Matematika Diskrit Nurin Hidayatullah docx
NAMA
: NURIN HIDAYATULLAH
NIM
: F04112071
20. Tentukan banyaknya “solusi bulat” dari setiap persamaan berikut
∀ i ∈ {1,2,3,4 }
(a). X1+X2+X3+X4=80, 1≤Xi ≤30,
Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit
P(X) =
4
( x+ x2 + x 3 +…+ x 30 )
4
2
29 4
3
=
x ( 1+ x+ x + x + …+ x )
=
x4
=
x 4 ( 1−x 30 ) ( 1−x )−4
=
x . ∑ (−1 )
(
1−x 30
1−x
4
)
4
4
4
s
s=0
=
4
( 4s ) x
30 s
.∑
r =0
()
x
( r +4−1
r )
r
( )
s
x . ∑ (−1 ) 4 x 30 s . ∑ r +3 x r
s
r
s=0
r =0
4
Kita tertarik dengan koefisien
x
80
dalam P(X). Untuk itu cari s dan r sehingga:
4+30s+r=80
Solusi bulat dari persamaan ini adalah:
a). s=0 dan r=76
b). s=1 dan r=46
c). s=2 dan r=16
Sehingga, banyaknya cara yang dimaksud = koefisien
P(X) =
=
+ (−1 ) ( 4 )( 46+3 ) + (−1 ) ( 4 )( 16+3 )
( 40)(76+3
76 )
1
46
2 16
1
( 40)(7976)−(41 )(4946)+(42 )(1916)
2
x
80
dalam
= (1)(79079)-(4)(18424)+(6)(969)
= 79079-73696-5814
=11197 cara
(b).
X 1 + X 2 + X 3=50, X i ≥ 3, ∀ i ∈{1,2,3 }
Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit :
P(X) =
( x 3+ x 4 + x5 + … )
3
=
x 9 ( 1+ x + x 2+ x3 +… )
=
x
=
x 9 ∑ r +3−1 x r
r
r=0
=
x
9
3
1
1−x
( )
(
9
3
)
r
x
∑ (r +2
)
r
r=0
=
x r +9
∑ (r +2
)
r
r =0
Banyaknya cara yang dimaksud = koefisien
x
k
Untuk mencari nilai r:
Kita ketahui dari soal,
Koefisien dari
x
50
maka k=50
x k dengan k=r+9
Maka dapat kita dapatkan nilai r, k =r+9
50 =r+9
r =50-9
r =41
Jadi banyaknya solusi bulat yang dimaksud yaitu:
( 41+2
41 )
=
(4341)
dalam P(X)
=
43 !
41! ( 43−41 ) !
=
43 !
41! .2 !
=903 cara
(c).
X 1 + X 2 + X 3+ …+ X n =k, X i ≥ 0 , 1≤ i≤ n ; k
bulat
Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit:
( 1+ x+ x2 + x 3 +… )
P(X) =
1
1−x
n
n
=
( )
=
xr
∑ (r +n−1
)
r
r =0
Banyaknya cara yang dimaksud = koefisien
x
k
dalam P(X)
Dapat disimpulkan bahwa :
K=r
Maka ,
xk
∑ (k + n−1
)
k
r =0
Banyaknya solusi bulat yang dimaksud yaitu
(k + n−1
k )
=
=
( k + n−1 ) !
k ! ( k +n−1−k ) !
( k +n−1 ) !
k ! ( n−1 ) !
21. Sebuah kata sandi yang panjangnya k dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf a,b,dan c
sedemikian hingga memuat paling sedikit satu a, satu b, dan satu c
Dari pernyataan diatas dapat dibuat fungsi pembangkit :
Misalkan banyaknya
a=n1, b=n2 , dan c=n3 dengan panjang k
P(X) =
(
ax +
a2 x2 a3 x 3
an x n
+
+ …+
2!
3!
n1 !
1
1
)(
bx+
b 2 x 2 b3 x3
bn x n
+
+…+
2!
3!
n2 !
2
2
)(
cx +
c2 x2 c3 x3
cn xn
+
+ …+
2!
3!
n3 !
