PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI

  PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan S-1 Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : WORO UTAMI PRASETIYONINGSIH 0801060005 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2012

  PERSEMBAHAN Mengucap puji syukur pada Mu ya Alloh, atas semua berkah dan rahmat yang telah engkau berikan. Dengan tulus sekripsi ini ku persembahkan untuk:  Bapak dan Mama yang paling aku cintai dan sayangi (Bapak

  

Untung Waluyo dan Mama Suti). Terimakasih atas doa, materi

dan dukungannya selama ini yang membuat saya untuk terus

maju dan menyayangi saya tiada henti. Semoga surga ada

untukmu.

   Adeku Dwi Nuranti Setiyo Astuti yang paling aku sayangi.  Keluarga besar saya di Cilacap dan Sampang yang aku sayangi.  Teman-teman seperjuangan Math’08 tanpa kalian kampus ‘kan

terasa hampa, khususnya Linda, Irna, dan Oja sodara-sodaraku

yang selalu menemaniku dalam suka dan duka.  Keluarga besar Rizqia kost warga bawah mba Awe, Mba Yuni,

Lia, Dwi, Nana, Puput, Oka, Ika, Wendi, Agi dan Nova segenap

warga atas. Kalian selalu dihati.

  Motto 

  

Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan, maka apabila engkau

telah selesai (dari sesuatu urusan) tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain), dan hanya kepada Tuhanmulah engkau berharap (Qs. Al- Insyirah : 6-8)

  

Ilmu pengetahuan adalah keindahan bagi para ahlinya di dunia dan di

akhirat (HR. Ar-Rabbi)

  

Berusaha dengan sungguh-sungguh dan berdoa adalah syarat mutlak dalam

hidup untuk mencapai kesuksesan yang kita inginkan (Penulis)

  ABSTRAK

  Penelitian ini bertujuan menentukan penyelesaian integral dimensi-n dengan menggunakan Teorema Fubini. Metode penelitian yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah studi litelatur. Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: jika terdapat fungsi f : A  B  R merupakan fungsi yang _n terintegral pada interval A  B  R dan f ( x , y ) dx dy   maka _{A B} 

  dx f ( x , y ) dy dy f ( x , y ) dx . Sehingga, jika suatu proses pengintegralan

  

      _{A B B A}

  tidak dapat diselesaikan secara langsung maka proses pengintegralan tersebut tetap dapat diselesaikan dengan cara diubah urutan pengintegralannya. Selain itu, dengan perubahan tersebut juga akan memudahkan penyelesaian proses

  ( , ) pengintegralan secara analitik. Tetapi, jika f x y dx dy   dapat diartikan _{A B}  integral dari nilai absolut fungsi f ( x , y ) , tidak terbatas maka dapat disimpulkan nilai dari f ( x , y ) dx dy tidak terdefinisi dan dx f ( x , y ) dy dy f ( x , y ) dx .

  

       _{A A B B A} B Kata Kunci : Integral Dimensi-n, Teorema Fubini

KATA PENGANTAR

  

Alkhamdulillah segala puji bagi Alloh SWT, Tuhan semesta alam yang

  Maha Pengasih dan Penyayang, yang senantiasa memberi kemudahan kepada hambanya untuk berusaha. Hanya dengan keridhoan, kekuatan dan keberkahan Nyalah peneliti dapat menyusun dan menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabatnya.

  Peneliti berusaha semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi ini dengan memaparkan dan menyajikan hasil penelitian yang terbaik. Tetapi sebagai manusia biasa yang tidak luput dari kesalahan, peneliti menyadari sepenuhnya bahwa masih banyak kekurangan dalam sistematika penulisan, tata bahasa, maupun teknik dan kelengkapan penyajian.

  Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan penelitian ini. Ucapan terimakasih peneliti ucapkan kepada:

  1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H., M.H., Rektor Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

  2. Drs. Joko Purwanto, M.Si., Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

  3. Chumaedi Sugihandardji, S.Si., M.Si., Kaprodi Pendidikan Matematika.

  4. Eka Setyaningsih, S.Si., M.Si., Pembimbing I yang telah memberikan motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk

  5. Erni Widiyastuti, S.Si., M.Si., Pembimbing II yang telah memberikan motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk serta arahan dalam penyusunan skripsi ini.

