ANALISA SISTEM TENAGA LISTRIK Metoda Gau
ANALISA SISTEM TENAGA LISTRIK
Oleh: Ir. Ahmad Junaedi Shiddiq, MT, MSc
1. BAB I. MATRIKS ADMITANSI DAN IMPEDANSI
( PEMBENTUKAN MATRIKS ADMITANSI )
1.1. Penyekatan Matriks
1.2. Penghapusan simpul
1.3. Matriks Impedansi Rel
2. BAB II. KOMPONEN SIMETRIS
Tegangan dan Arus
Daya pada Komponen Simetris.
Impedansi Urutan Jaringan Transmisi
Impedansi Urutan Mesin Serempak
Jaringan Urutan Nol
Impedansi Urutan Transformator
3. BAB III. GANGGUAN SIMETRIS
Transient Rangkaian R-L Seri.
Hubung Singkat Fasa Tiga Mesin Serempak Tanpa Beban
Tegangan Internal Mesin Serempak Berbeban Dalam Keadaan Transient.
Hubung Singkat Fasa Tiga Sistem Tenaga Listrik
Matriks Impedansi Rel Dalam Perhitungan Gangguan.
4. BAB IV. GANGGUAN TIDAK SIMETRIS
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Gangguan Fasa Tiga
Gangguan Satu Fasa ke Tanah
Gangguan Fasa ke Fasa.
Gangguan Dua Fasa ke Tanah
5. BAB V. MATRIKS IMPEDANSI REL URUTAN
5.1.
5.2.
5.3.
Gangguan Fasa Tiga
Gangguan Satu Fasa ke tanah
Gangguan Fasa ke Fasa
6. BAB VI. PERHITUNGAN TEGANGAN DAN DAYA
AKTIF/REAKTIF
6.1. Metoda Gauss
6.2. Metoda Gauss – Seidel
6.3. Metoda Newton Rapshon
DAFTAR PUSTAKA:
1. Sadat, H ” Power System Analysisi, Mc Graw Hill, 1999
2. Glover, JD, Sarma M, “ Power System Analysis and Design, PWSKent Publishing Company, 1987.
3. Stevenson, JD “ Elemen of Power System Analysis, Mc Graw Hill,
1982.
PERTEMUAN KE 1
BAB I.
MATRIKS ADMITANSI DAN IMPEDANSI
1.1.MATRIKS ADMITANSI
Keunikan matriks admitansi adalah :
1. Merupakan matriks dengan orde n x n, n adalah jumlah rel dalam sistem.
2. Merupakan metriks simetris ( Yij = Yji ).
3. Merupakan matriks dengan elemen kompleks
4. Tiap elemen diluar diagonal bernilai negatif ( Ykj = - Y ki )
5. Elemen diagonal adalah penjumlahan nrgatif dari seluruh elemen diluar
diagonal.
6. Matriks ini tersebar ( banyak elemen bernilai Nol ).
Pembentukan matriks admitansi dapat dilihat pada contoh berikut ini :
1
4
- j 5,0
- j0,8
- j 4,0
- j 8,0
- j 5,0
- j0,8
- j0,8
- j 2,5
3
2
Gambar 1.1. Sistem tenaga listrik dengan 4 Rel dan 5 Saluran transmisi
Elemen diagonal dari matriks admitans untuk system pada gambar 1.1 adalah sebagai
berikut:
Y11 = -j 5,0 – j 4,0 – j 0,8 = -j 9,8
Y33 = -j 4,0 – j 2,5 – j 8,0 – j 0,8 = -j15,3
Y22 = -j5,0 – j 2.5 – j 08 = -j 8,3
Y44 = -j5,0 – j 5,0 – j8,0 = -j 18
Elemen non diagonal hádala sebagai berikut :
Y12 = Y21 = 0
Y13 = Y31 = j4,0
Y24=Y42= j 5,0
Y34=Y43 = j 8,0
Y14 = Y41 = j 5,0
Y23=Y32 = J 2,5
Dari nilai nilai admitansi tersebut dapat dibuat matriks admitansi sebagai beriku :
Y=
Y11
Y12
Y13 Y14
-j 9,8
j 0,0
j 4,0
j 5,0
Y21
Y22
Y23 Y24
j 0,0
-j 8,3
j 2,5
j 5,0
Y31
Y32
Y33
Y34
j 4,0
j 2,5
-j 15,3
j 8,0
Y41
Y42
Y43
Y44
j 5,0
j 5,0
j 8,0
- j18,0
=
…..( 1.1 )
1.2. PENYEKATAN MATRIKS
Suatu metoda
manipulasi matriks yang banyak gunanya, yang disebut
Penyekatan ( Partitioning) ialah pengenalan kembali berbagai bagian suatu matriks
sebagai submatriks yang diperlakukan sebagai unsur-unsur tunggal dalam penerapan
turunan yang biasa untuk perkalian dan penambahan. Misalnya suatu matriks A 3X3.:
a11
a12
a13
A = a21
a22
a23 .......................................................... ( 1.2 )
a31
a32
a33
disekat menjadi 4 sub
D
matriks yang ditulis srbagai berikut:
E
A=
a11
,
F
a12
D=
a12
, E=
G
a21
a22
b11
Bila C = A.B,
a23
H
B = b21 , atau B =
b31
D
E
G
J
, H=
,
M
=
FH + GJ
J = b31
b21
DH + EJ
=
F
b11
J
H
Maka C =
, F = [ a31 a32 ], G = a33
M = DH +EJ
;
N
N = FH + GJ
Untuk mendapatkan sub matriks N, maka penyekatan dapat dilakukan sebagai
berikut:
b11
N = [ a31
a32 ]
+ a33 b31 = a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 .................( 1.3 )
b21
CATATAN :
