BILANGAN STRONG RAINBOW CONNECTION UNTUK GRAF GARIS, GRAF MIDDLE DAN GRAF TOTAL

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 102 – 112

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

BILANGAN STRONG RAINBOW CONNECTION

UNTUK GRAF GARIS, GRAF MIDDLE DAN GRAF

  

TOTAL

MARADONA

Program Studi Magister Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

  

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia.

_Abstrak.

email : maradonacool07@gmail.com

Misalkan G = (V (G), E(G)) adalah suatu graf terhubung tak trivial. Defin-

isi pewarnaan c : E(G) → {1, 2, · · · , k}, k ∈ N , dimana dua sisi yang bertetangga

boleh berwarna sama. Suatu lintasan u − v path P di G dinamakan rainbow path jika

tidak terdapat dua sisi di P yang berwarna sama. Graf G disebut rainbow connected

jika setiap dua titik yang berbeda di G dihubungkan oleh rainbow path. Pewarnaaan

sisi yang menyebabkan G bersifat rainbow connected dikatakan rainbow coloring. Bi-

langan rainbow connection dari graf terhubung G, ditulis rc(G), didefinisikan sebagai

banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk membuat graf G bersifat rainbow con-

nected

  . Misalkan c adalah rainbow coloring dari graf terhubung G. Untuk dua titik u

dan v di G, rainbow u − v geodesic pada G adalah rainbow u − v path yang panjangnya

d

(u, v) dimana d(u, v) adalah jarak antara u dan v (panjang u − v path terpendek di

(G). Graf G dikatakan strongly rainbow connected jika G memiliki suatu rainbow u − v

geodesic untuk setiap dua titik u dan v di G. Minimum k yang terdapat pada pewar-

naan c : E(G) → {1, 2, · · · , k} sedemikian sehingga G adalah strongly rainbow connected

dikatakan bilangan strong rainbow connection, src(G), di G. Jadi, rc(G) ≤ src(G) untuk

setiap graf terhubung di G. Pada paper ini akan dikaji kembali tentang bilangan strong

rainbow connection untuk graf Garis, graf Middle dan graf Total dari Graf Matahari, seperti yang telah dibahas dalam [1].

  Kata Kunci : Bilangan Strong Rainbow Connection, graf Garis, graf Middle, graf Total, graf Matahari

  1. Pendahuluan Konsep rainbow connection pada suatu graf pertama kali diperkenalkan oleh Char- trand, Johns, McKeon dan Zhang [3]. Misalkan G = (V (G), E(G)) adalah suatu graf terhubung tak trivial. Definisikan pewarnaan c : E(G) → {1, 2, · · · , k}, k ∈ N , dimana dua sisi yang bertetangga boleh berwarna sama. Suatu lintasan u − v path P di G dinamakan rainbow path jika tidak terdapat dua sisi di P yang berwarna sama. Graf G disebut rainbow connected jika setiap dua titik yang berbeda di G dihubungkan oleh rainbow path.

  Pewarnaan sisi yang menyebabkan G bersifat rainbow connected dikatakan rain-

  

bow coloring. Jelas jika G adalah rainbow connected, maka G terhubung. Sebaliknya,

  setiap graf terhubung memiliki pewarnaan sisi trivial sehingga G bersifat rainbow

  

connected, yaitu setiap sisi diwarnai dengan warna berbeda. Bilangan rainbow con-

nection dari graf terhubung G, ditulis rc(G), didefinisikan sebagai banyaknya warna

  Bilangan Strong Rainbow Connection untuk Beberapa Graf

  minimal yang diperlukan untuk membuat graf G bersifat rainbow connected. Suatu

  

rainbow coloring yang menggunakan sebanyak rc(G) warna dikatakan minimum

rainbow coloring.

