Dominasi dalam graf.

(1)

ABSTRAK

I Gusti Bagus Yosia Wiryakusuma. 2015. Dominasi Dalam Graf. Makalah. Program Studi Matematika, Jurusan Matemaika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Dominasi dalam graf merupakan salah satu cabang ilmu dalam teori graf yang mempelajari tentang himpunan yang mendominasi, atau dengan kata lain dominasi dalam graf mempelajari banyaknya titik yang dapat mendominasi graf tersebut. Himpunan yang mendominasi terdiri dari beberapa bagian, seperti himpunan yang mendominasi minimum dan himpunan yang mendominasi bebas.

Dalam penerapannya, dominasi dalam graf merupakan cara untuk meletakkan titik-titik penting dalam suatu graf yang melambangkan hubungan antar kota, seperti meletakkan fasilitas-fasilitas kesehatan dalam suatu provinsi atau kabupaten.

(2)

ABSTRACT

I Gusti Bagus Yosia Wiryakusuma. 2015. Domination In Graphs. A Paper. Mathematics Study Program, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

Domination in graph is one branch of graph theory that studies on the dominating set, or in other words the domination in graph learn the number of vertices that can dominate the graph. The dominating set consists of several parts, such as minimum dominating set and independent dominating set.

In its application, domination in graph is a way to put the important vertices in a graph which symbolizes the relationship between the city, such as putting the health facilities in a province or district.

(3)

DOMINASI DALAM GRAF

MAKALAH

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

I Gusti Bagus Yosia Wiryakusuma 103114006

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(4)

DOMINATION IN GRAPHS

PAPER

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

in Mathematics Study Program

By :

I Gusti Bagus Yosia W 103114006

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

(5)

iii

(6)

(7)

HALAMAN PERSEMBAHAN “Ora et labora”

-Mother Teresa-

“Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh kepercayaan, kamu akan menerimanya”

-Matius 21:22-

“Seorang prajurit yang sedang berjuang tidak memusingkan dirinya dengan soal -soal penghidupannya, supaya dengan demikian ia berkenan kepada

komandannya” -2 Timotius 2:4-

“Jagalah hatimu dengan segala kewaspadaan, karena dari situlah terpancar kehidupan”

-Amsal 4:23-

Tugas akhir ini kupersembahkan untuk: Tuhan Yesus Kristus, Kedua orangtua, I G. N. Wiryawan B. dan Debora Ratnawati Y., Adik-adikku, I G. A. Gracia W. dan I G. N. Yonatan W., Khusfika Stifani, Dan teman-teman Matematika 2010 USD.

(8)

(9)

(10)

viii ABSTRAK

I Gusti Bagus Yosia Wiryakusuma. 2015. Dominasi Dalam Graf. Makalah. Program Studi Matematika, Jurusan Matemaika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

(11)

ix ABSTRACT

I Gusti Bagus Yosia Wiryakusuma. 2015. Domination In Graphs. A Paper. Mathematics Study Program, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

(12)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat-Nya sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan dengan baik. Banyak tantangan dalam penyelesaian tugas akhir ini, namun atas berkat dan rahmat-Nya, dan dukungan dari berbagai pihak, akhirnya tugas akhir ini bisa diselesaikan dengan baik.

Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih atas segala bimbingan dan dukungan kepada:

1. Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing Tugas Akhir.

2. Bapak Y. G. Hartono, Ph.D. selaku Ketua Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma dan Dosen Penguji Tugas Akhir.

3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku Dosen Pembimbing Akademik dan Dosen Penguji Tugas Akhir.

4. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

6. Keluarga tercinta, kedua orangtuaku, I G. N. Wiryawan B. dan Debora Ratnawati Y., kedua adikku, I G. A. Gracia W. dan I G. N. Yonatan W.

(13)

8. Teman-teman Matematika 2010 USD, Arga, Ayu, Celly, Tika, Agnes, Roy, Ratri, Yohan, Pandu, Sari, Leny, Astri, Marsel, Dini.

9. Kakak-kakak angkatan 2006, 2007, 2008, 2009, dan adik-adik angkatan 2011, 2012, 2013, 2014.

10.Semua pihak yang membantu penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu.

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam tugas akhir ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun dan menyempurnakan tugas akhir ini. Akhirnya, penulis berharap agar tugas akhir ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.

Yogyakarta, 20 Januari 2015

(14)

xii DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA ... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

PERNYATAAN KEASLIAAN KARYA ... vi

LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ... vii

ABSTRAK ... viii

ABSTRACT ... ix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 6

C. Batasan Masalah ... 6

D. Tujuan Penulisan ... 6

E. Metode Penulisan ... 7

F. Manfaat ... 7

G. Sistematika Penulisan ... 7

BAB II DASAR-DASAR TEORI GRAF ... 9

A. Teori Graf ... 9

B. Graf Bagian ... 16

C. Macam-macam Graf ... 17

(15)

xiii

E. Keterhubungan Dalam Graf ... 30

BAB III DOMINASI DALAM GRAF ... 32

A. Konsep Dominasi ... 32

B. Himpunan Yang Mendominasi ... 33

C. Himpunan Yang Mendominasi Bebas ... 35

D. Teorema Tentang Dominasi Dalam Graf ... 38

E. Teorema Tentang Bilangan Dominasi Bebas Dari Suatu Graf ... 54

F. Parameter Dominasi Lainnya ... 58

G. Aplikasi ... 64

BAB IV PENUTUP ... 68

A. Kesimpulan ... 68

B. Saran ... 70

(16)

1 BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas tentang latar belakang, perumusan masalah, serta tujuan, metode dan manfaat penulisan makalah, selain itu juga akan dibahas mengenai sistematika penulisan.

A. LATAR BELAKANG

Dominasi dalam bahasa Indonesia mempunyai arti penguasaan oleh pihak yang lebih kuat terhadap yang lebih lemah, atau secara umum dapat diartikan sebagai penguasaan atas seseorang ataupun suatu hal. Demikian pula pengertian dominasi dalam kehidupan sehari-hari adalah penguasaan pihak yang kuat terhadap pihak yang lebih lemah, contohnya dominasi dalam suatu turnamen pertandingan sepak bola. Tim yang kuat akan lebih menguasai jalannya suatu pertandingan dibandingkan tim yang lemah. Konsep dominasi tersebut juga dapat ditemukan dalam ilmu matematika, yaitu dalam teori graf.

Menurut catatan sejarah, pada tahun 1736, masalah jembatan Königsberg adalah masalah yang pertama kali diselesaikan dengan menggunakan graf. Di kota Königsberg yang berada di Jerman, terdapat sungai Pregal yang mengalir melalui kota tersebut. Sungai Pregal tersebut mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi 2 buah anak sungai. Di kota Königsberg terdapat 7 buah jembatan yang menghubungkan daratan yang terbelah oleh sungai Pregal. Pada jaman itu, penduduk kota mencoba berpikir apakah mungkin melalui ketujuh jembatan

(17)

tersebut hanya dengan sekali jalan tanpa melalui jembatan yang sama. Sebagian penduduk berpikir bahwa tidak mungkin melalui ketujuh jembatan tersebut hanya dengan sekali jalan tanpa melalui jembatan yang sama. Namun, mereka tidak dapat menjelaskan alasannya, selain dengan cara coba-coba melalui ketujuh jembatan tersebut. Pada tahun 1736, Leonhard Euler, seorang matematikawan Swiss berhasil menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan graf dan didapatkan kesimpulan bahwa tidak mungkin melalui ketujuh jembatan tersebut hanya dengan sekali jalan tanpa melalui jembatan yang sama.

Gambar 1.1

Hubungan antar titik atau dalam ilmu matematika yang sering disebut dengan teori graf sebenarnya sudah sering ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu contoh penerapan teori graf dalam kehidupan sehari-hari adalah dibangunnya suatu jalan besar (highway) yang menghubungkan beberapa kota. Penerapan ini mengaplikasikan teori graf untuk menjelaskan hubungan antar titik, misalnya tentang jalur antar kota dengan jarak terpendek, pengambilan keputusan untuk membangun pusat-pusat layanan masyarakat.