1. Matriks yang akan dikalikan harus dapat digabungkan.
2. Setiap jenis penyekat tegak antara kolom r dan r + 1 pada faktor pertama r
+ 1 pada faktor yang kedua agar sebuah matriks tersebut dapat dikalikan.
1.3. PENGHAPUSAN SIMPUL
Simpul-simpul dapat dihapuskan dengan manipulasi matriks pada persamaan
jaringan ( simpul ). Tetapi hanya simpul-simpul dimana arus tidak masuk atau
meninggalkan jeringan saja yang dapat dihapuskan. Persamaan jeringan ( simpul) :
I = Y.V…………………………………………( 1.4 )
I dan V = Matriks kolom dan Y = Matriks bujur sangkar simetris
CATATAN :
1. Matriks kolom harus diatur sedemikian rupa, sehingga unsur yang
bersesuaian dengan simpul yang akan dihapuskan berada pada baris bawah
matriks tersebut.
2. Unsur/elemen matriks bujur sangkar juga ditempatkan sesuai dengan point 1.
3. Matriks kolom disekat sedemikian rupa sehingga elemen yang berhubungan
dengan input yang akan dihapuskan terpisah i dari unsur-unsur yang lain.
4. Matriks admitansi juga disekat sehingga simpul yang akan dihapuskan
terpisah dari unsur lainnya dengan garis mendatar dan tegak.
Dengan demikian persamaan simpul dapat ditulis ulang sebagai berikut :
IA
K
L
VA
=
Ix
…………………………………..( 1.5 )
L
T
M
VX
Ix dan Vx merupakan sub matriks arus dan tegangan simpul yang akan dihapuskan.
Semua unsur dalm Ix = 0, karena jika tidak, simpul itu tidak bisa dihapuskan. K =
matriks dari simpul yang tetap ada ( unsur admitansi sendiri dan bersama ). L, L T =
matriks dengan unsur admitansi bersama yang dimiliki oleh simpul yang akan tingal
dan simpul yang akan dihapuskan. Persamaan diatas dapat ditulis secara terpisah
sebagai berikut :
IA = K.VA + L.Vx ……………………………………………(1.6 )
Ix = LT.VA + M.Vx……………………………………………(1.7 )
Karena Ix = 0, maka :
0 = LT.VA + M.Vx
Vx = - LT.VA. M-1
IA = K.VA – L.M-1 . LT.VA
Atau IA = Y.VA , dimana Y = K – L.M-1. LT……(1.8)
Jika simpul 3 dan 4 pada gambar 1.1 dihapus, ( Generator pada Rel 3 dihilangkan ),
maka penyekatan dan penghapusan matriks dilakukan sebagai berikut :
K
L
Y rel =
-j 9,8
j 0,0
j4,0
j 5,0
j 0,0
-j 8,3
j 2,5
j 5,0
1
-J18,0 - J8,0
, M-1 =
=
LT M
j 4,0
j 2,5
-j 15,3
j 8,0
j 5,0
j 5,0
j 8,0
-j18,0
j 0,0914
j 0,0406
j 0,0406
j 0,0736
197
-J8,0
-J14,0
=
j4,0 j 5,0
j 0,0914 j 0,0406
j 4,0 j 2,5
L.M-1. LT =
j4.9264 j 4,0736
=-
j 2,5 j 5,0
j 0,0406 j 0,0736
-j 9,8
j 5,0 j 5,0
j 0,0
Yrel = K – L.M-1.LT =
j4,0736 j 3,4264
-j 4,8736
j4,0736
- L.M-1.LT =
j 0,0
-j 8,3
-j 4,0736
j 4,8736
CATATAN :
1. Peghapusan simpul juga dapat dilakukan dengan Transformasi Y – Δ dan
dengan melakukan penghubungan impedansi seri paralel.
