MENDAPATKAN FUNGSI GREEN YANG DIKONSTRUKSI DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR DALAM BIDANG FISIKA (Studi Kasus: Vibrasi Sistem Mekanis)

MENDAPATKAN FUNGSI GREEN YANG DIKONSTRUKSI
DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
DALAM BIDANG FISIKA (Studi Kasus: Vibrasi Sistem Mekanis)

SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi salah Satu Syarat dalam Meraih Gelar Sarjana Sains
Jurusan Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar

Oleh

GUSTI SARLINA
NIM. 60600109006

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN MAKASSAR
2013

PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI

Dengan penuh kesadaran, penyusun yang bertanda tangan di bawah ini
menyatakan bahwa skripsi ini benar adalah hasil karya penyusun sendiri. Jika di
kemudian hari terbukti bahwa ia merupakan duplikat, tiruan, plagiat, atau dibuat
oleh orang lain, sebagian atau seluruhnya, maka skripsi dan gelar yang diperoleh
karenanya batal demi hukum.

Makassar, Agustus 2013
Penyusun,

GUSTI SARLINA
NIM: 60600109006

ii

PERSETUJUAN PEMBIMBING

Pembimbing penulisan skripsi Saudari Gusti Sarlina, NIM: 60600109006,
mahasiswa Jurusan Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin
Makassar, setelah dengan seksama meneliti dan mengoreksi skripsi yang
bersangkutan dengan judul “Mendapatkan Fungsi Green yang Dikonstruksi

dari Persamaan Diferensial Linear dalam Bidang Fisika (Studi Kasus:
Vibrasi Sistem Mekanis)“ memandang bahwa skripsi tersebut telah memenuhi
syarat-syarat ilmiah dan dapat disetujui untuk diajukan ke sidang munaqasyah..
Demikian persetujuan ini diberikan untuk di proses lebih lanjut.

Makassar,

Pembimbing I

Juli 2013

Pembimbing II

Wahidah Alwi, S.Si., M.Si.
Nip : 19790201 200912 2002

Irwan, S.Si., M.Si
Nip : 19780922 200604 1001

Mengetahui ,

Ketua Jurusan Matematika

Ermawati S.Pd., M.Si
Nip : 19830717 200912 2004

iii

PENGESAHAN SKRIPSI
Skripsi yang berjudul “Mendapatkan Fungsi Green yang Dikontruksi dari
Persamaan Diferensial Linear dalam Bidang Fisika (Studi kasus: Vibrasi Sistem
Mekanis)”, yang disusun oleh saudari Gusti Sarlina, Nim: 60600109006, Mahasiswa
Jurusan Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin Makassar,
telah diuji dan dipertahankan dalam sidang munaqasyah yang diselenggarakan
pada hari Jumat tanggal 2 Agustus 2013 M, bertepatan dengan 24 Ramadhan
1434 H, dinyatakan telah dapat diterima sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.).

Makassar,

2 Agustus 2013 M

24 Ramadhan 1434 H

DEWAN PENGUJI
Ketua

: Dr. Muh. Khalifah Mustami, M.Pd.

(…………..……)

Sekretaris

: Wahyuni Abidin, S.Pd., M.Pd.

(…………..……)

Munaqisy I

: Try Azisah Nurman, S.Pd., M.Pd.

(…………….….)

Munaqisy II

: Ermawati, S.Pd., M.Si.

(……………..…)

Munaqisy III

: Muh. Rusdy Rasyid, S.Ag.,M.Ag.,M.Ed (……………..…)

Pembimbing I

: Irwan, S.Si., M.Si.

(……………..…)

Pembimbing II

: Wahidah Alwi, S.Si., M.Si.

(……………..…)

Diketahui oleh:
Dekan Fakultas Sains dan Teknologi
UIN Alauddin Makassar

Dr. Muh. Khalifah Mustami, M.Pd.
Nip. 19711204 200003 1 001

iv

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahi rabbil’alamin, segala puji syukur ke hadirat Allah Swt
atas limpahan rahmat, taufiq dan hidayah-Nya, hingga penulis mampu
menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul “ Mendapatkan Fungsi Green
yang Dikonstruksi dari Persamaan Diferensial Linear dalam Bidang Fisika (Studi
Kasus: Vibrasi Sistem Mekanis)" ini. Shalawat serta salam semoga senantiasa
tercurahkan kepada junjungan Nabi besar Muhammad Saw., sebagai uswatun

hasanah dalam meraih kesuksesan di dunia dan akhirat.
Melalui tulisan ini pula, penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang
tulus, teristimewa kepada kedua orang tua tercinta Ayahanda H. Gusti Pelni
Arifin dan Ibunda Hj. Hapsiah atas segala doa, restu, kasih sayang, pengorbanan
dan perjuangan yang telah diberikan selama ini. Kepada beliau penulis senantiasa
memanjatkan doa semoga Allah Swt., mengasihi dan mengampuni dosanya.
Amin.
Keberhasilan penulisan skripsi ini tidak lepas dari bimbingan, pengarahan
dan bantuan dari berbagai pihak baik berupa pikiran, motivasi, tenaga,
maupun do’a. Karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Dr. H. Abdul Qadir Gassing, HT, M.S., selaku Rektor UIN
Alauddin Makassar beserta seluruh jajarannya.
2. Bapak Dr. Muhammad Khalifah Mustami, M.Pd., selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Alauddin Makassar.

v

3. Ibu Ermawati, S.Pd.,M.Si. dan Ibu Wahyuni Abidin, S.Pd., M.Pd selaku ketua
dan sekretaris Jurusan Matematika
4. Bapak Irwan, S.Si.,M.Si. dan Ibu

Wahidah Alwi, S.Si.,M.Si. selaku

pembimbing I dan II yang dengan sabar telah meluangkan waktu demi
memberikan bimbingan dan pengarahan dalam penyelesaian skripsi ini.
5. Seluruh dosen jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas
Islam Negeri (UIN) Alauddin Makassar yang telah menyalurkan ilmunya
kepada penulis selama berada di bangku kuliah.
6. Segenap karyawan dan karyawati Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
bersedia melayani penulis dari segi administrasi dengan baik selama penulis
terdaftar sebagai mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam
Negeri (UIN) Alauddin Makassar.
7. Kakak-kakakku tercinta, Sardi, Jumi, Tuti, Bada dan adikku tersayang Vina,
Vita, Sarda, Ullah, Yana, Rama, dan Surya yang selalu memberikan doa,
semangat dan dukungan selama ini. Untuk keponakanku tercinta Gusti Mulya
Sari dan Gusti Adwa Ainul Mardiah.

