Matematika Teknik TPE 214 ( 3 + 0 ) SKS

  Matematika Teknik TPE 214 / ( 3 + 0 ) SKS Dr. Andasuryani, STP,MSi Putri Wulandari Zainal, STP, MSi.

  Nama Mata Kuliah : Matematika Teknik Kode Mata Kuliah : TPE 214 Pengajar

  : Dr. Andasuryani, STP,MSi : Putri Wulandari Z, STP,MSi Semester : III

Latar Belakang

  Mata Kuliah Matematika Teknik merupakan kelompok mata kuliah Ipteks Pendukung yang wajib diambil oleh mahasiswa. Mata kuliah ini ditawarkan dengan bobot 3 (3+0) sks untuk membantu mahasiswa mempelajari karakteristik dan jenis persamaan diferensial, metoda pemecahan persamaan diferensial dan sistem persamaan diferensial serta contoh aplikasinya pada bidang teknik.

  

Mata kuliah ini dilaksanakan secara (diampu beberapa

  Team Teaching dosen).

Deskripsi Mata Kuliah:

  Nama Mata Kuliah : Matematika Teknik Kode Mata Kuliah/ SKS : TPE 214 /3 (3+0) Pelaksanaan : Semester (Ganjil) Prasyarat : Kalkulus Status Mata Kuliah : Wajib No.

  Pokok Bahasan

  1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial

  2 Persamaan diferensial biasa (PDB) orde satu

  3 Aplikasi persamaan diferensial biasa orde satu

  4 Persamaan diferensial biasa orde tinggi

  5 Integral lipat dan aplikasinya

  6 Matrik dan matrik eksponensial

  7 Pemecahan PDL dengan matrik

  8 Operator polinomial

  9

Tujuan Pembelajaran

  

Setelah mengikuti mata kuliah ini diharapkan mahasiswa mampu m

  enyelesaikan persoalan-persoalan persamaan diferensial dan sistem persamaan diferensial serta contoh aplikasinya pada bidang teknik khususnya teknik pertanian.

Metode Pembelajaran:

  

  Self-Directed Learning (SDL) : untuk merumuskan sistem

  perkuliahan dan silabus MK 

  : dengan memberikan

  Contextual Teaching and Learning (CTL)

  contoh kasus dalam kehidupan sehari

• – hari

  

  Small Grup Discussion dan Cooperative Learning (CL) : membagi

  mahasiswa menjadi kelompok

• – kelompok untuk berdiskusi tentang pokok bahasan

   Student Centered Learning (SCL).

  Referensi 

  RK Jain & SRK Iyengar. 2002. Advanced Engineering Matehmatics. Alpha Science International Ltd. Pangbourne England.

  

 Zill, Dennis G. 1982. A first course in differential equation with

applications. Prindle, Weber &Schmidt. Boston.

  

  Bronson R. 2003. Theory and Problems of Differential Equations.

  Schaum’s Outline Series, Mc Graw Hill.

  

  John, Bird. 2007.Engineering Mathematics. Elsevier Ltd. USA Tugas 

  Setiap mahasiswa diwajibkan mengikuti latihan dan penyelesaian tugas yang diberikan oleh dosen.

   Setiap mahasiswa diwajibkan menyerahkan tugas-tugas yang diberikan sesuai dengan jangka waktu yang ditetapkan.

   UTS akan diadakan pada minggu ke-8 sedangkan UAS pada minggu ke-16

  Norma Akademik  Akan mengikuti perkuliahan dengan sungguh-sungguh.

   Akan menjujung tinggi aspek kejujuran dan tidak akan membuat kecurangan, mengganggu proses belajar mengajar, dan plagiatisme.

   Kecurangan dalam ujian, nilai mata kuliah yang bersangkutan nol.

  

 Kehadiran perkuliahan mahasiswa minimal 80% dari total pertemuan kuliah yang terlaksana. Norma Akademik 

  Kegiatan pembelajaran sesuai dengan jadwal resmi dan jika terjadi perubahan ditetapkan bersama antara dosen dan mahasiswa.

   Baik dosen maupun mahasiswa bersedia untuk menghadiri kelas tepat pada waktunya.

   Jika keterlambatan terjadi 15 menit setelah waktu yang ditentukan (tanpa ada konfirmasi sebelumnya kepada penanggung jawab kelas/dosen) maka orang/dosen tersebut bersedia untuk tidak masuk kelas (Absen).

  

 Jika tidak bisa menghadiri kelas karena izin / sakit maka disertai dengan Surat Pengantar/Surat Dokter. Norma Akademik 

  Tidak menggunakan fasilitas telekomunikasi selama berlangsungnya perkuliahan.

   Pengumpulan tugas ditetapkan sesuai jadwal.

   Berpakaian sopan dan bersepatu dalam perkuliahan.

