ANALISIS MODEL MATEMATIKA PERAN PENAMBAHAN MAKANAN DALAM SISTEM EKO-EPIDEMIOLOGI DENGAN PENYAKIT PADA

PREY SKRIPSI FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2016

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PERAN PENAMBAHAN MAKANAN DALAM SISTEM EKO-EPIDEMIOLOGI DENGAN PENYAKIT PADA

PREY SKRIPSI

FAIDAH ALIMATUL FITRIAH PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2016

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga. iv

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya, sehingga skripsi yang berjudul Analisis Model Matematika Peran Penambahan Makanan dalam

“ Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey ” ini dapat diselesaikan

dengan baik. Shalawat serta salam bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus sebaik- baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat manusia.

Keberhasilan penulis dalam menyusun skripsi ini tentunya tidak lepas dari dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu, tak lupa penulis ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada: 1.

Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan penulis untuk menempuh pendidikan tinggi.

2. Direktorat Jendral dan Pendidikan Tinggi yang telah memberikan beasiswa bidikmisi.

3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika Universitas Airlangga yang selalu memberikan motivasi.

4. Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si. selaku Koordinator Program Studi S-1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang selalu memberikan saran dan motivasi. vi

5. Auli Damayanti, S.Si., M.Si. selaku dosen wali yang telah memberi masukan serta saran selama proses pembelajaran.

6. Dr. Fatmawati, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah banyak memberikan masukan, tenaga, serta nasehat kepada penulis.

7. Dr. Miswanto, M.Si. sebagai pembimbing II yang telah banyak memberikan arahan, tenaga dan fikiran.

8. Ahmadin, S.Si., M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan koreksi serta masukan demi perbaikan skripsi ini.

9. Seluruh dosen Universitas Airlangga yang telah menyampaikan banyak ilmu kepada penulis.

10. Alm. Bapak dan Ibu tercinta Samsuri dan Safiatun, adik tercinta Firda Ulfatul Kholida, mas Chairul Anwar beserta keluarga besar saya yang menjadi sumber motivasi, memberi kan kasih sayang, do’a, tenaga, dan perhatian kepada penulis.

11. Teman-teman tangguh yaitu Ais Fatkhiyah, Anik Zainurrifah, Endrawati, Alvianita Tri Utami dan teman kos seperjuangan Nisrina, Neni, Mbak Zizah, Nike, Ria, Dewi, Fatim, Mety, Lintang serta adik kos Ayu, Nuril, Sri, Binti, Sofi yang memberi dukungan, saling mengajari dalam membantu penyelesaian skripsi ini.

12. Teman-teman Matematika Angkatan 2012 yang memberikan banyak inspirasi dan motivasi.

13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini. vii

Dengan segala kerendahan hati, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan mengingat keterbatasan pengetahuan yang penulis peroleh hingga saat ini, namun penulis sudah berupaya agar tidak terjadi kesalahan pada penulisan ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun guna terciptanya kesempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak-pihak yang membacanya dan bagi penulis sendiri.

Surabaya, Juli 2016 Faidah Alimatul Fitriah viii Faidah Alimatul Fitriah, 2016, Analisis Model Matematika Peran Penambahan Makanan dalam Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey. Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si. dan Dr. Miswanto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

ABSTRAK

Eko-epidemiologi adalah ilmu yang mempelajari tentang penyebaran penyakit menular pada sebuah populasi dalam interaksi di suatu lingkungan. Sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey menyediakan makanan alternatif sebagai penambahan makanan untuk predator. Tujuan dari skripsi ini adalah untuk menganalisis model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey serta memperlihatkan peran dari penambahan makanan pada sistem eko-epidemiologi.

Pada skripsi ini membahas analisis kestabilan dari titik setimbang yang terdapat pada model dan syarat eksistensinya. Dari analisis model diperoleh empat titik setimbang yaitu titik setimbang kepunahan

1 , , titik setimbang aksial titik setimbang bebas penyakit atau kepunahan prey yang terinfeksi

2 , dan titik setimbang koeksistensi prey dan predator tidak stabil,

3 . Titik setimbang

, , dan sedangkan titik setimbang stabil asimtotis dengan syarat tertentu.

