OBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 96 – 102

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND

OBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER

KONTINU

SUKMA HAYATI, ZULAKMAL

  

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_Abstrak.

email : nyuma kamiya@yahoo.com

  Dalam makalah ini dikaji syarat agar diperoleh persamaan observer untuk _e

suatu sistem kontrol linier kontinu. Estimasi yang baik memenuhi ¯ (t) → 0 bila t → ∞,

_e

atau stabil asimtotik. Kestabilan asimtotik sistem ˙¯ diperoleh apabila bagian riil dari

semua nilai eigen matriks (A − LC) bernilai negatif. Bentuk eksplisit matriks L dapat

diperoleh apabila memenuhi syarat tertentu yang dipaparkan pada paper ini.

  Kata Kunci : Observer, estimasi error, stabil asimtotik

  1. Pendahuluan Diberikan suatu kontrol linier sebagai berikut :

  ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), (1.1) _{n×n n×} y (t) = Cx(t)

  1 1×n n

  dimana A ∈ R , B ∈ R , dan C ∈ R . Pada sistem (1.1), x(t) ∈ R menyatakan vektor keadaan (state), u(t) ∈ R menyatakan input (control), dan y ∈ R menyatakan output.

  Suatu observer untuk sistem (1.1) didefinisikan sebagai persamaan berikut: (1.2)

  ˙bx(t) = Abx(t) + Bu(t) + L(y(t) − by(t)), _{n n} x y x dimana (t) = C (t). untuk suatu matriks L ∈ R b (t) ∈ R , b b x

  Vektor (t) memiliki peran sebagai estimator untuk x(t), dengan estimasi error b e x e ¯ (t) = x(t) − (t). Estimasi yang baik mestilah memenuhi ¯ (t) → 0 bila t → ∞, b x atau (t) → x(t) bila t → ∞. Dalam makalah ini dikaji syarat yang menjamin agar b persamaan (1.2) merupakan suatu observer yang baik untuk sistem (1.1).

  2. Observer untuk Sistem Kontrol Linier Kontinu Persamaan (1.2) merupakan observer yang baik untuk sistem kontrol linier (1.1) apabila

  ¯ e x

  Observer untuk Sistem Kontrol Linier Kontinu

  untuk t → ∞. Dari (2.1) diperoleh ˙¯e = ˙x − ˙bx e .

  = (A − LC)¯ (2.2) Jelas bahwa (2.2) merupakan suatu sistem persamaan diferensial linier orde 1 yang e kestabilan asimtotiknya ditentukan oleh matriks A − LC. Bila sistem ˙¯ (t) = (A − LC e

  )¯ (t) stabil asimtotik, yaitu bagian riil dari semua nilai eigen (A − LC) adalah e x negatif, maka ¯ (t) → 0 untuk t → ∞, sehingga ˙ (t) merupakan observer yang baik b untuk ˙x(t). Dengan demikian diperlukan informasi tentang bentuk eksplisit dari matriks L sedemikian sehingga bagian riil dari semua nilai eigen matriks (A − LC) adalah negatif.

  Bentuk eksplisit L dapat dicari dengan menggunakan bentuk dual dari (1.1) yaitu _{T T T} ˙¯e = A e ¯ + C u. (2.3)

  Jika u = −L e ¯ , maka (2.3) dapat ditulis menjadi _{T T T} ˙¯e = (A − C L )¯ e (2.4) yang solusinya adalah _{T T T − C L}

  (A )t

  ¯ e (t) = e e ¯ (0). (2.5) e Dari (2.5) terlihat bahwa ¯ (t) → 0 jika bagian riil dari semua nilai eigen matriks _{T T T}

  L (A − C ) adalah negatif. Teorema berikut menginformasikan syarat yang menjamin eksistensi matriks L _{T T T}

  L sedemikian sehingga nilai eigen (A − C ) dapat dibuatkan sesuai keinginan. _{T T} Teorema 2.1. , C _n× [2] Jika (A ) adalah terkontrol lengkap maka terdapat matriks