Kalian penyemangat dalam setiap

langkah perjalanan menempuh pendidikan. Khususnya kepada kak Sardi dan

kak Jumi, terima kasih atas kasih sayang, semua saran, do’a, nasehat dan
motivasinya agar selalu semangat dalam menyelesaikan skripsi ini. Begitu
banyak hal yang telah diberikan kepada penulis untuk tetap tegar dalam
menghadapi kerasnya kehidupan.
8. Seluruh teman-teman seperjuangan di keluarga “Fractonity Alkharismi 09”
yang telah memotivasi penulis untuk segera menyelesaikan skripsi.

vi

9. Untuk kak Muhammad Kafrawi S,Si, kak Ahmad Suratmi dan Marlisa terima
kasih atas bantuannya.
10. Saudara-saudara yang telah banyak memberikan bantuan berupa moril dan
materil yang tidak bisa saya sebutkan namanya satu persatu. Rasa terima kasih
yang tiada hentinya penulis haturkan, semoga bantuan yang telah diberikan
bernilai ibadah di sisi Allah Swt., dan mendapat pahala yang setimpal. Amin.
Akhirnya, diharapkan agar hasil penelitian ini dapat bermanfaat dan
menambah khasanah ilmu pengetahuan.
Amin Ya Rabbal Alamin

Makassar,

Agustus 2013

Penulis

vii

DAFTAR ISI

hal
HALAMAN SAMPUL ………………………………………………………..…. i
PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI ………………………………….…….. ii
PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………………….…..……. iii
PENGESAHAN SKRIPSI ………………………………………………..…….. iv
PENGESAHAN PEMBIMBING ……………………………………………….. v
KATA PENGANTAR ………………………………………………………….. vi
DAFTAR ISI ……………………………..……………………….…………… viii
DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………......... x
ABSTRAK ……………………………………………………………………… xi
BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………………….. 1

A.

Latar Belakang ……………………………..……………………...…… 1

B.

Rumusan Masalah …………………………………………………….... 4

C.

Tujuan Penelitian ………………………………………………………. 5

D.

Manfaat Penelitian ………………………………………...…………… 5

E.

Batasan Masalah …………………………………………………….…. 6

F.

Sistematika Penulisan ………………………………………………….. 6

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ………………………………………………… 9
A.

Persamaan Diferensial ………………………………………………….. 9

B.

Persamaan Diferensial Linear ………………………………………… 11

C.

Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien Konstan … 13

D.

Bebas Linear dan Determinan Wronskian ………………………...….. 19

E.

Metode Variasi Parameter …………………………………………….. 20

F.

Aturan Cramer ………………………………………………………… 24

G.

Fungsi Green ………………………………………………………….. 28

viii

H.

Integral Parsial ………………………………………………………... 29

I.

Masalah Nilai Awal ……………………………………..…................ 31

J.

Tinjauan dalam Bidang Fisika (Vibrasi Sistem Mekanis) ………….…. 33

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ………………………………………. 42
A.

Jenis Penelitian ………………………………………………………... 42

B.

Sumber Data …………………………………………………………... 42

C.

Waktu dan Lokasi Penelitian …………………………………………. 42

D.

Prosedur Penelitian …………………………………………...………. 42

BAB IV PEMBAHASAN ……………………………………………………… 44
A.

Hasil Penelitian …………………………………...….......….……..…. 44

B.

Pembahasan ……………………………………….…………………... 73

BAB V PENUTUP ……………………………………………………………... 76
A.

Kesimpulan …………………………………………………………… 76

B.

Saran-saran ……………………………………………………………. 76

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………….. 78

ix

DAFTAR GAMBAR
hal
Gambar 1 Gerak Harmonik ..…………………………………………………… 56
Gambar 2 Osilasi Teredam ……………………...……………………………… 63
Gambar 3 Osilasi Teredam Kritis ……………………...…………………….… 68
Gambar 4 Osilasi Terlalu Teredam …………………...…….………………….. 73

x

ABSTRAK

Nama
Nim
Judul

: Gusti Sarlina
: 60600109006
: Mendapatkan Fungsi Green yang Dikonstruksi dari Persamaan
Diferensial Linear dalam Bidang Fisika (Studi Kasus: Vibrasi
Sistem Mekanis)

Skripsi ini membahas tentang persamaan diferensial yang merupakan suatu
persamaan yang menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta
turunannya terhadap satu atau lebih peubah bebas. Dengan memperhatikan
banyaknya variabel bebas yang terlibat, maka ada dua bentuk persamaan
diferensial yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Jenis persamaan diferensial dapat dilihat dari bentuk, orde, koefisien maupun
kelinearannya, sehingga banyak cara menyelesaikannya. Salah satunya dapat
diselesaikan dengan cara menggunakan metode fungsi green. Pada skripsi ini
dibagi menjadi dua pembahasan yaitu untuk mendapatkan fungsi green pada
persamaan diferensial dan untuk mendapatkan fungsi green pada studi kasus
dalam bidang fisika yaitu Vibrasi Sistem Mekanis. Terdapat dua kasus yaitu tidak
ada peredam dalam sistem dan terdapat peredam dalam sistem. Fungsi green
dapat ditemukan dengan menggunakan metode variasi parameter, dimana hasil
untuk mendapatkan fungsi green yang dikonstruksi dari persamaan diferensial
linear
melalui
metode
variasi
parameter
sebagai
berikut:
v t  . y1 x   v2 t  . y 2 x     vn t  . y n x 
Gx, t   1
. Untuk mendapatkan fungsi
W  y1 t , y 2 t ,, y n t 
green yang dikonstruksi dari persamaan diferensial linear melalui metode variasi
parameter dalam bidang fisika yang studi kasusnya yaitu vibrasi sistem mekanis,
v x  . y1 t   v2 x  . y 2 t 
.
dapat dilihat sebagai berikut : Gt , x   1
W  y1 x , y 2 x 

Kata Kunci: Fungsi Green, Persamaan Diferensial Linear, Vibrasi Sistem
Mekanis.

xi

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah
Sesungguhnya Allah Swt., menunjukkan tanda-tanda kekuasaan-Nya
kepada hamba-Nya melalui dua jalur, yaitu jalur formal yang berupa ayat-ayat
qauliyah dan jalur non formal yang berupa ayat-ayat kauniyah. Ayat-ayat
qauliyah merupakan suatu kalam Allah Swt., yang diturunkan secara formal
kepada Nabi Muhammad Saw. Sedangkan ayat-ayat kauniyah merupakan suatu
fenomena alam dimana fenomena alam yang terjadi merupakan ciptaan Allah
Swt., sekaligus sebagai tanda kebesaran-Nya di bumi ini, sehingga merupakan
jalur non formal dan manusia sendirilah yang nantinya mengeksplorasinya.
Dimana upaya tersebut dikenal sebagai sains, dan aplikasinya disebut teknologi.
Jika berbicara tentang sains, maka tidak lepas dari matematika. Jauh sebelumnya,
umat Islam telah menyadari bahwa Al-Qur’an terdapat banyak penjelasan akan
ilmu matematika. 1
Allah Swt., berfirman dalam surah Q.S Al-Maidah 5/65-66 :

