Analisis Data Cuaca dan Iklim FFT dan
1
LAPORAN PRAKTIKUM MODUL-II
ANALISIS DATA CUACA DAN IKLIM II
Disusun oleh :
Ulfa Widya Lestari
12811031
Michael Antonius
12812008
Fikri Rozi
12812031
Fandy Balbo
12812038
PROGRAM STUDI METEOROLOGI
FAKULTAS ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2015
2
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Fourier Transform
Transformasi Fourier, dinamakan atas Joseph Fourier, adalah sebuahtransformasi
integral yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalamfungsi basis sinusoidal, yaitu
sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien
("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini
tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan
∞
�(�) = � �(�)� −2���� ��
−∞
Transformasi Fourier merupakan ururai fungsi waktu (sinyal) ke dalam frekuensi yang
membuat fungsi waktu, mirip dengan bagaimana chord musik dapat dinyatakan sebagai
amplitudo (atau kenyaringan). Transformasi Fourier dari fungsi waktu itu sendiri adalah
fungsi bernilai kompleks, yang merupakan nilai absolut jumlah frekuensi dalam fungsi
semula, dan yang argumen kompleks adalah fase offset dari sinusoidal dasar dalam
frekuensi tersebut. Transformasi Fourier disebut representasi domain frekuensi sinyal
asli. Istilah Fourier transform mengacu baik representasi domain frekuensi dan operasi
matematika yang mengaitkan representasi domain frekuensi fungsi waktu. Transformasi
Fourier tidak terbatas pada fungsi waktu, tetapi untuk memiliki bahasa yang seragam,
domain dari fungsi asli sering disebut sebagai domain waktu.
3
1.2 Discrete Fourier Transform
Dalam matematika, transformasi Fourier diskrit (DFT) mengubah sampel deret berhingga
menjadi fungsi ke dalam kombinasi deret berhingga sinusoidal yang kompleks, yang
diperintahkan oleh frekuensi mereka, yang memiliki nilai-nilai sampel yang sama. Hal ini
dapat dikatakan untuk mengubah fungsi sampel dari domain aslinya (sering waktu atau
posisi sepanjang garis) ke domain frekuensi.
Input sampel adalah bilangan kompleks (dalam praktek, biasanya bilangan real), dan
koefisien output bilangan kompleks juga. Output Frekuensi sinusoidal merupakan
kelipatan bilangan bulat dari frekuensi dasar, dengan periode yang sama adalah panjang
interval sampling. Kombinasi sinusoid diperoleh melalui DFT karena periodik dengan
periode yang sama. DFT berbeda dari diskrit-waktu Fourier transform (DTFT) dalam
input dan output, karena itu dikatakan analisis Fourier dari terbatas-domain (atau
periodik) fungsi diskrit-waktu.
DFT adalah mengubah data diskrit yang paling penting, yang digunakan untuk
melakukan analisis Fourier dalam banyak aplikasi praktis. Dalam pemrosesan sinyal
digital, fungsi ini kuantitas atau sinyal yang bervariasi dari waktu ke waktu, seperti
tekanan dari gelombang suara, radio sinyal, atau suhu harian bacaan, sampel selama
interval waktu yang terbatas (sering didefinisikan oleh fungsi jendela). Dalam
pengolahan citra, sampel dapat menjadi nilai-nilai piksel sepanjang baris atau kolom
gambar raster. DFT juga digunakan untuk efisien menyelesaikan persamaan diferensial
parsial, dan untuk melakukan operasi lain seperti convolutions atau mengalikan bilangan
bulat besar.
Definisi :
Urutan N bilangan kompleks �0 , �1 , … … , ��−1 berubah menjadi urutan N-periodik
bilangan kompleks:
�−1
�� = � �� . � −�2���/�
�=0
Setiap Xk adalah bilangan kompleks yang mengkodekan baik amplitudo dan fase dari
komponen sinusoidal fungsi x_n. Frekuensi sinusoid adalah siklus k per sampel N.
Amplitudo dan fase adalah:
4
|�� |
= ���(�� )2 + ��(�� )2 /�
�
arg(�� ) = ����2���(�� ), ��(�� )� = −� �� �
1.3 Fast Fourirer Transform
��
�
|�� |
Transformasi Fourier cepat (Bahasa Inggris: Fast Fourier Transform, biasa disingkat
FFT) adalah suatu algoritma untuk menghitungtransformasi Fourier diskrit (Bahasa
Inggris: Discrete Fourier Transform, DFT) dengan cepat dan efisien. Transformasi
Fourier Cepat diterapkan dalam beragam bidang, mulai dari pengolahan sinyal digital,
memecahkan persamaan
diferensial
parsial,
dan
untuk
algoritma
untuk
mengalikan bilangan bulat besar.
Misalkan ''x0, ...., xN-1 merupakan bilangan kompleks. Transformasi Fourier Diskret
didefinisikan oleh rumus:
�−1
2��
�� = � �� � − �
�=0
��
Menghitung deret ini secara langsung memerlukan operasi aritmetika sebanyak O(N2).
Sebuah algoritma FFT hanya memerlukan operasi sebanyak O(N log N) untuk
menghitung
deret
yang
sama.
Secara
umum
algoritma
tersebut
tergantung
pada pemfaktoran N.
Setiap algoritma FFT, dengan penyesuaian, dapat diterapkan pula untuk menghitung DFT
invers. Ini karena DFT invers adalah sama dengan DFT, namun dengan tanda eksponen
berlawanan dan dikalikan dengan faktor 1/N.
1.4 Low Pass Filter dan High Pass filter
Low Pass Filter
Low-pass filter digunakan untuk meneruskan sinyal berfrekuensi rendah dan meredam
sinyal berfrekuensi tinggi. Sinyal dapat berupa sinyal listrik seperti perubahan tegangan
maupun data-data digital seperti citra dan suara.