(18)

Teori graf memiliki beberapa bagian seperti dominasi dalam graf. Pada tahun 1958, Claude Berge memperkenalkan bilangan dominasi dalam graf. Sebuah graf merupakan himpunan yang elemen-elemenya disebut dengan titik (node/vertex) yang dihubungkan oleh garis-garis yang disebut rusuk (edge). Sebuah titik dikatakan berhubungan dengan titik jika ada suatu ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Dalam graf , sebuah himpunan adalah himpunan yang mendominasi (dominating set) jika setiap titik yang berada di himpunan , berada di himpunan atau berhubungan dengan suatu titik dalam himpunan , dimana merupakan himpunan titik-titik dari suatu graf. Bilangan dominasi (domination number) adalah kardinalitas terkecil dari sebuah himpunan yang mendominasi. Dimana kardinalitas sebuah himpunan berhingga adalah banyaknya anggota dalam himpunan tersebut.

Penerapan dominasi dalam graf dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai dalam masyarakat. Sebagai contoh adalah penempatan satpam dalam sebuah museum. Demi menjaga lukisan-lukisan yang berharga, maka pihak keamanan museum akan menempatkan satpam di ruang pameran dalam berbagai macam variasi tempat. Sebagai asumsi seorang satpam dapat mengawasi lorong yang menuju tempat lukisan dipamerkan dari tempat ia berada. Rumusan masalah yang dapat diambil dari kasus tersebut adalah berapa jumlah satpam minimal yang harus ditempatkan dalam ruang pameran lukisan namun tidak mengurangi tingkat keamanan ruangan? Dalam kasus ini, dominasi seorang satpam dalam mengawasi atau menguasai beberapa lorong dalam gedung tersebut sangat diperlukan. Pemikiran minimalisasi jumlah satpam yang digunakan dapat menekan biaya

(19)

operasional dari museum sehingga manfaat dari aplikasi dominasi dalam graf dapat dirasakan langsung dalam kehidupan sehari-hari.

Gambar 1.1

Misalkan titik , , , dan adalah titik-titik dimana satpam harus ditempatkan, dan garis-garis yang menghubungkan titik-titik tersebut merupakan lorong-lorong yang harus diperhatikan oleh satpam. Dengan menggunakan teori graf, didapatkan bahwa minimal diperlukan tiga orang satpam untuk ditempatkan pada titik-titik tersebut. Misalkan tiga orang satpam tersebut ditempatkan di titik , dan , maka satpam di titik dapat memperhatikan lorong yang menghubungkan titik dengan titik dan titik dengan titik , sedangkan satpam di titik dapat memperhatikan lorong yang menghubungkan titik dengan titik dan titik dengan titik , sehingga satpam di titik dapat memperhatikan lorong yang menghubungkan titik dengan titik dan titik dengan titik .

Contoh lain dalam penggunaan dominasi dalam graf adalah penempatan fasilitas kesehatan dalam beberapa kota. Andaikan sebuah kabupaten yang memiliki beberapa kota yang dihubungkan oleh jalan besar (highway) ingin membangun fasilitas kesehatan dengan biaya seminimal mungkin tetapi dapat memenuhi semua kebutuhan kota-kota yang terdapat dalam kabupaten tersebut.

(20)

Maka berapa jumlah minimal kota yang harus dibangun fasilitas kesehatan dan di kota mana saja harus di bangun fasilitas tersebut?

Gambar 1.2

Misalkan titik , , , , , , dan melambangkan delapan kota besar dalam kabupaten tersebut yang dihubungkan oleh jalan-jalan besar (highway) seperti pada gambar. Dengan menggunakan dominasi dalam graf, persoalan tersebut akan lebih mudah ditemukan solusinya. Dengan membangun fasilitas kesehatan di kota dan , maka kebutuhan semua kota akan dapat dipenuhi. Dari kota , fasilitas kesehatan tersebut dapat mengirimkan bantuan ke kota itu sendiri, ke kota , dan . Sedangkan dari kota , fasilitas kesehatan tersebut dapat menjangkau kota , , dan kota itu sendiri. Sehingga banyaknya fasilitas kesehatan yang dapat dibangun seminimal mungkin ada dua, yaitu ditempatkan di kota dan . Praktisnya, dominasi dalam graf dalam kasus ini, digunakan untuk meminimalkan jumlah kota yang harus dibangun fasilitas kesehatan.

Berdasar uraian di atas, dalam tugas akhir ini akan dibahas tentang dominasi dalam graf beserta sifat-sifatnya dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

(21)

B. RUMUSAN MASALAH

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini yaitu:

1. Apa yang dimaksud dengan dominasi dalam graf dan bagaimana contoh penerapan dari dominasi dalam graf?

2. Sifat-sifat apa sajakah yang berlaku dalam masalah dominasi dalam graf dan bagaimana pembuktiannya?

3. Apa saja yang menjadi parameter dominasi dan hubungan masing-masing parameter tersebut?

C. PEMBATASAN MASALAH

Konsep-konsep yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah konsep mengenai dominasi dalam graf beserta sifat-sifatnya sampai dengan penerapannya, sedangkan hal-hal di luar topik tersebut, seperti fungsi yang mendominasi, dominasi kompleks, dan frameworks of domination tidak dibahas.

D. TUJUAN PENULISAN

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini yaitu:

1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan dominasi dalam graf beserta penerapannya.

2. Mengetahui sifat-sifat yang berlaku dalam dominasi dalam graf beserta buktinya.

(22)

3. Mengetahui parameter dominasi dan hubungan masing-masing parameter tersebut.

E. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan konsep-konsep dominasi dalam graf dan penerapannya.

F. MANFAAT PENULISAN

Manfaat penulisan makalah ini adalah memperoleh pengetahuan mengenai konsep-konsep dominasi dalam graf dan penerapannya dalam bidang di luar matematika.

G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I PENDAHULUAN

H. Latar Belakang I. Rumusan Masalah J. Batasan Masalah K. Tujuan Penulisan L. Metode Penulisan M.Manfaat

(23)

BAB II DASAR-DASAR TEORI GRAF F. Teori Graf

G. Graf Bagian

H. Macam-macam Graf I. Operasi Pada Graf

J. Keterhubungan Dalam Graf BAB III DOMINASI DALAM GRAF

H. Konsep Dominasi

I. Himpunan Yang Mendominasi J. Himpunan Yang Mendominasi Bebas K. Teorema Tentang Dominasi Dalam Graf

L. Teorema Tentang Bilangan Dominasi Bebas Dari Suatu Graf

M.Parameter Dominasi Lainnya N. Aplikasi

BAB IV PENUTUP C. Kesimpulan D. Saran

(24)

9 BAB II

DASAR-DASAR TEORI GRAF

A. TEORI GRAF Definisi 2.1

Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan , yang dalam hal ini adalah himpunan tidak kosong dari titik-titik, yaitu { } dan adalah himpunan rusuk yang menghubungkan sepasang titik, yaitu { }, atau dapat ditulis dengan notasi . Bila rusuk menghubungkan titik dan maka dapat ditulis .

Contoh 2.1

Gambar 2.1 menyatakan graf dengan: { }

{ }

(25)

10 Definisi 2.2

Dua buah titik pada graf dikatakan berhubungan bila keduanya terhubung langsung oleh suatu rusuk.

Untuk sebarang rusuk , rusuk dikatakan bersisian dengan titik dan titik .

Contoh 2.2

Pada gambar 2.1, titik berhubungan dengan titik , tetapi titik tidak berhubungan dengan titik .

Definisi 2.3

Misalkan dan adalah himpunan titik-titik dalam graf , kardinalitas dari didefinisikan sebagai banyaknya titik dalam , dan dinotasikan dengan | |.

Contoh 2.3

Pada gambar 2.1 kardinalitas dari adalah 8 atau | | .

Definisi 2.4

Misal adalah graf, dan adalah titik-titik dalam graf , jalan dari didefinisikan sebagai barisan titik-titik dan rusuk-rusuk yang

(26)

dimulai dari dan diakhiri dengan sedemikian sehingga titik-titik dan rusuk-rusuk yang berurutan saling bersisian.

Sebuah jalan tanpa titik yang berulang disebut lintasan dan lintasan yang menghubungkan titik dan disebut lintasan .

Lintasan tertutup atau siklus adalah lintasan yang dimulai dari dan diakhiri dengan .

Contoh 2.4

Pada gambar 2.1, jalan beberapa diantaranya adalah:

Sedangkan lintasan adalah

Siklus dari gambar 2.1 salah satunya adalah

(27)

12 Definisi 2.5

Suatu fungsi disebut fungsi one-to-one (satu-satu) jika hanya jika , .

