Chapter I Kajian Estimasi Parameter Distribusi Gamma Dengan Penduga Metode Momen dan Penduga Kemungkinan Maksimum; Suatu Terapan Data Paruh Waktu dan Simulasi Sebagai Perbandingan
1
BAB I
\
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Informasi-informasi faktual yang diperoleh berdasarkan hasil observasi maupun
penelitian sangatlah beragam. Informasi yang dirangkum sedemikian rupa disebut
dengan data.. Data yang akan diteliti pada umumnya memiliki karakteristik yang
spesifik, sehingga ketika data dianalisa diperoleh model yang sesuai dengan
karakteristik data tersebut. Fungsi yang menggambarkan data tersebut dikatakan
sebagai distribusi data. Variasi distribusi data dalam statistika menunjukkan
bahwa data-data memiliki karakteristik tertentu yang hanya bisa dijelaskan oleh
distibusi yang bersesuaian. Misalkan data yang berdistribusi seragam akan sulit
dijelaskan oleh distribusi gamma, data yang berdistribusi normal akan sulit
dijelaskan oleh distribusi beta maupun sebaliknya.
Bermacam-macam distribusi memperlihatkan betapa banyaknya variasi
data. Kajian distribusi statistik yang spesifik akan memperlihatkan karakteristik
dari suatu distribusi. Maka, kaidah-kaidah dalam statistik diperlukan untuk
memahami kajian distribusi statistik.
Menurut Brase statistika adalah
metode yang digunakan untuk
mengumpulkan, menyajikan, menganalisa, menginterpretasi data serta menarik
kesimpulan yang valid. Penarikan kesimpulan tanpa menggunakan metode
statistik
merupakan
dugaan subjektif, dan kemungkinan kesimpulan yang
diperoleh tidak reliabel. Seperti kebanyakan cabang ilmu-ilmu lainnya, statistika
terdiri atas dua aspek penting: teoritis dan aplikasi. Secara teoritis
statistika
berkaitan dengan pengembangan, penurunan, pembuktian teorema, rumus, aturan
2
dan hukum. Aplikasi statistik melibatkan penggunaan teorema, rumus, aturan,
hukum untuk menyelesaikan permasalahan kehidupan nyata.
Statistika secara didikotomi menjadi statistika deskriptif dan statistika
inferesia. Statistika deskriptif meliputi metode pengumpulan, pengelompokan,
pengolahan dan penyajian data, sedangkan statistika inferensia meliputi metode
analisis, interpretasi dan prediksi berdasarkan hasil sampel dalam membantu
penarikan kesimpulan suatu populasi. Statistika inferensia dapat dibagi menjadi
dua kategori umum yaitu estimasi parameter dan pengujian hipotesis. Teknik ini
menggunakan informasi sampel dalam menentukan kesimpulan. Dalam teori
keputusan, inferensi didasarkan pada kombinasi informasi sampel beserta bagianbagian lainnya yang dianggap relevan dengan suatu persoalan tertentu agar
dihasilkan keputusan terbaik. Hal yang dianggap relevan dengan informasi sampel
adalah konsekuensi yang timbul dari keputusan yang diambil.
Dalam pendekatan klasik, inferensi didasarkan sepenuhnya pada informasi
yang diperoleh
melalui sampel acak yang diambil dari suatu populasi yang
berdistribusi tertentu. Adalah penting menentukan keputusan dan kebijakan
berdasarkan hasil analisis data sehingga hasil yang diperoleh sesuai harapan atau
setidaknya dapat meminimumkan resiko akibat kegagalan suatu perlakuan.
Kesimpulan yang
akurat
memerlukan informasi sebanyak mungkin. Sebaik
mengambil populasi untuk dianalisis, namun jika ukuran populasi sangat besar
akan menjadi masalah baru. Apakah berkaitan dengan dana maupun sumber daya
yang dimiliki. Pada kondisi tersebut, penggunaan
terbaik
menentukan
karakteristik
populasi
sampel adalah alternatif
dalam
mengefektifkan
dan
mengefisienkan baik sumber daya dan waktu. Sampel diharapkan dapat mewakili
karakteristik populasi sedekat sebisa mungkin, sehingga keputusan yang diperoleh
sahih dan tepat.