3
3
)
=(
n3
n3
n3
2 2 5
a c2 x3
ac x
a b2 c x
2
4 ab c x
ac x +
+ …+
+ab c x +
+ …+
2!
3!
2!
n3!
2
n3+3
n2
ab c x
+…+
n2 !
n2 +1
n2
n2 +2
Karena yang dicari dengan panjang k dengan k= n1 +n2 +n 3
xk
dalam P(X) menyatakan banyaknya kata sandi dengan panjang k
k!
Maka, koefisien
n1
Karena barisan yang memenuhi nilai k adalah
( n1 +n 2+ n3 ) !
Sama halnya dengan =
(
n1
n2
n2 n3
n1+n2+n3
a b c x
n1 ! n2 ! n3 !
n3
)
n1+n2+n3
a b c
x
n1 ! n2 ! n 3 ! ( n 1+n 2+ n3 ) !
Jadi, banyaknya cara membentuk kata sandi (permutasi) dengan panjang k adalah koefisien dari
xk
k!
(
an bn c n
1
2
3
( n1 +n 2+ n3 ) ! n ! n ! n !
1
2
3
Yaitu
)
*Karena pertanyaan pada soal membingungkan saya bersangkutan paling sedikit satu a, satu b, dan satu
c. Dari pertanyaan tersebut saya dapat menarik 2 kesimpulan
1. Dengan paling sedikit satu a, paling sedikit satu b, paling sedikit satu c
2. Dengan paling sedikit satu a, hanya satu b, dan hanya satu c
Karena sudah dituliskan penyelesaian dari kesimpulan 1 dengan banyaknya cara membentuk kata sandi =
( n1 +n 2+ n3 ) !
(
an bn c n
n1 ! n2 ! n 3 !
1
2
3
)
Kemudian akan dituliskan penyelesaian untuk kesimpulan 2.
Dengan P(X) yang dapat dibentuk dengan a sebanyak n
a2 x2 a3 x 3
an xn
+
+ …+
( bx ) ( cx )
2!
3!
n!
P(X) =
(
ax +
=
(
abc x3 +
)
a2 bc x 4 a3 bc x 5
an bc x n+1+1
+
+ …+
2!
3!
n!
)
n2
n3
n2+ n
a b c2 x
ab c x
+
+ …+
n2 ! n2 !
n2 ! n3 !
3
+…
Karena a sebanyak n, maka dapat disimpulkan nilai k=n+2, karena huruf b dan c masing-masing
menempati 1 tempat pada kata sandi.
Karena panjang k dengan k=n+2
xk
k!
Adalah
Sama halnya dengan
( n+2 ) !
Maka, koefisien
an bc x n+2
n!
n
n+2
( )
a bc x
n ! ( n+ 2 ) !
Jadi banyaknya cara membentuk kata sandi (permutasi) dengan panjang k adalah koefisien dari
k
x
k!
n
Yaitu
( n+2 ) !
( )
a bc
n!
23. Tentukan banyaknya barisan ternair n-angka yang memuat
(a). Angka “0” sebanyak ganjil dan “1” sebanyak genap
Fungsi pembangkit dari persamaan ini adalah
(
P ( x )= x +
x 3 x5
x2 x 4
x 2 x 3 x 4 x5
+ + … 1+ + + … 1+ + + + …
3! 5!
2! 4!
2! 3! 4! 5!
x
−x
x
−x
(
e +e
¿(
2
¿
¿
e +e
2
x
−x
)
x
2x
( e x + e−x )( e2 x −1 )
4
3x
(
e
= (
¿
)(
)(
)( e −e2 ) e
)( e 2−1 )
x
−x
−x
e +e −e −e
4
3x
−e−x
4
)
)
1
¿ ( e 3 x −e−x )
4
( 3 x )n 1
(−x )n
1
¿ ∑
− ∑
4 n=0 n!
4 n=0 n!
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien dari
xn
n!
dalam
1 n 1
n
P(x) ¿ 3 − (−1 )
4
4
(b) Angka “0” dan “1” masing-masing sebanyak bilangan genap dan “2” sebanyak ganjil
Fungsi pembangkit dari persamaan ini adalah
2
2
4
3
5
x x
x x
P ( x )= 1+ + + … x+ + +…
2! 4 !