Contoh 2.5

Misal dengan { } dan { }, yang didefinisikan dengan

maka fungsi merupakan fungsi yang one-to-one.

Definisi 2.6

Suatu fungsi disebut fungsi onto jika hanya jika , , .

Contoh 2.6

Misal dengan { } dan { }, yang didefinisikan dengan

(28)

maka fungsi merupakan fungsi yang onto.

Definisi 2.7

Graf dan dikatakan isomorfis, dinotasikan dengan , jika terdapat fungsi satu-satu (one-to-one) dan onto sedemikian hingga setiap pasangan titik dan berhubungan dalam jika dan hanya jika dan berhubungan dalam . Fungsi yang memenuhi syarat tersebut disebut isomorfisma dari ke .

Contoh 2.7

Gambar 2.2

Graf dan pada gambar 2.2 merupakan graf yang isomorfis.Dengan , , , , dan atau , , , , dan .

(29)

14 Definisi 2.8

Misalkan adalah suatu titik dalam graf , derajat dari titik atau adalah banyaknya rusuk yang bersisian dengan titik .

Sedangkan derajat minimum dinotasikan dengan adalah derajat terkecil dari titik-titik dalam dan derajat maksimum dinotasikan dengan adalah derajat terbesar dari titik-titik dalam .

Contoh 2.8

Pada gambar 2.1 didapatkan

Sehingga dan .

Definisi 2.9

Misalkan adalah suatu titik dalam graf , merupakan titik ujung jika memiliki derajat satu. Dan merupakan titik terasing jika memiliki derajat nol.

(30)

15 Contoh 2.9

Gambar 2.3

Dari gambar 2.3 didapatkan , maka titik adalah titik ujung dari graf tersebut, dan , maka titik merupakan titik terasing.

Definisi 2.10

Misalkan adalah graf. Graf merupakan graf terhubung bila hanya bila untuk setiap titik dan di , ada jalan dari titik ke titik .

Contoh 2.10

Gambar 2.4

Graf merupakan graf terhubung, sedangkan graf merupakan graf tidak terhubung.

(31)

16 B. GRAF BAGIAN

Definisi 2.11

Misal adalah graf dengan himpunan titik dan himpunan rusuk , suatu graf disebut graf bagian dari jika dan dan untuk setiap , titik dan berada di .

Contoh 2.11

Gambar 2.5

(32)

17 Definisi 2.12

Jika , maka graf bagian yang diinduksi oleh , dinotasikan , adalah graf bagian yang berisi titik-titik dalam dan semua rusuk yang berbentuk dalam , dimana dan .

Contoh 2.12

Dari gambar 2.1, misal { }, maka { }.

C. MACAM-MACAM GRAF

Definisi 2.13

Suatu graf disebut graf bipartit jika dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian tak kosong dan , sedemikian hingga jika adalah rusuk dalam , maka titik dan berada pada himpunan bagian yang berbeda.

Contoh 2.13

Gambar 2.6

Gambar 2.6 merupakan graf bipartit dengan { } dan { }.

(33)

18 Definisi 2.14

Graf lengkap adalah graf yang memiliki titik dan setiap setiap titik dihubungkan satu sama lain oleh sebuah rusuk. Graf lengkap disebut juga graf trivial.

Contoh 2.14

Gambar 2.7

Gambar 2.7 merupakan beberapa contoh graf lengkap.

Definisi 2.15

Graf bipartit lengkap adalah graf yang himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi himpunan tak kosong dan dengan kardinalitas berturut-turut dan , sedemikian sehingga setiap titik di himpunan berhubungan dengan setiap titik di himpunan dan tidak ada keterhubungan lainnya.

(34)

19 Contoh 2.15

Gambar 2.8

Definisi 2.16

Graf bintang adalah graf bipartit lengkap yang memuat satu titik dengan derajat , dan titik lainnya berderajat satu yang berarti merupakan titik ujung.

Contoh 2.16

Gambar 2.9

Definisi 2.17

Untuk , graf siklus yang dinotasikan adalah suatu siklus dengan titik.

(35)

20 Contoh 2.17

Gambar 2.10

Gambar 2.10 merupakan beberapa contoh dari graf siklus.

Definisi 2.18

Graf lintasan dengan titik, dinotasikan adalah lintasan dengan titik.

Contoh 2.18

Gambar 2.11

Definisi 2.19

Misal adalah graf. Suatu graf disebut graf bebas-F jika graf tidak memuat graf bagian yang diinduksi secara isomorfis oleh .

(36)

21 Contoh 2.19

Gambar 2.12

Dalam gambar 2.12, graf bukan graf bebas- . Sedangkan graf merupakan graf bebas- .

Graf bebas- disebut juga graf bebas-cakar. Graf dan graf merupakan beberapa contoh graf bebas-cakar.

D. OPERASI PADA GRAF

1. GABUNGAN DAN PENGGABUNGAN

Definisi 2.20

Jika dan adalah dua graf yang tidak terhubung, gabungan adalah graf dengan dan . Maka, memuat salinan dari bersama dengan salinan dari .

(37)

22 Contoh 2.20

Gambar 2.13

Definisi 2.21

Jika dan adalah dua graf yang tidak terhubung, penggabungan terbentuk dengan menambahkan rusuk pada setiap titik sedemikian hingga setiap titik berhubungan dengan setiap titik . Jika dan memiliki dan titik, maka graf harus ditambahkan rusuk.

Contoh 2.21

Gambar 2.14

(38)

23 Definisi 2.22

Untuk , roda adalah penggabungan dari dengan , yang berarti .

Contoh 2.22

Gambar 2.15

Definisi 2.23

Misal adalah graf, barisan penggabungan adalah graf yang terbentuk dengan mengambil satu tiruan dari setiap graf dan menambahkan rusuk dari setiap titik pada

dihubungkan pada setiap titik pada , untuk .

Contoh 2.23

Gambar 2.16

(39)

2. KOMPLEMEN

Definisi 2.24

Komplemen ̅ dari suatu graf memiliki ̅ dan ̅ jika hanya jika .

Contoh 2.24

̅ Gambar 2.17

3. FAKTORISASI Definisi 2.25

Suatu graf dapat difaktorkan dengan jika sepasang-sepasang saling asing dan ⋃ . Jika dapat difaktorkan atas , maka hal tersebut dinotasikan dengan , yang disebut faktorisasi dari

(40)

25 Contoh 2.25

Gambar 2.18

Gambar 2.18 merupakan contoh dari .

4. PRODUK KARTESIUS

Misal dan adalah graf dengan himpunan titik-titik { } dan { }, produk kartesius adalah graf dengan himpunan titik yang memuat titik-titik yang diberi label , dimana dan . Dua titik dan berhubungan dalam jika

1. dan berhubungan dengan dalam graf , atau 2. dan berhubungan dengan dalam graf .

Setiap titik dari dapat dipandang memiliki dua “orang tua” , yaitu dalam dan dalam . Untuk setiap , graf bagian yang diinduksi oleh { | } disebut tiruan ke- dari . Dengan cara yang sama, untuk setiap , graf bagian yang diinduksi oleh { | } disebut tiruan ke- dari . Gambar 2.19

(41)

memperlihatkan graf , dan produk kartesius .

Gambar 2.19

Graf dalam gambar 2.19 dapat dilihat sebagai tiga graf tiruan dari graf yang berkorespondensi dengan tiga titik dalam graf . Kira-kira seperti meletakan titik-titik dari pada tiruan graf . Setiap tiruan memiliki koordinat tetap kedua (lihat gambar 2.19). Titik-titik dalam tiruan yang pertama berhubungan dengan titik-titik yang berkorespondensi dari graf tiruan yang kedua, karena berhubungan dengan dalam . Dengan cara yang mirip, titik-titik dalam tiruan yang kedua berhubungan dengan titik-titik yang berkorespondensi dari graf tiruan yang ketiga, karena berhubungan dengan dalam . Selain itu, titik-titik yang berkorespondensi dalam tiruan yang pertama dan ketiga tidak saling berhubungan karena dan tidak berhubungan dalam .