Berdasarkan analisa statistik, estimasi populasi memainkan peranan yang
sangat signifikan terutama pada terapan masalah. Suatu karakteristik numerik
yang merupakan fenomena fisis yang mungkin diperlukan, dilain pihak fenomena
3
tersebut bisa saja tidak terobservasi secara langsung. Observasi dari satu atau
lebih peubah acak yang distribusinya bergantung kepada karakteristik yang
diperlukan sehingga akan mempermudah memahaminya. Untuk mengembangkan
metode yang digunakan dalam menyelidiki nilai peubah acak berdasarkan sampel
data dan menggali informasi mengenai karakteristik populasi yang tidak diketahui
dan tidak terobservasi maka dibutuhkan kajian mendalam mengenai hal tersebut.
Estimasi merupakan suatu metode dimana peneliti dapat memperkirakan
nilai populasi dengan menggunakan nilai sampel atau aturan yang pada umumnya
diekspresikan sebagai sebuah formula yang menyatakan bagaimana menghitung
nilai estimasi berdasarkan muatan pengukuran dalam sampel. Estimator adalah
suatu statistik yang dapat berupa mean, median, modus varians, simpangan baku
maupun ukuran proporsi lainnya. Di mana sampel digunakan untuk melakukan
penaksiran suatu parameter populasi. Konsep populasi dan variabel acak sangatlah
penting terhadap interpretasi yang tepat pada data statistik dan analisnya.
Karakteristik suatu populasi dapat diketahui dengan melakukan estimasi
terhadap sampelnya. Sedangkan nilai sampel statistik yang digunakan untuk
mengestimasi parameter populasi disebut dengan estimator. Tujuan dari banyak
investigasi statistik adalah untuk mengestimasi satu atau lebih parameter yang
relevan. Karakteristik yang berkaitan dengan sampel disebut sebagai statistik,
sedangkan karakteristik yang berkaitan dengan populasi disebut dengan
parameter. Parameter adalah ukuran seluruh populasi yang diwakili oleh nilai
estimasi. Parameter populasi pada umumnya tidak diketahui karena banyaknya
anggota populasi.
Sering kali ciri, sifat maupun karakteristik suatu pengamatan dilihat
berdasarkan ukuran pusatnya, katakanlah seperti rataan μ, varians σ2 dan deviasi
σ. Demi memperoleh hasil pengamatan yang lebih akurat, nilai sekitar μ juga turut
diamati. Hal ini menunjukkan bahwa hasil pengamatan akan menjadi lebih
bermanfaaat jika memberikan informasi yang lebih banyak dalam pengambilan
keputusan.
4
Perhatikan bahwa proses antrian, waktu tunggu, paruh waktu merujuk
kepada distribusi Poisson. Pembahasan lebih lanjut menunjukkan bahwa proses
Poisson dapat ditransformasikan kedalam distribusi gamma. Untuk mengetahui
karakteristik distribusi gamma diperlukan analisa. Analisa yang digunakan adalah
dengan melakukan penaksiran terhadap parameternya.
.
Berdasarkan uraian diatas maka penulis mengajukan judul :”Kajian
estimasi parameter distribusi gamma berdasarkan
moments method estimator
(MMEs) dan maximum likelihood estimator (MLE); suatu terapan pada data paruh
waktu dan Simulasi sebagai perbandingan.”
2. Rumusan Masalah
Akan dikaji estimasi parameter distribusi gamma dengan metode moments
estimator dan maximum likelihood estimator dengan melakukan perbandingan
berdasarkan data paruh waktu dan data simulasi
3. Batasan Masalah
Pembatasan masalah pada tulisan ini yakni fungsi padat peluang berdistribusi
gamma dengan parameter r dan λ. Hasil penurunan kedua metode estimasi
diterapakan dalam rata-rata time travel kerja pekerja. Membandingkan hasil kedua
estimasi tersebut dengan data yang telah ditetapkan Dengan memperhatikan sifatsifat penduga yaitu tidak bias, efisien dan konsisten. Dan dengan melakukan
bangkitan data dengan nilai r dan λ tertentu.
4. Tujuan penelitian
Berdasarkan penjabaran sebelumnya, maka tujuan penelitian adalah
sebagai berikut:
a) Memahami langkah-langkah pendugaan kedua estimasi.
