63 stok1

Didownload dari www.ririez.blog.uns.ac.id
6.3 PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN

Penjelasan dari proses-proses kelahiran murni dan kematian murni telah diskusikan pada
bagian 6.1 dan 6.2 bahwa X(t) memungkinkan untuk naik ataupun turun. Jadi, apabila pada
saat waktu t, proses berada pada state n , setelah bergerak secara acak, bergerak ke state
terdekat lainnya n+1 atau n-1. Hasil dari proses kelahiran dan kematian dapat dianggap sebagai
analogi waktu kontinu dari sebuah random walk ( bagian 3.53)
proses kelahiran dan kematian merupakan cara yang baik dari permodelan ststistik, ragam
model parameter proses kelahiran dan kematian pemodelan adalah sebuah variasi fenomena.
pada waktu yang sama metode standar dari analisis berlaku untuk menentukan jumlah
( kuantitas ) seperti distribusi stasioner dan mean ( rata-rata ). Pada Bagian ini berisi beberapa
contoh dari proses kelahiran dan kematian dan ilustrasi bagaimana keduanya digunakan untuk
menggambarkan kesimpulan tentang fenomena yang bervariasi.
6.3.1 Dalil
seperti pada kasus proses kelahiran murni, diasumsikan bahwa X(t) adalah sebuah proses
Markov pada state 0,1,2,... dan dengan probabilitas transisinya Pij(t) sebagai berikut :
Pij(t) = Pr { X(t+s)=j| X(s)=i } untuk semua s ≥ 0
Diasumsikan bahwa Pij(t) sebagai berikut :
1. Pi,i+1(h) = ih + o(h) dengan
2. Pi, i-1(h) = ih + o(h) dengan

3. Pii(h) = 1 – (

h + o(h) dengan

4.
5.

dengan i= 0,1, ,,,

o(h) di setiap kasus bergantung pada i, matriksnya sebagai berikut :

A=

disebut INFINITESIMAL GENERATOR dari prosesnya.
Parameter

dan

disebut infinitesimal kelahiran dan infinitesimal kematian. Pada postulates

1 dan 2 diasumsikan bahwa apabila proses berawal di state

, kemudian pada interval waktu

Didownload dari www.ririez.blog.uns.ac.id
yang kecil probabilitas dari populasi meningkat / menurun oleh 1 yang merupakan proporsional
esensi untuk panjang interval.
adalah probabilitas, dipunyai Pij ( t ) ≥0

Selama
Dan

!

"
#

.........................................(6.18)

Menggunakan sifat proses Markov, didapatkan turunannya, disebut persamaan ChapmanKolmogorov

$

"
%#

&

%

%

$

..……………..(6.19)

Pada persamaan tersebut state bergerak dari state

bergerak melalui state ( pada waktu
waktu kontinu dari formula. (3.11)

dan dari ( ke

ke state

pada saat waktu t $ , '

pada waktu $. Ini merupakan analog

Sejauh ini kita baru bisa menyebutkan probabilitas transisi
probabilitas '

) , kita harus menspesifikasikan dimana proses itu berawal atau secara

umum distribusi probabailitas untuk state inisial, diperoleh:
*+,'

. Untuk mendapatkan

)-

∞
#

.

Dimana .

/

0 ,'

-

Dengan asumsi sebelumnya, kita bisa menghitung distribusi variabel random '
6.3.2 Waktu Singgah

dalam state i

dengan 1 adalahwaktu singgah; jika prosesnya dalam state i, berapa distribusi waktu singgah
( 1 ) pertama kali sampai prosenya meninggalkan state i? Jika kita anggap

0 ,1

-

2

probabilitas di mana waktu antar kedatangan selanjutnya (waktu tunggu ) ≥ suatu waktu tertentu
3

5 {postulat 3}

Jika kita menyesuaikan ini dengan sifat Markov bahwa h ↓ 0
2

2

2

3!

atau

maka 2 ′

2

2

5

4

67 89: ;67 8

<

jika digunakan 2

:

2

=2

4

<

4

=2

4 !

! solusi dari persamaan ini adalah

Didownload dari www.ririez.blog.uns.ac.id

Contohnya , 1 mengikuti

2

>? @ <

= A

distribusi exponensial dengan mean <

=

;

. Bukti yang

ditunjukan tersebut tidak cukup lengkap karena kita harus menggunakan hubungan intuitif

tanpa pembuktian yang formal.

4

2

Menurut postulates 1 dan 2 ,selama durasi waktu sepanjang h, sebuah transisi terjadi dari state i
ke i+1 dengan probabilitas

4

4

dan dari state i ke i-1 dengan probabilitas

.