2. Metoda penyekatan matriks ádalah suatu metoda umum yang lebih sesuai
untuk menyelesaikan dengan program komputer.
3. Untuk penghapusan statu jumlah simpul yang besar, matriks M juga akan
besar.
4. Invers matriz M yang besar dapat dihindari dengan menghapus setiap kali
satu simpul saja, dan prosesnya menjadi Sangay sederhana.
5. Unsur yang akan dihapus, harus yang bernomor paling tinggi, dan
penomoran kembali kemungkinan diperlukan.
Bila :
Yrel =
Y11
Y1j Y1n
Yk1
Ykj
Ykn .................................................................( 1,9 )
Yn1
Ynj
Ynn
Maka dengan mereduksi matriks yang satu simpul diperoleh sebagai bedrikut :
Y11
Y1j Y1n
Y1n
Yrel baru = Yk1
Ykj
Ykn - 1/Ynn
....
....
....
[ Yn1... Ynj.... ] ..............( 1,10 )
Ykn
Atau
Ykn . Ynj
Ykj baru = Ykj asli -
……………………………….( 1.11 )
Ynn
Untuk :
-j 9,8
Yrel =
j 0,0
j 4,0
j 5,0
j 0,0
-j 8,3
j 2,5
j 5,0
j 4,0
j 2,5
-j 15,3
j 8,0
j 5,0
j 5,0
j 8,0
- j18,0
Perubahan unsur-unsur dapat dilakukan dengan contoh yaitu unsur j 2,5 baris
3, kolom 2
j 8,0 x j 5,0
Y32 baru = j 2,5 –
= j 4,7222
- j18,0
J 5,0 x j5,0
Y11 baru = j 9,8 –
= -j 8,4111
- j 18,0
Sehingga untuk reduksi 1 simpul diperoleh :
Yrel =
-j 8,4111
j 1,3889
j1,3889
-j 6,9111
j 6,2222
j 4,7222
j 6,2222
j 4,7222
-j 10,9444
dan reduksi selanjutnya menghasilkan :
-j 4,8736
j 4,0736
Yrel =
j 4,0736
-j 4,8736
1.4. MATRIKS IMPEDANSI REL
Jika matriks Y rel diinvers, maka akan dengan mudah diperoleh matriks impedansi
rel Zrel .
Z rel = Y-1rel …………………………………………( 1.12 )
Bentuk matriks stándar dari jeringan tiga simpul ditulis sebagai berikut :
Z11
Z rel =
Z12 Z13
Z21
Z22
Z23 .......................................................................( 1.13 )
Z31
Z32 Z33
Karena Yrel adalah matriks simetris, maka Z rel pun merupakan matriks simetris. Unsur
diagonal dari matriks Z rel disebut Impedansi Titik Penggerak ( Driving point
Impedance ).Simpul-simpul dan unsure-unsur non diagonal disebut Impedansi
Pemindah ( Transfer Impedance )simpul-simpil.
Untuk memperoleh Zrel tidak selalu haus membentuk Yrel terlebih dahulu, namun
dapat diperoleh secara langsung seperti diuraikan berikut ini. Dalam membentuk Zrel
ada beberapa kasus yang akan dijumpai.
1. Menambah Zb dari suatu rel baru P pada rel acuan
P
Zb
Z asli
0
acuan
V1
V2
Zasli
0
I1
0
I2
V3
.
0
I3
.
.
0
In
Zb
Ip
=
Vn
Vp
0
0
0
.....
......................................( 1.14)
2. Menambahkan Zb dari suatu rel baru P pada suatu rel yang ada
Zb
Z asli
P
k
0
V1
V2
Zasli
V3
.
Z1k
I1
Z2k
I2 k
Z3k
I3
=
.
Vn
Zasli
kolom k
....( 1.15)
. p
baris k
Zkk+ Zb
Znk In
Vp
Zk1 Zk2 .... Zkn
Zkk +Zb Ip
3. Menambahkan Zb dari suatu rel k yang sudah ada ke rel acuan
Zb
Z asli
P
k
0
- Disini ditambahkan sebuah rel baru P yang dihubungkan melalui Zb ke rel k
- Kemudian rel P dihubungsingkatkan ke rel acuan dengan penambahan Vp sama
dengan nol untuk menghasilkan persamaan matriks seperti pada kasus 2 dengan Vp
= 0.
- Hilangkan baris p dan kolom k dengan reduksi Kron,
Zh ( n+1 ) . Z(n+1)i
Zhi (baru ) = Zhi (asli ) –
...............................( 1.16 )
Zkk + Zb
4. Menambahkan Zb diantara 2 buah rel j dan k yang sudah ada
Zb
k
q
Z asli
0
j
Rel q bersifat sementara, sebagai alat bantu.
V1
V2
Zasli
Z1j-Z1k
Ii
Zjj-Zjk
Ij
Zkj-Zkk
Ik …….( 1.17)
V3
.
