Pengujian Normal Multivariat T2 Hottelin

1

Pengujian Normal Multivariat T2 Hotteling pada
Faktor-Faktor yang Mempengaruhi IPM di Jawa
Timur dan Jawa Barat Tahun 2007
Dedi Setiawan, Zuyyin Inesa Pratiwi, Devi Lindasari, dan Santi Puteri Rahayu
Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail:devilindasari13@gmail.com,sprahayu@gmail.com
Abstrak— Indeks Pembangunan Manusia (IPM)
merupakan salah satu indeks komposit yang digunakan untuk
mengukur pembangunan manusia dalam tiga dimensi kehidupan
yaitu dimensi kesehatan yang diukur dari rata-rata lama sekolah
serta dimensi ekonomi yang diukur dari tingkat kehidupan yang
layak (kesejahteraan) secara keseluruhan. Pengujian tentang
asumsi distribusi multivariat normal satu populasi serta menguji
nilai perbedaan rata-rata antar populasi pengamatan
menggunakan uji T2 Hotelling untuk data satu populasi dan dua
populasi. Pengamatan ini akan dilakukan pada data pada data
faktor-faktor yang mempengaruhii IPM tahun 2007. Indikator

yang digunakan adalah posentase penduduk yang tinggal di
daerah perkotaan, prosentase pendudukyan berpendidikan diatas
SLTP, dan prosentase penduduk miskin. Sumber data berasal
dari data Tesis mahasiswa. Hasil analisis dengan pengujian
normal univariat dan multivariat pada data pengamatan tersebut
dapat disimpulkan bahwa data tidak berdistribusi multivariat
normal namun diasumsikan berdistribusi multivariat normal.
Pengujian vektor mean satu populasi, faktor-faktor yang
mempengaruhi IPM provinsi Jawa Timur didapatkan hasil
bahwa mean populasi untuk faktor-faktor tersebut berbeda, dan
dalam pengujian vektor mean dua populasi didapatkan hasil
bahwa rata-rata populasi dari faktor-faktor yang mempengaruhi
IPM di Jawa Timur dan Jawa Barat tidak berbeda nyata.
Kata Kunci— Homogenitas, IPM, uji asumsi multivariat
normal T2 Hotelling

I. PENDAHULUAN
manusia merupakan paradigma pembagunan
Pembangunan
yang menempatkan manusia sebagai fokus dan sasaran

akhir dari seluruh kegiatan pembangunan, yaitu untuk
tercapainya penguasaan atas sumber daya, guna memperoleh
pendapatan untuk mencapai hidup layak dan peningkatan
pendidikan terutama dalm kemampuan baca tulis dan
keterampilan untuk dapat berpartisipasi dalam masyarakat dan
kegiatan ekonomi. Untuk mengetahui perkembangan mengenai
kualitas pembangunan manusia, pada tahun 1990 United
Nations (PBB) memperkenalkan Indeks Pembangunan
Manusia (IPM). Menurut Badan Pusat Statistika (BPS) IPM
merupakan indeks komposit yang digunakan sebagai alat untuk
mengukur atau mengntrol perkembangan pembagunan sosialekonomi yang dipresentasikan oleh 3 dimensi, yaitu angka
harapan hidup, pencapaian pendidikan dan paritas daya beli.
IPM dapat digunakan untuk mengukur kinerja pembagunan

manusia. Namaun demikian perlu disadari bahwa IPM
(sebagai indeks komposit) hanya dapat memperlihatkan
perbandingan antar daerah (provinsi atau kabupaten/kota) dan
perkembangan antar waktu. Karena itu, perlu juga dilihat
komponen-komponen yang membentuk IPM tersebut sehingga
diketahui pencapaian dari komponen secara simultan. Untuk

mengamati indikator-indikator beberapa komponen IPM
tersebut dengan menggunakan pengujian normal multivariat
yang merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan
untuk mengetahui apakah data tersebut berasal dari distribusi
normal multivariat. Pengujian tentang perbedaan antar
populasi pengamatan menggunakan T2 Hotelling pada data
satu populasi dan dua populasi. Pengamatan kali ini akan
dilakukan pada data faktor-faktor yang mempengaruhi IPM
tahun 2007.
II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Statistika Deskriptif

Statistika deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan
dengan pengumpulan dan penyajian suatu gugus data sehingga
memberikan informasi yang berguna.
Mean adalah salah satu ukuran untuk memberikan
gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang sekumpulan
data. Mean juga merupakan wakil dari sekumpulan data atau
dianggap suatu nilai yang paling dekat dengan hasil
pengukuran yang sebenarnya.

