistem antrian bisa mempengaruhi analisis pada barisan antrian. Perilaku manusia dalam sistem antrian berperan sebagai berikut:

a. Jockeying adalah suatu perilaku manusia untuk mengurangi waktu tunggu dengan berpindah dari antrian satu ke yang lainnya.

b. Balking adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrian dan menunggu hingga memperoleh pelayanan.

c. Reneging adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayan, kemudian meninggalkan antrian tersebut.

4. Peraturan pelayanan

Pelanggan pada sistem antrian dapat dilayani secara individual atau berkelompok. Peraturan pelayanan sangat penting sebab peraturan pelayanan meghasilkan keputusan yang digunakan untuk menyeleksi pelanggan pada sistem antrian, siapa yang akan dilayani terlebih dahulu. Terdapat empat cara dalam mengambil keputusan pada peraturan pelayan yaitu:

a. First in first out (FIFO)

First in first out (FIFO) bisa juga menggunakan istilah first come first served (FCFS). Aturan pelayanan ini menerapkan pelanggan pertama yang datang akan dilayani terlebih dahulu, misalnya pelanggan yang mengantri untuk melakukan transaksi dengan teller di bank.

b. Last in first out (LIFO)

Last in first out (LIFO) bisa juga menggunakan istilah last come first served (LCFS). Aturan pelayanan ini menerapkan pelanggan yang terakhir datang akan dilayani terlebih dahulu, misalnya sistem antrian dalam elevator untuk lantai yang sama. Pelanggan yang pertama kali keluar adalah pelanggan yang terakhir masuk ke dalam elevator.

c. Random selection for service (RRS)

Random selection for service (RRS) bisa juga menggunakan istilah Service in random order (SIRO). Pada peraturan pelayanan ini, setiap pelanggan pada antrian mempunyai peluang yang sama untuk dilayani terlebih dahulu, misalnya pada arisan. Pelayanan dalam sistem antrian dilakukan berdasarkan undian.

d. Priority service (PS)

Pada peraturan pelayanan Priority service (PS) berarti prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih tinggi dibanding pelanggan yang lain, misalnya seseorang yang mempunyai penyakit yang lebih serius akan dilayani terlebih dahulu.

5. Klasifikasi model antrian

Berdasarkan proses pelayanannya ada dua istilah yang dikenal pada struktur antrian. Istilah saluran atau baris pada antrian menunjukkan banyaknya jalur antrian yang tersusun secara paralel untuk memasuki sistem pelayanan sedangkan istilah fase menunjukkan banyaknya pelayanan yang tersusun secara seri. Saluran atau baris dapat berupa tunggal ataupun ganda begitu pula fase dapat berupa tunggal ataupun ganda.

Model antrian yang terjadi secara umum adalah sebagai berikut: a. Satu saluran satu fase

Satu saluran satu fase (single channel single phase) merupakan model antrian yang memiliki satu jalur antrian dan satu pelayanan. Contoh dari model ini adalah seseorang yang mengantri di sebuah bilik ATM.

b. Satu saluran multi fase

Satu saluran multi fase (single channel multi phase) merupakan model antrian yang memiliki satu jalur antrian dan beberapa fase pelayanan yang disusun secara seri. Beberapa fase pada model antrian ini menujukkan adanya dua atau lebih pelayanan yang dilakukan secara seri. Contoh dari model ini adalah seseorang yang mengantri berobat di sebuah rumah sakit yang harus melewati beberapa tahap yaitu, pendaftaran  konsultasi dokter

 pembayaran di kasir  pengambilan obat di apotek rumah sakit.

Gambar 3.2 Model antrian satu saluran multi fase.

c. Multi saluran satu fase

Multi saluran satu fase (multi channel single phase) merupakan model antrian yang mempunyai lebih dari satu jalur antrian dan hanya satu fase pelayanan. Contoh dari model ini adalah antrian pembelian tiket bioskop, yaitu terdapat beberapa jalur antrian dan satu fase pelayanan yaitu layanan penjualan tiket.