5
b) Mengetahui hasil dari kedua estimasi tersebut
c) Melihat karakteristik terhadap kasus tertentu pada kedua metode estimasi
yang telah diberikan.
5. Kontribusi Peneltian
a) Bagi penulis
Kontribusi penelitian bagi penulis adalah menambah dan memperdalam
pemahaman tentang statistika inferensia khususnya estimasi parameter pada
distribusi gamma serta aplikasinya statistiknya dalam kehidupan sehari-hari,
sehingga menambah minat memperdalam ilmu dalam bidang statistik.
b) Bagi pembaca
Menambah
pustaka kepada pembaca yang ingin memahami tentang estimasi
kedua parameter yang diajukan. Serta pembanding untuk peneliti yang ingin
parameter pada distribusi yang serupa dalam menambah cakrawala ilmu
pengetahuan didalam analisis statistik khususnya dengan disribusi yang berkaitan.
6. Metode Penelitian
Berdasarkan buku Fundamental of Research Methodology and Statistics, Kumar
mengemukakan tiga aspek penelitian, yakni:
a) Aspek teoretis
b) Aspek faktual
c) Aspek terapan
Berdasarkan aspek tersebut maka metode yang digunakan penulis adalah sebagai
berikut:
a) Menentukan permasalahan yang akan diteliti
b) Mencari dan menggunakan literatur,
baik yang menjadi acuan utama
maupun acuan tambahan untuk membangun hasil yang terbaik.
6
c) Telaah teori pada literatur utama dan tambahan
d) Untuk mengarahkan peneltian maka penulis, melaksanakan prosedur sebagai
berikut:
1. Mendefinisikan fungsi densitas distribusi gamma
2. Melakukan estimasi momen estimator:
a)
Menentukan persamaan umum momen populasi dan momen
sampel
b)
Momen pertama , momen kedua pupulasi dan momen sampel
disamakan
c)
Melakukan manipulasu aljabar untuk memperoleh hasil
penyelesaian sistem pertidaksamaan yaitu nilai dari parameter
� dan λ
3. Melakukan estimasi maksimum likelihood
a)
Menentukan fungsi likelihood fungsi densitas
b)
Menentukan fungsi maksimum likelihood fungsi distribusi
c)
Melakukan diferensial ��� likelihood sebagai konsekuensi
memaksimumkan parameter distribusi gamma terhadap
parameter � dan λ
4. Mensubstitusi data paruh waktu dari lightbulbs kedalam kedua estimasi,
sehingga diketahui parameter �̂ dan λ�
5. Berdasarkan hasil pada kedua estimasi dilakukan simulasi data secara acak
pada distribusi gamma dengan menggunakan program R, dimodifikasi
sebanyak empat puluh kali dengan bangkitan data � = 100 dan � = 1000
kali
e) Penarikan kesimpulan
7.) Tinjauan Pustaka
Perancangan suatu sistem kompleks melibatkan pemilihan berbagai alternatif
yang dapat dilaksanakan. Pemilihan yang dilakukan berdasakan kepada criteriakriteria yang ditentukan. Evaluasi kuantitatif kriteria tersebut jarang dilakukan
terhadap implementasi terkini beserta
evaluasi eksperimental pilihan yang
7
dikonfigurasi. Pengambilan keputusan dilakukan berdasarkan estimasi yang
diperoleh menggunakan model alternatif.
Suatu Model adalah representasi yang ditaksir berdasarkan keadaan fisik.
Model diharapkan dapat menjelaskan sifat-sifat pengamatan menggunakan
sekelompok aturan sederhana dan dimerngerti. Aturan tersebut diharapkan dapat
memprediksi keluaran dari sebuah eksperimen yang melibatkan keadaan fisik
sebelumnya. Model bermanfaat menjelaskan segala aspek relevan dari situasi
yang diberikan.
Model matematis digunakan pada kejadian observasional yang memiliki
sifat-sifat mengukuran. Model matematis terdiria atas sekelompok asumsi
tenatang bagaimana suatu sistem atau proses fisik bekerja. Asumsi tersebut
diterapkan dalam bentuk relasi matematis yang melibatkan parameter dan variabel
penting.
