MAKALAH TEORI GRAF KEL 3 jadi
TUGAS MATA KULIAH TEORI GRAF
PEMBUKTIAN DELETION-CONTRACTION THEOREM SERTA
PENERAPANNYA DALAM PEMBUATAN JADWAL UJIAN AKHIR
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
Disusun oleh:
1.
Wigati P. Putri
07305141038
2.
Ratnasari Dwi Ambarwati
10305141004
3.
Meita Putri Rahayu
10305141005
4.
Dwi Prihastuti
10305141020
5.
Amalia Sita Nursanti
10305141038
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2012
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika memiliki beberapa pokok bahasan, salah satunya adalah graf. Wilson
& Watkins (1990: 10) menyatakan, graf terdiri dari himpunan tak kosong dari
elemen-elemen yang disebut simpul dan daftar pasangan tak berurutan dari elemenelemen tersebut yang dinamakan rusuk. Graf biasa digunakan sebagai visualisasi
obyek-obyek agar lebih mudah dimengerti. Contoh graf dalam kehidupan sehari-hari
antara lain: struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian
listrik, dan lain-lain.
Graf merupakan salah satu cabang ilmu Matematika yang dapat diterapkan baik
dalam Ilmu Matematika maupun dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu topik pada
graf adalah pewarnaan graf. Pewarnaan graf dibagi menjadi dua macam, yaitu
pewarnaan simpul dan pewarnaan rusuk. Akan tetapi, jika tidak diberikan
kualifikasinya, pewarnaan graf diartikan sebagai pewarnaan simpul dan pada makalah
ini dikhususkan pada pewarnaan simpul. Mewarnai sebuah graf berarti memberi
warna pada setiap simpul graf sedemikian hingga simpul dan rusuk yang berkaitan
dapat diwarnai dengan warna yang berbeda.
Misalkan G adalah graf tanpa loop, banyaknya warna yang digunakan untuk
mewarnai simpul graf G sedemikian sehingga simpul yang berikatan berlainan warna
dinyatakan dengan k-pewarnaan. Jika G memiliki k-pewarnaan, maka G dikatakan
dapat diwarna dengan k warna. Pada pewarnaan simpul, jumlah warna yang boleh
dipergunakan haruslah seminimal mungkin. Jumlah warna paling minimum yang
dapat diterapkan pada Graph ini sering disebut dengan angka kromatik (χ(G)).
Salah satu metode yang digunakan untuk mewarnai graf adalah dengan menggunakan
polinomial khromatik.
Pewarnaan graf dapat diaplikasikan pada berbagai permasalahan sehari-hari,
misalnya penentuan jadwal ujian. Jadwal ujian ditentukan sedemikian sehingga tidak
ada mahasiswa yang memiliki dua mata kuliah yang diujikan pada waktu bersamaan.
Contoh lainnya adalah saluran televisi ditentukan ke pemancar-pemancar, sedemikian
sehingga tidak ada dua pemancar dapat beroperasi pada saluran yang sama dalam
jarak tertentu.
Makalah ini, membahas tentang penerapan pewarnaan simpul dalam penjadwalan
ujian dengan metode deletion-contraction theorem. Dalam masalah penjadwalan yang
dinyatakan dalam bentuk graf, simpul menyatakan mata kuliah dalam jadwal. Rusuk
antar dua buah simpul menyatakan bahwa kedua buah mata kuliah tidak dapat
dikerjakan secara bersamaan. Warna menunjukkan waktu yang tersedia. Setiap mata
kuliah membutuhkan satu waktu. Jadi dapat dituliskan: simpul v menerima mata
kuliah i jika dan hanya jika v dieksekusi dalam waktu i. Sehingga graf k-warna
berarti semua mata kuliah dapat dikerjakan dalam k waktu secara tidak bersamaan.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana pembuktian Deletion-Contraction Theorem?
2. Bagaimana cara menentukan banyaknya bilangan kromatik
pada
suatu
graf
dengan
metode
Deletion-Contraction
Theorem?
3. Bagaimana
penerapan
pewarnaan
simpul
pada
kasus
penjadwalan ujian kuliah dengan metode Deletion-Contraction
Theorem?
C. Tujuan
1. Membuktikan Deletion-Contraction Theorem.
2. Menentukan banyaknya bilangan kromatik pada suatu graf
dengan metode Deletion-Contraction Theorem.
3. Menyelesaikan kasus penjadwalan ujian kuliah dengan metode
Deletion-Contraction Theorem.
D. Manfaat
Hasil penelitian ini bermanfaat sebagai tambahan literatur bagi
mahasiswa yang sedang mempelajari mengenai pewarnaan simpul,
khususnya bilangan kromatik dengan metode
Deletion-Contraction
Theorem serta contoh penerapannya.
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Pengertian Graf
Graf adalah himpunan tak kosong yang terdiri dari himpunan simpul dan
himpunan rusuk dengan himpunan simpul bukan merupakan himpunan kosong.
