Penentuan nilai eigen suatu matriks atas aljabar max-plus interval.
PROSIDING SEMINAR NASIONAL
Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA
Tanggal 18 Mei 2013, FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
ISBN: 978 – 979 -96880 – 7 - 1
Bidang:
Matematika dan Pendidikan Matematika
Fisika dan Pendidikan Fisika
Kimia dan Pendidikan Kimia
Biologi dan Pendidikan Biologi
Ilmu Pengetahuan Alam
Tema:
MIPA dan Pendidikan MIPA Untuk Kemandirian Bangsa
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Tahun 2013
PROSIDING SEMINAR NASIONAL
Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA
Tanggal 18 Mei 2013, FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
ISBN: 978 – 979 -96880 – 7 - 1
Tim Editor:
1. Nur Hadi Waryanto, M.Eng (Matematika)
2. Denny Darmawan, M.Sc (Fisika)
3. Erfan Priyambodo, M.Si (Kimia)
4. Yuni Wibowo, M.Pd (Biologi)
5. Sabar Nurohman, M.Pd (IPA)
Tim Reviewer:
1. Dr. Agus Maman Abadi (Matematika)
2. Wipsar Sunu Brams Dwandaru, M.Sc.,Ph.D (Fisika)
3. Prof. Dr.Endang Wijayanti (Kimia)
4. Dr. Heru Nurcahyo (Biologi)
Tema:
MIPA dan Pendidikan MIPA Untuk Kemandirian Bangsa
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Tahun 2013
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA,
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18Mei 2013
19
Pengambilan
Keputusan
Untuk
Penilaian
Menggunakan Analytic Hierarchy Process (Ahp)
Sinta Arifin
Kinerja
M-135
20
Penentuan Nilai Eigen Suatu Matriks Atas Aljabar Max-Plus
Interval
Siswanto
M-141
21
Prediksi Produksi Gula Pada Pg. Madukismo Bantul Dengan
Menggunakan Adaptive Neuro Fuzzy Inference System
Sri Hanjati
M-147
22
Aplikasi Analisis Biplot Untuk Pemetaan Prestasi Dan
Karakteristik Mahasiswa Bidik Misi Antar Fakultas (Studi
Kasus Mahasiswa Bidik Misi Unsri Angkatan 2010)
Sri Indra Maiyanti
M-153
23
Perhitungan Reinbursement Optimal Perusahaan Asuransi
Dengan Menggunakan Fungsi Utilitas Eksponensial
Sukono
M-159
24
Estimasi Parameter Beta-Adjusted Dalam Capm Dengan
Volatilitas Tak Konstan
Sukono
M-167
25
Selang Bagi Fungsi Tahan Hidup Masa Tahanan Artis
Indonesia Yang Tersangkut Narkoba (Data Berdistribusi
Eksponensial Dua Parameter Tersensor Tipe-Ii)
Surya Prangga
M-173
26
Penerapan Metode Bootstrap Pada Uji Komparatif Non
Parametrik 2 Sampel
Yudi Agustius
M-179
xiii
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA,
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013
MPENENTUAN NILAI EIGEN SUATU MATRIKS
ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
Siswanto, Ari Suparwanto, dan M. Andy Rudhito
Mahasiswa S3 Matematika FMIPA UGM dan Staff Pengajar FMIPA UNS Surakarta,
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada Yogyakarta
FKIP, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
Abstrak
Aljabar Max-Plus adalah himpunan ℜ �� = ℜ
−∞ dengan ℜ himpunan
bilangan real, dilengkapi operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗. Himpunan ℜ ×�� adalah
himpunan matriks berukuran × yang elemen-elemennya merupakan anggota ℜ �� .
Telah dibahas tentang bagaimana menentukan nilai eigen suatu matriks atas aljabar
Max-Plus. Dibentuk himpunan � ℜ �� yaitu himpunan yang anggotanya merupakan
interval-interval tertutup di dalam ℜ �� . Himpunan � ℜ �� dilengkapi dengan operasi
̅̅̅
⊗ disebut aljabar Max-Plus interval. Selanjutnya, dapat dibentuk himpunan
⊕ dan ̅̅̅
matriks berukuran
×
yang elemen-elemennya merupakan anggota himpunan
� ℜ �� ditulis � ℜ ×�� . Misalkan A � ℜ ×�� dan [ A , A ]
� ℜ ×�� b , dengan
A ≈ [ A , A ], matriks interval A dikatakan tak terreduksi jika untuk setiap matriks
[ A , A ] tak terreduksi. Jika tidak demikian, matriks interval A dikatakan terreduksi.
Tujuan penelitian ini adalah bagaimana menentukan nilai eigen suatu matriks atas
aljabar Max-Plus interval, untuk matriks tak terreduksi maupun matriks terreduksi.
Kata kunci : Aljabar Max-Plus interval, nilai eigen.
PENDAHULUAN
Aljabar Max-Plus adalah himpunan ℜ �� = ℜ
� , � = − ∞ dilengkapi dengan
operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗merupakan semifield idempoten. Aljabar Max-Plus telah
digunakan untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah perencanaan, komunikasi,
produksi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, komputasi parallel, dan lalu lintas. (Baccelli,
et.al [2]). Dari himpunan ℜ �� dapat dibentuk himpunan matriks berukuran × yang elemen×
elemennya merupakan elemen ℜ �� dinotasikan dengan ℜ ��
, selanjutnya disebut himpunan
matriks atas aljabar Max-Plus. Khusus untuk m = n , himpunan ℜ ×�� dilengkapi dengan operasi
maksimum ⊕ dan plus ⊗ merupakan semiring yang idempoten (Akian, et. al, [1], Konigsberg
[5]). Untuk n = 1, diperoleh himpunan vektor dalam aljabar Max-Plus ditulis ℜ �� (Farlow [4]).
Schutter [7] dan Subiono [9] telah membahas tentang masalah nilai eigen dan vektor eigen suatu
matriks atas aljabar Max-Plus. Selanjutnya, Butkovic [3] dan Tam K. P [10] telah menulis tentang
ruang vektor eigen dan bagaimana menentukan nilai eigen matriks atas aljabar Max-Plus.
Untuk menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur seperti
penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, aljabar Max-Plus telah digeneralisasi menjadi aljabar
Max-Plus interval dan aljabar Max-Plus bilangan kabur. Aljabar Max-Plus interval yaitu himpunan
̅̅̅, sedangkan aljabar Max-Plus bilangan kabur
� ℜ �� dilengkapi dengan operasi ̅̅̅
⊕ dan ⊗
̃ dan ⊗
̃ (Rudhito [6]). Telah dibahas juga
yaitu himpunan ℜ �� dilengkapi dengan operasi ⊕
tentang matriks dalam aljabar Max-Plus interval, graf dalam aljabar Max-Plus interval serta nilai
eigen dan vektor eigen matriks atas aljabar Max-Plus interval khusus untuk matriks tak terreduksi.
