PRINSIP MONOMIALITY DAN FUNGSI EIGEN DARI OPERATOR DIFERENSIAL

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 35 – 43

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PRINSIP MONOMIALITY DAN FUNGSI EIGEN DARI

OPERATOR DIFERENSIAL

  

ADE FITRI, EFENDI

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_{Abstrak. n n}

nte.ndee@gmail.com

Let Ap (x) = αp (x), where A is the differential operator, α is constant, and

polynomial p n (x) as the eigenfunction, has nontrivial solution, In this journal, the mono-

miality principle can be used to determine the eigenfunction of the differential operator.

Moreover, some special polynomials are given and some eigenfunctions of differensial

operator will be determined.

  

Kata Kunci : The monomiality principle, eigenfunction, Laguerre derivative, Stirling

numbers of second kind, special polynomials

  .

  1. Pendahuluan Polinomial (suku banyak) merupakan jumlah dari koefisien dengan variabel x berpangkat bilangan bulat positif, dimana operasi yang berlaku adalah penjum- lahan, pengurangan, perkalian dan pemangkatan dengan bilangan bulat positif.

  Operator adalah suatu transformasi yang mengubah suatu fungsi menjadi fungsi lain. Banyak jenis operator salah satunya adalah operator diferensial. Operator b D _d dengan notasi , merupakan contoh dari operator diferensial. Jika operator difer- _dx ensial beroperasi terhadap polinomial menghasilkan polinomial tersebut dikalikan dengan konstanta, maka polinomial itu disebut fungsi eigen (eigenfunction) dari operator diferensial.

  Hal yang dibahas dalam makalah ini adalah menemukan fungsi eigen dari operator diferensial yang bentuk fungsinya adalah polinomial, yaitu dengan menge- tahui sifat-sifat dari polinomial setelah beroperasi dengan operator diferensial. Prin- sip monomiality mengkaji sifat-sifat dari polinomial sehingga prinsip ini memu- ngkinkan untuk menemukan fungsi eigen dari operator diferensial.

  2. Prinsip Monomiality Himpunan polinomial {p n (x) n∈N } disebut himpunan quasimonomial jika

  P M terdapat dua buah operator ˆ dan ˆ , yakni operator derivative dan operator ˆ

  P np multiplication, yang diidentitaskan dengan (p n (x)) = n− 1 (x), dan

  ˆ M

  (p n (x)) = p n +1 (x). Kedua aturan ini dinamakan dengan prinsip monomiality [5].

• 1 .

  2

  2 ) + xD

  2 ( ^∞

  X _k =0 a ^k x ^k

  (k!)

  2 )

  = ^∞

  X _k =1 ka ^k x ^k−

  1 (k!)

  X _k =1 k

  X _k =0 a ^k x ^k

  (k − 1)a ^k x ^k−

  1 (k!)

  2 = ^∞

  X _{k =1} (k + k(k − 1))a ^k x ^k−

  1 (k!)

  2 = ^∞

  X _k k

  2 a ^k x ^k−

  1 (k!)

  (k!)

  2 = D( ^∞

  2

  2 .

  3. Pembahasan Dari prinsip monomiality dapat diperoleh beberapa sifat berikut ini [5, 6]:

  a. Operator ˆ M ˆ P beroperasi terhadap polinomial p n (x) ˆ

  M ˆ P (p _n (x)) = ˆ M (np _n−

  1 (x)) = np _n (x).

  b. Polinomial p n (x) bisa dikontruksi sebagai berikut : p n (x) = ˆ M ⁿ p (x). Jika p (x) = 1, polinomial p _n (x) dapat dikontruksi menjadi p _{n (x) = ˆ} M ⁿ · (1).

  3.1. Fungsi Eigen dari Operator Laguerre Derivative Bentuk umum dari Laguerre derivative yaitu

  D _{L = DxD =} d dx

  (x d dx

  ) = D + xD

  Untuk setiap n bilangan bulat positif, fungsi eksponensial nLaguerre didefinisikan sebagai berikut [3]: e _{n (x) =} ^∞

  X _{k =0} a ^k x ^k (k!)