5
Untuk sinyal listrik, low-pass filter direalisasikan dengan meletakkan kumparan secara
seri dengan sumber sinyal atau dengan meletakkan kapasitor secara paralel dengan
sumber sinyal. Contoh penggunaan filter ini adalah pada aplikasi audio, yaitu pada
peredaman frekuensi tinggi (yang biasa digunakan pada tweeter) sebelum masuk speaker
bass atau subwoofer (frekuensi rendah). Kumparan yang diletakkan secara seri dengan
sumber tegangan akan meredam frekuensi tinggi dan meneruskan frekuensi rendah,
sedangkan sebaliknya kapasitor yang diletakkan seri akan meredam frekuensi rendah dan
meneruskan frekuensi tinggi. Komponen rangkaian Low Pass Filter berupa komponen
induktor(L) dan kapasitor(C). Rangkaian ini juga berfungsi sebagai filter harmonisa pada
sistem distribusi yang menjaga agar gelombang tegangan atau arus tetap sinusoidal.
Untuk sinyal berupa data-data digital dapat difilter dengan melakukan operasi
matematika seperti konvolusi. Finite impulse response (FIR) dan Infinite impulse
response (IIR) adalah algoritma untuk memfilter sinyal digital. Contoh aplikasi low-pass
filter pada sinyal digital adalah memperhalus gambar dengan Gaussian blur.
Batas frekuensi antara sinyal yang dapat diteruskan dan yang diredam disebut dengan
frekuensi cut-off. Frekuensi cut-off dapat ditentukan dengan perhitungan sebagai berikut:
�� =
1
1
=
2�� 2���
Low-pass filter yang dirangkai dengan high-pass filter (filter yang meneruskan frekuensi
tinggi) akan membentuk filter baru, yaitu band-pass filter (meneruskan sinyal pada
jangkauan frekuensi tertentu) ataupun band-stop filter (menghambat sinyal pada
frekuensi tertentu).
High Pass Filter
High-pass filter adalah filter elektronik yang melewati sinyal dengan frekuensi yang lebih
tinggi daripada frekuensi cutoff tertentu dan melemahkan sinyal dengan frekuensi yang
lebih rendah daripada frekuensi cutoff. Jumlah redaman untuk setiap frekuensi tergantung
pada desain filter. Sebuah high-pass filter biasanya dimodelkan sebagai sistem waktuinvariant linear. Kadang-kadang disebut filter atau bass-cut filter low-cut. Tinggi-pass
filter memiliki banyak kegunaan, seperti memblokir DC dari sirkuit sensitif terhadap non-
6
nol tegangan rata-rata atau perangkat frekuensi radio. Mereka juga dapat digunakan
dalam hubungannya dengan filter low-pass untuk menghasilkan filter bandpass.
1.5 Pemanfaatan Fourier Transform dan Filtering dalam keilmuan Meteorologi
Ilmu meteorologi adalah ilmu yang cukup kompleks dan luas dalam cakupannya. Begitu
banyak fenomena-fenomena atmosfer yang terjadi. Dari yang paling besar, menengah
(meso), maupun skala mikro yang cukup susah untuk dimodelkan (dibutuhkan
parameterisasi). Dalam satu fenomena saja, terdapat hal-hal yang cukup kompleks yang
terjadi, tentunya hal itu akan cukup sulit di modelkan. Dengan metode Fourier
Transform, kita dapat mentransformasi signal-signal yang kompleks tersebut mejadi
signal yang lebih sederhana dalam sebuah grid-grid, sehingga lebih mudah dimodelkan
dan di analisis
Sedangkan filtering, dibutuhkan dalam meteorology, yaitu untuk menyaring data-data
yang besar atau kecil. Contohnya dalam menentukan kondisi curah hujan denga
menggunakan threshold. Selain itu, juga dibutuhkan untuk menentukan kondisi iklim dan
cuaca dalam skala meso.
Salah satu pemanfaatan FFT dan filtering dalam keilmuan meteorology lainnya adalah
penggunaan metode bias correction, memisahkan data antara data dengan nilai ekstrim
dan non ekstrim karena keduanya memiliki pola yang berbeda sehingga bila dipisahkan
akan mempengaruhi proses dalam bias correction dan hasilnya akan kurang maksimal.
Pemisahan antara data bernilai estrim dan non ekstrim dilakukan dengan fast fourier
transform menggunakan low pass filter (LPF) untuk data bernilai ekstrim dan high pass
filter (HPF) untuk data bernilai non ekstrim. Cara kombinasi dilakukan supaya
mendapatkan hasil yang lebih maksimal dibandingkan dengan hasil kerja tiap metode
tunggalnya. Digunakan metode ini untuk mencari fenomena fenomena dan kekuatannya
dalam mempengaruhi data curah hujan. Sehingga dapat diketahui fenomena apa saja yang
berpengaruh kuat atau lemah terhadap wilayah atau titik kajian.
7
BAB II
DATA DAN METODOLOGI
2.1. Data Curah Hujan yang Digunakan
Data hujan yang digunakan adalah data satu titik di wilayah Denpasar, Bali dengan
Longitude 115.171894 dan Latitute -8.745190. Titik tersebut berada di wilayah Bandara
Ngurah Rai International Airport. Data hujan yang tersedia dari tahun 1901-2008. Akan
tetapi pada modul ini kami menggunakan data curah hujan dari tahun 1976-2008 (384
bulan) dikarenakan data dibawah tahun 1976 masih belum baik.
Gambar 1 Pulau Bali (Sebelum Diperbesar)
Gambar 2 Daerah Kajian Satu Titik Pulau Bali (Setelah diperbesar)
Sumber : googlemaps.com
8
2.2. Flowchart Rain FFT, Low Pass Filter, dan High Pass Filter
Dalam pengerjaan tugas praktikum modul ini digunakan script RainFFT untuk menampilkan
frekuensi domain dan time domaindari data curah hujan di titik kajian. Setelah itu untuk
digunakan Low Pass Filter untuk meloloskan frekuensi rendah dan High Pass Filter untuk
meloloskan frekuensi tinggi. Untuk menampilkan frekuensi yang berada di dua ambang
threshold kami juga mencoba menampilkan flowchart Band Pass Filter. Berikut flowchart
masing-masing.