Untuk lebih memahami terapan statistika ini adalah lebih baik untuk
memahami karakteristik distribusi statistika sebelum diaplikasikan kedalam
berbagai permasalahan sehari-hari.
Satu konsep dasar dalam statistika adalah eksperimen acak. Untuk semua
eksperimen acak, setidaknya terdapat satu ruang sampel yang sesuai terhadap
eksperimen acak di bawah perlakuan. Dalam banyak kasus, banyak pengamatan
dapat dilakukan tanpa referensi terhadap ruang sampel eksplisit. Untuk
memahami kuantitas tersebut maka didefinisikan variabel acak. Variabel acak
merupakan fungsi bernilai riil dan terdefinisi pada sebuah ruang sampel. Variabel
acak adalah alat utama dalam pemodelan kuantitas-kuantitas yang tidak diketahui
dalam analisis statistikater. Variabel acak pada umumnya dituliskan dengan huruf
besar, seperti X, Y, Z dengan atau tanpa indeks. Variabel acak didikotomi menjadi
dua yaitu diskrit dan kontinu.
8
Fungsi Kepadatan peluang atau
probability density function p.d.f
merupakan variabel acak kontinu dan terdefenisi pada himpuan bilangan riil,
jika:
1. �(�) ≥ 0,
∞
∀� ∈ ℝ
2. � �(�)�� = 1
−∞
�
3. �(� < � < �) = � �(�) ��
�
Andaikan bahwa barisan kejadian saling bebas terjadi dalam konstanta λ
perunit waktu. Jika variabel acak � menyatakan interval antara jarak kejadian
�� (�) = �� −�� , � > 0, maka X dapat diintrepretasikan sebagai waktu tunggu
untuk
kejadian
pertama.
Bagian
ini
membangkitkan
hubungan
Poisson/eksponensial dan terpusat pada interval, atau waktu tunggu, yang
dibutuhkan untuk terjadinya kejadian ke-r.
�
Definisi 1.1
Diberikan bilangan riil r > 0 dan λ > 0, variabel acak X dikatakan sebagai
gamma p.d.f dengan parameter r dan λ jika:
��
�� (�) = (�−1)! � �−1 � −��
, �>0
Berikut ini merupakan karakteristik kurva distribusi gamma untuk beberapa nilai
parameter r dan �
BAB I
\
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Informasi-informasi faktual yang diperoleh berdasarkan hasil observasi maupun
penelitian sangatlah beragam. Informasi yang dirangkum sedemikian rupa disebut
dengan data.. Data yang akan diteliti pada umumnya memiliki karakteristik yang
spesifik, sehingga ketika data dianalisa diperoleh model yang sesuai dengan
karakteristik data tersebut. Fungsi yang menggambarkan data tersebut dikatakan
sebagai distribusi data. Variasi distribusi data dalam statistika menunjukkan
bahwa data-data memiliki karakteristik tertentu yang hanya bisa dijelaskan oleh
distibusi yang bersesuaian. Misalkan data yang berdistribusi seragam akan sulit
dijelaskan oleh distribusi gamma, data yang berdistribusi normal akan sulit
dijelaskan oleh distribusi beta maupun sebaliknya.
Bermacam-macam distribusi memperlihatkan betapa banyaknya variasi
data. Kajian distribusi statistik yang spesifik akan memperlihatkan karakteristik
dari suatu distribusi. Maka, kaidah-kaidah dalam statistik diperlukan untuk
memahami kajian distribusi statistik.
Menurut Brase statistika adalah
metode yang digunakan untuk
mengumpulkan, menyajikan, menganalisa, menginterpretasi data serta menarik
kesimpulan yang valid. Penarikan kesimpulan tanpa menggunakan metode
statistik
merupakan
dugaan subjektif, dan kemungkinan kesimpulan yang
diperoleh tidak reliabel. Seperti kebanyakan cabang ilmu-ilmu lainnya, statistika
terdiri atas dua aspek penting: teoritis dan aplikasi. Secara teoritis
statistika
berkaitan dengan pengembangan, penurunan, pembuktian teorema, rumus, aturan
2
dan hukum. Aplikasi statistik melibatkan penggunaan teorema, rumus, aturan,
hukum untuk menyelesaikan permasalahan kehidupan nyata.