Himpunan simpul dari G dinotasikan dengan V (G) dan himpunan
rusuk dari G dinotasikan dengan E(G). Notasi graf: G(V, E) artinya
graf G memiliki V simpul dan E rusuk.
Simpul-simpul pada graf dapat merupakan obyek sembarang
seperti kota, nama orang, jenis buah, komponen alat elektronik dan
sebagainya. Rusuk dapat menunjukkan hubungan sembarang seperti
rute penerbangan, jalan raya, sambungan telepon, ikatan kimia, dan
lain-lain.
B. Pewarnaan Graf
Pewarnaan graf terbagi menjadi dua macam yaitu pewarnaan simpul dan
pewarnaan rusuk.
1.
Pewarnaan simpul didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan G adalah graf tanpa loop, k-pewarnaan untuk G menyatakan
penggunaan sebanyak k-warna untuk simpul G sedemikian hingga simpil-simpul
yang berikatan mendapat warna yang berbeda. Jika G memiliki k-pewarnaan, maka
G dikatakan dapat diwarnai dengan k-warna (Wilson dan Watkins, 1989: 235).
Berikut adalah contoh pewarnaan simpul pada graf G .
Gambar 1. Pewarnaan Simpul pada Graf G
Gambar 1 (a), (b), dan (c) secara berturut-turut adalah 3-pewarnaan, 4pewarnaan, dan 5-pewarnaan dari graf
G . Gambar 1 (d) bukan merupakan
pewarnaan simpul dari graf G , karena terdapat dua simpul berikatan yang memiliki
warna sama.
2. Pewarnaan rusuk didefinisikan sebagai berikut :
Misal G adalah graf tanpa loop, k-pewarnaan rusuk untuk G adalah pemberian
sebanyak k warna pada rusuk-rusuk G sedemikian hingga setiap dua rusuk yang
bertemu dengan simpul yang sama mendapat warna berbeda. Jika G memiliki kpewarnaan rusuk, maka rusuk graf G dikatakan dapat diwarnai dengan k warna
(Wilson dan Watkins, 1989: 240).
Berikut adalah contoh pewarnaan rusuk pada graf G .
Gambar 2. Pewarnaan Rusuk pada Graf G
Gambar 2 (a), (b), dan (c) secara berturut-turut adalah 4-pewarnaan rusuk, 5pewarnaan rusuk, dan 6-pewarnaan rusuk dari graf G . Gambar 2 (d) bukan
merupakan pewarnaan rusuk dari graf G , karena terdapat dua rusuk berwarna sama
yang bertemu pada simpul yang sama.
BAB III
PEMBAHASAN
A. Pewarnaan Simpul
Misalkan G adalah graf tanpa loop, k-pewarnaan untuk G menyatakan
penggunaan sebanyak k-warna untuk simpul G sedemikian hingga simpul-simpul
yang berikatan mendapat warna yang berbeda. Jika G memiliki k-pewarnaan, maka
G dikatakan dapat diwarnai dengan k-warna (Wilson dan Watkins, 1989: 235).
Pewarnaan graf dapat dilakukan dengan menggunakan Algoritma Welsh dan
Powell. Algoritma ini memberikan cara mewarnai sebuah graph dengan memberi
label simpul-simpulnya sesuai dengan derajatnya. Langkah-langkahnya sebagai
berikut:
Langkah 1 (melabel simpul dengan derajatnya). Label simpul V1, V2, ..., Vn
sedemikian hingga derajat (V1) > derajat (V2) > ... > derajat (Vn).
Langkah 2 (warnai simpul belum berwarna pertama dari simpul-simpul belum
berwarna yang berdekatan dengan simpul itu). Berikan warna yang belum digunakan
pada simpul belum berwarna yang pertama pada daftar simpul itu. Lakukan hal itu
pada semua simpul dalam daftar secara terurut, berikan warna baru ini pada setiap
simpul yang tidak berdekatan dengan setiap simpul lain yang telah diwarnai ini.
Langkah 3 (graphnya telah diwarnai?). Jika beberapa simpulnya belum berwarna,
maka kembalilah ke langkah 2.
Langkah 4 (selesai). Pewarnaan graph telah dilakukan.
B. Polinomial Khromatik
Misal G merupakan graf sederhana, dan PG ( k ) adalah banyak cara mewarnai
simpul G dengan k warna sedemikian hingga tidak ada dua simpul yang berikatan
mendapat warna sama. Fungsi PG ( k ) disebut polinomial khromatik G atau suku
banyak khromatik G .
Contoh berikut dapat menjelaskan mengapa banyak pewarnaan-k dari G harus
menjadi polinomial dalam k .
Contoh 1
Gambar 3. Polinomial Khromatik pada Graf K 3
K 3 adalah graf lengkap-3. Simpul puncak K 3dapat diberi warna sembarang dari
k warna tersebut. Simpul di sebelah kirinya dapat diberi warna sembarang dari (k-1)
warna yang belum diberikan pada simpul puncak. Simpul di sebelah kanan simpul
puncak dapat diberi warna sembarang dari (k-2) warna yang belum terpakai.