=
.
Vn
Vp
Znj-Znk
(Zj1-Zk1)
… ( Zj1 – Zk1 ) ……
Zbb
.
In
Ib
Zbb = Zb + Zjj + Zkk – 2 Zjk
Kemudian dengan reduksi Kron diperoleh unsur-unsur baru dari Z, yaitu :
Zh(n+1). Z(n+1) i
Zhi ( baru ) = Zhi (asli ) –
…………….( 1.18 )
Zb + Zjj + Zkk + 2Zjk
Contoh :
Suatu sistem tenaga liistrik terdiri atas 4 rel dan 6 saluran, sebagaimana gambar
berikut ini :
4
Z= j 0,125
Z = j 0,25
2
6
Z= j0,2
5
Z = j 0,4
3
1
2
1
3
Z= j 1,25
4
Z= j 1,25
Rel acuan
Buatlah matriks dari gambar tersebut diatas
PENYELESAIAN
a. Rel 1 dibentuk dengan impedansinya ke rel acuan adalah :
[ V1 ] = [ j 1,25 ] [ I1 ]
b. Matriks impedansi rel 1 x 1 diperoleh :
Z rel1 = [ j 1,25 ] ……………………………………………………….. Kasusu 1
c. Untuk mendapatkan matriks rel 2 dengan impedansi ke rel 1 :
j 1,25
j1,25
Z rel 2 =
,
j 1,25
j 1,50 = j 1.25 + j 0,25.............................Kasus 2
j 1,50
d. Rel 3 dengan impedansi yang terhubung ke rel 2 diperoleh :
Z rel 3 =
j 1,25
j 1,25
j 1,25
j1,25
j 1,50
j 1,50
j 1.25
j 1,50 , j 1,90 = j1,50 + j 0,4...............Kasus 3
j 1,90
e. Dari rel 3 terhubung ke rel acuan dengan impedansi sebesar j1,25 dan
mengacu ke kasusu 3, maka diperoleh :
Z rel 4 =
j 1,25
j 1,25
j 1,25
j 1,25
j1,25
j 1,50
j 1,50
j 1,50
j 1.25
j 1,50
j 1,90
j 1,90
j 1,25
j 1,50 , j 3,15 = j1,90+j1,25 ...Kasus 4
j 1,90
j 3,15
f. Kemudian dilakukan reduksi Kron :
j 1,25 x j1,25
Z 11 ( baru ) = j 1,25 -
= j 0,75397
J 3,15
Dengan mereduksi semua nilai pada matrik kolom dan baris, didapatlah :
Z rel 5 =
j 0,75397 j 0,65476
j 0,65476 j 0,78571
j 0,49603 j 0,59524
j 0,49603
j 0,59524
j 0,75397
g. Rel 4 dihubungkan ke rel 3 melalui impedansi sebesar j 0,2 ( kasus 2 ),
sehingga didapat Z rel sebagai berikut :
Z rel 5 =
j 0,75397 j 0,65476
j 0,65476 j 0,78571
j 0,49603 j 0,59524
j 0,49603 j 0,59524
j 0,49603 j 0,49603
j 0,59524 j 0,59524
j 0,75397 j 0,75397
j 0,75397 j 0,95397
j 0,95397 = j 0,75397 + j 0,2
h. Dengan menambahkan impedansi antara rel 2 dan 4 sebesar j 0,125 ( kasus 4 )
Bila j = 2 dan k = 4, maka :
Z15 = Z12 – Z14 = j 0,65476 – j 0,49603 = j 0,15873
Z25 = Z22 – Z24 = j 0,78571 – j 0,59524 = j 0,19047
Z35 = Z32 – Z34 = - j0,15873
Z45 = Z42 – Z44 = - j0,35873
Z55 = Z22 + Z44 - 2 Z24 + Z rel 2-4 = j 0,67421
Sehingga Z rel matriks 5 x 5 yang dihasilkan adalah sebagai berikut :
j 0,75397
j 0,65476
j 0,49603
j 0,49603
j 0,15873
j 0,65476
j 0,78571
j 0,59524
j 0,59524
j 0,19047
j 0,49603 j 0,49603
j 0,15873
j 0,59524 j 0,59524
j 0,19047
j 0,75397 j 0,75397 - j 0,15873
j 0,75397 j 0,95397 - j 0,35873
- j 0,15873 - j 0,35873
j 0,67421
Dengan reduksi Kron, dari matriks diatas, didapatlah Impedansi Rel Sistem
Tenaga Listrik gambar tersebut diatas sebagai berikut :
Z rel =
j 0,71660
j 0,60992
j 0,53340
j 0,58049
j 0,60992 j 0,53340 j 0,58049
j 0,73190 j 0,64008 j 0,69659
j 0,64008 j 0,71660 j 0,66651
j 0,69659 j 0,66651 j 0,76310
Oleh: Ir. Ahmad Junaedi Shiddiq, MT, MSc
1. BAB I. MATRIKS ADMITANSI DAN IMPEDANSI
( PEMBENTUKAN MATRIKS ADMITANSI )
1.1. Penyekatan Matriks
1.2. Penghapusan simpul
1.3. Matriks Impedansi Rel
2. BAB II. KOMPONEN SIMETRIS
Tegangan dan Arus
Daya pada Komponen Simetris.