Paragraf sebelumnya dapat ditulis ulang dengan sedikit penyesuaian jika pandangan terhadap graf tersebut diubah dengan mulai dengan empat

(42)

graf tiruan . Terdapat empat graf , yang setiap graf tersebut dikarakterisasi oleh koordinat tetap yang pertama. Dalam faktanya, dan adalah isomorfis untuk setiap dua graf dan , perbedaannya hanya pada penamaannya. Dapat dilihat juga bahwa produk kartesius memiliki sifat asosiatif, yaitu untuk setiap tiga graf , dan .

5. JALA

Salah satu graf yang dapat dibentuk menggunakan produk kartesius adalah jala, yang juga disebut jaringan atau kisi. Graf sama dengan produk kartesius dari dengan , yang berarti

. Graf sama dengan produk kartesius dari dengan dan . Sehingga , karena produk kartesius bersifat asosiatif. Graf ini dapat diperluas menjadi . Graf adalah produk kartesius dari lintasan dengan urutan , dan . Graf jala diperlihatkan pada gambar 2.20, dengan empat titik yang berderajat 2 diberi label.

(43)

Gambar 2.20

Graf 3-jala diperlihatkan pada gambar 2.21 dengan beberapa titik berlabel. Graf 3-jala yang umum dapat dilihat sebagai garasi dengan beberapa lantai, tepatnya c lantai. Koordinat ketiga mengidentifikasi banyaknya lantai. Setiap lantai adalah graf 2-jala dengan

baris dan kolom.

Gambar 2.21

6. GRAF RUSUK Definisi 2.26

Untuk suatu graf , graf rusuk memiliki himpunan titik yang terdiri atas rusuk-rusuk dari . Dua titik dalam berhubungan jika

(44)

rusuk-rusuk yang berkorespondensi di bersisian dengan titik yang sama dalam .

Contoh 2.26

Gambar 2.22

7. PENGHAPUSAN RUSUK ATAU TITIK Definisi 2.27

Jika adalah titik dalam , graf adalah graf yang terbentuk dari dengan menghapus titik dan semua rusuk yang bersisian dengan .

Contoh 2.27

Gambar 2.23

(45)

30 Definisi 2.28

Jika adalah rusuk dalam , graf adalah graf yang terbentuk dari dengan menghapus rusuk .

Contoh 2.28

Gambar 2.24

E. KETERHUBUNGAN DALAM GRAF

Definisi 2.29

Misal graf terhubung. Keterhubungan titik dalam suatu graf , dinotasikan , adalah jumlah minimum titik yang bila dihapus akan membuat menjadi tak terhubung atau membuat menjadi graf trivial.

(46)

31 Contoh 2.29

Gambar 2.25

Dari gambar 2.25, didapatkan . Karena cukup hanya dengan menghapus satu titik akan membuat graf tersebut menjadi tak terhubung.

Definisi 2.30

Misal graf terhubung. Keterhubungan rusuk dalam suatu graf , dinotasikan , adalah jumlah minimum rusuk yang bila dihapus akan membuat menjadi tak terhubung atau membuat menjadi graf trivial.

Contoh 2.30

Dari gambar 2.25, didapatkan . Karena cukup hanya dengan menghapus satu rusuk akan membuat graf tersebut menjadi tak terhubung, yaitu dengan menghapus rusuk atau .

(47)

32 BAB III

DOMINASI DALAM GRAF

A. KONSEP DOMINASI

Contoh dominasi dalam matematika muncul pada tahun 1850 dalam permainan yang disebut masalah n ratu. Dalam permainan catur, sebuah ratu pada papan catur, diperbolehkan untuk bergerak secara horisontal, vertikal, maupun diagonal. dikatakan menyerang jika dapat memakan bidak catur dalam posisi . Yang berarti, posisi berada tepat pada suatu garis lurus terhadap posisi dari , baik secara horisontal, vertikal, maupun diagonal. dalam masalah n ratu, tantangannya adalah meletakan n ratu pada papan catur yang kosong, sehingga masing-masing kotak dari 64 kotak tersebut dapat diserang oleh paling sedikit satu ratu. Ratu-ratu tersebut dikatakan mendominasi semua kotak jika ratu-ratu tersebut dapat menduduki atau menyerang semua kotak, himpunan ratu tersebut adalah himpunan yang mendominasi kotak catur tersebut. Masalahnya adalah untuk menentukan jumlah minimum ratu yang merupakan himpunan yang mendominasi. Jawaban tersebut adalah 5; salah satunya ditunjukan pada gambar 3.1.

(48)

Gambar 3.1

B. HIMPUNAN YANG MENDOMINASI

Konsep dari himpunan yang mendominasi dalam graf tidak didefinisikan secara formal hingga 1958, ketika Berge dalam bukunya yang berjudul “Théorie des Graphes et ses Applications” menulis buku teori graf yang kedua; buku teori graf yang pertama ditulis oleh König dalam bukunya yang berjudul “Theorie der endlichen und unendlichen Graphen” pada tahun 1936.

Definisi 3.1

Sebuah himpunan yang terdiri dari titik-titik dalam sebuah graf disebut himpunan yang mendominasi jika setiap titik

(49)

Selanjutnya, semua titik di atau yang berhubungan dengan anggota dari dikatakan “didominasi” oleh titik-titik di .

Contoh 3.1

Dari gambar 2.1 didapatkan himpunan yang mendominasi beberapa diantaranya adalah { }, { }, { }, { }, { }, { }

Definisi 3.2

Himpunan yang mendominasi disebut himpunan yang mendominasi minimal jika tidak ada himpunan bagian sejati yang merupakan himpunan yang mendominasi. Himpunan yang mendominasi minimum adalah himpunan yang mendominasi yang memiliki kardinalitas terkecil.

Contoh 3.2

Pada gambar 2.1, didapatkan himpunan yang mendominasi minimal { }, { }, { }, { }, { }, { }. dan himpunan yang mendominasi minimum { }, { }, { }. Sedangkan himpunan yang mendominasi minimal tapi tidak minimum adalah { }, { }, { }.

(50)

35 Definisi 3.3

Bilangan dominasi dalam sebuah graf adalah kardinalitas dari himpunan yang mendominasi minimum. Sedangkan bilangan dominasi atas adalah kardinalitas terbesar dari himpunan-himpunan yang mendominasi minimal.

Contoh 3.3

Pada gambar 2.1, didapatkan bilangan dominasi dan .

C. HIMPUNAN YANG MENDOMINASI BEBAS

Dalam subbab sebelumnya dua ratu dalam papan catur dapat saling menyerang jika posisi ratu tersebut dapat dicapai oleh ratu lainnya dalam sekali jalan, sebaliknya jika ratu tersebut tidak berada pada posisi yang dapat dicapai oleh ratu lainnya dalam sekali jalan. Dalam gambar 3.1 dapat dilihat secara jelas bahwa ratu-ratu tersebut dapat saling menyerang satu sama lain. Muncul masalah baru, yaitu untuk menempatkan posisi ratu-ratu tersebut yang tidak dapat saling menyerang satu sama lain dan mendominasi papan catur tersebut. Penempatan posisi ratu yang mungkin dibuat, ditunjukan pada gambar 3.2.

(51)

Gambar 3.2 Definisi 3.4

Sebuah himpunan bagian yang berisi titik-titik dalam sebuah graf disebut himpunan bebas jika tidak ada titik-titik dalam yang saling berhubungan. Bilangan bebas dari sebuah graf , dinotasikan , adalah kardinalitas terbesar dari himpunan-himpunan bebas dalam graf tersebut.

Contoh 3.4

Dari gambar 2.1, himpunan bebas dari graf tersebut ada 37 himpunan, yaitu

{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { | { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }, dengan .

(52)

Dari definisi himpunan yang mendominasi dan himpunan bebas, dapat dibentuk suatu definisi baru dengan menggabungkan kedua definisi tersebut.

Definisi 3.5

Himpunan yang mendominasi disebut himpunan yang mendominasi bebas jika titik-titik dalam himpunan yang mendominasi tidak berhubungan satu sama lain.

Contoh 3.5

Pada gambar 2.1, didapatkan himpunan yang mendominasi bebas { }, { }, { }, { }.

Definisi 3.6

Bilangan dominasi bebas adalah kardinalitas terkecil dari semua himpunan yang mendominasi bebas.

Contoh 3.6

(53)

D. TEOREMA TENTANG DOMINASI DALAM GRAF

Berikut ini merupakan hubungan antara bilangan dominasi dengan bilangan bebas .

Teorema 3.1

Untuk setiap graf , .

