solusi aljabar linier resume menghitung

KUMPULAN SOAL & JAWABAN

ALJABAR LINIER II
D
I
S
U
S
U
N

OLEH :

DARNAH SUANDI D
01 3104 006
MATEMATIKA (A)

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
2005

SOLUSI LATIHAN 4.3 HALAMAN 119
1.

a) Semua vektor yang berbentuk (a, 0, 0)
Misal V1 = (a1, 0, 0)

V2 = (a2, 0, 0)

W = V1 + V2 = (a1 + a2, 0, 0) terletak dalam W
- kV 1 = k  a,0,0   ka,0,0  terletak pada W
Jadi W sub ruang dalam R3
b) Vektor yang berbentuk (a, 1, 1)
Misal V1  a1 ,1,1 dan V2  a 2 ,1,1

W V1  V2  a1  a 2 ,2,2 bukan vektor dalamW
Jadi vektor yang berbentuk (a, 0, 0) bukan sub ruang R3
c) (a,b,c), dimana b = a + c
Jadi vektornya baru bisa ditulis (a, a+c, c)
ambil U = (a1, a1 + c1, c1) dan V = (a2, a2+c2, c2)

U + V = (a1 + a2 , a1 + c1 + a2+c2, c1 + c2 ) memenuhi
Ambil k skalar

k U = k (a1, a1 + c1, c1)
= ( k a1, k(a1 + c1), k c1) memenuhi

Jadi sub ruang R3
d) Semua vektor yang berbentuk (a,b,c) ; b = a + c + 1
Jadi bisa ditulis (a, (a + c + 1), c)
ambil

U (a,

( a1+c1+1), c1)

V (a 2 ,  a 2  c 2  1, c 2 )

Adalah vektor (a, b, c)

U  V  a1  a 2 , a1  a 2  c1  c 2  2, c1  c 2 

Ternyata b = a1 + a2 +c1 + c2 + 2 tidak memenuhi, jadi bukan sub ruang.

2.

a
c

a) Semua matriks yang berbentuk 

b
 ; a, b, c, d  Z
d 

 a1 b1 
 ka kb1 
  kV  1
 untuk k bilangan bulat  ka1 ,
Ambil V 
 c1 d1 
 kc1 kd1 

kb1 , kc1 , kd1  Z

 bukan sub ruang
a
c

b) Semua matriks yang berbentuk 
 a1
Ambil U 
 c1

b
;a+d=0
d 

b1 
a
 a1  d1 0 V  2
d1 
 c2

b2 
 a  d 2 0
d 2  2

 a1  a 2 b1  b2 
   a1  a 2    d1  d 2  0
U  V 
 c1  a 2 d1  d 2 

=  a1  d1    a 2  d 2 
= 0 + 0 = 0 memenuhi
 ka1
kU  
 kc1

kb1 
  ka1  kd1
kd1 

= k  a1  d1 
= k (0) = 0 memenuhi
Jadi merupakan sub ruang dari M22
c) Semua matriks berbentuk 2 x 2  A  A t
a

b

a

b

t
A   c d   A  c d  , supaya





A  A t  c b

 a1
Ambil A1 
 c1
 a2

A2 
c
 2

b2 


d 2 

b1 
 dimana b1 c1
d1 

dimana b2 c 2

a  a
A1  A2  1 2
 c1  c2
 ka
kA1  1
 kc1

b1  b2 

d1  d 2 

b1  b2 = c1  c2

kb1 
  kb1 kc1 memenuhi
kd1 

Jadi merupakan sub ruang M22
d) Semua matriks 2 x 2  det( A) 0

a b
 , supaya det( A)  ad  bc 0
Misal A  
c d
 a1
Ambil A1 
 c1

 a2

A2 
c
 2

b1 
 a d  b1c1 0 dan
d1  1 1

a  a
A1  A2  1 2

 c1  c2

b2 


d 2 

a2 d 2  b2c2 0

b1  b2 

d1  d 2 

=  a1  a 2  d1  d 2    b1  b2  c1  c 2 
=  a1 d1  a 2 d 2  a 2 d1  a1 d 2    b1c1  b2 c 2  b1c 2  b2 c1 
=  (a1 d1  b1c1 )  (a 2 d 2  b2 c2 )  (a 2 d1  b2 c1 )  (a1 d 2  b1c 2 ) 
=0+0=0
=  a 2 d1  b2 c1    a1 d 2  b1c 2  0 (tidak memenuhi)
Jadi bukan sub ruang dari M22
3.

2
3
a) Semua polinomial a 0  a1 x  a 2 x  a3 x

a 0 0  W

Ambil p dan q merupakan polinom-polinom yang terletak pada W
p x  a 0  a1 x  a 2 x 2  a3 x 3 a0 0
q  x  b0  b1 x  b2 x 2  b3 x 3

b0 0

 p  q  x  a0  b0  (a1  b1 ) x  (a2  b2 ) x 2  (a3  b3 ) x 3 dimana
a 0  b0 0  0 0  memenuhi

kp x  k (a0 )  (ka1 ) x  (ka 2 ) x 2  (ka3 ) x 3

k (a 0 ) k  0  0  memenuhi

Jadi merupakan sub ruang dari P3
b) W ( x) a 0  a1 x  a 2 x 2  a3 x 3 , a 0  a1  a 2  a3 0
Ambil p  x  dan q  x  pada W 
p  x  b0  b1 x  b2 x 2  b3 x 3 b0  b1  b2  b3 0
q  x  c 0  c1 x  c 2 x 2  c 3 x 3 c 0  c1  c 2  c3 0

p  q x   b0  c 0    b1  c1  x   b2  c 2  x 2   b3  c3  x 3

Kita selidiki

 b0  c0    b1  c1    b2  c 2    b3  c3  0
(b0  b1  b2  b3 )   c 0  c1  c 2  c3  0  0 0 memenuhi

Ambil skalar k



kp x   kb0    kb1  x   kb2  x 2   kb3  x 3

Akan diselidiki apakah kb0  kb1  kb2  kb3 0

 k (b0  b1  b2  b3 ) k (0) 0 memenuhi
Jadi merupakan sub ruang P3 (W)
2
3
c) p  x   a 0  a1 x  a 2 x  a 3 x , a 0 , a1 , a 2 , a 3  Z

Ambil k = bilangan pecahan 

 kp  k  k (a 0 )  (ka1 ) x  (ka 2 ) x 2  (ka 3 ) x 3
sehingga diperoleh ka1 , ka 2 , ka 3 , ka 0 tidak semuanya  Z

d) Polinomial W  x  a 0  a1 x

a 0 , a1  R

Ambil p  x  b0  b1 x , b0 , b1  R
q x  q 0  q1 x , q 0 , q1  R

 p  q  x   b0  q 0    b1  q1  x

; b0  q 0  R

b1  q1  R

k  p  x   kp  x  kb0    kb1  x , kb0 , kb1  R

Jadi merupakan sub ruang
4.