3 Kestabilan lokal dari keempat titik setimbang tersebut dikaji dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Berdasarkan hasil simulasi numerik menggambarkan bahwa adanya makanan alternatif sebagai penambahan makanan yang sesuai dapat memaksimumkan populasi prey yang rentan dan predator serta meminimumkan prey yang terinfeksi meskipun tingkat infeksinya tinggi.

Penggunaan makanan alternatif sebagai penambahan makanan untuk predator dengan penyakit pada prey memperkenalkan metode baru non-kimia pada sistem eko-epidemiologi.

Kata Kunci : Sistem eko-epidemiologi, Prey yang terinfeksi, Penambahan makanan, Titik setimbang, Kestabilan.

ix Faidah Alimatul Fitriah, 2016, Analysis Mathematical Model Role of Additional

Food in Eco-epidemiological System with Disease in the Prey. This

undergraduate thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Miswanto, M.Si. Mathematics Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya.

ABSTRACT

Eco-epidemiologi is study the spread of infectious diseases in a population in the interaction in an environment. An eco-epidemiological system with disease in the prey supplying alternative food be that of additional food to predator. The aims of this thesis is to analyze mathemathical model role of additional food in eco-epidemiological system with disease in the prey as well as to show the role additional food in an eco-epidemiological system.

In this thesis discussed analyze stability of the equilibrium point contained in the model and condition of existence. Based on the analysis of model, four equilibriums are obtained. Those are extinction ( ), axial ( ), infected prey

1 extinction or disease free ( ), and the coexistence between prey and predator

2 ( ). The equilibrium is unstable; while , , and are stable

3 asymptotically under certain conditions. Local stability of four equilibriums using Routh-Hurwitz criteria. Based on numerical simulation results illustrate that what looked like altenative food be that of additional food correspond to can maximize population susceptible prey and predator as soon as minimize population infected prey although the level high infection. The use alternative food be that of additional food for predators to prey disease in introducing new non-chemical methods in eco-epidemiological system.

Keywords : Eko-epidemiological system, infected prey, Additional food, Equilibrium, Stability

DAFTAR ISI

LEMBAR JUDUL ............................................................................................... i LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................... ii LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................... iii PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ........................................................... iv SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS .................................. v KATA PENGANTAR ....................................................................................... vi ABSTRAK ........................................................................................................ ix ABSTRACT ....................................................................................................... x DAFTAR ISI ..................................................................................................... xi DAFTAR TABEL ........................................................................................... xiv DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xv DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... xvi

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1

1.1 Latar Belakang .............................................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah......................................................................................... 5

1.3 Tujuan ........................................................................................................... 5

1.4 Manfaat ......................................................................................................... 6

1.5 Asumsi .......................................................................................................... 6 xi

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................ 7

2.1 Eko-epidemiologi ......................................................................................... 7

2.2 Model Logistik ............................................................................................. 8

2.3 Model Predator-Prey Lotka Volterra ........................................................... 8

2.4 Model Holling............................................................................................... 9

2.5 Sistem Persamaan Diferensial .................................................................... 11

2.6 Kestabilan Sistem Linier ............................................................................ 13

2.7 Kriteria Routh-Hurwitz ............................................................................... 16

2.4 Bilangan Reproduksi Dasar ........................................................................ 18

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ......................................................... 21 BAB IV PEMBAHASAN ................................................................................ 23

4.1 Analisis Model Matematika Peran Penambahan Makanan dalam Sistem Eko-Epidemiologi dengan Penyakit pada Prey .......................................... 23

4.1.1 Titik Setimbang Model ....................................................................... 30

4.1.2 Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal ................................................... 35

4.2 Simulasi Model Matematika Peran Penambahan Makanan dalam Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey ........................................... 44

BAB V PENUTUP ........................................................................................... 54

5.1 Kesimpulan ................................................................................................. 54

5.2 Saran ........................................................................................................... 55 xii

xiii DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 56 LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Judul Tabel Halaman

4.1 Keterangan parameter-parameter yang digunakan pada

25 model matematika peran penambahan dalam sistem eko- epidemiologi dengan penyakit pada prey