Rumus yang digunakan untuk menghitung mean data
adalah :
n
1
(1)
x
xi
n


i 1

Keterangan:
xi = data pengamatan ke-i
n = banyaknya data
Standar deviasi merupakan akar kuadrat dari varians.
Rumus yang digunakan untuk menghitung nilai standar deviasi
adalah :





n
 xi  x 2
s  i 1
n 1

Keterangan :
s = standar deviasi

(2)

2
xi = nilai tengah
x
= rata-rata
n = banyak data
Minimum adalah nilai terendah dari suatu data. Sedangkan
maksimum adalah nilai tertinggi dari suatu data.[1]

rq 

B. Distribusi Normal Multivariate

Variabel X1,X2,...,Xp dikatakan berditribusi normal
multivariat dengan parameter μ dan Ʃ jika mempunyai
probability density function :
1
(3)
 ( X μ )' ( X μ )
1
2
f ( Xi , X2 ,...,X p ) 

(2 ) p / 2 

1

1/ 2

e

Jika X1,X2,.,Xpberdistribusi normal multivariat maka (Xμ)'Ʃ-1(X-μ) berditribusi χp2. Berdasarkan sifat ini maka
pemeriksaan distribusi multinormal dapat dilakukan dengan
cara membuat q-q plot dari nilai di2= (Xi- x )' S-1(Xi- x ),
i= 1,...,n .[2]
Tahapan dari pembuatan q-q plot ini adalah sebagai berikut.
1. Menentukan nilai vektor rata-rata : x
2. Menentukan nilai matriks varians-kovarians : S
3. Menentukan nilai jarak Mahalanobis setiap titik pengamatan
dengan vektor rata-ratanya di2= (Xi- x )' S-1(Xi- x ), i= 1,...,n
4. Mengurutkan nilai di2dari kecil ke besar : d(1)2≤ d(2)2≤
d(3)2≤....≤d(n)2
5. Tentukan nilai p  i  1 / 2 , i  1,...,n
i

n

6. Tentukan nilai q i sedemikian hingga

qi
2
2
 f (  )d  pi


7. Buat scatter-plot di2dengan q i
Pada Proporsi Square Distance menggunakan pemeriksaan
data berdistribusi multivariat normal jika prosentase di2≤ χ2p,0.5
mendekati 50%.
Pemeriksaan distribusi normal multivariat juga dapat
dilakukan secara visual dengan melihat pola sebaran data pada
2

scatterplot antara nilai Square Distance ( d j ) dengan nilai
q

 j  0 ,5 
c, p


 n 

  2  n  j  0.05  . Apabila plot-plot data pengamatan
p


n




berada pada garis normal dan menyebar acak maka bahwa
dapat diputuskan data berdistribusi normal multivariat, apabila
tidak maka dapat dikatakan data tidak berdistribusi normal
multivariat.[2]
Selain menggunakan kedua metode diatas pengujian
distribusi multivariat biasa menggunakan uji korelasi untuk
menguji tingkat signifikansi. Uji ini dilakukan dengan
mengkorelasikan antara nilai dj2 dengan nilai qc , p . Uji ini

dilakukan untuk melihat apakah data distribusi normal
multivariat atau tidak.[1]
Hipotesis :
H0 : Data berdistribusi normal nultivariat
H1 : Data tidak berdistribusi normal nultivariat
Daerah Penolakan : Tolak H0 jika rq(n-1)p/(n-p).Fp,(n-p),α
Statistik Uji :
(5)
T 2  nx  μ 0 S 1 x  μ 0 
Keterangan:
x
= vektor rata-rata observasi
µ0 = vektor rata-rata dugaan
S-1 = Invers matriks kovarian
D. Pengujian T2 Hotteling