a) Semua f sehingga f  x  0 x
f 1  x  0 , x
f 2  x  0 , x

 f1  f 2  x  0  0  f  x1  x 2  0
kf  x  tidak semuanya 0 , ambil k = negatif

Maka kf  x  0 tidak memenuhi
b) Semua f  0  0
f 1  f 2  f  0  f (0) 0

kf 1 kf  0  k .0 0

Merupakan sub ruang
c) Semua f  0  2
f 1  f 2  f 1  0  f 2 (0) 2  2 2 tidak memenuhi

Jadi bukan sub ruang
d) Semua fungsi konstan: f  x  c , c = konstant
f 1  f 2  f 1  x   f 2 ( x)

 c1  c 2 

konstan

kf 1 kf 1  x  k .c, konstan

Jadi merupakan sub ruang
e) Semua f yang berbentuk k1  k 2 sin x , k1 , k 2 adalah bilangan riil
f 1  f 2 (k1  k 2 sin x)  (k 2  k 3 sin x)

=  k1  k 2   k 2  k 3  sin x  memenuhi
kf1 k (k1  k 2 sin x) 

= kk1  kk 2 sin x , kk1 , kk 2 adalah bilangan Riil
Jadi merupakan sub ruang
Tentukan kombinasi linier U 1, 1,3 dan V  2,4,0 

5.

a)  3,3,3
Ambil W  1 ,  2 3 

 1 U   2 V  3,3,3

 1 1, 1,3   2  2,4,0  3,3,3
 1  2 2 3 ........(1)
  1  4 2 3 ........ (2)
3 1 3

............. (3)

 1 1
 1 1 subtitusi pada 2)   1  4 2 3

 2 1

 3,3,3 U  V
b)

 4,2,6  1  , 1,3   2  2,4,0
 1  2 2 4
  1  4 2 2

3 1  0 6

 1 2 subtitusi pada   1  4 2 2
4 2 4

 4,2,6 2U
c)

 2 1

V

1,5,6  1 1, 1,3    2,4,0
 1  2 2 1
  1  4 2 5  2  4 2 5
3 1 6

4 2 7

 1 2

2 

7
4

Karena  2 memberi nilai yang berbeda maka 1,5,6  tidak dapat ditulis
sebagai kombinasi linier dengan 1, 1,3 dan  2,4,0 
d)

 0,0,0  1 1, 1,3   2  2,4,0
1

0
0


2
6

0  1
 
0   0
0   0

 6

2
6

0  1
 
0   0
0   0

 6

2
6

0

0
0 

 6

Karena baris ketiga nol, maka tidak ada solusi jadi bukan kombinasi linier.
Ungkaplah bilangan berikut sebagai kombinasi U  2,1,4 

6.

V 1, 1,3 , W  3,2,5
Ambil P  1  2,1,4    2 1, 1,3   3  3,2,5 P adalah konstanta
a)  5,9,5 dalam bentuk matriks
2

1
4

2

0
0


1

3

1

2

3

5

5

9
5 

1
1

3
 13

1

 1

2

0
0


1

3

1

 13

0

1

1

0
0


0
1

0
0

0

1



2

1
0


5 

13 3 
 5 

5 

13 3 
1 



3 

 4
1 

 1 3 ,  2 4 ,  3 1
 P1 3U  4V  W



1

3

 1

2

1

 1

2

0
0


5 

9 
 5 

1
1

3
13

0

 2 3

2

0
0


1

3

1

0

0

1



2

0
0


5 

13 3 
 2 3 

5 

 4
1 



1

3

 3 2

12

1

 1

5 

13 2 
 5 



2

0
0


1

0

1

0

0

1

2 

 4
1 





b) P2 = (2, 0, 6)
2

1
4


1

3

1

2

3

5

2

0
6 

2

0
0


1
1

3
 13

1

 1

2

0
0


1
1

3
13

0

1



2

1
0


2 

 2 3
2 

2 

 2 3
 2 

1
 1

2

1

 1

2

0
2 

2

0
0


1
1

3
13

1

 2 3

2

0
0


0
1

0
0

0

1





3



2

0
0


1

3

 3 2

12

1

 1

2 

 2 3
4 3 

8 

0 
 2 

2

1
2 





 1 4 ,  2 0 ,  3  2

 P1 4U  2W

c) P3 = (0, 0, 0)
2

0
0


0

0

1

0

0

1

0

0   1 0 ,  2  0 ,  3  0
0 

 P3 0U  0V  0W

d) P4 = (2, 2, 3)
2

1
4


1

3

 1

2

3

5

2

2
3 



2

1
0


1

3

 1

2

1

 1

2 

2 
 5 



2

1
0


1

3

 3 2

12

1

 1

2 

1 
 1



2

0
0


2

1
0


1
1

0
 13

0

1



1

3

1

 13

1

 1

2 

 2 3
 1 



2

1
0


1

3

1

13

0

 2 3

2 

 2 3
 1 3 



1 2 

 1 2
1 2 

2

0
0


0

0

1

0

0

1

1



1
1
1
 1 2   1  ,  2  ,  3 
2
2
2
1 2 

1
1
1
 P4  U  V  W
2
2
2

7.

Nyatakan sebagai kombinasi linier dari P1 2  x  4 x 2
P2 1  x 3 x 2
P3 3  2 x  5 x 2
2
a) 5  9 x  5 x  1 P1   2 P2   3 P3

5  9 x  5 x 2  1 (2  x  4 x 2 )   2 (1  x 3x 2 )   3 (3  2 x  5 x 2 )

Diperoleh tiga persamaan
2 1   2  3 3 5

 1   2  2 3 9
4 1  3 2  5 3 5

Dalam matriks diperluas diperoleh;
2

1
4


1
1

3
2

3

5

1

0
0


0

0

1

0

0

1

Jadi

5

9  dari soal (6) diperoleh matriks tereduksi
5 
3 

 4
1 

  1 3 ,  2  4 ,  3

1

 5  9 x  5 x 2 3P1  4 P2  P3
2
b) 2  6 x  1 P1   2 P2   3 P3

Diperoleh tiga persamaan
2 1   2  3 3 2

 1   2  2 3 0

dalam bentuk matriks

4 1  3 2  5 3 6
2

1
4


1
1

3
2

3

5

1

0
0


0

0

1

0

0

1

2

0  dari soal 6a diperoleh matriks eselon tereduksi
6 
4 

0   1  4 ,  2 0 ,  3   2
 2 

 2  6 x 2 4 P1  2 P3

c) 0 1P1   2 P2   3 P3 dari soal 6c diperoleh
 1  2  3 0

Jadi 0 0 P1  0 P2  0 P3
d) 2  2 x  3 x 2  1 P1   2 P2   3 P3 diperoleh 3 persamaan:
2 1   2  3 3 2