  Misalkan c adalah rainbow coloring dari graf terhubung G. Untuk dua titik u dan v di G, rainbow u − v geodesic pada G adalah rainbow u − v path yang panjangnya d (u, v) dimana d(u, v) adalah jarak antara u dan v (panjang u − v path terpendek di (G). Graf G dikatakan strongly rainbow connected jika G memiliki suatu rainbow u − v geodesic untuk setiap dua titik u dan v di G. Dalam kasus ini, pewarnaan c dikatakan strong rainbow coloring di G. Minimum k yang terdapat pada pewarnaan c : E(G) → {1, 2, · · · , k} sedemikian sehingga G adalah strongly rainbow connected dikatakan bilangan strong rainbow connection atau strong rainbow connection num-

  

ber, src(G), di G. Suatu strong rainbow coloring di G yang menggunakan src(G)

  warna dikatakan minimum strong rainbow coloring di G. Jadi, rc(G) ≤ src(G) un- tuk setiap graf terhubung di G [3]. Selanjutnya, jika G adalah graf terhubung tak

  trivial dengan ukuran m dan diam(G) = max{d(u, v)|u, v ∈ V (G)}, maka

  diam (G) ≤ rc(G) ≤ src(G) ≤ m. Pada paper ini akan dikaji kembali tentang bilangan strong rainbow connection untuk graf Garis, graf Middle, dan graf Total untuk Graf Matahari, seperti yang telah dibahas pada [1].

  2. Bilangan Strong Rainbow Connection Berikut disajikan kembali proposisi yang membahas tentang graf G dengan ukuran m yang mempunyai nilai rc(G) dan src(G) 1, 2 dan m.

  Proposisi 2.1. [3] Misalkan G suatu graf terhubung tak trivial berukuran m. Maka

  berlaku: (1) rc(G) = src(G) = 1 jika dan hanya jika G suatu graf lengkap. (2) rc(G) = 2 jika dan hanya jika src(G) = 2. (3) rc(G) = src(G) = m jika dan hanya jika G suatu graf pohon.

  Proposisi 2.2.

  [3] Misalkan C n adalah graf lingkaran dengan banyak titik n, di-

  mana n ≥ 4 maka

  n rc (C n ) = src(C n ) = ⌈ ⌉.

  2 Teorema berikut menyajikan bilangan rainbow connection dan bilangan strong rainbow connection untuk graf Matahari. Teorema 2.3. [1] Jika n ≥ 3, maka n, jika n ganjil rc

  (S n ) = src(S n ) =

  3n−2 , jika n genap.

  2 Bukti.

  Misalkan terdapat graf matahari S n dengan V , , u ,

  (S n ) = {v _′ 1 · · · , v n

1 · · · , u n },

E

  (S n ) = {e | 1 ≤ i ≤ n} ∪ {e i | 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {e n },

  Maradona

  dimana {v , · · · , v n } adalah himpunan titik-titik graf lingkaran C n dan {u , · · · , u n }

  1

  1

  u adalah himpunan titik-titik pendant dari graf Matahari S n sedemikian sehingga v i i v adalah sisi pendant, sisi e i adalah sisi v i i untuk (1 ≤ i ≤ n − 1), sisi e n adalah _′ +1 v u sisi v n l dan sisi e adalah v i i (1 ≤ i ≤ n). _i Pandang beberapa kasus berikut.

  Kasus 1 . Untuk n ganjil. Karena semua lintasan dari u i ke v j dari 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n terhubung _{′ ′} dengan sisi pendant e dapat dilihat bahwa warna dari sisi e harus berbeda yaitu _{′ i i} c

  (e ) = i untuk 1 ≤ i ≤ n. oleh sebab itu _i rc (S n ) ≥ n. (2.1) Sekarang kita lihat rainbow connection antara dua titik dari S n , warna dari sisi lingkaran adalah c(e ) = i untuk 1 ≤ i ≤ n. Dapat dilihat bahwa

  (i+2)(mod n)

  rc (S n ) ≤ n (2.2) Dari (2.1) dan (2.2) dapat dilihat bahwa rc(S n ) = src(S n ) = n. Pada Gambar 1 berikut diberikan ilustrasi untuk S .