Bukti

Misal adalah himpunan bebas dari titik dalam , dimana | | . Sehingga adalah himpunan bebas dengan kardinalitas terbesar. Untuk , harus berhubungan dengan suatu titik dalam . Dengan kata lain, { } akan menjadi himpunan bebas yang lebih besar, terjadi kontradiksi. Sehingga mendominasi semua titik dalam . Sehingga .

Konsep yang berhubungan dengan dominasi adalah penutup titik.

Definisi 3.7

Sebuah penutup titik adalah sebuah himpunan titik-titik di sedemikian sehingga setiap rusuk dalam berisisian dengan paling sedikit satu titik dalam . Kardinalitas terkecil dari penutup titik dalam dinotasikan dengan .

(54)

39 Contoh 3.7

Gambar 3.3

Pada gambar 3.3, didapatkan penutup titiknya adalah { }, { }, { }, { }, { }, { }, { }, { }, { } dengan .

Teorema 3.2

Jika adalah penutup titik dari , maka adalah himpunan bebas.

Bukti

Misalkan bukan himpunan bebas. Maka ada pasangan titik dan dari yang berhubungan. Maka bukan penutup titik, terjadi kontradiksi bahwa adalah penutup titik.

Dengan menggunakan teorema 3.2, kardinalitas terkecil penutup titik dan bilangan bebas , didapatkan akibat 3.2.

(55)

40 Akibat 3.2

Untuk semua graf dengan titik, .

Bukti

Misalkan adalah penutup titik dengan kardinalitas terkecil. Maka | | . Dengan teorema 3.2, adalah sebuah himpunan bebas. Jadi , yang berarti bahwa . Selain itu, jika adalah sebuah himpunan bebas sedemikian sehingga | | , maka adalah penutup titik. Untuk memahaminya, ingat bahwa hanya rusuk-rusuk dalam yang bersisian dengan , sehingga adalah penutup titik. Dan mengakibatkan bahwa atau, secara ekuivalen . Sehingga didapatkan dan . Sehingga .

Teorema 3.3

Untuk setiap graf lengkap dengan . Bilangan dominasi dari graf lengkap adalah 1, atau .

Bukti

Menurut definisi 2.14, graf lengkap adalah graf yang terdiri dari titik dan setiap titik dihubungkan satu sama lain oleh sebuah rusuk. Sehingga,

(56)

semua titik dalam graf tersebut saling berhubungan satu sama lain, sehingga hanya dibutuhkan 1 titik saja untuk mendominasi graf tersebut.

Teorema 3.4

Untuk setiap graf bipartit lengkap dengan dan adalah bilangan asli, maka ( ) .

Bukti

Menurut definisi 2.15, graf bipartit lengkap adalah graf yang himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi himpunan tak kosong dan dengan kardinalitas berturut-turut dan , sedemikian sehingga setiap titik di himpunan berhubungan dengan setiap titik di himpunan dan tidak ada keterhubungan lainnya. Ada tiga kemungkinan, yaitu , , . Misal , maka ada titik yang mendominasi titik, dan ada titik yang mendominasi titik. Karena bilangan dominasi adalah kardinalitas terkecil dari himpunan yang mendominasi, maka didapatkan bilangan dominasinya . Dengan cara yang serupa dibuktikan juga untuk , sehingga bilangan dominasinya adalah . Untuk , maka didapatkan titik yang mendominasi. Sehingga didapatkan kesimpulan ( )

(57)

42 Teorema 3.5

Untuk , dan adalah bilangan asli, .

Bukti

Dalam suatu lintasan, derajat maksimal dari suatu titik dalam lintasan adalah 2, yang berarti bahwa setiap titik dapat mendominasi tidak lebih dari 3 titik, termasuk dirinya sendiri. Sehingga jika lintasan tersebut

memiliki titik, maka

Definisi 3.8

Misal , dimana adalah bilangan bulat dan . Maka jika , dan ketika .

Contoh 3.8

Teorema 3.6

(58)

43 Bukti

Dengan teorema 3.5 , maka ada tiga kemungkinan yaitu , , dan .

Akan dibuktikan untuk ruas kanan. Untuk ,

Akan dibuktikan untuk ruas kiri.

Dalam graf lintasan, jika graf tersebut bertambah 1 atau 2 titik, maka bilangan dominasi dari graf tersebut akan bertambah 1. Sehingga kalau

atau , maka

Teorema 3.7

(59)

44 Bukti

Dalam suatu siklus, derajat maksimal dari suatu titik dalam siklus adalah 2, yang berarti bahwa setiap titik dapat mendominasi tidak lebih dari 3 titik, termasuk dirinya sendiri. Sehingga jika siklus tersebut memiliki titik, maka .

Teorema 3.8

Untuk setiap bilangan asli, .

Bukti

Dengan teorema 3.7 , maka ada tiga kemungkinan yaitu , , dan .

Akan dibuktikan untuk ruas kanan. Untuk ,

Akan dibuktikan untuk ruas kiri.

(60)

Dalam graf siklus, jika graf tersebut bertambah 1 atau 2 titik, maka bilangan dominasi dari graf tersebut akan bertambah 1. Sehingga kalau atau , maka .

Definisi 3.9

Kitar terbuka dari titik adalah himpunan yang memuat titik-titik yang berhubungan dengan , dimana { | }. Sedangkan kitar tertutup { }.

Untuk , kitar terbuka didefinisikan ⋃ dan kitar tertutup .

Contoh 3.9

Pada gambar 2.1 didapatkan { } dan { }. Sedangkan misal { } pada gambar 2.1, maka { } dan { }.

(61)

46 Teorema 3.9

Sebuah himpunan yang mendominasi dari graf adalah himpunan yang mendominasi minimal dari graf jika dan hanya jika setiap titik di memenuhi paling sedikit salah satu dari dua sifat berikut:

(i) terasing dari ,

(ii) Terdapat titik sedemikian sehingga { }.

Bukti

Asumsikan adalah himpunan yang mendominasi minimal dari maka untuk setiap titik , { } bukan himpunan yang mendominasi. Ini berarti terdapat titik { } tidak didominasi oleh semua titik di { }. Yang berarti , yang dalam hal ini adalah titik terasing dari , atau . Jika tidak didominasi oleh { }, tapi didominasi oleh , maka titik hanya berhubungan dengan titik di

, { }.

Andaikan adalah himpunan yang mendominasi dan setiap titik , memenuhi salah satu dari dua syarat. Kita tunjukan bahwa adalah himpunan yang mendominasi minimal. Andaikan bukan himpunan yang mendominasi minimal, misal titik , maka ada dua kemungkinan, yaitu { } adalah himpunan yang mendominasi. Akibatnya berhubungan dengan paling sedikit satu titik di { }, sehingga syarat (i) tidak terpenuhi. Jika { } adalah himpunan yang mendominasi, maka

(62)

setiap titik di berhubungan dengan paling sedikit satu titik di { }, sehingga syarat (ii) juga tidak terpenuhi. Kedua syarat (i) dan (ii) tidak terpenuhi, sehingga akan menimbulkan kontradiksi dengan asumsi kita bahwa paling sedikit satu syarat yang terpenuhi.

Teorema 3.10

Jika adalah himpunan yang mendominasi minimal dari tanpa titik terasing, maka adalah himpunan yang mendominasi dari .

Bukti

Misal . Maka paling sedikit memenuhi salah satu dari dua sifat (i) dan (ii) diberikan pada teorema 3.9. Andaikan memenuhi sifat (i), bahwa adalah titik terasing dari . Maka adalah titik terasing dari graf bagian

. Karena tidak terasing di , titik berhubungan dengan suatu titik di .

Andaikan memenuhi sifat (ii), bahwa terdapat titik sedemikian hingga { }. Karena berhubungan dengan suatu titik di . Sehingga adalah himpunan yang mendominasi .

(63)

48 Akibat 3.10

Jika adalah graf dengan titik tanpa titik terasing, maka .

Bukti

Misal adalah himpunan yang mendominasi minimal dari . Dengan teorema 3.10, adalah himpunan yang mendominasi . Maka {| | | |} .

Teorema 3.11

Setiap graf tanpa titik terasing memuat sebuah himpunan yang mendominasi minimum sedemikian hingga untuk setiap titik di , terdapat di sedemikian hingga { }.