4.2 Keterangan parameter-parameter setelah adanya

29 perskalaan pada model

4.3 Nilai Awal Simulasi Titik Setimbang Koeksistensi

4.4 Nilai Parameter Simulasi Titik Setimbang Koeksisitensi

4.5

45 Nilai parameter simulasi numerik xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar Judul Halaman

4.1 Simulasi Bidang Fase

43 − untuk Titik Setimbang

Koeksistensi

4.2 Dinamika populasi prey yang rentan untuk

46 = 1,25 dengan

= 0, = 0 dan = 0,8, = 0,4

4.3

47 Dinamika populasi prey yang rentan untuk = 0,1 dengan

= 0, = 0 dan = 0,8, = 0,4

4.4 Dinamika populasi prey yang terinfeksi untuk

48 = 1,25 dengan

= 0, = 0 dan = 0,8, = 0,4

4.5

50 Dinamika populasi prey yang terinfeksi untuk = 0,1 dengan

= 0, = 0 dan = 0,8, = 0,4

4.6

51 Dinamika populasi predator untuk = 1,25 dengan

= 0, = 0 dan = 0,8, = 0,4

4.7

52 Dinamika populasi predator untuk = 0,1 dengan

= 0, = 0 dan = 0,8, = 0,4 xv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Judul

1. Analisis Perskalaan

2. E Perhitungan Titik Setimbang 3.

Perhitungan Titik Setimbang E

4. Perhitungan Titik Setimbang E

2 5.

Perhitungan Titik Setimbang E

3 6.

Perhitungan Basic Reproduction Number 7. Pencarian Persamaan Karakteritik Titik Setimbang E 8. Pencarian Persamaan Karakteritik Titik Setimbang E

1 9.

Pencarian Persamaan Karakteritik Titik Setimbang E

2 10.

Pencarian Persamaan Karakteritik Titik Setimbang E

3 11.

Kode Program untuk Simulasi Bidang Fase dan Grafik Dinamika 12. Simulasi Dinamika Model Matematika Peran Penambahan Makanan

( dalam Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey = 0 dan

= 0) 13. Simulasi Dinamika Model Matematika Peran Penambahan Makanan

( dalam Sistem Eko-epidemiologi dengan Penyakit pada Prey = 0.8 dan

= 0.4) xvi

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Hubungan timbal balik antara makhluk hidup dengan makhuk hidup lain serta dengan benda tak hidup di lingkungannya membentuk ekosistem. Ilmu yang mempelajari ekosistem disebut ekologi. Ekologi berasal dari dua kata dalam bahasa Yunani, yaitu oikos dan logos. Oikos artinya rumah atau tempat tinggal, dan logos artinya ilmu. Istilah ekologi pertama kali dikemukakan oleh Ernst Haeckel. Ekologi mempelajari bagaimana makhluk hidup dapat mempertahankan kehidupannya dengan mengadakan hubungan antar makhluk hidup dan dengan benda tak hidup di dalam tempat hidupnya atau lingkungannya (Syamsuri, 2007).

Pada dasarnya makhluk hidup dan habitatnya tidak dapat dipisahkan satu dengan yang lain, keduanya saling mempengaruhi. Setiap kelompok makhluk hidup menetap di tempat tertentu yang dinamakan habitat, seperti daratan, perairan, hutan, dan sawah (Aryulina, 2004). Antara makhluk hidup yang satu dengan yang lain terjadi hubungan, baik antara sesama spesies maupun antar spesies, sesama komponen biotik maupun antara komponen biotik dan abiotik. Hubungan timbal balik dikenal pula dengan istilah interaksi atau aksi interaksi (Syamsuri, 2007).

Ada beberapa jenis interaksi yang dapat terjadi antar makhluk hidup, yaitu simbiosis, predasi, dan kompetisi. Predasi merupakan hubungan antara makhluk hidup yang memangsa (predator) dan makhluk hidup yang dimangsa (prey). Pada

1 SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

2 predasi umumnya suatu spesies memakan spesies lain, meskipun beberapa hewan memangsa sesama jenisnya. Pada predasi antar hewan, predator kebanyakan berukuran lebih besar daripada prey (Aryulina, 2004). Interaksi antar dua populasi ini sangat penting karena kelangsungan hidup makhluk hidup tergantung pada keseimbangan lingkungan di sekitarnya. Dengan demikian keseimbangan tersebut dapat tercapai jika jumlah rata-rata populasi dari mangsa dan pemangsa yang sedang berinteraksi sesuai dengan ukuran dan proporsinya.