  6. Semua pihak yang tidak mungkin penulis sebutkan satu persatu yang secara langsung maupun tidak langsung, telah memberikan bantuan dan semangat dalam penyusunan skripsi ini.

  Teriring doa dan harapan semoga amal dan kebaikan yang telah diberikan senantiasa mendapat balasan yang berlipat ganda dari Alloh SWT. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat untuk kemajuan semua.

  Purwokerto, Februari 2012 Peneliti

  DAFTAR ISI

  HALAMAN PERSETUJUAN ..................................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................... iii SURAT PERNYATAAN ............................................................................ iv PERSEMBAHAN ....................................................................................... v MOTTO ...................................................................................................... vi ABSTRAK .................................................................................................. vii KATA PENGANTAR ................................................................................. viii DAFTAR ISI ............................................................................................... x DAFTAR LAMBANG ................................................................................ ii xiii DAFTAR GAMBAR.................................................................................... ii xvi

  BAB I PENDAHULUAN A. Latar Balakang Masalah ...................................................................

  1 B. Rumusan Masalah ............................................................................

  3 C. Tujuan ..............................................................................................

  3 D. Manfaat Penelitian ...........................................................................

  3 BAB II KAJIAN TEORI A. Sistem Bilangan Real .......................................................................

  4 B. Himpunan .......................................................................................

  5 1. Himpunan Terbatas ......................................................................

  6 2. Himpunan Bilangan Real ..............................................................

  8

  C. Fungsi ..............................................................................................

  8 1. Fungsi Komposisi .........................................................................

  9 3. Jenis Fungsi ..................................................................................

  12 a. Fungsi Eksponen ......................................................................

  12 b. Fungsi Transeden .....................................................................

  12 4. Fungsi Terbatas ............................................................................

  13 D. Limit ................................................................................................

  14 1. Limit Fungsi di R ......................................................................... ₂ 14 2. Limit Fungsi di R ....................................................................... _n 17 3. Limit Fungsi di R .......................................................................

  17 E. Kekontinuan .....................................................................................

  18 1. Kekontinuan Fungsi di R .............................................................. ₂

  18 2. Kekontinuan Fungsi di R ........................................................... _n

  19 3. Kekontinuan Fungsi di R ...........................................................

  20 F. Turunan ...........................................................................................

  20 1. Turunan Fungsi di R .....................................................................

  20 a. Sifat-Sifat Turunan ...................................................................

  23 b. Turunan Fungsi Komposisi ......................................................

  23 c. Turunan Fungsi Trigonometri ...................................................

  24 d. Turunan Fungsi Invers Trigonometri ........................................

  24 e. Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponensial ...........................

  25 f. Turunan Fungsi pada Suatu Interval ..........................................

  26

  g. Turunan Tingkat Tinggi ........................................................... _n 26 2. Turunan Fungsi di R ..................................................................

  27 G. Integral .............................................................................................

  32 1. Integral Tak-Tentu (Anti-Turunan) ...............................................

  32 2. Integral Tentu ...............................................................................

  37 a. Integral pada Fungsi Satu Variabel ...........................................

  37 b. Integral Lipat-Dua Atas Daerah Persegi Panjang ......................

  43 c. Integral Lipat-Dua Atas Daerah Bukan Persegi Panjang ...........

  46

  d. Perhitungan Integral Lipat-Dua Atas Daerah Bukan Persegi Panjang ...................................................................................

  46 e. Integral Lipat-Dua pada Koordinat Kutub ................................

  48 f. Teorema Fubini ........................................................................

  50 BAB III METODOLOGI PENELITIAN .....................................................

  52 BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Integral Dimensi-n ...........................................................................

  57 B. Sifat-Sifat Sederhana Integral Dimensi-n ..........................................

  59 C. Teorema Fubini ................................................................................

  64 D. Penyelesaian Permasalahan Integral Dimensi-n dengan Menggunakan Teorema Fubini .........................................................

  71 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan.......................................................................................