Bukti

Diantara semua himpunan yang mendominasi minimum dari , misal adalah salah satu dari himpunan yang mendominasi minimum dari sedemikian hingga memiliki ukuran maksimum. Diandaikan sebaliknya , bahwa memuat titik yang tidak memenuhi syarat. Maka dengan teorema 3.9, adalah titik terasing dari . Selain itu, setiap titik di yang berhubungan dengan juga berhubungan dengan titik-titik lainnya di . Karena tidak memuat titik terasing, berhubungan

(64)

dengan di . Sebagai konsekwensinya, { } { } adalah himpunan yang mendominasi minimum dari dimana graf bagian yang diinduksi memuat paling sedikit satu rusuk yang bersisian dengan dan karena itu memiliki ukuran yang lebih besar dari . Terjadi kontradiksi.

Teorema 3.12

Diberikan suatu graf terhubung , maka

Bukti

Perhatikan bahwa jika adalah titik dengan derajat minimum, maka penghapusan semua rusuk yang bersisian dengan akan membuat graf tersebut tidak terhubung ( adalah salah satu komponennya). Tentu saja akan ada himpunan rusuk pemisah, di lain graf yang memuat rusuk yang lebih sedikit. Maka . Selanjutnya, jika adalah himpunan rusuk pemisah yang memuat rusuk sebanyak , maka penghapusan yang sesuai dengan titik hasil yang dipilih dari rusuk di dan oleh karena itu, menghasilkan graf yang tidak terhubung. (Mungkin saja ada himpunan titik pemisah yang lebih kecil di ). Maka .

(65)

50 Teorema 3.13

Jika adalah sebuah graf dengan titik, maka

Bukti

Misal adalah himpunan yang mendominasi minimum dari .

Maka ⋃ , menyebabkan | | | | . Oleh karena itu,

( )

Selanjutnya akan dibuktikan batas atasnya. Misal dengan . Maka adalah himpunan yang mendominasi dengan kardinalitas , sehingga .

Akibat 3.13

(66)

51 Bukti

Dengan teorema 3.13 didapatkan dan karena .

Teorema 3.14

Jika adalah graf dengan banyak titik , maka

(i) ̅ , (ii) ̅ .

Bukti

Batas bawah dari (i) dan (ii) didapatkan dari pengamatan bahwa jika maka ̅ dan bila ̅ maka .

Untuk batas atas dari (i), jika memiliki sebuah titik terasing, maka dan ̅ ; sedangkan jika ̅ memiliki sebuah titik terasing, maka ̅ dan . Dalam kasus ini, ̅ . Jika maupun ̅ memiliki titik terasing, maka dan ̅ menurut akibat 3.10, sehingga ̅ .

Untuk batas atas dari (ii), jika maka jelas bahwa ̅ . Maka diasumsikan . Misal { } adalah himpunan yang mendominasi minimum dari dan

(67)

partisi menjadi himpunan bagian dengan syarat :

(a) untuk dan semua titik di didominasi oleh dan

(b) Penjumlahan semua bilangan bulat yang menyatakan banyaknya titik dalam yang berhubungan dengan semua titik lain dalam adalah maksimum.

Sekarang diperlihatkan bahwa untuk setiap himpunan dengan adalah himpunan yang mendominasi dari ̅. Andaikan himpunan bukan himpunan yang mendominasi dari ̅, maka terdapat titik yang berhubungan di ̅ tapi tidak berhubungan dengan untuk bilangan bulat dan yang berbeda dengan , . Maka berhubungan dalam dengan setiap titik dari . Jika , maka { } adalah himpunan yang mendominasi dari yang memiliki kardinalitas kurang dari , yang berarti tidak mungkin. Sebagai konsekwensinya, { }. Jika berhubungan di dalam untuk setiap titik lainnya dari , maka { } { } adalah himpunan yang mendominasi dari yang memiliki kardinalitas kurang dari , yang berarti tidak mungkin. Oleh karena itu, berhubungan dalam ke semua titik dari tapi tidak ke semua titik di .

(68)

Didefinisikan { } dan { }. Untuk , didefinisikan . Sekarang kita memiliki partisi dari ke dalam himpunan bagian sedemikian hingga untuk dan semua titik dalam didominasi oleh . Bagaimanapun, jumlah semua himpunan bagian dengan dari titik dalam yang berhubungan dengan semua titik dari melebihi penjumlahan yang berkorespondensi untuk partisi , yang berarti kontradiksi.

Kemudian, seperti yang telah dinyatakan, setiap himpunan bagian adalah himpunan yang mendominasi dalam ̅, sehingga ̅ | | untuk setiap . Karena itu

∑ | | ̅ .

Akibat 3.14

Jika dapat difaktorkan menjadi , , dan , maka .

Bukti

Karena ̅̅̅, didapatkan dari teorema 3.14 bahwa .

(69)

54 Teorema 3.15

Jika adalah suatu graf dengan titik sebanyak sedemikian hingga dan ̅ keduanya tidak memiliki titik terasing, maka ̅ .

Bukti

Karena dan ̅ keduanya tidak memiliki titik terasing, menurut akibat 3.10 maka dan ̅ . Karena itu jika salah satu atau ̅ , maka bukti selesai. Jika dan ̅ , maka menurut batas atas (ii) pada teorema 3.14,

̅ dan ̅ , sehingga ̅ . Karena itu diasumsikan

atau ̅ . Karena , maka . Dengan teorema 3.14, ̅ . Maka ̅ .

E. TEOREMA TENTANG BILANGAN DOMINASI BEBAS DARI SUATU GRAF

Tidak sulit untuk melihat bahwa setiap himpunan bebas yang memiliki kardinalitas maksimal dari suatu graf adalah himpunan yang mendominasi dari . Maka , dimana adalah bilangan dominasi bebas minimum dari . Bagaimanapun juga tidak semua himpunan yang mendominasi adalah himpunan bebas.

(70)

55 Teorema 3.16

Setiap himpunan bebas yang memiliki kardinalitas maksimal dari suatu graf adalah himpunan yang mendominasi dari .

Bukti

Misal adalah himpunan bebas dari dan memiliki kardinalitas terbesar dari semua himpunan bebas di . Maka untuk setiap titik akan berhubungan dengan paling sedikit satu titik di . Sehingga menurut definisi 3.1, merupakan himpunan yang mendominasi dari .

Teorema 3.17

Suatu himpunan titik-titik dalam adalah himpunan yang mendominasi bebas jika dan hanya jika adalah himpunan bebas yang memiliki kardinalitas maksimal.

Bukti

Setiap himpunan bebas maksimal adalah himpunan yang mendominasi berdasarkan teorema 3.16. Sebaliknya, misal adalah himpunan yang mendominasi bebas, maka adalah himpunan bebas dan setiap titik diluar berhubungan dengan titik dalam , yang berarti adalah himpunan bebas maksimal.

(71)

56 Akibat 3.17

Setiap himpunan bebas maksimal suatu graf adalah himpunan yang mendominasi minimal.

Bukti

Misal adalah himpunan bebas maksimal dari graf . Dengan teorema 3.16, adalah himpunan yang mendominasi. Karena adalah himpunan bebas, maka pasti setiap titik dalam tidak berhubungan dengan titik dalam . Maka, setiap titik dalam memenuhi sifat (i) dari teorema 3.9. Menurut teorema 3.9, adalah himpunan yang mendominasi minimal.

Teorema 3.18

Jika adalah graf bebas- , dimana , maka .

Bukti

Misal adalah himpunan yang mendominasi minimum dari dan misal adalah himpunan bebas maksimal di . Maka, | | dan | | . Misal adalah himpunan semua titik dalam yang tidak berhubungan dengan titik dalam , dan misal adalah himpunan bebas maksimal di . Maka adalah himpunan bebas dari . Karena setiap titik dalam berhubungan dengan suatu titik dalam dan

(72)

setiap titik dalam berhubungan ke suatu titik dalam , yang mengakibatkan adalah himpunan bebas maksimal. Maka menurut teorema 3.16, adalah himpunan yang mendominasi bebas.

Setiap titik dalam berhubungan dengan paling banyak titik dalam , jika tidak, maka titik dalam berhubungan dengan paling sedikit titik dalam dan juga paling sedikit satu titik dalam , yang menyebabkan kontradiksi dengan hipotesa bahwa tidak memuat graf bagian yang diinduksi oleh . Juga, setiap titik dari berhubungan ke suatu titik dalam . Maka, | | | | | | | | | | .