Gambar 3.3 Model antrian multi saluran satu fase.

d. Multi saluran multi fase

Multi saluran multi fase (multi channel multi phase) adalah model antrian yang memiliki beberapa jalur antrian dan beberapa fase pelayanan yang disusun secara seri, berarti terdapat dua atau lebih fase pelayanan yang dilakukan secara berurutan atau seri. Contoh dari model antrian ini adalah produksi pewarnaan kertas yang prosesnya dimulai dari kertas dimasukkan ke dalam mesin pewarnaan  kertas dimasukkan ke dalam mesin pemotong

 kertas dipilah  kertas dimasukkan ke dalam mesin pengepakan.

6. Ukuran sumber kedatangan

Sumber kedatangan pelanggan bisa bersifat terbatas atau tak terbatas. Sumber yang terbatas (finite source) berati bahwa pelanggan yang datang untuk mendapatkan pelayanan terbatas, seperti pada kerusakan pada mesin-mesin yang menunggu servis dari montir. Sumber yang tak terbatas (infinite source) adalah pelanggan yang terus datang tanpa henti seperti panggilan terhadap operator telepon.

C. Aturan Distribusi Eksponensial

Kedatangan subyek atau pelanggan pada sebuah antrian bersifat acak berarti peristiwa kedatangan pelanggan atau penyelesaian pelayanan tidak dipengaruhi oleh panjang waktu yang telah berlalu sejak terjadinya peristiwa sebelumnya.

Waktu pelayanan dan antar kedatangan yang acak ini dijelaskan menurut model antrian dengan distribusi Eksponensial. Pada Definisi 2.22 telah dijelaskan fungsi peluang distribusi Eksponensial.

= − _{, > .} Fungsi distribusi kumulatifnya adalah:

� = ∫ −

= − − _.

Fakta bahwa distribusi Eksponensial bersifat acak diilustrasikan dari contoh berikut; jika sekarang menunjukan pukul 08.20 dan waktu kedatangan paling awal terjadi pada pukul 08.02. Kemungkinan bahwa kedatangan selanjutnya terjadi pada pukul 08.29 merupakan sebuah fungsi dari interval waktu 08.20 hingga 08.29 dan

hal tersebut tidak terikat pada lama waktu yang telah berlalu ketika terjadinya peristiwa pertama yaitu antara 08.02 hingga 08.20. Sifat distribusi Eksponensial semacam ini disebut sifat tanpa ingatan (memoryless atau lack of memory atau forgetfulness).

Teorema 3.1 Sifat Tanpa Ingatan Distribusi Eksponensial

Dimisalkan adalah fungsi probabilitas Eksponensial dengan mewakili waktu kedatangan. Jika adalah interval waktu kejadian pertama dan ℎ adalah interval kejadian dari peristiwa terakhir maka sifat tanpa ingatan dari distribusi Eksponensial adalah

� > + ℎ | > = � > ℎ ,

untuk menunjukkan sifat tanpa ingatan pada distribusi Eksponensial: � > = − � <

= − _,

dengan demikian,

� > + ℎ | > ₌� > + ℎ > � > =�_� > + ℎ_> = −₋+ℎ

D. Proses Poisson

Definisi 3.1 Proses Stokastik

Proses stokastik { , � } adalah himpunan semua kemungkinan nilai pada suatu ruang sampel dengan adalah himpunan indeks yang berkaitan dengan waktu diskrit, = { , , , … }.

Definisi 3.2 Proses Membilang

Proses membilang { , } haruslah memenuhi kriteria sebagai berikut:

1. .

2. adalah bilangan bulat. 3. Jika < maka .

4. Untuk < , − menyatakan kejadian yang terjadi pada interval waktu , ].

Proses membilang juga mempunyai sifat orderliness yaitu peluang dari dua atau lebih kedatangan yang terjadi secara bersama-sama diabaikan.

Sifat lainnya dari proses membilang adalah tanpa memori (memorylessness) yaitu setiap titik dalam waktu proses membilang saling bebas dengan masa lalu.