  5

  

5

⁵ Gambar 1. rc(S ) = scr(S ) = 5

  Kasus 2 . Untuk n genap. _′ Berdasarkan Kasus 1, misalkan c(e ) = i untuk 1 ≤ i ≤ n. Definisikan suatu _i pewarnaan pada sisi lingkaran sebagai berikut. _{ i } + 1, untuk i = n, _{ }

  2 _n

  , 2i, untuk i =

  2

  c (e ) = _{i n} i _ + n, untuk 1 ≤ i ≤ − 1, _{  n n}

  2

  , 1 + untuk + 1 ≤ i ≤ n − 1.

  2

  2 Pada Gambar 2 berikut diberikan ilustrasi untuk graf S .

  4 Berdasarkan definisi pewarnaannya, maka untuk n = 4, 6, 8, · · · diperoleh bahwa

  rc (S n ) = src(S n ) = 5, 8, 11, · · · . Pada Teorema 2.4 berikut diberikan bilangan rainbow connection dari graf garis dari graf Matahari.

  Bilangan Strong Rainbow Connection untuk Beberapa Graf

  

4

⁴ Gambar 2. rc(S ) = src(S ) = 5 Teorema 2.4.

  [1] Jika n ≥ 3, dan G ≃ L(S n ), maka _{   } 2, untuk n = 3, 3, untuk n = 4, rc (G) = src(G) = _{   n} 4, untuk n = 5 dan 6, ⌈ ⌉ + 2, untuk n ≥ 7.

  Graf garis dari suatu G adalah graf dengan V (L(G)) = E(G), dan dua titik x, y ∈ E(G) adalah bertetangga di L(G) jika dan hanya jika x, y mempunyai tepat satu titik bersama di G. Himpunan titik dan sisi dari S n seperti pada Teorema 2.3.

  Karena G ≃ L(S n ) maka _{′ ′ ′}

  V _{′ ′ ′} (G) = E(S n ) = {u |1 ≤ i ≤ n} ∪ {v : 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {v }, _{i i n} dimana v dan u masing-masing mewakili sisi e i dan e untuk 1 ≤ i ≤ n. Perhatikan _{i i i} kasus-kasus berikut. Kasus 1. Untuk n = 3. Definisikan pewarnaan pada sisi-sisi c : E(G) −→ {1, 2} sebagai berikut _{′ ′ ′ ′ ′ ′} c v v v

  (v ) = c(v ) = c(v ) = 1,

  1 _{′ ′}

  2

  2

  

3

  3

  1

  c (v u ) = 1, untuk 1 ≤ i ≤ 3, _{′ ′ i i} c (v v ) = 2, untuk 1 ≤ i ≤ 2, _{i i +1 ′ ′} c (v u ) = 2.

  3

  1 Pada Gambar 3 diberikan ilustrasi untuk L(S 3 ), dimana diperoleh bahwa

  rc (L(S

  3 )) = src(L(S 3 )) = 2.

  Kasus 2.

  Untuk n = 4.

  Maradona

  

3

³ Gambar 3. rc(L(S )) = src(L(S )) = 2 Definisikan pewarnaan pada sisi-sisi c : E(G) −→ {1, 2, 3} sebagai berikut. _{′ ′} 1, jika i ganjil dan 1 ≤ i ≤ 3, c v

  (v ) = _{i i}

• 1

  2, jika i genap dan 1 ≤ i ≤ 3, _{′ ′} 1, jika i ganjil dan 1 ≤ i ≤ 3, c u (v ) = _{i i}

• 1
_{′ ′} 2, jika i genap dan 1 ≤ i ≤ 3, c (v u ) = 2, _{n ′ ′}

  1

  c (v v ) = 1, untuk 1 ≤ i ≤ 4, _{i i ′ ′} +1 c (v v ) = 1, _{n l ′ ′} c (v u ) = 3, untuk 1 ≤ i ≤ 4. _{i i}

  Pada Gambar 4 diberikan ilustrasi untuk L(S

  4 ), dimana diperoleh bahwa rc (L(S )) = src(L(S )) = 3.