Akibatnya,

| | | | | | | | | | | |

Akibat 3.18.a

(73)

58 Akibat 3.18.b

Untuk setiap graf , ( ) ( ).

Definisi 3.10

Suatu graf disebut dominasi sempurna jika untuk setiap graf bagian yang diinduksi oleh .

Contoh 3.10

Graf dan graf merupakan dominasi sempurna.

Akibat 3.18.c

Setiap graf bebas cakar adalah dominasi sempurna.

F. PARAMETER DOMINASI LAINNYA

Pada subbab sebelumnya telah diperkenalkan variasi dari bilangan dominasi, yaitu bilangan dominasi bebas. Sedangkan pada bagian ini, akan diperlihatkan beberapa parameter dominasi lainnya.

(74)

59 Definisi 3.11

Himpunan dari titik-titik dalam disebut himpunan irredundant dari jika untuk setiap titik , terdapat titik sedemikian hingga { } . Setiap titik yang memenuhi sifat ini disebut titik irredundant. Himpunan yang bukan himpunan irredundant disebut himpunan redundant. Setiap titik dalam himpunan redundant disebut titik redundant.

Dengan kata lain, adalah himpunan irredundant dari jika { } untuk setiap titik . Dan himpunan adalah himpunan redundant jika hanya jika terdapat titik dimana { } .

Contoh 3.11

Pada gambar 2.1, misal { }, maka adalah himpunan irredundant, karena tapi { } dan tapi { }

Teorema 3.19

Himpunan dari titik-titik dalam adalah himpunan irredundant jika hanya jika setiap titik dalam memenuhi paling sedikit satu dari dua sifat berikut:

(75)

60 (i) terasing dari ,

(ii) Terdapat titik sedemikian sehingga { }.

Bukti

Misal adalah himpunan dari titik-titik dalam sedemikian sehingga untuk setiap titik , paling sedikit memenuhi salah satu sifat (i) dan (ii). Jika (ii) terpenuhi, maka terdapat titik sedemikian hingga { } . Jika (i) dipenuhi, maka { } . Dalam kasus ini

adalah himpunan irredundant.

Secara konvers, misal adalah himpunan yang irredundant di , dan misal . Karena adalah himpunan yang irredundant, terdapat sedemikian sehingga { } . Jika , maka (ii) terpenuhi, sedangkan jika , maka (i) terpenuhi.

Dengan teorema 3.9, maka himpunan yang mendominasi minimal dalam suatu graf adalah himpunan irredundant. Karena itu, setiap graf memiliki himpunan yang irredundant.

(76)

61 Definisi 3.12

Jika adalah himpunan yang irredundant di , dan , maka setiap titik di { } disebut kitar pribadi dari .

Titik merupakan kitar pribadi bagi dirinya sendiri. Jika adalah himpunan yang irredundant di , maka untuk setiap , himpunan { } tak kosong.

Contoh 3.12

Pada gambar 2.1, misal { }, titik merupakan kitar pribadi bagi karena tetapi { } , begitu juga dengan titik dan .

Definisi 3.13

Bilangan irredundance dari suatu graf adalah kardinalitas minimum dari himpunan yang irredundant di . Sedangkan bilangan irredundance atas adalah kardinalitas maksimum dari himpunan yang irredundant di .

(77)

62 Contoh 3.13

Dari gambar 2.1 didapatkan dan .

Teorema 3.20

Untuk setiap graf , .

Bukti

Untuk sudah pernah diperlihatkan. Untuk ketidaksamaan merupakan akibat dari fakta bahwa setiap himpunan yang mendominasi minimal di adalah himpunan yang irredundant.

Teorema 3.21

Untuk setiap graf , .

Bukti

Karena semua himpunan yang mendominasi minimal adalah himpunan yang irredundant, maka menyebabkan . Selain itu, setiap himpunan bebas maksimum adalah himpunan yang mendominasi, sehingga . Karena himpunan yang mendominasi bebas merupakan himpunan bebas, maka .

(78)

63 Teorema 3.22

Untuk setiap graf bipartit , .

Bukti

Misal adalah graf bipartit dengan himpunan partisi dan . Misal adalah himpunan irredundant maksimum dari dan misal adalah himpunan dari titik terasing dari . Selanjutnya misal , , , , dimana salah satu atau lebih dari himpunan ini merupakan himpunan kosong. Setiap titik adalah irredundant di . Karena tidak terisolasi di , titik bukan kitar pribadi. Bagaimanapun, karena adalah himpunan yang irredundant, adalah kitar pribadi dari suatu titik di . Karena itu, untuk , terdapat titik sedemikian sehingga { }. Selain itu, karena , menyebabkan .

Misal { | }. Maka | | | | dan . Selanjutnya tidak ada titik di yang berhubungan dengan titik di . Akibatnya merupakan himpunan bebas di . Karena itu, | | | | | | | | | | .

(79)

64 G. APLIKASI

Contoh 3.14

Misalkan sebuah provinsi terdiri dari delapan kota yang dihubungkan oleh jalan besar seperti yang diperlihatkan pada gambar 3.4. Pengawas provinsi tersebut ingin memperbesar fasilitas kesehatan yang mereka miliki sehingga setiap kota memiliki unit kebakaran atau berhubungan dengan kota yang memilikinya. Karena keterbatasan dana, jumlah fasilitas kesehatan yang akan diperbesar tersebut harus diminimumkan.

a. Di kota mana harus diletakkan unit kebakaran jika di kota juga harus dibangun?

b. Di kota mana harus diletakkan unit kebakaran jika sudah ada satu unit yang diletakkan pada kota , kota yang paling besar dalam kabupaten tersebut?

(80)

65 Solusi

Untuk menyelesaikan masalah tersebut dibutuhkan himpunan yang mendominasi minimum.

a. Fasilitas dengan pusat akan mendominasi , , , , dan . Yang berarti, setiap kota tersebut memiliki unit kebakaran di sekitarnya. Untuk mendominasi kota lainnya , , dan , fasilitas kesehatan tersebut harus diletakkan di kota . Dengan demikian, harus ada fasilitas kesehatan di kota dan .

b. Unit kebakaran di kota melayani kota , , , dan . Untuk melayani kota-kota lainnya, hanya dengan menambahkan fasilitas pada kota . Sehingga hanya akan dibangun fasilitas di kota dan . Inilah himpunan yang mendominasi minimum kedua.

Contoh 3.15

Seorang perancang kota dari kota Mesh telah menemukan masalah bahwa kota mereka sangat kotor. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, mereka memutuskan untuk meletakan wadah pembuangan di setiap persimpangan. Tentukan jumlah minimum dari wadah pembuangan yang dapat mereka gunakan sehingga untuk setiap persimpangan, terdapat wadah pembuangan atau terdapat pada perpotongan blok lain. Bentuk rangkaian jalan mereka adalah dan diperlihatkan pada gambar 3.5.

(81)

Gambar 3.5

Solusi

Masalah tersebut ekuivalen dengan mencari dalam graf pada gambar 3.5. terdapat 20 titik dan masing-masing titik mendominasi tetangganya dan dirinya sendiri. Karena , setiap titik dapat mendominasi paling banyak 5 titik, sehingga . Bagaimanapun, batas yang lebih kecil tidak dapat diterima. Untuk mendominasi titik ujung seperti , kita harus memasukan titik atau tetangga dari dalam himpunan yang mendominasi. Titik hanya mendominasi 3 titik dan tetangganya hanya mendominasi 4 titik. Sehingga batasnya bertambah menjadi jika menggunakan tetangga setiap waktu ( , sehingga paling sedikit dibutuhkan 1 titik lagi untuk mendominasi titik-titik yang tersisa). Untuk mendapatkan , tidak dapat menggunakan lebih dari satu titik ujung (dimana hanya

(82)

mendominasi 3 titik). Sebagai contoh, jika menggunakan 2 titik ujung dan 2 tetangga dari titik ujung, mereka paling banyak dapat mendominasi titik. Paling sedikit diperlukan 2 titik tambahan dalam himpunan yang mendominasi untuk mendominasi 6 titik yang tersisa.