Ini disesuaikan berdasarkan intuisi bahwa, jika sebuah transisi ini terjadi pada waktu t,
probabilitas yang ditetapkan transisi ini untuk state i+1 adalah
adlh

B<

=.

bagaimanapun, didalam deskripsi gerakan '

Hal itu membawa kita pada sifat proses penting dari

waktu singgahnya mengikuti

B<

= dan untuk state i-1

proses kelahiran dan kematian,

mengikuti : proses singgah pada state i selama

distribusi exponensial dengan parameter <

meninggalkan state i proses memasuki

salah satu dari state i+1 dengan probabilitas

atau memasuki state i-1 dengan probabilitas

B<

pada pada saat periode waktu yang sudah pasti/ditentukan.

parameter kelahiran dan kematian ,

= . Ketika
B<

=. Pergerakannya random kecuali

-. Dan membangun stukturnya dengan memanfaatkan

Prosedur sederhana untuk mengkonstruksi proses kelahiran dan kematian adalah menentukan

deskripsi sebelumnya tentang waktu tunggu dan probabilitas transsisi bersarat dari berbagai
state. Kita tentukan proses realisasi sebagai berikut. Andaikan X(0)=I ;partikel acak variable
random, berdistribusi eksponensial dengan parameter

probabilitas

B

, dari state i perpindah dengan

untuk state (i+1) dan dengan probabilitas

B

untuk state (i-

1). Selanjutnya partikel berpindah secara acak ke state lain, dan seterusnya. Untuk lebih
jelasnya diamati nilai t1 dari distribusi eksponensial dengan parameter
perpindahan di state i. Dilemparkan sebuah koin dengan probabilitas kepala

adalah waktu
B

.

Didownload dari www.ririez.blog.uns.ac.id
Jika kepala (ekor)yang didapat kita pindah partikel ke state i+1(i-1). Di state i+1 kita observasi
nilai t2 dari distribusi eksonensial dengan parameter
9

9

,itu merupakan waktu perpindahan yang diperbaiki di state ke dua yang

dikunjungi. Jika partikel di trasisi pertama masuk state i-1, waktu perpindahan selanjutnya
adalah t2 yang merupakan observasi dari distribusi eksponensial dengan parameter
;

;

. Setelah itu percobaan Berbouli dilakukan untuk memilih state selanjutnya yang akan

disinggahi, dan proses berlangsung pada cara yang sama.
Hasil dari penghitungan prosedur perhitungan sampling proses realisari, bentuknya sebagai
berikut

C C

!

X(t)=

C C

C C

..

Dengn mengambil sampel

dari distribusi eksponensial dan bernouli. Kita akan

mengkontuksikan contoh dari prosesnya. Hasil ini mungkin lebih baik dan akan dibahas pada
buku senlanjutnya. Proses yang diperoleh pada cara ini dinamakan proses asosiasi minimal
dengan perhitungan matix A dalam (6.17).
postulat 1 sampai 5 dari sub 6.3.1. Faktanya ada beberapa proses markov yang prosesnya
sama dengan pembangkinya yang sangat kecil. Untungnya tak muncul komplikasi dalam model
penomena umum. Pada kasus khusus proses kelahiran dan kematian untuk
cukup bahwa ada proses markov dengan fungsi probabilitas transisi

, kondisi

untuk relasi yang

kecil (6.18) dan (6.19)
"
/# D F
E E

Dimana

/
%#

G%

(6.21)

∞
G

!

G/

/;
/

)

!HI

&

Pada beberpa contoh kondisi proses kelahiran dan kematian (6.21) memenuhi asosiasi proses
kalahiran dan kematian dengan parameter nya ditentukan secara unik.

Didownload dari www.ririez.blog.uns.ac.id
6.3.3. Persamaan diferensial proses kematian dan kelahiran
Seperti pada kasus proses kelahiran dan kematian murni probabilitas transisi

(t) cukup

pada sistem persamaan turunan diketahui sebagai batas bawah persamaan turunan Kolmograf.
Diberikan:
′ (t)=
′

;

ij(t)=

J

(t)+

(t)

(t) - ( +

Dan batasan

9

(t)+

(0)=

і ≥1

(t),

Dari persamaan (6.19), diperoleh :
K
∞

(L

K

%

!

%

Maka

Perpindahan

%#

;

%

%

;

9

9

!. Menggunakan postulates 1,2,3 dari bab 6.3.1
%

K

=1 @

%

%

;

= 1 3!
=4

3!