  4

  4 Gambar 4. rc(L(S ^{4 )) = src(L(S 4 )) = 3} Kasus 3.

  Untuk n = 5.

• 1
• 1

  1

  , v ^′ , · · · , v ^′

  V (C n ) = {v ^′

  Kasus 5. Untuk n = 7. Misalkan

  6 )) = 4.

  )) = src(L(S

  6

  ), dimana diperoleh bahwa rc (L(S

  6

  u ^′ _l ) = 4. Pada Gambar 6 diberikan ilustrasi untuk L(S

  6

  ) = 4, untuk 1 ≤ i ≤ 5, dan c (v ^′

  ) = 3, c (v ^′ _i u ^′ _i

  1

  u ^′

  ) = i(mod 3), untuk 1 ≤ i ≤ 5, c (v ^′

  u ^′ _i

  ) = i(mod 3), untuk 1 ≤ i ≤ 5, c (v ^′ _n v ^′ _l ) = 3, c (v ^′ _i

  Untuk n = 6. Definisikan pewarnaan pada sisi-sisi c : E(G) −→ {1, 2, 3, 4} sebagai berikut. c (v ^′ _i v ^′ _i

  Gambar 5. rc(L(S

⁵

)) = src(L(S ⁵ )) = 4 Kasus 4.

  src (L(S 5 )) = 4.

  5 ) menjadi rc(L(S 5 )) dan src(L(S 5 )), maka rc(L(S 5 )) =

  cukup untuk membuat (L(S

  5 ). Karena diam(L(S 5 )) = 3 tidak

  u ^′ _l ) = 4. Pada Gambar 5 diberikan ilustrasi untuk L(S

  5

  ) = 4, untuk 1 ≤ i ≤ 4, dan c (v ^′

  ) = (i + 1)(mod 3), untuk 1 ≤ i ≤ 4, c (v ^′ _n v ^′ _l ) = 1, c (v ^′ _i u ^′ _i ) = i(mod 3), untuk 1 ≤ i ≤ 5, c (v ^′ _i u ^′ _i

  c (v ^′ _i v ^′ _{i +1}

  Bilangan Strong Rainbow Connection untuk Beberapa Graf Definisikan pewarnaan pada sisi-sisi c : E(G) −→ {1, 2, 3, 4} sebagai berikut.

• 1
• 1
• 1

  , v ^′ } = v ^′ untuk i = 1, 2, · · · , n.

  Maradona

  6 ⁶ Gambar 6. rc(L(S )) = src(L(S )) = 4 _{′ ′}

  v Definisikan pewarnaan sisi-sisi dari lingkaran e i = v sebagai berikut _{i i}

• 1 _n

  i, untuk 1 ≤ i ≤ ⌈ ⌉,

  2

  c (e i ) = _{n n} i − ⌈ ⌉, untuk ⌈ ⌉ + 1 ≤ i ≤ n, _{′ ′}

  2

  2

  c (v v ) = 2, _{n l ′ ′} n c u (v ) = ⌈ ⌉ + 1, untuk 1 ≤ i ≤ n, _{i i}

  2 _{′ ′} n c u (v = ⌈ ⌉ + 2, untuk 1 ≤ i ≤ n. _{i (i+1)(mod n)}

  2 Berdasarkan penjelasan diatas, maka diperoleh bahwa rc(L(G)) = src(L(G)) = _n ⌈ ⌉ + 2.

  Teorema 2.5.

  [1] Jika n ≥ 3, dan G ≃ M (S n ) maka rc(G) = src(G) = n + 1. Bukti.

  Graf middle dari suatu graf G adalah graf dengan himpunan titik

  V (M (G)) = V (G) ∪ E(G), dan himpunan sisi dengan syarat sebagai berikut. Jika xy

  ∈ E(M (G)), maka salah satu dari pernyataan berikut terpenuhi: (1) x, y di E(G) dan x, y bertetangga di G. (2) x di V (G), y di E(G), dan x, y terkait di G. Himpunan titik dan sisi dari S n seperti pada Teorema 2.3. Karena G ≃ M (S n ), maka _{′ ′}

  V (G) = V (S n )∪E(S n ) = {v i |1 ≤ i ≤ n}∪{u i |1 ≤ i ≤ n}∪{v |1 ≤ i ≤ n}∪{u |1 ≤ i ≤ n}, _{′ ′ ′ i i} dimana v dan u masing-masing mewakili sisi e i dan e , untuk 1 ≤ i ≤ n.