   Pakai baju/ kemeja putih dan celana hitam untuk pria dan rok hitam bagi perempuan pada saat UTS dan UAS

   Mematuhi norma akademik lainnya.

Penilaian ) % i ( ila N e as ent rs Pe

  Tugas dan Keaktifan di Ujian MID Ujian UAS Kuis Kehadiran Etika PR kelas Persentase (%)

  25

  25

  15

  10

  10

  10

  5

Pelaksanaan Mata Kuliah: No. Pokok Bahasan

  1 Pendahuluan: Penyampaian RPS

  2 Konsep Dasar Persamaan Diferensial

  3 Persamaan diferensial biasa (PDB) orde satu

  4 Aplikasi persamaan diferensial biasa orde satu

  5 Persamaan diferensial biasa orde tinggi

  6 Integral lipat dan aplikasinya

Dosen Pengampu:

   Dr. Andasuryani, S.TP, M.Si

   Putri Wulandari Z, STP,MSi

  

Apa yang saudara ketahui dari istilah berikut dan berikan contoh:

  1) Orde 2) Derajat 3) Syarat awal 4) Syarat batas 5) Persamaan diferensial implisit 6) Persamaan diferensial eksplisit

   Sebutkan jenis persamaan diferensial berikut:

   Selesaikan persamaan diferensial berikut: ^{6 2 2 2}

    _dx ^{dy x} _{x d} ^{y d x} ₂ ² ₂ ²   

     _y ^v _x ^v dx x x dy

  )

  5

  6 3 (

  2   

  ) 1 (

  1

  2

  2

  3 x xy y dx dy

      Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS) Konsep Dasar Persamaan Diferensial

  Kuliah ke : 2 Dr. Andasuryani, STP, MSi OUTLINE  Konsep Dasar Persamaan Diferensial _

  PENGERTIAN/ DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL _ KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL _ BENTUK SOLUSI (PENYELESAIAN) PDB TUJUAN  Mempelajari definisi persamaan diferensial. 

  Mempelajari klasifikasi persamaan diferensial

  

  Mempelajari bentuk-bentuk solusi persamaan diferensial

  

  Persamaan diferensial sangat penting di dalam matematika untuk merekayasa sebab banyak hukum dan hubungan fisika muncul secara matematis dalam bentuk persamaan diferensial.

  

  Persamaan diferensial dalam bidang teknik umumnya digunakan untuk memodelkan sistem dinamis , yaitu sistem yang berubah menurut waktu.

   _ Contoh: _{ Dalam produksi kimia, dimana tekanan, laju aliran dll selalu berubah terhadap} Rangkaian linstrik dengan arus/tegangan yang merupakan fungsi waktu _ waktu

Peralatan semikonduktor, dimana kerapatan hole dan elektron selalu berubah

^{ Hubungan antara masukan dan keluaran pada sistem yang bersifat dinamis} –

  Beberapa aplikasi persamaan diferensial

  

  Persamaan diferensial (PD): _

  Persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas. _ Contoh:

  _{Berdasarkan tipe} PD Biasa (PDB)

PD Parsil (PDP) Berdasarkan orde Orde 2, dst Orde 1 derajat (degree) Berdasarkan Derajat 2, dst Derajat 1

  Klasifikasi _{PD Berdasarkan Syarat awal (IC)} nilai variabel _{bebas Syarat Batas (BC) Berdasarkan liniearitas Non linear} Linear _{homogenitas Berdasarkan Non Homogen} Homogen Berdasarkan Tipe  _ Persamaan diferensial biasa (PDB)

  Persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel independent  _ Persamaan diferensial parsial (PDP)

  Persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel independent Berdasarkan Tipe

  2 ₂ d y dy _x x  ₂ 6  y '  e  sin x  dx dx

  2 ² ₂ v v

    d Q dQ ₂   ₂

   3 x 

  4 ₂ x y

    dt dt Berdasarkan Orde 

  Persamaan diferensial orde 1 ditulis secara matematis sebagai berikut:

  f x y dy  ( , ) dx

  

 Persamaan diferensial orde 2 ditulis secara matematis sebagai

  berikut:

  2 d y dy ₂  f ( x , y , ) dx dx Berdasarkan Orde

Berdasarkan Derajat

  Berdasarkan Nilai Variabel Bebas 

  Jika dalam suatu persamaan diferensial diberikan suatu kondisi tambahan dengan sebuah nilai yang sama pada variabel (baik fungsi maupun turunannya), maka

  independent-nya

  dikatakan persamaan diferensial tersebut sebagai masalah nilai awal ( ).

  intial-value problem 

  Jika kondisi tambahan yang diberikan merupakan nilai yang

  berbeda pada variabel independent-nya , maka dikatakan

  sebagai masalah nilai-nilai batas ( )

  boundary-value problem Berdasarkan Nilai Variabel Bebas _x 

  Contoh:

  y "  2 y '  e y ( )  1 , y ' ( ) 