           
             
             

1

Drs. Abdul Rahman, M.Pd dan Nursalam, M.Si. 2007. Persamaan Diferensial Biasa
Teori dan Aplikasi. Makassar : Tim Penulis,hal.1

1

2

              
   
Terjemahnya :
“Hai Nabi, kobarkanlah semangat para mukmin untuk berperang. Jika ada
dua puluh orang yang sabar diantaramu, niscaya mereka akan dapat
mengalahkan dua ratus orang musuh. Dan jika ada seratus orang yang sabar
diantaramu, niscaya mereka akan dapat mengalahkan seribu dari pada orang
kafir, disebabkan orang-orang kafir itu kaum yang tidak mengerti. Sekarang
Allah Telah meringankan kepadamu dan Dia telah mengetahui bahwa
padamu ada kelemahan. Maka jika ada diantaramu seratus orang yang sabar,
niscaya mereka akan dapat mengalahkan dua ratus orang kafir; dan jika
diantaramu ada seribu orang (yang sabar), niscaya mereka akan dapat
mengalahkan dua ribu orang, dengan seizin Allah. dan Allah beserta orangorang yang sabar.” (Q.S. Al-Maidah: 5)2
Pada ayat 65 disebutkan bahwa 20 orang mukmin yang sabar akan
mengalahkan 200 orang kafir, dan 100 orang mukmin yang sabar akan
mengalahkan 1000 orang kafir. Sedangkan pada ayat 66 disebutkan bahwa, karena
adanya kelemahan, 100 orang mukmin yang sabar akan mengalahkan 200 orang
kafir, dan 1000 orang mukmin yang sabar akan mengalahkan 2000 orang kafir.
Meskipun ayat tersebut berbicara dalam konteks perjuangan antara orang-orang
beriman dengan orang-orang kafir, akan tetapi pada sisi yang lain penyebutan
angka-angka pada kedua ayat tersebut, terdapat pula konsep matematika.
Matematika merupakan salah satu ilmu yang banyak manfaatnya dalam
kehidupan sehari-hari dan memiliki peranan penting untuk ilmu pengetahuan lain
seperti fisika, biologi, kimia dan ilmu-ilmu lainnya. Sehingga matematika banyak
digunakan untuk memecahkan masalah-masalah yang dihadapi dalam bidang
Departemen Agama RI, Alqur’an dan Terjemahannya, (Jakarta: Lembaga Percetakan
Al-Qur’an Raja Fahd dan Kementrian Agama RI), h.165.
2

3

sains

dan

teknologi

dimana

sering

ditemukan

masalah-masalah

yang

penyelesaiannya tidak dapat dicari dengan hanya menggunakan rumus atau
konsep yang sudah ada. Karena adanya permasalahan mengenai kuantitas bahwa
perubahan terus menerus yang berkaitan dengan waktu dapat digambarkan dengan
suatu persamaan diferensial.
Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang menyangkut satu
atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau lebih
peubah bebas. Dengan memperhatikan banyaknya variabel bebas yang terlibat,
maka ada dua bentuk persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial biasa jika
hanya ada satu variabel bebas yang terlibat dan persamaan diferensial parsial jika
ada lebih dari satu variabel bebas yang terlibat.3
Persamaan Diferensial Biasa dapat digolongkan dalam dua kelas yaitu
persamaan diferensial tak linear dan persamaan diferensial linear. Dibandingkan
dengan jenis yang kedua, penyelesaian persamaan diferensial linear jauh lebih
mudah ditentukan karena sifat-sifat selesaiannya dapat dikarakterisasikan dalam
suatu cara yang umum dan metode baku tersedia untuk menyelesaikan persamaanpersamaan tersebut. Menurut bentuk persamaannya, suatu persamaan diferensial
linear dapat dibedakan menjadi dua yakni persamaan diferensial homogen dan
persamaan diferensial tak homogen. Sedangkan menurut ordenya dapat dibedakan
menjadi orde satu, orde dua sampai dengan orde–n.
Fungsi green merupakan suatu metode penyelesaian yang dalam proses
menemukan penyelesaian suatu persamaan diferensial linear, dimana terlebih
3

Kartono, 2012. Persamaan Diferensial Biasa Model Matematika Fenomena
Perubahan. Yogyakarta : Graha Ilmu. hal.3

4

dahulu ditentukan nilai fungsi green dari suatu persamaan diferensial tersebut.
Nilai fungsi green dapat ditemukan dengan metode transformasi Laplace dan
metode variasi parameter. Dalam Jurnal Integral yang berjudul “Mengkontruksi
Fungsi Green Persamaan Diferensial Linear Orde-n”, sehingga memotivasikan
penulis untuk mencoba melengkapi dan menjelaskan kepada pembaca mengenai
metode fungsi green dan penyelesaian suatu persamaan diferensial tersebut yang
di sertai dengan studi kasus dalam bidang fisika.
Pengaplikasian dalam bidang fisika dimana hampir sebagian besar gejala
yang dibahas dalam fisika memiliki kaitan dengan permasalahan laju perubahan
dari suatu besaran fisis tertentu. Contoh paling sederhana yang telah lama
dijumpai adalah laju perubahan kecepatan suatu partikel terhadap waktu akibat
gaya yang bekerja padanya sebagaimana diatur oleh Hukum Newton kedua.
Secara matematik, gambaran dinamika perubahan tersebut dituang dalam bentuk
persamaan diferensial.
Persamaan diferensial yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah
“Mendapatkan Fungsi Green yang Dikontruksi dari Persamaan Diferensial
Linear dalam Bidang Fisika (Studi Kasus: Vibrasi Sistem Mekanis)”.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah:
1.

Bagaimana mendapatkan fungsi green yang dikonstruksi dari persamaan
diferensial linear melalui metode variasi parameter?

5

2.

Bagaimana mendapatkan fungsi green yang dikonstruksi dari persamaan
diferensial linear melalui metode variasi parameter dalam studi kasus vibrasi
sistem mekanis?

C. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1.

Untuk mendapatkan fungsi green yang dikonstruksi dari persamaan
diferensial linear melalui metode variasi parameter.

2.

Untuk mendapatkan fungsi green yang dikonstruksi dari persamaan
diferensial linear melalui metode variasi parameter dalam bidang fisika
dengan studi kasus vibrasi sistem mekanis.

D.

Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah:

1.

Jurusan Matematika
Hasil pembahasan ini dapat digunakan sebagai tambahan bahan dalam

pengembangan ilmu matematika khususnya di kalangan mahasiswa jurusan
matematika.
2.