Impedansi Urutan Jaringan Transmisi
Impedansi Urutan Mesin Serempak
Jaringan Urutan Nol
Impedansi Urutan Transformator
3. BAB III. GANGGUAN SIMETRIS
Transient Rangkaian R-L Seri.
Hubung Singkat Fasa Tiga Mesin Serempak Tanpa Beban
Tegangan Internal Mesin Serempak Berbeban Dalam Keadaan Transient.
Hubung Singkat Fasa Tiga Sistem Tenaga Listrik
Matriks Impedansi Rel Dalam Perhitungan Gangguan.
4. BAB IV. GANGGUAN TIDAK SIMETRIS
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Gangguan Fasa Tiga
Gangguan Satu Fasa ke Tanah
Gangguan Fasa ke Fasa.
Gangguan Dua Fasa ke Tanah
5. BAB V. MATRIKS IMPEDANSI REL URUTAN
5.1.
5.2.
5.3.
Gangguan Fasa Tiga
Gangguan Satu Fasa ke tanah
Gangguan Fasa ke Fasa
6. BAB VI. PERHITUNGAN TEGANGAN DAN DAYA
AKTIF/REAKTIF
6.1. Metoda Gauss
6.2. Metoda Gauss – Seidel
6.3. Metoda Newton Rapshon
DAFTAR PUSTAKA:
1. Sadat, H ” Power System Analysisi, Mc Graw Hill, 1999
2. Glover, JD, Sarma M, “ Power System Analysis and Design, PWSKent Publishing Company, 1987.
3. Stevenson, JD “ Elemen of Power System Analysis, Mc Graw Hill,
1982.
PERTEMUAN KE 1
BAB I.
MATRIKS ADMITANSI DAN IMPEDANSI
1.1.MATRIKS ADMITANSI
Keunikan matriks admitansi adalah :
1. Merupakan matriks dengan orde n x n, n adalah jumlah rel dalam sistem.
2. Merupakan metriks simetris ( Yij = Yji ).
3. Merupakan matriks dengan elemen kompleks
4. Tiap elemen diluar diagonal bernilai negatif ( Ykj = - Y ki )
5. Elemen diagonal adalah penjumlahan nrgatif dari seluruh elemen diluar
diagonal.
6. Matriks ini tersebar ( banyak elemen bernilai Nol ).
Pembentukan matriks admitansi dapat dilihat pada contoh berikut ini :
1
4
- j 5,0
- j0,8
- j 4,0
- j 8,0
- j 5,0
- j0,8
- j0,8
- j 2,5
3
2
Gambar 1.1. Sistem tenaga listrik dengan 4 Rel dan 5 Saluran transmisi
Elemen diagonal dari matriks admitans untuk system pada gambar 1.1 adalah sebagai
berikut:
Y11 = -j 5,0 – j 4,0 – j 0,8 = -j 9,8
Y33 = -j 4,0 – j 2,5 – j 8,0 – j 0,8 = -j15,3
Y22 = -j5,0 – j 2.5 – j 08 = -j 8,3
Y44 = -j5,0 – j 5,0 – j8,0 = -j 18
Elemen non diagonal hádala sebagai berikut :
Y12 = Y21 = 0
Y13 = Y31 = j4,0
Y24=Y42= j 5,0
Y34=Y43 = j 8,0
Y14 = Y41 = j 5,0
Y23=Y32 = J 2,5
Dari nilai nilai admitansi tersebut dapat dibuat matriks admitansi sebagai beriku :
Y=
Y11
Y12
Y13 Y14
-j 9,8
j 0,0
j 4,0
j 5,0
Y21
Y22
Y23 Y24
j 0,0
-j 8,3
j 2,5
j 5,0
Y31
Y32
Y33
Y34
j 4,0
j 2,5
-j 15,3
j 8,0
Y41
Y42
Y43
Y44
j 5,0
j 5,0
j 8,0
- j18,0
=
…..( 1.1 )
1.2. PENYEKATAN MATRIKS
Suatu metoda
manipulasi matriks yang banyak gunanya, yang disebut
Penyekatan ( Partitioning) ialah pengenalan kembali berbagai bagian suatu matriks
sebagai submatriks yang diperlakukan sebagai unsur-unsur tunggal dalam penerapan
turunan yang biasa untuk perkalian dan penambahan. Misalnya suatu matriks A 3X3.:
a11
a12
a13
A = a21
a22
a23 .......................................................... ( 1.2 )
a31
a32
a33
disekat menjadi 4 sub
D
matriks yang ditulis srbagai berikut:
E
A=
a11
,
F
a12
D=
a12
, E=
G
a21
a22
b11
Bila C = A.B,
a23
H
B = b21 , atau B =
b31
D
E
G
J
, H=
,
M
=
FH + GJ
J = b31
b21
DH + EJ
=
F
b11
J
H
Maka C =
, F = [ a31 a32 ], G = a33
M = DH +EJ
;
N
N = FH + GJ
Untuk mendapatkan sub matriks N, maka penyekatan dapat dilakukan sebagai
berikut:
b11
N = [ a31
a32 ]
+ a33 b31 = a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 .................( 1.3 )
b21
CATATAN :
