ANALISIS MODEL MATEMATIKA DAN KONTROL OPTIMAL PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA DENGAN FAKTOR RESISTENSI SKRIPSI

ANALISIS MODEL MATEMATIKA DAN KONTROL OPTIMAL PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA DENGAN FAKTOR RESISTENSI SKRIPSI PUTRI CIPTA PRATIWI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2016

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga. Diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbil’aalamiin. Segala puji bagi Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya dan semoga sholawat serta salam selalu tercurah kepada nabi besar Muhammad SAW. Penulis ucapkan terima kasih terhadap semua pihak yang telah membantu penulis, sehingga skripsi yang berjudul “Analisis Model Matematika dan Kontrol Optimal Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor Resistensi” ini dapat terselesaikan dengan baik.

Keberhasilan pada penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari dukungan, doa dan bantuan dari berbagai pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan terimakasih kepada: 1.

Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan penulis untuk menuntut ilmu.

2. PT. Daya Adicipta Mustika yang telah memberikan beasiswa untuk membantu secara ekonomis serta memacu semangat belajar.

3. Badrus Zaman S.Kom, M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika Universitas Airlangga yang selalu memberikan motivasi.

4. Dr. Imam Utoyo, M.Si. selaku Koordinator Program Studi S-1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang selalu memberikan saran dan motivasi dan selaku dosen penguji yang telah memberikan koreksi serta masukan demi perbaikan skripsi ini.

5. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si. selaku dosen wali yang selalu memberikan motivasi dan memberikan saran untuk membuat rancangan studi.

6. Dr. Fatmawati, M.Si. selaku dosen pembimbing I dan Dr. Windarto, M.Si. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan banyak masukan, tenaga dan fikiran dalam penyusunan skripsi dengan sabar dan teliti.

7. Ahmadin, S.Si., M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan koreksi serta masukan demi perbaikan skripsi ini.

8. Seluruh dosen di Universitas Airlangga yang telah menyampaikan ilmu kepada penulis.

9. Bapak dan Ibu tercinta yaitu Sucipto dan Jami’ah, adik saya tersayang Kharisma Fajar Nugroho, beserta keluarga besar saya yang menjadi sumber motivasi dan yang telah memberikan kasih sayang, tenaga, perhatian serta doa.

10. Latiefah A., Azizah N. D. P., Bherty R., Hadiyatunnaimah, Siti Komariyah, Yunita Eka P., Fatimah Assegaf, Fitri Nur K., Dewi I. A., Muthia S. D., Fitri Indah W., Ayustinia sebagai teman-teman tangguh yang telah memberi inspirasi, semangat, motivasi, serta telah banyak memberikan pengalaman berdiskusi.

11. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 2012 yang memberi inspirasi, semangat, dan motivasi.

12. Teman-teman HIMATIKA yang telah memberikan pengalaman berorganisasi selama perkuliahan.

13. Serta segenap pihak di luar yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini.

Penulis sudah berupaya agar tidak terdapat kesalahan pada penulisan. Namun tidak menutup kemungkinan masih ada kekurangan pada penulisan ini. Oleh karena itu, kritik dan saran dari para pembaca sangat Penulis harapkan demi penyempurnaan penulisan selanjutnya di kemudian hari. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi para Pembaca pada umumnya khususnya Penulis.

Surabaya, Januari 2016 Putri Cipta Pratiwi Putri Cipta Pratiwi, 2016, Analisis Model Matematika dan Kontrol Optimal

Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor Resistensi. Skripsi ini dibawah

bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si. dan Dr. Windarto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

ABSTRAK

Malaria merupakan penyakit yang banyak terjadi di daerah tropis ataupun subtropis. Penyakit ini disebabkan oleh parasit golongan Plasmodium yang ditransmisikan ke manusia melalui gigitan nyamuk Anopheles betina. Penyebaran penyakit malaria dapat dikurangi dengan upaya seperti pengobatan pada manusia yang terinfeksi malaria, penggunaan insektisida, serta vaksinasi sebagai upaya pencegahan. Tujuan dari skripsi ini adalah untuk menganalisis model matematika penyebaran penyakit malaria dengan faktor resistensi serta menentukan bentuk kontrol optimal berupa pengobatan ( ), insektisida ( ) dan vaksinasi ( ).

