ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA TRANSMISI PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN VAKSINASI SKRIPSI

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya, sehingga skripsi yang berjudul “ Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika Transmisi Penyakit Demam Berdarah Dengan Vaksinasi” ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus suri tauladan yang paling baik bagi kehidupan umat manusia.

Ucapan terima kasih disampaikan kepada :

1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menuntut ilmu.

2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidkan dan

Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM).

3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

4. Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si selaku Koordinator Program Studi S1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

5. Dr. Windarto, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan masukan inspirasi dalam perkuliahan dan selaku dosen pembimbing II yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat.

6. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat.

7. Ahmadin S.Si, M.Si dan Dra. Hj. Utami Dyah Purwati, M.Si selaku dosen

penguji yang telah memberikan koreksi dan masukan demi perbaikan skripsi ini.

8. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, lebih khususnya di Departemen

Matematika yang telah menyampaikan ilmunya tanpa pamrih dan tak kenal lelah.

9. Yang tercinta kedua orang tua saya Suwito dan Rulli Variah serta kakak- kakak tercinta Ari Fardian Purwono dan Vita Vardian Dwiyanti yang selalu memberikan dukungan, semangat, doa dan kasih sayangnya.

10. Cendy Agustin Yudhistias yang sudah memberikan doa, dukungan dan semangat selama ini.

11. Aji, Annisa, Artha, Dewi Ika, Faul, Gagan, Putri, Rezki Pradipta, Rizki Azizia, Rokhana, Selva, Suci, Tuhfa dan Tyas yang merupakan teman seperjuangan dalam menyelesaikan skripsi.

12. Adi, Ajeng, Alfian, Baim, Cakra, Dewi, Ellyza, Fandi, Firdha, Ghanda, Rizki Fajar, Reza, Rima, Robert, Sri, Tiar, Tito, dan Ubaid yang telah mengajarkan arti sahabat selama ini.

13. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika angkatan 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini.

14. Semua pihak ysng tidak dapat Penyusun sebutkan seluruhnya yang telah membantu dalam penyusunan skripsi.

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, kemungkinan masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk penulisan berikutnya.

Surabaya, Januari 2016 Ibnu Adzan Trianto Ibnu Adzan Trianto, 2016, Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika Transmisi Penyakit Demam Berdarah dengan Vaksinasi.

Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si. dan Dr. Windarto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

ABSTRAK

Demam Berdarah Dengue (DBD) adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dengue yang ditularkan oleh spesies nyamuk betina Aedes aegypti dan Aedes

Albopictus. Penyakit ini dapat menyebabkan kematian jika tidak ditangani secara

serius. Penyakit ini dapat dicegah dengan cara pemberian vaksin yang dinamakan

Chimeric Yellow Fever 17D-Tetravalent Dengue Vaccine (CYD-TDV).

Dalam skripsi ini dilakukan analisis model matematika transmisi penyakit DBD tanpa pengontrol, dan dengan penentuan pengontrol berupa vaksinasi untuk mengeliminasi penyebaran penyakit DBD. Untuk model tanpa pengontrol diperoleh tiga titik setimbang. Titik setimbang pertama yaitu titik setimbang non yang stabil asimtotis jika memenuhi kreteria tertentu. Titik setimbang endemik

, dari titik setimbang tersebut didapatkan non endemik yang kedua adalah ¹ ) yang merupakan tolak ukur terjadinya besaran Basic Reproduction Ratio ( endemik penyakit DBD. Titik setimbang tersebut stabil asimtotis jika syarat

< 1 . Titik setimbang yang terakhir eksistensi titik tersebut terpenuhi dan

> 1 . Untuk model adalah titik setimbang endemik ^{2 yang stabil asimtotis jika} transmisi DBD dengan variabel pengontrol, ditentukan syarat cukup untuk eksistensi kontrol optimal dari pengontrol yang berupa vaksinasi dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Selanjutnya dilakukan simulasi numerik untuk mengkaji efek pemberian pengontrol. Dari hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa pemberian kontrol cukup efektif untuk meminimalkan jumlah populasi yang terinfeksi virus dengue dengan biaya minimal.

Kata Kunci : Model Matematika, DBD, Vaksinasi, Kestabilan, Kontrol Optimal. Ibnu Adzan Trianto, 2016, Analysis and Optimal Control of Mathematic Model of the Trans mission of Dengue disease Using Vaccination.

This thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Windarto, M.Si. Mathematic Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya.

ABSTRACT

Dengue is a disease caused by dengue virus it transmitted by the female mosquitos species, namely Aedes aegypti and Aedes Albopictus. This disease causes death if not treated seriously. The disease can be prevented by vaccine, called Chimeric Yellow Fever 17D-Tetravalent Dengue Vaccine (CYD-TDV).

