Laporan Matematika FUNGSI
[Type text]
FUNGSI
LAPORAN PRAKTIKUM
Oleh
CitaDewiNindi Tara Sakti
141810201023
LABORATORIUM MATEMATIKA
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS JEMBER
TAHUN 2014
[Type text]
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latarbelakang
problemataupermasalahan
yang
berkaitandenganfunsi.
Dalambidangmatematikadapatdibantupenyelesaiandenganmenggunakanmatlab.
Dalampraktikum
kali
inipraktikanakanmenyelesaikanpermasalahanmengenaipersoalanpersoalanmatematikamengenaifungsialjabardalammatlab,karenabanyaksiswa
yang
belummengenalbahkanmengetahuitentangmaterifungsi.
Merekamenganggapfungsisebagaipelajaran yang sulit.
1.2 RumusanMasalah
1.
Apakah yang dimaksuddenganfungsi?
2.
Apasajajenis-jenisataumacam-macamdarifungsialjabar?
3.
Bagaimanamengoperasikanoperasifungsialjabardalam program Matlab?
1.3 Tujuan
1. Agar mahasiswadapatmengoperasikan program matlab.
2. Agar mahasiswadapatmengetahuipengertianmengenaifungsialjabar.
3. Agar
mahasiswadapatmengoperasikanfungsi
fungsidalampengaplikasiaandalammatlab.
1.4 Manfaat
1.
Dapatmengaplikasikanfungsialjabardalammatlab.
–
[Type text]
2.
Dapatmengoperasikanmatlabdenganbaikdanbenar.
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
Fungsi, dalamistilahmatematikaadalahpemetaansetiapanggotasebuahhimpunan
(dinamakansebagaidomain)
kepadaanggotahimpunan
yang
lain
(dinamakansebagaikodomain). Istilahiniberbedapengertiannyadengan kata yang sama
yang
dipakaisehari-hari,
seperti
“alatnyaberfungsidenganbaik.”
Konsepfungsiadalahsalahsatukonsepdasardarimatematikadansetiapilmukuantitatif.Isti
lah
"fungsi",
"pemetaan",
"peta",
"transformasi",
dan
"operator"
biasanyadipakaisecarasinonim(Frank,2006).
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap
elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi
f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan
tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi
lain.
atau
(J.Purcell,1993)
[Type text]
a.SifatFungsi
Denganmemperhatikanbagaimanaelemen-elemenpadamasingmasinghimpunanAdan
B
yang
direlasikandalamsuatufungsi,
makakitamengenaltigasifatfungsiyaknisebagaiberikut
:
1. Injektif (Satu-satu)
Misalkanfungsi f menyatakan A ke B makafungsi f disebutsuatufungsisatu-satu
(injektif), apabilasetiapduaelemen yang berlainan di A akandipetakanpadaduaelemen
yang berbeda di B. Selanjutnyasecarasingkatdapatdikatakanbahwa f:A→B
adalahfungsiinjektifapabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atauekuivalen, jika
f (a')
f ( a )=¿
makaakibatnya a=a ’(Susila,1987).
2. Surjektif (Onto)
Misalkan f adalahsuatufungsi yang memetakan A ke B makadaerahhasil f(A)
darifungsi
f
adalahhimpunanbagiandari
B.
Apabila
f(A)
=
B,
yang
berartisetiapelemen di B pastimerupakanpetadarisekurang-kurangnyasatuelemen di A
makakitakatakan
f
adalahsuatufungsisurjektifatau
“f
memetakan
A
Onto
B”(Susila,1987).
3.Bijektif (KorespondensiSatu-satu)
Suatupemetaan f: A→B sedemikianrupasehingga f merupakanfungsi yang
injektifdansurjektifsekaligus, makadikatakan “f adalahfungsi yang bijektif” atau “ A
dan
B
beradadalamkorespondensisatu-satu”
b. Jenis – jenisFungsi
Jikasuatufungsi f mempunyaidaerahasaldandaerahkawan yang sama, misalnya
D,
makaseringdikatakanfungsi
f
Jikadaerahasaldarifungsitidakdinyatakanmaka
dimaksudadalahhimpunansemuabilangan
kitakenalbeberapafungsiantara
1. FungsiKonstan
real
pada
D.
yang
(R).
lain
Untukfungsi-fungsipada
R
sebagaiberikut:
[Type text]
2. FungsiIdentitas
3. Fungsi Linear
4. FungsiKuadrat
5.FungsiRasional
Penyelesaianfungsidalammatlab.funsi f(x) adalahfungsi yang diintegralkan,
namununtukmemperolehrumus
integral
numeric
dapatdigantidenganfungsiinterpolasisepertiderettaylor, Newton forward,lagrange,dll
(Susila,1987).