M-141
Siswanto, Ari, dan M. Andi /Penentuan Nilai Eigen
ISBN. 978-979-96880-7-1
Disamping itu, Siswanto [8] telah membahas tentang ruang vektor eigen matriks dalam aljabar
Max-Plus interval.
Dari uraian tersebut, menarik untuk diteliti tentang bagaimana menentukan nilai eigen
matriks atas aljabar Max-Plus interval untuk matriks secara umum, sekaligus basis ruang eigennya.
Sebelum dibahas hasil utama penelitian ini, terlebih dahulu akan ditinjau beberapa konsep dasar
dan hasil-hasil yang mendukung pembahasan.
Berikut adalah beberapa konsep dalam menentukan nilai eigen suatu matriks dalam aljabar
Max-Plus.
⊆ � dengan ≤ < < ⋯ < ≤
Definisi 1.1. Misalkan � = , , … , , � = , , … ,
, didefinisikan � adalah submatriks utama dari matriks = [� ] yaitu
�
⋯ �
⋯
⋯
⋯
(
�
⋯ �
�
�
dan
� menyatakan subvektor ( , , … ,
dari vektor
, ,…,
ℜ �� .
Selanjutnya, jika
= �,
adalah graf berarah,
� menyatakan subgraf berarah yang
diinduksi dari yaitu � = (�,
� × � , bahwa � � = � .
×
Definisi 1.2. Misalkan ,
ℜ �� , maka simbol ∼ berarti bahwa dapat diperoleh dari
dengan permutasi bersama dari semua kolom dan baris.
Lema 1.3. Jika ∼ maka Λ
=Λ
dan ada fungsi bijektif antara �
dan �
.
Lema 1.4. Misalkan
ℜ ×�� , � �
dan
� , � . Jika
� + , � maka > ,
∼(
�
�=�
dan matriks terreduksi.
jika dan hanya jika matriks tak terreduksi.
Proposisi 1.5. Diberikan
ℜ ×�� , �
= �+
Definisi 1.6. Misalkan merupakan FNF, graf berarah penyederhanaan (Condensation digraph)
� ,∃
� sehingga � > �} .
adalah graf berarah � = ( � , … , �� , {(� , � |∃
� berhingga. Secara khusus bahwa
Lema 1.7. Jika
� , � → � dan [� ] ≠ � maka
[� ] berhingga.
Teorema 1.8. (Teorema Spektral) Diberikan
ℜ ×�� yang merupakan FNF, maka
�
= {�(
|�(
= max �
� →�
}.
= max� →� �
Definisi 1.9. Diberikan
ℜ ×�� yang merupakan FNF. Jika �(
maka
(dan juga � atau hanya ) disebut sebagai spektral (spectral).
Akibat 1.10. Semua klas awal dari � merupakan spektral.
Akibat 1.11. ≤ |Λ | ≤ untuk setiap
ℜ ×�� .
Akibat 1.12. �
= �( , �
jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen �
yang sama.
Selanjutnya, dibicarakan konsep aljabar Max-Plus interval dan matriks atas aljabar MaxPlus interval.
Interval tertutup x dalam ℜ �� adalah suatu himpunan bagian dari ℜ �� yang berbentuk
x = [ x, x ] = {
ℜ �� | x ≼
≼ x }. Interval x dalam ℜ �� disebut interval Max-Plus.
Suatu bilangan x ℜ �� dapat dinyatakan sebagai interval [x,x].
Definisi 1.13. Dibentuk � ℜ �� = {x = [ x, x ] |x, x
ℜ, � ≺ x ≼m x }
ε , dengan ε =
̅̅̅ " dengan x ̅̅̅
⊕ y= x ⊕
[�, � . Pada himpunan � ℜ �� didefinisikan operasi " ̅̅̅
⊕ " dan " ⊗
̅̅̅
, x ⊕ ] dan x ⊗ y = x ⊗ , x ⊗ ] untuk setiap x, y � ℜ �� . Selanjutnya disebut
̅̅̅, ⊗
̅̅̅ .
aljabar Max-Plus interval dan dinotasikan dengan � ℜ �� = (� ℜ �� ; ⊕
M-142
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA,
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013
Definisi 1.14. Himpunan matriks berukuran
× dengan elemen-elemen dalam � ℜ ��
×
dinotasikan dengan � ℜ �� yaitu
×
� ℜ �� ; = , , … , , = , , … , }.
Matriks
anggota
� ℜ ��
= {A = [A ] |A
×
� ℜ �� disebut matriks interval Max-Plus. Selanjutnya matriks interval Max-Plus cukup disebut
dengan matriks interval.
×
Definisi 1.15. Untuk A � ℜ ��
didefinisikan matriks A = A
ℜ × dan A = A
ℜ × masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A.
×
Definisi 1.16. Diberikan matriks interval A � ℜ ��
, dengan A dan A masing-masing adalah
matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks A. Didefinisikan interval matriks dari A
×
×
×
≼ A} dan � ℜ ��
ℜ ��
� ℜ ��
yaitu [A, A] = {
|A ≼
}.
b = {[A, A]| A
×
Semimodul � ℜ �� atas � ℜ �� isomorfis dengan semimodul � ℜ ×�� b atas
� ℜ ×�� . Interval
� ℜ �� , dengan pemetaan �: � ℜ ×�� → � ℜ ×�� b , � A = [A, A], ∀A
matriks [A, A]
� ℜ ×�� b disebut interval matriks yang bersesuaian dengan matriks interval
A � ℜ ×�� dan dilambangkan dengan A ≈ [A, A].
Definisi 1.17. Didefinisikan.
dapat
� ℜ �� = � = x , x , … , x � |xi � ℜ �� ; = , , … . , . Himpunan � ℜ ��
dipandang sebagai himpunan � ℜ ×�� . Anggota � ℜ �� disebut vektor interval atas � ℜ �� .
Vektor interval x bersesuaian dengan interval vektor [�, �] yaitu � ≈ [�, �].
Berikut definisi tentang himpunan nilai eigen dan himpunan vektor eigen dalam aljabar
Max-Plus interval.
Definisi 1.18. Diberikan A, B � ℜ ×�� dan λ � ℜ �� dengan A ≈ [A, A], B ≈ [B, B] dan
λ ≈ [λ, λ] , didefinisikan :
A, λ = {�
a.