Definisi 3.3 Kenaikan Bebas

Proses membilang disebut proses dengan kenaikan bebas (independent increments) jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling bebas. Artinya banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu yaitu bebas dari

banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu antara dan + yaitu + − .

Definsi 3.4 Kenaikan Stasioner

Proses membilang juga disebut proses kenaikan stasioner (stationary increments) jika distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu hanya tergantung pada panjang interval tersebut, tidak bergantung pada letak interval tersebut. Artinya banyaknya kejadian pada interval waktu + , + ] yaitu + − + mempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu , ] yaitu − untuk semua < ,

� + − = � = � .

Definisi 3.5 Proses Poisson

Proses membilang { , } adalah Proses Poisson dengan laju > jika : 1. = .

2. Banyaknya kejadian pada dua interval yang tidak tumpang tindih serta saling bebas yaitu untuk setiap > > > > , dan variabel acak − dengan variabel acak − adalah saling bebas.

3. Peluang ada � kejadian dalam interval waktu berdistribusi Poisson dengan mean untuk setiap , berlaku:

Definisi 3.6 Fungsi � � Fungsi ℎ dikatakan ℎ jika

lim ℎ→

ℎ ℎ = .

Contoh 3.1

Untuk interval waktu yang kecil ℎ > :

− ℎ _{= ∑} − ℎ

! ∞

=

= − ℎ + ℎ_{! −} ℎ_{! + ⋯,} − ℎ _{= − ℎ + ℎ ,}

− − ℎ_{= ℎ + ℎ .}

Pada persamaan − − ℎ = ℎ + ℎ menunjukkan peluang dari kejadian interval ℎ > sedangkan persamaan − ℎ = − ℎ + ℎ menunjukkan peluang tidak ada kejadian dari interval ℎ > atau dapat ditulis sebagai berikut:

� ℎ = = − ℎ + ℎ . (3.1)

Definisi 3.7 Proses Poisson

Proses membilang { , } adalah Proses Poisson dengan laju > jika: 1. = .

2. Bersifat kenaikan stasioner.

3. � ℎ = = ℎ + ℎ .

Untuk menyatakan peluang bahwa ada kejadian � yang terjadi pada interval waktu , ] dengan berlaku:

� = � = � | = , � = , , , … .

Contoh 3.2

Misalkan adalah banyaknya ikan yang ditangkap pada waktu [ , ]. Andaikan ikan yang tersedia sangatlah banyak. Proses { ; } dapat dianggap sebagai proses Poisson, kesempatan menangkap ikan di sungai tidak tergantung dengan banyak ikan yang telah tertangkap. Dengan demikian pemancing yang baru saja tiba di sungai mempunyai kesempatan yang sama untuk menangkap ikan dengan pemancing yang sudah menunggu selama 4 jam menangkap ikan.

Teorema 3.2

Definisi 3.5 ekivalen dengan Definisi 3.7. Bukti:

Definisi 3.5 ⇛ Definisi 3.7

1. Definisi 3.5 ke-(1) dengan Definisi 3.7 ke-(1) sangatlah jelas ekivalen. 2. Pada Definisi 3.5 ke-(2) + − mempunyai distribusi yang sama

dengan . Artinya mempunyai kenaikan yang stasioner. 3. Sifat 3 Definisi 3.5:

Untuk � ℎ = = − ℎ ℎ

� ℎ = = ℎ ∑ − ℎ �! ∞ =

= ℎ [ − ℎ + ℎ − ℎ_{! + ⋯ ]}

= ℎ − ℎ + ℎ_{! −} ℎ_{! + ⋯}

= ℎ + [− ℎ + ℎ_{! −} ℎ_{! + ⋯ ]} = ℎ + ℎ .

Memenuhi sifat (3) pada Definisi 3.7.