In this thesis, analyzes a mathematic model of dengue transmission without controller and determine the controller such as vaccination to eliminate of dengue disease spreading. For a model without controller there are three equilibria

, it is in the model. The first one is disease free equilibrium point asymptotically stable if it fulfills some certain criterias. The second one is disease _{1 , from those equilibrium points, also obtained amount of} free equilibrium point

) which is a meassure endemic of dengue disease Basic Reproduction Ratio ( happened. It is asymptotically stable if the existence conditions is obtained and _{< 1} _{2 that is}

. The last equilibrium point is endemic equilibrium point _{> 1} . For mathematic model of dengue with controller asymptotically stable if variable, is determined by specific conditions existence of optimal control from controller u vaccination by using Pontryagin Maximum Principle. Then, the thing which has to do is numerical simulation to examinate the effect of giving controller. From the result of numerical simulation shows that giving a controller is effective for minimizing amount of the infected dengue disease of human population with minimal cost.

Keywords

: Mathematic model, Dengue, Vaccination, Stability, Optimal Control

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR JUDUL............................................................................................ i LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................. ii LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI ............................................ iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI........................................ iv SURAT PERNYATAAN TENTANG ORSINALITAS..................... ............ v KATA PENGANTAR...................................................................................... vi ABSTRAK ....................................................................................................... ix ABSTRACT ..................................................................................................... x DAFTAR ISI.. .................................................................................................. xi DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiii DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiv DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1

1.1. Latar Belakang.............................................................................. 1

1.2. Rumusan Masalah ........................................................................ 3

1.3. Tujuan........................................................................................... 3

1.4. Manfaat........................................................................................ 3

1.5. Batasan Masalah.......................................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA..................................................................... 5

2.1. Demam Berdarah Dengue (DBD) ................................................ 5

2.1.1. Definisi DBD. .................................................................. 5

2.1.2. Proses Penularan DBD..................................................... 6

2.1.3. Cara Pencegahan DBD..................................................... 8

2.2. Sistem Persamaan Differensial..................................................... 10

2.3. Sistem Autonomus ...................................................................... 11 )

............................................... 12

2.4. Basic Reproduction Number (

2.5. Kestabilan Asimtotis Lokal ......................................................... 14

2.5.1. Linierisasi......................................................................... 14

2.5.2. Akar-akar persamaan karakteristik. ................................. 15

2.6. Kriteria Routh-Hurwitz .............................................................. 16

2.7. Masalah Kontrol Optimal ............................................................ 19

2.8. Prinsip Maksimum Pontryagin.................................................... 19

BAB III METODOLOGI PENELITIAN........................................................ 22 BAB IV PEMBAHASAN ............................................................................... 24

4.1. Model Matematika Transmisi Penyakit DBD tanpa Kontrol Optimal........................................................................................ 24

4.1.1. Titik Setimbang Model .................................................... 28

4.1.2. Analisa Kestabilan Asimtotis Lokal ................................ 33

4.2. Model Matematika Transmisi Penyakit DBD dengan Kontrol Optimal........................................................................................ 40

BAB V PENUTUP.......................................................................................... 51

5.1 Kesimpulan................................................................................... 51

5.2 Saran ............................................................................................. 53 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 54

DAFTAR TABEL Nomor Judul Tabel Halaman

4.1 Keterangan parameter-parameter yang digunakan pada model matematika transmisi penyakit DBD

4.2 Nilai awal untuk bidang fase

4.3 Nilai parameter model matematika transmisi penyakit DBD

4.4 Keterangan parameter-parameter tambahan pada model matematika transmisi penyakit DBD dengan kontrol optimal

4.5 Perbandingan jumlah populasi manusia terinfeksi pada waktu akhir pengamatan

4.6 Perbandingan jumlah populasi manusia sembuh pada waktu akhir pengamatan

4.7 Perbandingan jumlah populasi nyamuk terinfeksi pada waktu akhir pengamatan

DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Gambar Halaman

4.1 Diagram transmisi penyakit DBD tanpa kontrol vaksinasi

26 (

4.2 Grafik bidang fase populasi manusia rentan ) terhadap

ℎ

( populasi manusia terinfeksi ) pada model matematika

39 transmisi penyakit DBD untuk titik setimbang ² )

4.3

47 Dinamika populasi manusia terinfeksi penyakit DBD (

ℎ

)

4.4

48 Dinamika populasi manusia sembuh dari DBD (

ℎ

)

4.5

49 Dinamika populasi nyamuk terinfeksi virus dengue (

4.6

50 Grafik kontrol

ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA TRANSMISI PENYAKIT DEMAM BERDARAH DENGAN VAKSINASI SKRIPSI