1. Matriks yang akan dikalikan harus dapat digabungkan.
2. Setiap jenis penyekat tegak antara kolom r dan r + 1 pada faktor pertama r
+ 1 pada faktor yang kedua agar sebuah matriks tersebut dapat dikalikan.
1.3. PENGHAPUSAN SIMPUL
Simpul-simpul dapat dihapuskan dengan manipulasi matriks pada persamaan
jaringan ( simpul ). Tetapi hanya simpul-simpul dimana arus tidak masuk atau
meninggalkan jeringan saja yang dapat dihapuskan. Persamaan jeringan ( simpul) :
I = Y.V…………………………………………( 1.4 )
I dan V = Matriks kolom dan Y = Matriks bujur sangkar simetris
CATATAN :
1. Matriks kolom harus diatur sedemikian rupa, sehingga unsur yang
bersesuaian dengan simpul yang akan dihapuskan berada pada baris bawah
matriks tersebut.
2. Unsur/elemen matriks bujur sangkar juga ditempatkan sesuai dengan point 1.
3. Matriks kolom disekat sedemikian rupa sehingga elemen yang berhubungan
dengan input yang akan dihapuskan terpisah i dari unsur-unsur yang lain.
4. Matriks admitansi juga disekat sehingga simpul yang akan dihapuskan
terpisah dari unsur lainnya dengan garis mendatar dan tegak.
Dengan demikian persamaan simpul dapat ditulis ulang sebagai berikut :
IA
K
L
VA
=
Ix
…………………………………..( 1.5 )
L
T
M
VX
Ix dan Vx merupakan sub matriks arus dan tegangan simpul yang akan dihapuskan.
Semua unsur dalm Ix = 0, karena jika tidak, simpul itu tidak bisa dihapuskan. K =
matriks dari simpul yang tetap ada ( unsur admitansi sendiri dan bersama ). L, L T =
matriks dengan unsur admitansi bersama yang dimiliki oleh simpul yang akan tingal
dan simpul yang akan dihapuskan. Persamaan diatas dapat ditulis secara terpisah
sebagai berikut :
IA = K.VA + L.Vx ……………………………………………(1.6 )
Ix = LT.VA + M.Vx……………………………………………(1.7 )
Karena Ix = 0, maka :
0 = LT.VA + M.Vx
Vx = - LT.VA. M-1
IA = K.VA – L.M-1 . LT.VA
Atau IA = Y.VA , dimana Y = K – L.M-1. LT……(1.8)
Jika simpul 3 dan 4 pada gambar 1.1 dihapus, ( Generator pada Rel 3 dihilangkan ),
maka penyekatan dan penghapusan matriks dilakukan sebagai berikut :
K
L
Y rel =
-j 9,8
j 0,0
j4,0
j 5,0
j 0,0
-j 8,3
j 2,5
j 5,0
1
-J18,0 - J8,0
, M-1 =
=
LT M
j 4,0
j 2,5
-j 15,3
j 8,0
j 5,0
j 5,0
j 8,0
-j18,0
j 0,0914
j 0,0406
j 0,0406
j 0,0736
197
-J8,0
-J14,0
=
j4,0 j 5,0
j 0,0914 j 0,0406
j 4,0 j 2,5
L.M-1. LT =
j4.9264 j 4,0736
=-
j 2,5 j 5,0
j 0,0406 j 0,0736
-j 9,8
j 5,0 j 5,0
j 0,0
Yrel = K – L.M-1.LT =
j4,0736 j 3,4264
-j 4,8736
j4,0736
- L.M-1.LT =
j 0,0
-j 8,3
-j 4,0736
j 4,8736
CATATAN :
1. Peghapusan simpul juga dapat dilakukan dengan Transformasi Y – Δ dan
dengan melakukan penghubungan impedansi seri paralel.
2. Metoda penyekatan matriks ádalah suatu metoda umum yang lebih sesuai
untuk menyelesaikan dengan program komputer.