Statistika secara didikotomi menjadi statistika deskriptif dan statistika
inferesia. Statistika deskriptif meliputi metode pengumpulan, pengelompokan,
pengolahan dan penyajian data, sedangkan statistika inferensia meliputi metode
analisis, interpretasi dan prediksi berdasarkan hasil sampel dalam membantu
penarikan kesimpulan suatu populasi. Statistika inferensia dapat dibagi menjadi
dua kategori umum yaitu estimasi parameter dan pengujian hipotesis. Teknik ini
menggunakan informasi sampel dalam menentukan kesimpulan. Dalam teori
keputusan, inferensi didasarkan pada kombinasi informasi sampel beserta bagianbagian lainnya yang dianggap relevan dengan suatu persoalan tertentu agar
dihasilkan keputusan terbaik. Hal yang dianggap relevan dengan informasi sampel
adalah konsekuensi yang timbul dari keputusan yang diambil.
Dalam pendekatan klasik, inferensi didasarkan sepenuhnya pada informasi
yang diperoleh
melalui sampel acak yang diambil dari suatu populasi yang
berdistribusi tertentu. Adalah penting menentukan keputusan dan kebijakan
berdasarkan hasil analisis data sehingga hasil yang diperoleh sesuai harapan atau
setidaknya dapat meminimumkan resiko akibat kegagalan suatu perlakuan.
Kesimpulan yang
akurat
memerlukan informasi sebanyak mungkin. Sebaik
mengambil populasi untuk dianalisis, namun jika ukuran populasi sangat besar
akan menjadi masalah baru. Apakah berkaitan dengan dana maupun sumber daya
yang dimiliki. Pada kondisi tersebut, penggunaan
terbaik
menentukan
karakteristik
populasi
sampel adalah alternatif
dalam
mengefektifkan
dan
mengefisienkan baik sumber daya dan waktu. Sampel diharapkan dapat mewakili
karakteristik populasi sedekat sebisa mungkin, sehingga keputusan yang diperoleh
sahih dan tepat.
Berdasarkan analisa statistik, estimasi populasi memainkan peranan yang
sangat signifikan terutama pada terapan masalah. Suatu karakteristik numerik
yang merupakan fenomena fisis yang mungkin diperlukan, dilain pihak fenomena
3
tersebut bisa saja tidak terobservasi secara langsung. Observasi dari satu atau
lebih peubah acak yang distribusinya bergantung kepada karakteristik yang
diperlukan sehingga akan mempermudah memahaminya. Untuk mengembangkan
metode yang digunakan dalam menyelidiki nilai peubah acak berdasarkan sampel
data dan menggali informasi mengenai karakteristik populasi yang tidak diketahui
dan tidak terobservasi maka dibutuhkan kajian mendalam mengenai hal tersebut.
Estimasi merupakan suatu metode dimana peneliti dapat memperkirakan
nilai populasi dengan menggunakan nilai sampel atau aturan yang pada umumnya
diekspresikan sebagai sebuah formula yang menyatakan bagaimana menghitung
nilai estimasi berdasarkan muatan pengukuran dalam sampel. Estimator adalah
suatu statistik yang dapat berupa mean, median, modus varians, simpangan baku
maupun ukuran proporsi lainnya. Di mana sampel digunakan untuk melakukan
penaksiran suatu parameter populasi. Konsep populasi dan variabel acak sangatlah
penting terhadap interpretasi yang tepat pada data statistik dan analisnya.
Karakteristik suatu populasi dapat diketahui dengan melakukan estimasi
terhadap sampelnya. Sedangkan nilai sampel statistik yang digunakan untuk
mengestimasi parameter populasi disebut dengan estimator. Tujuan dari banyak
investigasi statistik adalah untuk mengestimasi satu atau lebih parameter yang
relevan. Karakteristik yang berkaitan dengan sampel disebut sebagai statistik,
sedangkan karakteristik yang berkaitan dengan populasi disebut dengan
parameter. Parameter adalah ukuran seluruh populasi yang diwakili oleh nilai
estimasi. Parameter populasi pada umumnya tidak diketahui karena banyaknya
anggota populasi.