  2  

  

  merupakan bentuk , karena terdapat dua kondisi

  initial-value problem

  tambahan yaitu pada x= π dengan y(π)=1 dan y’(π)=2 _x

  y "  2 y '  e y ( )  1 , y ' ( 1 ) 

  1 

  merupakan bentuk , karena dua kondisi

  boundary – value problem

  tambahan diberikan pada nilai x yang berbeda yaitu pada x=0 dan x = 1. Berdasarkan Nilai Variabel Bebas

  

  Persamaan diferensial dikatakan linear jika: _

  Variabel dependent

  _ dan turunannya berpangkat satu Tidak ada perkalian antara variabel dependent

  _ dan turunannya

Variabel depedent tidak berbentuk fungsi non-linear, seperti fungsi

sinus, cosinus, eksponensial

  Berdasarkan Linearitas dan Homogenitas linear non dt dx

     

     ² linear non dt x d x

   ₂ ²

  2 d y dy p ( x )  g ( x )  r ( x ) y  f ( x ) ₂ dx dx dy  f ( x , y )

  

  Jika f(x) = 0 homogen

  dx



  Jika ₂ f(x) ≠ 0tidak homogen

  d y dy f ( x , y , ) ₂  dx dx

  t dt dx

  4  t dt x d

  4 ₂ ² 

  3 ₂ ²    t x dt dx dt x d t

  3 ² ₂ ²      

     t x dt dx dt x d t

  2 ₂ ²   y dx y d cos   y dx dy

  Contoh: Tentukan apakah persamaan berikut linear atau tidak linear

  Contoh: Tentukan apakah persamaan berikut homogen atau tidak homogen

  ) ( ) ( ) ( ) ( ₂ ² x f y x r dx dy x g dx y d x p

    

  

  Solusi eksplisit : _

  

Solusi PD dengan variabel bebas dan tak bebas dapat dibedakan

dengan jelas _ Contoh: y=x ² + 5x +4 

  Solusi implisit: _

  Solusi PD dengan variabel bebas dan tak bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas _ Contoh: x ² + y ² = 25 atau x ² + y ² -25 =0 BENTUK SOLUSI (PENYELESAIAN) PDB

  Matematika Teknik (TPE 214 / 3+0 SKS) Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

  Kuliah ke : 3 Dr. Andasuryani, STP,MSi. OUTLINE 

  Persamaan Diferensial Orde 1 _ PENYELESAIAN PDB DENGAN INTEGRAL LANGSUNG _ PENYELESAIAN PDB DENGAN PEMISAHAN VARIABEL _ PENYELESAIAN PDB DENGAN SUBSITUSI _ PENYELESAIAN PDB DALAM BENTUK 

   PENYELESAIAN PD EKSAK DAN TAK EKSAK

  Q Py dx dy

    n

  Qy Py dx dy

    Y x v .  TUJUAN  Mampu memahami dan menyelesaikan PD orde 1 dengan integral langsung dan pemisahan variabel

  

 Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan homogen dengan subsitusi

y =v. x _dy

    _{Py Q}  Mampu memahami dan menyelesaikan PD linear dalam bentuk _dx  Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan Bernoulli  Mampu memahami dan menyelesaikan PD Eksak dan Tak Eksak Penyelesaian PDB dengan Integral Langsung a).

  

  Persamaan diferensial dinyatakan dalam bentuk

  g x y

dy  ( , )

dx

  

  Solusinya dapat diselesaikan dengan integral sbb:

  dy  g ( x , y ) dx

dy  g ( x , y ) dx

dy  g ( x , y ) dx

     ( , )  y g x y dx c

  

  

  Solusi dengan nilai konstanta sembarang atau c :

  

  Nilai c dihitung : SOLUSI KHUSUS Contoh 

  Selesaikan persamaan diferensial berikut:

  

  Selesaikan persamaan diferensial berikut:

  

  Selesaikan persamaan diferensial berikut:

  

  Selesaikan persamaan diferensial berikut:

  

  Tentukan solusi khusus dari persamaan

  5

  6

  3 ²    x x dx dy

  4

  5 ³   x dx dy x

  Sin x dx dy  ^x e dx dy ₂

  1   4  dx dy e ^x Tugas  Tentukan PDB dari persamaan berikut: 

  Tentukan solusi PD dengan nilai awal yang diketahui:

  Cos x x x Sin dx dy x e dx dy x x dx dy x

        ).

  3 3 ).

  2 ).

  1

  3 ² ( 1 ) ; cos ).

  2 ( 1 ) ; ).

  1 ²      y x x dx dy y x dx dy b).