Pengujian T2 Hotelling digunakan untuk mengetahui
apakah ada perbedaan rata-rata antar variabel pengamatan. Uji
T2 Hotelling digunakan untuk data multivariat atau memiliki
dua atau lebih populasi pengamatan. [2]

Hipotesis :
H0 : µ 1 = µ 2
H1 : µ 1 ≠ µ 2
Statistik uji :
T2 

Dimana,

n1n2
x1  x2  δ0 ' S pooled ' x1  x2  δ0 
n1  n2
S pooled 

n1  1
n2  1
S1 
S2
n1  n2  2
n1  n2  2

(6)

(7)

Daerah penolakan: Tolak H0, T2>C2
C2 

(n1  n2  2) p
F p , n1 n 2  p 1 ( )
n1  n2  p  1

(8)

E. IPM

Indeks Pembangunan Manusia (IPM) merupakan salah satu
indeks komposit yang digunakan untuk mengukur
pembangunan manusia dalam tiga dimensi kehidupan yang
sangat mendasar yaitu dimensi kesehatan yang diukur dari
rata-rata lama sekolah dan angka melek huruf, serta dimensi
ekonomi yang diukur dari tingkat kehidupan yang layak
(kesejahteraan) secara keseluruhan. Pembangunan manusia
yang berhasil akan membuat usia rata-rata masyarkatnya
meningkat dan peningkatan pengetahuan yang bermuara pada
peningkatan kualitas sumber daya manusia. Pencapaian dual
hal tersebut selanjutnya akan meningkatkan produktivitas

3
sehingga pada akhirnya akan meningkatkan mutu hidup dalam
arti hidup layak.[3]
III. METODOLOGI PENELITIAN
A. Sumber Data
Sumber data yang digunakan dalam penelitian ini
merupakan data sekunder. Data sekunder yang diperoleh dari
Tesis mahasiswa dengan judul “Uji Kesamaan Vektor
Parameter Model Regresi Multivariate, Studi Kasus : Faktorfaktor yang Mempengaruhi IPM Tahun 2007” oleh Rita Diana
(1308 201 030). Pengambilan data dilakukan pada hari Jumat,
24 Februari 2017 pada pukul 09.15 WIB sampai selesai di
Ruang Baca Statistika ITS.
B. Variabel Penelitian

Variabel penelitian yang digunakan dalam penelitian ini
adalah mengenai data faktor-faktor yang mempengaruhi IPM
tahun 2007 untuk masing-masing provinsi Jawa Timur dan
Jawa Barat sebagai berikut.
Tabel 1.
Variabel Penelitian yang Digunakan

Variabel
Y1
Y2
Y3

Keterangan
Prosentase penduduk yang tinggal di daerah perkotaan
Prosentase penduduk yang berpendidikan diatas SLTP
Prosentase penduduk miskin

C. Langkah Analisis
Langkah-langkah analisis yang digunakan dalam
penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Mencari data sekunder multivariat yang terdiri atas dua
populasi dan tiga variabel,
2. Menginputkan data faktor-faktor yang mempengaruhi IPM
tahun 2007,
3. Melakukan pengujian distribusi normal multivariate pada
data faktor-faktor yang mempengaruhi IPM tahun 2007
untuk provinsi Jawa Timur,
4. Melakukan uji T2 Hotelling’s pada data faktor-faktor yang
mempengaruhi IPM tahun 2007 untuk provinsi Jawa Timur,
5. Melakukan uji T2 Hotelling’s pada data faktor-faktor yang
mempengaruhi IPM tahun 2007 untuk kedua provinsi Jawa
Timur dan Jawa Barat.
6. Menarik kesimpulan berdasarkan analisis yang telah
dilakukan.