3! 5!
(
)(
−x 2
)
e x +e
e x −e−x
2
2
2x
−2 x
e +e + 2 e x −e− x
¿
4
2
3x
x
−x
−3 x
x
−x
e −e +e −e +2 e −2 e
¿
8
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 ( e −e ) −( e −e )+ ( 2 e −2 e )
¿
4
2
¿
(
(
)(
)
)(
)
(
¿
(
) (
)
) ( )
) (
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 ( e −e ) 1 ( e −e ) 1 ( e −e )
−
+
4
2
4
2
2
2
¿
1
x3
x5
1
x3 x5
1
x3 x5
3 x +33 +35 +… − x+ + + … + x+ + + …
4
3!
5!
4
3 ! 5!
2
3 ! 5!
(
) (
)
=
(
3 x 3 3 x 3 35 x 5
x 1 x3 1 x5
x 1 x3 1 x 5
+
+
+… − +
+
+… + +
+
+…
4 4 3 ! 4 5!
4 4 3! 4 5!
2 2 3! 2 5!
)(
3
)(
5
3
5
(
)(
)
x 13 x 121 x
x 1 x 1x
= ( +
+
+ …)+ ( +
+
+… )
2 2 3! 2 5!
2 2 3! 2 5!
2 x 14 x 122 x
= ( +
+
+ …)
2 2 3 ! 2 5!
x
x
= ( x +7 +61 +… )
3!
5!
=
2 x 26 x 242 x
x 1 x 1x
+
+
+… + +
+
+…
4 4 3! 4 5!
2 2 3! 2 5!
3
5
3
3
3
5
5
5
0, n= genap
n
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien
x
n!
dalam P(x)
n
3 +1
, n=ganjil
4
(c) Angka “0”,”1”dan “2” masing masing sebanyak bilangan genap
Fungsi pembangkit persamaan ini adalah
P(X)
=
(
2
1+
4
3
)
x x
+ +…
2! 4 !
)
=
=
=
(
2x
−2 x
x
)(
−x
)
e + e +2 e + e
4
2
3x
x
−x
−3 x
e + e + e + e +2 e x +2 e−x
8
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 ( e +e ) + ( e + e ) + ( 2e +2 e )
4
2
(
((
) (
)
) (
)
) (
)(
)
)
=
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 e +e ) 1 ( e + e ) 1 ( e +e )
+
+
4
2
4
2
2
2
=
1
x2
x4
1
x2 x4
1
x2 x 4
1+32 +3 4 + … + 1+ + + … + 1+ + +…
4
2!
4!
4
2! 4 !
2
2! 4!
(
) (
)
( 14 + 34 2!x + 34 4x ! +…)+( 14 + 14 2x! + 14 4x ! +… + 12 + 12 2x! + 12 4x ! +…)
( 24 + 104 2!x + 824 4x! + …)+( 12 + 12 2!x + 12 4x! + …
( 12 + 52 2!x + 412 4x ! +…)+( 12 + 12 2x! + 12 4x ! +…
(1+ 62 2!x + 422 4x ! +…)
(1+3 2x! +21 4x ! +…)
2
=
2
4
4
2
=
4
2
=
4
2
=
2
=
2
4
2
4
2
4
2
4
4
4
0, n= ganjil
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien
xn
n!
dalam P(x)
n
3 +3
, n=genap
4
(d) Angka “0”,”1”dan “3” masing-masing sebanyak bilangan ganjil
P(X)
=
=
(
x3 x5
+ +…
3 ! 5!
3
)
e2 x + e−2 x −2 e x −e− x
4
2
3x
x
−x
−3 x
e −e +e −e −2e x +2 e−x
8
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 ( e −e ) −( e −e )−( 2 e −2 e )
4
2
(
=
)(
(
((
=
)
) (
5
2
5
3
=
3
=
)
(
( 24x + 84 3x! + 2424 5x! +… − x2 + 12 3x! + 12 5x! +…
( 2x + 42 2x! + 1212 5x! +… − 2x + 12 3x! + 12 5!x + …
(0+ 32 3x! + 1202 5x! +…
( 32 3!x +60 5x! + …)
3
=
)
) (
)(
)
)
1
x3
x5
1
x3 x5
1
x 3 x5
3 x +33 +35 +… − x+ + + … − x + + +…
4
3!