� ℎ = − ℎ_∑ − ℎ

�! ∞ = = − ℎ_[ ℎ

! − ℎ

! + ℎ

! − ⋯ ] = − ℎ

ℎ [ ! − ℎ! + ℎ

! − ⋯ ] = ℎ − ℎ_∑ − ℎ −

�! ,

∞ = bila mengambil nilai limitnya diperoleh:

= lim_ℎ→ ℎ

− ℎ_∑ − ℎ −

�! ∞

= ℎ = ℎ ,

Memenuhi sifat (4) pada Definisi 3.7. Definisi 3.7 ⇒ Definisi 3.5

2. Pada Definisi 3.4 tidka bergantung pada letak interval, artinya saling bebas.

3. Dari Definisi 3.7 diperoleh bentuk:

� = � = �

� + ℎ = � + ℎ = Definisi � = � = �

= � = , + ℎ − = Definisi Kenaikan Bebas

= � = � + ℎ − =

= � � ℎ Definisi Kenaikan Stasioner

= � − ℎ + ℎ

= � − ℎ� + ℎ .

Dari bentuk � + ℎ = � − ℎ� + ℎ diperoleh:

�′ _{= lim}

ℎ→

� + ℎ − �

ℎ

= lim_ℎ→ � − ℎ� _ℎ+ ℎ − � = lim_ℎ→ − ℎ� _ℎ + ℎ

= lim_ℎ→ − � + _ℎℎ = − �

�′

∫�_�′ = ∫ −

ln � = − +

� = − _.

Pilih � = � = = maka diperoleh:

� = − , (3.3)

untuk �

� + ℎ = � + ℎ = �

= � = �, + ℎ − =

+ � = � − , + ℎ − = + �

� − , + ℎ −

= � � ℎ + � − � ℎ + ℎ

= � ( − ℎ + ℎ + � − ( ℎ + ℎ + ℎ

= − ℎ � + �− ℎ

= � − ℎ� + ℎ� − ,

� + ℎ − � = − ℎ� + ℎ� −

lim ℎ→

� + ℎ − �

ℎ = limℎ→

− ℎ� + ℎ� −

ℎ

�′ _{= − � + �}

−

�′ _{+ � = �}

−

[�′ _{+ � ] = �}

−

Dari persamaan (3.4) dipilih � = sehingga diperoleh:

� =

� = + − _,

dengan syarat awal� = ,

� = − _.

Untuk menunjukkan � = �

! − menggunakan induksi matematis. Asumsikan benar untuk � − diperoleh:

� − =

− −

� − ! , dari persamaan (3.4) diperoleh:

� = _{� − !}−

�

= �! +

� = _{�! +} −

karena � = � = � = maka � = − �

! . ∎

E. Waktu antar kedatangan

Berdasarkan proses membilang { , }, menyatakan banyaknya kedatangan sampai waktu . Kedatangan tersebut dapat terjadi dalam interval , ]. Andaikan adalah waktu terjadinya kedatangan pertama, dalam hal ini = dan = untuk < lalu adalah waktu terjadinya kedatangan ke-2 maka

= dan = untuk < . Kedatangan selanjutnya dilanjutkan dengan cara yang sama. Jadi ₊ − adalah panjang waktu diantara saat terjadinya kedatangan ke-� + setelah kedatangan ke-�. Panjang selang inilah yang disebut waktu antar kedatangan.

Definisi 3.8

Misalkan menyatakan interval waktu dari kedatangan pertama. Untuk , misalkan adalah interval waktu antara kejadian ke- − dan kejadian ke- maka { , = , , , . . . } adalah barisan waktu antar kedatangan atau waktu antar kejadian.

Definisi 3.9 Waktu Tunggu

Waktu tunggu sampai waktu kedatangan ke- adalah

= + + ⋯ + . .

=

Gambar 3.5 Ilustrasi waktu tunggu.

Teorema 3.3 Waktu Antar Kedatangan

Waktu antar kedatangan , � = , , , …. dari suatu proses Poisson adalah saling bebas dan berdistribusi Eksponensial dengan parameter .

Bukti:

� = − � > = − �{ = } = − − _.

Fungsi distribusi kumulatif dari adalah = − − oleh karena fungsi peluang adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatif , maka fungsi peluang dapat diperoleh dengan cara berikut:

=

= ( − −

= − _{untuk .}

Jadi waktu antar kedatangan berdistribusi Eksponensial dengan parameter . Untuk diperoleh dari peluang bersyarat dari kejadian pertama saat waktu .