1 T T T

  L L sedemikian sehingga nilai eigen dari matriks (A − C ) dapat ditem-

  ∈ R patkan secara sebarang. _{T T} Bukti. , C

  Sistem (A ) diubah menjadi bentuk kanonik terkontrol menggunakan transformasi Q, yaitu _{C C} Q = M W dimana M adalah matriks keterkontrolan _{T T T T n− T C}

  1 M = C A C · · · (A ) C ,

    a n− a n− · · · a

  1

  1

  2

  1

  a a  n− n− · · · 1 0 

  2

  3

     

  W .. .. , =

    . . . .. ... ...     a

  1 · · · 0 0

  1

  1 · · · 0 0 dan a i , i = 1, 2, · · · , n adalah koefisien dari polinomial karakteristik _{T n}

  

(n−1)

s s .

  Sukma Hayati, Zulakmal

  Definisikan variabel keadaan baru be dengan e ¯ = Q _C be. Jika rank(M ) adalah n (berarti sistem terkontrol lengkap), maka matriks Q memi- _{T T} liki invers. Sehingga persamaan sistem ˙¯ e = A e ¯ + C u menjadi _{− −}

1 T

  1 T

  A Q C u (2.6) ˙be = Q be + Q dimana

    1 · · ·   1 · · · _{− T}  

  1  

  Q A Q =

  (2.7)  

  · · · · · · · · · . .. ···    

  · · ·

  1 −a n −a n−

  1 −a n− 2 · · · −a

  1

  dan     _{− T}  

  1

    Q C .. . = (2.8)

    .    

  1 Persamaan (2.7) dan (2.8) merupakan bentuk kanonik terkontrol. Kemudian akan dibuktikan jika sistem terkontrol lengkap, maka dimungkinkan untuk memilih nilai , s , eigen yang diinginkan, misalkan s = s = s · · · , s = s n . Persamaan karakteris-

  1

  2

  tiknya berubah menjadi _n

  (n−1)

  s s (s − s )(s − s ) · · · (s − s n ) = s + α + · · · + α + α n = 0. (2.9)

  1

  2 1 (n−1)

  Tulis _T L Q = δ δ . (2.10) _{n n− T} 1 · · · δ

  1 Bila u = −L Q

  be digunakan untuk mengontrol sistem (2.6), maka diperoleh per- samaan _{− − T T T}

  1

  1 A Q C L Q

  (2.11) ˙be = Q be − Q be. Persamaan karakteristik dari (2.11) adalah _{− − T T T}

  1

  1 A Q C L Q

  |sI − Q + Q | = 0. (2.12) Persamaan karakteristik ini sama dengan persamaan karakteristik untuk sistem _{T T T}

  ˙¯e = A e ¯ + C u dengan u = −L e ¯ yang digunakan sebagai kontrol, yaitu _{T T} ˙¯e = A e ¯ + C u _{T T T} L .

  = (A − C )¯ e (2.13) Persamaan karakteristik untuk sistem (2.13) adalah _{T T T T T T −}

  

1

L L

  |sI − A + C | = |Q (sI − A + C )Q| _{− − T T T}

  1

  1 A Q C L Q

  = |sI − Q + Q |

• Q ⁻
•     
• δ
• · · · + (a n−
• δ n−

• δ
• δ
• · · · + α n−

  1 Q ⁻ 1 .

  − a

  1

  · · · δ

  1

  − a n−

  1

  L ^T =

  α _{n − a n} α _n−

  . a _{n + δ n = α n}

  2 ..

  = α

  

2

  2

  a

  1

  Berikut ini akan dikemukakan langkah-langkah untuk mendapatkan matriks L. Misalkan nilai eigen yang diinginkan adalah s = s

  1

  , s = s

  s ⁿ⁻

  

1

A ^T

  φ ^{T T n} A ^{T n−}

  A _L ^T , maka berlaku

  s + α n = 0 untuk suatu skalar α i , i = 1, 2, · · · , n. Berdasarkan teorema Cayley-Hamilton untuk

  1

  1

  1

  2

  ) · · · (s − s n ) = s ⁿ + α

  2

  )(s − s

  1

  |sI − A ^T _L | = (s − s

  L ^T adalah

  , · · · , s = s n . Persamaan karakteristik dari A L ^T = A ^T − C ^T

  = α

  1

  

1

  1 −a n −a n−

        

  1

  · · · −a

  2

  −a n−

  1

  · · ·

  .