 1   2  2 3 2
2 1  3 2  5 3 3

Dari soal 6d diperoleh  1 
1
2

Jadi 2  2 x  3x 2  P1 

1

2

8. A = 

  1 3

0

B= 
2

1
4

1
1
1
,  2  ,  3 
2
2
2

1
1
P2  P3
2
2

4

C= 
0

 2
 2

Nyatakan vektor tersebut di atas sebagai kombinasi linier dari
a)

6
0


3
P
8

6
P 
0

3
 1 2
0
 



8
  1 3
2

1
4
 

4
0

 2
 2

  4 6
2    2 3
   2  0 0

 1

 2
3  4  2 8 dalam matriks 
1

 3


1

0
0

0


0
1

4
 10

2
4

4
 14

0
1

4
 2

2
4

0
 2

6

3
0

8 





1

0
0

0


6 

 9
6 

 10 



1

0
0

0


0
1

4
 10

1
2

2
 7



1

0
0

0


0
1

0
0

0
0

1
1

2

1
1

1 

6 

 9
3 

 5 



1

0
0

0


  2 ,

0
1

4
 10

0
0

12
13

6 

 9
12 

13 

 1 ,  1

Jadi P 2 A  B  C

b)

 1 7
 1 2
0
Q 
 



 5 1
  1 3
2

  4  1
2  1  2 7
   2  5

1
4
 

4
0

 2
 2

0
1

4
 10

0
0

1
1

6 

 9
20 

13 

3  4   2 1

Dalam matriks diperluas
 1

 2
 1

 3




0
1

4
2

2
4

0
 2

1

0
0

0


Karena

 1

7 
5 

1 

0
1

4
 10

0
0

1
26



1

0
0

0


0
1

4
 10

2
4

4
 14

 1

9 
4 

4 



1

0
0

0


0
1

4
 10

0
0

24
26

1 

9 
 14 

 32 

1
9




 1 12 

 16 13 

 ,  bertentangan pada garis 3 & 4 maka tidak ada nilai  ,  , 

yang memenuhi Jadi Q bukan kombinasi linier dari A, B, C
c)

0
R 
0

d)

 6
S 
 8
 1

 2
 1

 3




1

0
0

0


0
0 A  0 B  0C
0
 1
dalam matriks ditulis
 8

0
1

4
2

2
4

0
 2

6 

 1
 8

 8 

0
1

4
 10

0
0

1
1



1

0
0

0


6 

 13 
1 

1 



0
1

4
 10

2
4

4
 14

1

0
0

0


0
1

0
0

0
0

1
0

Jadi  2 ,   3 ,  1
S 2 A  3B  C

9

6 

 13 
 2 

 26 

a) V1 1,1,1 V1  2,2,0 
Ambil U  u1 , u 2 , u 3  

 u1 , u 2 , u 3   1,1,1    2,2,0   3,0,0

2 

 3
1 

0 



1

0
0

0


0
1

4
 10

0
0

24
26

6 

 13 
24 

26 

1
   u1  u 2  u 3 
3

  2  3 u1
  2  u 2



1
  u  u 3 
2

 u 3



 u 3

Jadi V1 , V2 , V3 merentang R3
Apakah  ,  ,  konsisten ? , maka harus diselidiki bahwa
1

B  1
1


2
2
0

3

0  mempunyai invers, kita lihat Det (B) = 1(0)+2(0)+3(-2) 0 .
0 

Jadi ada invers B



V1 , V2 , V3 konsisten akibat dari itu V1 , V2 , V3

merentang R3.
b) V1  2, 1,3

V2  4,1,2 

Ambil U  u1 , u 2 , u 3 

 u1 , u 2 , u 3    2, 1,3    4,1,2  8, 1,8
2  4  8 u1

 1     u 2
3  2   8 u 3

V3  8, 1,8

 2 4

 1 1
 3 2


8 u 

 1 u2 
8 u 3 



1 2 4
u1 2 


u1

 u2 
 0 3 3

2

5u1 
 0 4  4 u3 


2 



3


u1 
 3 6 12
2


u
1
0 3 3
 u2 


2


9
b1  3b3 
 0 12 12
2


1


u1  2u 2 
3 0 6
2


1


u1  u 2
 0 3 3

2


5
u1  4u 2  3u 3 
0 0 0
2


Pada baris 3 diperoleh;
0 5 2 u1  4u 2  3u 3 (mustahil)

 V1 , V2 , V3 tidak merentang R3

c) V1  3,1,4 

V2  2, 3,5 V3  5, 2,9 

V4 1,4, 1

 b1 , b2 , b3    3,1,4    2, 3,5   5, 2,9   1,4, 1
3  2   5   b1

  3  2  4 b2
4  5  9   b3

Dalam bentuk matriks

3 persamaan dengan 4 anu

3

1
4


2

5

1

b1 

 3  2 4 b2 
5
9  1 b3 



8
20
4
4b1 
12


12  36  24 48 12b2 
12 15
27  3 3b3 


8
20
4
4b1
12



 0  44  44 44 12b2  4b1 
0

7
7
 7
3b3



2

1
3

  0 1

0 0


5
3

1
3



2

1
3

0 1


0 1





1
 1   3b2  b1  

11

1
1
(3b3  4b1 ) 
7


1
 3b3  4b1   1  3b2  b1  mustahil
7
11

10. f cos 2 x dan g sin 2 x
a) cos 2 x cos 2 x  sin 2 x k1 cos 2 x  k 2 sin 2 x
k 2  1

dan g merentang cos 2 x

b) 3  x 2 k1 cos 2 x  k 2 sin 2 x
Tidak ada k1 dan k2 yang memenuhi, jadi
 f dan g merentang
c)

1

1
b1
3

1
b1
3

Jadi V1 , V2 , V3 tidak merentang R3

 f

1

1
3




1

1 1
  3b2  b1 

11

1
1
0 0
(3b3  4b1 )   3b2  b1  
7
11


Karena baris ke 3 diperoleh 0 

k1 1

5
3



1 k1 cos 2 x  k 2 sin 2 x

1 cos 2 x  sin 2 x untuk k1 = 1 , k2 = 1

Jadi f dan g merentang
sin x k1 cos 2 x  k 2 sin 2 x

d)

Tidak ada k1 dan k2 yang memenuhi
Jadi f dan g tidak merentang.
11. Apakah polinom-polinom berikut P2
P1 1  2 x  x 2 P2 3  x 2
P3 5  4 x  x 2 P4  2  2 x  2 x 2