Sehingga, banyak cara mewarnai K 3 adalah k ( k −1 ) ( k−2 )atau P K ( k ) =k ( k−1 ) (k −2)
3
(Wilson dan Watkins, 1989: 237, 238).
Contoh 2
k
k-1
k-1
Gambar 4. Polinomial Khromatik pada Graf P3
Jika G adalah lintasan graf P3 simpul paling kiri dapat diwarnai dengan sebanyak
k-warna, simpul tengah dapat diwarnai dengan k-1 warna selain warna yang
diberikan pada simpul kiri, dan simpul kanan dapat diwarnai dengan k-1 warna yang
2
sama dengan simpul tengah. Sehingga, banyak cara mewarnai P3 adalah k ( k −1 ) atau
P P ( k )=k ( k −1 ) 2
3
Berdasarkan contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa:
n −1
Jika G adalah pohon dengan n-simpul, maka PG ( k ) =k ( k −1 )
Dari kesimpulan tersebut, didapat bahwa Graf non-isomorfis mempunyai
polinomial kromatik yang sama.
Jika polinomial khromatik diketahui, maka bilangan khromatik suatu graf dapat
dihitung dengan mudah, karena bilangan khromatik graf G adalah bilangan bulat
positif terkecil k yang memenuhi PG ( k ) >0.
Jika cara untuk menentukan polinomial kromatiknya sudah ditemukan, maka
dapat diturunkan sebuah algoritma untuk menentukan bilangan kromatik.
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa
k ( k −1 ) ( k−2 ) =k ( k−1 ) 2−k ( k −1 )
Sehingga,
PG ( k ) =PG ' ( k ) −PG ' ' ( k )
dimana G,G’, dan G’’ seperti graf berikut:
e
G
G’
G’’
Gambar 5. G, G’, dan G’’
Dengan G’ didapat dari G dengan menghapus rusuk e. G’’ didapat dari G dengan
memampatkan rusuk e. Gagasan tersebut menghasilkan sebuh teorema, yang disebut
Deletion-Contraction Theorem.
Berikut diberikan polinomial khromatik beberapa macam graf dalam k.
Tabel 1. Polinomial Khromatik Beberapa Macam Graf
C. Pembuktian teorema Deletion-Contraction Theorem
Teorema 3. Misal G adalah graf sederhana, dan G’ atau G \ e serta G’’ atau G ο
e adalah graf yang diperoleh dari G dengan menghapus dan mengkontruksi suatu
rusuk e. Maka,
PG ( k ) =PG ¿ ( k )−P G ο e (k )
Bukti. Misal e = vw adalah rusuk dari G. G \ e adalah graf yang diperoleh dengan
menghapus rusuk e dan G ο e adalah graf yang diperoleh dengan mengkontraksi
rusuk e.
Jika simpul v dan w pada graf G \ e diberikan warna berbeda, maka banyak cara
mewarnai G \ e sama dengan banyak cara mewarnai G. Jika simpul v dan w pada graf
G \ e diberikan warna sama, maka banyak cara mewarnai G \ e sama dengan banyak
cara mewarnai G ο e. Sehingga, jumlah total pewarnaan-k untuk G \ e adalah
PG ¿ ( k )=PG ( k ) + PG ο e ( k ) dan PG ( k ) =PG ¿ ( k ) −PG ο e (k )
Contoh:
Gambar 6. Pembentukan Polinomial Khromatik Graf G
Diperoleh bahwa:
PG ( k ) =¿
¿ k ( k −1 ) ( k−2 ) ( k 2−4 k +5 )
¿ k 5 −7 k 4 +19 k 3−23 k 2 +10 kKarena PG ( 1 ) =0, PG ( 2 ) =0, dan PG ( 3 ) =12,
maka
χ ( G ) =3 (Wilson dan Watkins, 1989:240)
D. Penerapan Pewarnaan Simpul pada Kasus Penjadwalan
Ujian Kuliah dengan Metode Deletion-Contraction
Di FMIPA UNY akan melaksanakan ujian akhir. Pada prodi
Matematika terdapat lima mata kuliah yang akan diujikan, yaitu
FPK, Aljabar Abstrak, Teori
Graf, Sistem Geometri, dan Statistika
Matematika, mata kuliah tersebut disimbolkan secara berurutan
sebagai berikut A, B, C, D, dan E. Terdapat 10 mahasiswa yang
akan mengikuti ujian tersebut. Setiap mahasiswa memilih dua mata
kuliah yang berbeda, matriks mahasiswa dan mata kuliahnya
adalah sebagai berikut:
Tabel 2. Matriks Mahasiswa dan Mata Kuliah
A
B
C
D
E
1
0
1
0
1
0
2
1
1
0
0
0
3
0
0
1
0
1
4
0
0
0
1
1
5
1
0
0
1
0
6
0
1
0
1
0
7
1
0
1
0
0
8
1
0
0
0
1
9
1
0
0
1
0
10
0
0
0
1
1
Tentukan banyaknya jadwal ujian yang dapat dibuat sedemikian rupa sehingga
semua siswa dapat mengikuti ujian mata kuliah tersebut tanpa ada kesulitan waktu.