([A, A], λ, λ
b. Λ A = λ
c.
� ℜ
� ℜ
��
= {[�, �]
�� |
Λ([A, A] = { [λ], [λ]
d.
e.
A =⋃
+
+
A, λ =
A =
A, λ
A
̅̅̅ � = λ ̅̅̅
⊗ �} dan
|A ⊗
� ℜ
A, λ ≠
� ℜ
�� b
| A ⊗ � = λ ⊗ �; A ⊗ � = λ ⊗ �} ,
, = ε, ε, … , ε
�� b |
� ℜ
� ℜ
dan
dan
+
dan
([A, A], [λ, λ] ≠ {[ , ]}},
A, λ dan ([A, A] = ⋃
+
�
, .
([A, A], λ, λ
([A, A] =
([ , ]
([A, A], λ, λ ,
= ([A, A], λ, λ
([A, A]
� ℜ .
� ℜ ,
PEMBAHASAN
Pada bagian ini dibahas tentang bagaimana menentukan nilai eigen dari suatu matriks
interval.
⊆ � dengan ≤ < < ⋯ < ≤
Definisi 2.1. Misalkan � = , , … , , � = , , … ,
adalah submatriks interval utama dari matriks A = [A ]
, didefinisikan A � ≈ A , A
� ℜ
×
�� ,
A ≈ [A, A] yaitu
�
A
⋯
A
⋯ A
⋯
⋯
⋯ A
. x � ≈ x � ,x �
menyatakan subvektor
dari vektor x , x , … , x � � ℜ �� . Selanjutnya, jika D = �, E adalah graf
(x , x , … , x
berarah dan � ⊆ � maka D � menyatakan subgraf berarah yang diinduksi dari D; yaitu
D � = (�, E
� × � , bahwa D� � = D � .
Definisi 2.2. Misalkan A, B
� ℜ ×�� , maka A ekuivalen B, dinotasikan A ∼ B berarti bahwa A
M-143
Siswanto, Ari, dan M. Andi /Penentuan Nilai Eigen
ISBN. 978-979-96880-7-1
dapat diperoleh dari B dengan permutasi secara simultan semua kolom dan baris.
Tampak bahwa, jika A ∼ B maka graf berarah yang diinduksi D dapat diperoleh dari DB
dengan cara menomori ulang titiknya. Oleh karena itu, jika A ∼ B maka A tak terreduksi jika dan
hanya jika B tak terreduksi.
Lema 2.3. Jika A ∼ B maka Λ A = Λ B dan ada fungsi bijektif antara A dan B .
Bukti : Misalkan A, B
� ℜ ×�� , A ≈ [A, A]
� ℜ ×�� b dan B ≈ [B, B] � ℜ ×�� b . Karena
A ∼ B, berarti A ∼ B dan A ∼ B. Menurut Lema 1.3, �(A = �(B dan ada fungsi bijektif antara
�(A dan �(B serta �(A = �(B dan dan ada fungsi bijektif antara �(A dan �(B . Karena
Λ A ≈ Λ([A, A] dan Λ B ≈ Λ([B, B] , sedangkan Λ([A, A] = Λ([B, B] maka Λ A = Λ B
dan ada fungsi bijektif antara A dan B .
Lema berikut menunjukan bahwa di dalam aljabar max-plus interval bentuk normal
Frobenius akan sangat digunakan untuk menggambarkan semua nilai eigen.
+
A, λ maka > ,
Lema 2.4. Misalkan A � ℜ ×�� , λ Λ A dan �
A, λ . Jika �
A
A∼(A
, λ=λ A
dan A matriks terreduksi.
ε
A
Bukti:
Misalkan
A � ℜ ×�� ,
A ≈ [A, A]
Λ A
dan
� ℜ ×�� b ,
λ = λ, λ
� = x ,x ,…,x
�
= [x , x ], [x , x ], … , [x , x ]
�(A , x = x , x , … , x
x
λ A
� + (A, λ
dan x
�
�(A, λ dan x =[x , x , … , x
A, λ . Oleh karena itu, λ
�(A, λ . Karena �
A
� + (A, λ , menurut Lema 1.4 maka > , A ∼
�
, A matriks terreduksi demikian pula A ∼
terreduksi. Oleh karena itu,
> ,A∼ (A
�
� ℜ ×�� , maka
A
A
A
A =
A
�
A
,λ=λ A
, λ=λ A
+
A
A
�(A , λ
A, λ maka
, λ=
dan A matriks
dan A matriks terreduksi.
+
A jika dan hanya jika A matriks tak
Proposisi 2.5. Diberikan A
terreduksi.
Bukti: Misalkan A � ℜ ×�� , A ≈ [A, A]
� ℜ ×�� b. Menurut Proposisi 1.5, �(A = � + (A
jika dan hanya jika A matriks tak terreduksi. Disamping itu, �(A = � + (A jika dan hanya jika A
matriks tak terreduksi. Oleh karena itu, maka A = + A jika dan hanya jika A matriks tak
terreduksi.
Setiap matriks A = [A ] � ℜ ×�� dapat ditransformasikan dengan permutasi secara
simultan baris dan kolom menjadi Frobenius normal Form (FNF), sedemikian sehingga
A
A
⋯ A�
… A
⋯ A�
…
… ⋯ ⋯
…
… ⋯ A��
dimana A , … , A�� adalah submatriks persegi yang tak terreduksi dari A.
Misalkan A adalah FNF dinotasikan himpunan-himpunan � , � , … , �r sebagai partisi
yang bersesuaian dengan node himpunan � dari D , disebut sebagai kelas-kelas (dari A) sehingga
semua submatriks persegi A , … , A�� adalah tak terreduksi, ini memenuhi bahwa setiap graf
berarah yang diinduksi D � , = , , … , � terhubung kuat dan lintasan dari � ke � dalam D�
merupakan nilai eigen kelas � .
ada jika → . Selanjutnya, disebut secara sederhana bahwa λ(
Definisi 2.6. Diberikan A FNF, maka graf berarah penyederhanaan (Condensation digraph) adalah
� ,∃
� sehingga �, � ≺ A } .
graf berarah
= ( � , … , �� , {(� , � |∃
M-144
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA,
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013
Jika ada lintasan berarah (directed path) dari suatu titik di dalam � ke titik di dalam �
pada D , dinotasikan dengan simbol � → � . Jika tidak ada busur masuk atau keluar dari atau ke
graf berarah yang diinduksi
[{� , … , � }], ≤ < ⋯ < ≤ � dan tidak ada graf berarah
sejati mempunyai sifat ini maka submatriks
⋯ A �
A
A
�
A
⋯ A �
⋯
⋯
⋯
⋯
�
�
⋯ A��
disebut sebagai superblok terisolasi (isolated superblock) atau disebut superblok (superblock) saja.