Ambil U  a, b, c 

 a, b, c   1 1  2 x 

x 2    2 3  x 2    3 5  4 x  x 2    4   2  2 x  2 x 2 

 1  3 2  5 3  2 4 a
2 1  0 2  4 3  2 4 b
 1

 2
 1


1

0
0


3

5

1

1

0

0

3
0

5
4

1

 1

 2

2 
 2 



matriks utamanya adalah   1   2   3  2 4 c

1

0
0


3
 6

5
 6

4

4

 2

6 
 4 



1

0
0


3
1

5
1

1

1

 2

 1
 1 



 2

 1
0 

Karena baris terakhir pada matriks utama yang telah direduksi semuanya nol
Jadi P1 , P2 , P3 , P4 tidak merentang P2
12. V1  2,1,0,3

V2  3, 1,5,2 

V3   1,0,2,1

Yang mana vektor berikut berada lin  V1 , V2 , V3 
a)

 2,3, 7,3 u1
 2,3, 7,3   2,1,0,3    3, 1,5,2    1,0,2,1
2  3   2

   3
5  2  7

Dalam matriks
2

1
0

3


3
1

1
0

5
2

2
1

2 

3 
 7

3 



6

0
0

0


9
 15

 3
3

5
 5

2
5



2

0
0

0


3
0

1
9

5
0

2
1


6 

12 
 7

0 

3 

 9
 7

 1 



6

6
0

6



2

0
0

0


9
 6

 3
0

5
4

2
2

2

0
0

0


6 

18 
 7

6 

3
 15

1
3

5
0

2
7

3
0

0
1

5
0

0
1

3 

 1
 5

 1 

3 

12 
 7

 7 



2

0
0

0


 3 ,   1 ,   1
U 1 3V1  V2  V3

 Jadi U 1 berada dalam lin  V1 , V2 , V3 
b)

U 2  0,0,0,0 0V1  0V2  0V3  0V4

 U 2 berada dalam lin  V1 , V2 , V3 

c)

U 3 1,1,1,1 V1   V2  V3

Dari bagian a dapat diperoleh matriks diperbesar

0
0

0
1

1
0

0
1

6 

 1
 1

 1

2

1
0

3




3
 1
5
2

6

0
0

0


 1 1

0 1
2 1

7 1

9
0

 3
9

5
0

2
7



6

6
0

6


9
 6

 3
0

5
4

2
2

3 

6 
1 

 2 



6

0
0

0


9
 15

 3
3

5
 5

2
5

3 

3 
1 

 1

3

6
1

0 

Dari barisan  

2
dan dari baris (4)  0 bertentangan. Jadi tidak ada
3

U 3 V1   V2  V3 dengan demikian U 3 tidak berada dalam lin

 V1 ,V2 , V3  .
U 4   4,6, 13,4 

d)

Dari bagian a dapat diperoleh matriks diperbesar
2

1
0

3


3
1

1
0

5
2

2
7

6

0
0

3


9
 15

 3
3

5
2

2
1

2

0
0

0


3
0

1
0

5
0

0
1

 12 

48 
 13 

4 

 4

0 
 15 

1 



 4

6 
 13 

4 

 6 9  3  12 


56 
6  6 0

0 5
2  13 


6 4

2
8



6

0
0

0




2

0
0

0


0
0

0
0

1
0

0
1

9  3  12 

0 9
9 
5 2  13 

0 7
7 

6 

0 
 3

1 





2

0
0

0


3
0

1
1

5
0

2
1

 4

1 
 13 

1 

 3 ,   3 ,  1



Jadi U 4 3V1  3V2  V3 dengan demikian maka U 4 berada dalam lin

 V1 ,V2 , V3 
13.

Cari sebuah persamaan untuk bidang yang direntang oleh vektor-vektor :
U 1,1,1 dan V  2,3,5

Misalkan persmaan tersebut adalah ax  by cz 0
Direntang oleh

U  a  b  c 0

V  2a  3b  5c 0

1

2

1

1

3

5

0

0 



1

0

1

1

1

7

0

0 



1

0

0

 8

1

7

0

0 

a  8c 0  a 8c
b  7 c 0  b   7 c

Subtitusi pada persamaan
kalikan

8cx  7cy  cz 0

8 x  7 y  z 0

1
dimana c 0
c

merupakan persamaan bidang yang direntang oleh

U

dan V .
14.

Cari persamaan parametrik untuk garis yang direntang oleh vektor

U

=

 2,7, 1
Jawab:

 x, y, z    2,7, 1
x 2 , y 7 , z   dimana      

15.

Perhatikan vektor-vektor pemecahan dari sebuah sistem konsisten tak
homogen terdiri m persamaan linier n bilangan tak diketahui tidak membentuk
sub grup dari Rn
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n b1








a n1 x1  a n 2 x 2  ...  a mn x n bm

Atau dalam notasi matriks, Ax b . Kita misalkan solusi dari persamaan ini
adalah
 s1 
s 
S   2  pada Rn
 
 
 sn 

Solusi vektor pada S memenuhi x1  s1 , x 2  s 2 ,



xn sn

Misalkan W himpunan vektor pemecahan dan s1 , s 2 adalah vektor-vektor
padaW
Kalau W subruang dari Rn maka harus diperlihatkan bahwa s1 + s 2 , k s1
merupakan vektor-vektor pada W. Karena s1 dan s 2 merupakan vektor
pemecahan maka kita peroleh
As1 b dan As 2 b

A s  s1   As1  As2
b  b
2b

Dimana 2b b  s1  s 2 tidak pada W.
Jadi W bukan sub ruang dari Rn
16.

Dari contoh 8
V adalah himpunan semua fungsi bernilai riil yang didefenisikan pada seluruh
garis riil, f  f (x) dan g  g  x  adalah dua fungsi pada V ke sebarang
bilangan riil dan didefinisikan

f

 g  x   f  x   g  x 

(kf ) x  kf  x 

Seperti pada gambar

Perhatikan bahwa himpunan fungsi-fungsi berikut adalah sub ruang dari
vektor di atas
a) Semua fungsi kontinu di semua titik
Ambil f  f  x  fungsi kontinu pada V
g  g  x  fungsi kontinu pada V

f

 g  x   f  x   g  x  juga kontinu di v

 kf  x  kf  x  ; f  x  kontinu di V 

kf  x  juga kontinu

Jadi fungsi kontinu merupakan sub ruang pada V
b) Semua fungsi-fungsi terdefenisikan disemua titik
Ambil f  f  x   f '  f '  x  ada
g  g  x   g '  g '  x  ada