Pada bidang ekologi, eko-epidemiologi sangat penting dalam pemahaman munculnya penyakit. Bidang tersebut mempelajari mengenai dinamika populasi, epidemi, dan penyakit yang terinfeksi pada komunitas yang ada di lingkungan masyarakat. Oleh karena itu dalam pemodelan matematika dikaji berbagai macam model matematika untuk mengetahui terjadi atau tidaknya suatu epidemi dalam populasi pada ekologi yang nyata. Hal ini didasarkan pada beberapa sifat spesifik dari aturan penyebaran penyakit menular dan faktor-faktor sosial yang terkait untuk membangun model matematika. Faktor penyakit pada sistem predator-prey pertama kali diperkenalkan oleh Anderson dan Mei. Anderson dan Mei meneliti faktor utama pengacauan yang terjadi pada interaksi predator-prey serta menemukan studi faktor pengendalian penyakit tersebut (Sahoo, 2015).

Selama 50 tahun terakhir, pengendalian penyakit sangat bergantung pada penggunaan bahan kimia seperti fungisida, bakterisida, dan fumigants tanah.

Penggunaan bahan kimia untuk mengendalikan penyakit telah terbukti memiliki efek samping jangka panjang pada ekosistem yaitu individu yang terinfeksi mencemari

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

3 lingkungan. Oleh karena itu metode non-kimia pengendalian penyakit menjadi perhatian besar (Sahoo dan Poria, 2014).

Penggunaan makanan altenatif adalah salah satu yang penting dalam pengobatan non-kimia untuk pengendalian penyakit dalam sistem eko-epidemiologi.

Beberapa penelitian melakukan penambahan makanan dengan cara adanya makanan alternatif untuk predator dalam program pengendalian biologis. Sahoo dan Poria (2013) menyatakan bahwa makanan alternatif untuk predator dalam sistem predator-

prey yang sakit. Sahoo dan Poria memberikan penjelasan bahwa meningkatnya

populasi predator dengan adanya makanan alternatif dapat menghapus infeksi dari sistem (Sahoo dan Poria, 2013).

Adanya makanan alternatif sebagai penambahan makanan untuk predator dapat membantu pelestarian predator pada sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey, karena dalam sistem tersebut jumlah prey lebih sedikit daripada jumlah

predator dan predator akan lebih survive jika tedapat lebih dari satu prey. Akibatnya, predator dapat memangsa makanan alternatif sebagai penambahan makanan yang

telah tersedia sehingga kelestarian populasi predator akan tetap terjaga. Oleh karena itu, penambahan makanan dengan adanya makanan alternatif dapat memberikan keseimbangan antara populasi prey dan predator.

Fenomena yang menggambarkan dimana populasi prey terserang penyakit, dijelaskan oleh Chattopadhyay dan Bairagi (2011), yaitu interaksi antara populasi burung pelikan (predator) dan ikan tilapia (prey) di Laut Salton, California. Ikan tilapia tersebut terinfeksi bakteri Avian botulism. Bakteri tersebut membuat tubuh

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

4 ikan tilapia mengalami kekosongan oksigen. Akibatnya, ikan tilapia yang terinfeksi akan berenang menuju permukaan air dan menjadi rentan dipredasi oleh burung pelikan. Apabila burung pelikan memakan ikan tilapia terinfeksi yang masih hidup, maka mereka akan mengalami keracunan dan mati, karena di dalam jaringan tubuh ikan tilapia terinfeksi masih terdapat racun botulism yang dihasilkan oleh bakteri Avian botulism (Chattopadhyay dan Bairagi, 2011).

Para ilmuwan telah mengembangkan model matematika untuk menggambarkan peran penambahan makanan tersebut. Hal ini ditunjukkan dengan banyaknya penelitian yang membahas tentang makanan alternatif sebagai peran penambahan makanan dengan penyakit pada prey. Salah satunya adalah Sahoo dan Poria (2015) dengan penelitiannya yang berjudul

“Effects of additional food in a delayed predator- prey model”. Pada model tersebut interaksinya bertipe Holling.

Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk mengkaji ulang model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey. Dari model tersebut akan dianalisa kestabilan dari titik setimbang. Materi dalam penelitian ini bukanlah sesuatu yang baru karena diambil dari jurnal yang berjudul

“Role of additional food in eco-epidemiological system with disease in the prey” yang telah dikembangkan oleh Sahoo pada tahun 2015. Dalam

hal ini, analisis kestabilan titik setimbang digunakan untuk mengetahui peran penambahan makanan sebagai pengendalian penyakit pada prey.