Ada dua formula dasar yang popular pada formula Newton-cotes,
yaituTranpezoidal-rule dan Simpson-rule.
1.
Tranpezoidal-rule
Metodetrapezoidinidapatditurunkandengansubstitusifungsilagrange
orde-1
sebagai f(x), yaitu:
P 1=
( x−x 1 )
( x−x1 )
f ( x0 )+
f (x 1)… … ..(1)
( x 0−x 1 )
( x 1−x 0 )
Dengandemikian :
x1
f ( x ) dx=¿∫ P1 ( x ) dx+ R … … … .(2)
x0
b
I =∫ ¿
a
Dimana R adalahsuku yang mengandung error komputasiO(h3).
Substitusipersamaan 1 kedalampersamaan 2 menghasilkanrumus integral trapezoid,
yaitu:
[Type text]
b
I =∫ f ( x ) dx=
a
2.
h
[ f ( a ) +f ( b ) ]+O ( h 3 ) … …. (3)
2
Simpson-rule
Metodesimpsondapatditurunkandengansubstitusifungsilagrange orde-2sebagai
f(x).dimanaRsadalahsuku yang mengandung error komputasiO(h5)
(Suarga,2005:208-209)
BAB 3. METODOLOGI PRAKTIKUM
3.1Alat danBahan
3.1.1 Alat
Komputer
Buku
bupoint
3.1.2
Bahan
Software Matlab
[Type text]
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
4.2 Pembahasan
Pada percobaan kali ini praktikan melakukan percobaan dengan matlab dengan
membahas mengenai fungsi. Dalam percobaan ini praktikan dapat mempelajari
bagaimana menyelesaikan fungsi dalam matlab. berikut ini sintag yang digunakan
dalam menyelesaikan fungsi dalam matlab:
1.round (x) adalah pembulatan pecahan pada bilangan terdekat.
2.floor (x) adalah pembulatan nilai kebawah.
3.ceil (x) adalah pembulatan ke atas dari suatu pecahan x.
4.fix (x) adalah mengambil nilai bulat dari suatu pecahan x.
5.real (x) adalah mengambil bagian real dari bilangan kompleks x.
6.imag (x) adalah mengambil bagian imaginer dari suatu bilangan kompleks x.
7.abs (x) adalah mengambil nilai absolut dari variabel x.
8. angle (x) adalahmenghitung besarnya sudut yang dibentuk oleh bilangan kompleks
x.
9. conj (x) adalah menghitung konjugat bilangan komples x.
10. sin (x) untuk menghitung arcus sinus x.
11.asin (x) untuk menghitung arcus sinus x hiperbolikus dari x.
12. acos(x) untuk menghitung arcus cosinus x.
13. cos (x) untuk menghitung arcus cosinus x hiperbolikus dari x.
[Type text]
14 tan (x) untuk menghitung arcus tangens x.
15. atan (x) untuk menghitung arcus tangens x hiperbolikus dari x.
16. sign (x) tanda dari bilangan x.
17. exp (x) menghitung nilai e x .
18. log (x) menghitung logaritma natural (ln) dari x.
19. log10 (x) menghitunglogaritma dari x.
Pada pengawalan sebelum melakukan perhitungan dalam matlab dalam fungsi
matlab ini diawali dengan ‘sym x kemudian nama fungsi = @(variabel/perubah)
(fungsi). Untuk memasukkan nilai fungsi dengan cara nama funsi (nilai).
Percobaan fungsi dalam matlab ini juga digunakan inv(fungsi), solve(fungsi),
expan (fungsi), simplyfi(fungsi). Dalam penyelesaian ini biasanya digunakan dalam
menghitung suatu vektor.
Error dalam penggunaan matlab sering terjadi dikarenakan adanya kesalahan dari
praktikan karena praktikan kurang teliti dalam penggunaan tanda-tanda dalm matlab
yang biasanya digunakan yaitu kurangnya tanda kurung( ), tanda koma( , ),
kurangnya kata “sym”, serta tanda-tanda yang lain yang sering digunakan,namun
karena praktikan kurang teliti maka terjadilah error pada hasil dari matlab.