Graf berarah terinduksi (induced digraph)
bersesuaian dengan superblok terisolasi yaitu pohon
berarah (directed tree).
adalah gabungan beberapa angka seperti pohon berarah (directed tree).
Titik-titik pada
dimana tidak ada busur masuk disebut sebagai klas awal (initial classes) juga
titik-titik pada
dimana tidak ada busur keluar disebut sebagai klas akhir (final classes). Catatan
bahwa pohon berarah bersesuaian dengan superblok terisolasi yang mempunyai beberapa klas awal
dan akhir.
Lema 2.7. Jika �
A , � → � dan �[� ] ≠ ℰ maka � � berhingga. Secara khusus �[� ]
berhingga.
Bukti: Ambil �
�
A , � = x ,x ,…,x
�
= [x , x ], [x , x ], … , [x , x ] . Berarti, � ≈
�, � dengan � = x , x , … , x � �(A dan � = x , x , … , x � �(A . Misalkan � → � ,
karena �[� ] ≠ ℰ maka �[� ] ≠ ε dan �[� ] ≠ ε, menurut Lema 1.7 maka � � dan � �
berhingga. Secara khusus �[� ] dan �[� ] berhingga. Oleh karena itu, � � dan �[� ] berhingga.
Teorema 2.8. (Teorema Spektral) Diberikan A � ℜ ×�� yang merupakan FNF, maka
Bukti: Misalkan A
� ℜ
Λ A = {λ(A
×
�� ,
A ≈ [A, A]
|λ(A
� ℜ
= max λ A }.
� →�
×
�� b . Karena
merupakan FNF. Menurut Teorema 1.8, �(A = λ(A
Λ(A = λ(A
Λ A = λ(A
|λ(A
|λ(A
= max� →� λ(A
= max� →� λ A
×
��
.
, dengan λ(A
A merupakan FNF maka A dan A
|λ(A
= [λ(A
= max� →� λ(A
dan
Akibatnya,
, λ(A
].
Definisi 2.9. Diberikan A � ℜ
yang merupakan FNF. Jika λ(A = max� →� λ A maka
A (dan juga � atau hanya j) disebut sebagai spektral (spectral).
Λ A jika adalah spektral tetapi tidak perlu sebaliknya. Dari
Dengan demikian λ(A
Teorema spektral, diperoleh beberapa akibat di bawah ini.
Akibat 2.10. Semua klas awal dari
merupakan spektral.
×
� ℜ ×�� b. Menurut Akibat 1.10 semua klas awal
Bukti: Misalkan A � ℜ �� , A ≈ [A, A]
dari
dan
merupakan spektral. Karena
=
= , berarti semua klas awal dari
merupakan spektral.
Akibat 2.11. Misalkan |Λ A | banyaknya nilai eigen maka ≤ |Λ A | ≤ untuk setiap
A � ℜ ×�� .
Bukti: Misalkan A � ℜ ×�� , A ≈ [A, A]
� ℜ ×�� b. Menurut Akibat 1.11, ≤ |�(A | ≤
untuk setiap A ℜ ×�� dan ≤ |�(A | ≤ untuk setiap A ℜ ×�� . Karena Λ A ≈ Λ([A, A] ,
berakibat, ≤ |Λ A | ≤ untuk setiap A � ℜ ×�� .
M-145
Siswanto, Ari, dan M. Andi /Penentuan Nilai Eigen
ISBN. 978-979-96880-7-1
Akibat 2.12. Himpunan A = (A, � A jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai
eigen λ A yang sama.
Bukti: Misalkan A � ℜ ×�� , A ≈ [A, A]
� ℜ ×�� b. Menurut Akibat 1.12, �(A =
� A, λ(A
jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen λ(A
Demikian pula, �(A = � A, λ(A
λ(A
yang sama. Karena
(A, λ A
yang sama.
jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen
A ≈ ([A, A]
dan
A, λ ≈
[A, A], λ(A , λ A
maka
jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen λ A yang sama.
A =
KESIMPULAN
Dari hasil pembahasan, dapat disimpulkan bahwa
a. Diberikan A � ℜ ×�� yang merupakan FNF, maka
Λ A = λ(A |λ(A = max� →� λ A .
b. Semua klas awal dari
merupakan spectral.
c. Misalkan |Λ A | banyaknya nilai eigen maka ≤ |Λ A | ≤ untuk setiap A � ℜ ×�� .
d. Himpunan A = (Λ, λ A jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen
λ A yang sama.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Akian, M., Cohen, G., Gaubert, S., Quadrat, J. P., and Viot, M. 1994. Max-Plus Algebra and
Applications to System Theory and Optimal Control. Proceedings of the International
Congress of Mathematicians. Zurich, Switzerland.
[2] Bacelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., Quadrat, J. P. 2001. Synchronization and Linearity, New
York : John Wiley & Sons.
[3] Butkovic, P., 2010. Max-linear Systems : Theory and Algorithms. Monographs in
Mathematics. Springer.
[4] Farlow, K. G. 2009. Max-Plus Algebra. Master's Thesis submitted to the Faculty of the
Virginia Polytechnic Institute and State University in partial fulfillment of the requirements
for the degree of Masters in Mathematics.
[5] Konigsberg Z. R. 2009. A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular
Matrices over the Max-Plus Algebra. International
Mathematical Forum, 4. 24. 1157
– 1171.
[6] Rudhito, Andy. 2011. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah
Penjadwalan dan Jaringan Antrian. Disertasi : Program Studi S3 Matematika FMIPA UGM.
Yogyakarta.
[7] Schutter, B. D. 1996. Max Algebraic System Theory for Discrete Event Systems. Ph.D
Thesis, Katholike Universiteit Leuven, Departement Elektrotechniek.
[8] Siswanto, Ari S, M. Andy R, 2013. Ruang Vektor Eigen Suatu Matriks atas Aljabar MaxPlus Interval. Diseminarkan dalam Seminar Nasional dan Workshop Aljabar dan
Pembelajarannya, 20 – 21 April 2013, Jurusan Matematika FMIPA UM, Malang.
[9] Subiono. 2000. On Classes of Min-Max-Plus Systems and Their Applications, Published by
Delf University Press.
[10] Tam. K. P. 2010. Optimizing and Approximating Eigenvectors In Max-Algebra. A thesis
Submitted to the University of Birmingham for The Degree of Doctor of Philosophy (PHD).