 f ' g ' x   f '  x   g '  x   ada
 kf '  x  kf '  x 
k  f '  x    ada

Jadi fungsi terdeferensialkan merupakan sub ruang V
c) Fungsi terdeferensial yang memenuhi f '  f 0
Ambil f  f  x   f '  f '  x  dimana f '  x   2 f  x  0
g  g  x   g '  g '  x  dimana g '  x   2 g  x  0

 f ' g ' x   f '  x   g '  x  dan  f
 f ' g ' x  2 f  g  x 
 f '  x  g '  x  2 f  x  2g  x

 f '  x   2 f  x     g '  x   2 g  x  
0  0
0 memenuhi
kf '  x  kf '  x 

kf  x  kf  x 

kf '  x   2kf  x 

k  f '  x   2 f  x  

 g  x   f  x   g  x 

 k .0

0 memenuhi

Jadi merupakan sub ruang V

SOLUSI LATIHAN 4.4 HALAMAN 156
1. a) U 1 1,2 dan U 2   3, 6  pada R2
Tak bebas linear karena U 2  3U 1 (U 2 hasil kali skalar V1)
b) U 1  2,3 , U 2   5,8 , U 3  6,1 pada R2
k  2,3  k 2   5,8  k 3  6,1  0,0 
2k1  5k 2  6k 3 0
3k1  8k 2  k 3 0
2

3

 5

6

8

1

2

0

 5

6

1

20

0

0 

6

  6

0

0 



2

  0


 15

18

16

2

10

106

1

20

0

0 

  0

6

0

0 

  0



 15

18

1

20

1

0

53



1

20

0

0 



0

0 

k1  53k 3 0
k 2  20k 3 0

k 2  20t
t k 3

k1  53t

Karena k1, k2 dan k3 tidak semuanya nol maka tak bebas linier.
c) P1 2  3x  x 2 dan P2 6  9 x  3x 2
Tak bebas linear karena P2 diperoleh dari perkalian skalar P1 yaitu
P2 3P1

d)

1
A 
2

3

0 

 1
B 
 2

 3
 pada M22
0 

Tak bebas linear karena B merupakan perkalian skalar dari A yaitu B = -A
2.

Tunjukkan yang tak bebas linear dari himpunan vektor berikut:
a)  2, 1,4  ,  3,6,2  ,  2,10, 4 
 2

 1
 4




b)

3
6

2
10

2

 4

 10

 0
 0

1

0
0


0

0
0 

15

10

15

22

 4

0

0
0

0
1

1

0


0

0
0 

 2

 2
 0




 10

 0
 0


3
12

2
20

 4

0

0

0
0 

0

12

15

22

 4

0



0

0
0 

2

0
0




3
15

2
22

 4

0

0

6

0

22

1

0

5

0
0


0

0   k1 k 2 k 3 0 maka bebas linear.
0 

 3,1,1 ,  2, 1,5 ,  4,0,3

0

0
0 
0

0
0 

0

1
0


3

1
1


2

4

 1

0

5

3

5
1

4
0

1

1

0

0
0 



0

1
0


0

0
0 

0

 1

0

1

1

1



0

0
0 

0

1
1




5

4

1

0

5

3

0

1
0


0

1

0

0
0 



0

1
1


5

4

1

0

0

1

0

0
0 



0

0   k1 k 2 k3 0
0 

0

0

1

0

1
1

0

0
0 

Jadi bebas linear

c)  6,0, 1 , 1,1,4 

 6

  0
 1


4



0

0
1


25
1

0

0
0 

 4



0

0
1


0
1
0

0

0
0 

k1 k 2 0  bebas linear

d) 1,3,3 ,  0,1,4  ,  5,6,3 ,  7,2, 1 karena pada R3, sedang banyak vektor
ada 4 sehingga r  n  vektor tersebut tidak bebas linear (teorema 8)

3.

c)

 4,4,0,0 ,  0,0,6,6  ,  

5,0,5,5

  4,4,0,0     0,0,6,6    5,0,5,5  0,0,0,0
4

4
0

0


0
0

 5
0

6
6

5
5

0

0
0

0 

4

0
0

0


0
0

 5
5

6
0

0
0

0

0
0

0 

1

0
0

0


0
0

0
1

1
0

0
0

Jadi bebas linear
d)  3,0,4,1 ,  6,2, 1,2  ,   1,3,5,1 ,   3,7,8,3

0
  0
0
 0
0
  0
0 

3

0
4

1


0

0
0

1


0

0
0

1


6
2

1
3

 3
7

1
2

5
1

8
3

0
18

 4
27

 12
63

 18
2

2
1

 8
3

0
0

1
0

3
 22

 18
2

0
1

 14
3

0

0
0

0 

0

0
0

0 

0

0
0

0 





0

0
0

1




0

0
0

1


0

0
0

1


0
2

 4
3

 12
7

 9
2

1
1

 4
3

1
0

1
29

3
55

 18
2

2
1

 8
3

0
0

1
0

3
1

9
2

0
0

7
0

0

0
0

0 



0

0
0

0 

0

0
0

1


0

0
0

0 





0
0

1
0

0
1

9
2

0
0

0
0

0

0
0

0 

k1  k 2  k 3  k 4  0

4. a) 2  x  4 x 2 , 3  6 x  2 x 2 , 2  10 x  4 x 2
  2  x  4 x 2    3  6 x  2 x 2    2  10 x  4 x 2  0
 2

 1
 4


3

2

6

10

2

 4

0

0
0 

3
2 0
 2


  2 12 20 0  dari soal (2) a    0
 4
2  4 0 


Jadi bebas linear.
b) 3  x  x 2 , 2  x  5 x 2 , 4  3 x 2
 3  x  x 2     2  x  5 x 2    4  3x 2  0
3  2   4 0

    0 0

dari 2.b diperoleh    0

  5  3 0

Jadi bebas linear.
c)

2
2
6  x 2 , 1  x  4 x 2   6  x    1  x  4 x  0

 6   0

Jadi bebas linear.
d) 1  3 x  3 x 2 , x  4x 2 , 5  6 x  3 x 2 , 7  2 x  x 2
 1  3x  3x 2     x  4 x 2   5  6 x  3x 2    7  2 x  x 2  0
1

3
3


0

5

7

1

6

2

4

3

 1

0

0  dari 2d akan diperoleh
0 

r  n (teorema 8)  vektor

tersebut tak bebas linear.
5. a)

2,4 sin 2 x. cos x
2

1
4 sin 2 x  2 cos 2 x
4





2 2 sin 2 x  2 cos 2 x



2 2 sin 2 x  cos 2 x



Jadi tak bebas linear karena salah satu vektor dapat diperoleh dari 2 vektor
b)

x, cos x    x     cos x  0
  0

 bebas linear

c) 1, sin x, sin 2 x     sin x   sin 2 x 0
  0

 bebas linear

d) cos 2 x, sin 2 x, cos2 x  cos 2 x  sin 2 x   cos2 x
 1   1  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x dipenuhi jadi tidak bebas linear

e)

1  x  2 , x 2  2 x , 3   1  x  2    x 2  2 x    3 0
  3 0

   0

1

1
1


0
1

3
0

1

0

0

0
0 



1

0
0


0
1

3
0

0

0

0

0
0 

   0

  3

 


f)

6. a)

1  x  2  x 2  2 x   1

  

1
 
3

1

3

tidak bebas linear.