  X _{k =0} x ^k (k!) ⁿ

  Teorema 3.1.

  [8] Fungsi e 1 (ax) adalah fungsi eigen dari operator Laguerre deriva- tive, dimana a adalah bilangan real, atau dapat ditulis sebagai berikut D _{L · e}

  1 (ax) = a · e

  1 (ax).

  Bukti.

  D _{L · e}

  1 (ax) = (D + xD

  2 ) ^∞

• ^∞

  ∞ _k−

  1 X x

  2 k D L · e (ax) = k a

  1

  2 _{k =1 ∞} (k(k − 1)!) _k−

  1 X _k− x

  1 = a a

  2 _k ((k − 1)!) _∞ =1 _k

  X _k x a = a

  2 _{k =0} (k!) = a · e (ax)

  1

  2 Bentuk umum dari Laguerre derivative yaitu D = D +xD , sehingga diperoleh _L :

  2

  2

  2

  2

  3 D = DxDxD = D(xD + x D ) = D + 3xD + x D ,

  2L dan _{n− n−}

  2

  2

  1

  1 D = Dx . . . DxD = D(xD + x D + . . . + x D ) (n−1)L _{h− h− h− h}

  2

  2

  1

  1 = S(n, 1)D + S(n, 2)xD + . . . + S(n, h − 1)x D + S(n, h)x D _n−

  1 n

• . . . + S(n, n)x D , di mana S(n, 1), S(n, 2), ..., S(n, h − 1), S(n, h), ..., S(n, n) adalah bilangan Stirling jenis kedua, S(n, k) [8]. Diperoleh juga rumusan sebagai berikut :

  D _{nL = Dx(D )} (n−1)L

  2

  2

  3 D = S(n, 1)D + (S(n, 1) + 2S(n, 2))xD + (S(n, 2) + 3S(n, 3))x + . . . + _{h− h n− n}

  1

  1 D D (S(n, h − 1) + hS(n, h))x + . . . + (S(n, n − 1) + nS(n, n))x _{n n}

• 1
• S(n, n)x D ,
• maka karena S(n + 1, k) = S(n, k − 1) + kS(n, k), dengan n, k ∈ Z _{h− h}

  2

  2

  3

  1 D _{nL = S(n + 1, 1)D + S(n + 1, 2)xD + S(n + 1, 3)x + . . . + S(n + 1, h)x n− n n n} D D 1 +1 D D .

• . . . + S(n + 1, n)x + S(n + 1, n + 1)x Teorema 3.2.

  [6, 8] Fungsi e n (ax) adalah fungsi eigen dari operator Laguerre derivative, di mana a adalah bilangan real, atau dapat ditulis sebagai berikut.

  D _{nL · e n (ax) = a · e n (ax).} Bukti. _{∞ k}

  X _k x D a _{nL · e n (ax) = D nL ( ) n +1 k} (k!)

  =0 _{h− h}

  2

  1 D = [S(n + 1, 1)D + S(n + 1, 2)xD + . . . + S(n + 1, h)x + . . . + _{∞ k}

  X _{n− n n n k} x 1 +1

  S D D a (n + 1, n)x + S(n + 1, n + 1)x ]( ) _{n +1 k} (k!) _{∞ ∞ k k} =0

  X X _{k k} x x

  2 a a

  = S(n + 1, 1)D( ) + S(n + 1, 2)xD ( ) + . . . + _{n n}

• 1 +1 _{k =0 k =0}

  (k!) (k!) _{∞ k}

  X _h− x 1 h k n− 1 n

  S (n + 1, h)x D ( a ) + . . . + S(n + 1, n)x D _n

• 1 _k

  (k!) _{∞ ∞ k k} =0

  X X _{k n n k} x x

• 1

  a D a ( ) + S(n + 1, n + 1)x ( ) _{n +1 n +1 k k} (k!) (k!)