Solusi: Masalah penjadwalan ujian ini dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode pewarnaan simpul, dengan simpul mewakili mata kuliah dan rusuk antara dua
simpul mewakili bahwa ada mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah yang
diwakili simpul-simpul tersebut, sehingga ujian kedua mata kuliah yang diambil
mahasiswa tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan.
Masalah tersebut dapat dibuat dalam bentuk graf, yaitu sebagai berikut
Gambar 7. Graf Representasi Masalah Penjadwalan Ujian
Dengan menggunakan metode Deletion-Contraction, maka:
Gambar 8. Pembentukan Polinomial Khromatik dengan Metode DeletionContraction
Polinomial Kromatiknya yaitu:
PG ( k ) =[ k ( k −1 ) 4−k ( k −1 )3 ]−2 ( k (k −1)3 −k ( k−1 ) 2 ) +k ( k−1 ) ( k−2 )
3
=[ k ( k−1 ) (k−1−1) ] −2 ¿
=¿
= k 5 −5 k 4 + 9 k 3−7 k 2+2 k −2 k 4 + 8 k 3−10 k 2 + 4 k + k 3−3 k 2 +2 k
= k 5 −7 k 4 + 18 k 3−20 k 2 +8 k
Karena PG ( 0 )a =0, PG ( 1 )=0, PG ( 2 )=0, dan PG ( 3 )=6,
χ (G) adalah K minimal, sehingga PG ( K ) > 0.
Jadi, bilangan kromatik dari graf tersebut adalah 3.
Dari kesimpulan tersebut, banyaknya jadwal yang dapat dibuat agar setiap mahasiswa
tidak mendapatkan jadwal ujian dua mata kuliah dalam waktu yang bersamaan adalah
3 buah jadwal.
Untuk menentukan pewarnaan graf pada graf tersebut, akan di tentukan dengan
menggunakan Algortima Wells-Powell:
1. Memberikan label simpul v1, v2, v3, v4, v5 sedemikian sehingga
d ( v 1)≥ d ( v 2)≥ d (v 3)≥ d ( v 4)≥ d (v 5)
2. Memberi warna merah pada simpul v1, karena v1 berikatan dengan v2, v3,
v4, dan v5 maka tidak ada simpul lain yang mempunyai warna yang sama
dengan v1.
3. Memberi warna biru pada simpul v2, berikan warna yang sama pada simpulsimpul yang tidak berikatan dengan v2 yaitu v5.
4. Memberi warna hijau pada simpul v3, berikan warna yang sama pada simpulsimpul yang tidak berikatan dengan v3 yaitu v4.
5. Karena semua simpul sudah diberi warna maka algoritma selesai.
BAB IV
PENUTUP
A. KESIMPULAN
1.
Berdasarkan pembahasan di atas maka Deletion-Contracion Theorem terbukti.
2.
Penentuan banyaknya bilangan kromatik dengan metode Deletion-Contracion
yaitu: PG ( k ) =PG ¿ ( k )−P G ο e (k )
3.
Salah satu aplikasi penghitungan banyaknya cara memberikan warna simpul
yang menggunakan Deletion-Conttraction Theorem adalah pembuatan jadwal
ujian Prodi Matematika FMIPA UNY.
B. SARAN
Deletion-Contraction
Theorem
sebaiknya
digunakan
untuk
menghitung
banyaknya pewarnaan simpul pada graf yang rumit, misalnya graf yang memiliki
loop atau rusuk ganda.
DAFTAR PUSTAKA
----. ----. Materi Pewarnaan Graf. Diakses dari http://www.itt elkom.ac.id pada
Sabtu, 10 November 2012 pukul 7:08 PM
Devadas, Srini dan Eric Lehman. 2005. Graph Teory II. Diakses dari
http://files.myopera.com/m4th03/files/vertex_coloring_graph.pdf pada Sabtu, 10
November 2012 pukul 6:42 PM
Maaruf, Faridah. ----. Pengenalan Teori Graf. Diakses dari http://books.google.co.id/
books?
id=teQ1aMau9i8C&pg=PA113&lpg=PA113&dq=cara+menentukan+polinomial
+kromatik&source=bl&ots=p9KCYF0gog&sig=yhqKLURDCZAsqHttx8zDlfd
Q5zY&hl=id&sa=X&ei=fTqgUKvklcqVmQW4yYHQCA&ved=0CBoQ6AEw
AA#v=onepage&q&f=false pada Rabu, 14 November 2012 pukul 16.00 PM
Priatna,
Nanang.
----.
Pewarnaan
Graf.
Diakses
dari
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196303311
988031-NANANG_PRIATNA/Pewarnaan_Graph.pdf pada Rabu, 14 November
2012 pukul 16.00 PM
Wilson, Robin J.& John J. Watkins. 1990. Graphs: An Introducing Approach.