0, x, x 2 tak bebas linear karena salah satu vektor ada nol.

V1 1,0, 2

V2  3,1,2  V3 1, 1,0 

Terletak dalam satu bidang jika vector tersebut dapat di nyatakan sebagai
kombinasi linear
 1,0, 2    3,1,2    1, 1,0 0
  3   0
   0
  2  0
1

0
1


1

0
0


3



1

 1

2

0

0
0

0
1

1

0

0

0
0 



1

0
0


3

1

1`

 1

 1

0

0

0
0 



1

0
0


0

1

0

 1

1

0

0

0
0 



0

0
0 

Karena 3 vektor tersebut bebas linear  vector itu tidak terletak dalam satu
bidang
b) V1  2, 1,4 

V2  4,2,3

V3  2,7, 6 

 2

 1
 4


1

0
0


4
2

2
7

3

 6

2
1

1
2

1

2

0

0
0 

0

0
0 





1

0
0


 2

 2
 0


2
1

1
2

0

0

4
4

2
4

 5

 10

0

0
0 



1

0
0


0

0
0 



2

0
0


0
1

 3
2

0

0

4
8

2
16

 5

 10

0

0
0 



0

0
0 

 3 ,    2

 2,7, 6  3 2, 1,4  2 4,2,3
Jadi, V1 , V2 & V3 sebidang.

7. a)

V1  3, 6,9 

V1 31, 2,3

V2  2, 4,6  V3 1,1,1

V2  21, 2,3

V3 1,1,1

V1 dan V2 segaris tapi V3 tidak jadi V1 , V2 & V3 tidak segaris.

b)

V1  2, 1,4 

V2  4,2,3

V3  2,7, 6 

V1 , V2 & V3 tidak segaris karena ketiganya tidak ada yang berkelipatan.

c)

V1  4,6,8 V2  2,3,4
V1  2 2,3,4 

V3   2, 3, 4 

V2  2,3,4

V3   1 2,3,4 

V2 2V1  V3

Karena ketiganya berkelipatan (dapat diperoleh 2 vektor dengan mengalikan
skalar pada salah satu vector yang lain). Jadi V1 , V2 & V3 segaris.

8.

1 1

V1   , , 
2 2


1
 1
V2   ,  , 
2
 2

Tak bebas jika V1 V2 V3   

1
2

 1 1 
V3   , ,  
 2 2 

Tak bebas jika V1  V2  V3
1 1
1

 1
 1 1 
  ,  ,      ,  ,      ,  ,  
2 2
2

 2
 2 2 
1
1
 
2
2

  


1
1
  
2
2



1
1 1 1
  ( (   ))
2
2 2 2



1 1
1
   
4 2
4



3 
1
    
4 
4
1
1 1 1 
     
2
2 2 2 

 

 



1
3
 
4
4

 


1
1
1
 
2
4
4

4
1
4
1
      
3
4
3
3

3 
1 4
1
   .     
4 
4 3
4
2

9 
1
1
3
        
16 
4
4
4

3 1
   1
4 4

 

9. a).

3 1
1
 
4 4
2

V1  0,3,1, 1

V2  6,0,5,1

V3  4, 7,1,3

Tak bebas linear pada R4 jika salah satu vector dapat diperoleh dari dua
vector yang lain
V1   V2     V3 
6

0
5

1


4
 7

1

0
0

0


3
14

1
3

0
0



0 

3 
1 

 1

 1

 6
0 

0 



1

0
0

0




1

0
0


3
 7
 14
 14

3
7
0

 1

3 
6 

6 

 1

 3
0 





7

0
0


1

0
0

0


21
21

2
7

 

3
7

2
3
V1  V2  V3 .
7
7



b)

Tidak bebas linear

2
2
V1  V2  V3
7
7

2
3
V2  V1  V3
7
7

7
3
V2  V1  V3
2
2
3
7
V3  V2  V1
2
2
2
7
V3  V2  V1
3
3

10.

 V1 , V2 , V3 
Jadi

himpunan vector bebas linear

0

3
 14
 14
 14

 7

 9
0 

 1

6 
6 

6 





7 0 2 

3
1  

7


k1V1  k 2 V2  k 3 V3 0

hanya dipenuhi untuk k1 k 2  k 3 0
Jadi  V1 , V2   k1V1  k 2 V2 0
k1  k 2 0 bebas linear

 V1 , V3  

k1V1  k 3 V3 0V1  0V2 0 bebas linear

 V2 , V3  

k 2 V2  k 3 V3 0V2  0V3 0 bebas linear

 V2   k 2 V2 0V2 
 V3  
11.

bebas linear

k 3 V3 0V3  bebas linear

S  V1 , V2 ,..., Vn  himpunan vector bebas linear, perlihatkan bahwa masingmasing sub himpunan S dengan satu atau lebih vector yang bebas linear
Jawab :
Dik : S himpunan vector bebas linear maka,
k1V1  k 2 V2  k 3 V3  ...  k n Vn 0 dipenuhi untuk k1 k 2  k 3 ...k n Vn 0

Ditunjukkan bahwa

k1V1 0

atau

k1V1  k 2 V2  ...  k n  1Vn  1 0

juga

dipenuhi untuk k1 k 2 ...k n  1 0 dimana V1 , V2 ,..., Vn  1 subset dari S
Bukti:
Andaikan himpunan bagian itu bergantung linear (tidak bebas linear). Menurut
teorema maka keseluruhan vector dari himpunan S tak bebas linear. Suatu
kontradiksi, pengandaian di atas benar, jadi haruslah himpunan bagian dari S
bebas linear.

12.

 V1 , V2 , V3 
bahwa

himpunan vector tak bebas linear pada ruang vector V 1. Buktikan

 V1 , V2 , V3 , V4 

juga tak bebas linear dimana V4 sebarang. Vektor

lain di dalam V.
Bukti:

 V1 , V2 , V3 

tak bebas linear 

k1V1  k 2 V2  k 3 V3 0

dimana k1 , k 2 , k 3 tidak semuanya nol
V4 adalah vektor lain di dalam V

Jadi k1V1  k 2V2  k3V3  k4V4 0 karena k1 , k 2 , k 3 tidak semua nol maka
bisa diambil k1  0 
V1 

k2
k
k
V2  3 V3  4 V4 0
k1
k1
k1

Misal: C1 

k2
k1

C2 

k3
k1

C3 

k4

k1

V1  C1V2  C2V3  C3V4 0

Terpenuhi dengan:
k1 1

k 2 C1

k3 C2

k 4 C3

Terbukti bahwa skalar-skalar tersebut tidak semuanya nol.
Jadi  V1 , V2 , V3 , V4  tak bebas linear.
13.