M-146
Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA
Tanggal 18 Mei 2013, FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
ISBN: 978 – 979 -96880 – 7 - 1
Bidang:
Matematika dan Pendidikan Matematika
Fisika dan Pendidikan Fisika
Kimia dan Pendidikan Kimia
Biologi dan Pendidikan Biologi
Ilmu Pengetahuan Alam
Tema:
MIPA dan Pendidikan MIPA Untuk Kemandirian Bangsa
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Tahun 2013
PROSIDING SEMINAR NASIONAL
Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA
Tanggal 18 Mei 2013, FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
ISBN: 978 – 979 -96880 – 7 - 1
Tim Editor:
1. Nur Hadi Waryanto, M.Eng (Matematika)
2. Denny Darmawan, M.Sc (Fisika)
3. Erfan Priyambodo, M.Si (Kimia)
4. Yuni Wibowo, M.Pd (Biologi)
5. Sabar Nurohman, M.Pd (IPA)
Tim Reviewer:
1. Dr. Agus Maman Abadi (Matematika)
2. Wipsar Sunu Brams Dwandaru, M.Sc.,Ph.D (Fisika)
3. Prof. Dr.Endang Wijayanti (Kimia)
4. Dr. Heru Nurcahyo (Biologi)
Tema:
MIPA dan Pendidikan MIPA Untuk Kemandirian Bangsa
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
Tahun 2013
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA,
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18Mei 2013
19
Pengambilan
Keputusan
Untuk
Penilaian
Menggunakan Analytic Hierarchy Process (Ahp)
Sinta Arifin
Kinerja
M-135
20
Penentuan Nilai Eigen Suatu Matriks Atas Aljabar Max-Plus
Interval
Siswanto
M-141
21
Prediksi Produksi Gula Pada Pg. Madukismo Bantul Dengan
Menggunakan Adaptive Neuro Fuzzy Inference System
Sri Hanjati
M-147
22
Aplikasi Analisis Biplot Untuk Pemetaan Prestasi Dan
Karakteristik Mahasiswa Bidik Misi Antar Fakultas (Studi
Kasus Mahasiswa Bidik Misi Unsri Angkatan 2010)
Sri Indra Maiyanti
M-153
23
Perhitungan Reinbursement Optimal Perusahaan Asuransi
Dengan Menggunakan Fungsi Utilitas Eksponensial
Sukono
M-159
24
Estimasi Parameter Beta-Adjusted Dalam Capm Dengan
Volatilitas Tak Konstan
Sukono
M-167
25
Selang Bagi Fungsi Tahan Hidup Masa Tahanan Artis
Indonesia Yang Tersangkut Narkoba (Data Berdistribusi
Eksponensial Dua Parameter Tersensor Tipe-Ii)
Surya Prangga
M-173
26
Penerapan Metode Bootstrap Pada Uji Komparatif Non
Parametrik 2 Sampel
Yudi Agustius
M-179
xiii
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA,
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013
MPENENTUAN NILAI EIGEN SUATU MATRIKS
ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
Siswanto, Ari Suparwanto, dan M. Andy Rudhito
Mahasiswa S3 Matematika FMIPA UGM dan Staff Pengajar FMIPA UNS Surakarta,
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada Yogyakarta
FKIP, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta
Abstrak
Aljabar Max-Plus adalah himpunan ℜ �� = ℜ
−∞ dengan ℜ himpunan
bilangan real, dilengkapi operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗. Himpunan ℜ ×�� adalah
himpunan matriks berukuran × yang elemen-elemennya merupakan anggota ℜ �� .
Telah dibahas tentang bagaimana menentukan nilai eigen suatu matriks atas aljabar
Max-Plus. Dibentuk himpunan � ℜ �� yaitu himpunan yang anggotanya merupakan
interval-interval tertutup di dalam ℜ �� . Himpunan � ℜ �� dilengkapi dengan operasi
̅̅̅
⊗ disebut aljabar Max-Plus interval. Selanjutnya, dapat dibentuk himpunan
⊕ dan ̅̅̅
matriks berukuran
×
yang elemen-elemennya merupakan anggota himpunan
� ℜ �� ditulis � ℜ ×�� . Misalkan A � ℜ ×�� dan [ A , A ]
� ℜ ×�� b , dengan
A ≈ [ A , A ], matriks interval A dikatakan tak terreduksi jika untuk setiap matriks
[ A , A ] tak terreduksi. Jika tidak demikian, matriks interval A dikatakan terreduksi.
Tujuan penelitian ini adalah bagaimana menentukan nilai eigen suatu matriks atas
aljabar Max-Plus interval, untuk matriks tak terreduksi maupun matriks terreduksi.
Kata kunci : Aljabar Max-Plus interval, nilai eigen.
PENDAHULUAN
Aljabar Max-Plus adalah himpunan ℜ �� = ℜ
� , � = − ∞ dilengkapi dengan
operasi maksimum ⊕ dan plus ⊗merupakan semifield idempoten. Aljabar Max-Plus telah
digunakan untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah perencanaan, komunikasi,
produksi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, komputasi parallel, dan lalu lintas. (Baccelli,
et.al [2]). Dari himpunan ℜ �� dapat dibentuk himpunan matriks berukuran × yang elemen×
elemennya merupakan elemen ℜ �� dinotasikan dengan ℜ ��
, selanjutnya disebut himpunan
matriks atas aljabar Max-Plus. Khusus untuk m = n , himpunan ℜ ×�� dilengkapi dengan operasi
maksimum ⊕ dan plus ⊗ merupakan semiring yang idempoten (Akian, et. al, [1], Konigsberg
[5]). Untuk n = 1, diperoleh himpunan vektor dalam aljabar Max-Plus ditulis ℜ �� (Farlow [4]).
Schutter [7] dan Subiono [9] telah membahas tentang masalah nilai eigen dan vektor eigen suatu
matriks atas aljabar Max-Plus. Selanjutnya, Butkovic [3] dan Tam K. P [10] telah menulis tentang
ruang vektor eigen dan bagaimana menentukan nilai eigen matriks atas aljabar Max-Plus.
Untuk menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur seperti
penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, aljabar Max-Plus telah digeneralisasi menjadi aljabar
Max-Plus interval dan aljabar Max-Plus bilangan kabur. Aljabar Max-Plus interval yaitu himpunan
̅̅̅, sedangkan aljabar Max-Plus bilangan kabur
� ℜ �� dilengkapi dengan operasi ̅̅̅
⊕ dan ⊗
̃ dan ⊗
̃ (Rudhito [6]). Telah dibahas juga
yaitu himpunan ℜ �� dilengkapi dengan operasi ⊕
tentang matriks dalam aljabar Max-Plus interval, graf dalam aljabar Max-Plus interval serta nilai
eigen dan vektor eigen matriks atas aljabar Max-Plus interval khusus untuk matriks tak terreduksi.