3. Untuk penghapusan statu jumlah simpul yang besar, matriks M juga akan
besar.
4. Invers matriz M yang besar dapat dihindari dengan menghapus setiap kali
satu simpul saja, dan prosesnya menjadi Sangay sederhana.
5. Unsur yang akan dihapus, harus yang bernomor paling tinggi, dan
penomoran kembali kemungkinan diperlukan.
Bila :
Yrel =
Y11
Y1j Y1n
Yk1
Ykj
Ykn .................................................................( 1,9 )
Yn1
Ynj
Ynn
Maka dengan mereduksi matriks yang satu simpul diperoleh sebagai bedrikut :
Y11
Y1j Y1n
Y1n
Yrel baru = Yk1
Ykj
Ykn - 1/Ynn
....
....
....
[ Yn1... Ynj.... ] ..............( 1,10 )
Ykn
Atau
Ykn . Ynj
Ykj baru = Ykj asli -
……………………………….( 1.11 )
Ynn
Untuk :
-j 9,8
Yrel =
j 0,0
j 4,0
j 5,0
j 0,0
-j 8,3
j 2,5
j 5,0
j 4,0
j 2,5
-j 15,3
j 8,0
j 5,0
j 5,0
j 8,0
- j18,0
Perubahan unsur-unsur dapat dilakukan dengan contoh yaitu unsur j 2,5 baris
3, kolom 2
j 8,0 x j 5,0
Y32 baru = j 2,5 –
= j 4,7222
- j18,0
J 5,0 x j5,0
Y11 baru = j 9,8 –
= -j 8,4111
- j 18,0
Sehingga untuk reduksi 1 simpul diperoleh :
Yrel =
-j 8,4111
j 1,3889
j1,3889
-j 6,9111
j 6,2222
j 4,7222
j 6,2222
j 4,7222
-j 10,9444
dan reduksi selanjutnya menghasilkan :
-j 4,8736
j 4,0736
Yrel =
j 4,0736
-j 4,8736
1.4. MATRIKS IMPEDANSI REL
Jika matriks Y rel diinvers, maka akan dengan mudah diperoleh matriks impedansi
rel Zrel .
Z rel = Y-1rel …………………………………………( 1.12 )
Bentuk matriks stándar dari jeringan tiga simpul ditulis sebagai berikut :
Z11
Z rel =
Z12 Z13
Z21
Z22
Z23 .......................................................................( 1.13 )
Z31
Z32 Z33
Karena Yrel adalah matriks simetris, maka Z rel pun merupakan matriks simetris. Unsur
diagonal dari matriks Z rel disebut Impedansi Titik Penggerak ( Driving point
Impedance ).Simpul-simpul dan unsure-unsur non diagonal disebut Impedansi
Pemindah ( Transfer Impedance )simpul-simpil.
Untuk memperoleh Zrel tidak selalu haus membentuk Yrel terlebih dahulu, namun
dapat diperoleh secara langsung seperti diuraikan berikut ini. Dalam membentuk Zrel
ada beberapa kasus yang akan dijumpai.
1. Menambah Zb dari suatu rel baru P pada rel acuan
P
Zb
Z asli
0
acuan
V1
V2
Zasli
0
I1
0
I2
V3
.
0
I3
.
.
0
In
Zb
Ip
=
Vn
Vp
0
0
0
.....
......................................( 1.14)
2. Menambahkan Zb dari suatu rel baru P pada suatu rel yang ada
Zb
Z asli
P
k
0
V1
V2
Zasli
V3
.
Z1k
I1
Z2k
I2 k
Z3k
I3
=
.
Vn
Zasli
kolom k
....( 1.15)
. p
baris k
Zkk+ Zb
Znk In
Vp
Zk1 Zk2 .... Zkn
Zkk +Zb Ip
3. Menambahkan Zb dari suatu rel k yang sudah ada ke rel acuan
Zb
Z asli
P
k
0
- Disini ditambahkan sebuah rel baru P yang dihubungkan melalui Zb ke rel k
- Kemudian rel P dihubungsingkatkan ke rel acuan dengan penambahan Vp sama
dengan nol untuk menghasilkan persamaan matriks seperti pada kasus 2 dengan Vp
= 0.
- Hilangkan baris p dan kolom k dengan reduksi Kron,
Zh ( n+1 ) . Z(n+1)i
Zhi (baru ) = Zhi (asli ) –
...............................( 1.16 )
Zkk + Zb
4. Menambahkan Zb diantara 2 buah rel j dan k yang sudah ada
Zb
k
q
Z asli
0
j
Rel q bersifat sementara, sebagai alat bantu.
V1
V2
Zasli
Z1j-Z1k
Ii
Zjj-Zjk
Ij
Zkj-Zkk
Ik …….( 1.17)
V3
.
=
.