3 Pada model yang akan dianalisis terdapat dua jenis parasit yang menyebabkan penyakit malaria yakni parasit sensitif dan parasit resisten.

Dari analisis model matematika penyebaran penyakit malaria didapatkan

∗

( ), titik setimbang tiga titik setimbang yaitu titik setimbang non endemik

∗ ∗ ( ) dan titik setimbang endemik parasit resisten( ).

endemik parasit sensitif Selain itu, pada skripsi ini diperoleh dua nilai basic reproduction number yakni

basic reproduction number parasit sensitif ( ) dan basic reproduction number

( ). Jika < 1 dan < 1 maka titik setimbang non endemik resisten parasit

∗

( ) akan stabil asimtotis. Jika , > 1 dan < maka titik setimbang

∗

parasit sensitif ( ) akan cenderung stabil asimtotis. Jika , > 1 dan <

∗ maka titik setimbang parasit resisten ( ) akan cenderung stabil asimtotis.

Penentuan bentuk kontrol yang optimal dilakukan dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Hasil simulasi secara numerik menunjukkan efektivitas pemberian kontrol berupa , dan secara bersamaan untuk meminimalkan

3 jumlah manusia dan nyamuk yang terinfeksi malaria dengan biaya yang minimal.

Kata Kunci : Model matematika, Malaria, Resisten, Kestabilan, Kontrol optimal.

Putri Cipta Pratiwi, 2016, Analysis Mathematical Model and Optimal Control

of The Spread of Malaria Disease with Resistance Factor. This undergraduate thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Windarto, M.Si.

Mathematics Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya.

ABSTRACT Malaria is a disease which is prevalent in tropical or subtropical regions.

This disease is caused by parasite of Plasmodium genus that is transmitted to human by female Anopheles mosquitoes. The spread of malaria can be reduced by giving treatment to the human who are infected malaria, using insecticide, and giving vaccination as prevention. The purposes of this undergraduate thesis are analyzing mathematical model of the spread of malaria with resistance factor and determining optimal control in the form of treatment ( ), insecticide ( ) and

vaccination ( ). In this model which is analyzed, there are two types of parasite

3 that caused malaria, they are sensitive parasite and resistant parasite.

There are three equilibrium points in the mathematical model of malaria,

∗

namely non endemic equilibrium point ( ), endemic equilibrium of sensitive

∗ ∗

parasite ( ) and endemic equilibrium of resistant parasite ( ). Moreover, there are two basic reproduction numbers, namely basic reproduction number of sensitive parasite ( ) and basic reproduction number of resistant parasite ( ). If

∗

< 1 and < 1 then non endemic equilibrium point ( ) will be asymptotically stable. If , > 1 and < then equilibrium point of

∗

sensitive parasite ( ) tend to asymptotically stable. If , > 1 and <

∗

then equilibrium point of resistant parasite ( ) tend to asymptotically stable. Pontryagin Maximum Principal is applied to derive the necessary conditions for optimal control. Numeric simulation results show the effectiveness of the optimal control to reduce the number of infected hosts and vectors with minimal cost.

Keywords : Mathematical model, Malaria, Resistance, Stability, Optimal control.