Penulis
Melalui penelitian ini dapat menambah penguasaan materi, sebagai

pengalaman dalam melakukan penelitian dan menyusun karya ilmiah dalam
bentuk tugas akhir, serta media untuk mengaplikasikan ilmu matematika yang
telah diterima dalam bidang keilmuannya.

6

3.

Pembaca
Menambah pengetahuan bidang matematika, khususnya persamaan

diferensial biasa dan fungsi green yang melalui metode variasi parameter.
4.

Pengembangan Ilmu Pengetahuan
Menambah informasi dan mempertegas keilmuan matematika dalam

peranannya terhadap perkembangan teknologi dan disiplin ilmu lain.
E. Batasan Masalah
Dalam penulisan tugas akhir ini, pembahasannya hanya dibatasi pada:
1.

Metode yang digunakan untuk mengkostruksi fungsi green adalah metode
variasi parameter.

2.

Fungsi green yang digunakan pada persamaan diferensial linear yaitu fungsi
green khusus yang merupakan suatu integral substitusi yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear.

3.

Aplikasi pada persamaan diferensial hanya pada bidang fisika yaitu Vibrasi
Sistem Mekanis dan hanya sampai pada orde kedua.

F. Sistematika Penulisan
Agar penulisan tugas akhir ini tersusun secara sistematis, maka penulis
memberikan sistematika penulisan sebagai berikut:
1.

Bagian Awal Tugas Akhir
Terdiri dari halaman judul, pernyataan keaslian skripsi, persetujuan

pembimbing, pengesahan skripsi, kata pengantar, daftar isi, darftar gambar, dan
abstrak.

7

2.

Bagian Isi Tugas Akhir
Bab I yaitu pendahuluan yang membahas tentang isi keseluruhan

penulisan tugas akhir yang terdiri dari latar belakang dimana membahas tentang
gambaran umum dari rencana penelitian ini, rumusan masalah, batasan masalah,
tujuan penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.
Bab II yaitu tinjauan pustaka yang memaparkan tentang teori-teori yang
berhubungan dengan penulisan tugas akhir ini seperti persamaan diferensial,
persamaan diferensial linear, persamaan diferensial linear homogen dengan
koefisien konstan, bebas linear dan determinan Wronski, metode variasi
parameter, aturan cramer, fungsi green, integral parsial, masalah nilai awal dan
tinjauan dalam bidang fisika (vibrasi sistem mekanis).
Bab III yaitu metodologi penelitian yang memuat tentang metode yang
berisi langkah-langkah yang ditempuh untuk memecahkan masalah, yaitu jenis
penelitian, waktu dan lokasi penelitian, jenis dan sumber data, dan prosedur
penelitian.
Bab IV yaitu pembahasan yang memuat tentang mengenai langkahlangkah dalam mendapatkan fungsi green yang dikonstruksi dari persamaan
diferensial linear melalui metode variasi parameter, yang disertai contoh
permasalahan dalam bidang fisika dimana studi kasusnya yaitu vibrasi sistem
mekanis

yang

kemudian

diselesaikan

dengan

menggunakan

metode

mengkonstruksi fungsi green.
Bab V yaitu penutup, yang di dalamnya berisikan tentang kesimpulan
dari pembahasan (Bab IV) dan saran-saran.

8

3.

Bagian Akhir Tugas Akhir
Bagian ini berisi daftar pustaka sebagai acuan dan lampiran-lampiran

yang mendukung.

9

BAB II
TINJAUAN PUSTAKA

A. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menyangkut satu
atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau lebih
peubah bebas.4
Definisi 2.1 :
Persamaan

Diferensial

Biasa

adalah

persamaan

diferensial

yang

menyangkut satu atau lebih fungsi beserta turunannya terhadap satu peubah
tak bebas.5 Jika diambil y(x) sebagai suatu fungsi satu variabel, dengan x
dinamakan variabel bebas dan y dinamakan variabel tak bebas, maka suatu
persamaan diferensial biasa (disingkat PDB) dapat dinyatakan dalam
bentuk:





F x, y, y ' , y " ,, y n  0,

2.1

di mana :
y adalah fungsi dari variabel bebas x
y’, y”, …,yn adalah turunan 1, 2, … ,n.
Bentuk persamaan di atas menyatakan bahwa terdapat hubungan antara variabel
bebas x dan variabel tak bebas y beserta derivatif-derivatifnya dalam bentuk
himpunan persamaan yang secara identik sama dengan nol yang menyatakan

4

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial.(http://persamaandiferensial-orde11.pdf-Adobe.Reader). Diakses tanggal 7 desember 2012.
5
Drs. Abdul Rahman, M.Pd dan Nursalam,M.Si. 2007. Persamaan Diferensial Biasa
Teori dan Aplikasi. Makassar : Tim Penulis. hal.18.

10

model matematika dari fenomena perubahan terjadi. Sebuah persamaan diferensial
disebut mempunyai orde-n jika orde turunan tertinggi yang terlibat adalah n,
sedangkan jika turunan dengan orde tertinggi itu berderajat k maka persamaan itu
dinamakan persamaan diferensial berderajat k.
Contoh 2.1 :
1.

y' 

1
x

merupakan persamaan diferensial biasa orde satu

2.

y" 

1
x2

merupakan persamaan diferensial biasa orde dua

3.

y '" 

1
x3

merupakan persamaan diferensial biasa orde tiga

dimana y ' 

dny
dy " d 2 y '" d 3 y
, y  2 , y  3 , , y n  n yang mendiferensialkan fungsi
dx
dx
dx
dx

dari dua variabel atau lebih. 6
Definisi 2.2 :
Persamaan diferensial yang menyangkut satu atau lebih fungsi beserta
turunannya terhadap lebih dari satu peubah bebas disebut persamaan
diferensial parsial.7 Maka suatu persamaan diferensial parsial (disingkat
PDP) dapat dinyatakan dalam bentuk :

dy dy 

F  x, y, z, , ,  0
dx dz



2.2

Contoh 2.2 :
1.

u v
0

x y

6

merupakan persamaan diferensial parsial orde satu

Darmawijoyo, 2011. Persamaan Diferensial Biasa:Suatu Pengantar. Palembang:
Penerbit Erlangga.h.1.
7
Drs. Abdul Rahman, M.Pd dan Nursalam,M.Si. 2007. Persamaan Diferensial Biasa
Teori dan Aplikasi. Makassar : Tim Penulis. hal.18.

11

2.