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah penulis uraikan di atas, maka permasalahan yang akan diselesaikan dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana analisis kestabilan titik setimbang model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada

prey?

2. Bagaimana simulasi dan interpretasi dari model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada

prey ?

1.3 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah yang telah diuraikan di atas, tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Menganalisis kestabilan titik setimbang model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.

2. Mensimulasikan dan menginterpretasikan model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada

prey.

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

1.4 Manfaat

Beberapa manfaat yang bisa diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Memberikan kontribusi terhadap perkembangan ilmu pengetahuan khususnya di bidang pemodelan matematika yang terkait dengan bidang biologi terutama ekologi.

2. Memberikan gambaran kesetimbangan dari peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.

3. Dapat digunakan sebagai acuan untuk penelitian selanjutnya.

1.5 Asumsi

Asumsi dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Penyakit menyebar hanya diantara populasi prey dan tidak diwariskan secara genetik.

2. Mangsa yang rentan menjadi terinfeksi ketika bersentuhan dengan mangsa yang terinfeksi.

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas mengenai model matematika peran penambahan

makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey, oleh karena itu akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang mendukung pada pembahasan selanjutnya.

2.1 Eko-epidemiologi

Secara harfiah, epidemiologi berasal dari kata epi (permukaan di atas, menimpa), demo (orang, populasi, manusia), dan ologi (ilmu tentang) (Efendi dan

Majhfudli, 2009). Dengan demikian, istilah epidemiologi berarti ilmu yang

mempelajari tentang distribusi penyakit pada manusia, serta faktor-faktor resiko atau masalah kesehatan yang dapat menimbulkan terjadinya kesakitan pada sekelompok orang atau masyarakat. Menurut WHO pada Regional Commite Meeting ke-42 tahun 1989 di Bandung telah membuat definisi mengenai epidemiologi yaitu ilmu yang mempelajari distribusi dari peristiwa kesehatan dan peristiwa lainnya yang berhubungan dengan kesehatan yang menimpa sekelompok masyarakat, dan menerapkan ilmu tersebut untuk memecahkan masalah-masalah kesehatan (Chandra

2006). Dengan demikian, eko-epidemiologi adalah ilmu yang mempelajari tentang

penyebaran penyakit menular pada sebuah populasi dalam interaki di suatu lingkungan.

7 SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

2.2 Model Logistik

Teori pertumbuhan populasi dikemukakan pertama kali oleh Malthus pada tahun 1798. Malthus menuturkan bahwa petumbuhan populasi tumbuh secara eksponensial dan akhirnya melampaui produksi makanan. Pada 1883, teori ini disanggah oleh Verhulst. Verhulst menuturkan bahwa pertumbuhan populasi tidak naik secara eksponensial melainkan dibatasi oleh ukuran dan kesuburan dari daerah yang menjadi tempat tinggal dari populasi. Sebagai hasilnya populasi semakin mendekati ke keadaan tetap (steady state). Model seperti ini dinamakan model logistik yang dinyatakan dalam bentuk

= (2.3) 1 − , dengan

= ( ) adalah jumlah populasi pada saat , adalah laju pertumbuhan intrinsik, yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi. Dalam hal ini diasumsikan

> 0 karena setiap populasi memiliki potensi untuk berkembang biak, dan menyatakan kapasitas tampung yaitu ukuran maksimum dari suatu populasi yang dapat diokong oleh suatu lingkungan.

(Hofbauer dan Sigmund, 1998)

2.3 Model Predator-Prey Lotka Volterra

Model predator-prey Lotka-Volterra pertama kali diperkenalkan oleh Alfred J. Lotka pada tahun 1926. Model tersebut menggambarkan persaingan antara

predator dengan prey. Apabila tidak ada interaksi yang terjadi diantara prey dan

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

predator serta lingkungan tidak membatasi maka populasi prey akan meningkat tak

terbatas yang disebut dengan model pertumbuhan eksponensial. Akan tetapi, populasi

predator akan turun secara eksponensial tanpa adanya prey. Hal ini terjadi karena prey tersebut adalah makanan utama bagi pemangsa.