DAFTAR ISI

LEMBAR JUDUL ................................................................................................... i LEMBAR PERSETUJUAN.................................................................................... ii LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI .................................................. iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI .............................................. iv SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS ....................................... v KATA PENGANTAR ........................................................................................... vi ABSTRAK ............................................................................................................. ix ABSTRACT ............................................................................................................ x DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiv DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................... xvii

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ......................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah .................................................................................... 4

1.3 Tujuan ....................................................................................................... 4

1.4 Manfaat ..................................................................................................... 5

1.5 Batasan Masalah ....................................................................................... 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................. 6

2.1 Malaria ...................................................................................................... 6

2.2 Sistem Persamaan Diferensial ................................................................ 10

2.3 Kestabilan Sistem Linear ........................................................................ 11

2.4 Kriteria Routh-Hurwitz .......................................................................... 13

2.5 Basic Reproduction Ratio ....................................................................... 16

2.6 Prinsip Maksimum Pontryagin ............................................................... 17

BAB III METODE PENELITIAN........................................................................ 19 BAB IV PEMBAHASAN ..................................................................................... 22

4.1 Analisis Model Matematika Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor Resistensi dan Tanpa Kontrol ................................................................ 22

4.1.1 Titik Setimbang ................................................................................... 33

4.1.2 Analisa Kestabilan Lokal Titik Setimbang ......................................... 37

4.2 Model Matematika dan Kontrol Optimal Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor Resistensi........................................................................ 50

4.3 Simulasi dan Interpretasi dari Model Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor Resistensi dengan Kontrol dan Tanpa Kontrol .............. 57 BAB IV PENUTUP .............................................................................................. 84

5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 84

5.2 Saran ....................................................................................................... 85

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 86 LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Tabel Halaman

4.1 Variabel dari Model Penyebaran Penyakit Malaria

4.2 Parameter dari Model Penyebaran Penyakit Malaria

4.3 Nilai Awal Simulasi Titik Setimbang Endemik Parasit

43 Sensitif

4.4 Nilai Parameter Simulasi Titik Setimbang Endemik Parasit

43 Sensitif

4.5 Nilai Awal Simulasi Endemik Parasit Resisten

4.6 Nilai Parameter Simulasi Titik Setimbang Endemik Parasit

48 Resisten

4.7 Nilai Parameter Simulasi Numerik

4.8

64 Perbandingan Jumlah Individu pada hari ke 100

4.9

68 Perbandingan Jumlah Individu pada hari ke 100

4.10

71 Perbandingan Jumlah Individu pada hari ke 100

4.11 Perbandingan Jumlah Individu pada hari ke 100

4.12 Nilai Fungsi Ongkos atas Kontrol yang Diberikan

DAFTAR GAMBAR

No. Judul Halaman

4.1 Diagram Transmisi Model Matematika Penyebaran Penyakit

29 Malaria dengan Faktor Resistensi dan Tanpa Kontrol

4.2

44 Simulasi Bidang Fase Pada Bidang Untuk −

Titik Setimbang Endemik Parasit Sensitif

4.3

49 Simulasi Bidang Fase Pada Bidang Untuk −

Titik Setimbang Endemik Parasit Resisten

4.4 Diagram Transmisi Model Matematika dan Kontrol Optimal

51 Penyebaran Penyakit Malaria dengan Faktor Resistensi 4.5a Dinamika Populasi Bagian A

61 4.5b

62 Dinamika Populasi Bagian B 4.5c

63 Dinamika Populasi Bagian C 4.6a Dinamika Populasi Bagian A

65 4.6b Dinamika Populasi Bagian B

66 4.6c Dinamika Populasi Bagian C

67 4.7a Dinamika Populasi Bagian A

69 4.7b Dinamika Populasi Bagian B

69 4.7c

70 Dinamika Populasi Bagian C 4.8a

72 Dinamika Populasi Bagian A 4.8b

73 Dinamika Populasi Bagian B

4.8c Dinamika Populasi Bagian C

dan

4.15 Grafik Kontrol

dan

4.14 Grafik Kontrol

dan

4.13 Grafik Kontrol

dan

4.12 Grafik Kontrol

4.11 Grafik Kontrol

4.10 Grafik Kontrol

4.9 Grafik Kontrol

ANALISIS MODEL MATEMATIKA DAN KONTROL OPTIMAL PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA DENGAN FAKTOR RESISTENSI SKRIPSI