  =0 =0 _{∞ ∞ k− k−}

  1

  X _{k k} x x = S(n + 1, 1)( ka ) + S(n + 1, 2)( k (k − 1)a ) + . . . + _{n n}

  1 X

• 1 +1 _{k =1 k =1 ∞}

  (k!) (k!) _k−

  1 X _k x S k

  (n + 1, h)( (k − 1) . . . (k − (h − 1))a ) + . . . + _{n +1 k} (k!) _∞ =1 _k−

  1 X _k x S k

  (n + 1, n)( (k − 1) . . . (k − (n − 1))a ) + _n

• 1 _{k =1 ∞}

  (k!) _k−

  1 X _k x S (n + 1, n + 1)( k (k − 1) . . . (k − n)a ) _n

• 1 _k

  (k!) _∞ =1

  X = [S(n + 1, 1)k + S(n + 1, 2)k(k − 1) + . . . + S(n + 1, h) _k

  =1 k (k − 1) . . . (k − (h − 1)) + . . . + S(n + 1, n)k(k − 1) . . . (k − (n − 1)) + _k−

  1 _k x S

  (n + 1, n + 1)k(k − 1) . . . (k − n)](a ), _n

• 1

  (k!) _n P n karena x = S (n, k)[x] di mana [x] = x(x − 1)(x − 2)...(x − k + 1), n ≥ 1 _{k k k} =1 maka _{∞ k−}

  1 X _{n k} x

• 1

  D k a _{nL · e n (ax) = n +1 k} (k!) _∞ =1 _k−

  1 X _{n k} x

• 1

  k a = _n

• 1 _{k =1 ∞}

  (k(k − 1)!) _k−

  1 X _k− x

  1 = a a _n

• 1 _k

  ((k − 1)!) _∞ =1 _k

  X _k x a = a _{n +1 k} (k!)

  =0 = a · e n (ax).

  3.2. Fungsi Eigen dari Operator Diferensial Asumsikan a = 1 dan n = 1, maka Teorema 3.2 dapat diubah menjadi [6]: _{∞ ∞ k k}

  X X x x D · e(x) = DxD( ) = . _L

  2

  2 _{k k} (k!) (k!) =0 =0

  Teorema 3.3. [6] Misalkan p k (x) adalah himpunan polinomial, ˆ P dan ˆ M meru-

  pakan operator derivative dan operator multiplication, maka

_{∞ ∞}

  X X p p _{k (x) k (x)} ˆ

  P ˆ M ˆ P ( ) =

  2

  2 _{k k} (k!) (k!) =0 =0

  P ∞ p _{k (x)}

  sedemikian sehingga _k ^{2 adalah fungsi eigen dari operator ˆ P ˆ M ˆ P .}

  =0 (k!) Bukti. _{∞ ∞}

  X X p _{k (x)}

  1 ˆ

  P ˆ M ˆ P ( ) = · ˆ P ˆ M ˆ P (p k (x))

  2

  2 (k!) _{k k} (k!)

  =0 =0 _∞

  X

  1 P M ˆ P = · ˆ ( ˆ (p k (x)))

  2 _k (k!) _∞ =0

  X

  1 = · ˆ P (k(p k (x)))

  2 _{k =0 ∞} (k!)

  X

  1

  2 = · k (p k− 1 (x))

  (k!) 2 _{k ∞} =1

  X k + 1

  2 p

  = ( ) k (x) _{k =0 ∞} (k + 1)!

  X k

• 1

  2 = ( ) p (x) _{k k} (k + 1)k! _{∞ ∞} =0

  X X p _{k (x)}

  1

  2 ˆ

  P ˆ M ˆ P p ( ) = ( ) k (x)

  2 k

  ! _{k k} (k!) =0 =0 _∞

  X p (x) _k =

  2 _{∞ k =0} (k!) P p k (x)

  Teorema 3.4. n+1 dari operator ˆ P ˆ M ˆ P . . . ˆ M ˆ P , [6] Suatu fungsi eigen _{k =0}

  (k!)

  sebanyak n + 1 buah operator ˆ P , maka berlaku : _{∞ ∞}

  X X p p _{k (x) k (x)} ˆ P ˆ M ˆ P . . . ˆ M ˆ P .