Sekarang ditunjukan bahwa . Karena paling sedikit ada 3 tetangga dari titik ujung dalam himpunan yang mendominasi minimum, dan berhubungan dengan mereka akan memperbanyak titik yang mendominasi, paling tidak harus terdapat 2 titik dalam kolom yang berurutan dari . Tanpa mengurangi bentuk secara umum, dapat diasumsikan bahwa dan berada dalam himpunan yang mendominasi minimum . Sehingga semua titik dalam dua kolom yang pertama didominasi kecuali . Titik juga didominasi. Untuk mendominasi , harus digunakan titik , karena jika menggunakan titik lain, hanya akan mendominasi paling banyak 2 titik baru, yang juga ekuivalen dengan menggunakan 2 titik ujung (dimana tidak diperbolehkan). Sehingga . Sekarang, tidak didominasi. Titik adalah satu-satunya titik yang mendominasi , yang juga mendominasi lima titik baru. Jadi . Sekarang terdapat tiga titik yang tidak didominasi: , , dan . Paling sedikit dibutuhkan dua titik untuk mendominasi mereka. Jadi . Karena { } adalah himpunan yang mendominasi untuk , maka didapatkan . Sehingga jumlah minimum dari wadah pembuangan yang diperlukan adalah enam.

(83)

68 BAB IV PENUTUP

Pada bab ini dituliskan kesimpulan dari pembahasan bab-bab sebelumnya, serta saran bagi penelitian selanjutnya.

A. KESIMPULAN

Dominasi dalam graf merupakan cara untuk meletakan titik-titik penting dalam suatu graf yang melambangkan hubungan antar kota. Dominasi dalam graf biasanya digunakan untuk meletakan fasilitas-fasilitas kesehatan dalam suatu provinsi atau kabupaten.

Dalam tulisan ini telah dibuktikan beberapa teorema yang berlaku dalam masalah dominasi dalam graf antara lain:

 Teorema 3.6

Untuk setiap bilangan asli, .

 Teorema 3.16

Setiap himpunan bebas yang memiliki kardinalitas maksimal dari suatu graf adalah himpunan yang mendominasi dari .  Teorema 3.9

Sebuah himpunan yang mendominasi dari graf adalah himpunan yang mendominasi minimal dari graf jika dan

(84)

hanya jika setiap titik di memenuhi paling sedikit salah satu dari dua sifat berikut:

(iii) adalah titik terasing dari ,

(iv) Terdapat titik sedemikian sehingga { }.

 Teorema 3.19

Himpunan dari titik-titik dalam adalah himpunan irredundant jika hanya jika setiap titik dalam memenuhi paling sedikit satu dari dua sifat berikut:

(iii) terasing dari ,

(iv) Terdapat titik sedemikian sehingga { }.

 Hubungan antara himpunan yang mendominasi minimal dengan himpunan irredundant yaitu, himpunan yang mendominasi minimal adalah himpunan irredundant.

Selain itu, telah dibahas pula tentang parameter-parameter dominasi, yaitu bilangan dominasi, dan bilangan dominasi bebas dan hubungan antara masing-masing parameter tersebut dengan bilangan irredundant seperti yang diperlihatkan dalam teorema 3.20 yang berbunyi, “Untuk setiap graf , ”.

(85)

70 B. SARAN

Hingga saat makalah ini ditulis, masih belum ditemukan algoritma untuk mencari himpunan yang mendominasi maupun bilangan dominasi untuk suatu graf secara umum, sehingga masih terbuka untuk diteliti lebih lanjut tentang algoritma untuk mencari himpunan yang mendominasi maupun bilangan dominasi dan parameter-parameter dominasi lainnya.

(86)

DAFTAR PUSTAKA

Buckley, F., and Lewinter, M. 2003. A Friendly Introduction to Graph Theory. New Jersey: Pearson Education Inc.

Chartrand, G., Lesniak, L. 2005. Graphs & Digraphs Fourth Edition. Florida: CRC Press Company.

Haynes, T. W., Hedetnemi S. T., and Slater P. J. 1998. Fundamentals of Domination in Graphs. New York: Marcel Dekker Inc.

Ross, K. A., Wright, C. R. B. 1992. Discrete Mathematics, 3rd ed. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

West, D. B. 2001. Introduction To Graph Theory Second Edition. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

(1)

Gambar 3.5

Solusi

(2)

(3)

BAB IV

PENUTUP

Pada bab ini dituliskan kesimpulan dari pembahasan bab-bab sebelumnya, serta saran bagi penelitian selanjutnya.

A. KESIMPULAN

Dalam tulisan ini telah dibuktikan beberapa teorema yang berlaku dalam masalah dominasi dalam graf antara lain:

 Teorema 3.6

Untuk setiap bilangan asli, .

 Teorema 3.16

Setiap himpunan bebas yang memiliki kardinalitas maksimal dari suatu graf adalah himpunan yang mendominasi dari .

 Teorema 3.9

Sebuah himpunan yang mendominasi dari graf adalah himpunan yang mendominasi minimal dari graf jika dan

(4)

hanya jika setiap titik di memenuhi paling sedikit salah satu dari dua sifat berikut:

(iii) adalah titik terasing dari ,

(iv) Terdapat titik sedemikian sehingga { }.

 Teorema 3.19

Himpunan dari titik-titik dalam adalah himpunan irredundant jika hanya jika setiap titik dalam memenuhi paling sedikit satu dari dua sifat berikut:

(iii) terasing dari ,

(iv) Terdapat titik sedemikian sehingga { }.

 Hubungan antara himpunan yang mendominasi minimal dengan himpunan irredundant yaitu, himpunan yang mendominasi minimal adalah himpunan irredundant.

(5)

B. SARAN

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Buckley, F., and Lewinter, M. 2003. A Friendly Introduction to Graph Theory. New Jersey: Pearson Education Inc.

Chartrand, G., Lesniak, L. 2005. Graphs & Digraphs Fourth Edition. Florida: CRC Press Company.

Haynes, T. W., Hedetnemi S. T., and Slater P. J. 1998. Fundamentals of Domination in Graphs. New York: Marcel Dekker Inc.

Ross, K. A., Wright, C. R. B. 1992. Discrete Mathematics, 3rd ed. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

West, D. B. 2001. Introduction To Graph Theory Second Edition. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Dominasi dalam graf.

Parts

Dokumen yang terkait

ANALISA HIMPUNAN DOMINASI LOKASI PADA MODEL TOPOLOGI GRAF KHUSUS DAN OPERASINYA

BILANGAN DOMINASI JARAK DUA PADA GRAF HASIL OPERASI

Bilangan Dominasi pada Graf Hasil Operasi

ANALISIS GRAF DALAM MENENTUKAN GRAF PERFECT.

BILANGAN DOMINASI PERSEKITARAN PADA GRAF LENGKAP DAN GRAF BIPARTIT LENGKAP | Ratnasari | MATEMATIKA 15283 37013 1 PB

BILANGAN DOMINASI DAN BILANGAN KEBEBASAN GRAF BIPARTIT KUBIK - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

Bilangan Dominasi Jarak-2 Graf Jahangir J

BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF HASIL OPERASI PRODUK TENSOR - ITS Repository

BILANGAN DOMINASI JARAK DUA PADA GRAF- GRAF HASIL OPERASI KORONA DAN COMB

Bilangan Dominasi Berjarak Dua pada Graf Prisma dan Subdivisi Homogennya - ITS Repository

Dukungan

Links

Dominasi dalam graf.

Parts

Dokumen yang terkait

ANALISA HIMPUNAN DOMINASI LOKASI PADA MODEL TOPOLOGI GRAF KHUSUS DAN OPERASINYA

BILANGAN DOMINASI JARAK DUA PADA GRAF HASIL OPERASI

Bilangan Dominasi pada Graf Hasil Operasi

ANALISIS GRAF DALAM MENENTUKAN GRAF PERFECT.

BILANGAN DOMINASI PERSEKITARAN PADA GRAF LENGKAP DAN GRAF BIPARTIT LENGKAP | Ratnasari | MATEMATIKA 15283 37013 1 PB

BILANGAN DOMINASI DAN BILANGAN KEBEBASAN GRAF BIPARTIT KUBIK - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

Bilangan Dominasi Jarak-2 Graf Jahangir J

BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF HASIL OPERASI PRODUK TENSOR - ITS Repository

BILANGAN DOMINASI JARAK DUA PADA GRAF- GRAF HASIL OPERASI KORONA DAN COMB

Bilangan Dominasi Berjarak Dua pada Graf Prisma dan Subdivisi Homogennya - ITS Repository

Dokumen yang Anda mencari sudah siap untuk unduhkan