M-141
Siswanto, Ari, dan M. Andi /Penentuan Nilai Eigen
ISBN. 978-979-96880-7-1
Disamping itu, Siswanto [8] telah membahas tentang ruang vektor eigen matriks dalam aljabar
Max-Plus interval.
Dari uraian tersebut, menarik untuk diteliti tentang bagaimana menentukan nilai eigen
matriks atas aljabar Max-Plus interval untuk matriks secara umum, sekaligus basis ruang eigennya.
Sebelum dibahas hasil utama penelitian ini, terlebih dahulu akan ditinjau beberapa konsep dasar
dan hasil-hasil yang mendukung pembahasan.
Berikut adalah beberapa konsep dalam menentukan nilai eigen suatu matriks dalam aljabar
Max-Plus.
⊆ � dengan ≤ < < ⋯ < ≤
Definisi 1.1. Misalkan � = , , … , , � = , , … ,
, didefinisikan � adalah submatriks utama dari matriks = [� ] yaitu
�
⋯ �
⋯
⋯
⋯
(
�
⋯ �
�
�
dan
� menyatakan subvektor ( , , … ,
dari vektor
, ,…,
ℜ �� .
Selanjutnya, jika
= �,
adalah graf berarah,
� menyatakan subgraf berarah yang
diinduksi dari yaitu � = (�,
� × � , bahwa � � = � .
×
Definisi 1.2. Misalkan ,
ℜ �� , maka simbol ∼ berarti bahwa dapat diperoleh dari
dengan permutasi bersama dari semua kolom dan baris.
Lema 1.3. Jika ∼ maka Λ
=Λ
dan ada fungsi bijektif antara �
dan �
.
Lema 1.4. Misalkan
ℜ ×�� , � �
dan
� , � . Jika
� + , � maka > ,
∼(
�
�=�
dan matriks terreduksi.
jika dan hanya jika matriks tak terreduksi.
Proposisi 1.5. Diberikan
ℜ ×�� , �
= �+
Definisi 1.6. Misalkan merupakan FNF, graf berarah penyederhanaan (Condensation digraph)
� ,∃
� sehingga � > �} .
adalah graf berarah � = ( � , … , �� , {(� , � |∃
� berhingga. Secara khusus bahwa
Lema 1.7. Jika
� , � → � dan [� ] ≠ � maka
[� ] berhingga.
Teorema 1.8. (Teorema Spektral) Diberikan
ℜ ×�� yang merupakan FNF, maka
�
= {�(
|�(
= max �
� →�
}.
= max� →� �
Definisi 1.9. Diberikan
ℜ ×�� yang merupakan FNF. Jika �(
maka
(dan juga � atau hanya ) disebut sebagai spektral (spectral).
Akibat 1.10. Semua klas awal dari � merupakan spektral.
Akibat 1.11. ≤ |Λ | ≤ untuk setiap
ℜ ×�� .
Akibat 1.12. �
= �( , �
jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen �
yang sama.
Selanjutnya, dibicarakan konsep aljabar Max-Plus interval dan matriks atas aljabar MaxPlus interval.
Interval tertutup x dalam ℜ �� adalah suatu himpunan bagian dari ℜ �� yang berbentuk
x = [ x, x ] = {
ℜ �� | x ≼
≼ x }. Interval x dalam ℜ �� disebut interval Max-Plus.
Suatu bilangan x ℜ �� dapat dinyatakan sebagai interval [x,x].
Definisi 1.13. Dibentuk � ℜ �� = {x = [ x, x ] |x, x
ℜ, � ≺ x ≼m x }
ε , dengan ε =
̅̅̅ " dengan x ̅̅̅
⊕ y= x ⊕
[�, � . Pada himpunan � ℜ �� didefinisikan operasi " ̅̅̅
⊕ " dan " ⊗
̅̅̅
, x ⊕ ] dan x ⊗ y = x ⊗ , x ⊗ ] untuk setiap x, y � ℜ �� . Selanjutnya disebut
̅̅̅, ⊗
̅̅̅ .
aljabar Max-Plus interval dan dinotasikan dengan � ℜ �� = (� ℜ �� ; ⊕
M-142
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA,
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013
Definisi 1.14. Himpunan matriks berukuran
× dengan elemen-elemen dalam � ℜ ��
×
dinotasikan dengan � ℜ �� yaitu
×
� ℜ �� ; = , , … , , = , , … , }.
Matriks
anggota
� ℜ ��
= {A = [A ] |A
×
� ℜ �� disebut matriks interval Max-Plus. Selanjutnya matriks interval Max-Plus cukup disebut
dengan matriks interval.
×
Definisi 1.15. Untuk A � ℜ ��
didefinisikan matriks A = A
ℜ × dan A = A
ℜ × masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A.
×
Definisi 1.16. Diberikan matriks interval A � ℜ ��
, dengan A dan A masing-masing adalah
matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks A. Didefinisikan interval matriks dari A
×
×
×
≼ A} dan � ℜ ��
ℜ ��
� ℜ ��
yaitu [A, A] = {
|A ≼
}.
b = {[A, A]| A
×
Semimodul � ℜ �� atas � ℜ �� isomorfis dengan semimodul � ℜ ×�� b atas
� ℜ ×�� . Interval
� ℜ �� , dengan pemetaan �: � ℜ ×�� → � ℜ ×�� b , � A = [A, A], ∀A
matriks [A, A]
� ℜ ×�� b disebut interval matriks yang bersesuaian dengan matriks interval
A � ℜ ×�� dan dilambangkan dengan A ≈ [A, A].
Definisi 1.17. Didefinisikan.
dapat
� ℜ �� = � = x , x , … , x � |xi � ℜ �� ; = , , … . , . Himpunan � ℜ ��
dipandang sebagai himpunan � ℜ ×�� . Anggota � ℜ �� disebut vektor interval atas � ℜ �� .
Vektor interval x bersesuaian dengan interval vektor [�, �] yaitu � ≈ [�, �].
Berikut definisi tentang himpunan nilai eigen dan himpunan vektor eigen dalam aljabar
Max-Plus interval.
Definisi 1.18. Diberikan A, B � ℜ ×�� dan λ � ℜ �� dengan A ≈ [A, A], B ≈ [B, B] dan
λ ≈ [λ, λ] , didefinisikan :
A, λ = {�
a.
([A, A], λ, λ
b. Λ A = λ
c.