  1 · · · · · · · · · · · · . .. ···

  −        1 · · ·

  | = sI

  1 C ^T L ^T Q

  1 A ^T Q

  Substitusikan persamaan (2.7), (2.8), dan (2.10) ke dalam persamaan karakteristik (2.12) diperoleh |sI − Q ⁻

  Observer untuk Sistem Kontrol Linier Kontinu

    ..

  1       

  Persamaan karakteristik ini sama dengan persamaan karakteristik (2.9). Sehingga dengan menyamakan koefisiennya diperoleh a

  = s ⁿ + (a

  )s + (a n + δ n ) = 0

  1

  1

  (n−1)

  )s

  1

  1

  1

  δ _n δ _n−

  1 + δ n− 1 · · · s + a 1 + δ

  · · · a _{n + δ n} a _n−

  · · · · · · · · · · · · . ..

  = s −1 · · · s

  1

  · · · δ

  1

  I

1 A

  (C ^T )L ^T − (A ^T ) ⁿ⁻

  berikut : φ

  1 Substitusikan identitas tersebut ke persamaan (2.14), sehingga diperoleh persamaan

  − (C ^T )L ^T A _L ^{T n−}

  2

  − · · · − (A ^T )(C ^T )L ^T A _L ^{T n−}

  2

  (C ^T )L ^T (A _L ^T )

  3

  (C ^T )L ^T A _L ^T − (A ^T ) ⁿ⁻

  2

  1

  2

  _L ^T = (A ^T ) ⁿ − (A ^T ) ⁿ⁻

  . A _L ^{T n} = A _L ^{T n−}

  − A ^T (C ^T )L ^T − (C ^T )L ^T A _L ^T ..

  2

  = A L ^{T A L T} = (A ^T )

  2

  = (A ^T ) − C ^T L ^T A _L ^T

  Perhatikan identitas berikut : A _L ^T

  Sukma Hayati, Zulakmal

  1

  (A ^T ) = (C ^T )(α n−

• α n−
• · · · + α
• (A ^T
• · · · + L ^T A _L ^{T n−}
• (A ^T
• · · · + L ^T
• · · · + L ^T A _L ^T ) + (A ^T

  2 L ^T A _L ^T

• α n−
• · · · + α

• · · · + L ^T A _L ^{T n−}
• α n−
• · · · + α
• · · · + L ^T A _L ^{T n−}
• · · · + α

  1

      

  . L ^T

  2 ..

  2 L ^T

  α _n−

  2

  − L ^T A _L ^{T n−}

  (C ^T ) (A ^T )(C ^T ) · · · (A ^T ) ⁿ⁻

  1 L ^T A _L ^{T n−}

  2 L ^T A _L ^T

  1 L ^T

  α _n−

      

  φ (A ^T ) =

  Kemudian kalikan kedua sisi dengan 0 0 · · · 1 , diperoleh persamaan berikut : 0 0 · · · 1 h

  (C ^T ) i ⁻

  1

  − L ^T A _L ^{T n−}

  1 P ^T

  = L ^T atau dapat ditulis sebagai L ^T M ⁻

      

  . L ^T

  2 L ^T + · · · + L ^T A _L ^{T n−} 2 ..

  α n−

  1

  2

  (C ^T ) i ⁻

  1 L ^T A _L ^{T n−}

  2 L ^T A _L ^T

  1 L ^T + α n−

  α n−

  = 0 0 · · · 1     

  φ (A ^T )

  1

  1

  ⇔ h (C ^T ) (A ^T )(C ^T ) · · · (A ^T ) ⁿ⁻

  1

  3

  2

  ) (A ^T ) ⁿ⁻

  2

  A _L ^T

  1 L ^T A _L ^T

  (C ^T )(α

  ) ⁿ⁻

  1 L ^T

  ) + · · ·

  2

  2 L ^T

  )(C ^T )(α n−

  )

  − L ^T A _L ^{T n−}

  1 L ^T

  (C ^T )(α

  ) ⁿ⁻

  1 L ^T A _L ^{T n−}

  − L ^T A _L ^{T n−}

      

  . L ^T

  2 ..