Sering kali ciri, sifat maupun karakteristik suatu pengamatan dilihat
berdasarkan ukuran pusatnya, katakanlah seperti rataan μ, varians σ2 dan deviasi
σ. Demi memperoleh hasil pengamatan yang lebih akurat, nilai sekitar μ juga turut
diamati. Hal ini menunjukkan bahwa hasil pengamatan akan menjadi lebih
bermanfaaat jika memberikan informasi yang lebih banyak dalam pengambilan
keputusan.
4
Perhatikan bahwa proses antrian, waktu tunggu, paruh waktu merujuk
kepada distribusi Poisson. Pembahasan lebih lanjut menunjukkan bahwa proses
Poisson dapat ditransformasikan kedalam distribusi gamma. Untuk mengetahui
karakteristik distribusi gamma diperlukan analisa. Analisa yang digunakan adalah
dengan melakukan penaksiran terhadap parameternya.
.
Berdasarkan uraian diatas maka penulis mengajukan judul :”Kajian
estimasi parameter distribusi gamma berdasarkan
moments method estimator
(MMEs) dan maximum likelihood estimator (MLE); suatu terapan pada data paruh
waktu dan Simulasi sebagai perbandingan.”
2. Rumusan Masalah
Akan dikaji estimasi parameter distribusi gamma dengan metode moments
estimator dan maximum likelihood estimator dengan melakukan perbandingan
berdasarkan data paruh waktu dan data simulasi
3. Batasan Masalah
Pembatasan masalah pada tulisan ini yakni fungsi padat peluang berdistribusi
gamma dengan parameter r dan λ. Hasil penurunan kedua metode estimasi
diterapakan dalam rata-rata time travel kerja pekerja. Membandingkan hasil kedua
estimasi tersebut dengan data yang telah ditetapkan Dengan memperhatikan sifatsifat penduga yaitu tidak bias, efisien dan konsisten. Dan dengan melakukan
bangkitan data dengan nilai r dan λ tertentu.
4. Tujuan penelitian
Berdasarkan penjabaran sebelumnya, maka tujuan penelitian adalah
sebagai berikut:
a) Memahami langkah-langkah pendugaan kedua estimasi.
5
b) Mengetahui hasil dari kedua estimasi tersebut
c) Melihat karakteristik terhadap kasus tertentu pada kedua metode estimasi
yang telah diberikan.
5. Kontribusi Peneltian
a) Bagi penulis
Kontribusi penelitian bagi penulis adalah menambah dan memperdalam
pemahaman tentang statistika inferensia khususnya estimasi parameter pada
distribusi gamma serta aplikasinya statistiknya dalam kehidupan sehari-hari,
sehingga menambah minat memperdalam ilmu dalam bidang statistik.
b) Bagi pembaca
Menambah
pustaka kepada pembaca yang ingin memahami tentang estimasi
kedua parameter yang diajukan. Serta pembanding untuk peneliti yang ingin
parameter pada distribusi yang serupa dalam menambah cakrawala ilmu
pengetahuan didalam analisis statistik khususnya dengan disribusi yang berkaitan.
6. Metode Penelitian
Berdasarkan buku Fundamental of Research Methodology and Statistics, Kumar
mengemukakan tiga aspek penelitian, yakni:
a) Aspek teoretis
b) Aspek faktual
c) Aspek terapan
Berdasarkan aspek tersebut maka metode yang digunakan penulis adalah sebagai
berikut:
a) Menentukan permasalahan yang akan diteliti
b) Mencari dan menggunakan literatur,
baik yang menjadi acuan utama
maupun acuan tambahan untuk membangun hasil yang terbaik.