5!
4
3 ! 5!
2
3! 5 !
3 3
5 5
3
5
3x 3 x 3 x
x 1 x 1 x
x 1 x3 1 x5
+
+
+… − +
+
+… − +
+
+…
4 4 3 ! 4 5!
4 4 3! 4 5!
2 2 3 ! 2 5!
(
=
=
) (
) (
)(
)(
)(
)
)
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 e −e ) 1 ( e −e ) 1 ( e −e )
−
−
4
2
4
2
2
2
=
=
x+
5
3
5
3
5
)
5
0, n= genap,1
n
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien
x
n!
dalam P(x)
3 n−3
,n=ganjil , n>1
4
25. Tentukan banyak cara menempatkan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar berbeda
sedemekian hingga
(a) Tidak ada kamar kosong
(b) Tiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak dua orang
Penyelesaian :
(a) Karena tidak ada kamar yang kosong, maka fungsi pembangkit dari persoalan tersebut
adalah :
100
x2 x3
P ( x )= x + + + …
2! 3!
(
)
[(
2
3
)
x x
¿ 1+ x+ + +… −1
2! 3 !
100
]
100
¿ ( e x −1 )
k
100
¿ 100 e 100 x − n e 99 x + (−1 ) 100 e x (100−k ) +…+ (−1 ) 100
0
1
k
100
n
x
Untuk 0 ≤ k ≤ n koefisien
dalam e x (n−k ) adalah ( n−k )n
n!
xn
Maka koefisien
dalam P ( x ) adalah
n!
100
k 100
n
¿ ∑ (−1 )
( 100−k )
k
k=0
( )
()
( )
( )
( )
Jadi, banyaknya cara yang dimaksud adalah
100
( )
k
n
¿ ∑ (−1 ) 100 ( 100−k )
k
k=0
(b) Karena tiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak 2 orang, maka fungsi
pembangkit adalah :
(
P ( x )= x +
x2
2!
100
)
xn
dari dalam P ( x ) untuk mendapatkan banyaknya cara
n!
penempatan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar yang berbeda, sehingga :
Akan dicari koefisien dari
(
P ( x )= x +
x2
2!
100
)
100
[ ( )]
x
¿ x 1+
2!
¿x
100
(
1+
❑
x
2!
100
)
k
( )( )
¿ x100 ∑ 100 x
k 2!
k=0
❑
xk
¿ x100 ∑ 100 k
k 2
k=0
( )( )
❑
¿∑
k=0
( 100k ) 21 x
k+100
k
❑
1
¿ ∑ 100 k 1 x k +100
k 2
k=0
( )
k+100
❑
1 ( k +100 ) !
¿ ∑ 100 k
x
k 2 ( k +100 ) !
k=0
( )
❑
1
x k +100
¿ ∑ 100 k ( k +100 ) !
k 2
( k +100 ) !
k=0
( )
❑
1 ( k +100 ) ! x k+100
¿ ∑ 100 k
k 2
( k +100 ) !
2k
k=0
( )
Banyaknya cara penempatan objek yang berbeda = koefisien
persamaan P(x) yang terakhir diperoleh untuk nilai n dari
xn
n!
dalam P(x). Maka dari
x k +100
( k +100 ) !
Yaitu :
n=k +100 atau k =n−100
Sehingga persamaan P(x) berubah menjadi :
❑
¿
∑
n−100=0
❑
¿
∑
n=100
(
(
n ! xn
100
n−100 2n−100 n !
)
n ! xn
100
n−100 2n−100 n !