  Penyelesaian PDB dengan Pemisahan Variabel 

  Persamaan diferensial dinyatakan dalam bentuk

  

  Solusinya dapat diselesaikan dengan integral sbb:

  ) ( ) ( y h x g dx dy  dx x g dy y h y h x g dx dy

  ) ( ) ( ) ( ) ( 

   c dx x g dy y h c c dx x g dy y h c dx x g c dy y h dx x g dy y h

          

         

  ) ( ) ( 1 ( 2 ) ) (

  ( 2 ) ( 1 ) ) ( ) ( Contoh 1-PDB dengan pemisahan variabel dy x y

   ( 1  )( 1  ) dx Contoh 2- PDB dengan pemisahan variabel

  4 9   x dx dy y Tugas PDB dengan pemisahan variabel 

  Tentukan PDB dari persamaan berikut:

  x y x dx dy dy e y dx xy dx y dy x _x

  2 2 . ).

  3 ) ). 2 (

  2 ) ). 1 (

  1

₃

_{2 4} 

        Persamaan homogen dengan subsitusi y = vx c).

  

  Bila persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan maka penyelesaiannnya dapat dilakukan dengan subsitusi y =

  v.x , dengan v adalah fungsi x dari y = v. x.

  

  Diferensial dari persamaan y = v.x:  .

  y v x dy d ( v . x ) dx dv   v .  x . dx dx dx dx dy dv

   

v x . dx dx Contoh 1- PDB dengan subsitusi y = v. x dy x  y

  3  dx x

  2 Latihan 

  Selesaikan PD berikut

  ) ( ) ( ^{2 2 2}     dy xy x dx y x

  dy Py Q  

  Persamaan diferensial dalam bentuk dx d). dy

  

  Bila persamaan diferensial dalam bentuk

  Py Q   dx

  

  Dapat diselesaikan dengan mengalikan ke dua ruas dengan faktor integrasi

  P x dx ( )

   e Contoh x y dx dy

    x y dx dy

    ^P=-1 x P dx dx x e e e faktor

     

    ( 1 )

  : integrasi

   Kedua ruas dikali dengan faktor integrasi tersebut.

      

      

       dx x e y e dx x e y e x e dx y e d x e y e dx dy e x x ^{x x x x x x x} .

  .

  . ) ( . . . x ^{x x x x x} e c x y c x e y e e x e y e

       

         

  ) 1 ( ) 1 (

  .

Latihan

  ( 4 ) ; 3 ).

  2 3 sin

  2 ).

  1

  3 ²      y xe y dx dy x x y x dx dy x Latihan subsitusi y= v x 

  Selesaikan PD berikut

  ) ( ) ( ^{2 2 2}     dy xy x dx y x Latihan 

  Selesaikan PD berikut

  ) ( ) ( ^{2 2 2}     dy xy x dx y x

  

Matematika Teknik (PNG 214/ 3+0 SKS)

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 (Lanjutan)

  Kuliah ke : 4 Dr. Andasuryani, STP,MSi. OUTLINE 

  Persamaan Diferensial Orde 1 _ PENYELESAIAN PDB DENGAN INTEGRAL LANGSUNG _ PENYELESAIAN PDB DENGAN PEMISAHAN VARIABEL _ PENYELESAIAN PDB DENGAN SUBSITUSI _ PENYELESAIAN PDB DALAM BENTUK 

   PENYELESAIAN PD EKSAK DAN TAK EKSAK

  Q Py dx dy

    n

  Qy Py dx dy

    Y x v .  TUJUAN

 Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan homogen dengan subsitusi

 Mampu memahami dan menyelesaikan PD linear dalam bentuk  Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan Bernoulli ^{Q Py dx dy}

    n

  Qy Py dx dy

    . x v y  Persamaan homogen dengan subsitusi y = vx c).

  

  Bila persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan maka penyelesaiannnya dapat dilakukan dengan subsitusi y =

  v.x , dengan v adalah fungsi x dari y = v. x.

  

  Diferensial dari persamaan y = v.x: .

  y  v x dy d ( v . x ) dx dv v . x .

     dx dx dx dx dy dv

v x .

    dx dx Contoh 1- PDB dengan subsitusi y = v. x dy x  y

  3  dx x

  2 Latihan 

  Selesaikan PD berikut

  ) ( ) (

²

^{2 2}     dy x xy dx y x

  dy Persamaan diferensial dalam bentuk d).

   Py  Q dx dy

  

  Bila persamaan diferensial dalam bentuk

  Py Q   dx

  

  Dapat diselesaikan dengan mengalikan ke dua ruas dengan faktor integrasi

  P dx  e Contoh 1 x y dx dy

    x y dx dy

    ^P=-1 x P dx dx e e e faktor

     

   

  1 : integrasi

   Kedua ruas dikali dengan faktor integrasi tersebut.

       

      

       dx x e y e d dx x e y e d x e dx y e d x e y e dx dy e x x ^{x x x x x x x}

  . ) ( . ) ( .