 V1 ,V2 ,,Vr 

buktikan

himpunan vektor tak bebas linear pada ruang vektor V,

 V1 ,V2 ,,Vr 1 ,,Vn 

juga tak bebas linear, dimana Vr 1 ,  , Vn

juga dalam V
Bukti;

 V1 ,V2 ,,Vr 

tak bebas linear, maka terdapat skalar 1 , 2 ,, r yang tidak

semuanya nol, sedemikian sehingga:
1V1  2V2    rVr 0

Kemudian kita ambil skalar : n 1 n  2 m 0 maka kita dapatkan
persamaan:
1V1  2V2    rVr  r 1Vr 1  r  2Vr  2    nVn 0

Dimana terdapat;
i 0

( i antara 1 , 2 ,,  p )

Jadi n vektor tersebut tak bebas linear.

15.

 V1 ,V2  bebas

 V1 ,V2 ,V3  bebas

linear dan V3 tidak terletak pada lin

V1 ,V2 

maka

linear. Buktikan!

Dik:  V1 ,V2  bebas linear, maka terdapat skalar 1 , 2 yang semuanya nol,
sehingga;
1V1 2V2 0
V3 adalah vektor yang tidak terletak pada lin V1 ,V2  dengan demikian V3

tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari V1 dan V2.
Jadi 1V1  2V2  3V3 0
0  0  3V3 0 jika 3V3 0 maka 3 = 0

Terbukti bahwa  V1 ,V2 ,V3  hanya dipenuhi dalam 1V1  2V2  3V3 0
untuk 1 2 3 0 . Jadi  V1 ,V2 ,V3  bebas linear.

16. u, v, w adalah vektor sebarang, maka ada skalar 1 , 2 , 3 sehingga,
1u  2v  3 w 0

u  v  1u  2v 0

1u 2v; 1 0

u

2
v
1

 u v

tak bebas linear.

Demikian juga dengan

u w

dan

w u

21. Himpunan S dua vektor atau lebih adalah bebas linear  tidak ada vektor s
yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam vektor S lainnya.
Bukti: misal S = V1, V2, . . . , Vr adalah sebuah himpunan dengan dua vektor
atau lebih.

 Andaikan S tak bebas linear  berdasarkan teorema 6a paling tidak satu
vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear kontradiksi dengan
pernyataan semula.

 Andaikan S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear  S tak bebas
linear (kontradiksi dengan S bebas linear).

SOLUSI LATIHAN 4.5 HALAMAN 163
1. a) u1 1,2  , u2  0,3 , u3  2,7  untuk R2
Karena pada R2 besarnya hanya bisa dua vektor. Jadi u1 , u2 , u3 bukan basis
untuk R2
b) u1   1,3,2 u2  6,1,1 R3
Pada R3 harus tiga vektor didalamnya.
 u1 ,u2 bukan basis pada R3.

c)

P1 1  x  x 2 , P2 x  1 untuk P2

Sebuah basis pada P2 mempunyai 3 vektor,
 P1 , P2 bukan basis pada P2.

d)

1
A 
2

1
6
B 
3
1

0
3
C 
7
1

0
5
D 
7 
4

1
7
E 
2
2

1
untuk M22.
9

Sebuah basis pada M22 mempunyai 4 vektor .
 A, B, C , D, E

bukan basis pada M22

2. a)  2,1 ,  3,0  pada R2
Ambil  x, y    2,1   3,0
2  3  x

 

2

1

3

x

y 

0



1

0

0
3

y



x  2 y 



1 0

0 1


y 
x  2y 

3 

  y  , y tunggal  x  v1   v2 kombinasi linear (membangun R2)



x  2y
3

Ambil
 0
 0

x  0,0 

jadi  v1   v2 0 bebas linear

Kesimpulannya  V1 ,V2  basis pada R2.
b) V1  4,1
Ambil

x

V2   7, 8

pada R2

x V1  V2

  4,1    7, 8  x, y 
4    7   x

  8  y

Matriks diperbesar
4

1

 7
 8

x

y 



1

0

 8
25

y



x  4 y 

1  8
  0 1


y 
x  4y 

25 



y  8  32 y 

25

x  4y 

25



1 0

 0 1



33 y  8 x
25



x  4y
25

Karena  dan  tunggal
Jadi x V2  V2 membangun R2
x

sebarang pada R2

Ambil

x  0,0 



V1  V1 0 ;  0

 0 bebas linear

Jadi  V1 ,V2  basis pada R2.
V2 = 1,3 pada R2

c) V1 =  0,0
Ambil

pada R2

x

x   0,0   1 1,3

1  y
2 
0

0

x
3
1

y

x 

3

0

0

1
0

y



x  y 

0  x  y  mustahil

Jadi V1 ,V2 tidak membangun R2
Dengan demikian V1 ,V2 bukan basis pada R2.
d) V1 =  3,9 
Ambil

x

V2 =   4, 12 
sebarang pada R2

x  V1   V2 
3  4  x

9  12  y

Karena

1
1
1
1
V1 1,3  V2 1,3  V1  V2
3
4
3
4

Merupakan kombinasi linear atau V1 ,V2 tak bebas linear.
Jadi V1 ,V2 bukan basis pada R2.
3.

Basis pada R3
a) V1 = 1,0,0  , V2 =  2,2,0  V3 =  3,3,3
Ambil

x

sebarang pada R3

Akan ditunjukkan bahwa

x V1   V2  V3

sebagai kombinasi linear dan

V1  V2  V3 0 ,    0 (bebas linear)

 1,0,0    2,2,0    3,3,3  x1 , x2 , x3 
Dalam matriks diperbesar
1

0
0


2 3
2 3
0 3

x1 

x2 
x3 




1

0

0


0

0

2

0

0

1


x1  x2 

x2  x3 
x3 

3 


1 0 0

 0 1 0


0 0 1



x1  x2 

x2  x3 
2 
x3 

3 


 x1  x2 

x2  x3 

  ,  ,  jadi V1 ,V2 ,V3 membangun R3
2 
x 
 3 
3 
Ambil

x  0,0,0, 

 0 

 0 V1  V2  V3 0

 0 

hanya dipenuhi :    0 jadi V1 ,V2 ,V3

bebas linear. Dengan demikian  V1 , V2 , V3  merupakan basis pada R3.

b) V1  3,1, 4  , V2  2,5,6 , V3 1,4,8
Ambil

x

sebarang pada R 3

x 1V1  2V2  3V3

Dalam matriks diperoleh;
 3 2 1

 1 5 4
 4 6 8


x1 

x2 
x3 



1

0



5

 3

Matriks koefisien A =  1
 4


4

2
5
6

x2 




1

4
8 

Det A 3 40  24   2  16  18   6  20 
316   2  24   26

48  48  26
26

Det

A 0  A

x 1V1  2V2  3V3

mempunyai
dapat

1V1  2V2  3V3 0

bebas

invers.