)
Jadi, banyaknya cara menempatkan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar yang berbeda
adalah:
❑
∑
n=100
100
(n−100
)2n!
n−100
: NURIN HIDAYATULLAH
NIM
: F04112071
20. Tentukan banyaknya “solusi bulat” dari setiap persamaan berikut
∀ i ∈ {1,2,3,4 }
(a). X1+X2+X3+X4=80, 1≤Xi ≤30,
Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit
P(X) =
4
( x+ x2 + x 3 +…+ x 30 )
4
2
29 4
3
=
x ( 1+ x+ x + x + …+ x )
=
x4
=
x 4 ( 1−x 30 ) ( 1−x )−4
=
x . ∑ (−1 )
(
1−x 30
1−x
4
)
4
4
4
s
s=0
=
4
( 4s ) x
30 s
.∑
r =0
()
x
( r +4−1
r )
r
( )
s
x . ∑ (−1 ) 4 x 30 s . ∑ r +3 x r
s
r
s=0
r =0
4
Kita tertarik dengan koefisien
x
80
dalam P(X). Untuk itu cari s dan r sehingga:
4+30s+r=80
Solusi bulat dari persamaan ini adalah:
a). s=0 dan r=76
b). s=1 dan r=46
c). s=2 dan r=16
Sehingga, banyaknya cara yang dimaksud = koefisien
P(X) =
=
+ (−1 ) ( 4 )( 46+3 ) + (−1 ) ( 4 )( 16+3 )
( 40)(76+3
76 )
1
46
2 16
1
( 40)(7976)−(41 )(4946)+(42 )(1916)
2
x
80
dalam
= (1)(79079)-(4)(18424)+(6)(969)
= 79079-73696-5814
=11197 cara
(b).
X 1 + X 2 + X 3=50, X i ≥ 3, ∀ i ∈{1,2,3 }
Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit :
P(X) =
( x 3+ x 4 + x5 + … )
3
=
x 9 ( 1+ x + x 2+ x3 +… )
=
x
=
x 9 ∑ r +3−1 x r
r
r=0
=
x
9
3
1
1−x
( )
(
9
3
)
r
x
∑ (r +2
)
r
r=0
=
x r +9
∑ (r +2
)
r
r =0
Banyaknya cara yang dimaksud = koefisien
x
k
Untuk mencari nilai r:
Kita ketahui dari soal,
Koefisien dari
x
50
maka k=50
x k dengan k=r+9
Maka dapat kita dapatkan nilai r, k =r+9
50 =r+9
r =50-9
r =41
Jadi banyaknya solusi bulat yang dimaksud yaitu:
( 41+2
41 )
=
(4341)
dalam P(X)
=
43 !
41! ( 43−41 ) !
=
43 !
41! .2 !
=903 cara
(c).
X 1 + X 2 + X 3+ …+ X n =k, X i ≥ 0 , 1≤ i≤ n ; k
bulat
Dari persamaan dapat dibentuk fungsi pembangkit:
( 1+ x+ x2 + x 3 +… )
P(X) =
1
1−x
n
n
=
( )
=
xr
∑ (r +n−1
)
r
r =0
Banyaknya cara yang dimaksud = koefisien
x
k
dalam P(X)
Dapat disimpulkan bahwa :
K=r
Maka ,
xk
∑ (k + n−1
)
k
r =0
Banyaknya solusi bulat yang dimaksud yaitu
(k + n−1
k )
=
=
( k + n−1 ) !
k ! ( k +n−1−k ) !
( k +n−1 ) !
k ! ( n−1 ) !
21. Sebuah kata sandi yang panjangnya k dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf a,b,dan c
sedemikian hingga memuat paling sedikit satu a, satu b, dan satu c
Dari pernyataan diatas dapat dibuat fungsi pembangkit :
Misalkan banyaknya
a=n1, b=n2 , dan c=n3 dengan panjang k
P(X) =
(
ax +
a2 x2 a3 x 3
an x n
+
+ …+
2!
3!
n1 !
1
1
)(
bx+
b 2 x 2 b3 x3
bn x n
+
+…+
2!
3!
n2 !
2
2
)(
cx +
c2 x2 c3 x3
cn xn
+
+ …+
2!
3!
n3 !