� | = = − � > | =

= − � + − = | =

= − � + − = (Kenaikan bebas)

= − � = (Kenaikan stasioner)

= − −

= .

= � | = diatas tidak tergantung pada sehinga berdistribusi Eksponensial secara rekrusif dapat ditunjukkan bahwa saling bebas

Menurut Definisi 3.5 dan Definisi 3.7, untuk proses Poisson berdistribusi Poisson dengan parameter dan berdasarkan Teorema 3.3 , � =

, , … berdistibusi Eksponensial dengan parameter pada Persamaan 3.5 diperoleh waktu tunggu dengan = .

Teorema 3.4

Andaikan , � = , , … . saling bebas dan berdistribusi Eksponensial maka waktu tunggu berdistribusiGamma.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa berdistribusi Gamma. Diberikan , , … , berdistribusi Eksponensial dengan = . Nilai harapan dari , , … , adalah

= = ⋯ = = .

Berdasarkan Teorema 21.6, fungsi pembangkit momen dari , , … , adalah

� =

− .

Berdasarkan definisi waktu tunngu, = + + ⋯ + dan Teorema 2.6 diperoleh:

�� = ₋ × ₋ × … ₋ (sebanyak � kali)

=

−

Pari Persamaan (3.6) diperoleh hasil yang sama dengan fungsi pembangkit momen distribusi Gamma pada Teorema 2.13 dengan = dan = �, dan menurut

Teorema 2.7, berdistribusi Gamma. ∎

F. Hubungan Antara Distribusi Posisson dengan Distribusi Eksponensial Berikut ini akan dijelaskan hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial

Tabel 3.1 Hubungan distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial di antrian. Distribusi

Eksponensial

Distribusi Poisson

Variabel acak

Waktu antar kedatangan berturut-turut, .

Banyaknya kedatangan selama periode waktu .

Range = , , …

Fungsi probabilitas = − , _{� =} −

! , = , , , Mean satuan waktu kedatangan selama waktu

Peluang kumulatif �

= − − �

� � = � + � + ⋯

+ �� Peluang tidak ada

kedatangan selama periode waktu

Contoh 3.3

Kelahiran bayi pada suatu negara mempunyai mean 1 kelahiran setiap 12 menit. Laju kelahiran bayi berdistribusi Eksponensial. Hitunglah:

a. Rata-rata kelahiran bayi per tahun.

b. Peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari. Jawab:

a. Kelahiran bayi per hari:

= × = kelahiran/hari. Kelahiran bayi per tahun adalah:

= × = , kelahiran/tahun.

b. Peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari dihitung dengan distribusi Poisson.

� = × − ×

! = − = .

Cara lain untuk menghitung peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari sama saja dengan menghitung peluang waktu antar kelahiran yang berturutan lebih dari satu hari

�{ > } = − _{= .}

G. Model Antrian Poisson yang Diperumum

Pengembangan model antrian dengan asumsi kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu antar kedatangan serta pelayanan berdistribusi Eksponensial adalah model antrian Poisson khusus. Untuk memperumum model antrian yang

berdasarkan kondisi jangka panjang atau perilaku keadaan tunak (steady state)pada antrian yaitu kondisi dengan rata-rata laju arus masuk sama dengan laju arus keluar.

Gambar 3.6: Diagram transisi antrian Poisson.

Terdapat istilah kedatangan dan keberangkatan (departure), istilah kedatangan merepresentasikan sebagai penambahan banyaknya pelanggan pada sistem antrian sedangkan istilah keberangkatan merepresentasikan sebagai pengurangan banyaknya pelanggan pada sistem antrian.