Dengan

demikian

dinyatakan sebagai kombinasi linear, dan
linear

dengan

demikian

V1 ,V2 ,V3

merupakan basis pada R3
c) V1  2, 3,1 , V2  4,1,1 , V3  0, 7,1
Matriks koefisien
 2

A   3
 1


4
1
1

0 

 7  det A = 2(8) + (4)(-4)
1 

=16-16
=0
Karena Det A = 0 maka A tidak mempunyai invers dengan demikian
V1 ,V2 ,V3 tidak bebas linear.

 Bukan basis pada R2.

d) V1 1,6,4  , V2  2,4, 1 , V3   1,2,5
Ambil

x

sebarang pada R3

x 1V1  2V2  3V3

Dalam matriks diperoleh
1

6
4


2

1

4
1

2
5

1

A = 6
4


2
4
1

x1 

x2  selidiki matriks koefisiennya
x3 
 1

2   DetA 22  2 8  30    1  6  16 
5 
22  44  22
0

Karena det A = 0 maka A tidak mempunyai invers oleh karena itu
V1 ,V2 ,V3 tidak bebas linear.

Jadi V1 ,V2 ,V3 bukan basis pada R3
4. Basis pada P2
a) 1  3 x  2 x 2 , 1  x  4 x 2 , 1  7 x
V1 1, 3,2  , V2 1,1,4  , V3 1, 7,0 

Ambil

x

sebarang pada P2

Misal a  bx  cx 2

x  a, b, c 

x 1V1  2V2  3V3
Dalam matriks yang diperbesar
 1

 3
 2


1
1

1
 7

4

0

 1

A =  3
 2


1
1
4

a

b
c 

selidiki matriks koefisiennya

1 

 7  Det A 28    14  0     12  27 
0 

28  14  14
0

Karena det A = 0 maka tidak mempunyai invers, Jadi V1 ,V2 ,V3 tidak bebas
linear dengan demikian bukan basis pada P2.
b) 4  6 x  x 2 ,  1  4 x  2 x 2 , 5  2 x  x 2
V1  4,6,1 , V2   1,4,2 , V3  5,2, 1

Dari soal 3d
Menunjukkan bahwa bukan basis pada P2.
c) 1  x  x 2 , x  x 2 , x 2
P1 1,1,1 ; P2  0,1,1 , P3  0,0,1

Dari 3a maka P1 , P2 , P3 basis pada P2
d)  4  x  3 x 2 , 6  5 x  2 x 2 , 8  4 x  x 2
P1   4,1,3 ; P2  6,5,2  , P3  8,4,1

Dari 3b  P1 , P2 , P3 basis pada P2

5.

3


3

6 


 6

 0
 1


 1
0 

 0
  12


 8
 4

1
 1


0
2

Ambil P pada M22 sebarang sehingga:
P aM 1  bM 2  cM 3  dM 4

a, b, c, d skalar

 8
3 6 
 0  1
 0
 1 0  x1
a
 b
 c
d



 
3  6 
 1 0 
  12  4
  1 2  x3

x2 
x4 

Untuk melihat apakah bebas linear, anggaplah;
aM 1  bM 2  cM 3  dM 4 0

Yakni:
3
a
3

6 
 0  1
 0
 b
 c


 6
 1 0 
  12

 8
 1 0 0
d

 
 4
  1 2  0

0
0

a  d 0



2a  b  2c 0 
 SPL
a  b  3c  d 0
 2a  c  2d 0 
Dalam matriks diperbesar
 1

 2
 1

 2


0
1

0
 2

1
0

1
0

 3
1

1
1

1

0
0

0


0
1

0
2

1
2

0
0

1
1

0
 4

1

0
0

0


0
1

0
0

0
0

0
0

1
0

0
1

0

0
0

0 

0

0
0

0 





1

0
0

0


1

0
0

0


0
1

0
 2

1
 2

1
0

 3
1

 2
4

0
1

0
2

1
2

0
0

1
0

0
 4

0

0
0

0 



0

0
0

0 

1

0
0

0




0
1

0
2

1
2

0
0

1
0

0
1

0

0
0

0 



0

0
0

0 

a 0, b 0, c 0, d 0

 M 1 , M 2 , M 3, M 4 bebas linear

A, b, c, d = tunggal maka M 1 , M 2 , M 3, M 4 mb V dengan demikian, merupakan
basis pada M22.

6.

V1 = cos2x , V2 sin 2 x V3 cos 2 x
a) V3 V2  V1 jadi tidak bebas linear
Dengan demikian S  V1 ,V2 ,V3  bukan basis untuk V
b) Ambil 2 vektor sebarang pada V1 , V2 , V3
V1  V2  P P vektor sebarang pada V

V1, V2 membangun V
Ambil P = 0  V1  V2 0
 cos 2 x   sin 2 x 0

Hanya memenuhi   0 jadi V1, V2 bebas linear. Dengan demikian V1, V2
basis pada V.
7.

Mencari basis dan Dimensi
x1  x2  x3 0

 2 x1  x2  2 x3 0
 x1  x3 0

Misal x3 t
x2 u , t dan u parameter

 x  t  x1 t
 2 x1  x2  2 x3

 2t  x2  2t
x2 0

 x1   t  1
 x  0 t 0
 2    
 x3   t  1
Basisnya

8.

1
 
 0  dimensinya = 1
1
 

3x1  x2  x3  x4 0
5 x1  x2  x3  x4 0
3

5

1

1

 1 1

1
 1

0

0 

15

 15


5

5

5

 3

3

 3

0  3
 
0   0

1

1

1

 8

 2

 8

0

0 

3
4
1
4


3 0

 0 1



0 0

1 0 


x1 

1
x3
4

x2 

1
x3  x4
4

1
4
1
4


1 0

 0 1



0 0

1 0 


Misal x4 t
x1 

1
P
4

x 2 

1
P t
4

x3  P

 1  
 x1    P   
x   1 4  
 2    P  t   
 x3   4
 
   P  
 x4  
 
 t
 
 1
 
 4
 1
Basisnya    ,
4
 1 


 0 

1 
 1
P  0 
 4   0 
4


 1    1
1   t 
P 
 p �