 2u  2u  2u


t 2 x 2 y 2

merupakan persamaan diferensial parsial orde dua

Definisi 2.3 :
Orde atau tingkat dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh tingkat
derivatif yang tertinggi yang terdapat pada persamaan tersebut .8
Definisi 2.4 :
Derajat atau pangkat dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat dari
derivatif yang mempunyai tingkat tertinggi dari persamaan tertentu .9
Contoh 2.3 :
1.

dy
 2x
dx

merupakan persamaan diferensial biasa orde pertama dan

derajat pertama.
2

2.

 dy 
2
  4 y
 dx 

merupakan persamaan diferensial biasa orde pertama dan

derajat kedua.
3

3.





 dy 
2
   y x  1  sin x
dx
 

merupakan persamaan diferensial biasa orde

pertama dan derajat ketiga.
B. Persamaan Diferensial Linier
Definisi 2.5 :
Persaman diferensial linear adalah suatu persamaan diferensial yang
berpangkat satu dengan peubah tak bebas beserta turunan-turunannya.10
Sebuah persamaan diferensial linier orde-n memiliki bentuk
8

Fendi Alfi Fauzi. Persamaan Diferensial. (http://pd-completed.pdf-Adobe.Reader).
Diakses tanggal 7 desember 2012.
9
Ibid

12

an x y n   an1 x y n1    a1 x y '  a0 x y  f x 

2.3

di mana f x  dan koefisien ai x , dengan i  0,1,2,, n tergantung hanya pada
variabel x. Dengan kata lain, persamaan-persamaan ini tidak tergantung pada y
atau pada turunan dari y.
Contoh 2.4 :
1.

d2y
dy
 3  xy  x 2
dx
dx 2

merupakan persamaan diferensial linear orde dua

2.

d2y
dy
y
 xy  x 2
2
dx
dx

merupakan persamaan diferensial tak linear orde dua

Pada Contoh 2 merupakan persamaan diferensial tak linear, karena dapat
dilihat dari bentuk seperti y

dy
. Dari kedua contoh tersebut persamaan diferensial
dx

itu menemukan y  f x  yang memenuhi contoh tersebut dan inilah yang disebut
dengan solusi persamaan diferensial. Dengan menyelesaikan masing-masing
kedua contoh di atas maka akan diperoleh solusi y  f x  .11
Jika f x   0 , maka Persamaan (2.3) adalah homogen; jika f x   0
maka Persamaan (2.3) adalah tak homogen.12
Contoh 2.5 :
1.

x

d2y
dy
 3  2 xy  sin x
2
dx
dx

10

merupakan persamaan tak homogen

Abdul Rahman, 2007. Persamaan Diferensial Biasa Teori dan Aplikasi.
(Makassar:Tim Penulis), h.19
11
Kartono, 2012. Persamaan Diferensial Biasa Model Matematika Fenomena
Perubahan. Yogyakarta : Graha Ilmu. Hal.3
12
Richar Bronson,2007. Persamaan Diferensial Edisi Ketiga. (Jakarta:Penerbit
Erlangga), h.51

13

2.

x

d2y
dy
 3  2 xy  0
2
dx
dx

merupakan persamaan homogen

Jika a0 x , a1 x ,, an x  adalah konstanta, Persamaan (2.3) dikatakan
mempunyai koefisien konstanta, dalam hal lain dikatakan mempunyai koefisien
peubah. 13
C. Persamaan Diferensial Linier Homogen dengan Koefisien Konstan
Persamaan diferensial linear homogen orde-n dengan koefisien konstan
berbentuk sebagai berikut :
an x y n   an1 x y n1    a1 x y '  a0 x y  0

2.4

dengan a n  0. 14
Dalam menentukan solusi persamaan diferensial homogen dilakukan hal berikut :
Misalkan y  e rx merupakan solusi persamaan diferensial homogen. Sehingga
dimisalkan ay "  by '  cy  0 . Dengan mensubstitusikan solusi tersebut dan
turunannya ke dalam persamaan diferensial didapatkan :

 

"

   
'

a e rx  b e rx  c e rx  0
Untuk mendapatkan nilai turunan pertama dan turunan kedua maka :
-

nilai f x   e rx

-

nilai f ' x   e rx . r
 re rx

13

Murray R Spiegel dan Koko Martono, Matematika Lanjutan untuk Para Insinyur dan
Ilmuan. (Bandung:Penerbit Erlangga,1971), hal.77
14
Mohamed
Amine
Khamsi.
(http://www.sosmath.com/differential/equation/byparts/byparts.htm.). diakses tanggal 2 januari
2013

14

nilai f " x   u ' v  uv '

-

Misalkan

ur

v  e rx

u'  0

v '  r.e rx

Sehingga f " x   u ' v  uv '

 

 

 0 e rx  r  re rx
 r 2 e rx

 

"

   
'

Jadi a e rx  b e rx  c e rx  0



    
'

a r 2 e rx  b re rx  c e rx  0





erx ar 2  br  c  0

Sebab e rx  0, x   , maka ar 2  br  c  0 disebut persamaan karakteristik
dari persamaan diferensial. 15 Akar persamaan karakteristik dari persamaan
diferensial adalah :
 b  b 2  4ac
2a
b D

2a

r1 

 b  b 2  4ac
2a
b D

2a

r2 

dan

Kemungkinan nilai r1 dan r2 bergantung dari nilai D, yaitu :
a.

Bila D  0 maka r1  r2 (akar real dan berbeda)
Jika akar-akar persamaan karakteristik adalah real dan semuanya berbeda,

maka solusi persamaan e r1x , e r2 x ,, e rn x merupakan bilangan real dan berbeda,

r1  r2 . Maka y1 x   e r1x dan y 2 x   e r2 x

15

Danang
Sains.2011), h.234

Mursita,

Matematika untuk

Perguruan

Tinggi.

(Bandung:Rekayasa

15

y h x   c1 y1 x   c2 y 2 x     cn y n x 
y h x   c1e r1x  c2 e r2 x    cn e rn x

2.5

Contoh 2.6 :
Tentukan solusi umum persamaan diferensial : y "  4 y '  3 y '  0 .
Jawab:
Subtitusikan y  e rx , sehingga diperoleh persamaan karakteristik, yaitu:

e   4e   3e   0
rx "

rx '



rx



e rx r 2  4r  3  0

dengan menggunakan rumus abc, dimana a  1, b  4 dan c  3 sehingga
r1, 2 



 b  b 2  4ac
2a

4

 42  413
21



4 4
2



42
2

Sebab D  b 2  4ac maka persamaan r 2  4r  3  0 dengan a  1, b  4 dan
c  3 dapat diperoleh D   4  413  4 , sehingga D  0 maka r1  r2
2

merupakan akar real dan berbeda, sehingga dapat diperoleh r1 
r2 

42
, atau r1  3 dan r2  1 .
2

42
dan
2

16

Jadi solusi umumnya adalah y h x   c1e  x  c2 e x  c3 e 2 x
b.