Peluang dapat ditentukan dari diagram transisi antrian Poisson. Sistem antrian pada status menyatakan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian adalah . Peluang terjadinya lebih dari satu kejadian yang terjadi selama interval ℎ yang kecil dinyatakan dengan ℎ → diartikan bahwa untuk setiap > , dapat berubah menjadi dua kemungkinan yaitu − ketika keberangkatan terjadi pada laju atau + ketika kedatangan terjadi pada laju , ketika = dapat berubah menjadi ketika terjadi kedatangan pada laju . Pada tidak terdefinisi karena tidak ada keberangkatan yang terjadi ketika sistem kosong.

Berikut ini adalah simbol-simbol yang digunakan dalam sistem antrian: = banyaknya pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.

= rata-rata kedatangan dari pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian. = rata-rata keberangkatan dari pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.

= peluang kondisi keadaan tunak (steady state)dari pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.

Model yang diperumum berasal dari yang merupakan fungsi dari dan . Peluang ini kemudian digunakan untuk menentukan langkah-langkah sistem kinerja seperti rata-rata panjang antrian, waktu tunggu antrian, dan rata-rata pelayanan.

Dalam kondisi keadaan tunak (steady state) untuk > laju arus masuk yang diharapkan sama dengan laju arus keluar. Kondisi ketika dapat berubah menjadi − atau + diperoleh:

Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan :

− � − + + � + .

Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan :

� + � = + � .

Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan = Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan

− � − + + � + = + � .

Pada Gambar 3.6 kondisi ketika = adalah: =

= ( ) . Untuk = diperoleh:

+ = +

= ( ) secara umum diperoleh bentuk:

= ( − − …

− … ) , = , , ..

(3.7) nilai ditentukan dari ∑∞₌ = .

Contoh 3.4

Toko Grosir B & K mengoperasikan 3 toko. Manager toko menggunakan jadwal untuk menentukan banyaknya stasiun pelayanan yang beroperasi. Berikut ini adalah banyaknya pelanggan dalam toko.

Tabel 3.2 Sistem pelayanan pada Toko Grosir B&K.

Banyaknya pelanggan dalam toko Banyaknya stasiun pelayanan yang beroperasi

1 – 3 1

4 – 6 2

Lebih dari 6 3

Kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson dengan rata-rata kedatangan 10 pelanggan per jam. Waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 12 menit. Tentukanlah peluang pelayanan pelanggan saat kondisi steady state.

Jawab: Diketahui

= pelanggan per jam, = , , .. oleh karena terdapat 3 stasiun layanan yang beroperasi diperoleh:

= { _{× =}= , _, = , , , _{= , ,} × = , = , , … dengan demikian dari persamaan (3.7) diperoleh:

= ( ) =

= ( ) =

= ( ) =

= ( ) ( ) =

= ( ) ( ) =

= ( ) ( ) =

= ( ) ( ) ( ) − = ( ) − ,

nilai dari ditentukan dari persamaan berikut:

+ + + + + + + + + +...) =

dengan deret geometri yaitu:

∑ �

= − �, | | < , ∞

�= diperoleh:

+

− ) =

= .

Oleh karena sudah diketahui maka bisa ditentukanlah untuk > . Misalnya berapa peluang jika hanya ada 1 stasiun pelayanan yang beroperasi? peluang tersebut dapat dihitung sebagai peluang maksimal terdapat 3 pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian,

+ + = + + ( ) ≈ . .

H. Antrian Poisson Khusus

Antrian Poisson khusus merupakan pengembangan dari model antrian dengan asumsi kedatangan berdistribusi Poisson. Berikut ini adalah gambar yang mengilustrasikan situasi antrian Poisson khusus dengan pelayan (server) atau fase yang pararel. Seorang pelanggan mengantri untuk mendapatkan pelayanan dari pelayan pertama yang tersedia.

Gambar 3.7 Skema antrian Poisson khusus.

Kedatangan pada sistem antrian adalah pelanggan per satuan waktu. Semua stasiun pelayan adalah identik, berarti laju pelayanan untuk setiap stasiun pelayan adalah pelanggan per satuan waktu. Banyaknya pelanggan pada sistem terdiri dari pelanggan yang sedang dilayani dan pelanggan yang sedang mengantri untuk dilayani.