3
3
)
=(
n3
n3
n3
2 2 5
a c2 x3
ac x
a b2 c x
2
4 ab c x
ac x +
+ …+
+ab c x +
+ …+
2!
3!
2!
n3!
2
n3+3
n2
ab c x
+…+
n2 !
n2 +1
n2
n2 +2
Karena yang dicari dengan panjang k dengan k= n1 +n2 +n 3
xk
dalam P(X) menyatakan banyaknya kata sandi dengan panjang k
k!
Maka, koefisien
n1
Karena barisan yang memenuhi nilai k adalah
( n1 +n 2+ n3 ) !
Sama halnya dengan =
(
n1
n2
n2 n3
n1+n2+n3
a b c x
n1 ! n2 ! n3 !
n3
)
n1+n2+n3
a b c
x
n1 ! n2 ! n 3 ! ( n 1+n 2+ n3 ) !
Jadi, banyaknya cara membentuk kata sandi (permutasi) dengan panjang k adalah koefisien dari
xk
k!
(
an bn c n
1
2
3
( n1 +n 2+ n3 ) ! n ! n ! n !
1
2
3
Yaitu
)
*Karena pertanyaan pada soal membingungkan saya bersangkutan paling sedikit satu a, satu b, dan satu
c. Dari pertanyaan tersebut saya dapat menarik 2 kesimpulan
1. Dengan paling sedikit satu a, paling sedikit satu b, paling sedikit satu c
2. Dengan paling sedikit satu a, hanya satu b, dan hanya satu c
Karena sudah dituliskan penyelesaian dari kesimpulan 1 dengan banyaknya cara membentuk kata sandi =
( n1 +n 2+ n3 ) !
(
an bn c n
n1 ! n2 ! n 3 !
1
2
3
)
Kemudian akan dituliskan penyelesaian untuk kesimpulan 2.
Dengan P(X) yang dapat dibentuk dengan a sebanyak n
a2 x2 a3 x 3
an xn
+
+ …+
( bx ) ( cx )
2!
3!
n!
P(X) =
(
ax +
=
(
abc x3 +
)
a2 bc x 4 a3 bc x 5
an bc x n+1+1
+
+ …+
2!
3!
n!
)
n2
n3
n2+ n
a b c2 x
ab c x
+
+ …+
n2 ! n2 !
n2 ! n3 !
3
+…
Karena a sebanyak n, maka dapat disimpulkan nilai k=n+2, karena huruf b dan c masing-masing
menempati 1 tempat pada kata sandi.
Karena panjang k dengan k=n+2
xk
k!
Adalah
Sama halnya dengan
( n+2 ) !
Maka, koefisien
an bc x n+2
n!
n
n+2
( )
a bc x
n ! ( n+ 2 ) !
Jadi banyaknya cara membentuk kata sandi (permutasi) dengan panjang k adalah koefisien dari
k
x
k!
n
Yaitu
( n+2 ) !
( )
a bc
n!
23. Tentukan banyaknya barisan ternair n-angka yang memuat
(a). Angka “0” sebanyak ganjil dan “1” sebanyak genap
Fungsi pembangkit dari persamaan ini adalah
(
P ( x )= x +
x 3 x5
x2 x 4
x 2 x 3 x 4 x5
+ + … 1+ + + … 1+ + + + …
3! 5!
2! 4!
2! 3! 4! 5!
x
−x
x
−x
(
e +e
¿(
2
¿
¿
e +e
2
x
−x
)
x
2x
( e x + e−x )( e2 x −1 )
4
3x
(
e
= (
¿
)(
)(
)( e −e2 ) e
)( e 2−1 )
x
−x
−x
e +e −e −e
4
3x
−e−x
4
)
)
1
¿ ( e 3 x −e−x )
4
( 3 x )n 1
(−x )n
1
¿ ∑
− ∑
4 n=0 n!
4 n=0 n!
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien dari
xn
n!
dalam
1 n 1
n
P(x) ¿ 3 − (−1 )
4
4
(b) Angka “0” dan “1” masing-masing sebanyak bilangan genap dan “2” sebanyak ganjil
Fungsi pembangkit dari persamaan ini adalah
2
2
4
3
5
x x
x x
P ( x )= 1+ + + … x+ + +…
2! 4 !