Bila D  0 maka r1 , r2 merupakan bilangan kompleks (imajiner)
Jika persamaan karakteristik mempunyai akar-akar kompleks, maka akar-akar

kompleks tersebut mempunyai bentuk   i . Jika tidak ada akar yang sama,
maka solusi umumnya adalah y h x   c1e r1x  c2 e r2 x    cn e rn x . Sehingga solusi
kompleks

e  i x

dan

e  i x ,

yang

mempunyai

solusi

realnya

e x cos x, e x sin x . Jadi, solusi umum persamaan diferensial yang mempunyai

akar-akar kompleks adalah
y h x   c1e x cos x  c2 e x sin x

2.6

Contoh 2.7 :
Tentukan solusi umum persamaan diferensial y iv  y  0 .
Jawab :
Subtitusikan y  e rx , diperoleh persamaan karakteristik, yaitu:

r 4 1  0

r

2





1 r 2 1  0

Untuk mendapatkan nilai r1 , r2 digunakan rumus abc dimana a  1, b  0, dan

c  1

r
r1, 2 

2



1  0

 b  b 2  4ac
2a

r1, 2 

  41 1
21

17

r1, 2 

 4
2

r1, 2  1

Untuk mendapatkan nilai r3 , r3 digunakan rumus abc dimana a  1, b  0, dan

c 1

r
r3, 4

2



1  0

 b  b 2  4ac

2a

r3, 4 

  411
21

r1, 2 

 4
2

r1, 2 

 1 4
2

r1, 2  i1
r1, 2  i







Sebab D  b 2  4ac maka persamaan r 4  1  0 atau r 2  1 r 2  1  0. Untuk
persamaan

r

2



1

a  1, b  0

dengan

D  0  41 1  4 dan untuk persamaan
2

dan

r

2

c  1

dapat

diperoleh



 1 dengan a  1, b  0 dan

c  1 dapat diperoleh D  0  411  4 , sehingga D  0 maka r1 , r2 , r3 , r4
2

merupakan bilangan kompleks atau imajiner, sehingga dapat diperoleh
r1  1, r2  1, r3  i dan r4  i

Jadi solusi umumnya adalah y h x   c1e  x  c2 e x  c3 cos x  c4 sin x

18

c.

Bila D  0 maka r1  r2 (akar real dan sama)
Jika persamaan karakteristik mempunyai akar-akar yang sama, maka solusi

umumnya tidak lagi mempunyai bentuk seperti Persamaan (2.5), tetapi
mempunyai bentuk berikut : e r1x , xe r1x , x 2 e r1x ,, x s 1e r1x . Jika akar-akarnya
berulang sebanyak s kali s  n  , maka solusi umum Persamaan (2.5) adalah

y h x   c1e r1x  c2 xe r1x    cn x s 1e r1x

2.7

Jika akar-akar kompleks berulang sebanyak s kali, 16 maka solusi umumnya
adalah:
y h x   c1e x cos x  c2 e x sin x  c3 xe x cos x  c4 xe x sin x   

2.8

cn x s 1e x cos x  cn x s 1e x sin x

Contoh 2.8 :
Tentukan solusi umum persamaan diferensial : y "  4 y '  4 y  0 .
Jawab :
Misalkan y  e rx maka dapat disubsitusikan ke persamaan diferensial homogen
sebagai berikut :

e   4e   4e   0
rx "

rx '



rx



e rx r 2  4r  4  0

dengan menggunakan rumus abc, dimana a  1, b  4 dan c  4 sehingga
r1, 2 

16

 b  b 2  4ac
2a

Heris Herdiana. Persamaan Diferensial. Bandung:Pustaka.2011, h.154-157

19





4

42  414
21

40
2

Sebab D  b 2  4ac maka persamaan r 2  4r  4  0 dengan a  1, b  4 dan
c  4 dapat diperoleh D  4  414  0 , sehingga D  0 maka r1  r2
2

merupakan akar real dan sama, sehingga dapat diperoleh r1 

4
4
dan r2  , atau
2
2

r1  2 dan r2  2.
Jadi solusi umumnya adalah : y h x  c1 e 2 x c 2 xe 2 x .
D. Bebas Linear dan Determinan Wronski
Definisi 2.6 :
y1 x , y 2 x ,, y n x  dikatakan tidak bebas linear (linear independent) jika

terdapat konstanta-konstanta k1 , k 2 ,, k n yang tidak semuanya nol sehingga
k1 y1 x   k 2 y 2 x     k n y n  0 . Jika bukan kasus tersebut, maka fungsi-

fungsi tersebut dikatakan bebas linear (linear dependent).17
Definisi 2.7 :
Wronskian dari

y1 x, y2 x,, yn x

yang bersifat bahwa setiap fungsi

mempunyai derivatif sampai tingkat ke- n  1 ,18 adalah

17

Didit Budi Nugroho, M.Si. Persamaan Diferensial Biasa. (Universitas Kristen Satya
Wacana, 2009), h. 48-49
18
Ibid

20

y2
y 2'
y 2"









 n 1

 n 1



 n 1
 yn

y1
y1'
y1"

W  y1 , y 2 ,, y n  

y1

y2

yn
y n'
y 2"

2.9

Contoh 2.9 :
Tentukan Wronskian dari fungsi-fungsi berikut :
a.

y1 x   sin 3x, y2 x   cos 3x

b.

y1 x   x, y2 x   x 2 , y3 x   x 3

Penyelesaian :
Dari definisi 2 dan fungsi-fungsi yang diketahui, kita hitung
a.

W sin 3x, cos 3x; x  

sin 3x
cos 3x
3 cos 3x  3 sin 3x

 3 sin 2 3x  3 cos 2 3x
 3

b.

x x2 x3
W x, x 2 , x 3 ; x  1 2 x 3 x 2
0 2 6x







 

 12 x 3  0  2 x 3  0  6 x 3  6 x 3



 14 x 3  12 x 3
 2x3

E. Metode Variasi Parameter
Metode yang lebih umum daripada metode koefisien tak tentu adalah
metode variasi parameter.19 Variasi parameter merupakan metode lain untuk

19

Edwin J, Kalkulus dan Geometri Analitis. (Jakarta:Penerbit Erlangga.1987), h.449

21

menemukan suatu integral khusus dari persamaan diferensial linear tak homogen
orde-n
an x y n   an1 x y n1    a1 x y'a0 x y  f x 

2.10

Jika y1 x , y 2 x ,, y n x  adalah n penyelesaian dari persamaan homogen :
an x y n   an1 x y n1    a1 x y'a0 x y  0

2.11

maka suatu integral khusus untuk Persamaan (2.10) mempunyai bentuk
y p x   v1 x y1 x   v2 x y 2 x     vn x y n x 