Flowchart “rainFFT.m” :
Start
Baca
denpasar .
dat”
Potong Tahun
(Data 32
Tahun)
- Definisi Frekuensi Dalam Detik(1/s)
- Definisi Waktu(384 Bulan)
- Definisi Window Length
- Panjang Transformasi
- Discrete Fourier Transform
- Definisi Ruang Frekuensi
Potong Setengah
dari Range Frekuensi
End
9
Flowchart “LPF.m”
Start
Baca
“denpasar.dat”
Potong Tahun
(Data 32 Tahun )
- Definisi Frekuensi Dalam Detik (1/s)
- Definisi Waktu (384 Bulan)
- Definisi Window Length
- Panjang Transformasi
- Discrete Fourier Transform
- Definisi Ruang Frekuensi
Definisikan
y=ambang batas
Tidak
X< y
Ya
Low Pass
Filter
End
10
Flowchart “HPF.m”
Start
Baca
“denpasar..dat”
Potong Tahun
(Data 32 Tahun )
- Definisi Frekuensi Dalam Detik (1/s)
- Definisi Waktu (384 Bulan)
- Definisi Window Length
- Panjang Transformasi
- Discrete Fourier Transform
- Definisi Ruang Frekuensi
Definisikan
y =ambang batas
Tidak
X> y
Ya
Hasil High
Pass Filter
End
11
Flowchart ‘BPF.m”
Start
Baca
”denpasar. .dat”
Potong Tahun
(Data 32 Tahun )
- Definisi Frekuensi Dalam Detik (1/s)
- Definisi Waktu (384 Bulan)
- Definisi Window Length
- Panjang Transformasi
- Discrete Fourier Transform
- Definisi Ruang Frekuensi
Definisikan
Definisikan
Y1ambang
= batas
frek.
atas
Y1=Ambang
batas
Frek.
Atas
Y2=Ambang batas frek. bawah
y2=ambang batas frek bawah
X Y1
X>Y2
Ya
Hasil Band
Pass Filter
End
Tidak
12
BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Plot Output Gambar Tanpa Filtering
Gambar 3 Grafik Curah Hujan Tahun 1976-2008 (384 Bulan) di Titik Kajian
Grafik di atas merupakan grafik curah hujan selama 284 bulan dari tahun 1976-2008 di titik
kajian yang berada di Pulau Bali. Dari grafik tersebut terlihat bahwa akumulasi curah hujan
bulanan di rentang tahun tersebut berada pada kisaran 64 mm - 643 mm. Berikut grafik frekuensi
curah hujan tahun 1976-2008 di titik kajian.
Gambar 4 Grafik Frekuensi Curah Hujan Tahun 1976 - 2008 di Titik Kajian
13
Dari grafik frekuensi terhadap power di atas terdapat beberapa puncak yang menonjol. Power
menunjukkan seberapa kuat frekuensi muncul. Dari grafik di atas mengindikasikan adanya suatu
fenomena yang mempengaruhi curah hujan di titik kajian direntang tahun 1976-2008. Untuk
mengetahui waktu kemunculan dari frekuensinya dapat kita plot grafik periodenya.
Gambar 5 Grafik Periode Curah Hujan Tahun 1976 – 2008 di Titik Kajian
Dari Gambar 5 terlihat lebih dari satu periode yang memiliki power tinggi. Hal ini meunjjukkan
terdapat lebih dari satu fenomena atmosfir yang mempengaruhi curah hujan di titik kajian yang
berada di Pulau Bali. Semakin tinggi power suatu periode berarti semakin kuat pengaruhnya
terhadap curah hujan di titik kajian. Periode yang paling mempengaruhi titik kajian memiliki
power 8.85e005 kemudian kedua tertinggi memiliki power 1.305e005. Kemudian ketiga,
keempat, dan kelima dengan power maisng-masing 5.061e004, lalu 3.699e004 dan terakhir
2.777e004.
Periode terkuat pertama yaitu 11.91 bulan (12 bulan) merupakan fenomena monsoon. Kemudian
periode terkuat kedua yang mempengaruhi titik kajian adalah Semi-Annual Oscillation (SAO)
dengan Periode 6.024 bulan. Lalu Periode 36.57 bulan atau 3.0475 tahun sesuai dengan periode
siklus fenomena El Nino – La Nina 2-7 tahun, di mana periode atau fenomena tersebut cukup
berpengaruh di titik kajian.. Lalu terakhir dengan periode 3.16 bulan yang diindikasikan
fenomena MJO yang memiliki siklus 1-3 bulan. Dapat diambl kesimpulan bahwa bahwa curah
hujan di daerah titik kajian lebih dominan dipengaruhi oleh fenomena moonson dan juga SAO.
3.2 Plot Output Gambar dengan Filtering
Pada subbab sebelumnya kita memhasilkan output gambar curah hujan tanpa melakukan
filtering. Pada bagian ini akan dilakukan 3 jenis filtering, yaitu Low Pass Filter (LPF), High Pass
Filteri (HPF), dan Band Pass Filter (BPF).
14
3.2.1 Low Pass Filter (LPF),
Pada LPF, dipilih threshold 7e-8. Hal ini berarti frekuensi dibawah threshold (Grafik di sebelah
kiri threshold) akan lolos.
Gambar 6 Threshold LPF (Garis Merah)
Berikut plot grafik initial data-nya. Grafik warna merah menunjukkan time series (domain
waktu) dan grafik dibawahnya merupakan domain frekuensi.
Gambar 7 Grafik Initilal Data untuk LPF
15
Gambar 8 Transformasi ke LPF
Gambar 8 menunjukkan transformasi domain waktu dan frekuensi ke LPF. Output
transformasinya dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
Gambar 9 Output LPF
Apabila diperhatikan antara gambar 7 (initial data) dan gambar 9 (output hasil filtering), baik di
domain waktu dan domain frekuensinya terdapat perbedaan. Output hasil filtering pada domain
waktu, grafiknya lebih smooth bila kita bandingkan pada saat initial data-nya akibat frekuensi di
atas threshold di redam. Kemudian untuk domain frekuensi, frekuensi dengan power kuat
muncul lebih jelas setelah dilakukan filtering.
16
Berikut hasil plot periode setelah dilakukan LPF.
Gambar 10 Grafik Periode Setelah Dilakukan Low Pass Filter
Dari gambar tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa fenomena monsoon sangat mempengaruhi
titik daerah kajian. Terlihat bahwa peiode dengan power paling kuat terjadi saat periode bulan
ke-12 (annual) dan juga terlihat pada saat periode bulan ke 6 yaitu fenomena SAO.
3.2.2 High Pass Filter
Pada HPF, dipilih threshold 2e-8. Hal ini berarti frekuensi di atas threshold (Grafik di sebelah
kanan threshold) akan lolos.