  2 L ^T

  α _n−

  1

  2

  1

  1 L ^T A _L ^{T n−}

  2 L ^T A _L ^T

  1 L ^T

  α _n−

  

1

  (C ^T ) (A ^T )(C ^T ) · · · (A ^T ) ⁿ⁻

  (C ^T )L ^T = h

  (C ^T ) i     

  _C Observer untuk Sistem Kontrol Linier Kontinu _{T T}

  dimana M adalah matriks keterkontrolan dan P ch,A (A ) = φ(A ) adalah poli- _{T LT} nomial karakteristik untuk matriks A L . Dengan demikian diperoleh     _{T T T T T −}  

  1

    L .. . = (L ) = P (A )(M ) (2.16) _{ch,A C}

    _LT .    

  1 _n×

  1

  , sehingga nilai Persamaan (2.16) menunjukkan bahwa terdapat matriks L ∈ R _{T T T} eigen matriks A − L C dapat ditempatkan secara sebarang. Dengan perkataan lain (1.2) merupakan observer yang baik untuk sistem (1.1).

  3. Kesimpulan Diberikan suatu kontrol linier sebagai berikut :

  ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) _{n×n n×} (3.1)

  1 1×n n

  dimana A ∈ R , B ∈ R , dan C ∈ R . Pada sistem (3.1), x(t) ∈ R menyatakan vektor keadaan (state), u(t) ∈ R menyatakan input (control), dan y ∈ R menyatakan output.

  Suatu observer untuk sistem (3.1) didefinisikan sebagai persamaan berikut : (3.2)

  ˙bx(t) = Abx(t) + Bu(t) + L(y(t) − by(t)), _{n n} dimana x y (t) = C x (t). untuk suatu matriks L ∈ R b (t) ∈ R , b b

  Error antara x(t) dengan estimator x (t) dinamakan error estimasi ¯ e (t), yaitu b ¯ e (t) = x − x , yang dibangun dari persamaan error dinamik ˙¯ e (t) = ˙x(t) − ˙ x (t). b b

  Apabila ˙¯ e (t) = (A−LC)¯ e (t) stabil asimtotik, yaitu bagian riil nilai eigen (A−LC) < e x 0, maka ¯ (t) → 0 untuk t → ∞, dan ˙ (t) dikatakan observer yang baik untuk ˙x(t). b

  Bagian riil nilai eigen (A − LC) dapat ditempatkan sebarang, yaitu apabila _n×

  1 sebagai berikut.

  terdapat matriks L ∈ R     _{T T T T T −}  

  1

    L .. . = (L ) = P (A )(M C ) (3.3) _ch,A

    _LT .    

  1 Daftar Pustaka [1] Anton, H dan Rorres, C. 2004. Aljabar Linier Elementer. Edisi Kedelapan. Jilid

  1. Penerbit Erlangga, Jakarta [2] Antsaklis, P. J dan Michel, A. N. 2007. A Linear Systems Primer. Birkhauser,

  Boston [3] Hendricks. E, Ole. J dan P. H. Soronsen. 2008. Linear System Control. Springer,

  Sukma Hayati, Zulakmal

  [4] Ogata, K. 2002. Modern Control Engineering, Fourth Edition. Prentice-Hall, New Jersey

  [5] Bastian. G dan N. Dautrebande. 1999. Positive linier Observers for Positive Lin- ear Systems. Proceedings European Control Conference ECC’99, Paper F371 [6] Luenberger, B.G. 1979. Introduction to Dynamics System. John Wiley and Sons,

  California [7] Golan, J.S. 2007. The Linear Algebra A Beginning Graduate Student Ought to

  Know. Second Edition. Springer, Dordrecht