  ( ) = _{n +1 n +1 k k} (k!) (k!) Bukti. _{∞ ∞ n buah ˆ M ˆ P} z }| {

  X X p k (x) p k (x) ˆ ˆ

  P ˆ M ˆ P . . . ˆ M ˆ P P M ˆ P . . . ˆ M ˆ P ( ) = ˆ ( ( )) _{n n}

• 1 +1 _{k =0 k =0}

  (k!) (k!) _{M ˆ P} (n−1) buah ˆ _∞ z }| {

  X k.p k (x)

  ˆ P M ˆ P . . . ˆ M ˆ P

  = ˆ ( ( )) _n

• 1 _{M ˆ P k =0}

  (k!) (n−2) buah ˆ _∞ z }| {

  2 X k .p k (x)

  ˆ P M ˆ P . . . ˆ M ˆ P

  = ˆ ( ( )) _n

• 1 _{k =0}

  (k!) = . . . _{∞ n}

  X k .p _{k (x)} = ˆ P ( ) _n

• 1 _k

  (k!) _∞ =0 _n

  X k .k.p k− (x)

  1 = _{n +1 k} (k!) _∞ =1 _n

• 1

  X k .p (x) _k−

  1 = _n

• 1 _{k =1 ∞}

  (k!)

  X k

• 1 _n
• 1

  p = ( ) k (x) _k (k + 1)! _∞ =0

  X k + 1 _{n +1} p = ( ) k (x) _{k =0 ∞} (k + 1)k!

  X

  1 _n

• 1

  = ( ) p (x) _{k k} k ! _∞ =0

  X p k (x) = _n

• 1 _k

  (k!) =0

  4. Aplikasi pada Polinomial Khusus

  4.1. Polinomial Hermite Bentuk deret dari polinomial Hermite sebagai berikut : _n

  [ ] _{2 n−} 2k

  X _k n !(2x) H . _{n (x) = (−1)} k _{k =0} !(n − 2k)! Formula rekursif dari polinom Hermite yaitu H n +1 (x) = 2xH n (x) −2nH n− _′

  1 (x) dan H _n (x) = 2nH n− 1 (x) maka diperoleh: 1 d d nH H _{n− (x) = ( )H n (x), n (x) = (2x − )H n (x).}

  1 +1 dx dx

  2 _{d d}

  1 Jadi diperoleh dua buah operator ˆ P = dan ˆ M = 2x − sehingga, 2 dx dx d d d

  1

  1

  2 ˆ P ˆ M ˆ P .

• = (2x − )( )

Maka berlaku Teorema 3.3 pada polinomial Hermite, yaitu sebagai berikut _{n ∞ ∞} [ ] _{2 n− 2k}

  X X

  X H _{n (x) (2x) k} ˆ

  P ˆ M ˆ P ( ) = (−1)

  2 k !(n − 2k)!n! _{n =0 n =0 k} (n!)

  =0 P ∞ H _{n (x)} sehingga _n ^{2 adalah fungsi Eigen dari operator ˆ P ˆ M ˆ P .}

  =0 (n!)

  4.2. Polinomial Bessel Bentuk deret dari polinomial Bessel sebagai berikut : _{n x n +2k}

  X _k ( )

  2 J n (x) = (−1) . k _{k =0} !(n + k)!

  2n Formula rekursif dari polinom Bessel yaitu J n (x) + J n− (x) = J n (x) dan _′ +1

  1 _x J n− (x) − J n (x) = 2J (x) maka diperoleh :

  1 +1 n d n d n

  J J + + n− (x) = ( )J n (x), n (x) = (− )H n (x).

  1 +1 dx x dx x _{d n d n 2}

• P M Jadi diperoleh dua buah operator ˆ + = n dan ˆ = − sehingga, _{dx x dx x}

  3

  3 d n d k

  (n − 1) (k − 2)(k + 1)

  2

  3 ˆ

  P ˆ M ˆ P .