  ) ( . . . x ^{x x x x x x x x} e c x y c x e y e c e e x y e dx e e x y e

  . ) 1 ( ) 1 (

  .

  .

             

       

       

  

Latihan

  ( 4 ) ; 3 ).

  2 3 sin

  2 ).

  1

  3 ²      y xe y dx dy x x y x dx dy x PDB Bernoulli e). dy _n Py Qy

   

  Persamaan diferensial dalam bentuk dengan P dan Q

  dx merupakan fungsi x atau konstanta.

  Solusinya dapat diselesaikan dengan cara _n

  

y

  A). Membagi ke dua ruas dengan sehingga persamaan menjadi _{ n} dy _{1  n} y  Py  Q

  dx _{1  n 1 n } dz d y ( )  z y

  B). Misalkan , sehingga

   dy dy dz _{ n}

    n y ( 1 ) dy

  _{ n} dy _{1  n}

  Supaya suku pertama dari persamaan dapat y  Py  Q dx dz

digantikan dalam bentuk dalam bentuk maka persamaan

dx _{ n} dy _{1  n} dikali dengan ( 1 )

   n y  Py  Q dx _{ n} dy _{1  n} n y n P y n Q

  ( 1  )  ( 1  )  ( 1  ) dx P z Q _{1 1} dz dy dy dx dz dx dz sehingga didapat: dengan P1 dan Q1 fungsi x atau

  P z Q  .  _{1 1} dx konstanta C). Persamaan didapat diselesaikan dengan faktor integrasi D). Setelah diperoleh penyelesaian untuk z, subsitusi untuk mendapatkan ^{1 1}

  . Q z P dx dz

    n y z ^

   ¹ y Contoh PD Bernoulli 

  Selesaikan persamaan diferensial berikut:

  2 .y x x y dx dy

    Latihan PD Bernoulli 

  Selesaikan persamaan diferensial berikut: dy y x 1 . .

    ₃ dx x y dy ₃

  2 . y x . y   dx dy _{x 4}

  3 . y e . y   dx dy ₃ 4 . 2 y ( x 1 ). y

    

  

Matematika Teknik (PNG 214/ 3+0 SKS)

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 (Lanjutan)

  Kuliah ke : 5 Dr. Andasuryani, STP,MSi. OUTLINE 

  Persamaan Diferensial Orde 1 _ PENYELESAIAN PDB DENGAN INTEGRAL LANGSUNG _ PENYELESAIAN PDB DENGAN PEMISAHAN VARIABEL _ PENYELESAIAN PDB DENGAN SUBSITUSI _ PENYELESAIAN PDB DALAM BENTUK 

   PENYELESAIAN PD EKSAK DAN TAK EKSAK

  Q Py dx dy

    n

  Qy Py dx dy

    Y x v .  TUJUAN  Mampu memahami dan menyelesaikan PD Eksak 

  Mampu memahami dan menyelesaikan PD Tak Eksak

  PDB Eksak f).

  M ( x , y ) dx N ( x , y ) dy  

  Persamaan diferensial dalam bentuk dikatakan eksak jika terdapat fungsi Q(x,y) sehingga

   

  M ( x , y ) Q  N x y Q  ( , )

   x

   y

  atau

   M  N  y x

    Langkah-langkah untuk penyelesaian eksak M ( x , y ) dx N ( x , y ) dy

    1.

  Tulislah PD dalam bentuk diferensial

   M  N 2.

  Lakukan uji eksak

   y x

    3.

  Jika sudah eksak, integral M terhadap x atau N terhadap y.

  Q ( x , y )  M ( x , y ) dx  g ( y )

  Misalkan pilih M, maka 

  Q ( x , y )  N ( x , y ) dy  g ( x )

  Misalkan pilih N, maka 

  Langkah-langkah untuk penyelesaian eksak 4.

  Turunkan Q terhadap y dan samakan hasilnya dengan N(x,y)

   N x y M x y dx g y

  ( , )  ( , )  ' ( )  

   y

  Turunkan Q terhadap x dan samakan hasilnya dengan M(x,y)

   M x y  N x y dy  g x

  ( , ) ( , ) ' ( )   y

   5.

  Integralkan g’(y) untuk mendapatkan g(y) Integralkan g’(x) untuk mendapatkan g(x)

  Q ( x , y )  c 6.

  Tuliskan persamaan umum dalam bentuk implisit 7. Tentukan nilai c jika diberi kondisi awal Contoh PD Eksak 

  Selesaikan persamaan diferensial berikut:

  dy ( x 2 y )  , y ( )

  

3

  ₂  dx ( y 2 x )

   PDB Tak-Eksak f).

    M ( x , y ) N ( x , y )

  Persamaan diferensial dalam bentuk dikatakan tidak eksak jika

  M N   

   y  x 

  Untuk mengubah PD tak eksak menjadi eksak, maka dikalikan dengan faktor integral x.