Singapore
PEMBUKTIAN DELETION-CONTRACTION THEOREM SERTA
PENERAPANNYA DALAM PEMBUATAN JADWAL UJIAN AKHIR
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
Disusun oleh:
1.
Wigati P. Putri
07305141038
2.
Ratnasari Dwi Ambarwati
10305141004
3.
Meita Putri Rahayu
10305141005
4.
Dwi Prihastuti
10305141020
5.
Amalia Sita Nursanti
10305141038
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
2012
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika memiliki beberapa pokok bahasan, salah satunya adalah graf. Wilson
& Watkins (1990: 10) menyatakan, graf terdiri dari himpunan tak kosong dari
elemen-elemen yang disebut simpul dan daftar pasangan tak berurutan dari elemenelemen tersebut yang dinamakan rusuk. Graf biasa digunakan sebagai visualisasi
obyek-obyek agar lebih mudah dimengerti. Contoh graf dalam kehidupan sehari-hari
antara lain: struktur organisasi, bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian
listrik, dan lain-lain.
Graf merupakan salah satu cabang ilmu Matematika yang dapat diterapkan baik
dalam Ilmu Matematika maupun dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu topik pada
graf adalah pewarnaan graf. Pewarnaan graf dibagi menjadi dua macam, yaitu
pewarnaan simpul dan pewarnaan rusuk. Akan tetapi, jika tidak diberikan
kualifikasinya, pewarnaan graf diartikan sebagai pewarnaan simpul dan pada makalah
ini dikhususkan pada pewarnaan simpul. Mewarnai sebuah graf berarti memberi
warna pada setiap simpul graf sedemikian hingga simpul dan rusuk yang berkaitan
dapat diwarnai dengan warna yang berbeda.
Misalkan G adalah graf tanpa loop, banyaknya warna yang digunakan untuk
mewarnai simpul graf G sedemikian sehingga simpul yang berikatan berlainan warna
dinyatakan dengan k-pewarnaan. Jika G memiliki k-pewarnaan, maka G dikatakan
dapat diwarna dengan k warna. Pada pewarnaan simpul, jumlah warna yang boleh
dipergunakan haruslah seminimal mungkin. Jumlah warna paling minimum yang
dapat diterapkan pada Graph ini sering disebut dengan angka kromatik (χ(G)).
Salah satu metode yang digunakan untuk mewarnai graf adalah dengan menggunakan
polinomial khromatik.
Pewarnaan graf dapat diaplikasikan pada berbagai permasalahan sehari-hari,
misalnya penentuan jadwal ujian. Jadwal ujian ditentukan sedemikian sehingga tidak
ada mahasiswa yang memiliki dua mata kuliah yang diujikan pada waktu bersamaan.
Contoh lainnya adalah saluran televisi ditentukan ke pemancar-pemancar, sedemikian
sehingga tidak ada dua pemancar dapat beroperasi pada saluran yang sama dalam
jarak tertentu.
Makalah ini, membahas tentang penerapan pewarnaan simpul dalam penjadwalan
ujian dengan metode deletion-contraction theorem. Dalam masalah penjadwalan yang
dinyatakan dalam bentuk graf, simpul menyatakan mata kuliah dalam jadwal. Rusuk
antar dua buah simpul menyatakan bahwa kedua buah mata kuliah tidak dapat
dikerjakan secara bersamaan. Warna menunjukkan waktu yang tersedia. Setiap mata
kuliah membutuhkan satu waktu. Jadi dapat dituliskan: simpul v menerima mata
kuliah i jika dan hanya jika v dieksekusi dalam waktu i. Sehingga graf k-warna
berarti semua mata kuliah dapat dikerjakan dalam k waktu secara tidak bersamaan.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana pembuktian Deletion-Contraction Theorem?
2. Bagaimana cara menentukan banyaknya bilangan kromatik
pada
suatu
graf
dengan
metode
Deletion-Contraction
Theorem?
3. Bagaimana
penerapan
pewarnaan
simpul
pada
kasus
penjadwalan ujian kuliah dengan metode Deletion-Contraction
Theorem?
C. Tujuan
1. Membuktikan Deletion-Contraction Theorem.
2. Menentukan banyaknya bilangan kromatik pada suatu graf
dengan metode Deletion-Contraction Theorem.
3. Menyelesaikan kasus penjadwalan ujian kuliah dengan metode
Deletion-Contraction Theorem.
D. Manfaat
Hasil penelitian ini bermanfaat sebagai tambahan literatur bagi
mahasiswa yang sedang mempelajari mengenai pewarnaan simpul,
khususnya bilangan kromatik dengan metode
Deletion-Contraction
Theorem serta contoh penerapannya.
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Pengertian Graf
Graf adalah himpunan tak kosong yang terdiri dari himpunan simpul dan
himpunan rusuk dengan himpunan simpul bukan merupakan himpunan kosong.
Himpunan simpul dari G dinotasikan dengan V (G) dan himpunan
rusuk dari G dinotasikan dengan E(G). Notasi graf: G(V, E) artinya
graf G memiliki V simpul dan E rusuk.