  Bilangan Strong Rainbow Connection untuk Beberapa Graf

  Definisikan pewarnaan sisi-sisi dari graf middle sebagai berikut _′ c (u u i ) = i, 1 ≤ i ≤ n, _{i ′ ′} c (v u ) = n + 1, 1 ≤ i ≤ n, _{′ i i} c (v i u ) = i, 1 ≤ i ≤ n − 1,

• 1 i
• 1 _′

  c (v u ) = n,

  1 _{′ ′}

  1

  c u (v ) = (i + 2)(mod n), 1 ≤ i ≤ n − 1, _{i i ′ ′} +1 c u

  (v ) = 2, _n

  1 _′

  c v _′ (v i ) = i, 1 ≤ i ≤ n, _i c v (v i ) = i + 1, 1 ≤ 1 ≤ n − 1, _{i +1 ′} c v

  (v _{′ ′ n} 1 ) = 1, c v

  (v ) = i + 1, 1 ≤ i ≤ n − 1, _{i i +1 ′ ′} c u (v ) = 1. _n

  1 Pada Gambar 7 diberikan ilustrasi untuk M (S ). Diperoleh bahwa rc(M (S )) =

  5

  5 src (M (S )) = n + 1.

  5

  

5

⁵ Gambar 7. rc(M (S )) = scr(M (S )) = 6

  Pada Teorema 2.6 berikut diberikan bilangan rainbow connection dari graf total dari graf Matahari. Teorema 2.6.

  [1] Jika n ≥ 3 dan G ≃ T (S n ), maka n, jika n ganjil; rc

  (S n ) = src(S n ) = n + 1, jika n genap. Bukti.

  Graf total dari suatu graf G adalah graf dengan V (T (G)) = V (G) ∪ E(G), dan himpunan sisi dengan syarat sebagai berikut. Jika xy ∈ E(T (G)), maka salah satu dari pernyataan berikut terpenuhi.

• 1
• 1

  ) = 1, c (v ^′ _i v ^′ _{i +1}

  scr (T (S 5 )) = 5.

  5 ), diperoleh bahwa rc(T (S 5 )) =

  Pada Gambar 8 diberikan ilustrasi untuk T (S

  1 ) = n − 2.

  (v n v

  ) = 1, c (v i v _{i +1 ) = (i + 2)(mod n), 1 ≤ 1 ≤ n − 1.} c

  1

  ) = i + 1, 1 ≤ i ≤ n − 1, c (v ^′ _n v ^′

  1

  Maradona (1) x, y di V (G) dan x bertetangga dengan y di G.

  ) = i + 1, 1 ≤ i ≤ n − 1, c (v ^′ _n v

  (v ^′ _i v _i

  (v i v ^′ _i ) = i, 1 ≤ i ≤ n, c

  ) = 1, c (u ^′ _i u _{i ) = (i + 2)(mod n), 1 ≤ i ≤ n,} c

  1

  ) = i + 1, 1 ≤ i ≤ n − 1, c (v ^′ _n u ^′

  Himpunan titik dan sisi dari S _n seperti pada Teorema 2.3. Karenan G ≃ T (S _n ), maka V (G) = V (S _n )∪E(S _n ) = {v _i |1 ≤ i ≤ n}∪{v ^′ _i |1 ≤ i ≤ n}∪{u _i |1 ≤ i ≤ n}∪{u ^′ _i |1 ≤ i ≤ n}, dimana v ^′ _i dan u ^′ _i masing-masing mewakili sisi e _i dan e ^′ _i , untuk 1 ≤ i ≤ n. Pandang beberapa kasus berikut. Kasus 1. Untuk n ganjil. Definisikan pewarnaan untuk sisi-sisi graf total sebagai berikut. c (v i u i ) = i, 1 ≤ i ≤ n, c (v ^′ _i u ^′ _i ) = i, 1 ≤ i ≤ n, c (v i u ^′ _i ) = i, 1 ≤ i ≤ n − 1, c (v ^′ _i u ^′ _i

  (2) x, y di E(G) dan x, y bertetangga di G. (3) x di V (G), y di E(G), dan x, y terkait di G.