2.12

dengan v1 x , v2 x ,, vn x  adalah fungsi–fungsi tak diketahui yang harus
ditentukan.
Untuk mencari v1 x , v2 x ,, vn x  , pertama kali diselesaikan sistem
persamaan linear berikut ini untuk v1 x , v2 x ,, vn x  :
'

'

'

v1 y1  v 2 y 2    v n y n  0
'

'

'

v1 y1  v 2 y 2    v n y n  0
'

'

'

'

'

'

2.13


'

n 2 

 v2 y 2

'

 n 1

 v2 y 2

v1 y1
v1 y1

'

'

n  2 

   vn y n

 n 1

   vn y n

'

'

n  2 

n 1

0
 f x 

'

Selanjutnya diintegralkan setiap vi untuk memperoleh v i dengan mengabaikan
semua konstanta integrasi. Hal ini diperbolehkan sebab hanya akan dilihat satu
integral khusus. Metode di atas dikenal dengan nama metode variasi parameter. Di
sini hanya akan dibuktikan untuk persamaan diferensial tingkat dua yaitu bahwa

22

Persamaan (2.13) akan memberikan suatu integral khusus untuk Persamaan
diferensial (2.10).20 Diasumsikan suatu integral khususnya berbentuk
y p x   v1 x y1 x   v2 x y 2 x 

Dibentuk sistem persamaan
v1' x y1 x   v2' x y 2 x   0
v1' x y1' x   v2' x y 2' x   f x 

Selanjutnya ditentukan

y 'p  v1 x y1' x   v2 x y 2' x   v1' x y1 x   v2' x y 2 x 
 v1 x y1' x   v2 x y 2' x 

dan

y "p  v1 x y1" x   v2 x y 2" x   v1' x y1' x   v2' x y 2' x 
 v1 x y1" x   v2 x y 2" x   f x 

Disubsitukan y p x  , y 'p x  , dan y "p x  ke Persamaan (2.10) diperoleh









y "p  a1 y 'p  a0 y p  v1 y1"  v2 y 2"  f  a1 v1 y1'  v2 y 2'  a0 v1 y1  v2 y 2 



 



 v1 y1  a1 y1  a0 y1  v2 y 2  a1 y 2  a0 y 2  f x 
"

'

"

'

 f x 
Contoh 2.10 :
Gunakan metode variasi parameter untuk mencari integral khusus untuk
persamaan y "  4 y  sin 2 2 x  dan selanjutnya tuliskan penyelesaian lengkapnya.
Jawab :
20

Didit Budi Nugroho. 2011. Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya
Penyelesaian Manual dan Menggunakan Maple. Yogyakarta: Graha Ilmu. h.120-121

23

Penyelesaian homogennya yaitu

y h x   c1 cos2 x   c2 sin2 x  . Diasumsikan

bahwa integral khususnya berbentuk
y p  v1 cos2 x   v2 sin2 x 

Selanjutnya dari sistem persamaan (2.10), dipunyai
v1' cos2 x   v2' sin2 x   0
v1'  2 sin2 x   v2' 2 cos2 x   sin 2 2 x 

Penyelesaian dari sistem persamaan di atas yaitu
1
v1'   sin 3 2 x 
2
1
v2'   sin 2 2 x  cos2 x 
2

Jadi
v1  


v2 


1
sin 3 2 x dx

2

1
1
cos2 x   cos 3 2 x 
4
12
1
sin 2 2 x  cos2 x dx

2
1
cos 3 2 x 
12

Karena itu integral khususnya yaitu
y p  v1 cos2 x   v2 sin2 x 

1
1

1

y p   cos2 x   cos 3 2 x  cos2 x    sin 3 2 x  sin 2 x 
12
4

12


24



1
1
1
cos 2 2 x   cos 4 2 x   sin 4 2 x 
4
12
12



1
1
cos 2 2 x  
12
12

Jadi penyelesaian lengkap untuk Persamaan Diferensial yaitu

y  c1 cos2 x   c2 sin 2 x  

1
1
cos 2 2 x  
12
12

F. Aturan Cramer
Teorema 2.1 :
Jika A adalah matriks n × n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B
yang berukuran n × 1, sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu
pemecahan, yakni

2.14

X  A1 B

Bukti :
Karena A(A-1 B) = B, maka X = A-1 B adalah pemecahan AX = B. Untuk
memperlihatkan bahwa ini adalah satu-satunya pemecahan, maka dapat
menganggap

bahwa

Xo

adalah

sebarang

pemecahan

dan

kemudian

memperlihatkan bahwa Xo harus merupakan pemecahan A-1 B.
Jika Xo adalah suatu pemecahan, maka AXo = B. Dengan mengalikan kedua ruas
dengan A-1, maka didapatkan X 0  A 1 B
Teorema 2.2 :
Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka

A 1 

1
adj  A
det  A

2.15

25

Bukti :
Mula–mula diperlihatkan bahwa

A adj  A  det  AI
Tinjaulah hasil kali

 a11 a12
a
 21 a 22
 

A adj  A  
 ai1 ai 2
 


a n1 a n 2

 a1n 
 a 2 n   c11 c 21  c j1  c n1 


  c 21 c 22  c j 2  c n 2 



 
 ain   


  c1n c 2 n  c jn  c nn 

 a nn 

Entri dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari A adj(A) adalah
ai1c j1  ai1c j1    ain c jn

2.16

Jika i = j, maka Persamaan (2.16) adalah ekspansi kofaktor dari det(A) sepanjang
baris ke-i dari A. Sebaliknya, jika i ≠ j, maka koefisien–koefisien a dan kofaktor–
kofaktor berasal dari baris-baris A yang berbeda, sehingga nilai dari Persamaan
(2.16) sama dengan nol. Maka,

0
0 

det  A
 0
det  A 
0 

A adj  A 
 det  AI
 

 


0
 det  A
 0

2.17 

Karena A dapat dibalik, maka det(A) ≠ 0. Selanjutnya, persamaan (2.17) dapat
dituliskan kembali sebagai

1
Aadj  A  I
det  A
atau

26


 1
A
adj  A  I

 det  A
Dengan mengalikan kedua ruas dari kiri dengan A-1 akan menghasilkan

A 1 

1
adj  A
det  A

2.18

Teorema 2.3 :
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linear dalam n
bilangan tak diketahui sehingga det (A) ≠ 0, maka sistem tersebut
mempunyai pemecahan yang unik. 21 Pemecahan ini adalah:
x1 

det  An 
det  A1 
det  A2 
, x2 
, , x n 
det  A
det  A
det  A

di mana Aj adalah matriks yang didapatkan dengan menggantikan elemen-elemen
dalam kolom ke-j dari A dengan elemen-elemen dalam matriks

 b1 
b 
B   2

 
bn 
Bukti :
Jika det(A) ≠ 0, maka A dapat dibalik dan menurut Teorema 2.1 yaitu X = A-1 B
adalah pemecahan unik dari AX = B. Sehingga, menurut Teorema 2.2 diperoleh

X  A1 B


21

hal.79-88

1
adj AB
det  A

Kusumawati, Ririen. Aljabar Linear & Matriks. Surabaya : UIN-Malang Press, 2009.