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Statistika Deskriptif
Pada tahun 2007 IPM (Indeks Pembangunan Manusia)
Provinsi Jawa Timur sebesar 69.78 dan untuk Jawa Barat
sebesar 70,71[3]. Beberapa faktor-faktor yang Mempengaruhi
tinggi rendahnya IPM di suatu wilayah diantaranya adalah
prosentase penduduk yang tinggal di darah perkotaan (Y1),
prosentase penduduk yang berpendidikan diatas SLTP (Y2)
dan juga prosentase penduduk miskin (Y3). Berikut
karakteristik data untuk masing-masing variabel yang
mempengaruhi IPM di Jawa Timur dan Jawa Barat.

Tabel 2.
Statistika Deskriptif Variabel yang Mempengaruhi IPM di Jawa Timur dan
Jawa Barat
Provinsi Variabel Mean Stdev
Min
Maks
Jawa
Timur

Jawa
Barat

Y1

44,76

30,25

9,33

100,00

Y2

39,30

12,87

12,64

66,50

Y3

20,09

7,12

7,07

39,42

Y1

46,92

27,63

14,57

100,00

Y2

37,40

11,35

21,82

62,77

Y3

19,31

7,15

5,16

32,29

Berdasarkan Tabel 2 diatas dapat diketahui bahwa untuk
variabel prosentase penduduk yang tinggal di daerah perkotaan
(Y1) provinsi Jawa Timur memiliki rata-rata yang lebih rendah
dibandingkan dengan Jawa Barat, namun memiliki standar
deviasi yang lebih tinggi artinya data untuk variabel Y1 di Jawa
Timur lebih heterogen dibandingkan dengan Jawa Barat.
Untuk variabel prosentase penduduk yang berpendidikan
diatas SLTP (Y2) provinsi Jawa Timur memiliki rata-rata lebih
tinggi dibandingkan dengan provinsi Jawa Barat, dan juga
memiliki standar deviasi yang lebih tinggi itu berarti bahwa di
Jawa Timur untuk variabel Y2 sangat heterogen. Sedangkan,
untuk variabel prosentase penduduk miskin (Y3) provinsi Jawa
Timur memiliki rata-rata dan juga standar deviasi yang lebih
tinggi dibanding dengan provinsi Jawa Barat itu berarti bahwa
untuk variabel ini Jawa Barat lebih homogen dibandingkan
dengan Jawa Timur. Secara keseluruhan untuk nilai rata-rata
faktor yang mempengaruhi IPM untuk Jawa timur lebih unggul
dibandingkan dengan Provinsi Jawa Barat, namun untuk data
Jawa Timur lebih heterogen.
B. Pengujian Normalitas
Untuk dapat dilanjutkan untuk analisis Hotelling’s T2 (uji
vektor mean) maka data mengikuti distribusi normal
multivariate (diasumsikan). Data faktor-faktor yang
mempengaruhi Indeks Pembangunan Manusia (IPM) provinsi
Jawa Timur tahun 2007, selanjutnya akan dianalisis apakah
data tersebut berasal dari populasi yang berdistribusi normal
multivariate atau tidak. Pengujian dialakukan dengan tiga (3)
metode yaitu proporsi square distance, plot chi-square, dan
koefisien korelasi, hasil analisis akan dijelaskan pada
pembahasan dibawah ini.

1. Proporsi Square Distance
Pemeriksaan distribusi normal multivariate dapat dilakukan menggunakan proporsi Square Distance . Data
dikatakan mengikuti distribusi normal multivariate jika nilai p
berada di sekitar 0,5. Perhitungan Square Distance diapat
dilihat pada lampiran. Berikut ini adalah hasil pengujian
distribusi normal multivariate menggunakan proporsi Square
Distance pada data faktor-faktor yang mempengaruhi IPM di
Jawa Timur 2007, perhitungan menggunakan macro minitab
dengan syntax pada lampiran 2 dan hasil dapat dilihat pada
lampiran 4.
Berdasarkan lampiran 3, nilai proporsi Square Distance
2