  Langkah-langkah untuk penyelesaian PD tak-eksak 1.

  Tulislah PD dalam bentuk diferensial

  M ( x , y ) dx  N ( x , y ) dy  2.

  Lakukan uji eksak, jika tidak eksak kalikan dengan faktor

  integral x , 3.

  Lakukan uji eksak lagi, jika sudah eksak maka langkah- langkahnya sama dengan penyelesaian PD eksak. Contoh PD Tak-Eksak 

  Selesaikan persamaan diferensial berikut: ) .

   2 (   dx e x y dy x ^x

  Latihan PD Eksak 

  4 .

      

  2 ^{2 2 2}





  1

  3 .

  4

  2

  2

  2 ( 3 ) ,

  2

  Selesaikan persamaan diferensial berikut:

  2

   ( 3 ) ,

      

  Sin y y x Cos y dx dy

  2 ² x y y x dx dy

  3

  4 .

  .

  ) 2 ( ) 2 (

     y y x xy x dx dy y y x xy x dx dy

  

Matematika Teknik (PNG 214/ 3+0 SKS)

Aplikasi Persamaan Diferensial Orde 1

  Kuliah ke : 6 Dr. Andasuryani, STP,MSi. OUTLINE 

  

Aplikasi Persamaan Diferensial Orde 1  _ PERTUMBUHAN DAN KERUSAKAN _ PENDINGIAN _ RANGKAIAN LISTRIK TUJUAN 

  Mampu memahami dan menyelesaikan beberapa persoalan dengan menggunakan persamaan diferensial orde 1.

  Pertumbuhan dan Kerusakan a).

  Persamaan diferensial yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan pertumbuhan dan kerusakan adalah

  dx kx  dt x ( t ) x

   k konstant

  

Contoh

  

N adalah jumlah bakteri pada kondisi awal. Pada t=1 jam,

jumlah bakteri yang terukur adalah 3/2 N . Jika laju

pertumbuhan bakteri adalah proporsional terhadap jumlah

bakteri, maka a). Tentukan jumlah bakteri sekarang

  b). Tentukan waktu yang diperlukan bakteri menjadi 3 kali lipat.

  Diketahui: t = N t = 3/2 N ₁ Ditanya: N _(t) t pada saat N= 3N t Nt _{1 1.50005} 2 2.25016 _{2.71 3.00088} 3 3.37535 _{4 5.06321} 5 7.59507

  Pendinginan b).

  Hukum Newton tentang pendinginan menyatakan bahwa laju perubahan suhu adalah sebanding dengan perbedaan suhu antara benda dengan lingkungan

  dT ( )  k T  T dt T suhu lingkungan

   k konstanta

  

Contoh

  

Ketika sepotong irisan pinang dikeluarkan dari oven

pengering, suhunya terukur 300 F. Tiga menit kemudian suhunya menjadi 200

  F. Berapa lama

irissan pinang tersebut akan menjadi dingin pada suhu ruang 70 F. Diketahui: t  T= 300 F. t  T= 200 ₃ F.

  Ditanya: T _(t) t pada saat T= 70

F. t(menit) Tt 20.1317 75 21.305 74 22.8177 73 24.9497 72 28.5944 71 32.2391

  70.5 Rangkaian seri L-R

  Pada rangkaian seri yang terdiri dari resistor dan induktor, Hukum Kirchoff ke dua menyatakan bahwa penjumlahan tegangan yang melewati induktor (L(di/dt)) dan resistor (i R) adalah sama dengan E(t) padan rangkaian.

  c).

  R L E t E t Ri dt di L _E

• sistem dari response dengan disebut kadng kadang i(t) Arus , konstanta Tegangan ) ( ) (    

Contoh

  

Sebuah baterai 12 volt dihubungkan secara seri

dengan induktasni ½ Henry dan tahanan 10 ohm.

  Tentukan arus i jika arus awal sama dengan nol.

  Diketahui: L= 0.5 R = 10 E = 12

   i= 0 i Ditanya:

  I _(t)

  Campuran kimia d). dA

   R  R _{1 2} dt R laju bahan yang masuk ₁ 

  R laju bahan yang keluar ₂ 

Contoh

  

Pada saat awal, sebanyak 50 pounds garam dilarutkan dalam

tangki dengan 300 gallon air. Larutan air garam dipompakan

ke dalam tangki pada kecepatan 3 gallon per menit dan

larutan yang teraduk dengan baik akan dipompakan keluar

pada kecepatan yang sama. Jika konsentrasi larutan yang

masuk adalah 2 pounds per gallon, tentukan jumlah garam di

dalam tangki pada suatu waktu. Berapa banyak garam

setelah 50 menit.