Misalkan = ( ) mewakili total populasi prey pada saat dan = ( ) mewakili total populasi predator pada saat

, maka model predator-prey Lotka Volterra dinyatakan dalam bentuk = (2.1)

− = (2.2)

− + , dengan adalah laju perubahan populasi prey , , , adalah konstanta positif, pada saat adalah laju perubahan populasi predator pada saat dan

. Parameter adalah laju pertumbuhan prey ketika tidak ada predator dan adalah laju penurunan dari predator ketika tidak ada prey, sedangkan

– adalah laju berkurangnya populasi prey saat berinteraksi dengan populasi predator dan adalah laju bertambahnya populasi predator saat berinteraksi dengan populasi prey.

(Bacaer, 2011)

2.4 Model Holling

Holling (1959) menurunkan model yang membatasi laju predator menangkap

prey atau laju predasi dari predator. Dalam model ini diasumsikan bahwa predator

menghabiskan waktunya untuk dua aktivitas yaitu:

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

1. Mencari prey 2.

Menangani prey yang terdiri dari: mengejar, memangsa, dan mencerna. Laju konsumsi predator dalam model ini dibatasi waktu. Hal ini terjadi karena saat jumlah prey berlimpah predator tidak perlu waktu untuk mencari, tetapi tetap menghabiskan waktu untuk menangani prey.

Total waktu adalah jumlah waktu yang dibutuhkan oleh predator untuk mencari dan menangani prey yakni

(2.4)

= ℎ dengan adalah waktu untuk mencari prey dan adalah waktu untuk menangani

ℎ

prey. Diasumsikan bahwa predator menangkap

prey selama waktu dengan > 0. Waktu untuk menangani prey sebanding dengan jumlah prey yang tertangkap

= (2.5) ℎ

ℎ ℎ adalah waktu untuk menangani satu prey.

Setelah menghabiskan untuk mencari, seekor predator menjelajah area sebanyak , dengan adalah konstanta positif, adalah populasi prey per unit area dan yaitu waktu menangkap prey, sehingga

(2.6) = dengan mensubstitusikan persamaan (2.4) dan (2.5) ke persamaan (2.6) diperoleh:

= − ℎ

⟺ = − ℎ ⟺ = − ℎ

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

11 ⟺ + ℎ =

⟺ 1 + ℎ = dari sini jumlah prey per satuan waktu atau laju predasi adalah = (2.7)

1+ ℎ

(Logan, 2006)

2.5 Sistem Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial didefinisikan sebagai persamaan yang mengandung satu atau lebih variabel dependen dan turunannya yang berhubungan satu atau lebih variabel independen (Zill dan Cullen, 2009). Model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey ini dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial nonlinier, karena adanya interaksi antar komponen. Secara umum sistem persamaan diferensial nonlinear sulit ditentukan secara analitik. Oleh karena itu, digunakan solusi khusus yang biasanya disebut titik setimbang, sehingga untuk mengetahui dinamika model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey dapat diketahui melalui solusi khusus model tersebut. Berikut ini diberikan beberapa definisi serta teorema yang berhubungan dengan titik setimbang pada sistem persamaan diferensial adalah sebagai berikut:

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

Definisi 2.1 Sebuah sistem persamaan diferensial linier dapat dinyatakan sebagai:

= (2.8) ( ) = ( ) dengan dinamakan vektor keadaan (state). Penyelesaian dari sistem (2.8)

∈ ℝ adalah = dengan

∞

2 = + +

⋯ + ⋯ =

2! ! !

=0 dan dinamakan nilai awal dari sistem.

(Bronson dan Costa, 2007) Definisi 2.2 Sebuah sistem persamaan diferensial orde satu dalam

persamaan dinamakan sebagai sistem autonomous jika sistem tersebut ditulis dalam bentuk

1 = ( , , )

1 2 … ,

2 = , ,

1 2 … , .

. .

= , , ,

1 2 … ,

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

13 dengan variabel t tidak muncul secara eksplisit di setiap persamaan diferensial. Jika variabel t muncul secara eksplisit pada persamaan diferensial maka dinamakan sistem

non-autonomous (Zill dan Cullen, 2009)

Definisi 2.3 Diberikan sistem persamaan diferensial autonomous,

( ). Titik dikatakan titik setimbang jika memenuhi = 0.