Untuk mendeskripsikan suatu model antrian maka dibutuhkan suatu notasi untuk meringkas suatu karakteristik yang berpengaruh. Notasi yang digunakan adalah notasi Kendall. Berikut ini adalah format notasi Kendall:

⁄ ⁄ ∶ ⁄ ⁄ keterangan:

= Distribusi kedatangan. = Distribusi waktu pelayanan.

=Banyaknya pelayan pararel, = , , , ….

Antrian

Waktu pelayanan

Pelayanan (server)

Pelayanan (server)

Pelayanan (server)

= Peraturan pelayanan.

=Banyaknya maksimal pelanggan yang diperbolehkan dalam sistem antrian (pada antrian dan saat pelayanan).

= Ukuran sumber kedatangan.

Notasi standar untuk mewakili distribusi kedatangan dan pelayanan (simbol dan ) adalah:

= Kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson atau waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

= Waktu antar kedatangan atau pelayanan pelanggan telah ditentukan atau terjadwal.

= Distribusi Erlang.

= Distribusi umum waktu antar kedatangan. = Distribusi umum waktu pelayanan.

Notasi peraturan pelayanan (simbol ) yaitu: FCFS = First Come First Served.

LCFS = Last Come First Served. SIRO = Service in Random Order. PRI = Priority Service.

GD merupakan disiplin antrian secara umum berlaku pada sebagian besar sistem antrian (apabila tidak ada disiplin khusus yang mengikat) yaitu pelanggan yang pertama datang adalah pertama yang dilayani.

Untuk mengilustrasikan penggunaan dari notasi, model ⁄ ⁄ : LCFS⁄ ⁄∞ adalah model dengan distribusi kedatangan berupa

distribusi Poisson (atau waktu antar kedatangan Eksponensial), distribusi pelayanan yang telah terjadwal, terdapat 10 server, peraturan pelayanan secara umum LCFS kapasitas sistem antrian 20 pelanggan, dan ukuran sumber kedatangan tidak terbatas.

Sebelum dijelaskan mengenai keutamaan dari antrian Poisson akan dijelaskan bagaimana kondisi steady state dari situasi antrian Poisson yang diperumum dari peluang .

Simbol yang paling digunakan padaukuran perfomadi suatu antrian adalah: = Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian.

� = Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrian. = Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem antrian. � = Nilai harapan waktu tunggu dalam antrian.

= Banyaknya pelanggan.

̅ = Nilai harapan server yang sibuk.

Akan ditunjukkan ukuran performa antrian yang berasal dari peluang steady state dari yaitu sebagai berikut:

= ∑ ∞

= .

�= ∑ − .

∞ =�+

Hubungan antara dan begitu juga _� dan _� dikenal sebagai Little’s Formula yaitu:

Lampiran 2

Berikut ini adalah tabel uji distribusi kedatangan

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

kedatangan_1 kedatangan_2 kedatangan_3 kedatangan_5

N 4 8 8 8

Poisson Parametera,,b _{Mean 7.0000 25.1250 10.8750 4.8750}

Most Extreme Differences Absolut e

.470 .311 .120 .205

Positive .470 .250 .120 .205

Negativ e

-.447 -.311 -.118 -.190

Kolmogorov-Smirnov Z .941 .880 .338 .580

Asymp. Sig. (2-tailed) .339 .421 1.000 .889

a. Test distribution is Poisson.

b. Calculated from data.

Berikut ini adalah tabel uji distribusi pelayanan

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

Pelayanan_1 Pelayanan_2 Pelayanan_3 Pelayanan_5

N 27 201 86 38

Exponential parameter.a,,b _{Mean 3.7007 1.4857 3.5499 7.8608}

Most Extreme Differences Absolute .173 .092 .123 .174

Positive .144 .092 .052 .174

Negative -.173 -.092 -.123 -.160

Kolmogorov-Smirnov Z .899 1.304 1.142 1.071

Asymp. Sig. (2-tailed) .395 .067 .147 .202

a. Test Distribution is Exponential.

Lampiran 3

Berikut ini adalah pertanyaan kuisioner yang dibagikan No urut antrian BPJS...