( d j ) kurang dari

 02,5; p

(2,366) nilai yang didapatkan adalah

sebesar 0,371429. Nilai tersebut sangat jauh berbeda
signifikan dari 0,5, sehingga dapat disimpulkan bahwa data
faktor-faktor yang mempengaruhi Indeks Pembangunan

4
Manusia (IPM) provinsi Jawa Timur tahun 2007 tidak
mengikuti distribusi normal multivariate.
2. Plot Chi-square
Pemeriksaan distribusi normal multivariat juga dapat
dilakukan secara visual dengan melihat pola sebaran data pada
2

scatterplot antara nilai Square Distance ( d j ) dengan nilai

C. Uji Vektor Mean Satu Populasi
Uji vektor mean satu populasi digunakan untuk menguji
hipotesis rata-rata vektor dari populasi. Berikut dilakukan
pengujian hipotesis untuk data faktor-faktor yang
mempengaruhi IPM di Jawa Timur, dengan hipotesis yaitu;
Hipotesis:

qc , p untuk output qc , p dapat dilihat pada lampiran 3. Berikut
ini adalah hasil pengujian distribusi normal multivariate
menggunakan scatterplot pada data faktor-faktor yang
mempengaruhi Indeks Pembangunan Manusia (IPM) provinsi
Jawa Timur tahun 2007 tidak mengikuti distribusi normal
multivariate.
12

D. Uji Vektor Mean Dua Populasi

10

8

dj2

Dengan menggunakan taraf signifikan 5% , maka dapat
diperoleh daerah kritis atau tolak H0 saat T2 > c2 (9,24732).
Berdasarkan perhitungan (lampiran 7) nilai T2 diperoleh
83,8729, sehingga dapat disimpulkan bahwa minimal ada satu
rata-rata dari variabel-variabel yang mempengaruhi IPM
provinsi Jawa Timur tahun 2007 berbeda dengan hipotesis.

6

4

2

0
0

2

4

6
qc

8

10

12

Gambar 1. Pengujian Normal multivariate Menggunakan Scatterplot

Berdasarkan Gambar 1 di atas terlihat bahwa titik-titik
pada scatterplot tidak mengikuti garis normal (membentuk
garis lurus), sehingga dapat disimpulkan bahwa data faktorfaktor yang mempengaruhi Indeks Pembangunan Manusia
(IPM) provinsi Jawa Timur tahun 2007 tidak mengikuti
distribusi normal multivariate.
3. Koefisien Korelasi
Uji korelasi digunakan untuk menguji tingkat signifikansi
2

dengan cara mengkorelasikan nilai Square Distance ( d j )
dengan nilai qc , p .
Hipotesis :
H0 : Data faktor-faktor yang mempengaruhi Indeks
Pembangunan Manusia (IPM) provinsi Jawa Timur
tahun 2007, mengikuti distribusi normal multivariate
H1 : Data faktor-faktor yang mempengaruhi Indeks
Pembangunan Manusia (IPM) provinsi Jawa Timur
tahun 2007, tidak mengikuti distribusi normal
multivariate
Dengan menggunakan taraf signifikan 5% , maka dapat
diperoleh daerah kritis atau tolak H0 saat r < r (35;0,05) (0,968).
Berdasarkan perhitungan korelasi pearson diperoleh nilai
korelasi sebesar 0,941. Sehingga dapat diputuskan bahwa
Tolak H0, sehingga dapat disimpulkan bahwa sehingga dapat
disimpulkan bahwa data faktor-faktor yang mempengaruhi
Indeks Pembangunan Manusia (IPM) provinsi Jawa Timur
tahun 2007 tidak mengikuti distribusi normal multivariate.
Ketiga metode diatas memberikan hasil yang sama yaitu
data faktor-faktor yang mempengaruhi Indeks Pembangunan
Manusia (IPM) provinsi Jawa Timur tahun 2007 tidak
mengikuti distribusi normal multivariate. Namun pada kasus
ini data diasumsikan mengikuti distribusi normal multivariate.