  = −k ( ) + +

  2

  3 dx x dx x

  Maka berlaku Teorema 3.3 pada polinomial Bessel, yaitu sebagai berikut _{∞ ∞ n x n}

• 2k

  X X

  X J ( ) _{n (x) k}

  2 ˆ

  P ˆ M ˆ P ( ) = (−1)

  2

  2 k !(n + k)!(n!) _{n =0 n =0 k} (n!)

  =0 P ∞ J _{n (x)} sehingga _n ^{2 adalah fungsi eigen dari operator ˆ P ˆ M ˆ P .}

  =0 (n!)

  4.3. Polinomial Laguerre Bentuk deret dari polinomial Laguerre sebagai berikut : _n

  X _{n−k n−k} n ! L n (x) = (−1) x .

  2 k _{k =0} !((n − k)!)

  Formula rekursif dari polinom Laguerre yaitu (n + 1)L (x) + nL (x) = _{n +1 n− ′}

  1 (2n + 1 − x)L (x) dan xL (x) = nL (x) − nL (x) maka diperoleh : _{n n n n−}

  1 d n + 1 − x x d nL L _{n− (x) = (n − x )L n (x), + n (x) = ( )L n (x).}

  1 +1 dx n n dx _{d n x d} + 1 + 1

• 1−x

  P M Jadi diperoleh dua buah operator ˆ = n − x dan ˆ = sehingga, + _{dx n +1 n +1 dx}

  ˆ P ˆ M ˆ P =

  1 d d d

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  3

  2

  3

  3 x x (n + n − n + x + (nx − n + nx − 2x ) + (2x − x )( ) + x ( ) ). Maka berlaku Teorema 3.3 pada polinomial Laguerre, yaitu sebagai berikut _{∞ ∞ n}

  X X

  X L n _{n (x) ! n−k n−k} ˆ

  P ˆ M ˆ P x

  ( ) = (−1)

  2

  2

  2 _{n n k} (n!) k !((n − k)!) (n!) =0 =0 =0

  P ∞ L _{n (x) 2 P ˆ M ˆ P} sehingga adalah fungsi eigen dari operator ˆ . _n =0

  (n!)

  4.4. Polinomial Legendre Bentuk deret dari polinomial Legendre sebagai berikut : _n

  [ ] ₂ X _{k n−} (2n − 2k)! 2k P x . _{n (x) = (−1) n k} 2 k !(n − k)!(n − 2k)!

  =0 _d

  2 Formula rekursif dari polinomial Legendre yaitu nP n− (x) = (nx+(1−x ) )P n (x) ₂

  1 _dx (1−x ) d

  P dan P n +1 (x) = (x − )P n (x). Jadi diperoleh dua buah operator ˆ = nx + _{n +1 dx 2 d d} (1−x )

  2 M (1 − x ) dan ˆ = x − sehingga, _{dx n dx}

• 1

  d

  1

  3

  3

  3

  2

  2

  4

  2

  2

  2

  4

  2 ˆ

  P ˆ M ˆ P n x x x x = − 4nx + n + 4nx + (−n + n − nx + 9x − 12x + n + 3) n + 1 dx d d

  5

  3

  2

  6

  4

  2

  3 +(7x − 14x + 7x)( ) + (x + 3x + 3x − 1)( ) ). dx dx

  Maka berlaku Teorema 3.3 pada polinomial Laguerre, yaitu sebagai berikut _{∞ ∞ [ ] n 2} X

  X X P _{n (x) (2n − 2k)! k n−} 2k

  ˆ P ˆ M ˆ P ( ) = (−1) x

  2 n

  2 2 k !(n − k)!(n − 2k)!(n!) _{n =0 n =0 k} (n!)

  =0 P ∞ P n

  (x) sehingga _{n =0} ^{2 adalah fungsi eigen dari operator ˆ P ˆ M ˆ P .}

  (n!)