27

C11 C 21  C n1   b1 

 
1 C12 C 22  C n 2  b2 


   
det  A  

 
C1n C 2 n  C nn  bn 
Dengan mengalikan matriks-matriks ini akan memberikan

b1C11

1 b1C12
X 
det  A  

b1C1n

 b2 C 21
 b2 C 22

   bn C n1 
   bn C n 2 


 

   bn C nn 



 b2 C 2 n

Entri dalam baris ke-j dari X dengan demikian adalah

Xj 

b1C1 j  b2 C 2 j    bn C nj
det  A

dimisalkan

 a11 a12  a1 j 1 b1
a
a 22  a 2 j 1 b2
21
Aj  
 




a n1 a n 2  a nj1 bn

aij 1  a1n 
a 2 j 1  a 2 n 

 

a nj1  a nn 

Karena A j berbeda dari A hanya dalam kolom ke-j, maka kofaktor dari entri-entri

b1 , b2 ,, bn dan A j adalah sama seperti kofaktor dari entri-entri yang bersesuaian
dalam kolom ke-j dari A. Perluasan kofaktor det

A 
j

dengan demikian adalah
det A j   b1C1 j  b2 C2 j    bn Cnj
Dengan mensubsitusikan hasil ini ke dalam

Xj 

b1C1 j  b2 C 2 j    bn C nj
det  A

sepanjang kolom ke-j

28

maka akan memberikan

Xj 

det A j 
det  A

2.19

Contoh 2.11 :
Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan :
x1



 2 x3  6

 3x1  4 x2  6 x3  30
 x1  2 x2  3x3  8

Penyelesaian :

 1 0 2
A   3 4 6,
  1 2 3
6 2
1
A2   3 30 6,
  1 8 3

0 2
6

A1  30 4 6
 8  2 3
0
6
1
A3   3 4 30
  1  2 8 

Maka,
x1 

det  A1   40  10


det  A
44
11

x2 

det  A2  152 38


det  A
44 11

x3 

det  A3  74 18


det  A 44 11

G. Fungsi Green
Pandang persamaan diferensial linear tak homogen orde-n :
an x y n   an1 x y n1    a1 x y '  a0 x y  f x 

2.20

29

Dengan fungsi f x  merupakan fungsi yang kontinu. Fungsi Gx, t  dikatakan
fungsi green untuk masalah nilai awal persamaan diferensial di atas jika
memenuhi kondisi sebagai berikut :
a.

Gx, t  terdefinisi pada daerah R  I  I dari semua titik x, t  dengan x dan t
terletak dalam selang I.

G  2 G
 nG
, 2 ,, n merupakan fungsi yang kontinu pada R  I  I .
x x
x

b.

Gx, t ,

c.

Untuk setiap x 0 dalam selang I, fungsi y p x    Gx, t  ht  dt x  adalah

x

x0

solusi

persamaan

diferensial

y p  x 0   y p  x 0   y p  x0     y p
'

"

tersebut
n 1

memenuhi

kondisi

awal

x0   0 .22

H. Integral Parsial
Jika u dan v adalah fungsi, aturan perkaliannya menghasilkan
Dx uv   uv '  vu'

yang dapat ditulis kembali dalam istilah antiturunan sebagai berikut :
uv   uv ' dx   vu' dx

Sekarang,

 uv

'

dx dapat ditulis sebagai

 u dv

dan

 vu

'

dx dapat ditulis sebagai

 v du . Jadi, uv   u dv   u du , dan karena itu,
 u dv  uv   v du

22

(integrasi parsial)

Iwan Sugiarto, 2002. Mengkonstruksi Fungsi Green Persamaan diferensial Linear
Orde-n. Jurnal Integral: Universitas Parahyangan Bandung

30

Tujuan integrasi parsial adalah untuk menggantikan integrasi yang “sulit”

 u dv

dengan integrasi yang “mudah”  v du .23
Contoh 2.12 : Tentukan

 x ln x dx .

Untuk menggunakan rumus integrasi integral parsial, terlebih dahulu harus
membagi integran x ln x dx menjadi dua “bagian” u dan dv sehingga dapat
dengan mudah menentukan v dengan integrasi dan juga dengan mudah
menentukan

 v du .

Dalam contoh ini, dimisalkan u  ln x dan dv  x dx .

Kemudian dapat menetapkan v 

1 2
1
x dan catatan bahwa du  dx . Jadi, rumus
2
x

integrasi parsial menghasilkan :
u  ln x
du 

dv  x dx

1
dx
x

v

1 2
x
2

 x ln x dx   u dv  uv   v du
1 1 
1 
 ln x  x 2    x 2  dx 
2 x 
2 

23



1 2
1
x ln x   x dx
2
2



1 2
1
x ln x  x 2  C
2
4



1 2
x 2 ln x  1  C
4

Frank Ayres, JR. Kalkulus Edisi Empat. (Jakarta:Penerbit Erlangga.1999),h.178-179

31

Pada baris pertama, ditempatkan u dan dv . Pada baris kedua,
ditempatkan u dan dv . Hasil yang dikehendaki dari rumus integral parsial
uv   v du dapat diperoleh dengan pertama-tama mengalikan sudut kiri atas u

dengan sudut kanan bawah v , dan kemudian mengurangkan integral perkalian
v du dari dua masukan v dan du pada baris kedua.

Contoh 2.13 : Tentukan

 xe

x

dx .

Misalkan u  x dan dv  e x dx . Dapat menggambarkannya di bawah ini :

ux

dv  e x dx

du  dx

v  ex

Maka,

 xe

x

dx  uv   v du
 xe x   e x dx
 xe x  e x  C

 e x x  1  C

I.

Masalah Nilai Awal
Untuk menentukan solusi tunggal dari persamaan diferensial orde

pertama cukup dengan memberikan suatu nilai dari solusi pada sebuah titik.
Karena solusi umum persamaan orde kedua memuat dua konstanta sembarang
maka cukup menspesifikasikan dua kondisi atau syarat yang dinamakan kondisi
atau syarat awal, yaitu yx0   k 0 dan y ' x0   k1 . Disini x 0 merupakan nilai x
yang diberikan, sedangkan k 0 dan k1 merupakan konstanta yang diberikan. Jadi

32

untuk menentukan solusi tunggal dari persamaan orde kedua adalah cukup
menspesifikasikan sebuah titik yang berada pada kurva solusi dan kemiringan
kurva pada sebuah titik. 24
Jaminan eksistensi solusi tunggal dari persamaan orde kedua diberi