  Gambar 8. rc(T (S ⁵ )) = scr(T (S ⁵ )) = 5

  Bilangan Strong Rainbow Connection untuk Beberapa Graf Kasus 2.

  Untuk n genap. Definisikan pewarnaan untuk sisi-sisi graf total sebagai berikut. c u

  (v i i ) = i, 1 ≤ i ≤ n, _′ c u (u i ) = i, 1 ≤ i ≤ n, _{′ ′ i} c u

  (v ) = n + 1, 1 ≤ i ≤ n, _{′ i i} c u (v i +1 ) = i, 1 ≤ i ≤ n − 1, _{i +1 ′} c u

  (v

  1 ) = n, _{′ ′}

  1

  c u (v = (i + 2)(mod n), 1 ≤ i ≤ n − 1, _{i i +1 ′ ′} c u

  (v ) = 2. _n

  1 _{′ ′ ′} c (v v = i, 1 ≤ i ≤ n, _{i i} c (v v ) = i + 1, 1 ≤ i ≤ n − 1, _{i i +1 ′ ′} c (v v 1) = 1, _n c (v i v i ) = (i + 4)(mod n), 1 ≤ 1 ≤ n − 1,

• 1

  c (v n v ) = n − 2, _′

  1

  c (v v i ) = i + 1, _{i +1 ′} c (v v ) = 1, _{n ′ ′}

  1

  c u (v ) = n + 1. _{i i} Pada Gambar 9 diberikan ilustrasi untuk T (S ), diperoleh bahwa rc(T (S )) =

  6

  6 scr (T (S )) = 6 + 1.

  6

  

6

⁶ Gambar 9. rc(T (S )) = scr(T (S )) = 7

  3. Kesimpulan Pada tulisan ini telah dikaji kembali tentang diperoleh bilangan rainbow connection dan bilangan strong rainbow connection untuk graf matahari. Selanjutnya diperoleh

  Maradona

  bilangan rainbow connection dan bilangan strong rainbow connection untuk graf garis, graf middle dan graf total dari graf matahari.

  4. Ucapan Terima Kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Syafrizal Sy, Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Dr. Muhafzan, Bapak Dr. Admi Nazra dan Bapak Dr. Mahdhi- van Syafwan yang telah memberikan masukan dan saran, sehingga tulisan ini dapat diselesaikan dengan baik, dan dapat dipublikasikan. Daftar Pustaka [1] K. Srinivasa Reo dan R. Murali, 2015. Rainbow Connection Numbers of Sunlet

  Graph and Its Line, Middle and Total Graph, International Journal of Mathe- matics and Its Applications 3 (4A): 105 – 113. [2] Chartrand, G. dan P. Zhang, 2005. Introduction to Graph Theory, McGraw-Hill International Editions, Singapore. [3] Chartrand, G. dkk, 2008. Rainbow Connection in Graphs, Math. Bohem. 133: 85 – 98. [4] Yuefang Sun, 2013. Rainbow Connection Numbers of Line Graphs, Middle

  Graphs and Total Graphs, International Journal of Applications Mathematics and Statistics. 42(12) : 361 – 369. [5] Syafrizal Sy, Gema Histamedika dan Lyra Yulianti, 2013. Rainbow Connection Numbers of Fan and Sun, Applied Mathematical Sciences 7 : 3155 – 3159. [6] Xveliang Li and Yuefang Sun, 2011. Rainbow Connection Number of Line Graphs, Ars Combin. 100 : 449 – 463. [7] Diestel, R., 2010. Graph Theory, Springer.