Simpul-simpul pada graf dapat merupakan obyek sembarang
seperti kota, nama orang, jenis buah, komponen alat elektronik dan
sebagainya. Rusuk dapat menunjukkan hubungan sembarang seperti
rute penerbangan, jalan raya, sambungan telepon, ikatan kimia, dan
lain-lain.
B. Pewarnaan Graf
Pewarnaan graf terbagi menjadi dua macam yaitu pewarnaan simpul dan
pewarnaan rusuk.
1.
Pewarnaan simpul didefinisikan sebagai berikut :
Misalkan G adalah graf tanpa loop, k-pewarnaan untuk G menyatakan
penggunaan sebanyak k-warna untuk simpul G sedemikian hingga simpil-simpul
yang berikatan mendapat warna yang berbeda. Jika G memiliki k-pewarnaan, maka
G dikatakan dapat diwarnai dengan k-warna (Wilson dan Watkins, 1989: 235).
Berikut adalah contoh pewarnaan simpul pada graf G .
Gambar 1. Pewarnaan Simpul pada Graf G
Gambar 1 (a), (b), dan (c) secara berturut-turut adalah 3-pewarnaan, 4pewarnaan, dan 5-pewarnaan dari graf
G . Gambar 1 (d) bukan merupakan
pewarnaan simpul dari graf G , karena terdapat dua simpul berikatan yang memiliki
warna sama.
2. Pewarnaan rusuk didefinisikan sebagai berikut :
Misal G adalah graf tanpa loop, k-pewarnaan rusuk untuk G adalah pemberian
sebanyak k warna pada rusuk-rusuk G sedemikian hingga setiap dua rusuk yang
bertemu dengan simpul yang sama mendapat warna berbeda. Jika G memiliki kpewarnaan rusuk, maka rusuk graf G dikatakan dapat diwarnai dengan k warna
(Wilson dan Watkins, 1989: 240).
Berikut adalah contoh pewarnaan rusuk pada graf G .
Gambar 2. Pewarnaan Rusuk pada Graf G
Gambar 2 (a), (b), dan (c) secara berturut-turut adalah 4-pewarnaan rusuk, 5pewarnaan rusuk, dan 6-pewarnaan rusuk dari graf G . Gambar 2 (d) bukan
merupakan pewarnaan rusuk dari graf G , karena terdapat dua rusuk berwarna sama
yang bertemu pada simpul yang sama.
BAB III
PEMBAHASAN
A. Pewarnaan Simpul
Misalkan G adalah graf tanpa loop, k-pewarnaan untuk G menyatakan
penggunaan sebanyak k-warna untuk simpul G sedemikian hingga simpul-simpul
yang berikatan mendapat warna yang berbeda. Jika G memiliki k-pewarnaan, maka
G dikatakan dapat diwarnai dengan k-warna (Wilson dan Watkins, 1989: 235).
Pewarnaan graf dapat dilakukan dengan menggunakan Algoritma Welsh dan
Powell. Algoritma ini memberikan cara mewarnai sebuah graph dengan memberi
label simpul-simpulnya sesuai dengan derajatnya. Langkah-langkahnya sebagai
berikut:
Langkah 1 (melabel simpul dengan derajatnya). Label simpul V1, V2, ..., Vn
sedemikian hingga derajat (V1) > derajat (V2) > ... > derajat (Vn).
Langkah 2 (warnai simpul belum berwarna pertama dari simpul-simpul belum
berwarna yang berdekatan dengan simpul itu). Berikan warna yang belum digunakan
pada simpul belum berwarna yang pertama pada daftar simpul itu. Lakukan hal itu
pada semua simpul dalam daftar secara terurut, berikan warna baru ini pada setiap
simpul yang tidak berdekatan dengan setiap simpul lain yang telah diwarnai ini.
Langkah 3 (graphnya telah diwarnai?). Jika beberapa simpulnya belum berwarna,
maka kembalilah ke langkah 2.
Langkah 4 (selesai). Pewarnaan graph telah dilakukan.
B. Polinomial Khromatik
Misal G merupakan graf sederhana, dan PG ( k ) adalah banyak cara mewarnai
simpul G dengan k warna sedemikian hingga tidak ada dua simpul yang berikatan
mendapat warna sama. Fungsi PG ( k ) disebut polinomial khromatik G atau suku
banyak khromatik G .
Contoh berikut dapat menjelaskan mengapa banyak pewarnaan-k dari G harus
menjadi polinomial dalam k .
Contoh 1
Gambar 3. Polinomial Khromatik pada Graf K 3
K 3 adalah graf lengkap-3. Simpul puncak K 3dapat diberi warna sembarang dari
k warna tersebut. Simpul di sebelah kirinya dapat diberi warna sembarang dari (k-1)
warna yang belum diberikan pada simpul puncak. Simpul di sebelah kanan simpul
puncak dapat diberi warna sembarang dari (k-2) warna yang belum terpakai.