(Olsder, 2003)

2.6 Kestabilan Sistem Linier

Setelah didapatkan titik setimbang model, selanjutnya dilakukan analisis pada titik setimbang model, guna untuk mengetahui dinamika perilaku solusi disekitar titik setimbang. Solusi khusus disekitar titik setimbang akan diaproksimasi menggunakan garis linear (linearisasi) yang akan mewakili model dalam bentuk sistem persamaan diferensial linear menggunakan matriks jacobian. Nilai eigen dari matriks Jacobian digunakan untuk menganalisis kestabilan dari titik setimbang. Kestabilan tersebut bersifat lokal karena hanya berlaku disekitar titik setimbang. Berikut ini diberikan definisi maupun teorema yang berhubungan dengan linearisasi sistem persamaan diferensial dan kestabilan lokal pada titik setimbang.

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

2 …

2 … … ⋱ …

2 …

(Zill dan Cullen, 2009) Definisi 2.5 Jika

adalah matriks berukuran × , maka vektor tak nol di dalam ℝ dinamakan vektor eigen dari jika adalah kelipatan skalar dari , yaitu:

= skalar dinamakan nilai eigen dari dan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan

Matriks Jacobian dari sistem di atas adalah:

Definisi 2.4 Diberikan sistem persamaan diferensial autonomous sebagai berikut:

2 (

1 (

) =

1 (

1 ,

2 ,

… , )

) =

… ,

1 ,

2 ,

… , . . . (

) =

1 ,

2 ,

(Anton, 2005)

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

Teorema 2.6 Jika

adalah matriks berukuran × , maka pernyataan di bawah ini ekivalen satu sama lain: a. adalah nilai eigen dari .

Sistem persamaan − = 0 mempunyai solusi tak trivial.

c. maka ada vektor tak nol sehingga Untuk ∈ ℝ di dalam ℝ = .

d. adalah solusi dari persamaan karakteristik det − = 0.

(Anton, 2005) Definisi 2.7 Sistem

= ( ) dikatakan stabil asimtotis jika lim = 0

→∞ dengan dan 0 adalah titik

( ) penyelesaian dari sistem tersebut, ∈ ℝ setimbang dari = ( ).

(Zill and Cullen, 2009) Teorema 2.8 Sistem

= ( ) dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika semua nilai eigen dari , yakni mempunyai bagian real negatif dan dinotasikan

( sebagai ( )) < 0.

(Zill and Cullen, 2009)

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

2.7 Kriteria Routh-Hurwitz

Pada akhir 1800-an, A. Hurwitz dan E.J. Routh menerbitkan sebuah metode yang menyelidiki tentang stabilitas sistem yang disebut Kriteria Routh Hurwitz.

Metode ini dilakukan untuk menunjukkan tanda bagian rea negatif dari nilai eigen tanpa menghitung akar-akar persamaan karrakteristik secara langsung.

(Levine, 2000)

Diberikan peramaan karakteristik dengan derajat sebagai berikut: −1 −2

= 0, (2.9)

2 + ⋯ + −1 dengan koefisien adalah bagian real, dan

= 1,2,3, … , . Dari sini dapat dibentuk matriks , dengan adalah matriks Hurwitz yang berisi koefisien dari persamaan karakteristik (2.9) yang didefinisikan sebagai berikut:

1 1 ⋯

2 1 ⋯

2 ⋯

= ,

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

2 ⋯

−3 −4 −5 −6 −2

2 2 ⋯ −1 −2 −3 −4

, ≤ dengan = .

0 , >

Teorema 2.9 Akar-akar dari persamaan karakteristik (2.9) bernilai negatif atau

mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika semua determinan dari matriks

Hurwitz bernilai positif atau

det > 0, = 1,2, … , .

(Merkin, 1997)

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

17 Berikut ini akan diberikan contoh kriteria Routh-Hurwitz dengan derajat = 3. Untuk

= 3, bentuk persamaan karakteristiknya adalah:

= 0. +

(2.10)

3 Dari persamaan (2.10) maka dibentuk matriks Hurwitz sebagai berikut:

1 = = =

3 Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, akar-akar persamaan (2.10) mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika det

> 0. Dengan 1 > 0, det 2 > 0, dan det

3 demikian didapatkan kondisi sebagai berikut: i. det > 0.