  

Jika larutan yang teraduk dengan baik dipompakan keluar

dengan kecepatan 2 galloan per menit, berapa jumlah garam dalam tangki pada suatu waktu Diketahui: A = 50 vi = 3 gallon/ menit vo = 3 gallon/ menit ci = 2 pound/ gallon

  Ditanya:

A A pada kecepatan masuk bahan=keluar _{(t) , (50)} A pada kecepatan masuk _(t) bahan≠keluar t At

  50 50 266.408 100 397.666 150 477.278 200 525.566 250 554.853 300 572.617 Matematika Teknik Integral Lipat dan Aplikasinya

  Kuliah ke : 7 OUTLINE 

  Integral Lipat 2 

  Intehral Lipat 3 TUJUAN 

  Mampu memahami dan menyelesaikan persamaan integral lipat 2 dan 3.

  a Integral Lipat ).

  2 Tentukan penyelesaian dari persamaan integral lipat 2

  berikut: _{1 x}

  dy dx 1 ).

    _{2 x 2} 2 x  x x dy dx 2 ).

    ₂ 

  12 _{x  x} Tentukan penyelesaian dari persamaan integral lipat 2 berikut:

      ^{4 1 2} ).

  1 ^x _x ^xy dx dy dz

3 ).

  Lipat Integral b   

   ^{2 2 2 2} ).

  2 ^x _x ^y _y

dx dy dz

  Mencari luas bidang yang dibatasi grafik.

  2 Lipat Integral Aplikasi dy dx ^{Y= g(x) Y= f(x)} x=a _x=b

         

    b x a x ^{x g x f b x a x x g x f}

  A dx dy A dA ) ( ) ( ^{) ( ) (}

  Jenis pias

  Pias vertikal _{20 10}

  15 _{5 dy Y=2x+3} Y=x^2 _{-5 -4 -3 -2 -1 -5} dx ₁

₂

_{3 4 5}

• 10

  Jenis pias

  Pias horizontal

• 4 ^{-3 -2 -1}
^{1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 Y^2=4-4x Y^2=4-x dy dx}

  Contoh Pias vertikal

  2 Hitung luas kurva antara y  x dan y  2 x 

  3 ₁₅

  20

  5 _{dy Y=2x+3 -5 -4 -3 -2 -1 -5} dx ₁

₂

_{3 4 5}
• 10

  Contoh Pias horizontal Hitung luas kurva antara _{2 2} y x y x

   4  dan  ₄ 4 

  4 ₂

  3 _{-5 -4 -3 -2 -1}

  1 _{dy 1 2 dx 3 4 5 Y^2=4-x Y^2=4-4x -2} -1 _-4 -3 Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS) Matrik

  Kuliah ke : 8-9 Putri Wulandari Zainal, STP, MSi Matriks 

  Adalah set bilangan real atau bilangan kompleks (elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan olom sehingga membentuk jajaran persegi panjang (rectangular array) o

  suatu matriks yang memiliki baris (m) dan kolom (n) disebut sebagai matriks yang memiliki orde m x n

  = 2 x 3 Contoh soal : 1. = matriks berode ............

  2.

  = matriks berode ............

  3.

  = matriks berode ........... Matriks Baris & Matriks Kolom o

  Matriks baris adalah suatu matriks baris yang terdiri dari satu baris saja

  o

  Matriks kolom adalah suatu matriks kolom yang terdiri dari satu kolom

  Contoh Soal : 1.

  = matriks ............ Berode ..............

  2.

  = matriks ......... Berode...............

  3.

  = matriks.......... Berode...............

Penambahan & Pengurangan Matriks

  1. + = = 2. - = 3. - =

  Perkalian Matriks 1.

  Perkalian Skalar 4 x =

  Jika A = (aij) = b = (bij) =

  Maka A.b = .

  = Contoh : Jk A = (aij) = dan B = (bij) =

  Maka A . B = = Matriks 3 x 2 dan 2 x4 menghasilkan matriks 3 x 4

  Transpos 

  Jika baris dan kolom suatu matriks disaling tukarkan : Yaitu baris pertama menjadi kolom pertama baris kedua menjadi kolom kedua baris ketiga menjadi kolom ketiga

  

  Maka matriks yang baru dibentuk disebut

  transpos

  dari matriks aslinya Jika A = , maka =

Determinan Suatu Matriks Bujur Sangkar

  Determinan dari ialah Det A = = - - = 9

Quiz (45 menit) 1

  A = , dan B = , maka A. B =........... dan = .................

  Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS) Pemecahan DPL dengan Matrik

  Kuliah ke : 10-12 Putri Wulandari Zainal, STP, MSi

ADJOIN SUATU MATRIKS BUJUR SANGKAR

  Langkah-langkah untuk adjoin matriks bujur- _1. sangkar A adalah _2. Bentuk matriks C kofkator Tulis transpos C, yakni A = det A =

  Matriks baru C dari kofaktor-kofaktornya

  C = dimana merupakan kofaktor

merupakan

kofaktor = + = +(0-24) = - 24 = - = -(0-6) = 6 = + = (16-1) = 15

  = - = 20 = + = -5 = - = -5 = + = 13 = - = 8 = + = -10

  

  Matriks kofaktor ialah C =

  

  transpos C, yakni = INVERS SUATU MATRIKS BUJUR- SANGKAR 

  Jika setiap elemen adjoin A dibagi dengan nilai

determinan A (asalkan ≠ 0) maka matriks yang

dihasilkan disebut invers A ( )

   Langkah-langkah untuk membentuk invers: _1.

  Tentukan nilai determinan A _2. Bentuklah matriks C kofaktor dari elemen _3. Tulislah transpos C ( ) untuk memperoleh adjoin A _4. Bagilah setiap elemen dengan _5.

  Matriks yang dihasilkan ialah invers dari matriks asli A Det A = = = 2 (0-24)

• – 3 (0-6) + 5 (16-1) = 45 Matriks kofaktor C = Adjoin A yakni = Invers A adalah =

Hasil Kali Suatu Matriks Bujur-Sangkar dan Inversnya

  Mis A = = 1/28 Maka . A = 1/28 = 1/28 = = = I

  

  Maka hasil kali dari matriks bujur sangkar dan inversnyaialah matriks satuan dengan orde matriks yang sama

  

  Matriks satuan ialah suatu matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utama semuanya satu Invers Suatu Matriks Bujur Sangkar mengggunakan Vektor 

  Cara ini didasarkan atas suatu fakta bahwa inverse suatu matriks A memenuhi syarat sebagai berikut : A = , cari Misalkan = (1) ₍₂₎ = ₍₃₎ 2a + 3c = 1 ₍₄₎ 2b + 3d = 0 ₍₅₎ 3a + 5c = 0

  3b + 5d = 1

  _{2a + 3c = 1 x3 6a + 9c = 3} Subsitusi (1) & (2) 3a + 5c = 0 x2 6a + 10c = 0 _{Subsitusi (2) & (3)} •C = -3

_{3b + 5d = 1 x2 6b + 10d = 2}

2b + 3d = 0 x3 6b + 9d = 0

• d = 2

  a = 5, b = -3 = =

  PENYELESAIAN SET PL

MENGGUNAKAN MATRIKS

  Jika kita kalikan kedua sisi persamaan matriks dengan invers A maka :

  Contoh soal

Maka selesaikanlah persamaan tersebut :

  Metode Eliminasi Gaus untuk

Menyelesaikan Set Persamaan Linear

  

Contoh Soal

1.

  Linear berikut Beberapa langkah langkah pemecahan Sistem Persamaan Linear menggunakan metode cramer antara lain :

  Hitung nilai determinan A 3. Nilai variabel

  a. Ganti kolom pertama dengan nilai ruas kanan (h1, h2, h3) b. Hitunglah nilai variabel dengan cara a. Ganti kolom kedua dengan nilai ruas kanan (h1, h2, h3) b. Hitunglah nilai variabel dengan cara :

Contoh Soal 1.

  Sistem Persamaan Linear berikut adalah:

  Matematika Teknik (TPE 214 / (3+0) SKS)

Persamaan Lininer dan Persamaan Linier

Simultan

  Kuliah ke : 13-14 Putri Wulandari Zainal, STP, MSi Penyelesaian persamaan sederhana 

  Pada dasaranya berupa penyederhanaan pernyataan pada setiap sisi persamaan tersebut untuk memperoleh suatu persamaan yang berbentuk : ax + b = cx + d menghasilkan, Ax

• – cx = d – b Maka
contoh

  KPK dari 2,3,4,&6 ialah 12 6(x+2)

• – 4(x+5) = 3(2x-5) + 2(x+3) 6x+12-4-20 = 6x-15+2x+6 x = 1/6

  

Persamaan linear simultan dengan dua anu

(Variabel) Suatu PL dalam dua variabel meiliki sejumlah penyelesaian yang tak terhingga. Contoh: _Transpos y
• – x = 3 y = x + 3

  Penyelesaian PL dapat dilakukan dengan 2 cara

  _1.

  yaitu : _2. Penyelesaian subsitusi Penyelesaian dengan menyamakan koefisien Untuk menyelessaikan sepasang persamaan : 5x + 2y = 14...........(1) 3x

• – 4y = 24...........(2) Dari (1) : 5x + 2y = 14 y = 7
• – 5x/2 ......(3) Subsitusikan (3) pada (2), mak
• – 4(7 – 5x/2) = 24 5(4) + 2y = 14

  13x = 52 y = -3

  x = 4

  2. Penyelesaian dengan menyamakan koefisien