Sehingga, banyak cara mewarnai K 3 adalah k ( k −1 ) ( k−2 )atau P K ( k ) =k ( k−1 ) (k −2)
3
(Wilson dan Watkins, 1989: 237, 238).
Contoh 2
k
k-1
k-1
Gambar 4. Polinomial Khromatik pada Graf P3
Jika G adalah lintasan graf P3 simpul paling kiri dapat diwarnai dengan sebanyak
k-warna, simpul tengah dapat diwarnai dengan k-1 warna selain warna yang
diberikan pada simpul kiri, dan simpul kanan dapat diwarnai dengan k-1 warna yang
2
sama dengan simpul tengah. Sehingga, banyak cara mewarnai P3 adalah k ( k −1 ) atau
P P ( k )=k ( k −1 ) 2
3
Berdasarkan contoh diatas, dapat disimpulkan bahwa:
n −1
Jika G adalah pohon dengan n-simpul, maka PG ( k ) =k ( k −1 )
Dari kesimpulan tersebut, didapat bahwa Graf non-isomorfis mempunyai
polinomial kromatik yang sama.
Jika polinomial khromatik diketahui, maka bilangan khromatik suatu graf dapat
dihitung dengan mudah, karena bilangan khromatik graf G adalah bilangan bulat
positif terkecil k yang memenuhi PG ( k ) >0.
Jika cara untuk menentukan polinomial kromatiknya sudah ditemukan, maka
dapat diturunkan sebuah algoritma untuk menentukan bilangan kromatik.
Dari contoh diatas dapat dilihat bahwa
k ( k −1 ) ( k−2 ) =k ( k−1 ) 2−k ( k −1 )
Sehingga,
PG ( k ) =PG ' ( k ) −PG ' ' ( k )
dimana G,G’, dan G’’ seperti graf berikut:
e
G
G’
G’’
Gambar 5. G, G’, dan G’’
Dengan G’ didapat dari G dengan menghapus rusuk e. G’’ didapat dari G dengan
memampatkan rusuk e. Gagasan tersebut menghasilkan sebuh teorema, yang disebut
Deletion-Contraction Theorem.
Berikut diberikan polinomial khromatik beberapa macam graf dalam k.
Tabel 1. Polinomial Khromatik Beberapa Macam Graf
C. Pembuktian teorema Deletion-Contraction Theorem
Teorema 3. Misal G adalah graf sederhana, dan G’ atau G \ e serta G’’ atau G ο
e adalah graf yang diperoleh dari G dengan menghapus dan mengkontruksi suatu
rusuk e. Maka,
PG ( k ) =PG ¿ ( k )−P G ο e (k )
Bukti. Misal e = vw adalah rusuk dari G. G \ e adalah graf yang diperoleh dengan
menghapus rusuk e dan G ο e adalah graf yang diperoleh dengan mengkontraksi
rusuk e.
Jika simpul v dan w pada graf G \ e diberikan warna berbeda, maka banyak cara
mewarnai G \ e sama dengan banyak cara mewarnai G. Jika simpul v dan w pada graf
G \ e diberikan warna sama, maka banyak cara mewarnai G \ e sama dengan banyak
cara mewarnai G ο e. Sehingga, jumlah total pewarnaan-k untuk G \ e adalah
PG ¿ ( k )=PG ( k ) + PG ο e ( k ) dan PG ( k ) =PG ¿ ( k ) −PG ο e (k )
Contoh:
Gambar 6. Pembentukan Polinomial Khromatik Graf G
Diperoleh bahwa:
PG ( k ) =¿
¿ k ( k −1 ) ( k−2 ) ( k 2−4 k +5 )
¿ k 5 −7 k 4 +19 k 3−23 k 2 +10 kKarena PG ( 1 ) =0, PG ( 2 ) =0, dan PG ( 3 ) =12,
maka
χ ( G ) =3 (Wilson dan Watkins, 1989:240)
D. Penerapan Pewarnaan Simpul pada Kasus Penjadwalan
Ujian Kuliah dengan Metode Deletion-Contraction
Di FMIPA UNY akan melaksanakan ujian akhir. Pada prodi
Matematika terdapat lima mata kuliah yang akan diujikan, yaitu
FPK, Aljabar Abstrak, Teori
Graf, Sistem Geometri, dan Statistika
Matematika, mata kuliah tersebut disimbolkan secara berurutan
sebagai berikut A, B, C, D, dan E. Terdapat 10 mahasiswa yang
akan mengikuti ujian tersebut. Setiap mahasiswa memilih dua mata
kuliah yang berbeda, matriks mahasiswa dan mata kuliahnya
adalah sebagai berikut:
Tabel 2. Matriks Mahasiswa dan Mata Kuliah
A
B
C
D
E
1
0
1
0
1
0
2
1
1
0
0
0
3
0
0
1
0
1
4
0
0
0
1
1
5
1
0
0
1
0
6
0
1
0
1
0
7
1
0
1
0
0
8
1
0
0
0
1
9
1
0
0
1
0
10
0
0
0
1
1
Tentukan banyaknya jadwal ujian yang dapat dibuat sedemikian rupa sehingga
semua siswa dapat mengikuti ujian mata kuliah tersebut tanpa ada kesulitan waktu.