Gambar 11 Threshold HPF (Garis Merah)
17
Berikut plot grafik initial data-nya. Grafik warna merah menunjukkan time series (domain
waktu) dan grafik dibawahnya merupakan domain frekuensi.
Gambar 12 Grafik Initial Data untuk HPF
Gambar 13 Transformasi ke HPF
Gambar 13 menunjukkan transformasi domain waktu dan frekuensi ke HPF. Output
transformasinya dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
18
Gambar 14 Output HPF
Apabila diperhatikan antara gambar 12 (initial data) dan gambar 14 (output hasil filtering), baik
di domain waktu dan domain frekuensinya terdapat perbedaan. Output hasil filtering pada
domain waktu, meski terlihat hampir sama namun grafiknya lebih smooth bila kita bandingkan
pada saat initial data-nya akibat frekuensi di bawah threshold di redam. Kemudian untuk domain
frekuensi, frekuensi dengan power kuat muncul lebih jelas setelah dilakukan filtering.
Berikut hasil plot periode setelah dilakukan HPF.
Gambar 15 Grafik Periode Setelah Dilakukan High Pass Filter
Dari gambar tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa fenomena monsoon (12 bulan) paling
mempengaruhi titik daerah kajian kemudian SAO yang memiliki periode 6 bulan. Dapat terlihat
19
dari gambar 15 bahwa peiode dengan power paling kuat terjadi saat periode bulan ke-12 dan juga
pada saat periode bulan ke 6.
3.2.3 Band Pass Filter
Pada BPF, dipilih threshold 2e-8 dan juga 7e-8. Hal ini berarti kita hanya mengambil frekuensi
diantara rentang threshold tersebut. Daerah diantara kedua garis merah di bawah ini
menunjukkan daerah BPF.
Gambar 16 Threshold BPF (Daerah Diantara Kedua Garis Merah)
Berikut plot grafik initial data-nya. Grafik warna merah menunjukkan time series (domain
waktu) dan grafik dibawahnya merupakan domain frekuensi.
Gambar 17 Grafik Initial Data untuk BPF
20
Pada prinsipnya kita akan memperoleh grafik frekuensi di rentang threshold tersebut. Dari plot
frekuensi tersebut dapat kita ketahui periodenya sehingga dapat diketahui fenomena apa saja
yang mempengaruhi di titik kajian. Dalam hal ini fenomena yang paling mempengaruhi titik
kajian adalah monsoon dan SAO.
3.3 Transformasi Domain Waktu Ke Domain Frekuensi dengan Metode FFT
Akan kita transformasikan secara anailtik persamaan berdomain waktu ini ke dalam persamaan
berdomain frekuensi:
x(t) = sin(t) + 1/3 cos (3t).
X(t) = sin(t) + 1/3 cos(3t) jika ditransformasikan dari persamaan berdomain waktu ke dalam
persamaan berdomain frekuensi akan menghasilkan suatu deret:
�−1
Untuk X(t) = sin(t)
1
X(f) = � x(t)� −�2���
�
�=0
X(f) = � ���2 � (� − 1) − � ���2 � (� + 1)
Untuk kurva positifnya ditunjukkan oleh :
X(f) = � ���2 � (� − 1)
Untuk X(t) = 1/3 cos(3t)
X(f) = 1/3 ���2 � (� − 3) − 1/3 ���2 � (� + 3)
Untuk kurva positifnya ditunjukkan oleh :
X(f) = � ���2 � (� − 3)
21
Sehingga untuk X(t) = sin(t) + 1/3 cos(3t) :
X(f) = ���2 � (� − 3) + � ���2 � (� − 1) − � ���2 � (� + 1) − 1/3 ���2 � (� + 3)
3
1
Maka,
X(f) =
Sehingga,
1
3
���2 (� (� − 3) + � 3 � (� − 1) − � 3� (� + 1) − � (� + 3))
X(f) = √� �
� (�−3)
3 √2
+
� � (�−1)
√2
−
� � (�+1)
√2
−
� (�+3)
3 √2
Jika diasumsikan f adalah positif, maka:
X(f) =
1
3
�
�
� 2 � (� − 3) + � � 2 � (� − 1)
�
22
DAFTAR PUSTAKA
Ameldam, Piala, 2012. Pengujian Data NCEP-FNL dan CCMP Untuk Potensi
Energi Angin (Studi Kasus di Jawa Barat Tahun 2008). Program Studi Meteorologi,
Fakultas Ilmu dan Teknologi Kebumian, Institut Teknologi Bandung.
Suryo Wardani, Ari. L. Dupe, Zadrach. 2012. Analisis Pengaruh El Nino- La
Nina, Madden Jullian Oscillation dan Semi-Annual Oscillation Terhadap Curah Hujan
di Kota Balikpapan. Program Studi Meteorologi, Fakultas Ilmu dan Teknologi
Kebumian, Institut Teknologi Bandung.