  90 B. Saran.................................................................................................

  90 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................

  92

DAFTAR LAMBANG

  Untuk setiap 

  Elemen 

  Himpunan bagian sejati 

  R Sistem bilangan Real _n R Ruang dimensi-n R -{0} Semua bilangan Real kecuali nol x Harga mutlak x

  Lebih kecil dari   Lebih besar dari

  Lebih kecil atau sama dengan 

  Lebih besar atau sama dengan   Gabungan Inf A Batas bawah terbesar himpunan A Sup A Batas atas terkecil himpunan A

  D Daerah asal fungsi f _f

  Daerah hasil fungsi f

  R _f f Komposisi fungsi g  D Daerah asal Komposisi fungsi _{g f}

   R Daerah hasil Komposisi fungsi _{g f}

  

  Tidak sama dengan 

   ¹ f Invers fungsi f Jika .... maka .....

    jika dan hanya jika

  J Volume atau ukuran (measure) interval J P Panjang maksimum selang bagian pada partisi P

  lim f ( x ) Limit dari fungsi f(x) dengan x mendekati c _{x  c}

  f ' x ( ) Turunan pertama fungsi f (x) f Jumlah Riemann  _{b i} f ( x ) dx Integral atas Riemann

   _a

  dx x f ^b _a 

  ) ( Integral bawah Riemann

  dx x f ^b _a 

  ) ( Integral dari fungsi f (x) pada [a,b]

  _J dx x f

  ) (

  

  Integral fungsi f(x) pada interval J

    ^{n n} _J ... dx dx dx x x x f ) ,..., , ( ... _{2 1 2 1} Integral fungsi f(x) pada interval ⁿ R J

  

   B A

  ) dy dx y x f , ( Integral fungsi f(x) pada interval B A    _{B A}

  ) dy y x f dx , ( Integral fungsi f(x) yang diintegralkan pertama pada interval B kemudian dilanjutkan pada interval A

  DAFTAR GAMBAR 1.1 Diagram Panah Fungsi f(x).....................................................................

  46 1.11 Kurva y Sederhana ..............................................................................

  72 1.20 Irisan oleh Bidang x = Konstanta .........................................................

  1.19 Grafik Fungsi ) , ( y x f z  dengan Irisan oleh Bidang x = Konstanta ....

  72

  71 1.18 Irisan oleh Bidang y = Konstanta .........................................................

  49 1.17 Irisan oleh Bidang x = Konstanta .........................................................

  49 1.16 Partisi D dalam Persegi Panjang Kutub ...............................................

  , , r F y x f z   ..................................................................

      

  1.15 Kurva

  49

  47 1.14 Persegi Panjang Kutub .........................................................................

  47 1.13 Kurva S sebagai Persegi Panjang D ...................................................

  47 1.12 Kurva x Sederhana ..............................................................................

    S y x f z , :  ............................................................................

  9 1.2 Komposisi Fungsi .................................................................................

  1.10 Kurva

  46

  46 1.9 Kurva S Dikelilingi oleh Persegi Panjang D ..........................................

  44 1.8 Kurva S Tertutup ...................................................................................

   .........................................................................

    , y x f z

  1.7 Permukaan

  43

      D d x c b x a y x      , : , ................................................

  1.6 Daerah

  38

  20 1.5 Jumlah Riemann ...................................................................................

  11 1.4 Himpunan S ..........................................................................................

  10 1.3 Invers Fungsi ........................................................................................

  73

  1.21 Grafik Fungsi ) , ( y x f z  dengan Irisan oleh Bidang y = Konstanta ....

  74 1.22 Irisan oleh Bidang y = Konstanta .........................................................

  74 1.23 Irisan oleh Bidang x = Konstanta ........................................................

  76 1.24 Irisan oleh Bidang y = Konstanta .......................................................

  77 1.25 Daerah S .............................................................................................

  79

  1.26 Grafik Fungsi ) , , ( z y x f w  dengan Daerah S ....................................

  81

  1.27 Daerah Bidang _xy S ..............................................................................

  82

  1.28 Daerah Bidang _xz S ...............................................................................

  83