Solusi: Masalah penjadwalan ujian ini dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode pewarnaan simpul, dengan simpul mewakili mata kuliah dan rusuk antara dua
simpul mewakili bahwa ada mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah yang
diwakili simpul-simpul tersebut, sehingga ujian kedua mata kuliah yang diambil
mahasiswa tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan.
Masalah tersebut dapat dibuat dalam bentuk graf, yaitu sebagai berikut
Gambar 7. Graf Representasi Masalah Penjadwalan Ujian
Dengan menggunakan metode Deletion-Contraction, maka:
Gambar 8. Pembentukan Polinomial Khromatik dengan Metode DeletionContraction
Polinomial Kromatiknya yaitu:
PG ( k ) =[ k ( k −1 ) 4−k ( k −1 )3 ]−2 ( k (k −1)3 −k ( k−1 ) 2 ) +k ( k−1 ) ( k−2 )
3
=[ k ( k−1 ) (k−1−1) ] −2 ¿
=¿
= k 5 −5 k 4 + 9 k 3−7 k 2+2 k −2 k 4 + 8 k 3−10 k 2 + 4 k + k 3−3 k 2 +2 k
= k 5 −7 k 4 + 18 k 3−20 k 2 +8 k
Karena PG ( 0 )a =0, PG ( 1 )=0, PG ( 2 )=0, dan PG ( 3 )=6,
χ (G) adalah K minimal, sehingga PG ( K ) > 0.
Jadi, bilangan kromatik dari graf tersebut adalah 3.
Dari kesimpulan tersebut, banyaknya jadwal yang dapat dibuat agar setiap mahasiswa
tidak mendapatkan jadwal ujian dua mata kuliah dalam waktu yang bersamaan adalah
3 buah jadwal.
Untuk menentukan pewarnaan graf pada graf tersebut, akan di tentukan dengan
menggunakan Algortima Wells-Powell:
1. Memberikan label simpul v1, v2, v3, v4, v5 sedemikian sehingga
d ( v 1)≥ d ( v 2)≥ d (v 3)≥ d ( v 4)≥ d (v 5)
2. Memberi warna merah pada simpul v1, karena v1 berikatan dengan v2, v3,
v4, dan v5 maka tidak ada simpul lain yang mempunyai warna yang sama
dengan v1.
3. Memberi warna biru pada simpul v2, berikan warna yang sama pada simpulsimpul yang tidak berikatan dengan v2 yaitu v5.
4. Memberi warna hijau pada simpul v3, berikan warna yang sama pada simpulsimpul yang tidak berikatan dengan v3 yaitu v4.
5. Karena semua simpul sudah diberi warna maka algoritma selesai.
BAB IV
PENUTUP
A. KESIMPULAN
1.
Berdasarkan pembahasan di atas maka Deletion-Contracion Theorem terbukti.
2.
Penentuan banyaknya bilangan kromatik dengan metode Deletion-Contracion
yaitu: PG ( k ) =PG ¿ ( k )−P G ο e (k )
3.
Salah satu aplikasi penghitungan banyaknya cara memberikan warna simpul
yang menggunakan Deletion-Conttraction Theorem adalah pembuatan jadwal
ujian Prodi Matematika FMIPA UNY.
B. SARAN
Deletion-Contraction
Theorem
sebaiknya
digunakan
untuk
menghitung
banyaknya pewarnaan simpul pada graf yang rumit, misalnya graf yang memiliki
loop atau rusuk ganda.
DAFTAR PUSTAKA
----. ----. Materi Pewarnaan Graf. Diakses dari http://www.itt elkom.ac.id pada
Sabtu, 10 November 2012 pukul 7:08 PM
Devadas, Srini dan Eric Lehman. 2005. Graph Teory II. Diakses dari
http://files.myopera.com/m4th03/files/vertex_coloring_graph.pdf pada Sabtu, 10
November 2012 pukul 6:42 PM
Maaruf, Faridah. ----. Pengenalan Teori Graf. Diakses dari http://books.google.co.id/
books?
id=teQ1aMau9i8C&pg=PA113&lpg=PA113&dq=cara+menentukan+polinomial
+kromatik&source=bl&ots=p9KCYF0gog&sig=yhqKLURDCZAsqHttx8zDlfd
Q5zY&hl=id&sa=X&ei=fTqgUKvklcqVmQW4yYHQCA&ved=0CBoQ6AEw
AA#v=onepage&q&f=false pada Rabu, 14 November 2012 pukul 16.00 PM
Priatna,
Nanang.
----.
Pewarnaan
Graf.
Diakses
dari
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/196303311
988031-NANANG_PRIATNA/Pewarnaan_Graph.pdf pada Rabu, 14 November
2012 pukul 16.00 PM
Wilson, Robin J.& John J. Watkins. 1990. Graphs: An Introducing Approach.
Singapore