3! 5!
(
)(
−x 2
)
e x +e
e x −e−x
2
2
2x
−2 x
e +e + 2 e x −e− x
¿
4
2
3x
x
−x
−3 x
x
−x
e −e +e −e +2 e −2 e
¿
8
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 ( e −e ) −( e −e )+ ( 2 e −2 e )
¿
4
2
¿
(
(
)(
)
)(
)
(
¿
(
) (
)
) ( )
) (
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 ( e −e ) 1 ( e −e ) 1 ( e −e )
−
+
4
2
4
2
2
2
¿
1
x3
x5
1
x3 x5
1
x3 x5
3 x +33 +35 +… − x+ + + … + x+ + + …
4
3!
5!
4
3 ! 5!
2
3 ! 5!
(
) (
)
=
(
3 x 3 3 x 3 35 x 5
x 1 x3 1 x5
x 1 x3 1 x 5
+
+
+… − +
+
+… + +
+
+…
4 4 3 ! 4 5!
4 4 3! 4 5!
2 2 3! 2 5!
)(
3
)(
5
3
5
(
)(
)
x 13 x 121 x
x 1 x 1x
= ( +
+
+ …)+ ( +
+
+… )
2 2 3! 2 5!
2 2 3! 2 5!
2 x 14 x 122 x
= ( +
+
+ …)
2 2 3 ! 2 5!
x
x
= ( x +7 +61 +… )
3!
5!
=
2 x 26 x 242 x
x 1 x 1x
+
+
+… + +
+
+…
4 4 3! 4 5!
2 2 3! 2 5!
3
5
3
3
3
5
5
5
0, n= genap
n
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien
x
n!
dalam P(x)
n
3 +1
, n=ganjil
4
(c) Angka “0”,”1”dan “2” masing masing sebanyak bilangan genap
Fungsi pembangkit persamaan ini adalah
P(X)
=
(
2
1+
4
3
)
x x
+ +…
2! 4 !
)
=
=
=
(
2x
−2 x
x
)(
−x
)
e + e +2 e + e
4
2
3x
x
−x
−3 x
e + e + e + e +2 e x +2 e−x
8
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 ( e +e ) + ( e + e ) + ( 2e +2 e )
4
2
(
((
) (
)
) (
)
) (
)(
)
)
=
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 e +e ) 1 ( e + e ) 1 ( e +e )
+
+
4
2
4
2
2
2
=
1
x2
x4
1
x2 x4
1
x2 x 4
1+32 +3 4 + … + 1+ + + … + 1+ + +…
4
2!
4!
4
2! 4 !
2
2! 4!
(
) (
)
( 14 + 34 2!x + 34 4x ! +…)+( 14 + 14 2x! + 14 4x ! +… + 12 + 12 2x! + 12 4x ! +…)
( 24 + 104 2!x + 824 4x! + …)+( 12 + 12 2!x + 12 4x! + …
( 12 + 52 2!x + 412 4x ! +…)+( 12 + 12 2x! + 12 4x ! +…
(1+ 62 2!x + 422 4x ! +…)
(1+3 2x! +21 4x ! +…)
2
=
2
4
4
2
=
4
2
=
4
2
=
2
=
2
4
2
4
2
4
2
4
4
4
0, n= ganjil
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien
xn
n!
dalam P(x)
n
3 +3
, n=genap
4
(d) Angka “0”,”1”dan “3” masing-masing sebanyak bilangan ganjil
P(X)
=
=
(
x3 x5
+ +…
3 ! 5!
3
)
e2 x + e−2 x −2 e x −e− x
4
2
3x
x
−x
−3 x
e −e +e −e −2e x +2 e−x
8
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 ( e −e ) −( e −e )−( 2 e −2 e )
4
2
(
=
)(
(
((
=
)
) (
5
2
5
3
=
3
=
)
(
( 24x + 84 3x! + 2424 5x! +… − x2 + 12 3x! + 12 5x! +…
( 2x + 42 2x! + 1212 5x! +… − 2x + 12 3x! + 12 5!x + …
(0+ 32 3x! + 1202 5x! +…
( 32 3!x +60 5x! + …)
3
=
)
) (
)(
)
)
1
x3
x5
1
x3 x5
1
x 3 x5
3 x +33 +35 +… − x+ + + … − x + + +…
4
3!