� ℜ
� ℜ
��
= {[�, �]
�� |
Λ([A, A] = { [λ], [λ]
d.
e.
A =⋃
+
+
A, λ =
A =
A, λ
A
̅̅̅ � = λ ̅̅̅
⊗ �} dan
|A ⊗
� ℜ
A, λ ≠
� ℜ
�� b
| A ⊗ � = λ ⊗ �; A ⊗ � = λ ⊗ �} ,
, = ε, ε, … , ε
�� b |
� ℜ
� ℜ
dan
dan
+
dan
([A, A], [λ, λ] ≠ {[ , ]}},
A, λ dan ([A, A] = ⋃
+
�
, .
([A, A], λ, λ
([A, A] =
([ , ]
([A, A], λ, λ ,
= ([A, A], λ, λ
([A, A]
� ℜ .
� ℜ ,
PEMBAHASAN
Pada bagian ini dibahas tentang bagaimana menentukan nilai eigen dari suatu matriks
interval.
⊆ � dengan ≤ < < ⋯ < ≤
Definisi 2.1. Misalkan � = , , … , , � = , , … ,
adalah submatriks interval utama dari matriks A = [A ]
, didefinisikan A � ≈ A , A
� ℜ
×
�� ,
A ≈ [A, A] yaitu
�
A
⋯
A
⋯ A
⋯
⋯
⋯ A
. x � ≈ x � ,x �
menyatakan subvektor
dari vektor x , x , … , x � � ℜ �� . Selanjutnya, jika D = �, E adalah graf
(x , x , … , x
berarah dan � ⊆ � maka D � menyatakan subgraf berarah yang diinduksi dari D; yaitu
D � = (�, E
� × � , bahwa D� � = D � .
Definisi 2.2. Misalkan A, B
� ℜ ×�� , maka A ekuivalen B, dinotasikan A ∼ B berarti bahwa A
M-143
Siswanto, Ari, dan M. Andi /Penentuan Nilai Eigen
ISBN. 978-979-96880-7-1
dapat diperoleh dari B dengan permutasi secara simultan semua kolom dan baris.
Tampak bahwa, jika A ∼ B maka graf berarah yang diinduksi D dapat diperoleh dari DB
dengan cara menomori ulang titiknya. Oleh karena itu, jika A ∼ B maka A tak terreduksi jika dan
hanya jika B tak terreduksi.
Lema 2.3. Jika A ∼ B maka Λ A = Λ B dan ada fungsi bijektif antara A dan B .
Bukti : Misalkan A, B
� ℜ ×�� , A ≈ [A, A]
� ℜ ×�� b dan B ≈ [B, B] � ℜ ×�� b . Karena
A ∼ B, berarti A ∼ B dan A ∼ B. Menurut Lema 1.3, �(A = �(B dan ada fungsi bijektif antara
�(A dan �(B serta �(A = �(B dan dan ada fungsi bijektif antara �(A dan �(B . Karena
Λ A ≈ Λ([A, A] dan Λ B ≈ Λ([B, B] , sedangkan Λ([A, A] = Λ([B, B] maka Λ A = Λ B
dan ada fungsi bijektif antara A dan B .
Lema berikut menunjukan bahwa di dalam aljabar max-plus interval bentuk normal
Frobenius akan sangat digunakan untuk menggambarkan semua nilai eigen.
+
A, λ maka > ,
Lema 2.4. Misalkan A � ℜ ×�� , λ Λ A dan �
A, λ . Jika �
A
A∼(A
, λ=λ A
dan A matriks terreduksi.
ε
A
Bukti:
Misalkan
A � ℜ ×�� ,
A ≈ [A, A]
Λ A
dan
� ℜ ×�� b ,
λ = λ, λ
� = x ,x ,…,x
�
= [x , x ], [x , x ], … , [x , x ]
�(A , x = x , x , … , x
x
λ A
� + (A, λ
dan x
�
�(A, λ dan x =[x , x , … , x
A, λ . Oleh karena itu, λ
�(A, λ . Karena �
A
� + (A, λ , menurut Lema 1.4 maka > , A ∼
�
, A matriks terreduksi demikian pula A ∼
terreduksi. Oleh karena itu,
> ,A∼ (A
�
� ℜ ×�� , maka
A
A
A
A =
A
�
A
,λ=λ A
, λ=λ A
+
A
A
�(A , λ
A, λ maka
, λ=
dan A matriks
dan A matriks terreduksi.
+
A jika dan hanya jika A matriks tak
Proposisi 2.5. Diberikan A
terreduksi.
Bukti: Misalkan A � ℜ ×�� , A ≈ [A, A]
� ℜ ×�� b. Menurut Proposisi 1.5, �(A = � + (A
jika dan hanya jika A matriks tak terreduksi. Disamping itu, �(A = � + (A jika dan hanya jika A
matriks tak terreduksi. Oleh karena itu, maka A = + A jika dan hanya jika A matriks tak
terreduksi.
Setiap matriks A = [A ] � ℜ ×�� dapat ditransformasikan dengan permutasi secara
simultan baris dan kolom menjadi Frobenius normal Form (FNF), sedemikian sehingga
A
A
⋯ A�
… A
⋯ A�
…
… ⋯ ⋯
…
… ⋯ A��
dimana A , … , A�� adalah submatriks persegi yang tak terreduksi dari A.
Misalkan A adalah FNF dinotasikan himpunan-himpunan � , � , … , �r sebagai partisi
yang bersesuaian dengan node himpunan � dari D , disebut sebagai kelas-kelas (dari A) sehingga
semua submatriks persegi A , … , A�� adalah tak terreduksi, ini memenuhi bahwa setiap graf
berarah yang diinduksi D � , = , , … , � terhubung kuat dan lintasan dari � ke � dalam D�
merupakan nilai eigen kelas � .
ada jika → . Selanjutnya, disebut secara sederhana bahwa λ(
Definisi 2.6. Diberikan A FNF, maka graf berarah penyederhanaan (Condensation digraph) adalah
� ,∃
� sehingga �, � ≺ A } .
graf berarah
= ( � , … , �� , {(� , � |∃
M-144
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA,
Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 18 Mei 2013
Jika ada lintasan berarah (directed path) dari suatu titik di dalam � ke titik di dalam �
pada D , dinotasikan dengan simbol � → � . Jika tidak ada busur masuk atau keluar dari atau ke
graf berarah yang diinduksi
[{� , … , � }], ≤ < ⋯ < ≤ � dan tidak ada graf berarah
sejati mempunyai sifat ini maka submatriks
⋯ A �
A
A
�
A
⋯ A �
⋯
⋯
⋯
⋯
�
�
⋯ A��
disebut sebagai superblok terisolasi (isolated superblock) atau disebut superblok (superblock) saja.