6
c) Telaah teori pada literatur utama dan tambahan
d) Untuk mengarahkan peneltian maka penulis, melaksanakan prosedur sebagai
berikut:
1. Mendefinisikan fungsi densitas distribusi gamma
2. Melakukan estimasi momen estimator:
a)
Menentukan persamaan umum momen populasi dan momen
sampel
b)
Momen pertama , momen kedua pupulasi dan momen sampel
disamakan
c)
Melakukan manipulasu aljabar untuk memperoleh hasil
penyelesaian sistem pertidaksamaan yaitu nilai dari parameter
� dan λ
3. Melakukan estimasi maksimum likelihood
a)
Menentukan fungsi likelihood fungsi densitas
b)
Menentukan fungsi maksimum likelihood fungsi distribusi
c)
Melakukan diferensial ��� likelihood sebagai konsekuensi
memaksimumkan parameter distribusi gamma terhadap
parameter � dan λ
4. Mensubstitusi data paruh waktu dari lightbulbs kedalam kedua estimasi,
sehingga diketahui parameter �̂ dan λ�
5. Berdasarkan hasil pada kedua estimasi dilakukan simulasi data secara acak
pada distribusi gamma dengan menggunakan program R, dimodifikasi
sebanyak empat puluh kali dengan bangkitan data � = 100 dan � = 1000
kali
e) Penarikan kesimpulan
7.) Tinjauan Pustaka
Perancangan suatu sistem kompleks melibatkan pemilihan berbagai alternatif
yang dapat dilaksanakan. Pemilihan yang dilakukan berdasakan kepada criteriakriteria yang ditentukan. Evaluasi kuantitatif kriteria tersebut jarang dilakukan
terhadap implementasi terkini beserta
evaluasi eksperimental pilihan yang
7
dikonfigurasi. Pengambilan keputusan dilakukan berdasarkan estimasi yang
diperoleh menggunakan model alternatif.
Suatu Model adalah representasi yang ditaksir berdasarkan keadaan fisik.
Model diharapkan dapat menjelaskan sifat-sifat pengamatan menggunakan
sekelompok aturan sederhana dan dimerngerti. Aturan tersebut diharapkan dapat
memprediksi keluaran dari sebuah eksperimen yang melibatkan keadaan fisik
sebelumnya. Model bermanfaat menjelaskan segala aspek relevan dari situasi
yang diberikan.
Model matematis digunakan pada kejadian observasional yang memiliki
sifat-sifat mengukuran. Model matematis terdiria atas sekelompok asumsi
tenatang bagaimana suatu sistem atau proses fisik bekerja. Asumsi tersebut
diterapkan dalam bentuk relasi matematis yang melibatkan parameter dan variabel
penting.
Untuk lebih memahami terapan statistika ini adalah lebih baik untuk
memahami karakteristik distribusi statistika sebelum diaplikasikan kedalam
berbagai permasalahan sehari-hari.
Satu konsep dasar dalam statistika adalah eksperimen acak. Untuk semua
eksperimen acak, setidaknya terdapat satu ruang sampel yang sesuai terhadap
eksperimen acak di bawah perlakuan. Dalam banyak kasus, banyak pengamatan
dapat dilakukan tanpa referensi terhadap ruang sampel eksplisit. Untuk
memahami kuantitas tersebut maka didefinisikan variabel acak. Variabel acak
merupakan fungsi bernilai riil dan terdefinisi pada sebuah ruang sampel. Variabel
acak adalah alat utama dalam pemodelan kuantitas-kuantitas yang tidak diketahui
dalam analisis statistikater. Variabel acak pada umumnya dituliskan dengan huruf
besar, seperti X, Y, Z dengan atau tanpa indeks. Variabel acak didikotomi menjadi
dua yaitu diskrit dan kontinu.
8
Fungsi Kepadatan peluang atau
probability density function p.d.f
merupakan variabel acak kontinu dan terdefenisi pada himpuan bilangan riil,
jika:
1. �(�) ≥ 0,
∞
∀� ∈ ℝ
2. � �(�)�� = 1
−∞
�
3. �(� < � < �) = � �(�) ��
�
Andaikan bahwa barisan kejadian saling bebas terjadi dalam konstanta λ
perunit waktu. Jika variabel acak � menyatakan interval antara jarak kejadian
�� (�) = �� −�� , � > 0, maka X dapat diintrepretasikan sebagai waktu tunggu
untuk
kejadian
pertama.
Bagian
ini
membangkitkan
hubungan
Poisson/eksponensial dan terpusat pada interval, atau waktu tunggu, yang
dibutuhkan untuk terjadinya kejadian ke-r.
�
Definisi 1.1
Diberikan bilangan riil r > 0 dan λ > 0, variabel acak X dikatakan sebagai
gamma p.d.f dengan parameter r dan λ jika:
��
�� (�) = (�−1)! � �−1 � −��
, �>0
Berikut ini merupakan karakteristik kurva distribusi gamma untuk beberapa nilai
parameter r dan �