http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam
15:21)
http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/ (Diakses
Tanggal 24-03-15 Jam 15:21)
http://www.cv.nrao.edu/course/astr534/FourierTransforms.html (Diakses Tanggal 24-0315 Jam 15:21)
http://mathworld.wolfram.com/FastFourierTransform.html (Diakses Tanggal 24-03-15
Jam 15:55)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/math/fft.html(Diakses Tanggal 24-03-15 Jam
15:55)
http://mathworld.wolfram.com/DiscreteFourierTransform.html(Diakses Tanggal 24-0315 Jam 15:55)
http://www.dspguide.com/ch8.htm (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam 15:55)
https://ccrma.stanford.edu/~jos/st/ (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam 17:35)
http://elektronika-dasar.web.id/teori-elektronika/low-pass-filter-lpf-rc/ (Diakses Tanggal
24-03-15 Jam 17:35)
http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_8/2.html (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam
18:00)
http://sim.okawa-denshi.jp/en/CRlowkeisan.htm (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam 18:01)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/filcap2.html (Diakses Tanggal 24-0315 Jam 18:01)
http://www.electronics-tutorials.ws/filter/filter_3.html (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam
19:15)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/filcap.html (Diakses Tanggal 24-0315 Jam 19:15)
23
http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_8/3.html (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam
19:15)
http://manual.audacityteam.org/o/man/high_pass_filter.html (Diakses Tanggal 24-03-15
Jam 20:45)
LAPORAN PRAKTIKUM MODUL-II
ANALISIS DATA CUACA DAN IKLIM II
Disusun oleh :
Ulfa Widya Lestari
12811031
Michael Antonius
12812008
Fikri Rozi
12812031
Fandy Balbo
12812038
PROGRAM STUDI METEOROLOGI
FAKULTAS ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2015
2
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Fourier Transform
Transformasi Fourier, dinamakan atas Joseph Fourier, adalah sebuahtransformasi
integral yang menyatakan-kembali sebuah fungsi dalamfungsi basis sinusoidal, yaitu
sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien
("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan-dekat dari transformasi ini
tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan
∞
�(�) = � �(�)� −2���� ��
−∞
Transformasi Fourier merupakan ururai fungsi waktu (sinyal) ke dalam frekuensi yang
membuat fungsi waktu, mirip dengan bagaimana chord musik dapat dinyatakan sebagai
amplitudo (atau kenyaringan). Transformasi Fourier dari fungsi waktu itu sendiri adalah
fungsi bernilai kompleks, yang merupakan nilai absolut jumlah frekuensi dalam fungsi
semula, dan yang argumen kompleks adalah fase offset dari sinusoidal dasar dalam
frekuensi tersebut. Transformasi Fourier disebut representasi domain frekuensi sinyal
asli. Istilah Fourier transform mengacu baik representasi domain frekuensi dan operasi
matematika yang mengaitkan representasi domain frekuensi fungsi waktu. Transformasi
Fourier tidak terbatas pada fungsi waktu, tetapi untuk memiliki bahasa yang seragam,
domain dari fungsi asli sering disebut sebagai domain waktu.
3
1.2 Discrete Fourier Transform
Dalam matematika, transformasi Fourier diskrit (DFT) mengubah sampel deret berhingga
menjadi fungsi ke dalam kombinasi deret berhingga sinusoidal yang kompleks, yang
diperintahkan oleh frekuensi mereka, yang memiliki nilai-nilai sampel yang sama. Hal ini
dapat dikatakan untuk mengubah fungsi sampel dari domain aslinya (sering waktu atau
posisi sepanjang garis) ke domain frekuensi.
Input sampel adalah bilangan kompleks (dalam praktek, biasanya bilangan real), dan
koefisien output bilangan kompleks juga. Output Frekuensi sinusoidal merupakan
kelipatan bilangan bulat dari frekuensi dasar, dengan periode yang sama adalah panjang
interval sampling. Kombinasi sinusoid diperoleh melalui DFT karena periodik dengan
periode yang sama. DFT berbeda dari diskrit-waktu Fourier transform (DTFT) dalam
input dan output, karena itu dikatakan analisis Fourier dari terbatas-domain (atau
periodik) fungsi diskrit-waktu.
DFT adalah mengubah data diskrit yang paling penting, yang digunakan untuk
melakukan analisis Fourier dalam banyak aplikasi praktis. Dalam pemrosesan sinyal
digital, fungsi ini kuantitas atau sinyal yang bervariasi dari waktu ke waktu, seperti
tekanan dari gelombang suara, radio sinyal, atau suhu harian bacaan, sampel selama
interval waktu yang terbatas (sering didefinisikan oleh fungsi jendela). Dalam
pengolahan citra, sampel dapat menjadi nilai-nilai piksel sepanjang baris atau kolom
gambar raster. DFT juga digunakan untuk efisien menyelesaikan persamaan diferensial
parsial, dan untuk melakukan operasi lain seperti convolutions atau mengalikan bilangan
bulat besar.
Definisi :
Urutan N bilangan kompleks �0 , �1 , … … , ��−1 berubah menjadi urutan N-periodik
bilangan kompleks:
�−1
�� = � �� . � −�2���/�
�=0
Setiap Xk adalah bilangan kompleks yang mengkodekan baik amplitudo dan fase dari
komponen sinusoidal fungsi x_n. Frekuensi sinusoid adalah siklus k per sampel N.
Amplitudo dan fase adalah:
4
|�� |
= ���(�� )2 + ��(�� )2 /�
�
arg(�� ) = ����2���(�� ), ��(�� )� = −� �� �
1.3 Fast Fourirer Transform
��
�
|�� |
Transformasi Fourier cepat (Bahasa Inggris: Fast Fourier Transform, biasa disingkat
FFT) adalah suatu algoritma untuk menghitungtransformasi Fourier diskrit (Bahasa
Inggris: Discrete Fourier Transform, DFT) dengan cepat dan efisien. Transformasi
Fourier Cepat diterapkan dalam beragam bidang, mulai dari pengolahan sinyal digital,
memecahkan persamaan
diferensial
parsial,
dan
untuk
algoritma
untuk
mengalikan bilangan bulat besar.
Misalkan ''x0, ...., xN-1 merupakan bilangan kompleks. Transformasi Fourier Diskret
didefinisikan oleh rumus:
�−1
2��
�� = � �� � − �
�=0
��
Menghitung deret ini secara langsung memerlukan operasi aritmetika sebanyak O(N2).
Sebuah algoritma FFT hanya memerlukan operasi sebanyak O(N log N) untuk
menghitung
deret
yang
sama.
Secara
umum
algoritma
tersebut
tergantung
pada pemfaktoran N.
Setiap algoritma FFT, dengan penyesuaian, dapat diterapkan pula untuk menghitung DFT
invers. Ini karena DFT invers adalah sama dengan DFT, namun dengan tanda eksponen
berlawanan dan dikalikan dengan faktor 1/N.
1.4 Low Pass Filter dan High Pass filter
Low Pass Filter
Low-pass filter digunakan untuk meneruskan sinyal berfrekuensi rendah dan meredam
sinyal berfrekuensi tinggi. Sinyal dapat berupa sinyal listrik seperti perubahan tegangan
maupun data-data digital seperti citra dan suara.
5
Untuk sinyal listrik, low-pass filter direalisasikan dengan meletakkan kumparan secara
seri dengan sumber sinyal atau dengan meletakkan kapasitor secara paralel dengan
sumber sinyal. Contoh penggunaan filter ini adalah pada aplikasi audio, yaitu pada
peredaman frekuensi tinggi (yang biasa digunakan pada tweeter) sebelum masuk speaker
bass atau subwoofer (frekuensi rendah). Kumparan yang diletakkan secara seri dengan
sumber tegangan akan meredam frekuensi tinggi dan meneruskan frekuensi rendah,
sedangkan sebaliknya kapasitor yang diletakkan seri akan meredam frekuensi rendah dan
meneruskan frekuensi tinggi. Komponen rangkaian Low Pass Filter berupa komponen
induktor(L) dan kapasitor(C). Rangkaian ini juga berfungsi sebagai filter harmonisa pada
sistem distribusi yang menjaga agar gelombang tegangan atau arus tetap sinusoidal.
Untuk sinyal berupa data-data digital dapat difilter dengan melakukan operasi
matematika seperti konvolusi. Finite impulse response (FIR) dan Infinite impulse
response (IIR) adalah algoritma untuk memfilter sinyal digital. Contoh aplikasi low-pass
filter pada sinyal digital adalah memperhalus gambar dengan Gaussian blur.
Batas frekuensi antara sinyal yang dapat diteruskan dan yang diredam disebut dengan
frekuensi cut-off. Frekuensi cut-off dapat ditentukan dengan perhitungan sebagai berikut:
�� =
1
1
=
2�� 2���
Low-pass filter yang dirangkai dengan high-pass filter (filter yang meneruskan frekuensi
tinggi) akan membentuk filter baru, yaitu band-pass filter (meneruskan sinyal pada
jangkauan frekuensi tertentu) ataupun band-stop filter (menghambat sinyal pada
frekuensi tertentu).
High Pass Filter
High-pass filter adalah filter elektronik yang melewati sinyal dengan frekuensi yang lebih
tinggi daripada frekuensi cutoff tertentu dan melemahkan sinyal dengan frekuensi yang
lebih rendah daripada frekuensi cutoff. Jumlah redaman untuk setiap frekuensi tergantung
pada desain filter. Sebuah high-pass filter biasanya dimodelkan sebagai sistem waktuinvariant linear. Kadang-kadang disebut filter atau bass-cut filter low-cut. Tinggi-pass
filter memiliki banyak kegunaan, seperti memblokir DC dari sirkuit sensitif terhadap non-
6
nol tegangan rata-rata atau perangkat frekuensi radio. Mereka juga dapat digunakan
dalam hubungannya dengan filter low-pass untuk menghasilkan filter bandpass.
1.5 Pemanfaatan Fourier Transform dan Filtering dalam keilmuan Meteorologi
Ilmu meteorologi adalah ilmu yang cukup kompleks dan luas dalam cakupannya. Begitu
banyak fenomena-fenomena atmosfer yang terjadi. Dari yang paling besar, menengah
(meso), maupun skala mikro yang cukup susah untuk dimodelkan (dibutuhkan
parameterisasi). Dalam satu fenomena saja, terdapat hal-hal yang cukup kompleks yang
terjadi, tentunya hal itu akan cukup sulit di modelkan. Dengan metode Fourier
Transform, kita dapat mentransformasi signal-signal yang kompleks tersebut mejadi
signal yang lebih sederhana dalam sebuah grid-grid, sehingga lebih mudah dimodelkan
dan di analisis
Sedangkan filtering, dibutuhkan dalam meteorology, yaitu untuk menyaring data-data
yang besar atau kecil. Contohnya dalam menentukan kondisi curah hujan denga
menggunakan threshold. Selain itu, juga dibutuhkan untuk menentukan kondisi iklim dan
cuaca dalam skala meso.
Salah satu pemanfaatan FFT dan filtering dalam keilmuan meteorology lainnya adalah
penggunaan metode bias correction, memisahkan data antara data dengan nilai ekstrim
dan non ekstrim karena keduanya memiliki pola yang berbeda sehingga bila dipisahkan
akan mempengaruhi proses dalam bias correction dan hasilnya akan kurang maksimal.
Pemisahan antara data bernilai estrim dan non ekstrim dilakukan dengan fast fourier
transform menggunakan low pass filter (LPF) untuk data bernilai ekstrim dan high pass
filter (HPF) untuk data bernilai non ekstrim. Cara kombinasi dilakukan supaya
mendapatkan hasil yang lebih maksimal dibandingkan dengan hasil kerja tiap metode
tunggalnya. Digunakan metode ini untuk mencari fenomena fenomena dan kekuatannya
dalam mempengaruhi data curah hujan. Sehingga dapat diketahui fenomena apa saja yang
berpengaruh kuat atau lemah terhadap wilayah atau titik kajian.
7
BAB II
DATA DAN METODOLOGI
2.1. Data Curah Hujan yang Digunakan
Data hujan yang digunakan adalah data satu titik di wilayah Denpasar, Bali dengan
Longitude 115.171894 dan Latitute -8.745190. Titik tersebut berada di wilayah Bandara
Ngurah Rai International Airport. Data hujan yang tersedia dari tahun 1901-2008. Akan
tetapi pada modul ini kami menggunakan data curah hujan dari tahun 1976-2008 (384
bulan) dikarenakan data dibawah tahun 1976 masih belum baik.
Gambar 1 Pulau Bali (Sebelum Diperbesar)
Gambar 2 Daerah Kajian Satu Titik Pulau Bali (Setelah diperbesar)
Sumber : googlemaps.com
8
2.2. Flowchart Rain FFT, Low Pass Filter, dan High Pass Filter
Dalam pengerjaan tugas praktikum modul ini digunakan script RainFFT untuk menampilkan
frekuensi domain dan time domaindari data curah hujan di titik kajian. Setelah itu untuk
digunakan Low Pass Filter untuk meloloskan frekuensi rendah dan High Pass Filter untuk
meloloskan frekuensi tinggi. Untuk menampilkan frekuensi yang berada di dua ambang
threshold kami juga mencoba menampilkan flowchart Band Pass Filter. Berikut flowchart
masing-masing.
Flowchart “rainFFT.m” :
Start
Baca
denpasar .
dat”
Potong Tahun
(Data 32
Tahun)
- Definisi Frekuensi Dalam Detik(1/s)
- Definisi Waktu(384 Bulan)
- Definisi Window Length
- Panjang Transformasi
- Discrete Fourier Transform
- Definisi Ruang Frekuensi
Potong Setengah
dari Range Frekuensi
End
9
Flowchart “LPF.m”
Start
Baca
“denpasar.dat”
Potong Tahun
(Data 32 Tahun )
- Definisi Frekuensi Dalam Detik (1/s)
- Definisi Waktu (384 Bulan)
- Definisi Window Length
- Panjang Transformasi
- Discrete Fourier Transform
- Definisi Ruang Frekuensi
Definisikan
y=ambang batas
Tidak
X< y
Ya
Low Pass
Filter
End
10
Flowchart “HPF.m”
Start
Baca
“denpasar..dat”
Potong Tahun
(Data 32 Tahun )
- Definisi Frekuensi Dalam Detik (1/s)
- Definisi Waktu (384 Bulan)
- Definisi Window Length
- Panjang Transformasi
- Discrete Fourier Transform
- Definisi Ruang Frekuensi
Definisikan
y =ambang batas
Tidak
X> y
Ya
Hasil High
Pass Filter
End
11
Flowchart ‘BPF.m”
Start
Baca
”denpasar. .dat”
Potong Tahun
(Data 32 Tahun )
- Definisi Frekuensi Dalam Detik (1/s)
- Definisi Waktu (384 Bulan)
- Definisi Window Length
- Panjang Transformasi
- Discrete Fourier Transform
- Definisi Ruang Frekuensi
Definisikan
Definisikan
Y1ambang
= batas
frek.
atas
Y1=Ambang
batas
Frek.
Atas
Y2=Ambang batas frek. bawah
y2=ambang batas frek bawah
X Y1
X>Y2
Ya
Hasil Band
Pass Filter
End
Tidak
12
BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Plot Output Gambar Tanpa Filtering
Gambar 3 Grafik Curah Hujan Tahun 1976-2008 (384 Bulan) di Titik Kajian
Grafik di atas merupakan grafik curah hujan selama 284 bulan dari tahun 1976-2008 di titik
kajian yang berada di Pulau Bali. Dari grafik tersebut terlihat bahwa akumulasi curah hujan
bulanan di rentang tahun tersebut berada pada kisaran 64 mm - 643 mm. Berikut grafik frekuensi
curah hujan tahun 1976-2008 di titik kajian.
Gambar 4 Grafik Frekuensi Curah Hujan Tahun 1976 - 2008 di Titik Kajian
13
Dari grafik frekuensi terhadap power di atas terdapat beberapa puncak yang menonjol. Power
menunjukkan seberapa kuat frekuensi muncul. Dari grafik di atas mengindikasikan adanya suatu
fenomena yang mempengaruhi curah hujan di titik kajian direntang tahun 1976-2008. Untuk
mengetahui waktu kemunculan dari frekuensinya dapat kita plot grafik periodenya.
Gambar 5 Grafik Periode Curah Hujan Tahun 1976 – 2008 di Titik Kajian
Dari Gambar 5 terlihat lebih dari satu periode yang memiliki power tinggi. Hal ini meunjjukkan
terdapat lebih dari satu fenomena atmosfir yang mempengaruhi curah hujan di titik kajian yang
berada di Pulau Bali. Semakin tinggi power suatu periode berarti semakin kuat pengaruhnya
terhadap curah hujan di titik kajian. Periode yang paling mempengaruhi titik kajian memiliki
power 8.85e005 kemudian kedua tertinggi memiliki power 1.305e005. Kemudian ketiga,
keempat, dan kelima dengan power maisng-masing 5.061e004, lalu 3.699e004 dan terakhir
2.777e004.
Periode terkuat pertama yaitu 11.91 bulan (12 bulan) merupakan fenomena monsoon. Kemudian
periode terkuat kedua yang mempengaruhi titik kajian adalah Semi-Annual Oscillation (SAO)
dengan Periode 6.024 bulan. Lalu Periode 36.57 bulan atau 3.0475 tahun sesuai dengan periode
siklus fenomena El Nino – La Nina 2-7 tahun, di mana periode atau fenomena tersebut cukup
berpengaruh di titik kajian.. Lalu terakhir dengan periode 3.16 bulan yang diindikasikan
fenomena MJO yang memiliki siklus 1-3 bulan. Dapat diambl kesimpulan bahwa bahwa curah
hujan di daerah titik kajian lebih dominan dipengaruhi oleh fenomena moonson dan juga SAO.
3.2 Plot Output Gambar dengan Filtering
Pada subbab sebelumnya kita memhasilkan output gambar curah hujan tanpa melakukan
filtering. Pada bagian ini akan dilakukan 3 jenis filtering, yaitu Low Pass Filter (LPF), High Pass
Filteri (HPF), dan Band Pass Filter (BPF).
14
3.2.1 Low Pass Filter (LPF),
Pada LPF, dipilih threshold 7e-8. Hal ini berarti frekuensi dibawah threshold (Grafik di sebelah
kiri threshold) akan lolos.
Gambar 6 Threshold LPF (Garis Merah)
Berikut plot grafik initial data-nya. Grafik warna merah menunjukkan time series (domain
waktu) dan grafik dibawahnya merupakan domain frekuensi.
Gambar 7 Grafik Initilal Data untuk LPF
15
Gambar 8 Transformasi ke LPF
Gambar 8 menunjukkan transformasi domain waktu dan frekuensi ke LPF. Output
transformasinya dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
Gambar 9 Output LPF
Apabila diperhatikan antara gambar 7 (initial data) dan gambar 9 (output hasil filtering), baik di
domain waktu dan domain frekuensinya terdapat perbedaan. Output hasil filtering pada domain
waktu, grafiknya lebih smooth bila kita bandingkan pada saat initial data-nya akibat frekuensi di
atas threshold di redam. Kemudian untuk domain frekuensi, frekuensi dengan power kuat
muncul lebih jelas setelah dilakukan filtering.
16
Berikut hasil plot periode setelah dilakukan LPF.
Gambar 10 Grafik Periode Setelah Dilakukan Low Pass Filter
Dari gambar tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa fenomena monsoon sangat mempengaruhi
titik daerah kajian. Terlihat bahwa peiode dengan power paling kuat terjadi saat periode bulan
ke-12 (annual) dan juga terlihat pada saat periode bulan ke 6 yaitu fenomena SAO.
3.2.2 High Pass Filter
Pada HPF, dipilih threshold 2e-8. Hal ini berarti frekuensi di atas threshold (Grafik di sebelah
kanan threshold) akan lolos.
Gambar 11 Threshold HPF (Garis Merah)
17
Berikut plot grafik initial data-nya. Grafik warna merah menunjukkan time series (domain
waktu) dan grafik dibawahnya merupakan domain frekuensi.
Gambar 12 Grafik Initial Data untuk HPF
Gambar 13 Transformasi ke HPF
Gambar 13 menunjukkan transformasi domain waktu dan frekuensi ke HPF. Output
transformasinya dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
18
Gambar 14 Output HPF
Apabila diperhatikan antara gambar 12 (initial data) dan gambar 14 (output hasil filtering), baik
di domain waktu dan domain frekuensinya terdapat perbedaan. Output hasil filtering pada
domain waktu, meski terlihat hampir sama namun grafiknya lebih smooth bila kita bandingkan
pada saat initial data-nya akibat frekuensi di bawah threshold di redam. Kemudian untuk domain
frekuensi, frekuensi dengan power kuat muncul lebih jelas setelah dilakukan filtering.
Berikut hasil plot periode setelah dilakukan HPF.
Gambar 15 Grafik Periode Setelah Dilakukan High Pass Filter
Dari gambar tersebut dapat diambil kesimpulan bahwa fenomena monsoon (12 bulan) paling
mempengaruhi titik daerah kajian kemudian SAO yang memiliki periode 6 bulan. Dapat terlihat
19
dari gambar 15 bahwa peiode dengan power paling kuat terjadi saat periode bulan ke-12 dan juga
pada saat periode bulan ke 6.
3.2.3 Band Pass Filter
Pada BPF, dipilih threshold 2e-8 dan juga 7e-8. Hal ini berarti kita hanya mengambil frekuensi
diantara rentang threshold tersebut. Daerah diantara kedua garis merah di bawah ini
menunjukkan daerah BPF.
Gambar 16 Threshold BPF (Daerah Diantara Kedua Garis Merah)
Berikut plot grafik initial data-nya. Grafik warna merah menunjukkan time series (domain
waktu) dan grafik dibawahnya merupakan domain frekuensi.
Gambar 17 Grafik Initial Data untuk BPF
20
Pada prinsipnya kita akan memperoleh grafik frekuensi di rentang threshold tersebut. Dari plot
frekuensi tersebut dapat kita ketahui periodenya sehingga dapat diketahui fenomena apa saja
yang mempengaruhi di titik kajian. Dalam hal ini fenomena yang paling mempengaruhi titik
kajian adalah monsoon dan SAO.
3.3 Transformasi Domain Waktu Ke Domain Frekuensi dengan Metode FFT
Akan kita transformasikan secara anailtik persamaan berdomain waktu ini ke dalam persamaan
berdomain frekuensi:
x(t) = sin(t) + 1/3 cos (3t).
X(t) = sin(t) + 1/3 cos(3t) jika ditransformasikan dari persamaan berdomain waktu ke dalam
persamaan berdomain frekuensi akan menghasilkan suatu deret:
�−1
Untuk X(t) = sin(t)
1
X(f) = � x(t)� −�2���
�
�=0
X(f) = � ���2 � (� − 1) − � ���2 � (� + 1)
Untuk kurva positifnya ditunjukkan oleh :
X(f) = � ���2 � (� − 1)
Untuk X(t) = 1/3 cos(3t)
X(f) = 1/3 ���2 � (� − 3) − 1/3 ���2 � (� + 3)
Untuk kurva positifnya ditunjukkan oleh :
X(f) = � ���2 � (� − 3)
21
Sehingga untuk X(t) = sin(t) + 1/3 cos(3t) :
X(f) = ���2 � (� − 3) + � ���2 � (� − 1) − � ���2 � (� + 1) − 1/3 ���2 � (� + 3)
3
1
Maka,
X(f) =
Sehingga,
1
3
���2 (� (� − 3) + � 3 � (� − 1) − � 3� (� + 1) − � (� + 3))
X(f) = √� �
� (�−3)
3 √2
+
� � (�−1)
√2
−
� � (�+1)
√2
−
� (�+3)
3 √2
Jika diasumsikan f adalah positif, maka:
X(f) =
1
3
�
�
� 2 � (� − 3) + � � 2 � (� − 1)
�
22
DAFTAR PUSTAKA
Ameldam, Piala, 2012. Pengujian Data NCEP-FNL dan CCMP Untuk Potensi
Energi Angin (Studi Kasus di Jawa Barat Tahun 2008). Program Studi Meteorologi,
Fakultas Ilmu dan Teknologi Kebumian, Institut Teknologi Bandung.
Suryo Wardani, Ari. L. Dupe, Zadrach. 2012. Analisis Pengaruh El Nino- La
Nina, Madden Jullian Oscillation dan Semi-Annual Oscillation Terhadap Curah Hujan
di Kota Balikpapan. Program Studi Meteorologi, Fakultas Ilmu dan Teknologi
Kebumian, Institut Teknologi Bandung.
http://mathworld.wolfram.com/FourierTransform.html (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam
15:21)
http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/ (Diakses
Tanggal 24-03-15 Jam 15:21)
http://www.cv.nrao.edu/course/astr534/FourierTransforms.html (Diakses Tanggal 24-0315 Jam 15:21)
http://mathworld.wolfram.com/FastFourierTransform.html (Diakses Tanggal 24-03-15
Jam 15:55)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/math/fft.html(Diakses Tanggal 24-03-15 Jam
15:55)
http://mathworld.wolfram.com/DiscreteFourierTransform.html(Diakses Tanggal 24-0315 Jam 15:55)
http://www.dspguide.com/ch8.htm (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam 15:55)
https://ccrma.stanford.edu/~jos/st/ (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam 17:35)
http://elektronika-dasar.web.id/teori-elektronika/low-pass-filter-lpf-rc/ (Diakses Tanggal
24-03-15 Jam 17:35)
http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_8/2.html (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam
18:00)
http://sim.okawa-denshi.jp/en/CRlowkeisan.htm (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam 18:01)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/filcap2.html (Diakses Tanggal 24-0315 Jam 18:01)
http://www.electronics-tutorials.ws/filter/filter_3.html (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam
19:15)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/filcap.html (Diakses Tanggal 24-0315 Jam 19:15)
23
http://www.allaboutcircuits.com/vol_2/chpt_8/3.html (Diakses Tanggal 24-03-15 Jam
19:15)
http://manual.audacityteam.org/o/man/high_pass_filter.html (Diakses Tanggal 24-03-15
Jam 20:45)