[Type text]
BAB 5. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Percobaaninimembahastentangcaracaraperhitungandalampenggunaanmatlabsertapengenalanpengenalanmatlab.Dalampercobaaninipraktikanjugamempelajarioperasi dasar
mengenai fungsi dalammatematika.Karenamatlabmerupakansebuah software yang
dapatmembantuuntukmenyelesaikanperhitungandalamsuatupermasalahanmatematika
terutama dalam penyaelesaian mengenai fungsi pada matematika.
5.2 Saran
Adapun saran bagipraktikan dalam percobaan
:
1.Praktikanharusdapat menggunakanmatlabdengancara yang benar.
2.Praktikanharustelitidalampengetikanpada program
matlabKarenajikaterjadikesalahanmakapraktikanharusmengulangiperhitungandariawa
l.
3.Praktikanjugaharusdapatmempelajariterlebihdahulutentangmatlab agar
tidakbingungdalampeoprasiaanfungsi.
[Type text]
DAFTAR PUSTAKA
Ayres,Frank.2006.Matematika UniversitasEdisi 3.Jakarta:Erlangga
Edwin, J.Purcell. 1993. KalkulusdanGeometriAnalitisJilid 1 (Edisi5).
Jakarta :Airlangga.
Susila, Nyoman, dkk.1987.Matematika DasarTeoridanAplikasiPraktis.
Jakarta: Erlangga.
Suarga,Drs.2005.FisikaKomputasiMatlab.Yogyakarta: Andi Yogyakarta.
[Type text]
LAMPIRAN
Tugas
1.) Buatlah fungsiberikut!
¿ sin ( x)∨¿
j ( x ) =e ¿
2
3
❑
g ( x ) =( x +1) ( x −1)
h ( x )=sin x−1
i ( x )=tan ( x ) cos ( x )
2.) Tentukanlahhasildarisoalbarikut:
a.
J ( x ) =( g0 i)(x )
b. k ( a )=f −1 ( a2−1) dan tentukan nilai k ( √ 2)
c. misal ( x )= j(x )
j( x)
h( x )
sederhanakanlah (x) dan cari penyelesaian dari(x)!
x+ 1
¿
d. misal
cari
¿
2
( gohozohog ) ( x ) =(x −1)¿
s ( a )=z ( a+1 ) . dan cari nilai a dari s ( a ) sedemikian hinggas ( a ) =1
jawaban
[Type text]
1.
2) a dan b
[Type text]
c.)
[Type text]
c.)
2.)d)
FUNGSI
LAPORAN PRAKTIKUM
Oleh
CitaDewiNindi Tara Sakti
141810201023
LABORATORIUM MATEMATIKA
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS JEMBER
TAHUN 2014
[Type text]
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latarbelakang
problemataupermasalahan
yang
berkaitandenganfunsi.
Dalambidangmatematikadapatdibantupenyelesaiandenganmenggunakanmatlab.
Dalampraktikum
kali
inipraktikanakanmenyelesaikanpermasalahanmengenaipersoalanpersoalanmatematikamengenaifungsialjabardalammatlab,karenabanyaksiswa
yang
belummengenalbahkanmengetahuitentangmaterifungsi.
Merekamenganggapfungsisebagaipelajaran yang sulit.
1.2 RumusanMasalah
1.
Apakah yang dimaksuddenganfungsi?
2.
Apasajajenis-jenisataumacam-macamdarifungsialjabar?
3.
Bagaimanamengoperasikanoperasifungsialjabardalam program Matlab?
1.3 Tujuan
1. Agar mahasiswadapatmengoperasikan program matlab.
2. Agar mahasiswadapatmengetahuipengertianmengenaifungsialjabar.
3. Agar
mahasiswadapatmengoperasikanfungsi
fungsidalampengaplikasiaandalammatlab.
1.4 Manfaat
1.
Dapatmengaplikasikanfungsialjabardalammatlab.
–
[Type text]
2.
Dapatmengoperasikanmatlabdenganbaikdanbenar.
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
Fungsi, dalamistilahmatematikaadalahpemetaansetiapanggotasebuahhimpunan
(dinamakansebagaidomain)
kepadaanggotahimpunan
yang
lain
(dinamakansebagaikodomain). Istilahiniberbedapengertiannyadengan kata yang sama
yang
dipakaisehari-hari,
seperti
“alatnyaberfungsidenganbaik.”
Konsepfungsiadalahsalahsatukonsepdasardarimatematikadansetiapilmukuantitatif.Isti
lah
"fungsi",
"pemetaan",
"peta",
"transformasi",
dan
"operator"
biasanyadipakaisecarasinonim(Frank,2006).
Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.
Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap
elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi
f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan
tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi
lain.
atau
(J.Purcell,1993)
[Type text]
a.SifatFungsi
Denganmemperhatikanbagaimanaelemen-elemenpadamasingmasinghimpunanAdan
B
yang
direlasikandalamsuatufungsi,
makakitamengenaltigasifatfungsiyaknisebagaiberikut
:
1. Injektif (Satu-satu)
Misalkanfungsi f menyatakan A ke B makafungsi f disebutsuatufungsisatu-satu
(injektif), apabilasetiapduaelemen yang berlainan di A akandipetakanpadaduaelemen
yang berbeda di B. Selanjutnyasecarasingkatdapatdikatakanbahwa f:A→B
adalahfungsiinjektifapabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atauekuivalen, jika
f (a')
f ( a )=¿
makaakibatnya a=a ’(Susila,1987).
2. Surjektif (Onto)
Misalkan f adalahsuatufungsi yang memetakan A ke B makadaerahhasil f(A)
darifungsi
f
adalahhimpunanbagiandari
B.
Apabila
f(A)
=
B,
yang
berartisetiapelemen di B pastimerupakanpetadarisekurang-kurangnyasatuelemen di A
makakitakatakan
f
adalahsuatufungsisurjektifatau
“f
memetakan
A
Onto
B”(Susila,1987).
3.Bijektif (KorespondensiSatu-satu)
Suatupemetaan f: A→B sedemikianrupasehingga f merupakanfungsi yang
injektifdansurjektifsekaligus, makadikatakan “f adalahfungsi yang bijektif” atau “ A
dan
B
beradadalamkorespondensisatu-satu”
b. Jenis – jenisFungsi
Jikasuatufungsi f mempunyaidaerahasaldandaerahkawan yang sama, misalnya
D,
makaseringdikatakanfungsi
f
Jikadaerahasaldarifungsitidakdinyatakanmaka
dimaksudadalahhimpunansemuabilangan
kitakenalbeberapafungsiantara
1. FungsiKonstan
real
pada
D.
yang
(R).
lain
Untukfungsi-fungsipada
R
sebagaiberikut:
[Type text]
2. FungsiIdentitas
3. Fungsi Linear
4. FungsiKuadrat
5.FungsiRasional
Penyelesaianfungsidalammatlab.funsi f(x) adalahfungsi yang diintegralkan,
namununtukmemperolehrumus
integral
numeric
dapatdigantidenganfungsiinterpolasisepertiderettaylor, Newton forward,lagrange,dll
(Susila,1987).
Ada dua formula dasar yang popular pada formula Newton-cotes,
yaituTranpezoidal-rule dan Simpson-rule.
1.
Tranpezoidal-rule
Metodetrapezoidinidapatditurunkandengansubstitusifungsilagrange
orde-1
sebagai f(x), yaitu:
P 1=
( x−x 1 )
( x−x1 )
f ( x0 )+
f (x 1)… … ..(1)
( x 0−x 1 )
( x 1−x 0 )
Dengandemikian :
x1
f ( x ) dx=¿∫ P1 ( x ) dx+ R … … … .(2)
x0
b
I =∫ ¿
a
Dimana R adalahsuku yang mengandung error komputasiO(h3).
Substitusipersamaan 1 kedalampersamaan 2 menghasilkanrumus integral trapezoid,
yaitu:
[Type text]
b
I =∫ f ( x ) dx=
a
2.
h
[ f ( a ) +f ( b ) ]+O ( h 3 ) … …. (3)
2
Simpson-rule
Metodesimpsondapatditurunkandengansubstitusifungsilagrange orde-2sebagai
f(x).dimanaRsadalahsuku yang mengandung error komputasiO(h5)
(Suarga,2005:208-209)
BAB 3. METODOLOGI PRAKTIKUM
3.1Alat danBahan
3.1.1 Alat
Komputer
Buku
bupoint
3.1.2
Bahan
Software Matlab
[Type text]
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
[Type text]
4.2 Pembahasan
Pada percobaan kali ini praktikan melakukan percobaan dengan matlab dengan
membahas mengenai fungsi. Dalam percobaan ini praktikan dapat mempelajari
bagaimana menyelesaikan fungsi dalam matlab. berikut ini sintag yang digunakan
dalam menyelesaikan fungsi dalam matlab:
1.round (x) adalah pembulatan pecahan pada bilangan terdekat.
2.floor (x) adalah pembulatan nilai kebawah.
3.ceil (x) adalah pembulatan ke atas dari suatu pecahan x.
4.fix (x) adalah mengambil nilai bulat dari suatu pecahan x.