  5. Kesimpulan Prinsip monomiality adalah aturan-aturan dari operator ˆ P dan ˆ M yang berop- erasi terhadap polinomial, yang mana prinsip ini diadopsi dari aturan dari operator _d

  ˆ D := dan ˆ _dx X := x yaitu operator derivative dan operator multiplication, yang _n beroperasi terhadap monomial, x , yang berlaku sebagai berikut _{n n− n n}

  1 +1 ˆ ˆ

  D , X .

  (x ) = nx (x ) = x Prinsip monomiality dapat digunakan untuk menemukan fungsi eigen dari operator diferensial. Dari beberapa polinomial khusus yaitu polinomial Hermite, polinomial Bessel, polinomial Laguerre dan polinomial Legendre, dapat juga dicari fungsi eigen dari operator diferensial.

  6. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih banyak kepada Bapak Admi Nazra, Ba- pak Efendi, Bapak Ahmad Iqbal Baqi, Bapak Syafruddin dan Bapak Budi Rudianto yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.

  7. Daftar Pustaka Daftar Pustaka [1] Anonim. 2010. Bilangan Stirling jenis kedua (Stirling number of the second kind ). http://leelaa88.files.wordpress.com/2010/01/bilangan-stirling-jenis-kedua.pdf, diakses pada tanggal 4 februari 2012 pukul 22.18 WIB

  [2] Anonim. Tanpa tahun. Derivatif (turunan). http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/ derivatif-turunan.pdf, diakses pada tanggal 25 januari 2013 pukul 05.54 WIB

  [3] Anonim. 2011. Fisika matematika. http://widhasunarno.staff.fkip.uns.ac.id/files/2011/08/ fis-mat-repaired-docx, diakses pada tanggal 28 Januari 2013 pukul 10.04 WIB

  [4] Anonim. Tanpa tahun. Fungsi pembangkit (generating functions). http://www.math. itb.ac.id/-diskrit/kuliah14baru.ppt, diakses pada tanggal 28 Januari 2013 pukul 10.04 WIB

  [5] Blasiak, Pawel. 2004. Combinatorics of boson normal ordering and some appli- cations. Concepts of Physics. 1 : 225-226 [6] Cacao, I. dan P.E. Ricci. 2011. Monomiality principle and eigenfunctions of differential operators. International Journal of Mathematics and Mathematical

  Sciences

  . 2011(856327) [7] Candel, A. 2009. Polynomials. http://freedownloadb.com/pdf/polynomials-california-state- university-northridge-32552304.html, diakses pada tanggal 4 Februari 2012 pukul 23.20 WIB

  [8] Dattoli, G. dan P.E. Ricci. 2003. Laguerre-type exponentials, and the relevant L-circular and L-hyperbolic functions. Georgian Mathematical Journal. 10(3) : 481-494

  [9] Kamal, A.A. 2010. 1000 Solved Problem in Modern Physics. Springer, Texas [10] Novianingsih, K. Tanpa tahun. Koefisien binomial. http://file.upi.edu/direktori/ fpmipa/jur.-pend.-matematika/khusnul-novianingsih/koefisien-binomial.pdf, diakses pada tanggal 25 Maret 2013 pukul 05.28 WIB [11] Purcell, E.J., D. Varberg dan S.E. Rigdon. 2003. Kalkulus, Jilid 1, Edisi 8. Erlangga, Jakarta [12] Purcell, E.J., D. Varberg dan S.E. Rigdon. 2004. Kalkulus, Jilid 2, Edisi 8. Erlangga, Jakarta

  [13] Riseborough, P.S. 2011. Mathematical methods 1. http://www.math.temple.edu/-prisebor/ mm1.pdf, diakses pada tanggal 6 Februari 2013 pukul 06.00 WIB

  [14] Sherrill, David. 2006. Eigenfunctions and eigenvalues. http://vergil.chemistry.gatech.edu/ notes/quantrev/node14.html, diakses pada tanggal 23 Februari 2012 pukul 08.08 WIB