1 = > 0 didapatkan

1 ii. det

> 0. Karena > 0 maka 2 > 0 didapatkan

1 =

2 > 0.

2 iii. ) = > 0.

1 ( 3 > 0 sehingga

2 3 −

3 Akibatnya ( ) > 0, dengan demikian didapatkan dua kondisi yaitu

3 −

a. > 0 dan

2 3 > 0 −

b. < 0 dan ( ) < 0

1 2 −

3 Untuk kondisi (b) tidak mungkin terjadi, sebab jika < 0 maka tidak mungkin

1 2 − 3 < 0. Dengan demikian akar-akar dari persamaan karakteristik (2.10) bernilai negatif atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika , , > 0 dan > 0.

1 2 −

3 SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

2.8 Bilangan Reproduksi Dasar

Bilangan reproduksi dasar, dinotasikan dengan , merupakan suatu ukuran ℛ potensi penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai harapan banyaknya populasi rentan yang menjadi terinfeksi selama masa infeksi berlangsung.

Kondisi yang timbul adalah: 1. < 1, maka satu individu yang terinfeksi akan menginfeksi kurang dari

Jika ℛ satu indvidu rentan sehingga penyakit akan hilang dari populasi.

2. > 1, maka satu individu terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu Jika ℛ individu rentan, sehingga penyakit akan bertahan dalam populasi. dalam skripsi ini ditentukan dari nilai eigen taknegatif dengan modulus

ℛ terbesar the next generation matriks. Matriks ini merupakan suatu matriks yang konstruksi dari sub-subpopulasi yang menyebabkan infeksi saja. Untuk model umum dapat ditulis sebagai berikut:

= ℱ

, − , , = 1,2, … , =

, , = 1,2, … , maka sistem persamaan diferensial taklinear dapat ditulis sebagai = , ∈ ℝ berikut:

= ( − ) dengan F dan V adalah matriks-matriks berukuran × serta

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

19 (0, );

= 0, = (0,b ) adalah titik tetap tanpa penyakit.

The next generatiom matriks K untuk suatu sistem persamaan diferensial pada

titik tetap tanpa penyakit terbentuk

-1

K=MD

−1 Nilai eigen taknegatif dengan modulus terbesar matriks K, yaitu ),

( yang nantinya dapat digunakan sebagai nilai , sehingga dapat ditulis ℛ

−1 = ).

( ℜ

(Driessche dan Watmough, 2002)

SKRIPSI ANALISIS MODEL MATEMATIKA ... FAIDAH ALIMATUL FITRIAH

BAB III METODOLOGI PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1. Melakukan studi literatur melalui buku referensi, jurnal maupun artikel yang berkaitan dengan model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.

2. Mengkaji model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko- epidemiologi dengan penyakit pada prey.

3. Menganalisis kestabilan model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey, dengan langkah- langkah sebagai berikut: a.

Menentukan titik setimbang dari model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.

Menganalisis kestabilan lokal dengan langkah-langkah sebagai berikut: i. Linearisasi model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey dengan menggunakan matriks Jacobian. ii. Menentukan sifat kestabilan dari titik setimbang yang telah diperoleh dari model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.

4. Melakukan simulasi numerik dari model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey dengan menggunakan software pemrograman yaitu MATLAB atau MAPLE.

5. Melakukan interpretasi dari model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey.

6. Menarik kesimpulan dari model matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey berdasarkan langkah pertama hingga langkah terakhir.

BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini dibahas mengenai analisis kestabilan dan simulasi model

matematika peran penambahan makanan dalam sistem eko-epidemiologi dengan penyakit pada prey. Pertama kali model dianalisis kestabilan dari titik setimbang yang telah diperoleh. Selanjutnya model tersebut disimulasikan ke dalam sebuah program MATLAB R2009a untuk mengetahui pengaruh prey dan penambahan makanan pada predator.

4.1 Analisis Model Matematika Peran Penambahan Makanan dalam

Sistem Eko-Epidemiologi dengan Penyakit pada Prey

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PERAN PENAMBAHAN MAKANAN DALAM SISTEM EKO-EPIDEMIOLOGI DENGAN PENYAKIT PADA