5!
4
3 ! 5!
2
3! 5 !
3 3
5 5
3
5
3x 3 x 3 x
x 1 x 1 x
x 1 x3 1 x5
+
+
+… − +
+
+… − +
+
+…
4 4 3 ! 4 5!
4 4 3! 4 5!
2 2 3 ! 2 5!
(
=
=
) (
) (
)(
)(
)(
)
)
3x
−3 x
x
−x
x
−x
1 e −e ) 1 ( e −e ) 1 ( e −e )
−
−
4
2
4
2
2
2
=
=
x+
5
3
5
3
5
)
5
0, n= genap,1
n
Banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien
x
n!
dalam P(x)
3 n−3
,n=ganjil , n>1
4
25. Tentukan banyak cara menempatkan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar berbeda
sedemekian hingga
(a) Tidak ada kamar kosong
(b) Tiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak dua orang
Penyelesaian :
(a) Karena tidak ada kamar yang kosong, maka fungsi pembangkit dari persoalan tersebut
adalah :
100
x2 x3
P ( x )= x + + + …
2! 3!
(
)
[(
2
3
)
x x
¿ 1+ x+ + +… −1
2! 3 !
100
]
100
¿ ( e x −1 )
k
100
¿ 100 e 100 x − n e 99 x + (−1 ) 100 e x (100−k ) +…+ (−1 ) 100
0
1
k
100
n
x
Untuk 0 ≤ k ≤ n koefisien
dalam e x (n−k ) adalah ( n−k )n
n!
xn
Maka koefisien
dalam P ( x ) adalah
n!
100
k 100
n
¿ ∑ (−1 )
( 100−k )
k
k=0
( )
()
( )
( )
( )
Jadi, banyaknya cara yang dimaksud adalah
100
( )
k
n
¿ ∑ (−1 ) 100 ( 100−k )
k
k=0
(b) Karena tiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak 2 orang, maka fungsi
pembangkit adalah :
(
P ( x )= x +
x2
2!
100
)
xn
dari dalam P ( x ) untuk mendapatkan banyaknya cara
n!
penempatan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar yang berbeda, sehingga :
Akan dicari koefisien dari
(
P ( x )= x +
x2
2!
100
)
100
[ ( )]
x
¿ x 1+
2!
¿x
100
(
1+
❑
x
2!
100
)
k
( )( )
¿ x100 ∑ 100 x
k 2!
k=0
❑
xk
¿ x100 ∑ 100 k
k 2
k=0
( )( )
❑
¿∑
k=0
( 100k ) 21 x
k+100
k
❑
1
¿ ∑ 100 k 1 x k +100
k 2
k=0
( )
k+100
❑
1 ( k +100 ) !
¿ ∑ 100 k
x
k 2 ( k +100 ) !
k=0
( )
❑
1
x k +100
¿ ∑ 100 k ( k +100 ) !
k 2
( k +100 ) !
k=0
( )
❑
1 ( k +100 ) ! x k+100
¿ ∑ 100 k
k 2
( k +100 ) !
2k
k=0
( )
Banyaknya cara penempatan objek yang berbeda = koefisien
persamaan P(x) yang terakhir diperoleh untuk nilai n dari
xn
n!
dalam P(x). Maka dari
x k +100
( k +100 ) !
Yaitu :
n=k +100 atau k =n−100
Sehingga persamaan P(x) berubah menjadi :
❑
¿
∑
n−100=0
❑
¿
∑
n=100
(
(
n ! xn
100
n−100 2n−100 n !
)
n ! xn
100
n−100 2n−100 n !
)
Jadi, banyaknya cara menempatkan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar yang berbeda
adalah:
❑
∑
n=100
100
(n−100
)2n!
n−100