5.real (x) adalah mengambil bagian real dari bilangan kompleks x.
6.imag (x) adalah mengambil bagian imaginer dari suatu bilangan kompleks x.
7.abs (x) adalah mengambil nilai absolut dari variabel x.
8. angle (x) adalahmenghitung besarnya sudut yang dibentuk oleh bilangan kompleks
x.
9. conj (x) adalah menghitung konjugat bilangan komples x.
10. sin (x) untuk menghitung arcus sinus x.
11.asin (x) untuk menghitung arcus sinus x hiperbolikus dari x.
12. acos(x) untuk menghitung arcus cosinus x.
13. cos (x) untuk menghitung arcus cosinus x hiperbolikus dari x.
[Type text]
14 tan (x) untuk menghitung arcus tangens x.
15. atan (x) untuk menghitung arcus tangens x hiperbolikus dari x.
16. sign (x) tanda dari bilangan x.
17. exp (x) menghitung nilai e x .
18. log (x) menghitung logaritma natural (ln) dari x.
19. log10 (x) menghitunglogaritma dari x.
Pada pengawalan sebelum melakukan perhitungan dalam matlab dalam fungsi
matlab ini diawali dengan ‘sym x kemudian nama fungsi = @(variabel/perubah)
(fungsi). Untuk memasukkan nilai fungsi dengan cara nama funsi (nilai).
Percobaan fungsi dalam matlab ini juga digunakan inv(fungsi), solve(fungsi),
expan (fungsi), simplyfi(fungsi). Dalam penyelesaian ini biasanya digunakan dalam
menghitung suatu vektor.
Error dalam penggunaan matlab sering terjadi dikarenakan adanya kesalahan dari
praktikan karena praktikan kurang teliti dalam penggunaan tanda-tanda dalm matlab
yang biasanya digunakan yaitu kurangnya tanda kurung( ), tanda koma( , ),
kurangnya kata “sym”, serta tanda-tanda yang lain yang sering digunakan,namun
karena praktikan kurang teliti maka terjadilah error pada hasil dari matlab.
[Type text]
BAB 5. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Percobaaninimembahastentangcaracaraperhitungandalampenggunaanmatlabsertapengenalanpengenalanmatlab.Dalampercobaaninipraktikanjugamempelajarioperasi dasar
mengenai fungsi dalammatematika.Karenamatlabmerupakansebuah software yang
dapatmembantuuntukmenyelesaikanperhitungandalamsuatupermasalahanmatematika
terutama dalam penyaelesaian mengenai fungsi pada matematika.
5.2 Saran
Adapun saran bagipraktikan dalam percobaan
:
1.Praktikanharusdapat menggunakanmatlabdengancara yang benar.
2.Praktikanharustelitidalampengetikanpada program
matlabKarenajikaterjadikesalahanmakapraktikanharusmengulangiperhitungandariawa
l.
3.Praktikanjugaharusdapatmempelajariterlebihdahulutentangmatlab agar
tidakbingungdalampeoprasiaanfungsi.
[Type text]
DAFTAR PUSTAKA
Ayres,Frank.2006.Matematika UniversitasEdisi 3.Jakarta:Erlangga
Edwin, J.Purcell. 1993. KalkulusdanGeometriAnalitisJilid 1 (Edisi5).
Jakarta :Airlangga.
Susila, Nyoman, dkk.1987.Matematika DasarTeoridanAplikasiPraktis.
Jakarta: Erlangga.
Suarga,Drs.2005.FisikaKomputasiMatlab.Yogyakarta: Andi Yogyakarta.
[Type text]
LAMPIRAN
Tugas
1.) Buatlah fungsiberikut!
¿ sin ( x)∨¿
j ( x ) =e ¿
2
3
❑
g ( x ) =( x +1) ( x −1)
h ( x )=sin x−1
i ( x )=tan ( x ) cos ( x )
2.) Tentukanlahhasildarisoalbarikut:
a.
J ( x ) =( g0 i)(x )
b. k ( a )=f −1 ( a2−1) dan tentukan nilai k ( √ 2)
c. misal ( x )= j(x )
j( x)
h( x )
sederhanakanlah (x) dan cari penyelesaian dari(x)!
x+ 1
¿
d. misal
cari
¿
2
( gohozohog ) ( x ) =(x −1)¿
s ( a )=z ( a+1 ) . dan cari nilai a dari s ( a ) sedemikian hinggas ( a ) =1
jawaban
[Type text]
1.
2) a dan b
[Type text]
c.)
[Type text]
c.)
2.)d)