Uji hipotesis vektor mean dua populasi digunakan untuk
mengetahui apakah ada atau tidak perbedaan vektor mean
populasi antara variabel-variabel yang mempengaruhi IPM di
Jawa Timur dengan provinsi Jawa Barat. Populasi satu adalah
provinsi Jawa Timur dan populasi dua adalah provinsi Jawa
Barat. Dalam pengujian ini data diasumsikan berdistribusi
normal multivariate dan matriks kovarian populasi bersifat
homogen. Berikut ini hipotesis yang digunakan,
Hipotesis :

Dengan menggunakan taraf signifikan 5% , maka dapat
diperoleh daerah kritis atau tolak H0 saat T2 > c2 (8,40).
Berdasarkan perhitungan (lampiran 8) nilai T2 diperoleh
4,505, sehingga dapat disimpulkan bahwa rata-rata variabel
yang mem-pengaruhi IPM (prosentase penduduk yang tinggal
di darah perkotaan, prosentase penduduk yang berpendidikan
diatas SLTP dan juga prosentase penduduk miskin) di provinsi
Jawa Timur tidak berbeda signifikan dengan provinsi Jawa
Barat dengan taraf signifikansi alfa 5%.

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan analisis dan pembahasan diatas dapat
diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Karakteristik data dari faktor-faktor yang mempengaruhi
Indeks Pembangunan Manusia (IPM) rata-rata adalah
untuk variabel prosentase penduduk yang tinggal di daerah
perkotaan di Jawa Timur lebih rendah dibandingkan di
Jawa barat, untuk variabel prosentase penduduk yang
berpendidikan diatas SLTP Jawa Timur lebih besar
dibandingkan provinsi Jawa Barat, sedangkan untuk
variabel prosentase penduduk miskin di Jawa Timur lebih
tinggi dibandingkan provinsi Jawa Barat.
2. Data faktor-faktor yang mempengaruhi IPM (prosentase
penduduk yang tinggal di darah perkotaan, prosentase
penduduk yang berpendidikan diatas SLTP dan juga
prosentase penduduk miskin) untuk provinsi Jawa Timur
dengan analisis menggunakan metode proporsi square
distance, plot chi-square, dan koefisien korelasi

5
memberikan hasil yang sama, yaitu data tersebut tidak
berdistribusi normal multivariate.
3. Dalam pengujian vektor mean satu populasi, faktor-faktor
yang mempengaruhi IPM (prosentase penduduk yang
tinggal di darah perkotaan, prosentase penduduk yang
berpendidikan diatas SLTP dan juga prosentase penduduk
miskin) provinsi Jawa Timur didapatkan hasil bahwa mean
populasi untuk faktor-faktor tersebut berbeda dengan ratarata dugaan.
4. Dalam pengujian vektor mean dua populasi didapatkan
hasil bahwa rata-rata populasi dari faktor-faktor yang
mempengaruhi IPM (prosentase pen-duduk yang tinggal di
darah perkotaan, prosentase penduduk yang berpendidikan
diatas SLTP dan juga prosentase penduduk miskin) di Jawa
Timur dan Jawa Barat tidak berbeda nyata dengan taraf
signifikan alfa 5%.
B. Saran
Saran yang diberikan untuk penelitian selanjutnya adalah
selain itu, sebelum melakukan pengujian vektor mean satu
populasi maupun dua populasi perlu adanya penguji normalitas
multivariate, homogenitas, dan juga independen antar variabel
maupun antar populasi. Ketika dalam pengujian vektor mean
menggunakan metode T2 Hotelling’s didapat keputusan tolak
H0 maka perlu dilanjutkan pengujian menggunakan Confidence
Interval atau menggunakan Confidence Region sehingga dapat
diketahui variabel mana yang berbeda atau yang menyebabkan
tolak H0.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
[2]
[3]

Walpole. 1995. Pengantar Metode Statistika . Gramedia : Jakarta.
Johnson, R. A., $ Winchern, D. W. (2007). Applied Multivariat
Statistical Analysis : Sixth Edition. New Jersey : Pearson Prentice Hall
Badan Pusat Statistik. (2008). Indeks Pembangunan Manusia 20062007 . Badan Pusat Statistik. Jakarta.