Vn
Vp
Znj-Znk
(Zj1-Zk1)
… ( Zj1 – Zk1 ) ……
Zbb
.
In
Ib
Zbb = Zb + Zjj + Zkk – 2 Zjk
Kemudian dengan reduksi Kron diperoleh unsur-unsur baru dari Z, yaitu :
Zh(n+1). Z(n+1) i
Zhi ( baru ) = Zhi (asli ) –
…………….( 1.18 )
Zb + Zjj + Zkk + 2Zjk
Contoh :
Suatu sistem tenaga liistrik terdiri atas 4 rel dan 6 saluran, sebagaimana gambar
berikut ini :
4
Z= j 0,125
Z = j 0,25
2
6
Z= j0,2
5
Z = j 0,4
3
1
2
1
3
Z= j 1,25
4
Z= j 1,25
Rel acuan
Buatlah matriks dari gambar tersebut diatas
PENYELESAIAN
a. Rel 1 dibentuk dengan impedansinya ke rel acuan adalah :
[ V1 ] = [ j 1,25 ] [ I1 ]
b. Matriks impedansi rel 1 x 1 diperoleh :
Z rel1 = [ j 1,25 ] ……………………………………………………….. Kasusu 1
c. Untuk mendapatkan matriks rel 2 dengan impedansi ke rel 1 :
j 1,25
j1,25
Z rel 2 =
,
j 1,25
j 1,50 = j 1.25 + j 0,25.............................Kasus 2
j 1,50
d. Rel 3 dengan impedansi yang terhubung ke rel 2 diperoleh :
Z rel 3 =
j 1,25
j 1,25
j 1,25
j1,25
j 1,50
j 1,50
j 1.25
j 1,50 , j 1,90 = j1,50 + j 0,4...............Kasus 3
j 1,90
e. Dari rel 3 terhubung ke rel acuan dengan impedansi sebesar j1,25 dan
mengacu ke kasusu 3, maka diperoleh :
Z rel 4 =
j 1,25
j 1,25
j 1,25
j 1,25
j1,25
j 1,50
j 1,50
j 1,50
j 1.25
j 1,50
j 1,90
j 1,90
j 1,25
j 1,50 , j 3,15 = j1,90+j1,25 ...Kasus 4
j 1,90
j 3,15
f. Kemudian dilakukan reduksi Kron :
j 1,25 x j1,25
Z 11 ( baru ) = j 1,25 -
= j 0,75397
J 3,15
Dengan mereduksi semua nilai pada matrik kolom dan baris, didapatlah :
Z rel 5 =
j 0,75397 j 0,65476
j 0,65476 j 0,78571
j 0,49603 j 0,59524
j 0,49603
j 0,59524
j 0,75397
g. Rel 4 dihubungkan ke rel 3 melalui impedansi sebesar j 0,2 ( kasus 2 ),
sehingga didapat Z rel sebagai berikut :
Z rel 5 =
j 0,75397 j 0,65476
j 0,65476 j 0,78571
j 0,49603 j 0,59524
j 0,49603 j 0,59524
j 0,49603 j 0,49603
j 0,59524 j 0,59524
j 0,75397 j 0,75397
j 0,75397 j 0,95397
j 0,95397 = j 0,75397 + j 0,2
h. Dengan menambahkan impedansi antara rel 2 dan 4 sebesar j 0,125 ( kasus 4 )
Bila j = 2 dan k = 4, maka :
Z15 = Z12 – Z14 = j 0,65476 – j 0,49603 = j 0,15873
Z25 = Z22 – Z24 = j 0,78571 – j 0,59524 = j 0,19047
Z35 = Z32 – Z34 = - j0,15873
Z45 = Z42 – Z44 = - j0,35873
Z55 = Z22 + Z44 - 2 Z24 + Z rel 2-4 = j 0,67421
Sehingga Z rel matriks 5 x 5 yang dihasilkan adalah sebagai berikut :
j 0,75397
j 0,65476
j 0,49603
j 0,49603
j 0,15873
j 0,65476
j 0,78571
j 0,59524
j 0,59524
j 0,19047
j 0,49603 j 0,49603
j 0,15873
j 0,59524 j 0,59524
j 0,19047
j 0,75397 j 0,75397 - j 0,15873
j 0,75397 j 0,95397 - j 0,35873
- j 0,15873 - j 0,35873
j 0,67421
Dengan reduksi Kron, dari matriks diatas, didapatlah Impedansi Rel Sistem
Tenaga Listrik gambar tersebut diatas sebagai berikut :
Z rel =
j 0,71660
j 0,60992
j 0,53340
j 0,58049
j 0,60992 j 0,53340 j 0,58049
j 0,73190 j 0,64008 j 0,69659
j 0,64008 j 0,71660 j 0,66651
j 0,69659 j 0,66651 j 0,76310