Graf berarah terinduksi (induced digraph)
bersesuaian dengan superblok terisolasi yaitu pohon
berarah (directed tree).
adalah gabungan beberapa angka seperti pohon berarah (directed tree).
Titik-titik pada
dimana tidak ada busur masuk disebut sebagai klas awal (initial classes) juga
titik-titik pada
dimana tidak ada busur keluar disebut sebagai klas akhir (final classes). Catatan
bahwa pohon berarah bersesuaian dengan superblok terisolasi yang mempunyai beberapa klas awal
dan akhir.
Lema 2.7. Jika �
A , � → � dan �[� ] ≠ ℰ maka � � berhingga. Secara khusus �[� ]
berhingga.
Bukti: Ambil �
�
A , � = x ,x ,…,x
�
= [x , x ], [x , x ], … , [x , x ] . Berarti, � ≈
�, � dengan � = x , x , … , x � �(A dan � = x , x , … , x � �(A . Misalkan � → � ,
karena �[� ] ≠ ℰ maka �[� ] ≠ ε dan �[� ] ≠ ε, menurut Lema 1.7 maka � � dan � �
berhingga. Secara khusus �[� ] dan �[� ] berhingga. Oleh karena itu, � � dan �[� ] berhingga.
Teorema 2.8. (Teorema Spektral) Diberikan A � ℜ ×�� yang merupakan FNF, maka
Bukti: Misalkan A
� ℜ
Λ A = {λ(A
×
�� ,
A ≈ [A, A]
|λ(A
� ℜ
= max λ A }.
� →�
×
�� b . Karena
merupakan FNF. Menurut Teorema 1.8, �(A = λ(A
Λ(A = λ(A
Λ A = λ(A
|λ(A
|λ(A
= max� →� λ(A
= max� →� λ A
×
��
.
, dengan λ(A
A merupakan FNF maka A dan A
|λ(A
= [λ(A
= max� →� λ(A
dan
Akibatnya,
, λ(A
].
Definisi 2.9. Diberikan A � ℜ
yang merupakan FNF. Jika λ(A = max� →� λ A maka
A (dan juga � atau hanya j) disebut sebagai spektral (spectral).
Λ A jika adalah spektral tetapi tidak perlu sebaliknya. Dari
Dengan demikian λ(A
Teorema spektral, diperoleh beberapa akibat di bawah ini.
Akibat 2.10. Semua klas awal dari
merupakan spektral.
×
� ℜ ×�� b. Menurut Akibat 1.10 semua klas awal
Bukti: Misalkan A � ℜ �� , A ≈ [A, A]
dari
dan
merupakan spektral. Karena
=
= , berarti semua klas awal dari
merupakan spektral.
Akibat 2.11. Misalkan |Λ A | banyaknya nilai eigen maka ≤ |Λ A | ≤ untuk setiap
A � ℜ ×�� .
Bukti: Misalkan A � ℜ ×�� , A ≈ [A, A]
� ℜ ×�� b. Menurut Akibat 1.11, ≤ |�(A | ≤
untuk setiap A ℜ ×�� dan ≤ |�(A | ≤ untuk setiap A ℜ ×�� . Karena Λ A ≈ Λ([A, A] ,
berakibat, ≤ |Λ A | ≤ untuk setiap A � ℜ ×�� .
M-145
Siswanto, Ari, dan M. Andi /Penentuan Nilai Eigen
ISBN. 978-979-96880-7-1
Akibat 2.12. Himpunan A = (A, � A jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai
eigen λ A yang sama.
Bukti: Misalkan A � ℜ ×�� , A ≈ [A, A]
� ℜ ×�� b. Menurut Akibat 1.12, �(A =
� A, λ(A
jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen λ(A
Demikian pula, �(A = � A, λ(A
λ(A
yang sama. Karena
(A, λ A
yang sama.
jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen
A ≈ ([A, A]
dan
A, λ ≈
[A, A], λ(A , λ A
maka
jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen λ A yang sama.
A =
KESIMPULAN
Dari hasil pembahasan, dapat disimpulkan bahwa
a. Diberikan A � ℜ ×�� yang merupakan FNF, maka
Λ A = λ(A |λ(A = max� →� λ A .
b. Semua klas awal dari
merupakan spectral.
c. Misalkan |Λ A | banyaknya nilai eigen maka ≤ |Λ A | ≤ untuk setiap A � ℜ ×�� .
d. Himpunan A = (Λ, λ A jika dan hanya jika semua klas awal mempunyai nilai eigen
λ A yang sama.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Akian, M., Cohen, G., Gaubert, S., Quadrat, J. P., and Viot, M. 1994. Max-Plus Algebra and
Applications to System Theory and Optimal Control. Proceedings of the International
Congress of Mathematicians. Zurich, Switzerland.
[2] Bacelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., Quadrat, J. P. 2001. Synchronization and Linearity, New
York : John Wiley & Sons.
[3] Butkovic, P., 2010. Max-linear Systems : Theory and Algorithms. Monographs in
Mathematics. Springer.
[4] Farlow, K. G. 2009. Max-Plus Algebra. Master's Thesis submitted to the Faculty of the
Virginia Polytechnic Institute and State University in partial fulfillment of the requirements
for the degree of Masters in Mathematics.
[5] Konigsberg Z. R. 2009. A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular
Matrices over the Max-Plus Algebra. International
Mathematical Forum, 4. 24. 1157
– 1171.
[6] Rudhito, Andy. 2011. Aljabar Max-Plus Bilangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah
Penjadwalan dan Jaringan Antrian. Disertasi : Program Studi S3 Matematika FMIPA UGM.
Yogyakarta.
[7] Schutter, B. D. 1996. Max Algebraic System Theory for Discrete Event Systems. Ph.D
Thesis, Katholike Universiteit Leuven, Departement Elektrotechniek.
[8] Siswanto, Ari S, M. Andy R, 2013. Ruang Vektor Eigen Suatu Matriks atas Aljabar MaxPlus Interval. Diseminarkan dalam Seminar Nasional dan Workshop Aljabar dan
Pembelajarannya, 20 – 21 April 2013, Jurusan Matematika FMIPA UM, Malang.
[9] Subiono. 2000. On Classes of Min-Max-Plus Systems and Their Applications, Published by
Delf University Press.
[10] Tam. K. P. 2010. Optimizing and Approximating Eigenvectors In Max-Algebra. A thesis
Submitted to the University of Birmingham for The Degree of Doctor of Philosophy (PHD).
M-146