1. Berdasarkan pengalaman selama ini, antrian di BPJS R.S Panti Rapih. (lingkari salah satu jawabannya)

a. Sangat Padat b. Cukup padat c. Tidak padat

2. Berdasarkan pengalaman,

a. Paling cepatsaya menunggu antrian selama ………..menit b. Paling lamasaya menunggu antrian selama ………….menit

3. Bila antrian panjang (lingkari salah satu yang paling prioritas) a. Saya akan tetap menunggu sampai giliran saya dipanggil b. Kadang-kadang saya menunggu

c. Saya tinggalkan dulu antrian dan kembali lagi setelah kira-kira sampai giliran

d. Saya membatalkan antrian

4. Batas maksimal kesabaran saya dalam mengantri adalah ………….menit

5. Menurut saya, lama waktu mengantri yang paling dapat diterima adalah

……menit

Tabel Lampiran jawaban responden (pasien) berdasarkan pertanyaan (item)

No pasien

item 1 item 2 item 3 item 4 item 5

a b c A b a b c d

1  30 90  45 20

2  25 60  60 30

3  40 90  60 30

4  30 60  60 20

5  60 120  60 30

6  20 60  60 30

7  25 60  45 30

8  30 90  45 30

9  30 60  45 20

10  20 90  45 30

11  30 60  60 30

12  60 120  60 30

13  30 60  45 30

14  30 60  45 30

15  30 90  45 30

16  45 120  60 30

17  40 120  45 30

18  40 60  45 30

19  20 90  45 20

20  30 60  30 30

21  20 45  30 20

22  30 60  45 30

23  30 90  30 30

24  45 120  30 30

25  40 120  45 30

26  20 60  30 30

27  20 60  30 30

28  30 60  45 30

29  40 120  45 30

30  45 120  60 30

31  30 60  45 30

32  30 90  45 30

33  45 120  45 30

34  45 90  45 30

35  20 60  30 30

37  20 60  30 30

38  30 120  45 20

39  30 90  30 30

40  60 90  30 30

41  40 120  30 30

42  60 120  30 30

43  30 60  45 30

44  30 60  60 30

45  45 120  60 30

46  20 60  60 30

47  60 120  30 30

48  60 120  45 30

49  30 90  45 30

50  45 120  60 30

51  40 120  30 30

52  30 90  30 30

53  45 120  30 30

54  20 60  45 30

55  30 90  45 30

56  45 120  30 30

57  30 60  30 30

58  30 90  30 30

59  20 60  60 30

60  45 120  30 30

61  30 90  30 30

62  30 90  45 30

63  20 60  45 30

64  45 120  45 30

65  45 120  60 30

66  30 60  50 30

67  40 120  60 30

68  40 120  50 30

69  30 60  60 30

70  30 120  60 30

Rata-rata atau total

Lampiran 4

Berikut ini adalah algoritma pemrograman untuk model multiserver (M: M : C) pada contoh 3.7

%c = banyaknya server

%lamda = rata-rata waktu antar kedatangan %mu = rata-rata waktu pelayanan

%Po_inverse = P0

%Lq = banyaknya pasien dalam antrian

%Ls = banyaknya pasein dalam sistem antrian %Wq = waktu tunggu pasien dalam antrian

%Ws = waktu tunggu pasien dalam sistem antrian

clc clear c=2; lamda=3; mu=5;

rho=lamda/(c*mu) P01=0;

for i=0:c-1;

P0i=rho^i/factorial(i); P01=P01+P0i;

end

P02=(rho^c/(factorial(c)))*(1/(1-rho/c)); P0=P01+P02;

Po_inverse=1/P0

Lq=rho^(c+1)*Po_inverse/((factorial(c-1)*(c-rho)^2)); Ls=Lq+rho;

Ws=(rho^c*Po_inverse/(mu*factorial((c-1))*(c-rho)^2))+1/mu; Wq=Ws-(1/mu);

tabel=[c, lamda, mu, Lq, Ls, Wq, Ws];

disp('============================================')

disp(' c lamda mu Lq Ls Wq

Ws ')

disp('============================================')