;

4

A

9

′
%

%

4

%

4

5

9

5
4

(t) ruas kiri dan kanan dibagi oleh persamaan h ,kita dapatkan setelah

′

;

9

Persamaan batas bawah berada pada interval (0,t+h), dimana h positif dan kecil, pada 2 periode

Dan pengujian transisi pada masing-masing periode pada persamaan ini didapatkan batas
bawah adalah hasil dari “first step analysis” first step analysis berakhir lebih cepat pada interval
di h.

Didownload dari www.ririez.blog.uns.ac.id
Perbedaan hasil dari “first step analysis” dari penggabungan waktu interval

pada

periode 2.

Dan berdasarka hasil dari kondisi yg kuat,kita dapat dapat menentukan persamaan diferensial
selanjutnya

;

0

2

1

j+1

j

j-1

……..

...

.
9
′
′

J

;

J

J

;

=

<

9

Dengan kondisi inisial yang sama

9

j≥1

(6.24)

yang diketahui sebagai batas

persamaan

diferensial Kolmograv. Untuk mendapatkan persamaan tersebut kita ganti t dan h pada
persamaan (6.23) dengan diasumsikan pada penambahan postulat 1,2&3 dapat ditunjukan
bahwa bentuk akhirnya

0(h). Mengingat pernyataan yang sama sebelumnya akan lebih

bermanfaat pada persamaan diferensial .
Kondisi cukup (6.24) adalah @

%

AB

! untuk kLj, j-1, j+1 dimana

! cenderung

mendekati nol dengan semua batasnya sama dengan k untuk j tertentu sebagaimana h->0. dalam
kasus ini kita dapat membuktikan persamaaan

…

′
%

%

%

4

.

CONTOH
Proses Pertumbuhan linier dengan Imigrasi, kelahiran dan kematian yang disebut proses
pertumbuhan linier jika λn = λn + a dan µ n = µn dengan λ > 0, µ > 0, dan a > 0. proses tersebut

Didownload dari www.ririez.blog.uns.ac.id
terjadi secara alami dalam studi reproduksi biologi dan pertumbuhan penduduk. Jika n state
menggambarkan ukuran populasi saat ini, maka tingkat rata-rata seketika pertumbuhan λn + a.
Demikian pula, probabilitas state dari proses penurunan oleh satu setelah berlalu dari h durasi
waktu kecil µnh + o(h). λn merupakan faktor pertumbuhan alami penduduk karena ukuran saat
ini sedangkan faktor kedua mungkin ditafsirkan sebagai tingkat yang sangat kecil kenaikan
penduduk karena sumber eksternal seperti imigrasi. Komponen n yang memberikan tingkat
kematian rata-rata sangat kecil dari populasi ini memiliki interpretasi yang jelas.
Jika kita pengganti nilai-nilai di atas λn ¬ dan

n dalam (6.24) kita memperoleh

P'i0(t) = – aPi0(t) + µPi1(t),
P'ij(t) = [ λ( j – 1) + a ] Pi, j – 1(t) – [(λ + µ)j + a] Pij(t)
+ µ(j + 1) Pi,j+1(t),

j≥1

Sekarang jika kita kalikan persamaan j dengan j dan jumlah, berarti nilai yang diharapkan

M3'

5

"

N

K
#

memenuhi persamaan diferensial
M '(t) = a + (λ – µ) M (t)

dengan M kondisi awal M(0)=i, if X (0) = i.
Solusi persamaan ini adalah M (t) = at + i

if λ = µ,

dan
M (t) =

{

– l} + i

if λ ≠ µ.

(6.25)

Saat kedua atau mungkin varians dihitung dengan cara yang sama. Sangat menarik untuk dicatat
bahwa M (t) → ∞ as t → ∞ if λ ≥ µ, jika λ < µ, sedangkan jika λ < ukuran populasi mean
untuk t besar adalah sekitar

Didownload dari www.ririez.blog.uns.ac.id
Hasil ini menunjukkan bahwa dalam kasus kedua, dimana pada λ < , populasi stabil dalam
jangka panjang dalam beberapa bentuk keseimbangan statistik. Memang dapat ditunjukkan
bahwa distribusi probabilitas membatasi {πj} ada yang limt→∞ Pij(t) = πj, j = 0, 1, ..... membatasi
distribusi tersebut untuk kelahiran umum dan proses kematian adalah subyek dari bagian
berikutnya.

1. Sebuah proses kelahiran dan kematian hanya dapat memiliki banya finitely state .

Sebagai contoh sederhana, pertimbangkan kelahiran kedua state dan proses kematian
dengan
λ0 = λ,

1

= , dan λ1 =

0

= 0. Tentukan Pij (t) dengan memecahkan persamaan (6,24).

Catatan: P01 (t) = 1 – P00 (t).
JAWAB: