Bahan Ajar Matematika

FUNGSI KOMPOSISI
Kelas XI IPS
Semester 1

OLEH :
SURATNO, S.Pd
SMAN 1 KALIWUNGU
lintangaleh@gmail.com
1

Setelah menyaksikan tayangan
ini siswa dapat:
1.Menentukan fungsi komposisi
2.Menentukan salah satu fungsi
jika fungsi komposisi dan fungsi
yang lain diketahui

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

2

Definisi
Suatu relasi dari A ke B yang
memasangkan setiap anggota
A ke tepat satu anggota B
disebut fungsi atau pemetaan
dari A ke B
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

3

Notasi Fungsi
Suatu fungsi atau pemetaan
umumnya dinotasikan dengan
huruf kecil.
Misal, f adalah fungsi dari A ke
B
ditulis f: A → B
A disebut domain

B disebut kodomain
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

4

Range atau Daerah Hasil
Jika f memetakan
x  A ke y  B
dikatakan y adalah peta dari
x
ditulis f: x → y atau y = f(x).
Himpunan y  B
yang merupakan peta dari x
A
disebut range atau daerah
hasil
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu

lintangaleh@gmail.com

5

contoh 1
Perhatikan gambar pemetaan
f:A→B
f
1
a
domain adalah
2
b
A = {a, b, c, d}
3
c
kodomain adalah
4
d
B = {1, 2, 3, 4, 5}
A

5
B
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

6

Perhatikan gambar pemetaan
f:A→B
a

f

1

b

2

c

3

d
A

4
5
B

f(a) = 1, f(b) =
2
f(c) = 3,
f(d) =
range
adalah
4
R = {1, 2, 3, 4}
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu

lintangaleh@gmail.com

7

contoh 2
Misal f: R → R
dengan f(x) = √1 - x2
Tentukan domain dari fungsi f.

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

8

Jawab:
Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2
maka haruslah 1 – x2 ≥ 0.
1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau
(x-1)(x+1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1.
Jadi, domain fungsi tersebut

adalah -1 ≤ x ≤ 1.

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

9

contoh 3
Misal f: R → R
dengan f(x – 1) = x2 + 5x
Tentukan :

a. f(x)
b. f(-3)

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

10

Jawab
a.Misal y = x – 1 maka x = y + 1
karena f(x – 1) = x2 + 5x
maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1)
f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y +
5
f(y) = y2 + 7y + 6
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

11

f(y)

= y2 + 7y + 6

a. f(x) = x2 + 7x + 6
b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6
= 9 – 21 + 6
= -6

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

12

Komposisi Fungsi
Penggabungan operasi dua
fungsi secara berurutan akan
menghasilkan sebuah fungsi
baru.
Penggabungan tersebut
disebut komposisi fungsi dan
hasilnya disebut fungsi
komposisi.
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu

lintangaleh@gmail.com

13

A
x

B
f

y

C
g

z

x  A dipetakan oleh f ke y  B
ditulis f : x → y atau y = f(x)
y  B dipetakan oleh g ke z  C
ditulis g : y → z atau z = g(y)
atau z = g(f(x))
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu

lintangaleh@gmail.com

14

A
x

B
f

y

C
g

z

gof
maka fungsi yang memetakan
x  A ke z  C
adalah komposisi fungsi f dan g
ditulis (g o f)(x) = g(f(x))

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

15

contoh 1
f : A → B dan g: B → C
didefinisikan seperti pada gambar

A
a
b

f

B

g

1
2
3

C
p
q

Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b)
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

16

Jawab:

(g o f)(a)
=?
A
a
b

f

B

g

1
2
3

C
p
q

f(a) = 1 dan g(1) = q
Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1)=q
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

17

(g o f)(b)
=A?
B
a
b

f

g

1
2
3

C
p
q

f(b) = 3 dan g(3) = p
Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3)
=p
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

18

contoh 2
Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan
g(x) = 3x + 120
maka nilai p = … .
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

19

Jawab:
f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120
g(f(x))
g(2x+ p)
120)

= f(g(x))
= f(3x +

3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) +
p
6x + 3p + 120
+p
3p – p
lintangaleh@gmail.com

= 6x + 360
= 360 – 120

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu

20

Sifat Komposisi Fungsi
1.Tidak komutatif:
fog≠gof
2. Bersifat assosiatif:
f o (g o h) = (f o g)o h = f o g o h
3. Memiliki fungsi identitas: I(x)= x
foI=Iof=f

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

21

contoh 1
f : R → R dan g : R → R
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2
+5
Tentukan:

a. (g o f)(x)
b. (f o g)(x)
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu

lintangaleh@gmail.com

22

Jawab:
a. f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
(g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)
= 2(3x – 1)2 + 5
= 2(9x2 – 6x + 1) + 5
= 18x2 – 12x + 2 + 5
= 18x2 – 12x + 7

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

23

b. f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2
+5
(f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 +
5)
= 3(2x2 + 5) –

1

= 6x2 + 15 – 1
(f o g)(x)

= 6x2 + 14

(g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7
(g o f)(x) ≠ (f o g )(x)
tidak bersifat komutatif
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu

lintangaleh@gmail.com

24

contoh 2
f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan
h(x) = 1/x
Tentukan:

a. (f o g) o h
b. f o (g o h)
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu

lintangaleh@gmail.com

25

Jawab:
f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1
dan h(x) = 1/x
((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))
(f o g)(x)

= (x2 – 1) – 1
= x2 – 2
(f o g(h(x)))
= (f o g)(1/x)
= (1/x)2 – 2
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu

lintangaleh@gmail.com

26

f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1
dan h(x) = 1/x
(f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x))
(g o h)(x)

= g(1/x)
= (1/x)2 – 1
= 1/x2 - 1
f(g o h)(x) = f(1/x2 – 1)
= (1/x2 – 1) – 1
=(1/x)2 – 2
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

27

contoh 3
I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x
+1
Tentukan:
a.(f o I)(x) dan (g o I)
b.(I o f) dan (I o g)
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

28

Jawab:
I(x) = x, f(x) = x2 dan
g(x) = x + 1
(f o I)(x)
(g o I)(x)
(I o f)(x)
(I o g)(x)
(I o f)(x)

=
=
=
=
=

x2
x+1
x2
x+1
(f o I) = f

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

29

Menentukan Suatu Fungsi
Jika Fungsi Komposisi
dan Fungsi Yang Lain
Diketahui

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

30

Contoh 1
Diketahui f(x) = 3x – 1
dan (f o g)(x) = x2 + 5
Tentukan g(x)!

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

31

Jawab
f(x) = 3x – 1 dan (f o g)(x) = x2 + 5
fg(x)] = x2 + 5
3.g(x) – 1
= x2 + 5
3.g(x)
= x2 + 5 + 1 = x 2 + 6
Jadi g(x) = ⅓(x2 + 6)

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

32

contoh 2
Diketahui g(x) = x + 9 dan
(f o g)(x) = ⅓x2 – 6
maka f(x) = … .

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

33

Jawab:
g(x) = x + 9
(f o g)(x)

= f(g(x))
= ⅓x2–6

f(x + 9)
Misal:

= ⅓x2–6
x + 9 = y  x = y–9
f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu

lintangaleh@gmail.com

34

f(y)

= ⅓(y – 9)2 – 6
= ⅓(y2 – 18y + 81) – 6
= ⅓y2 – 6y + 27 – 6

Jadi f(x) = ⅓x2 – 6x + 21

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

35

contoh 3
Diketahui f(x) = x – 3 dan
(g of)(x) = x2 + 6x + 9
maka g(x – 1) = ….

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

36

Jawab:
f(x) = x – 3;
(g o f)(x) = g (f(x)) = x2+6x+9
g(x – 3) = x2 + 6x + 9
Misal: x – 3 = y  x = y + 3
g(y) = (y + 3)2 + 6(y + 3) + 9
= y2 + 6y + 9 + 6y +18 +9
g(y) = y2 + 6y + 9 + 6y +18 +9
= y2 + 12y + 36
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

37

g(x – 1) = (x – 1)2 + 12(x – 1) +
36
= x2 – 2x + 1 + 12x – 12
+ 36
= x2 + 10x + 25
Jadi g(x – 1) = x2 + 10x + 25

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

38

Contoh 4
Diketahui f(x) = 2x + 1
dan (f o g)(x + 1)= -2x2 – 4x
+1
Nilai g(-2) =….

Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

39

Jawaban:
f(g(x + 1))
= -2x2 – 4x +
1
f(x) = 2x + 1 → f(g(x))= 2g(x) +
1
f(g(x + 1))
= 2g (x + 1) +
1
2g(x + 1) + 1
= -2x2 – 4x – 1
2g(x + 1)
= -2x2 – 4x – 2
g(x + 1)
= -x2 – 2x – 1
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu

lintangaleh@gmail.com

40

g(x + 1) = -x2 – 2x – 1
g(x) = -(x – 1)2 – 2(x – 1) –
1
g(2) = -(2 – 1)2 – 2(2 – 1) –
1
= -1 – 2 – 1 = -4
Jadi g(2) = - 4
Suratno, S.Pd. SMAN 1 Kaliwungu
lintangaleh@gmail.com

41